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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL GESTIÓN DE OPERACIONES GUIA DE ESTUDIO Profesor: Dr. Pedro Palominos Belmar

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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

GGEESSTTIIÓÓNN DDEE OOPPEERRAACCIIOONNEESS GGUUIIAA DDEE EESSTTUUDDIIOO

Profesor: Dr. Pedro Palominos Belmar

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1

INDICE I UNIDAD PROBLEMAS DE PRONOSTICOS ……………………………………… 03 PROBLEMAS DE MODELOS DETERMINISTAS DE INVENTARIOS……. 17 PROBLEMAS DE MODELOS ESTOCÁSTICOS DE INVENTARIOS…….. 45 II UNIDAD PROBLEMAS DE MRP ……………………………………………………… 69 PROBLEMAS DE PLANIFICACIÓN AGREGADA ……………………… 76 PROBLEMAS DE SECUENCIAMIENTO / ASIGNACIÓN ……………… 91 Sugerencias, comentarios y rectificaciones de ejercicios, por favor hacerlas llegar al mail [email protected]

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2

I UNIDAD

Pronósticos

Modelos Deterministas de Inventarios

Modelos Estocásticos de Inventarios

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PROBLEMAS DE PRONOSTICOS 1) Una cadena de ferreterías, experimentó la demanda siguiente para pinturas durante el mes pasado. El procedimiento normal de pronóstico es utilizar las ventas semanales correspondientes al año anterior como pronóstico para este año. Calcular el MAD y el sesgo e interpretar cada uno.

Semana Pronóstico de la demanda (galones) Demanda real (galones)

Junio 1 1.320 1.310 Junio 8 1.335 1.325 Junio 15 1.350 1.325 Junio 22 1.370 1.360

Solución:

galonesMAD 75.134

554

13601370132513501325133513101320==

−+−+−+−=

galonesSesgo 75.134

)13701360()13501325()13351325()13201310(−=

−+−+−+−=

El MAD es un promedio de las desviaciones absolutas y por lo tanto, expresa dimensión del error, lo que indica un error de 13.75 galones en cada predicción, algo así como un 13.75/1344 ≈ 1%. El sesgo indica la tendencia direccional de los errores de predicción y está sobreestimada en 13.75 galones 2) En el área de Atlanta, el número de llamadas diarias para solicitar reparación de las copiadoras Speedy se ha registrado como sigue:

OCTUBRE LLAMADAS 1 92 2 127 3 103 4 165 5 132 6 111 7 174 8 97

a) Prepare un pronóstico por promedio móvil de tres periodos en relación con

estos datos, ¿cuál es el error de cada día?

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4

b) Prepare un pronóstico por promedio móvil ponderado para tres periodos utilizando pesos de w1 = 0.5, w2 = 0.3, w3 = 0.2

c) ¿Cuál de los dos pronósticos es mejor? d) Prepare pronósticos por Suavizamiento exponencial para los siguientes casos:

i. α = 0,1 y F1 = 90 ii. α = 0,3 y F1 = 90

Solución: a) y b)

OCTUBRE At Ft (a) et (a) |et| (a) Ft (b) et (b) |et| (b) 1 92 ---- ---- ---- ---- ---- ---- 2 127 ---- ---- ---- ---- ---- ---- 3 103 ---- ---- ---- ---- ---- ---- 4 165 107,33 57,67 57,67 108 57 57 5 132 131,67 0,33 0,33 138,8 -6,8 6,8 6 111 133,33 -22,33 22,33 136,1 -25,1 25,1 7 174 136 38,00 38,00 128,1 45,9 45,9 8 97 139 -42,00 42,00 146,7 49,7 49,7

c) Según el criterio del MAD: 07,32)( =aMAD 9,36)( =bMAD

Es mejor (a) porque tiene menor MAD igual a 32,07. d)

OCTUBRE Ft (i) Ft (ii) 1 90 90 2 90,2 90,6 3 93,88 101,52 4 94,79 101,96 5 101,81 120,87 6 104,83 124,21 7 105,45 120,25 8 112,3 136,37

3) La Yummy Ice Cream Company proyecta la demanda de helados utilizando Suavizamiento exponencial de primer orden. La última semana el pronóstico fue de 100.000 galones de helados y en realidad se vendieron 80.000. a) Utilice α = 0,1 y prepare un pronóstico para la siguiente semana. b) Calcule el pronóstico utilizando α = 0,2 y α = 0,3 para este problema. ¿Qué

valor de α brinda el mejor pronóstico suponiendo que la demanda verdadera es de 95.000 galones?

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Solución: a) ( ) 000.98000.100000.801,0000.100 =−⋅+=semanaproximaF El pronóstico para la próxima semana es de 98.000 galones de helados. b)

Alfa Dreal Dpronosticada Error α = 0,2 95.000 96.000 -1.000 α = 0,3 95.000 94.000 1.000

Ambos valores de alfa proporcionan un pronóstico igualmente desviado del valor real, sólo difieren en el hecho de que con α = 0,2 se hace una sobreestimación de la demanda real en 1.000 unidades, y con α = 0,3 se hace una subestimación de la demanda real también en 1.000 unidades. Es decir, no se puede decir con estos datos proporcionados, que algún valor de alfa sea mejor que otro. 4) En la Tabla siguiente, se presentan la demanda mensual de la compañía “Rocky”.

Mes Unidades Mes Unidades Mayo 100 Septiembre 105 Junio 80 Octubre 110 Julio 110 Noviembre 125

Agosto 115 Diciembre 120 a) Usando el método de suavizamiento exponencial, pronostique el número de

unidades demanda de Junio a Diciembre, asumiendo que el pronóstico inicial para el mes de Mayo fue de 105 unidades. (α=0.2)

b) Calcule el porcentaje de Error Absoluto y el MAD. c) Calcule la señal de rastreo al final del mes de Diciembre y opine sobre el

desempeño del método de pronóstico. Solución: a) ( )tttt FDFF −⋅+=+ α1

Mes Demanda Dt Pronóstico Ft Mayo 100 105 Junio 80 105+0,2·(100–105) = 104,0 Julio 110 104,0+0,2·(80–104,0) = 99,2

Agosto 115 99,2+0,2·(110–99,2) = 101,4 Septiembre 105 101,4+0,2·(115–101,4) = 104,1

Octubre 110 104,1+0,2·(105–104,1) = 104,3 Noviembre 125 104,3+0,2·(110–104,3) = 105,4 Diciembre 120 105,4+0,2·(125–105,4) = 109,3

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6

b)

Mes t Demanda mensual Dt

PronósticoFt

Error Et

Error absoluto

Error porcentual absoluto

Mayo 100 105 -- -- -- Junio 80 104 -24 24 30% Julio 110 99 11 11 10%

Agosto 115 101 14 14 12.2% Septiembre 105 104 1 1 0.9%

Octubre 110 104 6 6 5.4% Noviembre 125 105 20 20 16% Diciembre 120 109 11 11 9.2%

Total 39 87 83.7% MAD = 87/7 = 12,4 MAPE = 83,7/7 = 12,0%

c) La señal de rastreo = 14.34.12

39==∑

MADEt

La señal de rastreo no excede a ± 6, por lo tanto, existe una baja probabilidad de que se hallen grandes desviaciones en el pronóstico. 5) La demanda de alas de pollo de un restaurante local durante las seis semanas anteriores ha sido la siguiente:

Semana 1 2 3 4 5 6 Demanda 650 521 563 735 514 596

a) Haga un pronóstico de la demanda para la semana 7, mediante un promedio

móvil de cinco periodos. b) Haga un pronóstico de la demanda para la semana 7 mediante un promedio

móvil ponderado de tres periodos. Utilice los siguientes pesos para hacerlo: W1= 0,5; W2=0,3 y W3=0,2

c) Haga el pronóstico de la demanda para la semana 7 mediante el suavizamiento exponencial. Utilice un valor α= 0,1 y suponga que el pronóstico para la semana 6 era de 600 unidades.

d) Calcule el Sesgo, el MAD y el MAPE. e) ¿Qué suposiciones se hacen para cada uno de los pronósticos anteriores? Solución:

a) ( ) 8.5855

5965147355635217 =

++++=F

b) 2.5997352.05143.05965.07 =⋅+⋅+⋅=F

c) 6.599)600596(1.0600)( 6667 =−⋅+=−⋅+= FDFF α

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7

d) Promedio Móvil Simple de cinco periodos:

Semana (t) Dt Ft et |et| |et|% = |et|/Dt·100

1 650 ---- ---- ---- ---- 2 521 ---- ---- ---- ---- 3 563 ---- ---- ---- ---- 4 735 ---- ---- ---- ---- 5 514 ---- ---- ---- ---- 6 596 596.6 -0.6 0.6 0.10%

Promedio Móvil Ponderado de tres periodos:

Semana (t) Dt Ft et |et| |et|% = |et|/Dt·100

1 650 ---- ---- ---- ---- 2 521 ---- ---- ---- ---- 3 563 ---- ---- ---- ---- 4 735 567.8 167.2 167.2 22.75% 5 514 640.6 -126.6 126.6 24.63% 6 596 590.1 5.9 5.9 0.99%

Suavizamiento exponencial: NO SE PUEDE CALCULAR, FALTAN MÁS DATOS.

Medida Promedio

Móvil Simple

Promedio Móvil

Ponderado Suavizamiento Exponencial

Sesgo -0.6 15.5 No se puede calcular MAD 0.6 99.9 No se puede calcular

MAPE 0.1% 16.12% No se puede calcular e) Se supuso que:

• La demanda futura será como la cantidad demandada pasada. • No hay tendencia, estacionalidad y efectos cíclicos. • En el promedio móvil, todos los datos pesan igual. • En el promedio ponderado los datos más recientes pesan más. • En el suavizamiento exponencial el valor de α = 0.1 pone poco peso a la

demanda actual y mucho peso al pronóstico pasado. 6) La demanda de National Cereal, uno de los cereales favoritos para el desayuno entre personas nacidas en la década de los 70 en CerealLand, está en una etapa de decadencia. La compañía desea vigilar cuidadosamente la demanda. Para ello ha utilizado el método de suavización exponencial ajustado a la tendencia con α = 0,1 y β = 0,3. Al final de diciembre, la estimación de enero para el número promedio de cajas vendidas para cada mes fue de 900.000 y las tendencias de -50.000 por mes. En la tabla siguiente se presenta la historia de las ventas reales para los meses de enero a marzo:

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MES VENTAS Enero 890.000

Febrero 800.000 Marzo 825.000

a) Genere usted los pronósticos para los meses de febrero, marzo y abril. b) Calcule el Sesgo, MAD y MAPE. ¿Qué opina de los resultados? c) Si la tendencia sigue a la baja, ¿este método de predicción sigue siendo

válido? Solución: a) y b)

De los resultados podemos ver que la estimación inicial dada es una subestimación, y lo calculado representa una sobreestimación de las ventas reales. c) Si la tendencia es a la baja, este método de pronóstico es válido, así como otros, en la medida que se corrijan los parámetros alfa y beta, o se tenga bien definida la señal de rastreo, dado que el pronóstico del mes de marzo tuvo una desviación no menor respecto al último periodo. 7) Las llamadas de emergencia del 911 en Florida durante las pasadas 24 semanas son las indicadas:

Semanas Llamadas Semanas Llamadas 1 50 13 55 2 35 14 35 3 25 15 25 4 40 16 55 5 45 17 55 6 35 18 40 7 20 19 35 8 30 20 60 9 35 21 75

10 20 22 50 11 15 23 40 12 40 24 65

MES At Ft Tt PITt SESGOt MADt MAPEt Enero 890.000 900.000 -50.000 850.000 ---- ---- ----

Febrero 800.000 899.000 -35.300 863.700 -63.700 63.700 7,96% Marzo 825.000 889.100 -27.680 861.420 -50.060 50.060 6,19% Abril ---- 882.690 -21.299 861.391 ---- ---- ----

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a) Calcule la previsión exponencialmente alisada de llamadas para cada semana. Suponga una previsión inicial de 50 llamadas en la primera semana y utilice un α=0.1, ¿cuál es la previsión para la semana 25?

b) Utilizando la tabla anterior prevea las llamadas de la semana 2 hasta la 25 con un alisado exponencial con ajuste de tendencia. Suponga que la previsión inicial es de 50 llamadas para la semana uno y una tendencia inicial de 0, utilice las constantes de alisado de α=0.3 y β=0.1. ¿Es este modelo mejor que el pronosticado en la pregunta anterior?

