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Guía Matemáticas 4

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  • Nivelemos Matemticas 4Gua del docente

    Mara Fernanda Campo SaavedraMinistra de Educacin Nacional

    Mauricio Perfetti del CorralViceministro de Educacin Preescolar, Bsica y Media

    Mnica Lpez CastroDirectora de Calidad de la Educacin Preescolar, Bsica y Media

    Heublyn Castro ValderramaSubdirectora de Referentes y Evaluacin de la Calidad Educativa

    Heublyn Castro ValderramaCoordinadora del proyecto

    Deyanira Alfonso SanabriaOmar Hernndez SalgadoEdwin Alberto PuertoLuz Inlida VergaraEquipo Tcnico

    Edwin Alberto PuertoAutor

    Deyanira Alfonso SanabriaCorreccin de estilo

    Julin Ricardo Hernndez ReyesClaudia Gonzlez MonteroAdriana Carolina MogollnArnold HernndezDiagramacin y diseo

    2011 Ministerio de Educacin Nacional.Todos los derechos reservados.Prohibido la reproduccin total o parcial, el registro o la transmisin por cualquier medio de recuperacin de in-formacin, sin permiso previo del Ministerio de Educacin Nacional.

    Ministerio de Educacin NacionalSerie Nivelemos 2011ISBN libro: 978-958-691-408-6

    Direccin de Calidad de la Educacin Preescolar, Bsica y Media.Subdireccin de Referentes y Evaluacin de la Calidad Educativa. Ministerio de Educacin Nacional, Bogot, Colombia, 2011.

    www.mineducacion.gov.co

  • Presentacin

    La propuesta Nivelmonos busca que los estudiantes que utilicen este material fortalezcan sus procesos de aprendizaje en las reas de Matemticas y Lenguaje, con el fin de apoyar la su-peracin de algunas dificultades que puedan tener, tanto en la comprensin de los conceptos fundamentales del rea, como en los procesos y desempeos esperados para el grado. Esta nivelacin les permitir a los alumnos continuar avanzando en su desarrollo, mejorar su autoes-tima y adaptarse e integrarse de forma ms tranquila con su grupo social escolar.

    La Gua docente es una herramienta de apoyo que brinda estrategias conceptuales y didcti-cas para orientar mejor su actuacin en el aula.

    Nuestro compromiso el de docentes, padres y los entes responsables de la educacin de cali-dad de los estudiantes es reconocer las potencialidades de todos los nios y nias, identificar sus dificultades y necesidades, para ayudarles a superarlas, e integrarlos como parte activa de un mismo grupo de estudiantes, con saberes comunes e igualdad de condiciones.

  • Tabla de contenido

    Pgina

    Gua 1. Avancemos en el estudio de la estructura SDN 10

    Gua 2. Avancemos en el estudio de las relaciones

    entre los nmeros 12

    Gua 3. Conozcamos otras fracciones 14

    Gua 4. Escribamos valores de medidas con decimales 16

    Gua 5. Estudiemos algo ms sobre permetros y reas 18

    Gua 6. Aprendamos algo ms sobre arreglos 20

    Gua 7. Estudiemos cmo vara una magnitud cuando

    vara la otra 22

    Solucionario 24

    Rejilla de valoracin de desempeos 29

    Estrategias para abordar los problemas ms frecuentes

    en el desarrollo del pensamiento matemtico 30

    Nivelemos Matemticas - Grado 44

  • Planeacin de contenidos

    Pensamientos y sistemas

    matemticos Estndares bsicos de competencias en Matemticas Guas Desempeos esperados

    Pensamiento numrico y sistemas numricos

    Pensamiento aleatorio y sistemas de datos

    Uso representaciones principalmente concretas y pictricas para explicar el valor de posicin en el sistema de numeracin decimal.

    Uso representaciones principalmente concretas y pictricas para realizar equivalencias de un nmero en las diferentes unidades del sistema decimal.

    Identi co regularidades y propiedades de los nmeros utilizando diferentes instrumentos de clculo (calculadoras, bacos, bloques multibase, etc.).

    Clasi co y organizo datos de acuerdo a cualidades y atributos y los presento en tablas.

    Gua 1. Conozcamos otra forma de representar los nmeros y sumemosGua 2. Comparemos otras formas de calcular restas

    Compone y descompone nmeros segn unidades de mil, centenas, decenas y unidades.

    Realiza sumas sin reagrupacin y con ella. Hace restas sin desagrupacin y con ella. Representa informacin en tablas, gr cas de barras o pictogramas.

    Pensamiento numrico y sistemas numricosPensamiento variacional y sistemas algebraicos y analticos

    Construyo secuencias numricas y geomtricas utilizando propiedades de los nmeros y de las guras geomtricas.

    Reconozco propiedades de los nmeros (ser par, ser impar, etc.) y relaciones entre ellos (ser mayor que, ser menor que, ser mltiplo de, ser divisible por, etc.) en diferentes contextos.

    Uso diversas estrategias de clculo (especialmente clculo mental) y de estimacin para resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativas.

    Gua 3. Resolvamos problemas que nos exigen repeticin

    Encuentra el patrn de una secuencia o serie numrica. Identi ca la situacin en la que, a partir de la suma reiterada de una cantidad,

    se obtiene el resultado de problemas multiplicativos. Utiliza el conteo por grupos para identi car los elementos de un arreglo

    rectangular. Resuelve situaciones que involucren las repeticiones de cantidades.

    Pensamiento espacial y sistemas geomtricos

    Dibujo y describo cuerpos o guras tridimensionales en distintas posiciones y tamaos.

    Realizo construcciones y diseos utilizando cuerpos y guras geomtricas tridimensionales y dibujos o guras geomtricas bidimensionales.

    Reconozco y valoro simetras en distintos aspectos del arte y el diseo.

    Gua 4. Experimentemos con las formas

    Construye guras cerradas y slidos, a partir de material concreto, Identi ca los ejes de simetra de una gura dada, Clasi ca slidos segn caractersticas comunes de su forma y uso, Utiliza la cuadrcula par realizar y completar guras simtricas. Construye modelos a partir de las simetras de una gura.

    Pensamiento mtrico y sistemas de medidas

    Comparo y ordeno objetos respecto a atributos medibles. Realizo estimaciones de medidas requeridas en la resolucin de problemas

    relativos, particularmente, a la vida social, econmica y de las ciencias. Reconozco el uso de las magnitudes y sus unidades de medida en situaciones

    aditivas y multiplicativas.

    Gua 5. Experimentemos con medidas de longitud

    Utiliza diferentes patrones para medir longitudes. Reconoce el metro y sus submltiplos como unidades convencionales de

    medidas de longitud. Realiza equivalencias entre unidades de medida convencionales de

    longitud. Resuelve problemas que involucran unidades de medida de longitud.

    Pensamiento numrico y sistemas numricosPensamiento aleatorio y sistemas de datos

    Uso representaciones principalmente concretas y pictricas para explicar el valor de posicin en el sistema de numeracin decimal.

    Uso representaciones principalmente concretas y pictricas para realizar equivalencias de un nmero en las diferentes unidades del sistema decimal.

    Uso diversas estrategias de clculo (especialmente clculo mental) y de estimacin para resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativas.

    Gua 6. Hagamos cuentas con nmeros mayores de mil

    Reconoce el valor posicional de las cifras de un nmero. Efecta sumas y restas con reagrupacin y desagrupacin,

    respectivamente. Resuelve problemas aditivos y multiplicativos en diferentes contextos.

    Pensamiento espacial y sistemas geomtricos

    Reconozco y aplico traslaciones y giros sobre una gura. Desarrollo habilidades para relacionar direccin, distancia y posicin en el

    espacio.

    Gua 7. Hagamos giros y tracemos recorridos

    Rota guras que involucren fracciones comunes, segn indicaciones. Traslada guras segn indicaciones dadas. Realiza recorridos a partir de instrucciones de avances y giros.

    Nivelemos Matemticas - Grado 2 Ministerio de Educacin Nacional 1110

    Qu contiene la Gua para el docente

    Planeacin de contenidos

    Estimado docente, en la presente gua usted encontrar un cuadro organizador de desem-peos esperados, de acuerdo con los desarrollos propuestos para el periodo de nivelacin. Cada rea inicia con esta presentacin, de tal forma que le permita planear sus actividades en el aula.

    Pensamientos y sistemas matemticos.

    Estndares que se desarrollan en la competencia matemtica.

    Nmero y nombre de la gua que desarrollan los pensamientos y estndares.

    Desempeos especfi cos que se espera observar durante el desarrollo de cada una de las guas. Estos sern tambin los criterios para valorar los avances y difi cultades en el pensamiento matemtico.

    Ministerio de Educacin Nacional 5

  • Antes de comenzar el desarrollo conceptual

    Los contenidos del libro de los estudiantes se encuentran organizados en bloques temticos (guas), organizados a su vez en cuatro momentos especfi cos (A, B, C, D), con el fi n de faci-litar su desarrollo.