Solución:

Semanas Llamadas F(α=0.1) F(α=0.3) Tendencia PITt |e1| |e2| 1 50 50,00 50,00 0,00 50,00 -- -- 2 35 50,00 50,00 0,00 50,00 15,00 15,003 25 48,50 45,50 -0,45 45,05 23,50 20,054 40 46,15 39,35 -1,02 38,33 6,15 1,67 5 45 45,54 39,55 -0,90 38,65 0,53 6,35 6 35 45,48 41,18 -0,65 40,54 10,48 5,54 7 20 44,43 39,33 -0,77 38,56 24,43 18,568 30 41,99 33,53 -1,27 32,26 11,99 2,26 9 35 40,79 32,47 -1,25 31,22 5,79 3,78 10 20 40,21 33,23 -1,05 32,18 20,21 12,1811 15 38,19 29,26 -1,34 27,92 23,19 12,9212 40 35,87 24,98 -1,63 23,35 4,13 16,6513 55 36,28 29,49 -1,02 28,47 18,72 26,5314 35 38,16 37,14 -0,15 36,99 3,16 1,99 15 25 37,84 36,50 -0,20 36,30 12,84 11,3016 55 36,56 33,05 -0,53 32,52 18,44 22,4817 55 38,40 39,63 0,19 39,82 16,60 15,1818 40 40,06 44,24 0,63 44,87 0,06 4,87 19 35 40,05 42,97 0,44 43,41 5,05 8,41 20 60 39,55 40,58 0,15 40,73 20,45 19,2721 75 41,59 46,41 0,72 47,13 33,41 27,8722 50 44,93 54,98 1,51 56,49 5,07 6,49 23 40 45,44 53,49 1,21 54,70 5,44 14,7024 65 44,90 49,44 0,68 50,12 20,10 14,8825 46,91 54,11 1,08 55,19 -- -- MAD 13,25 12,56

Luego, el mejor pronóstico es el de b), por tener menor MAD. 8) El número de intervenciones quirúrgicas de corazón que se realizan en el Hospital General de Heratville ha aumentado sin cesar en los últimos años. La administración del hospital está buscando el mejor método para pronosticar la demanda correspondiente a esas operaciones en 1998. Aquí se muestran los datos de los últimos cinco años. Hace seis años, el pronóstico para 1993 era de 41 operaciones:

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AÑO DEMANDA 1993 45 1994 50 1995 52 1996 56 1997 58

La administración del hospital está considerando el uso de los siguientes

métodos de pronósticos: i. Suavizamiento exponencial doble con alfa = 0,6 y beta = 0,5. Utilice una

tendencia inicial igual a 5 para 1993. ii. Promedio móvil ponderado de tres años, usando ponderaciones de (3/6), (2/6)

y (1/6), y asignando mayor ponderación a los datos más recientes. iii. Modelo de regresión Y = 42,6 + 3,2·X, donde Y es el número de operaciones

quirúrgicas y X representa el índice correspondiente al año (por ejemplo, X = 1 para 1993).

¿Qué método de Pronóstico se deberá seleccionar? Si: a) El MAD es el criterio de rendimiento seleccionado por la administración. b) El MSE (Cuadrado del Error Medio) es el criterio de rendimiento seleccionado. c) El MAPE (Error Porcentual Medio Absoluto) es el criterio seleccionado por la

administración. Solución: i. Suavizamiento exponencial doble:

Año Dt Ft Tt PITt et MAD MSE MAPE 1993 45 41 5 46 ---- ---- ---- ---- 1994 50 43.4 3.7 47.1 2.9 2.9 8.4 5.8% 1995 52 47.4 3.8 51.2 0.8 1.9 4.5 3.7% 1996 56 50.1 3.3 53.4 2.6 2.1 5.2 4.0% 1997 58 53.7 3.4 57.1 0.9 1.8 4.1 3.4% 1998 56.3 3.0 59.3 ---- ---- ---- ----

ii. Promedio Móvil Ponderado de tres años:

Año Dt Ft et MAD MSE MAPE 1993 45 ---- ---- ---- ---- ---- 1994 50 ---- ---- ---- ---- ---- 1995 52 ---- ---- ---- ---- ---- 1996 56 50.2 5.8 5.8 34.0 10.4% 1997 58 53.7 4.3 5.1 26.4 8.9% 1998 56.3 ---- ---- ---- ----

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iii. Modelo de regresión lineal simple:

Año X Dt Ft = Y(X) et MAD MSE MAPE 1993 1 45 45.8 -0.8 0.8 0.6 1.8% 1994 2 50 49 1 0.9 0.8 1.9% 1995 3 52 52.2 -0.2 0.7 0.6 1.4% 1996 4 56 55.4 0.6 0.7 0.5 1.3% 1997 5 58 58.6 -0.6 0.6 0.5 1.3% 1998 6 61.8 ---- ---- ---- ----

a) Se elige el modelo de regresión lineal por tener un menor MAD = 0.6 b) Se elige el modelo de regresión lineal por tener un menor MSE = 0.5 c) Se elige el modelo de regresión lineal por tener un menor MAPE = 1.3% 9) El administrador de la empresa de limpieza de alfombras Aladín S.A., ubicada en Agraba, necesita pronosticar la demanda por sus servicios para el año 2001. Los datos disponibles por él son los siguientes:

Trimestre 1996 1997 1998 1999 2000 1 50 70 100 100 110 2 350 370 585 725 850 3 530 590 830 1.160 1.390 4 100 170 285 215 250

TOTAL 1.030 1.200 1.800 2.200 2.600 Como Ud., actualmente esta de vacaciones por Agraba, y se ha hecho amigo de él, ha decidido ayudarlo, dado que Ud. hizo un curso de Administración de Producción en la prestigiosa Universidad de Santiago. Por lo tanto pronostique la demanda por limpieza de alfombras para cada período trimestral del año 2001. (Utilice índice de estacionalidad) Solución: 1º Proyectar la demanda total para el año 2001 Dado que la demanda total tiene una tendencia al alza, utilizaremos regresión lineal:

X Y X·Y X2

1 1030 1030 1 2 1200 2400 4 3 1800 5400 9 4 2200 8800 16 5 2.600 13.000 25

Total 8.830 30.630 55

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Sea el modelo a estimar: XbaY ⋅+= ˆˆˆ

41415555

830.815630.305ˆ2 =

−⋅⋅−⋅

=b 5245

154145830.8ˆˆ =⋅−=−= XbYa

008.36414524)6(ˆ414524ˆˆˆ =⋅+=⇒⋅+=⋅+= YXXbaY , para el año 2001

Otra forma de calcular aproximadamente el valor de )2001(ˆ añoY es mediante tasas:

3811,04

1030.1600.2

=−

=i , por lo tanto, )2001(ˆ añoY = 1030·(1+0,3811·5) = 2.993

2º Determinar los índices de estacionalidad con los datos actuales:

5.22074830.8

==TrimestralD

Trimestre Demanda Total Trimestral Índice de Estacionalidad

1 430 430/2.207,5 = 0,1948 2 2.880 2.880/2.207,5 = 1,3046 3 4.500 4.500/2.207,5 = 2,0385 4 1.020 1.020/2.207,5 = 0,4621 ∑ = 8.830 ⇒ 8.830/4 = 2.207,5

Luego, para el año 2001, la demanda promedio trimestral es 3.008/4 = 752 3º Aplicar el Índice de Estacionalidad (calculado anteriormente para cada trimestre), sobre la demanda promedio trimestral del año 2001:

Trimestre Pronostico trimestral año 20011 752·0,1948 = 146,5 2 752·1,3046 = 981,1 3 752·2,0385 = 1.532,9 4 752·0,4621 = 347,5

Suma ≈ 3.008 Nota: Otras opciones de resolución más largas, son válidas en torno a estas cifras. 10) El volumen de correspondencia diaria que reciben cada semana las oficinas de correo de Mailville, se registra en la siguiente tabla, que corresponde a dos semanas representativas y están expresadas en miles de piezas postales.

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Día Semana 1 Semana 2 Domingo 5 8

Lunes 20 15 Martes 30 32

Miércoles 35 30 Jueves 49 45 Viernes 70 70 Sábado 15 10

Total 224 210 Si el director de correos estima que tendrá que clasificar 230.000 piezas de correo durante la semana próxima, pronostique usted, ¿cuál será el volumen correspondiente para cada día de la semana? Solución:

Semana 1 Semana 2

Día Volumen Factor de estacionalidad Volumen Factor de

estacionalidad Domingo 5 5/32=0.156 8 8/30=0.266 Lunes 20 20/32=0.625 15 15/30=0.500 Martes 30 30/32=0.937 32 32/30=1.066 Miércoles 35 35/32=1.093 30 30/30=1.000 Jueves 49 49/32=1.531 45 45/30=1.500 Viérnes 70 70/32=2.187 70 70/30=2.333 Sábado 15 15/32=0.468 10 10/30=0.333 Total 224 210 Promedio 32 30 Para la próxima semana, se tiene diariamente:

857.327/000.230Pr ==EsperadoomedioVolumen

Resultados Día Factor prom · vol prom esperado

Domingo 0.2114·32.857 = 6.948 Lunes 0.562·32.857 = 18.482 Martes 1.002·32.857 = 32.926

Miércoles 1.046·32.857 = 34.397 Jueves 1.515·32.857 = 49.799 Viernes 2.260·32.857 = 74.271 Sábado 0.401·32.857 = 13.177 Total 230.000

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11) Un alumno de ingeniería industrial presentó un pronóstico para la captura del jurel en Chile. Para ello, realizó una regresión lineal simple, considerando como variable los años comprendidos entre 1992 y 2001. El resultado de la regresión es el siguiente:

b0 = 626,153 y b1 = -312.252,4 R2 = 0,6121

La tabla considerada para hacer la regresión es la siguiente:

Año Toneladas de jurel

1992 3212060 1993 3236244 1994 1011117 1995 4404193 1996 3883326 1997 2917064 1998 1612912 1999 1219689 2000 1234299 2001 1649933

Fuente: SERNAPESCA

Respecto al estudio de la demanda realizado por el alumno, ¿qué comentario le merece en términos de lo enseñado en el curso? Solución: Graficando los datos, podemos observar:

0

1000000

2000000

3000000

4000000

5000000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1. No es adecuado realizar una regresión lineal simple como técnica dada la poca linealidad entre las variables consideradas, además ocurrieron pronósticos negativos y R2 es bajo.

Page 16: Guia Usach

15

2. El gráfico adjunto muestra cierta estacionalidad o ciclo en la captura del jurel, esto puede deberse a períodos de veda, ciclo de reproducción del jurel, fenómenos climáticos como el niño o la niña, en consecuencia habrá que estudiar una serie más larga a fin de encontrar ciclos, estacionalidad, tendencia, etc. que ayuden a realizar un pronóstico. 3. Se sugiere realizar un pronóstico causal, dado que hay variables explicativas que pueden ayudar a hacer un buen pronóstico o revisar la posibilidad de aplicar un suavizamiento doble (Tendencia y estacionalidad), si tenemos una serie más larga. 12) ¿Qué tipo de componentes por series de tiempo esperaría usted en los siguientes casos? a) Ventas mensuales de leche en un supermercado b) Demanda diaria de llamadas telefónicas c) Demanda mensual de periódicos Solución: a) Tendencia, azar. b) Estacional (fines de semana, vacaciones), tendencia, azar. c) Tendencia, estacional (fines de semana), aleatorio.

13) ¿En base a qué factores se debe seleccionar un método de pronóstico? Solución: - Sofisticación del usuario y del sistema. - El uso o las características de la decisión. - El patrón de los datos. - El tiempo y los recursos disponibles. - La disponibilidad de los datos. 14) ¿Cuáles son las desventajas del modelo de pronóstico de promedios móviles? Solución: - El incremento en el valor de n suaviza mucho más las fluctuaciones, pero el

método lo hace menos sensitivo a los cambios reales en la información. - Los promedios móviles no pueden reconocer bien la tendencia (se mantienen

dentro de los niveles del pasado y no predican un cambio de nivel)

Page 17: Guia Usach

16

15) Se pidió que todos los vendedores de una compañía realizarán pronósticos de las ventas de sus territorios para el año siguiente. Estos pronósticos se sumarán por línea de producto, distrito, región y por último a nivel nacional. Describa los problemas que surgen al utilizar este pronóstico para decisiones específicas sobre inventario y la programación de las máquinas. Solución: - Es bastante improbable que el personal de ventas pueda predecir con

seguridad un producto individual en menos de un mes, lo que influye sobre todo en la programación de las máquinas.

- Si manejamos a nivel agregado el pronóstico para propósito de control, no se entenderá.

16) ¿Existen diferencias entre el pronóstico de demanda y el pronóstico de ventas? Solución:

La demanda y las ventas no siempre son lo mismo. Cuando la demanda no se ve limitada por la capacidad u otras políticas administrativas, el pronóstico de ésta será el mismo que el pronóstico de ventas. En caso contrario, las ventas podrían ser ligeramente inferiores a la demanda de los clientes.

Page 18: Guia Usach

17

PROBLEMAS DE MODELOS DETERMINISTAS DE INVENTARIOS 1) El McDonald’s de la Rotonda Atenas, utiliza 120 vasos de papel, de seis onzas, por día. Los planes de esta sucursal de McDonlad’s son tener abierto 360 días al año. Los vasos tienen un costo de 10 dólares/docena; los costos de orden son de 5 dólares/orden y los costos de manejo son un 50% del costo del artículo. a) Encontrar la cantidad económica a ordenar si la entrega es instantánea. b) En general, se ordenan vasos cada 30 días. Obtener la relación entre la

cantidad ordenada real, y la cantidad óptima ordenada. Así como los costos totales reales y los costos totales óptimos del manejo del inventario. Interprete además los resultados obtenidos.

Solución: a) DA = 120 unidades/día · 360 días/año = 43.200 unidades/año

C0 = 5 US$/orden Ci = 10·0,5/120 = 0,4166 US$/unid.-año Luego:

unidadesC

DCX

i

019.131,018.14166,0

200.43522 0* ≈=⋅⋅

== ó 85 docenas aprox.

b) Cantidad real ordenada mesdocenasmesunidadesQ /300/600.312200.43

≈==

Situación normal: Costo ordenar = 5 US$/orden · 12 ordenes/año = 60 US$/año Costo manejo = 0,4166·3.600/2 = 749,86 ≈ 750 US$/año Costo total anual = 60 + 750 = 810 US$/año Situación con (EOQ): Costo ordenar = 5 US$/orden · 43.200/1.019 = 211,9 ≈ 212 US$/año Costo manejo = 0,4166·1.019/2 = 212,257 ≈ 212,3 US$/año Costo total anual = 212 + 212,3 = 424,3 US$/año

Con el sistema EOQ, McDonald’s puede ahorrar aproximadamente US$385,75 al año, lo que significa un ahorro de 47,61% 2) Suponga que una empresa almacena un producto para satisfacer la demanda de sus clientes, la cual es de origen determinista y es de 300 unidades al año. El costo que se incurre por realizar un pedido es de $25, el costo de almacenamiento es de 0.1 $/unidad – mes y el precio de compra del producto es de 10 $/ unidad, la tasa de interés mensual es de 0.5 % y además la empresa cancela por concepto de seguro por deterioro del producto 0.1 $/unidad- mes.

Page 19: Guia Usach

18

Se sabe además que el costo asociado a la perdida de ventas por agotamiento de inventario es de $1.5 por unidad mes. Calcular: a) Tamaño de la compra b) Frecuencia de la orden c) De qué tamaño deberá ser el inventario de seguridad, de tal forma de no tener agotamiento. Solución: Datos: Nota: Los datos de costos se encuentran en meses, esto implica que hay que trabajar todos los datos en meses.

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−=++=

++=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡==⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

mesunidadesC

mesunidadesC

CC

mesunidades

añounidadesD

a

i

i

o

$5.1

$25.010*005.01.01.0

capital de costoseguro de costoentoalmacenami de costo:25$

2512300300

En este ejercicio aparece el costo de agotamiento, lo que implica que se debe ocupar el Modelo 3.

o.agotamienten unidades de cantidades:manoen inventario:

L

S

ls

XX

XXX +=

a)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

ai

a

i

OS

a

ai

i

O

CCC

CDC

XC

CCCDC

X2

:2

7637.765.1

5.125.025.0

25*25*2≈⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=orden

unidadesX

b)

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡===

mesordenes

XDf 32.0

37.7625

Page 20: Guia Usach

19

Inventario en mano

-5

0

5

10

15

Tiempo

Inve

ntar

io

X-Dt

c)

d se que cantidad la es esta:91.1046.6537.76

seguridad de inventario del Estilo

46.6525.05.1

5.125.0

25*25*22

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=−=−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

ordenunidadesXXX

ordenunidades

CCC

CDC

X

SL

ai

a

i

OS

Es la cantidad que debe ser mantenida en inventario de seguridad para no tener costos de agotamiento. 3) Ud. recientemente ha asumido la gerencia de producción de la empresa 3Picture, la cual fabrica “videogame”, el cual tiene un componente, que Ud. puede fabricar o comprar. Los costos de fabricar son de $100 por unidad, y la empresa tiene una capacidad de fabricación de 60.000 unidades al año y sus costos de preparación de máquina son de $500. Por otra parte se sabe que la demanda estimada es de 18.000 unidades al año. La información referente al precio de compra del componente le acaba de llegar y es de $120 por unidad, con un costo de ordenar de $80. Si Ud. asume un costo de inventario del 10%, ¿qué le conviene, comprar o fabricar el producto? Solución: a) Opción de compra: P = 120 $/unidad C0 = 80 $/orden Ci = 0.1·120= 12 $/ unid·año D = 18.000 unid/año

X

t1 t2

XS 0

-XL

Page 21: Guia Usach

20

unidadesX 490897,48912

000.18802* ≈=⋅⋅

=

EA = compra actual + almacenamiento + costo de ordenar

775,878.165.2490

000.1880249012120000.18 =

⋅+

⋅+⋅=AE

b) Opción de fabricación:

unidadesDPC

DPCX

i

603.1567,603.1)000.18000.60(*10

000.60000.185002)(

2 0* ≈=−⋅⋅⋅

=−

=

322,630.813.1567,1603

500000.182

)567,603.1(10100000.18 =⋅

+⋅

+⋅=AE

Por lo tanto, es más conveniente fabricar, dado que su costo total anual es más bajo que al comprar el producto. 4) Una tienda comercial vende dos productos que periódicamente ordena de un mismo proveedor. La tasa de demanda y los costos de inventario están dados en la siguiente tabla:

Producto Demanda (unidades/mes)

Costo de Ordenar ($/orden)

Costo de inventario($/unidad-mes)

A 100 50 25 B 300 50 3

Sin embargo, si se ordenan los dos productos conjuntamente, el costo de ordenamiento en que se incurre es de sólo $50 (por los dos productos). En estas circunstancias, ¿cuál es la política de inventario óptimo? Solución: Ordenando independientemente:

ordenunidades

CCD

XAi

oAmA 20

251005022* =⋅⋅

==

ordenunidades

CCD

XBi

BBmB 100

33005022 0* =⋅⋅

==

Page 22: Guia Usach

21

Costo total anual:

añoE

XC

X

DCXC

X

DCEEE

Anual

BBi

B

BmoAAi

A

AmoBAAnual

$600.921003

10030050

22025

201005012

2212

*

*

*

*

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

+⋅

+⋅

+⋅

⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++⋅=+=

Ordenando conjuntamente (sin utilizar directamente las fórmulas del Modelo 5):

BBi

AAioBTATT D

XCDXCCEEE

22

22

++=+=

Donde:

A

BAB

B

B

A

A

DD

XXDX

DX

T =⇒==

2222

22B

iBA

iAA

AoA

B

BiB

A

AiA

oT XC

XC

XDC

ETD

XC

TDX

CTC

TE

++==++=

022

22

2=⋅++−=

⋅++=

A

BiBiA

A

Ao

A

Anual

A

BAiB

AiA

A

AoAnual

DDCC

XDC

dXE

DDX

CX

CXDC

E

Despejando XA:

A

BiBiA

AOA

DDCC

DCX

22+

=

Reemplazando los valores:

1715.17

10023003

225

10050≈⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

⋅⋅

+

⋅=

ordenunidadesX A

5145.5115.17100300

≈⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⋅=

ordenunidadesX B

Costo total anual:

añoE Anual

$997.62

45,5132

15,172515,171005012 =⎟

⎞⎜⎝

⎛ ⋅+

⋅+

⋅⋅=

Por lo tanto, conviene más ordenar conjuntamente, porque así se obtiene

un costo anual total menor al de ordenar independientemente.

Page 23: Guia Usach

22

5) La empresa Battery Inc. Compra baterías por US$ 20 c/u y el costo de realizar una orden es de US$ 11. La empresa vende cerca de 10.000 baterías por año a una tasa uniforme. La compañía funciona 5 días por semana, durante 52 semanas a excepción de 6 días de vacaciones al año. El tiempo de ordenamiento es de 4 días y la compañía desea tener un promedio de 2 días como stock de seguridad, cuando una nueva orden está programada por llegar. El costo de mantención es de 24% del valor del ítem por año. Con la información anterior determine: a) Tamaño óptimo del lote b) Nivel esperado del inventario máximo c) Nivel de reordenamiento d) Nivel promedio e) Costo promedio anual de mantención Solución:

a) ordenunidadesC

CDQ

i

A /03,2142024,0

11000.1022 0* =⋅

⋅⋅==

b) Nivel esperado de inventario máximo:

Promedio de ventas por día es: 37,396552

000.10=

−⋅

Si la compañía desea tener un inventario de seguridad de 2 días, esto equivale a 39,37·2 = 78,74 unidades ≈ 79 unidades. Por lo tanto, el inventario máximo será: Q*+ stock de seguridad = 214 + 79 = 293 unidades.

c) Nivel de reordenamiento: R = BLDd +⋅ = 39,37·4 + 79 = 236,48 = 237 unidades.

d) Nivel promedio = 0,5·(Máximo + Mínimo) = 0,5·(293 + 79) = 186 unidades. e) Costo anual de mantención = 0,24·20·186 = $892,8 al año. 6) Considérese un fabricante que necesita 2.000 piezas pequeñas durante el próximo año. El costo de las unidades es de $5 cada una. Se tienen disponibles en la localidad con un tiempo de entrega de 1 semana, y el costo de ordenar para el fabricante es de $5 por orden. El costo de conservación es de $1,50 al año por almacenamiento, más 10% por unidad por año, debido al costo por unidad del capital. Basado en estos antecedentes, responda las siguientes preguntas: a) ¿Cuántas unidades debe ordenar el fabricante con el fin de minimizar los

costos totales de inventario? b) ¿Cuántos pedidos se harán en un año? c) ¿Cuántos días calendario habrá entre órdenes? d) ¿Cuál es el punto de reorden? e) ¿Cuál es el costo anual de inventario?