    Antes de comenzar el desarrollo de cada gua en el aula, este libro del docente presenta tres tipos de estrategias que le ayudarn en el desarrollo de los contenidos propuestos.

    - Estrategias de exploracin de saberes previos - Algunos aspectos y sugerencias para tener en cuenta durante el desarrollo de los

    contenidos - Conceptos de ampliacin

    Nivelemos Matemticas - Grado 2 Ministerio de Educacin Nacional 1110

    Gua 1. Conozcamos otra forma de representar los nmeros y sumemos

    Estrategias de exploracin de saberes previos

    La composicin del nmero en el sistema de numeracin decimal es necesario para su escritura y la realizacin de algoritmos de las operaciones; por ello, proponga actividades como las siguientes: Describir el nmero de tapas que hay cuando se organizan en grupos de a diez. Realizar dibujos de agrupaciones y representarlos numricamente. Plantear preguntas sobre cuntas centenas, decenas y unidades tiene una cantidad.

    Los materiales para representar cantidades debe ser manipulado por los estudiantes. Lleve al aula chas de colores, bacos (de cajn y abiertos) y placas, tiras y cuadros, para que los estudiantes representen cantidades de dos y tres cifras.

    Durante el desarrollo de la gua

    El trabajo con diferentes sistemas concretos de base decimal, como las chas, los bacos y las placas, tiras y cuadros, en una misma clase, implica que las actividades dirigidas de-ben ser precedidas por espacios donde los estudiantes se apropien de las caractersticas de cada material y de las reglas de su utilizacin. Antes de iniciar las actividades de la gua, permita que exploren libremente el material y oriente la representacin de nmeros con cada uno de ellos.

    A partir de la representacin de nmeros en los diferentes materiales, propngales a los estudiantes que describan la forma de componer el nmero en cada uno. Concluya con un conversatorio donde se resalten las caractersticas del sistema de numeracin decimal.

    Proponga juegos de compra y venta, donde la forma de pago sea por medio del material; para ello, deben utilizar cantidades de una, dos y luego tres cifras.

    Genere actividades donde los estudiantes planteen diferentes estrategias para realizar las sumas. Pdales que, de forma escrita, describan sus procedimientos. Resalte diferentes estrategias para llegar a conclusiones de validacin de procedimientos.

    Proponga actividades para recolectar datos estadsticos de inters para los estudiantes. Motive su organizacin por medio de diferentes gr cos y tablas, con el n de sacar con-clusiones sobre el contexto trabajado.

    La lectura de informacin presentada con elementos estadsticos permite comprender los resultados de entrevistas, encuestas, tendencias y validez de fenmenos. Genere activida-des donde el estudiante lleve al aula reportes y explique a sus compaeros la forma de analizarlos y las conclusiones que se presentan a partir de ellos.

    Desarrollo de valores. Los espacios de interaccin en los que los estudiantes argumentan una estrategia o comunican la compresin de una tarea, genera dinmicas que permiten la cons-truccin de conocimiento y respeto por las ideas y pensamientos de los compaeros.

    Ampliacin de conceptos bsicos

    Sistema de numeracin decimalEl Sistema de Numeracin Decimal (SND) se caracteriza por:1. Base diez: las agrupaciones simples y compuestas que se realizan son de 10

    elementos. Las cifras para su escritura son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. 2. Unidades de orden superior: cada diez unidades de un orden forman un orden

    superior; ejemplo: 10 unidades conforman una decena o diez decenas una centena.3. Valor posicional: las unidades de orden superior se representan por posiciones or-

    denadas de orden ascendente, de derecha a izquierda.4. Valor relativo: cada cifra tiene un valor relativo, dependiendo de la posicin que

    ocupe.5. El valor del nmero: es la suma de los productos de las cifras por el valor de la

    posicin que ocupe.Tomado de Castro, E. (2001). Didctica de las matemticas en la educacin primaria. Sntesis: Espaa.

    Nivelemos Matemticas - Grado 46

  • Nivelemos Matemticas - Grado 224

    Gua 1. Conozcamos otra forma de representar los nmeros y sumemosMomento A1. 200 + 40 + 5 = 2452. Segn el material de fi chas de colores se obtiene:

    Segunda vieta 2 chas rojas, 4 azules y 6 verdes. 3 chas rojas y 9 verdes.

    3. Gan 370 chas verdes.4. Segn la tabla se tiene:

    Rosa gan 348 chas verdes. Carolina gan 352 chas verdes.Sebastin gan 209 chas verdes. Ismael gan 309 chas verdes. El juego lo gan Carolina. Sebastin gan menos.

    10. Las respuestas de las sumas son: 375 + 287 = 642 453 264 = 189 Tenga en cuenta que los materiales permiten encontrar las mismas respuestas.

    Momento B2. Las respuestas de las sumas son: 807 4013. Las respuestas de las sumas son: 746 882

    Momento C7. Se debe representar $ 450 de Antonio y 250 de Sofa.

    Momento D5. Respuesta de las preguntas sobre la lectura de la tabla: La fruta preferida es el banano. La fruta preferida la escogieron 6 nios. La fruta menos preferida es el mago. La fruta menos escogida la nombraron 2 nios.

    Solucionario

    Gua 2. Comparemos otras formas de calcular restasMomento A3. 58 chas azules se obtienen con 587 verdes. 2 chas rojas se obtienen con 29 azules.

    Momento B4. 538 296 = 242 403 245 = 1585. 736 289 = 447 400 108 = 292 468 179 = 289

    Momento C1. 536 289 = 247 853 268 = 585 402 263 = 139

    Ministerio de Educacin Nacional 29

    5

    Utiliza diferentes patrones para medir longitudes.Reconoce el metro y sus submltiplos como unidades convencionales de medidas de longitud.Realiza equivalencias entre unidades de medida de longitud convencionales.Resuelve problemas que involucran unidades de medida de longitud.

    6

    Reconoce el valor posicional de las cifras de un nmero.Efecta sumas y restas con reagrupacin y desagrupacin, respectivamente.Resuelve problemas aditivos y multiplicativos en diferentes contextos.

    7

    Rota fi guras segn indicaciones que involucren fracciones comunes.

    Traslada fi guras segn indicaciones dadas.

    Realiza recorridos a partir de instrucciones de avances y giros.

    Rejilla de valoracin de desempeosMarque, en la rejilla de cada nio, la valoracin por cada criterio.

    Gua Criterios de valoracin (desempeos) Valoracin

    Superior Alto Bsico Bajo

    1 y 2

    Compone y descompone nmeros segn unidades de mil, centenas, decenas y unidades.Realiza sumas sin reagrupacin y con ella.

    Hace restas sin desagrupacin y con ella.Representa informacin en tablas, grfi cas de barras o pictogramas.

    3

    Encuentra el patrn de una secuencia o serie numrica. Identifi ca situaciones en las que, a partir de la suma reiterada de una cantidad, se obtiene el resultado de problemas multiplicativos.Utiliza el conteo por grupos para conocer los elementos de un arreglo rectangular. Resuelve situaciones que involucren las repeticiones de cantidades.

    4

    Construye fi guras cerradas, adems de slidos, a partir de material concreto.Identifi ca los ejes de simetra de una fi gura dada.Clasifi ca slidos segn caractersticas comunes de su forma y uso. Utiliza cuadrculas para realizar y completar fi guras simtricas.Construye modelos a partir de las simetras de una fi gura.

    Nivelemos Matemticas - Grado 230

    Estrategias para abordar los problemas ms frecuentes en el desarrollo del pensamiento matemtico

    Difi cultades Algunas estrategias

    En los procesos de compresin de los algoritmos de la suma y de la resta, con frecuencia se presentan difi cultades al realizar reagrupaciones o desagrupaciones para solucionar la operacin.

    Al trabajar sumas y restas que necesiten reagrupaciones tenga presente que al estudiante le quede clara la estructura del Sistema de Numeracin Decimal y el conteo de objetos.

    Para sumar dos nmeros puede proponer actividades como las siguientes:

    1. Modelizar, imaginando que la escritura numrica informa que hay tapas organizadas en grupos o bolsitas. Al agrupar las tapas se busca que ellas conformen bolsas del mismo tamao y que, de ser necesario, se empaquen en bolsas que las contengan cuando haya ms de 10 de una misma clase. Este contexto permite evidenciar los procesos de reagrupacin.

    2. El baco, las fi chas de colores y las placas, tiras y cuadros, permiten que se modelen los procesos. Con ellos proponga (para el paso del trabajo numrico): Dividir el tablero en dos. Dibujar en un lado los procesos, paso a paso, que se realizan

    con el material. En el otro lado van realizando la equivalencia de cada paso,

    en forma numrica. Utilice marcadores de varios colores para denotar cuentas parciales o procesos de reagrupacin.