Page 24: Guia Usach

23

Solución:

DA = 2.000 unidades por año C0 = $5 por orden CI = $1,50 + (10%)($5) = $2 por unidad por año L = siete días = 1 semana

a) ordenunidadesC

CDQ

i

A /1002

5000.222 0* =⋅⋅

=⋅⋅

=

b) añoórdenesQD

TfpedidosdeN A /20

100000.21

=====°

c) ordendíasf

TordenesentreDías /1820

365365====

d) unidadesLDRreordendePunto d 387365000.2

=⋅=⋅==

e) añoQCQD

CEinventariodeanualCosto iA

oA /$20021002

100000.25

2=

⋅+

⋅=⋅+⋅==

7) La Vetter Corporation fabrica mesas y estaciones de trabajo para la siempre creciente industria de computadoras. Vetter inició sus operaciones hace tres años con un sólo producto; un soporte para tubo de rayos catódicos (TRC) cuyo precio fijo es $98. Este producto fue diseñado por Vetter, la cual contrató la fabricación completa de las partes pero llevado a cabo el montaje en su propia planta. Desde un principio, Vetter ha estado desarrollando constantemente nuevos productos y realizó esfuerzos para integrar verticalmente sus operaciones de producción y montaje. Actualmente, Vetter fabrica la totalidad de sus cubiertas, hace todo el trabajo de laminado y todo el que se relaciona con láminas metálicas, excepto las patas tubulares de acero cromado para las mesa. Esas patas son fabricadas por una compañía importante situada a 120 millas de distancia aproximadamente. Las ventas de Vetter han aumentado a un ritmo tal que las existencias de patas para mesa han sido constantemente insuficientes. Los encargados del almacén han sido presionados para que mantengan una reserva de patas en existencias. Vetter utiliza 300 juegos de patas diariamente en la fabricación de dos soportes de TRC diferentes. En vista de las demoras y la incertidumbre respecto a la entrega, Vetter ha considerado la posibilidad de fabricar esas patas. Su lote económico ha sido de 6.000 juegos. El costo anual de conservación de cada juego es de $1,20. El Ingeniero Industrial de Vetter estima que, con el equipo adecuado, es posible producir 800 juegos de patas por día. Los costos de preparación del equipo serán de $ 750. Juan Pérez, supervisor de producción, está a favor de que se realice el proyecto adquiriendo el nuevo equipo. Argumenta que “la posibilidad de producir aquí

Page 25: Guia Usach

24

mismo permitirá que virtualmente no haya necesidad de contar con existencias disponibles. Nuestros costos de conservación de inventario disminuirán sustancialmente”. Pedro González, el agente de compras alega que “si vamos a ser los únicos en utilizarlas, el tiempo ocioso acabará sin duda con nosotros”. José Rojas, supervisor del almacén, dice que “sencillamente ya no tenemos espacio para aumentar el inventario. Si fabricándolo nosotros mismos podemos resolver el problema de espacio, estoy a favor del proyecto”. a) ¿Que lote de producción se justificaría si Vetter decidiera comprar el equipo

para fabricar las patas? Solución: Si el año tiene 365 días: Dd = 300 patas/día ⇒ DA = 300·365 = 109.500 patas/año Pd = 800 patas/día ⇒ PA = 800·365 = 292.000 patas al año

ordenunidadesDPCPDC

XAAi

AA /64,798.14)500.109000.292(2,1

000.292500.1097502)(

2 0* =−⋅⋅⋅⋅

=−

=

El lote mínimo a producir de tal forma que sea económico es de 14.799

juegos de patas aproximadamente. Lo que hay que evaluar es si hay recursos financieros para tomar la decisión, así como la disponibilidad de espacio. 8) La empresa Pieza 9 necesita 2000 piezas durante el próximo año, el costo de cada unidad es de $ 5. El tiempo de entrega es de 1 semana, y el costo de ordenar es de 5$/orden. El costo de conservación es de 1.5 $/unidad-año, mas el 10 % por unidad por año por el costo de oportunidad del capital. a) ¿Cuantas unidades debe ordenar con el fin de minimizar los costos totales de

inventario? b) ¿Cuántos pedidos se harán en el año? c) Si se considera que hay 360 días de calendario en un año ¿cuántos días de

calendario habrá entre órdenes? d) ¿Cuál es el punto de reorden? e) ¿Cuál es el costo anual? Solución: Datos:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−=+=

+==

añounidadesC

CordenC

i

i

o

$25*1.05.1

capital de costoentoalmacenami de costo/$5

semanaL

añounidadesD

1 timelead:

2000

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

Page 26: Guia Usach

25

a) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

⋅⋅==

ordenunidades

CDC

Xi

A 1002

5200022 0*

b) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡===

añoordenes

XDf 20

1002000

c) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡===

ordendias

añodias

ordenaño

DXT 1836005.0

2000100

d)

unidadesR

ZLDBLDR Ldd

89.3873602000

=⋅=

⋅+=+= σ

e) año

ecioDXC

XDC

E ioA

$10200$5200021002

10020005Pr

2=⋅+

⋅+

⋅=++=

9) La empresa C&B Food envasa café instantáneo, del cual compra periódicamente una cantidad de 120.000 libras. El costo de la mezcla de café en C&B es de 2,40 US$/libra. La compañía embarca 1.200.000 botellas de café instantáneo al año para los distribuidores, cada botella es de 1 libra. La demanda es constante y continua todo el tiempo. ¿Cuál es el costo de llevar inventario, en % al año, si el costo promedio de ordenar es de US$100? Discuta el resultado. Solución: Datos: Q = 120.000 libras/orden Costo = 2,40 US$/libra DA = 1.200.000 libras/año Co = 100 US$/orden Luego:

anualii

%69,00069,040,2

000.200.11002000.120 ==⇒⋅

⋅⋅=

i% anual es el costo financiero asociado a mantener inventario, calculado sobre el precio del producto. En este caso este costo porcentual de mantener inventario es extremadamente bajo, en comparación con otros casos.

Page 27: Guia Usach

26

10) Un fabricante cuenta con un equipo limitado para elaborar dos productos, A y B, cuya demanda, tasa de producción y lote económico se indican en la tabla siguiente:

Producto A B Demanda mensual, en unidades 100 200 Tasa de producción, unidades por mes 200 500 Lote económico, en unidades 20 180

Según los cálculos del fabricante, él estima que hay capacidad para satisfacer la demanda de los productos, puesto que para satisfacer la demanda total de A, él emplearía la mitad del mes (100/200) y para producir toda la demanda de B emplearía 0,4 de mes (200/500). Sin embargo tiene problemas, puesto que al producir un lote de A y luego uno de B, se produce escasez del producto A para satisfacer a los clientes. Por tanto llamó telefónicamente a su amigo que da clases de Administración de la Producción en la Universidad de Santiago, el cual textualmente le dijo: “Los lotes económicos calculados para productos únicos no resultan económicos en absoluto cuando otros productos compiten por el mismo recurso. Una manera de eludir este problema es producir lotes distintos al lote económico”. Como el fabricante no comprendió bien la idea, le solicitó al profesor que le enviara ha alguno de sus alumnos, para ayudarle. El profesor lo ha seleccionado a Ud. para ayudar al fabricante aproblemado. Por tanto, ¿cómo solucionaría Ud., problema? (Ayuda: solucione matemáticamente el problema). Solución: El lote económico de A es de sólo 20 unidades y se puede producir en 20/200 = 0,1 meses y en duración es de 0,2 meses (20/100). El lote económico de B es de 180 unidades y se puede producir en 180/500 = 0,36 meses y en duración es de 0,9 meses (180/200). Si A es primero, quedará terminada en 0,1 meses y B quedará terminada a los 0,46 meses (0,1+0,36). Sin embargo, el producto A se agotaría a los 0,3 meses (0,1 + 0,2). Por tanto, habrá que producir tamaños de lotes distintos, para ajustarse a la demanda. La cantidad que habrá que producir en un mes será una fracción de mes.

BdeunidadesXAdeunidadesX ⋅+⋅ 200100 , donde X está en meses.

Por lo tanto: mesesXXX 11,11500

200200

100=⇒=

⋅+

100·X =111 unidades de A se requieren en 111/200 = 0,555 meses. 200·X = 222 unidades de B se requieren en 222/500 = 0,444 meses.

Page 28: Guia Usach

27

11) La Slayton’s Furniture Store es una tienda de muebles de alto nivel localizada cerca del lago Michigan, en el centro de Chicago. La tienda generalmente trabaja muebles de alto precio de líneas famosas como Drexel, Heredon y Ethan Allen. Con objeto de mantenerse a la moda con las últimas líneas, alrededor del 50% de los estilos y estampados cambia cada año. Joan Jeffery, compradora de muebles de la tienda Slayton, recibió una llamada de Eric Towsend, el representante de ventas de muebles Drexel. Eric comentó: “Joan, te puedo ofrecer un buen trato de nuestro conjunto de muebles de recámara Dovetail, si compras una cantidad más grande. Hemos recibido una nueva tarifa de nuestra firma de camiones que reduce el costo de embarque de $10 por quintal (o 100 libras) a $9 por quintal siempre y cuando embarquemos un mínimo de 100 quintales. Esto requeriría que compraras cuando menos 10 conjuntos de recámara a la vez, en lugar del tamaño acostumbrado de 6 conjuntos. Si ordenas 10 a la vez, te ahorrarás el flete. Un ahorro de $10 por conjunto sólo en fletes. ¿Qué piensas de esta proposición? “ Después de escuchar la oferta, Joan contestó: “Eric, parece interesante, pero tendría que hacer algunas verificaciones y ponerme a trabajar con el lápiz antes de poder decidir que hacer”. Joan agregó: “¿Podríamos economizar un poco más si ordenáramos 15 conjuntos a la vez” Entusiasmado por la oportunidad de incrementar el negocio, Eric contestó: “La compañía de fletes no reduciría su precio todavía más, pero te podría dar un 2% de descuento en el precio ($12 por conjunto) si ordenas 15 conjuntos o más. Por qué no lo piensas, y yo te llamo la próxima semana para ver qué decidiste”. Después de que Joan colgó el teléfono, se preguntaba que hacer. Había espacio suficiente en la bodega para almacenar los 15 conjuntos de recámara, pero tendría un costo de oportunidad, dado que no se tendría espacio disponible para otras mercancías. También las tasas de interés habían estado subiendo los últimos meses y sería costoso obtener el capital. Joan decidió trabajar con el problema utilizando los datos económicos disponibles para el producto (ver tabla), La obsolescencia era un factor significativo en la mente de Joan. A pesar de que el costo anual de tener existencias incluía un 7% por obsolescencia, se preguntaba si esto sería suficiente. También, ¿es el factor de obsolescencia, incluido en el costo de tener existencias, la forma apropiada para incorporar el riesgo de caídas de mercado futuras, requerido para vender muebles de poco movimiento y obsoletos? Preguntas: a) ¿Qué debe hacer Joan? b) ¿Qué suposiciones están implícitas en el análisis que usted hace de la

situación?