    Para restar dos nmeros puede proponer actividades como las siguientes:

    1. Modelizar, imaginando que la escritura numrica informa que hay billetes de diferentes denominaciones. El proceso consiste en pagar lo que se debe, con billetes de

    la misma denominacin, segn lo informe el segundo nmero (sustraendo).

    Al tener que pagar con una denominacin que no se tiene, se debe descambiar el billete de denominacin inmediatamente superior a 10, por el que se necesita. Este contexto permite evidenciar los procesos de desagrupacin.

    Nivelemos Matemticas - Grado 232

    Refl exiones

    A partir de las difi cultades observadas en los estudiantes har mayor nfasis en:

    Debo observar con mayor atencin los desempeos de los estudiantes al enfrentarse con la actividad matemtica; as, determinar difi cultades en cuanto a:

    Tendr listos los siguientes materiales para posibilitar mayor comprensin de los objetos matemticos:

    Mis observaciones:

    Para terminar el proceso de Nivelacin

    Al fi nal de las guas se presenta: a. Un solucionario de las actividades propuestas en las guas y algunos criterios para

    valorar aquellos que son de respuesta libre. b. La rejilla de evaluacin, donde se registre la valoracin por cada uno de los desempeos. c. Estrategias de mejoramiento ante las difi cultades. Estas las puede tener en cuenta

    para continuarlas aplicando durante el desarrollo de las guas correspondientes al ao escolar que comienzan los nios.

    Re exiones. Este espacio est destinado a escribir comentarios respecto de los avances o difi cultades de los estudiantes.

    Ministerio de Educacin Nacional 7

  • Planeacin de contenidos Matemticas

    Pensamientos y sistemas matemticos Estndares Bsicos de Competencias Gua Desempeos esperados

    Pensamiento numrico y sistemas numricos

    Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analticos

    Justifi co el valor de posicin en el sistema de numeracin. Resuelvo y formulo problemas en situaciones de proporcionalidad directa,

    inversa y producto de medidas. Predigo patrones de variacin en una secuencia numrica, geomtrica o

    grfi ca.

    Gua 1. Avancemos en el conocimiento de la estructura del SDN

    Interpreta el sistema de numeracin decimal y lo usa correctamente en la descomposicin y composicin de cantidades.

    Resuelve problemas de composicin y descomposicin de cantidades.

    Pensamiento numrico y sistemas numricos

    Resuelvo y formulo problemas cuya estrategia de solucin requiera de las relaciones y propiedades de los nmeros naturales y sus operaciones.

    Uso diversas estrategias de clculo y de estimacin para resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativas.

    Justifi co regularidades y propiedades de los nmeros, sus relaciones y operaciones.

    Gua 2. Avancemos en el estudio de las relaciones entre los nmeros

    Encuentra regularidades y propiedades de los nmeros, sus relaciones y operaciones.

    Aplica relaciones y propiedades de los nmeros naturales en la solucin de problemas.

    Pensamiento espacial y sistemas geomtricos

    Interpreto las fracciones en diferentes contextos: situaciones de medicin, relaciones parte-todo, cociente, razones y proporciones.

    Utilizo la notacin decimal para expresar fracciones en diferentes contextos y relaciono estas dos notaciones con la de los porcentajes.

    Diferencio y ordeno, en objetos y eventos, propiedades o atributos que se puedan medir (longitudes, distancias, reas de superfi cies, volmenes de cuerpos slidos, volmenes de lquidos y capacidades de recipientes; pesos y masa de cuerpos slidos; duracin de eventos o procesos; amplitud de ngulos).

    Describo la manera como parecen distribuirse los datos de un conjunto de ellos y la comparo con la manera como se distribuyen en otros conjuntos de datos.

    Represento y relaciono patrones numricos con tablas y reglas verbales. Construyo igualdades y desigualdades numricas como representacin de

    relaciones entre distintos datos. Utilizo diferentes procedimientos de clculo para hallar el rea de la superfi cie

    exterior y el volumen de algunos cuerpos slidos. Describo y argumento relaciones entre el permetro y el rea de fi guras

    diferentes, cuando se fi ja una de estas medidas.

    Gua 3. Conozcamos otras fracciones

    Interpreta las fracciones en diferentes contextos: situaciones de medicin, relaciones de parte-todo y cociente.

    Resuelve problemas con fracciones en situaciones de medicin, relaciones de parte-todo y cociente.

    Pensamiento numrico y sistemas numricos

    Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analticos

    Gua 4. Escribamos valores de medidas con decimales

    Identifi ca las unidades de medida en magnitudes. Realiza conversiones entre unidades de medida con nmeros decimales. Resuelve problemas con unidades de medida y realiza conversiones con

    nmeros decimales.

    Gua 5. Estudiemos algo ms sobre permetros y reas

    Reconoce que en el permetro se involucran medidas de longitud de una fi gura.

    Identifi ca el rea como una medida de superfi cie de una fi gura. Resuelve problemas que involucran medidas de rea y permetro.

    Pensamiento aleatorio y sistemas de datos

    Comparo diferentes representaciones del mismo conjunto de datos. Interpreto informacin presentada en tablas y grfi cas (pictogramas, grfi cas de

    barras, diagramas de lneas, diagramas circulares). Resuelvo y formulo problemas a partir de un conjunto de datos provenientes de

    observaciones, consultas o experimentos.

    Gua 6. Aprendamos algo ms sobre arreglos

    Utiliza diagramas de rbol y tablas de doble entrada para representar la posibilidad de ocurrencia de un evento.

    Resuelve problemas en los que se hagan predicciones acerca de la ocurrencia de un evento, a partir de diagramas de rbol y tablas de doble entrada.

    Pensamiento numrico y sistemas numricos

    Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analticos

    Modelo situaciones de dependencia mediante proporcionalidad directa e inversa.

    Describo e interpreto variaciones representadas en grfi cos. Represento y relaciono patrones numricos con tablas y reglas verbales. Analizo y explico relaciones de dependencia entre cantidades que varan en

    el tiempo con cierta regularidad en situaciones econmicas, sociales y de las ciencias naturales.

    Gua 7. Estudiemos cmo vara una magnitud cuando vara la otra

    Identifi ca el patrn numrico de una secuencia o una serie. Representa grfi camente eventos de variacin.

    Nivelemos Matemticas - Grado 48

  • Pensamientos y sistemas matemticos Estndares Bsicos de Competencias Gua Desempeos esperados

    Pensamiento numrico y sistemas numricos

    Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analticos

    Justifi co el valor de posicin en el sistema de numeracin. Resuelvo y formulo problemas en situaciones de proporcionalidad directa,

    inversa y producto de medidas. Predigo patrones de variacin en una secuencia numrica, geomtrica o

    grfi ca.

    Gua 1. Avancemos en el conocimiento de la estructura del SDN

    Interpreta el sistema de numeracin decimal y lo usa correctamente en la descomposicin y composicin de cantidades.

    Resuelve problemas de composicin y descomposicin de cantidades.

    Pensamiento numrico y sistemas numricos

    Resuelvo y formulo problemas cuya estrategia de solucin requiera de las relaciones y propiedades de los nmeros naturales y sus operaciones.

    Uso diversas estrategias de clculo y de estimacin para resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativas.

    Justifi co regularidades y propiedades de los nmeros, sus relaciones y operaciones.

    Gua 2. Avancemos en el estudio de las relaciones entre los nmeros

    Encuentra regularidades y propiedades de los nmeros, sus relaciones y operaciones.

    Aplica relaciones y propiedades de los nmeros naturales en la solucin de problemas.

    Pensamiento espacial y sistemas geomtricos

    Interpreto las fracciones en diferentes contextos: situaciones de medicin, relaciones parte-todo, cociente, razones y proporciones.

    Utilizo la notacin decimal para expresar fracciones en diferentes contextos y relaciono estas dos notaciones con la de los porcentajes.

    Diferencio y ordeno, en objetos y eventos, propiedades o atributos que se puedan medir (longitudes, distancias, reas de superfi cies, volmenes de cuerpos slidos, volmenes de lquidos y capacidades de recipientes; pesos y masa de cuerpos slidos; duracin de eventos o procesos; amplitud de ngulos).

    Describo la manera como parecen distribuirse los datos de un conjunto de ellos y la comparo con la manera como se distribuyen en otros conjuntos de datos.

    Represento y relaciono patrones numricos con tablas y reglas verbales. Construyo igualdades y desigualdades numricas como representacin de

    relaciones entre distintos datos. Utilizo diferentes procedimientos de clculo para hallar el rea de la superfi cie

    exterior y el volumen de algunos cuerpos slidos. Describo y argumento relaciones entre el permetro y el rea de fi guras

    diferentes, cuando se fi ja una de estas medidas.

    Gua 3. Conozcamos otras fracciones

    Interpreta las fracciones en diferentes contextos: situaciones de medicin, relaciones de parte-todo y cociente.

    Resuelve problemas con fracciones en situaciones de medicin, relaciones de parte-todo y cociente.

    Pensamiento numrico y sistemas numricos

    Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analticos

    Gua 4. Escribamos valores de medidas con decimales

    Identifi ca las unidades de medida en magnitudes. Realiza conversiones entre unidades de medida con nmeros decimales. Resuelve problemas con unidades de medida y realiza conversiones con

    nmeros decimales.

    Gua 5. Estudiemos algo ms sobre permetros y reas

    Reconoce que en el permetro se involucran medidas de longitud de una fi gura.

    Identifi ca el rea como una medida de superfi cie de una fi gura. Resuelve problemas que involucran medidas de rea y permetro.

    Pensamiento aleatorio y sistemas de datos

    Comparo diferentes representaciones del mismo conjunto de datos. Interpreto informacin presentada en tablas y grfi cas (pictogramas, grfi cas de

    barras, diagramas de lneas, diagramas circulares). Resuelvo y formulo problemas a partir de un conjunto de datos provenientes de

    observaciones, consultas o experimentos.

    Gua 6. Aprendamos algo ms sobre arreglos

    Utiliza diagramas de rbol y tablas de doble entrada para representar la posibilidad de ocurrencia de un evento.

    Resuelve problemas en los que se hagan predicciones acerca de la ocurrencia de un evento, a partir de diagramas de rbol y tablas de doble entrada.

    Pensamiento numrico y sistemas numricos

    Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analticos

    Modelo situaciones de dependencia mediante proporcionalidad directa e inversa.

    Describo e interpreto variaciones representadas en grfi cos. Represento y relaciono patrones numricos con tablas y reglas verbales. Analizo y explico relaciones de dependencia entre cantidades que varan en

    el tiempo con cierta regularidad en situaciones econmicas, sociales y de las ciencias naturales.

    Gua 7. Estudiemos cmo vara una magnitud cuando vara la otra

    Identifi ca el patrn numrico de una secuencia o una serie. Representa grfi camente eventos de variacin.

    Ministerio de Educacin Nacional 9

  • Gua 1. Avancemos en el conocimiento de la estructura del SDN

    Estrategias de exploracin de saberes previos

    Elabore tarjetas con nmeros dgitos; proponga en el tablero un nmero cualquiera de tres cifras, por ejemplo, 538. - En un conversatorio interrogue a los nios sobre lo que representa la tarjeta que tiene

    el nmero 3. Dirija el debate hacia la consideracin de que el nmero 3, en la cifra dada, equivale a 30.

    - Proponga a los nios la elaboracin de tarjetas con los nmeros dgitos para que rea-licen la misma actividad en parejas.

    Para trabajar el tema del orden en los nmeros naturales, proponga un concurso en el que se adivine el nmero correcto; limite las posibilidades a cuatro y cinco dgitos, selecciona-dos previamente y escritos en una hoja aparte, para comprobar la respuesta. Con cada intervencin de los estudiantes declare si el nmero es mayor o menor, hasta dar con la respuesta. Puede variar la situacin, expresando que el nmero de las decenas es mayor que el nmero de las centenas o estableciendo un rango numrico, un nmero entre 3450 y 3535.

    Durante el desarrollo de la gua

    Las operaciones de adicin y sustraccin de nmeros naturales se han trabajado en cur-sos anteriores. Para ganar habilidad en los clculos, proponga un concurso en el que se planteen estas operaciones; el estudiante que resuelva una, no podr participar en las siguientes. - Para variar la actividad cambie el trmino incgnita: a + b = ? a + ? = c ? + b = c - Realice la misma actividad con la operacin de sustraccin.

    Plantee situaciones en las que se traten los distintos signifi cados de las operaciones de adicin (agregar, agrupar y comparar) y sustraccin (quitar, disminuir). Trabaje situaciones cotidianas como las que tienen lugar en una tienda.

    Organice un juego en el que se trabaje la composicin y descomposicin; puede hacerlo con fi chas de casino o con la equivalencia entre tarjetas de colores; por ejemplo, el azul equivale a dos amarillos, el amarillo a dos rojos, el rojo a dos verdes.

    Nivelemos Matemticas - Grado 410

  • - Introduzca el juego preguntando por las equivalencias de los dems colores con el verde (que tiene equivalencias subordinadas con otro color). Ejemplos:

    - El rojo, a cuntos verdes equivale? - Cuntas tarjetas azules se pueden conformar si se tienen 20 verdes? - Posteriormente, presente unas tarjetas para determinar la cantidad de verdes que repre-

    sentan; por ejemplo, una azul, una amarilla y una roja. Recuerde que el trabajo con ba-ses implica que no se iguale o exceda el nmero de elementos que determina la base.

    - Pruebe el juego con otras bases; por ejemplo, con la base seis en la que seis verdes equivalen a un rojo, seis rojos equivalen a un amarillo, etc. Recuerde que el trabajo con bases se desarrolla intuitivamente con agrupamientos, de manera que puede guiar a los nios en discusiones sobre la mejor estrategia para resolver los problemas de bases distintas a la base decimal.

    Desarrollo de valores. Recuerde que las actividades que involucran concursos generan din-micas que permiten el tratamiento de valores como el respeto y la comprensin de los roles que van surgiendo en el desarrollo de las actividades.

    Ampliacin de conceptos bsicos

    Sistema Decimal de NmeracinEl Sistema Decimal de Nmeracin es posicional, de manera que el valor de los dgitos depende de la posicin en donde se encuentran. En la estructura polinomial del sistema el nmero 378 = 3 x 10 + 7 x 10 + 8 x 10 = 300 + 70 + 8. Para convertir un nmero en una base distinta a la deci-mal, se debe tener en cuenta esta estructura; por ejem-plo, el nmero 12023, es 1 x 3 + 2 x 3 + 0 x 3 + 2 x 3 = 27 + 18 + 0 + 2 = 47. Si se quiere convertir un nmero en base diez a un nme-ro en otra base, el nmero se divide por la base tantas veces como sea necesario, hasta que el residuo sea un nmero menor a la base; posteriormente, se anotan los numerales del ltimo cociente, y en orden inverso, los sucesivos residuos, como lo muestra la grfi ca para el caso del nmero 67.

    65

    21

    7 3

    3

    3

    2

    65 2102 3

    2

    0

    1=

    Ministerio de Educacin Nacional 11

  • Gua 2. Avancemos en el estudio de las relaciones entre los nmeros

    Estrategias de exploracin de saberes previos

    Proponga a los nios situaciones en las que se plantee la divisin como la reparticin en partes equitativas; por ejemplo, la distribucin de dinero, la reparticin de dulces, la repar-ticin de fi chas en un juego, la reparticin de juguetes.

    Trabaje situaciones en las que la divisin no sea exacta; por ejemplo, proponga dividir un nmero sucesivamente por 2, y evidencie en el proceso que se pueden obtener los re-siduos 0 y 1. Realice esto mismo para las divisiones sucesivas entre 3, 4 y 5 mirando sus respectivos residuos.

    Durante el desarrollo de la gua

    Antes de comenzar a desarrollar la actividad propuesta en el momento A, trabaje las nociones de mltiplo y divisor. Proponga a los estudiantes que escriban los diez primeros mltiplos de varios nmeros; puede organizarlos por grupos o por fi las para que cada uno trabaje con una serie distinta.

    - De manera similar, aborde los divisores de una serie de nmeros; posteriormente, pue-de intercambiar los resultados entre los grupos, para verifi car las producciones.

    - Socialice dos de los resultados de cada grupo. Es importante que se evidencie el ca-rcter infi nito de los mltiplos de un nmero y el fi nito de los divisores.

    Dicte una serie de nmeros para que los estudiantes hagan inferencias sobre cundo un nmero es divisible por 2, 3 y 5. Tenga en cuenta que los estudiantes deben analizar las cifras de los nmeros para determinar estos criterios de divisibilidad.

    Organice a los nios por parejas y pdales que coloquen sobre el escritorio 20 objetos que ha solicitado previamente (pueden ser fi chas o tapas).

    - Pdales que hagan arreglos rectangulares con los objetos; por ejemplo, con seis objetos se generarn arreglos de 6 por 1, 2 por 3 y viceversa; estos nmeros se identifi can con los divisores del nmero seis.

    - Realice esto mismo con arreglos rectangulares de puntos.

    Despus de desarrollar las respectivas actividades de MCM y MCD, analice con los estu-diantes el signifi cado de cada trmino.

    Nivelemos Matemticas - Grado 412

  • Observacin de valores. Repartir equitativamente no siempre se puede presentar entre el nmero que se quiere, de manera que puede incurrir en favorecer o no a algunas personas. Analice con sus estudiantes las nociones de equidad y justicia en casos de particin o divisin.