Page 29: Guia Usach

28

Conjunto de recámara Dovetail Precio de venta (cada uno) $1.000,00 Costo unitario (cada uno)* $600,00 Ventas promedios anuales 80 conjuntos Costo de orden** $40 por orden Costo anual por existencias*** 30% Reserva de seguridad 2 conjuntos Peso por conjunto 1.000 lb Tiempo de espera (promedio) 4 semanas

*No incluye el costo de flete. **Este costo incluye la recepción ($20 por orden) y el papeleo ($20 por orden). ***Este costo incluye el costo de capital (15%) y la obsolescencia (7%).

Solución: a) Hay que evaluar para diferentes tamaños de lotes 6, 10 y 15 unidades, la

función de evaluación es:

)80()80(22

6003,08040)( fcA FFQQ

QE ++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅+⋅=

Donde: EA(Q): costo anual $/año (80/Q): número de órdenes al año. 0,3·600 es el costo de inventario. (Q/2+2): nivel de inventarios promedios que incluye el stock de seguridad. Fc: costo unitario que excluyendo el flete, FC = $600 si Q < 15, FC = $588 si

Q ≥ 15 (2% de descuento por 80 unidades al año). Ff: costo del flete, Ff = $100 por conjunto si Q < 10, Ff = $90 conjunto si Q ≥ 10,

por 80 unidades al año.

De esta manera, la estructura de costo anual es como sigue:

añoE A /$433.5780100806002266003,0

68040)6( =⋅+⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅+⋅=

añoEA /$780.5680908060022

106003,0108040)10( =⋅+⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅+⋅=

añoEA /$129.4680908058822

156003,0158040)15( =⋅+⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅+⋅=

Por lo tanto, a Joan le conviene ordenar 15 conjuntos.

Page 30: Guia Usach

29

b) Los supuestos utilizados por Joan son los siguientes:

-Tasa de demanda constante. -Suficiente espacio para almacenar. -No hay interacción con otros productos en compras conjuntas. -Precios y costos de transporte constantes. -El abastecimiento está disponible en el futuro.

12) El equipo Bucks Grande de la liga mayor de béisbol rompe cuatro bates por semana, en promedio. El equipo compra sus bates del béisbol a Corkys, un fabricante que se distingue porque tiene acceso a la mejor madera maciza. El costo de hacer el pedido es de $70 y el costo anual de manejo de inventario por bate y por año representa el 38% del precio de la compra. La estructura de precios de Corkys es la siguiente:

Cantidad del pedido Precio por unidad 0-11 $ 54,0

12-143 $ 51,0 144 o más $ 48,5

a) ¿Cuántos bates debería comprar el equipo en cada pedido? b) ¿Cuál es el total de los costos anuales asociados a la mejor cantidad del pedido? c) Corky descubre que ha subestimado los costos de preparación, a causa de los procesos especiales de manufactura que requieren los bates de Buck. Entonces, en lugar de elevar los precios Corky agrega una categoría a la estructura de precios con miras a ofrecer un incentivo para que se hagan pedidos más grandes y, de ese modo, reducir el número de operaciones de preparación necesarias. Si los Bucks deciden comprar 180 bates o más, el precio bajará a $ 45,0 cada uno. ¿Será conveniente que los Bucks reconsideren ahora la cantidad del pedido y la reajusten a 180 bates? Solución:

C0 = 70 $/orden año

batessemanassemanabatesDA 208524 =⋅=

a)

Cantidad de pedido Precio por unidad Ci(Precio·38%) 0-11 $ 54,0 $ 20,52

12-143 $ 51,0 $ 19,38 144 o más $ 48,5 $ 18,43

Page 31: Guia Usach

30

→≈=⋅⋅

== batesC

CDQ

i

A 3867,3752,20

7020822 01 infactible

→≈=⋅⋅

== batesC

CDQ

i

A 3976,3838,19

7020822 02 factible

→≈=⋅⋅

== batesC

CDQ

i

A 4074,3943,18

7020822 03 infactible

b) 2

0 iAAA

XCXDC

DPE ++⋅=

Evaluamos el Q factible, y para los precios menores al del intervalo factible:

24,359.11$2

38,193939

2087020851)39( =⋅

+⋅

+⋅==QE A ⇒ Q* = 39 unidades/orden

07,516.11$2

43,18144144

208702085,48)144( =⋅

+⋅

+⋅==QE A

c) Si X = 180, luego $45 implica Ci = $17,1

88,979.10$2

1,17180180

2087020845)180( =⋅

+⋅

+⋅==QE A

Por lo tanto, es conveniente ordenar 180 unidades, dado que el costo anual es

más barato en relación con la tabla de precios ofertada por Corkys. 13) La empresa Plumbing Supply almacena miles de artículos de plomería. El Sr. Pérez, Gerente General de la empresa, se pregunta cuánto dinero podría ahorrarse todos los años si se utilizara EOQ en lugar de utilizar las reglas prácticas actuales de la empresa. Le da instrucciones a su Ingeniero de Operaciones Ana María, para que realice un análisis sobre un sólo material (la válvula de latón 3925) para ver si pudieran resultar ahorros significativos, usando el EOQ. De la información contable, Ana María desarrolla las siguientes estimaciones: D = 10.000 válvulas por año, Q = 400 válvulas por pedido (cantidad de pedido presente), Ci = $0,40 por válvula por año, y Co = $5,50 por pedido. Se sabe además, que la empresa tiene un departamento adyacente de producción que puede fabricar las válvulas, de tal manera que la empresa puede producir los lotes de producción, los cuales fluirían gradualmente hacia los inventarios en el almacén principal para su uso. El costo de almacenar, de pedir o de preparación y la demanda anual se conservarían aproximadamente igual. Dado que las válvulas realmente fluyen hacia el inventario en lugar de recibirse todas a la vez como lote, el Sr. Pérez se pregunta de qué manera ello afectaría la

Page 32: Guia Usach

31

cantidad de pedido y el costo anual de almacenamiento. Considere 250 días al año y una producción de 120 válvulas diarias. Finalmente, un proveedor de válvulas ha ofrecido al Sr. Pérez descuentos por cantidad, si adquiere más de lo que pide actualmente. Los nuevos volúmenes y precios son:

Rango de cantidades de pedido Costo de adquisición por válvula 1 a 399 $ 2,20

400 a 699 $ 2,00 700 o más $ 1,80

El Sr. Pérez le pide a su Ingeniero de Operaciones, que investigue los nuevos precios bajo dos supuestos. Los pedidos se reciben todos a la vez o las entregas son graduales. Solución: a) Ana María calcula los costos actuales totales de mantención:

añoXCXDCE iA

A /$5,2172

4004,0400

000.105,52

0 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

⋅+=

Se calcula el EOQ para determinar su costo de mantención:

ordenválvulasC

CDEOQ

i

A /4,524000.2754,0

5,5000.1022 0 ==⋅⋅

==

( ) añoEOQEA /$76,2092

4,5244,04,524

000.105,5 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎞⎜⎝

⎛=

añoAhorros /$74,776,2095,217 =−=∆

Por lo tanto, si aplicamos el método EOQ, se genera un ahorro anual de $7,74

en relación a la práctica utilizada actualmente por la empresa.

b) Ana María calcula el EOQ (tomando en cuenta el departamento adyacente de producción):

díaválvulasDd 40

250000.10

==

( ) ordenválvulasDPCPDC

EOQddi

dA /26,642401204,0

120000.105,52)(

2' 0 =

−⋅⋅⋅⋅

=−

=

Page 33: Guia Usach

32

( ) añoP

DPXCXDC

EOQEd

ddiAA /$26,171

1202)40120(26,6424,0

26,642000.105,5

2)(

' 0 =⋅

−⋅⋅+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅=

−+=

Si fabricáramos la válvula, se genera un ahorro de 5,38$26,17176,209 =−=∆

anuales, en relación a ordenar a un proveedor externo, según el lote económico.

c) Pedidos recibidos todos a la vez (asumiendo un costo de mantener inventario de 0,2 · Precio):

ordenválvulasEOQ /500)2,2(2,0

)5,5()000.10(22,2 =

⋅⋅⋅

= → infactible

ordenválvulasEOQ /4,524)0,2(2,0

)5,5()000.10(20,2 =

⋅⋅⋅

= → factible

ordenválvulasEOQ /8,552)8,1(2,0

)5,5()000.10(28,1 =

⋅⋅⋅

= → infactible

Por lo tanto es factible analizar el pedido para un precio 2,0 $/válvula con un

Q = 524,4 válvulas/orden, y además hay que analizar a un precio de 1,8 $/válvula para un tamaño de lote de 700. d) Pedidos en entrega graduales (sin supuestos)

ordenválvulasEOQ /26,64240120

1204,0

5,5000.102=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−⋅⋅

=

En consecuencia se analizan los dos últimos, dado que el primer rango no

es factible. Q = 642,26

año

DecioP

DPCXXDC

E Ad

ddiASistemaA

$3,171.20000.206,856,85000.102

12040120

226,6424,0

26,642000.105,5Pr

2)(0

=++=⋅+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⋅+

−⋅+=

Q = 700

año

DecioP

DPCXXDC

E Ad

ddiASistemaA

$9,171.18000.183,936,78000.108,1

12040120

27004,0

700000.105,5Pr

2)(0

=++=⋅+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅+

−⋅+=

Por lo tanto, las entregas graduales con un tamaño de lote de 700 es el más

barato.

Page 34: Guia Usach

33

14) Una instalación de producción, tiene un ciclo de producción y consumo de uno de sus productos un poco anómalo, debido a la criticidad de la máquina X, dada por el uso intensivo de ésta por parte de la empresa. En consecuencia en el período de estudio T, se describe la siguiente situación: 1º Etapa: la máquina X produce a una tasa A un componente durante el

período t1. 2º Etapa: En período t2, la cantidad producida P queda almacenada como

inventario de pulmón, pues la máquina X es demandada para fabricar otro producto.

3º Etapa: En el período t3, la cantidad producida P es demandada nuevamente por la máquina X, a una tasa D, para terminar un acabado especial que no realizó en la primera etapa.