    Ampliacin de conceptos bsicos

    Multiplicacin y divisin de nmeros naturalesLa multiplicacin y la divisin tienen un carcter ms complejo que la adicin y la sustraccin, por lo que es necesario que los estudiantes tengan un dominio previo del sistema de numeracin y su simbolizacin. Teniendo presente lo anterior, multiplicar, en su idea ms intuitiva, es reiterar una cantidad. Los trminos del producto son: mul-tiplicando (la cantidad que se repite), multiplicador (el factor que determina las veces que se repite la cantidad inicial). De la misma forma, dividir es repartir una cantidad en partes iguales y los trminos de la divisin son: el dividendo (cantidad a repartir) y divisor (nmero de partes). La construccin de tablas de multiplicar de doble entrada es propicia para la adqui-sicin de habilidades de clculo y el reconocimiento de caractersticas de la mul-tiplicacin. Se proponen tablas simples y se van complejizando a arreglos ms grandes. Las tablas permiten el reconocimiento del cociente entero de dos nmeros cuando uno de ellos divide al otro; de la misma manera, se pueden buscar los divisores de un nmero, identifi cando el nmero las veces que se encuentre en la tabla y los nmeros asociados vertical y horizontalemente a l.

    X 1 2 3 4 51 1 2 3 4 52 2 4 6 8 103 3 6 9 12 154 4 8 12 16 205 5 10 15 20 25

    Ministerio de Educacin Nacional 13

  • Gua 3. Conozcamos otras fracciones

    Estrategias de exploracin de saberes previos

    Verifi que las ideas previas que los estudiantes tienen respecto a la fraccin; para ello, pida a dos nios que representen dos fracciones, una grfi camente en un cuadrado, la otra en representacin numrica. A partir de lo realizado por los estudiantes, clarifi que que el numerador determina el nmero de partes en que se divide la unidad y el denominador el nmero de partes que se toman.

    La fraccin como parte-todo tiene una importancia signifi cativa en la construccin de los nmeros racionales y sus operaciones. Por esta razn, proponga actividades en las que los estudiantes trabajen la fraccin como parte-todo; por ejemplo, recortar una fotografa en cuatro partes iguales y determinar a qu equivalen dos de ellas; igualmente, puede mostrar partes de algn objeto o fi gura para que los nios digan cul es el todo.

    Durante el desarrollo de la gua

    Construya con los nios un cuadrado de diez centmetros y cuadrados de dos centrmetros de distintos colores. Pdales que recubran el cuadrado grande con los pequeos, deter-minando, en cada caso, las fracciones asociadas a los cuadrados de cowwwwlores en relacin con el cuadrado grande.

    Trabaje las distintas representaciones de una fraccin, proponiendo juegos de mesa; por ejemplo, el domin fraccionario en el que se tengan las representaciones , un medio y la representacin en un cuadrado de un medio, etc. Bajo este mismo principio, trabaje el Bingo fraccionario o la lotera.

    Propicie un dilogo en el que, dado un par de fracciones por ejemplo 1/2 y 3/4 , se dis-cuta sobre cul es mayor y por qu. Use la representacin grfi ca para evidenciar estas propiedades.

    Introduzca el modelo lineal de la recta para representar fracciones. Para ello, dibuje en el tablero lneas de igual magnitud, divididas en partes distintas, y ubicando fracciones incorrectas en cada una de ellas. Los estudiantes deben encontrar las fracciones correctas.

    Pida a los estudiantes que recorten seis tiras de cartulina de 10 X 2 cm; preferiblemente cada tira de un color distinto. Cinco de las seis tiras se recortan en doce, seis, cuatro, tres y dos partes respectivamente. Las tiras representarn bloques, con los cuales se construirn

    Nivelemos Matemticas - Grado 414

  • paredes rectangulares de distintas medidas. Trabaje fracciones equivalentes a partir de las diversas construcciones de los estudiantes (desde las que tengan como base la unidad, hasta paredes de otras bases).

    Observacin de valores. A partir del concepto de la fraccin como parte-todo, re exione con sus estudiantes acerca de cmo reconocer la pertenencia a un grupo o a un todo implica que se compartan aspectos comunes. De esta forma, nos podemos relacionar y hacer nuestra vida ms interesante y divertida.

    Ampliacin de conceptos bsicos

    Interpretaciones de la fraccinPara llegar a comprender y hacer ms signifi cativa la nocin de fraccin y todas las ideas relacionadas a este concepto, se pueden trabajar sus diversas interpretaciones: la fraccin como relacin de parte-todo (expresa un valor con relacin a un todo que puede ser continuo o discreto), la fraccin como cociente (indica una divisin o repar-ticin), la fraccin como razn (comparacin entre dos magnitudes o probabilidad) y la fraccin como operador (la fraccin acta como un factor y opera sobre un nmero, una magnitud o un conjunto discreto).

    Interpretacin Ejemplo

    Parte-todo (Continuo)Cules son los de una pizza? Tres partes de un todo que es la pizza.

    Parte-todo (Discreto)Camilo regalo cuatro de las doce canicas que tena. Qu parte de las canicas regal Camilo? De una coleccin discreta se toma una parte del todo.

    CocienteCuntas manzanas, de un paquete de 20, les corresponden a cuatro nios? Se reparten en cantidades iguales.

    RaznCuatro novenos de los estudiantes de una escuela son mujeres. Comparacin entre un conjunto y un subconjunto.

    OperadorCunto son los de 60 manzanas? La fraccin opera con el nmero que representa la cantidad de manzanas, as 60 se divide en cuatro y se multiplica por tres.

    Ministerio de Educacin Nacional 15

  • Gua 4. Escribamos valores de medidas con decimales

    Estrategias de exploracin de saberes previos

    Proponga actividades en las que se indage por la forma como se construyen los nmeros en el Sistema Decimal de Numeracin; por ejemplo, trabaje con fi chas de colores, para que, a partir de ellas, se establezcan equivalencias segn la base 10: 10 amarillas una roja, 10 rojas una azul. Con estas fi chas, que descompongan y compongan cantidades; que cambien cantidades entre fi chas (cambiar 3 fi chas azules a amarillas).

    Pida a los estudiantes que dibujen cuadrculas de diez por diez y que coloreen fracciones como 23/100, 3/10, 55 /100. Trabaje fracciones equivalentes como 3/10 y 30 /100.

    La medicin es una de las tareas ms usadas de la matemtica. Esta se puede trabajar de

    la manera ms intuitiva cuando se comparan magnitudes directamente, por ejemplo, cuan-do se comparan objetos. Realice una actividad en la que se comparen las estaturas de los estudiantes, quin es ms alto y quin ms bajo, la altura de la nia ms alta comparada con la altura del nio ms alto que ella, la nia ms alta con el nio ms bajo que ella.

    Durante el desarrollo de la gua

    Como introduccin al tema de medidas con decimales y la conversin entre estas, trabaje magnitudes como el metro y el centmetro. Pida a los nios dos tiras de lana o pita de un metro cada una; con estas, los nios medirn distintos objetos, grandes y pequeos, de manera que se vea la necesidad de otra unidad de medida para los objetos ms peque-os; divida una de las tiras en diez partes para medir los objetos pequeos. Trabaje la conversin entre estas unidades de medida; incluya los centmetros a partir del uso de las reglas escolares.

    Desarrollar esta gua implica el repaso de distintas magnitudes, como longitud, rea, per-metro, masa, tiempo y volumen. Para recordarlas, realice un conversatorio sobre las magni-tudes que conocen. Oriente la indagacin acerca de qu miden estas, y solicite ejemplos en los que se vean aplicadas (por ejemplo, alturas de edifi cios, distancias entre regiones, capacidades de recipientes), etc.

    Proponga a los nios la identifi cacin de nmeros decimales en peridicos, en la informa-cin nutricional de un comestible, en una bebida u otros objetos; de esta forma, observa-rn sus usos en contextos cotidianos. - Analicen, en un conversatorio, la importancia de usar los nmeros decimales para

    Nivelemos Matemticas - Grado 416

  • determinar magnitudes con ms precisin; hable de situaciones comunes, como la medida del peso de una joya, cuyo valor implica que se tomen medidas ms exactas; el caso de competencias automovilsticas, en las que las diferencias de tiempos entre autos es tan mnima que se necesita la precisin para determinar las posiciones en las que partirn en la carrera, entre otras.

    Presente unidades como las dcimas, centsimas y milsimas; use fi chas de colores o tarjetas, a partir de las cuales se haga descomposicin y composicin de unidades, evi-denciando en todo momento que las unidades se dividen en dcimas, las dcimas en centcimas y las centsimas en milsimas. - Trabaje con agrupaciones de 10 y 20 fi chas para mostrar la igualdad entre nmeros

    como 4,20 y 4,2; recurdeles que 20 centsimas equivalen a 2 dcimas. Asocie en este proceso los nmeros decimales con los nmeros naturales, aclarando y mostrando en todo momento el uso de la coma y su ubicacin.

    Trabaje con los estudiantes las operaciones con los decimales asociadas a las operaciones con los nmeros naturales. Haga nfasis en el uso de la coma en cada una de ellas.

    Observacin de valores. Plantee un dilogo sobre los valores de la sana competencia y de-batan sobre situaciones en las que un competidor gana haciendo trampa.

    Ampliacin de conceptos bsicos

    Operaciones con nmeros decimalesLa adicin y sustraccin de nmeros decimales comprenden el mismo proceso que sus correspondientes en los nmeros naturales. No obstante, es necesario que se tenga en cuenta la posicin de la coma; por esta razn, al ubicar los nmeros se deben alinear por la coma y se mantiene la posicin de esta bajo la misma columna en el resultado.La multiplicacin de decimales se realiza como en los naturales. En el resultado fi nal, la parte decimal es igual a la cantidad de decimales de los factores.La divisin se realiza de manera similar a su correspondiente en los naturales; sin embargo, cuando se llega a dividir por los decimales del divisor se escribe coma en el cociente.

    Ministerio de Educacin Nacional 17

  • Gua 5. Estudiemos algo ms sobre permetros y reas

    Estrategias de exploracin de saberes previos

    Invite a los estudiantes a realizar mediciones utilizando un instrumento de medida cotidia-no como el metro de costura o de construccin. Los nios deben estimar las medidas de distintos objetos del saln, como pupitres, tablero, ventanas; tambin puede plantear una actividad fuera del aula en la que se realicen mediciones de objetos del entorno. Socialice y verifi que los resultados, comparando las medidas tomadas por varios estudiantes a un mismo objeto.

    Proponga actividades en las que se clasifi quen, ordenen y compongan objetos segn longitud. Ejemplos: - Utilizando tiras de cuerda de un metro y otras de diez centmetros pdales a los nios

    que midan a sus compaeros. - Luego, que consignen las medidas en una tabla y, a partir de ellas, determinen quin

    es el ms alto, quin el ms bajo, cmo organizaran a los nios del saln en dos, tres y cuatro grupos con estaturas equilibradas y cmo organizaran parejas con estaturas similares.

    Para trabajar superfi ce, invite a los estudiantes a explorar slidos, especfi camente sus caras planas; en plenaria, socialice las caractersticas de los objetos explorados, para identifi car aspectos y caractersticas comunes de las superfi cies. Tenga en cuenta que los estudiantes pueden referirse arbitrariamente a los slidos con los nombres de las fi guras planas; precise cada vez que sea necesario, que estos son de naturaleza distinta y corrija su forma de nominacin.

    Durante el desarrollo de la gua

    Construya material concreto que le permita trabajar los conceptos de permetro y rea, o genere una actividad en la que los nios construyan dicho material. El pentomin es un material que, por su aplicabilidad en la construccin de diferentes fi guras, puede usarse signifi cativamente en la enseanza del permetro y el rea. Utilizando las fi chas del pen-tomin, solicteles que compongan fi guras con igual rea y distinto permetro, fi guras con la misma rea y distinta forma; y fi guras con el mismo permetro. Tenga presente que las unidades de medida que permite este juego son: el lado del cuadrado para longitud y los cuadrados como unidad de medida de rea.

    Nivelemos Matemticas - Grado 418

  • Solicite a los estudiantes que construyan polgonos de cuatro, cinco y seis lados que tengan el mismo permetro. Organice una plenaria, en la que socialicen las distintas estrategias que emplearon para la construccin.

    Pida a los estudiantes que recorten cuadrados (de un mismo lado de longitud) para cons-truir secuencias triangulares (nmeros triangulares): 1, 3, 6, etc., teniendo en cuenta que se agrega un cuadrado ms, cada vez a la base. - Solicteles que midan el permetro y el rea resultante en cada construccin y que en-

    cuentren regularidades en la secuencia para cada una de ellas; por ejemplo, cmo vara el rea de las construcciones y cmo vara el permetro, dado que hay lados que, al estar conectados con otros, dejan de valer para la medida del permetro.

    - Construya una tabla con los valores, para ayudar a la identifi cacin de regularidades.

    Invite a los estudiantes a construir slidos, como cubos o prismas rectangulares, y que ex-presen las reas de las superfi cies. - Despus de construidos los modelos, realice una actividad en donde se comparen las

    construcciones para determinar si son similares.

    Observacin de valores. En las actividades de medicin de alturas de estudiantes, haga n-fasis sobre el respeto por las diferencias y el carcter discriminatorio de las burlas.

    Ampliacin de conceptos bsicos

    Deduccin de reas de tringulos y cuadrilterosPara trabajar el rea de tringulos y cuadrilteros es importante conocer las frmulas y las construcciones de las mismas. Al deducir el rea de un triangulo se debe tener en cuenta que dos tringulos congruentes, al unirse, forman un paralelogramo. Por lo tanto, el rea del tringulo se determina por el rea del paralelogramo, dado que sera la mitad de su rea. El rea del cuadrado o el rectngulo, como clases de paralelogramos, se pueden obtener por conteo, si se trabaja en una cuadrcula, o midiendo sus dimensiones. Con base en lo anterior, se tiene que, para obtener el valor del rea de un tringulo se divide el rea de un paralelogramo en dos. De otro lado, el rea de un trapecio se puede calcular descomponindolo en tringulos y cuadrilteros; as, primero se trazan los dos tringulos y el rectngulo que forman el trapecio, despus se calcula el rea de la fi gura y, por ltimo, se suman las reas.

    Ministerio de Educacin Nacional 19

  • Gua 6. Aprendamos algo ms sobre arreglos

    Estrategias de exploracin de saberes previos

    Elabore con los estudiantes un diagrama de rbol donde se observen las clasifi caciones de cuadrilteros. - Del ttulo cuadriltero se desprendern echas para distinguir paralelogramos y

    trapecios. - De los paralelogramos salen los rectngulos y los rombos. - De la interseccin entre los dos se originan los cuadrados.

    Motive a sus estudiantes para proponer otra clase de diagramas con otro tipo de clasifi -caciones.

    Invtelos a mencionar distintos eventos, como un eclipse, un da lluvioso, el da y la noche. Analicen la posibilidad de ocurrencia, comenzando por los eventos ms cotidianos hasta los eventos en los que tenga que ofrecer alguna orientacin, como el paso del cometa Ha-lley que es cada 75 aos o una tormenta elctrica, fenmenos que solo se pueden predecir semanas antes de presentarse y con instrumentos y aparatos complejos.

    Durante el desarrollo de la gua

    Presente a los estudiantes una situacin en la que deban combinar prendas, camisetas, pantalones y zapatos. Interrguelos sobre las posibles combinaciones que se pueden crear e invtelos a generar estrategias para consignar la informacin obtenida. Proponga tam-bin la combinacin de alimentos para organizar los refrigerios de una semana.

    Sugiera la realizacin de arreglos que se puedan expresar como diagramas de rbol; por ejemplo, crear la bandera de un nuevo pas (el pas de las maravillas); el contexto puede variar desde que se conserven las condiciones del problema. - Para esta actividad, recorte tiras rectangulares de distintos colores, como amarillo, azul

    y rojo. - Para iniciar la actividad, sugiera a los nios que respondan la pregunta: De cuntas

    formas se pueden distribuir los colores amarillo, azul y rojo para crear la bandera del pas de las maravillas?

    - Si quiere diversifi car la situacin, determine colores distintos por grupos o fi las. Recuer-de insinuar el uso de diagramas o tablas para organizar la informacin.

    - Esta actividad se puede complejizar proponiendo el empleo de escudos, como una estrella o un sol.

    Nivelemos Matemticas - Grado 420

  • Proponga a los estudiantes que organicen un campeonato del deporte que prefi eran. Esta organizacin deber comprender un esquema en donde se organicen los equipos (pueden ser 8) y los partidos, segn un cuadro clasifi catorio. Por ejemplo, en una primera etapa del campeonato juegan todos contra todos y clasifi carn seis equipos; en la siguiente etapa (fi nales) avanza el equipo victorioso hasta que haya un ganador. Socialicen las distintas propuestas y motive a los estudiantes a escoger una.

    Analice con los estudiantes las posibilidades que se pueden tener en juegos de feria o de azar, por ejemplo, el juego de piedra, papel o tijera, juegos de cara y sello o el juego de la ruleta.

    Observacin de valores. Proponga a los estudiantes un debate sobre las implicaciones ne-gativas de los juegos de azar, comparados con los deportes, en los que se pueden generar disciplina, salud fsica o la sana recreacin.

    Ampliacin de conceptos bsicos

    Probabilidad: indica la posibilidad de que ocurra un evento particular. Esta posibilidad es la relacin que existe entre la cantidad de veces que sucede el caso particular y el nmero total de casos posibles. Diagrama de rbol: es la representacin grfi ca de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno tiene un nmero fi nito de maneras de ser llevado a cabo. Este diagrama se constituye en una representacin grfi ca que muestra los resultados posi-bles de una serie de experimentos y sus respectivas probabilidades. La importancia de estos diagramas es que muestran el desglose progresivo de los factores o medios que pueden contribuir a un efecto u objetivo determinado.Tabla de doble entrada: es un cuadro o matriz de valores bidimensional que categori-za sus fi las y columnas; cada elemento de la matriz es la interseccin de una fi la con una columna.Para evaluar un evento se pueden considerar las siguientes recomendaciones: primero, identifi car los datos del evento; segundo, construir una representacin adecuada del evento (diagrama de rbol o tabla de doble entrada); por ltimo, analizar el evento e identifi car la probabilidad del mismo.