Si t2 = 4t1 y t3 = 2t1 derive la cantidad Q óptima que minimiza los costos totales de inventario, asumiendo que el almacenamiento se basa en el inventario medio, en función de t1 y A. Solución:

12 4tt = 13 2tt =

223

21

0Ht

CHtCHt

CCE iiiT +++=

1tAH ⋅=

13

1211

0 22tA

tCtAtCtA

tCCE iiiT ⋅+⋅+⋅+=

21

21

210 2

24

2t

ACtACtA

CCE i

ii

T ⋅+⋅+⋅+=

1411

72

1474

1471

1

021

11

212

111

0 tACt

Ct

tAC

ttAC

ttAC

tC

TE

E iiiiTA

⋅+=⋅+

⋅+⋅+==

A D H

t2 t3 t1

T

Page 35: Guia Usach

34

014

117

)(21

0

1

=+−

=AC

tC

dtdE iA

ACC

ttCAC

i

i

112

211 02

121

0 =⇒=

ACC

ti11

2 0*1 = Si H = Q ⇒ Q* = A·t1* =

ii CAC

ACCAQ

112

112 00* ==

15) Un producto cuesta $15 y es consumido a una tasa uniforme de 100 unidades/día. Se sabe además, que no se permiten faltantes y la tasa de entrega es infinita. El costo de procesar una orden es de $100. El costo de inventario es de $0,02/día para cada uno de los productos en inventario. Hay un cargo de $3/año por producto, basado en el número máximo de productos en inventario. A partir de esto datos, encuéntrense la cantidad óptima de inventario y el costo anual. (Asuma un año de 365 días). Solución: Costo del producto es $15/unidad DA = 100 unidades/día · 365 días/año = 36.500 unidades/año C0 = 100 $/orden

Ci Anual = unidadañoaño

díasunidaddía ⋅

=⋅⋅

$3,7365$02,0

Cargo = 3 unidadaño ⋅$

Basándose en el número máximo de productos en inventario:

XD

DXoc

DCX

CE A

AA

iT ⋅+

⋅+=

22

0 arg2

XocCX

XD

CTE

E iATA ⋅+

⋅+== arg

20

ocCDC

XocC

XD

CocC

XD

CdXdE

i

AiAiAA

arg22

2arg2

0arg2

0*2020 +

⋅=⇒

+=⇒=++⋅−=

unidadesX 74185,7403,13000.300.7

323,7500.361002* ≈==⋅+

⋅⋅=

El costo anual es:

añoE A /$42,853.9741323,7741

741500.3610 =⋅+⋅+⋅=

Al costo anual, considerando el sistema, se le agrega P·D = 15·36.500 = $547.000/año

EA Total = 557.353,42 $/año

Page 36: Guia Usach

35

16) Una instalación de producción, tiene un ciclo de producción y consumo que aparece en la Figura siguiente: Además se sabe lo siguiente:

tw = 3tp1 tc = 6tp1 tp1 = 2tp2 A = tasa de llegada D = tasa de agotamiento

Sobre la base de esta información, derive la cantidad Q óptima, que minimiza los costos totales de inventario, asumiendo que el costo de almacenamiento, se basa en el inventario máximo. (Nota: exprese la cantidad óptima como función de tp1) Solución: Sea H1 + H2 = Q

)( 21221201110 HHtCHtpCHtpCCHtCHtpCCE ciiiwiiT +++++++=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅+⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=

Atp

AtptpC

Atptp

CAtptp

CCAtptpCAtptpCCE

i

iiiiT

26

2223

111

111

1011110

AtpCCE iT ⋅⋅+= 210 75,132

Si cw ttpttpT +++= 21 ⇒ 15,10 tpT = , luego:

AtpCtp

CTE

E iT

A ⋅⋅+== 11

0 309,15,10

2

H2

H1

I(t)

A

A D

tp1 tw tp2 tc t

T

Page 37: Guia Usach

36

0309.15,10

21

20

1

=⋅+⋅

−= ACtpC

dtpdE

iA 2

10 309,1190,0 tpACC i ⋅⋅=⇒

ACC

ACC

tptpAC

C

iii ⋅=

⋅=⇒=

⋅00*

12

10 38,0

145,0309,1

190,0

Sea 2

32

11121

AtpAtpAtpHHQ

⋅=

⋅+⋅=+=

23 *

1* AtpQ

⋅=⇒

iCAC ⋅

= 057.0

17) Una compañía de alimentos elabora un aliño (condimento), a una tasa de 100 kg/día. Este producto es fabricado a un costo de $3.000 por lote (costo de hornada). El costo de inventario es de $2/kg/día, siendo muy caro los métodos para mantener el material, sin dañarse. Además hay un costo extra el cual es proporcional al tamaño del lote multiplicado por el cuadrado del tiempo que el inventario es mantenido antes que se agote. Así, si un inventario de 1.000 kg se genera en los últimos 10 días, su costo extra será de $10.900. Encuentre el tamaño óptimo del lote. Solución: T: días del ciclo 100T= tamaño del lote (100T/2)= Inventario promedio El costo extra será: 109,0)10)(000.1(900.10 2 =⇒= kk

El costo por ciclo será: 2·100·109,0·2

100)/($2000.3 TTTTkgET ++=

32 9,10100000.3 TTET ++=T1⋅

29,10100000.3 TTT

E A ++=

030001008,2108,21100000.3 232 =−+⇒=++−= TTT

TdTdE A

Si T≈ 4, entonces, 8,4000.34·1004·8,21 23 −=−+ Por lo tanto, Q = 100T = 400 kg

Page 38: Guia Usach

37

18) Derive las expresiones de X* y EA*, para el modelo I, bajo el supuesto que el

costo de inventario está basado en el inventario máximo y no en el inventario promedio. Solución:

Sea DTDDT

DX

DXXQmáximo

2222

===⋅

=

DTCCInvMaxCCE iiT2

00 +=+= , costo por ciclo. Ahora, si lo calculamos por período ($/período):

DTCTC

TEE i

TA +== 0

Buscamos el T que hace mínima la expresión EA:

DCC

TDCTC

dTdE

ii

A 0*20 0 =⇒=+−=

Finalmente:

DCCDCCDCCDC

CDC

DCC

CE iii

ii

i

oA 000

0

0

* 2=+=+=

ii

o

CDC

DCC

DDTQ 0* ===

19) En el siguiente gráfico, demuestre que en el período óptimo el costo es

iiA SCDCCE += 02 En donde S es el stock de seguridad

S

………

Q

t

Page 39: Guia Usach

38

Solución: Sea el costo por ciclo:

STCD

QCCSCINVCCE iiiiT ++=++=2

2

00

El costo por período será:

SCQCQDC

DQ

QDSCQC

QDCE i

ii

iA ++=++=

2200

i

iA

CDCQC

QDC

dQdE 0*

20 20

2=⇒=+−=

Por lo tanto:

SCC

DCC

CDC

DCE i

i

i

i

A ++= 0

0

0 222

Racionalizando se obtiene:

iiA SCDCCE += 02 20) Determine el costo de inventario de un almacén que describe la gráfica siguiente:

Cantidad en inventario

S2

Q2 S1 Q1

T1 T12 T2 T23 T3 T4

t

t1 t2

Page 40: Guia Usach

39

Solución: El comportamiento entre el periodo T1 y T3 se supone que se repite. La cantidad promedio mantenido en inventario durante el periodo T1 a T12 es S1/2; durante el periodo T2 a T23 es S2/2. En consecuencia, la cantidad promedio de IS e IL estará dada por (IL agotamiento):

21

2232

1121 )(

2)(

2tt

TTS

TTS

I S +

−+−=

21

23311

12222 )(

2)(

2tt

TTSQ

TTSQ

I L +

−−

+−−

=

Durante el periodo T1 y T3 hay dos reaprovisionamientos, luego el número de reaprovisionamiento por unidad de tiempo es:

21

2tt

N+

=

Por lo tanto el costo total de inventario será: oaLiST CNCICIC ⋅+⋅+⋅=

Donde: ordenunidad

inventariomantenerdeCostoCi ⋅=

$

ordenunidadoagotamientdeCostoCa ⋅

=$

ordenordenarporCostoCo

$=

21) La demanda para un producto es uniforme, con una tasa de producción de 2.000 unidades por día. El costo de la orden depende del tamaño del lote y está dado por la siguiente función: 5.0

0 5000.16 QC ⋅+= . El costo de almacenar es de 0,002 $/día para cada unidad. Se asumirá que las entregas son instantáneas. Por otra parte, existe un costo de no daño durante el almacenamiento, que es proporcional al tiempo de inventario multiplicado por el número de unidades inventariadas en dicho período. Si un inventario tiene promedio de 20 días almacenados y son 800 unidades almacenadas, el costo de no deterioro sería de: (0,00015)·(20)·(800) $/día; donde 0,00015 es una constante. Por lo tanto, determine el tamaño óptimo del lote. Solución:

El costo de ordenar es 5.00 5000.16 QC ⋅+= , pero sabemos que ordendías

DQT

d

/= ,

reemplazando Q en la ecuación anterior, como dDTQ ⋅= y sabiendo que la demanda es de 2.000 unidades en el último ciclo, tenemos:

5.05.00 6,223000.16)000.2(5000.16 TTC ⋅+=⋅⋅+=

Page 41: Guia Usach

40

Sabemos, además que el inventario declina linealmente, por lo tanto, el inventario es )(000.2 tTI −⋅= , donde t = tiempo en días en que es mantenido el producto en inventario, el cual va de cero a T para cada ciclo. Luego, el costo de no deterioro durante el ciclo es:

( ) díadtttTdttTtdttItdtDtQktTTTT

/$)(3,0)(000.200015,000015,0)(0

2

000∫∫∫∫ ⋅−⋅⋅=⋅−⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=−

Por lo tanto, el costo total en el ciclo será:

ciclodttTdtttTTE

TT

T$))(000.2(002,0)(3,06,223000.16

00

25.0 ∫∫ −⋅⋅+−⋅⋅+⋅+=

Integrando, se tiene:

TTTTET

126

3,06,223000.16 23

5.0 ⋅++⋅+=

díaTTTTEd

$205,06,223000.16 25,01 ⋅+⋅+⋅+⋅= −−

0205,026,2235,0000.16 5,12 =+⋅⋅+⋅⋅−⋅−= −− TTTdTdEd

021,08,111000.16 5,12 =+⋅+⋅−⋅−= −− TTT Mediante iteración se obtiene aproximadamente:

T* = 49 días/orden EA = 576,5 $/día · 365 días/año = 210.422,5 $/año Q* = 2.000·49 = 98.000 unidades/orden

22) Consideremos una situación en la que se le ofrece una oportunidad única de adquirir un artículo a un precio unitario reducido (éste es el caso cuando hay un aumento de precio y se da la última oportunidad para comprar al precio antiguo). Debido al cambio de uno de los parámetros, Q varía y el método general basado en analizar lo que ocurre en un horizonte ilimitado a través del promedio anual no sirve. Las alternativas deben compararse dentro de un horizonte finito en el que alcancen un estado idéntico. Desarrolle un modelo matemático que determine el tamaño óptimo en este tipo de decisiones. Solución: Sean Q el tamaño de lote, el costo variable unitario de adquisición (precio) actual Ca1 y el futuro Ca2 (Ca1 < Ca2). Después del aumento de precio el lote será:

Page 42: Guia Usach

41

22

2

a

o

CiCD

Q⋅⋅⋅

= , y el costo anual será:

( ) 222 2 aaoA CDCiDCQE ⋅+⋅⋅⋅⋅= Si aprovechamos la oportunidad se pide un lote de tamaño Q, durante un tiempo Q/D y el costo total del periodo será de:

( )DQCi

CQCDQ

CiQ

CQCQE aaoaaoT ⋅

⋅⋅+⋅+=⋅⋅⋅+⋅+=

22

21

111

Si Q fuese cero, deberíamos pagar Ca2 y el costo correspondiente a un periodo de tiempo T sería ( )2QET Parece razonable seleccionar Q que maximiza:

( ) ( ) ( )DQCi

CQCCQCiDCDQQEQE

DQQF a

aoaaoTA ⋅⋅⋅

−⋅−−⋅+⋅⋅⋅⋅⋅=−⋅=2

22

11222

Derivamos e igualamos a cero:

( )021 1

122 =⋅⋅

−−+⋅⋅⋅⋅⋅=D

QCiCCCiDC

DdQQdF a

aaao

Despejando, obtenemos:

iD

CC

QCC

iD

CCC

CiCiDC

Qa

a

a

a

a

aa

a

ao ⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⋅=⋅

−+

⋅⋅⋅⋅= 1

2

1

22

1

2

1

12

1

2*

23) La tienda de electrodomésticos ELCOM se ha especializado en la comercialización de sus productos estrella A y B. El costo por realizar un pedido de cualquiera de estos productos es de 50 $/orden, mientras que el costo anual por almacenarlos corresponde a un 20% del precio de compra, siendo éste igual a 50 $/unidad para el artículo A y 80$/unidad para el artículo B. Se sabe además que la demanda anual por el producto A es de 250 unidades, y para el producto B es de 484 unidades.