    Ministerio de Educacin Nacional 21

  • Gua 7. Estudiemos cmo vara una magnitud cuando vara la otra

    Estrategias de exploracin de saberes previos

    Escriba en el tablero algunas secuencias numricas para que los nios identifi quen el patrn de cambio en cada una de ellas. Comience con secuencias simples como la de los nmeros pares, los mltiplos de 10 y otras donde el patrn de cambio sea un nmero especfi co como el 7 (puede comenzar las secuencias desde nmeros arbitrarios). - Posteriormente, construya con los nios secuencias de nmeros fi gurados como triangu-

    lares y cuadrados. - Interrguelos sobre cuntos puntos tendra el nmero siguiente y cuntos el dcimo. - Pdales que hallen el patrn de cambio para cada secuencia de nmeros fi gurados.

    Dibuje un plano cartesiano de 10 x 10 en el tablero. Comience la actividad con cinco puntos, ubicados arbitrariamente en el plano, y pida a los nios que enuncien las coor-denadas que corresponden a cada punto. Posteriormente, propngales que dibujen un plano en el cuaderno y representen un tringulo, un cuadrado y un trapecio, enunciando las respectivas coordenadas.

    Durante el desarrollo de la gua

    Aproveche el tema de la variacin de magnitudes para hablar de situaciones cotidianas en las que una magnitud afecta el cambio de la otra. - Contemple situaciones como el consumo de gasolina por kilmetro, la distancia recorri-

    da cuando cambia la velocidad de una persona (caminar, trotar, correr), el tiempo de coccin de un alimento, la distancia recorrida por un baln grande y uno pequeo, la altura de una persona segn su edad.

    - Proponga que los estudiantes den otros ejemplos y analice con ellos si son acertivos. Proponga actividades que se puedan trabajar durante el transcurso de la jornada escolar,

    o la semana, en las que se relacionen los temas que se van a tratar en la gua. Por ejemplo, que midan la sombra de un objeto o una estructura durante el transcurso del da y anoten la hora exacta y la medida de la sombra. - Promueva el anlisis de la informacin consignada, haciendo preguntas como en qu

    tiempos tomaron las medidas y por qu los escogieron, cmo se interpreta el cambio de la maana a la tarde y qu consideraran si al da siguiente vuelven a tomar las medidas a las mismas horas.

    Nivelemos Matemticas - Grado 422

  • Lleve al aula grfi cos de barras, recortados de peridicos o revistas. Reprtalos entre los nios e invtelos a crear, a partir de ellos, una situacin de variacin de magnitudes. Socialice las propuestas invitando a los nios a describir los grfi cos y a argumentar sus propuestas. Invite a los dems a opinar sobre las situaciones expuestas.

    Presente situaciones en donde se anlice el permetro de una fi gura cuando aumentan sus dimensiones; proponga fi guras como tringulos y cuadrados.

    Observacin de valores. En las actividades que impliquen trabajo en grupo hable a sus estu-diantes sobre la importancia del trabajo colaborativo, y sobre cmo los aportes de cada uno de los miembros del grupo aportan signifi cativamente al desarrollo de las actividades.

    Ampliacin de conceptos bsicos

    La magnitud: es una cualidad que se puede cuantifi car. Las magnitudes ms comunes son el tiempo, el peso, la temperatura, el dinero, etc. Cuando dos magnitudes estn correlacionadas, la variacin de una produce un cambio en la otra. Cuando dos magnitudes estn directamente correlacionadas, al aumentar o disminuir una, la otra tambin aumenta o disminuye. La variacin: trae consigo el concepto de cambio. Este se expresa cualitativamente cuando se descibe su naturaleza, y cuantitativamente cuando se asigna un valor num-rico a las caractersticas que varan en cada momento. El criterio o regla de cambio se denomina patrn de cambio. El cambio: se puede representar con grfi cas de puntos si se habla de fenmenos discretos, y con lneas si el fenmeno es continuo. La representacin grfi ca de una situacin de cambio muestra el desarrollo del fenmeno y sirve para interpretarla y tomar decisiones.

    Ministerio de Educacin Nacional 23

  • SolucionarioGua 1. Avancemos en el coocimiento de la estructura del SDN

    Momento A2. Las respuestas son:

    - 5 billetes de $20.000; 37 billetes de $10.000, 45 billetes de $5.000

    4. Las respuestas son: - 376.524 - 115.000 - 19.150 - 100 - 5

    5. Las respuestas son: - 3.746 y 3.748 - 99.998 y 100.000 - 499.999 y 500.001

    6. Faltan los nmeros: - 5, 5; 3, 4, 6; 6, 7, 6

    7. Las respuestas son: - Se obtienen $55.200 con cinco billetes de $10.000, cinco billetes de $5.000 y dos

    monedas de $100. - A cada persona le corresponder $9.200, nueve billetes de $10.000 y dos monedas de

    $100.

    Momento B2. Empaques en base dos:

    - 4 - 8 - 4

    4. - Tarjetas base 3: 1 tarjeta morada, 0 tarjetas rojas, 2 tarjetas azules, 1 tarjeta suelta - Tarjetas base 4: 2 tarjetas moradas, 1 tarjeta roja, 3 tarjetas azules, 1 tarjeta suelta

    5. La totalidad de tarjetas que se indican en cada caso son: - 182 tarjetas sueltas; 11 tarjetas sueltas; 47 tarjetas sueltas

    Momento C2. Segn cada situacin:

    - 48 botones en una caja de madera; 3 cajas de madera con 190 botones.

    Nivelemos Matemticas - Grado 424

  • Gua 1. Avancemos en el coocimiento de la estructura del SDNMomento D2. Segn la ilustracin, haciendo los clculos se obtiene:

    - En 3 bolsas hay 15 jabones - En total hay 25 jabones - Se necesitan 20 bolsas para llenar 4 estuches - En una caja hay 25 bolsas - Para llenar una caja se necesitan 125 jabones

    4. Las respuestas son: - 2.034: 16, 1, 1, 4 - 341: 2, 3, 3,1 - 1.444: 1, 2, 3, 4 - 1.100: 8, 4, 0, 0

    Gua 2. Avancemos en el estudio de relaciones entre nmerosMomento A3. MCM entre los nmeros dados para cada caso es:

    - Mltiplos comunes entre 5 y 8 (40); MCM = 40 - Mltiplos comunes entre 8 y 12 (24, 48, 72, 96, 120); MCM = 24 - Mltiplos comunes entre 3, 4 y 5 (no tienen mltiplos comunes para sus 15 primeros mltiplos).

    4. Segn el momento: - El MCM entre 2, 3 y 5 es 30 - El MCM entre 2 y 5 es 10 - El MCM entre 2 y 4 es 4

    Momento C1. Nmeros primos y compuestos:

    - Los nmeros primos menores de 50 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 31, 37, 41, 43, 47

    - Los nmeros compuestos menores que 50 son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48

    2. No es primo porque no tiene dos divisiones diferentes.

    Momento D1. Solucin de problemas:

    - S, hallando el MCM entre 30 y 25, de tal manera que sea menor que 200, que es la medida de 2 metros en centmetros. El MCM entre 30 y 25 es 150, que es el ancho del corredor.

    - Cinco baldosines se colocan en el ancho del corredor. - Las posibles cantidades de galletas que van en cada caja son: 60, 120, 180 y 240. El

    nmero mnimo que cabe en cada caja es 60.

    Ministerio de Educacin Nacional 25

  • Gua 3. Conozcamos otras fraccionesMomento A2. Segn las preguntas:

    - 4 naranjas - 200 gramos de mantequilla - 6 libras y 125 gramos - 125 mililitros

    14. De las cantidades que se dan, las posibles son: 9 paquetes de papas y 3 paquetes de galletas, porque 3 es la tercera parte de 9.

    Momento B1. Solucin de problemas:

    - 80 alumnos tienen ms de 8 aos - 60 cm mide el pedazo de piola.

    4. Los clculos dan:: - 750 gramos - 3 decmetros - Alrededor de 6 - $ 4.000 - 1.800 minutos

    Momento C1. La forma como se leen las fracciones es:

    - Cinco sextos; tres octavos; cuatro dcimos; cincuenta y tres cienavos.2. Las fracciones se leen:

    - Tres milavos; trescientos setenta y seis cientounavos.

    Momento D1. Las respuestas son:

    - 45 minutos; 12:10 a.m.2. Solucin del problema:

    - La casa de la ta de Roberto est 480 metros ms cerca de la escuela que la casa de Roberto.

    - Roberto estar pasando por la casa de la ta aproximadamente a las 6:38 a.m. 3. Solucin del problema:

    - Ms o menos estn infectadas 2.250 plantas.

    Nivelemos Matemticas - Grado 426

  • Gua 4. Escribamos valores de medidas con decimalesMomento B 1. Las medidas dadas son:

    - 1,45 m; 2,32 dm2. Los decimales son:

    - 1,2 cm; 1,32 Km; 7,15 dm; 4,23 m3. El decimal en cada caso es:

    - 3,26 m; 2,327 m; 4,36 m; 7,005 m; 173,26

    Momento C3. El punto se utiliza en cada caso para:

    - Separar la parte decimal; separar las unidades de mil; separar la parte decimal4. Las medidas en otra unidad son:

    - 546 cm; 450 m; 0,783 m; 3,255 l; 14863 KgMomento D3. Los puntos mal ubicados son:

    - El punto 4.3 - El punto 26.3; 30.400

    Gua 5. Estudiemos algo ms sobre permetros Momento A1. El rea en la que se puede sembrar ms pasto es el rectngulo de 30 x 50 metros.2. En un terreno rectangular de 35 metros de largo y 22 metros de ancho, 770 metros cuadrados.Momento B6. Segn la informacin dada:

    - En los dos potreros se cultiva el mismo pasto. - No gasta lo mismo; gasta ms en la cerca de 48 m x 12 m.

    Momento C1. Las respuestas de los problemas son:

    - El seor Prez tiene que reparar 60 metros de cerca. - 8 metros mide el lado del terreno cuadrado. - 8 metros de cerca se ahorra don Prisco.

    Ministerio de Educacin Nacional 27

  • Gua 6. Aprendamos algo ms sobre arreglosMomento A4. Segn el diagrama que hace Mariana:

    - Hay 6 tipos de fi chas. - 2 por color y de 3 colores cada una. - Doce fi chas. Tres pesos distintos por cada color, y como son 4 colores, entonces sern 12

    fi chas distintas.Momento B1. El orden de subir al bus podra ser:

    - Juan, Antonio, Sofa - Juan, Sofa, Antonio - Antonio, Sofa, Juan - Antonio, Juan, Sofa - Sofa, Antonio, Juan - Sofa, Juan, Antonio

    Momento C1. Las respuestas al problema son:

    - 15 posibilidades de formar grupos.2. Con las cartas se pueden formar 5 parejas.

    Momento D1. Las respuestas a los problemas son:

    - Cuatro posibilidades. - Banano, mango; banano, patilla; naranja, mango; naranja, patilla.

    Gua 7.Estudiemos cmo varia una magnitud cuando varia otra Momento B2. Segn lo pedido se tiene:

    - En cada momento la altura que tiene el nivel de la melaza es: 18; 10; 2; 38; 22; 16. - No alcanza el nivel de la mezcla para tener una caneca ms. - Los valores comprendidos del cero al doce.

    Nivelemos Matemticas - Grado 428

  • Rejilla de valoracin de desempeos

    Marque, en la rejilla de cada nio, la valoracin por cada criterio.

    Gua Criterios de valoracin (desempeos) Valoracin

    Superior Alto Bsico Bajo

    1

    Interpreta el sistema de numeracin decimal y lo usa correctamente en la descomposicin y composicin de cantidades.

    Resuelve problemas de composicin y descomposicin de cantidades.

    2

    Encuentra regularidades y propiedades de los nmeros y sus relaciones y operaciones.

    Aplica relaciones y propiedades de los nmeros naturales en la solucin de problemas.

    3

    Interpreta las fracciones en diferentes contextos: situaciones de medicin, relaciones de parte-todo y cociente.

    Resuelve problemas con fracciones en situaciones de medicin, relaciones de parte-todo y cociente.

    4

    Identifi ca las unidades de medida en magnitudes.

    Realiza conversiones entre unidades de medida con nmeros decimales.

    Resuelve problemas con unidades de medida y realiza conversiones con nmeros decimales.

    5

    Reconoce que en el permetro se involucran medidas de longitud de una fi gura.

    Identifi ca el rea como una medida de superfi cie de una fi gura.

    Resuelve problemas que involucran medidas de rea y permetro.

    6

    Utiliza diagramas de rbol y tablas de doble entrada para representar la posibilidad de ocurrencia de un evento.

    Resuelve problemas en los que se hagan predicciones acerca de la ocurrencia de un evento, a partir de diagramas de rbol y tablas de doble entrada.

    7Identifi ca el patrn numrico de una secuencia o una serie.

    Representa grfi camente eventos de variacin.

    Ministerio de Educacin Nacional 29

  • Estrategias para abordar los problemas ms frecuentes en el desarrollo del pensamiento matemtico

    Difi cultades Algunas estrategiasLas conversiones de nmeros a bases distintas a la decimal, y las operaciones entre nmeros en dichas bases, se difi culta cuando no se reconoce la estructura de un sistema de numeracin posicional.

    Trabaje sistemas numricos en bases distintas a la decimal; para ello, muestre la estructura polinomial de las mismas, comparadas con la de base decimal. Obviamente, los trminos polinomiales no sern presentados a los nios de primaria, pero s se puede trabajar con las potencias de la base para mostrar su estructura y apoyarse en ella para actividades de conversin.

    Aplicar inadecuadamente el algoritmo de la divisin.

    Existen varias estrategias para abordar el algoritmo de la divisin. Cada una de ellas, por separado, puede acarrear inconvenientes y obstculos en la comprensin de la operacin; pero si se trabajan conjuntamente, pueden facilitar la comprensin del algoritmo a los estudiantes.

    - Presente el algoritmo de la divisin por medio de la re-peticin de ejemplos que tiendan a fi jar palabras tipo, por ejemplo: est, no est, cabe, no cabe, paso a la siguiente cifra.

    - Trabaje la estimacin de divisiones, para lo cual es necesario que motive a los nios a realizar clculos mentales de productos de dgitos por unidades segui-das de ceros (10, 100, 20, 200, 2000). De esta manera, el proceso de divisin estar determinado por la estimacin de un producto, encuadrar y redondear el nmero; por ejemplo: - 51/3 se realiza estimando la multiplicacin 3 x 10 - Al restar, sobran 21 - Como 3 x 7 = 21, el resultado de la divisin es 17.

    La calculadora es un instrumento efi caz en el clculo de operaciones; no obstante, a su uso debe anteponerse la comprensin de la divisin. Por esta razn, acuda a la calculadora en actividades en las que se solicite la argumentacin y explicacin de los resultados obtenidos.

    Nivelemos Matemticas - Grado 430

  • Difi cultades Algunas estrategias

    Cuando no se identifi can los mltiplos y submltiplos de las unidades de medida, ni se relacionan estos con las conversiones, los procesos de conversin de magnitudes no se pueden llevar a cabo adecuadamente.

    Trabaje unidades de medida presentando en cada caso los mltiplos y submltiplos; puede valerse de carteleras para tener presente la secuencia de unidades ordenadas de menor a mayor. Muchas veces, los nios no pueden realizar las conversiones porque no han identifi cado las unidades que existen entre ellas; por ejemplo, no convierten adecuadamente unidades de milmetro a kilmetro porque no distinguen las unidades que hay entre estas.

    Apoyado en lo dicho anteriormente, proponga actividades en las que se compongan y descompongan unidades de medida; actividades en las que se determine cuntos mm hay en un Dm, cuntos ml hay en un dl. Use la unidad patrn para mostrar cmo esta se puede relacionar con las dems, ya sea que se refi eran a mltiplos de unidades enteras o a unidades fraccionarias.

    Al principio, proponga la conversin a las unidades de medida siguientes hasta que se llegue a la unidad deseada. De esta manera los nios van reconociendo la escala hasta que ya no sea necesario el paso a paso.

    Aplicar inadecuadamente el algoritmo de la multiplicacin, debido a errores en la comprensin del carcter posicional del factor multiplicador.

    En el tratamiento del algoritmo de la multiplicacin es necesario que el estudiante tenga clara la estructura del Sistema de Numeracin Decimal y el valor posicional de los dgitos de un nmero. Para abordar las difi cultades asociadas, realice actividades como las siguientes:

    - Explicar los procesos algortmicos haciendo nfasis en el valor relativo del nmero y cmo este in uye en la multiplicacin de cantidades; por ejemplo, aclare que al multiplicar tres decenas por siete se obtienen 210 unidades o 21 decenas.

    - Tratar el algoritmo de la multiplicacin por medio del uso de la ley asociativa en esta operacin, descompo-niendo el factor multiplicador para evidenciar el valor relativo del nmero all presente.

    Ministerio de Educacin Nacional 31

  • Refl exiones

    A partir de las difi cultades observadas en los estudiantes har mayor nfasis en:

    Debo observar con mayor atencin los desempeos de los estudiantes al enfrentarse con la actividad matemtica; as, determinar difi cultades en cuanto a:

    Tendr listos los siguientes materiales para posibilitar mayor comprensin de los objetos matemticos:

    Mis observaciones:

    Nivelemos Matemticas - Grado 432