Por otra parte, la tienda se ha visto restringida económicamente ya que la

inversión en artículos A y B no puede superar los 5000 $/orden, y además ha visto restringida su capacidad en bodega, la cual es de un máximo de 500 m2 y en donde cada producto A y B ocupa 10 y 8 m2/unidad, respectivamente. Se pide determinar el tamaño a ordenar de los artículos A y B.

Page 43: Guia Usach

42

Solución: Datos:

añounidD

añounidD

unidañoCi

unidañoCi

PPi

ordenCo

484

250

$162.080$

$102.050$

80$50$%20

$50

2

1

2

1

2

1

=

=

⋅=⋅=

⋅=⋅=

==

=

=

Restricciones:

500810 volumenden Restriccio

50008050opresupuest den Restriccio

21

21

≤⋅+⋅

≤⋅+⋅

QQ

QQ

Se calcula el EOQ para cada lectora, es decir, se resuelve el problema no restringido:

5516

4845022

5010

2505022

2

22

1

11

=⋅⋅

=⋅⋅

=

=⋅⋅

=⋅⋅

=

CiDCo

Q

CiDCo

Q

Se verifica si estos valores cumplen con las restricciones:

Restricción de Inventario: 5000690055805050 >=⋅+⋅

Los valores determinados no satisfacen la restricción de inventario, por lo tanto se aplica el método de multiplicadores de Lagrange:

Page 44: Guia Usach

43

Para resolver el problema se escoge la restricción de espacio para utilizar Lagrange, puesto que a primera vista parece ser la más restrictiva.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+

⋅+⋅+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+

⋅+⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+

⋅+⋅= ∑ =

2164845048480

2102505025050),(

2),(

2

2

1

121

2

121

QQ

QQ

QQK

QCiQ

DCoDPiQQK

iii

i

ii

( )50016102

1648450484802

102505025050),,(

2),,(

212

2

2

1

1221

2

12

2

1221

−⋅+⋅⋅+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+

⋅+⋅+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+

⋅+⋅=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⋅⋅+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+

⋅+⋅= ∑∑

==

QQ

QQ

QQ

QQK

CQfQCi

QDCo

DPiQQKi

iiiii

i

ii

λ

λ

λλ

Obteniendo las derivadas parciales respecto a las variables:

50016100)),,((

155

220)),,((

2150

220)),,((

212

221

*2222

2*2

2

221

*2121

1*1

1

221

=⋅+⋅⇒=∂

+=

⋅⋅+⋅⋅

=⇒=∂

⋅+=

⋅⋅+⋅⋅

=⇒=∂

QQQQK

fCiDCoQ

QQQK

fCiDCoQ

QQQK

λλ

λλλ

λλλ

Con el sistema anterior se obtiene:

5000379080335023

:opresupuest den restriccio lacon solucion esta verificaSe

3311.33

2351.23

76.1

5001558

215010

*2

*1

*2

*2

*2

<=⋅+⋅

≈=

≈=

=⎟⎟

⎜⎜

++⎟

⎜⎜

⋅+

Q

Q

λ

λλ

Luego, dado que no se viola la restricción, dicha solución es la óptima.

Page 45: Guia Usach

44

Nota: Si se viola la restricción de presupuesto, se debería comenzar a aplicar Lagrange nuevamente pero tomando ahora la restricción de presupuesto para escribir la ecuación de Lagrange. Al obtener los nuevos valores de Q1

* y Q2* se

debe verificar la restricción de espacio con esta solución. He aquí la importancia de seleccionar bien la restricción a utilizar en la ecuación de Lagrange. Si ahora se viola esta restricción de espacio, no habría otro remedio que utilizar Lagrange con 2 multiplicadores λ1 y λ2 para la restricción 1 y 2, respectivamente, pero lo más probable es que al derivar respecto a Q1, Q2, λ1 y λ2 se llegue a un sistema de ecuaciones no lineales, por lo que habría que resolver este sistema con un método matemático más avanzado. Otra opción, en vez de utilizar Lagrange con 2 multiplicadores, es formular el modelo como un Problema de Programación Lineal, minimizando el costo anual total y sujeto a ambas restricciones, tras lo cual debería solucionarse este problema a través de, por ejemplo, el Método Simplex.

Page 46: Guia Usach

45

PROBLEMAS DE MODELOS ESTOCÁSTICOS DE INVENTARIOS 1) La demanda diaria para los mini-ruedas, un juguete muy conocido, está distribuida normalmente con una media diaria de 60 cajas y una desviación estándar de 10 cajas. El abastecimiento prácticamente es seguro, con un tiempo de espera de tres días. El costo de colocación de un pedido es de 6 dólares y los costos anuales de manejo son del 20% del precio unitario, que es de 1,20 dólares. Se desea un nivel de servicio del 90% (Z = 1,282) en nuestro almacén para clientes que colocan pedidos durante el período de reorden. Se puede suponer además que los pedidos llegan a lo largo de 200 días durante el año. a) Determine el punto de reorden b) Determine el nivel de inventario objetivo c) Compare ambos sistemas en términos de costos y cual sistema escogería. Solución: Dd = 60 cajas/día σd =10 cajas L = 3 días C0 = 6 US$/orden Ci = 0,2·1,2 = 0,24 US$/año N.d.s. = 90% Z = 1,282 Año = 200 días

a) ordenunidadesQ /77524,0

6200602* =⋅⋅⋅

=

unidadesZLDR Ld 2032,2022,22180310282,1360 ≈=+=⋅+⋅=+= σ Cuando el punto de reorden llega a 203 unidades debe reabastecerse un

lote de 775 unidades (cajas).

b) )()(' LTd ZLTDR +++= σ díasT 1391,1260775

≈==

Si L = 3 días: cajasZLTDR LTd 101228,101128,5196031310282,1)313(60)(' )( ≈=+=+⋅++⋅=++= +σ

Se revisa el sistema cada 13 días y se ordena la diferencia hasta completar las 1012 cajas.

c) Costo anual: ( ) PIDIXCXDC

E segAsegiA

A ⋅++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

20

( ) 87,617.14$2,12,22000.122,222

77524,0775

000.126) USE aA =⋅++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅+

⋅=

Por nivel de inventario estimado, asumiendo determinismo con un tamaño de lote igual al EOQ, se tiene para el sistema de revisión periódica:

Page 47: Guia Usach

46

( ) 75,659.14$2,128,51000.1228,512

77524,0775

000.126) USE bA =⋅++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅+

⋅=

Se escogerá, por lo tanto, la alternativa de punto de reorden (revisión

continua), ya que es lo más barato debido al menor inventario de seguridad y considerando los supuestos presentados. 2) Un almacén regional compra herramientas manuales a varios proveedores y después las distribuye, de acuerdo con la demanda, a vendedores al detalle de la región. El almacén trabaja cinco días por semana y 52 semanas por año. Sólo puede recibir pedidos cuando está en operación. Los siguientes datos son estimaciones aplicables a los taladros manuales de 3/8 pulgadas, con doble aislamiento y velocidad variable. - Demanda diaria promedio = 100 taladros - Desviación estándar de la demanda diaria = 30 taladros - Tiempo de entrega = 3 días - Costo de manejo de inventario = 9,30 $/unidad·año - Costo de hacer los pedidos = $35/orden - Ciclo del nivel de servicio = 92%

a) Si el almacén utiliza un sistema de revisión continua:

a1. ¿Qué cantidad de pedido y punto de reorden deberá utilizarse? a2. Si el inventario disponible es de 40 unidades, existe un pedido abierto por 442 taladros y no hay órdenes atrasadas, ¿será conveniente hacer un nuevo pedido?

b) Si el almacén utiliza un sistema de revisión periódica: b1. Calcule el valor de P (en días de trabajo, redondeados al día más próximo) que produzca aproximadamente el mismo número de pedidos por año que el EOQ. b2. ¿Cuál es el valor objetivo de inventario T? b3. Ha llegado el momento de revisar este artículo. Y se tiene un inventario en mano de 412 unidades, ¿qué tamaño de unidades habrá que incluir en el nuevo pedido?

Solución: a) Sistema de revisión continua: a1.

Demanda anual = DA = año

taladrosaño

semanassemana

díasdía

taladros 000.26525100 =⋅⋅

⇒ taladrosC

DCQ

i

A 37,4423,9

35000.2622 0* =⋅⋅

==

Page 48: Guia Usach

47

R = m + Z·σL; con m = Dd·L = 100·3 = 300 taladros

Si se asume aditividad en la varianza: σL

2=3·30, luego σ = 30 3 ⇒ B = Z·σL = 1,40·30 3 = 72,75 taladros Entonces R = 300 + 72,75 = 373 taladros.

a2.

Si hay 40 unidades de inventario en mano y llega una orden de abastecimiento de 442 taladros tendremos 40 + 442 = 482 taladros, por lo cual no es necesario pedir una nueva orden ya que el punto de reorden es 373 unidades, que es inferior a 482.

b) Sistema de revisión periódica:

b1.

diasDQT 442,4260

000.26442

≈=⋅==

b2. Nivel de inventario objetivo: R’ = m’ + B’

Con m’ = demanda promedio durante T+ L B’ = inventario de seguridad = Z·σT+L

B’ = 1,40·30· 34 + = 111,12 ≈ 111 taladros ⇒ R’ = m’ + B’ = 100·(4+3) + 111 = 811 taladros

b3.

Si tengo en mano 412 taladros y es tiempo de ordenar, ¿de qué tamaño será la nueva orden?

Q = 811 – 412 = 399 unidades 3) La pieza número XB-2001 tiene una demanda independiente anual como piezas de reemplazo de 4.000 unidades, un costo de preparación de 100 dólares, un costo de mantenimiento de inventario de 30% anual y un costo del artículo de 266,67 dólares. Las instalaciones de producción permanecen abiertas cinco días a la semana y 50 semanas al año. El tiempo de entrega para este producto es de 9 días y la desviación estándar de la demanda es de dos unidades diarias. La empresa desea tener un nivel de servicio del 95% para esta pieza de reemplazo (Política I). a) Determine el tamaño óptimo del lote b) Calcule el punto de reorden c) Si la empresa estuviera utilizando un sistema Q de control de inventarios

(revisión continua), interprete los resultados de sus cálculos

Ahora bien, si consideramos que el producto será administrado según el sistema P, responda lo siguiente:

Page 49: Guia Usach

48

d) ¿Con que frecuencia se deben colocar las órdenes para este producto, si se coloca a intervalos regulares?

e) Calcule el nivel objetivo de inventario. f) Declare la regla específica de decisión para este producto con la información

que usted ha calculado hasta el momento. g) Suponga que es tiempo para hacer una revisión periódica. Un chequeo del

nivel de inventario para este producto nivel que hay 60 unidades disponibles y que 110 se han pedido. ¿Qué se debe hacer?

Solución: Sistema Q: a)

ordenunidades

CDC

Qi

o 10067,2663,0

100400022=

⋅⋅⋅

==

b)

645,195,0 == ZZ nds

unidadesZLDROP Lndsd 1549,1539,914492645,19

5054000

≈=+=⋅+⋅⋅

=⋅+⋅= σ

c) Ordenar un lote de 100 unidades cuando el nivel de inventario baja a 154

unidades. Aproximadamente 10 unidades (9,9) en promedio estarán en mano cuando llegue el pedido. En un 5% de los casos habrá un agotamiento de las existencias antes de que llegue el pedido.

Sistema P: d)

ordendías

ordendías

añodías

ordenaños

DQT 625,6250025,0

4000100

≈=⋅===

e) f) Revisar el inventario cada 6 días y ordenar las unidades necesarias para llegar

al nivel de inventario objetivo de 253 unidades. En un 5% de los casos puede haber agotamiento de las existencias durante el tiempo de ciclo más el tiempo de entrega, y para contrarrestarlas, se tiene un inventario de seguridad de aproximadamente 13 (12,7) unidades.

g) Inventario = 60 + 110 = 170 ⇒ Q = 253 – 170 = 83 unidades

Dado que al revisar las existencias, el inventario es menor al nivel objetivo, se ordena la diferencia del inventario actual con respecto al inventario objetivo, es decir, el tamaño de la orden es de 83 unidades.

( ) ( ) ( )

unidadesR

ZLTDR LTndsd

2537,2527,12240'

962645,196250

4000'

≈=+=

+⋅++⋅=⋅++⋅= +σ

Page 50: Guia Usach

49

4) El consultorio de un oftalmólogo permanece abierto 52 semanas al año, 6 días a la semana, y usa un sistema de inventario de revisión continua. Compra lentes de contacto desechables a US$ 11,70 el par. Disponemos de la siguiente información acerca de esos lentes:

Demanda = 90 pares /semana Costo de hacer el pedido = US$ 54/pedido Ciclo del nivel de servicio deseado = 80% Z = 0,84 Costo anual de manejo de inventario = 27% del costo Tiempo de entrega = 3 semanas (18 días laborales) Desviación estándar de la demanda semanal = 15 pares

Actualmente, el inventario disponible es de 320 pares, sin pedidos abiertos ni ordenes atrasadas. a) ¿Cuál es el EOQ? b) ¿Cuál sería el tiempo promedio entre pedido (expresado en semanas)? c) ¿Cuál sería el valor de R? d) Se acaba de realizar un retiro de 10 pares de lentes del inventario, ¿será éste

el momento oportuno para hacer un nuevo pedido? e) La tienda usa actualmente un tamaño de lote de 500 unidades. ¿Cuál es el

costo anual de manejo del sistema de inventario con esta política? ¿Y el costo anual de hacer pedidos? Sin calcular el EOQ, ¿de qué manera podría usted deducir, a partir de estos dos cálculos, que el tamaño del lote actual es demasiado grande?

f) ¿Cuál sería el costo anual que podría ahorrarse haciendo que el tamaño del lote, en lugar de ser de 500 unidades fuera equivalente al valor de la EOQ?

Solución:

a) ordenparesC

DCEOQ

i

A /40070,1127,052905422 0 =

⋅⋅⋅⋅

==

b) ordensemanasDQT

S

/44,490400

===

c) LS ZLDR σ+= DS = 90 pares/semana Z =0.84 L = 3 semanas σL = 2698,2573,115315 ≈=⋅= paresZLDR LS 29284,2912684,0390 ≈=⋅+⋅=+= σ d) Inventario disponible 320 pares

Se retiran 10 pares Inventario actual = 320 – 10 = 310 pares > 292 Por lo tanto, no es el momento de hacer un pedido.

e) Q = 500

Page 51: Guia Usach

50

Costo manejo inventario = 7902

70,1127,05002

≈⋅

=iXC

Costo de hacer pedido = 506500

5290540 ≈⋅

=XDC A

Costo de compras = 756.54529070,11 =⋅⋅=⋅ ADP Costo anual = 790 + 506 + 54.756 = 56.052 US$/año

Se puede deducir que el tamaño del lote actual es demasiado grande por el

valor del manejo del inventario, el cual es mayor que el costo de hacer el pedido.

f) EOQ = 400

añoUSPDXC

XDC

E AiA

A /$020.5670,1152902

70,1127,0400400

5290542

0 ≈⋅⋅+⋅

⋅+⋅⋅

=++=

añoUSEE AA /$32020.56052.56400500 =−=− ⇒ Habrá un ahorro de 32 US$/año

5) La demanda promedio diaria de jeringas desechables en la clínica Santiago es de 50 unidades, el tiempo de entrega son dos días, la cantidad económica del pedido equivale a 300 unidades y el nivel de servicio deseado durante el tiempo de entrega es de 90% (Z0,90 = 1,28). Si la clínica quiere establecer un sistema de revisión periódica en que siempre se haga un pedido durante el periodo de revisión, ¿con qué frecuencia debe revisar sus existencias y cual debe ser el inventario objetivo? Asuma una desviación estándar de la demanda diaria de 5 jeringas. Solución: Datos: Tiempo de entrega = 2 días

90% nivel de servicio Z0,90 = 1,28 Q = 300 unidades/orden σd = 5 jeringas

Sistema de revisión periódica: añounidadesañounidadesDA /250.18/36550 =⋅=

ordendíasordenañosDQT

A

/6/0164,0250.18

300≈===

unidadesLT 142,14265)( =+⋅=+σ

Luego, el nivel de inventario objetivo: unidadesZLTDR LTd 418142,1428,1)26(50)(' )( ≈⋅++⋅=⋅++= +σ

Así, se revisa el sistema cada 6 días y se ordena la diferencia hasta completar las 418 unidades.

Page 52: Guia Usach

51

6) La empresa ABC mantiene un inventario de 100 artículos diferentes. En promedio, cada artículo cuesta mantenerlo en inventario durante un año un valor de US$10 y hacer un pedido cuesta US$100. La política de la empresa ha sido el entregar un servicio de excelencia, por lo que desea que el nivel de agotamientos se mantenga a un nivel mínimo. Sin embargo, un estudio de consultoría ha demostrado que el número de unidades agotadas en un año es de un 10%, lo que es considerado inaceptable por el gerente de la empresa. Él le ha dicho entonces al consultor que está dispuesto a invertir hasta US$200.000 en aumentar el nivel de servicio desde el 90% actual a un 99,5%. Se pide a usted determinar si es posible realizar el mejoramiento del nivel de servicio de acuerdo a como lo desea el gerente con el presupuesto disponible. Otros datos para un artículo típico son: Demanda promedio anual = 12.500 unidades Demanda promedio durante el tiempo de entrega = 2.000 unidades El tiempo de entrega es aleatorio y varía entre 7 y 9 semanas. Usted puede asumir que se distribuye de acuerdo a una función de probabilidades uniforme entre ambos valores. Desviación estándar de la demanda durante el tiempo de entrega = 200 unidades Nota: 1 año = 50 semanas Solución:

Primero, expresamos los datos para un artículo típico, en función de las unidades totales: Datos: N = 100 artículos

añoUSartículo

artículoañoUS

artículoañoUSCi

$1000100$10$10 =⋅⋅

=⋅

=

ordenUSCo

$100=

n.d.s.1 = 90% (actual) ⇒ β1 = 0,1 = fracción de unidades agotadas en el año (Política II)

n.d.s.2 = 99,5% (deseado) ⇒ β2 = 0,005 = fracción de unidades agotadas en el año (Política II)

unidadesartículo

artículounidades

artículounidadesD A 000.250.1100500.12500.12 =⋅==

unidadesartículo

artículounidades

artículounidadesD L 000.200100000.2000.2 =⋅==

σL = 200 unidades L ∼ Uniforme [ 7 ; 9 ] , entonces:

semanassemanasL 82

97=

+=

Inversión ≤ 200.000 US$/año

Page 53: Guia Usach

52

Sabiendo que lo deseado es aumentar el nivel de servicios, es decir, aumentar el inventario de seguridad, compararemos los costos anuales de la situación actual con la deseada, para saber si la inversión será suficiente. Para ello, primero calculamos el EOQ para luego obtener el Z1 asociado al nivel de servicio actual:

ordenunidades

CCD

Qi

A 500000.1

100000.250.122* 0 =

⋅⋅=

⋅⋅=

25,0)(1,0

500)(200

*)(

111

1 =⇒=⋅

=⋅

= ZEZE

QZELσ

β

De la tabla para E(Z1), obtenemos:

E(Z) Z 0,267 0,30 0,25 Z1

0,230 0,4 Usando interpolación lineal se obtiene:

346,03,0)267,025,0(

)267,0230,0()3,04,0(

1 =+−⋅−−

=Z

Con estos datos podríamos calcular el inventario de seguridad actual (B1) y posteriormente el costo anual correspondiente (EA1), pero para ahorrarnos algunos cálculos, obtendremos primero los datos necesarios para calcular el inventario de seguridad de la situación deseada (B2). Para ello calculamos:

0125,0)(005,0

500)(200

*)(

222

2 =⇒=⋅

=⋅

= ZEZE

QZELσ

β

De la tabla para E(Z2), obtenemos:

E(Z) Z 0,014 1,80 0,0125 Z2 0,011 1,90

Nuevamente, usando interpolación lineal se obtiene:

85,180,1)014,00125,0(

)014,0011,0()80,190,1(

2 =+−⋅−−

=Z

Page 54: Guia Usach

53

Finalmente, si restamos los costos anuales de la situación deseada y la actual, obtenemos:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅+⋅= 20 2

**2

BQCQDCE i

AA

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅+⋅= 10 2

**1

BQCQDCE i

AA

)( 1212BBCEEE iAAA −⋅=−=∆

)( 12 LLiA ZZCE σσ ⋅−⋅⋅=∆ )200346,020085,1(1000 ⋅−⋅⋅=∆ AE $000.200$800.300 US

añoUSEA >=∆

∴No es posible realizar el mejoramiento del nivel de servicio, de acuerdo a como lo desea el gerente, dado que la inversión que se debería realizar es mayor que el presupuesto disponible. 7) Considere la empresa I.P.T. donde la demanda anual de su producto “Inter” es de 1.000 unidades, el costo de ordenar es $100 por orden y el costo de conservación de inventario anual es de un 25% sobre precio de $20 por unidad. Además se sabe que la fracción de unidades agotadas en un año es de 5%, el tiempo de entrega es de 15 días y la desviación estándar de la demanda durante el tiempo de entrega es igual a 50. Con los datos dados determine: a) El EOQ, el ROP y el costo anual para un sistema de revisión continua b) El tiempo de ciclo, el inventario objetivo y el costo anual para un sistema de

revisión periódica. c) ¿Qué diferencia hay entre el inventario de seguridad de a) con respecto a b)? y

¿por qué se da esta diferencia? d) Determine a) y b) si ahora se desea que no haya más de una unidad agotada

en el año. e) Determine a) y b) si ahora el n.d.s. deseado es de un 95% (Política I). Solución: a) Política II (fórmula β), Revisión Continua:

ordenunidades

CCD

EOQi

oA 2002025,0100100022

=⋅⋅⋅

==

Lndsd ZLDROP σ⋅+⋅=

/año

Page 55: Guia Usach

54

Para obtener el Znds:

( ) ( ) 2,050

20005,005,0 ≈⋅

=⇒⋅

== ZEQ

ZELσβ

De la tabla:

E(Z) Z 0,230 0,4 0,200 Znds 0,198 0,5

Con interpolación lineal:

49,0200,0230,0

4,0198,0230,05,04,0

=⇒−−

=−−

ndsnds Z

Z

Luego:

unidadesROP 666,655049,015365

1000≈=⋅+⋅=

( )SDPSQCQDC

E AiAo

A ++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

2

( )5049,01000205049,02

2002025,0200

1000100⋅++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅+

⋅=AE

año

EA$147.21=

b) Política II (fórmula β), Revisión Periódica:

Asumiendo determinismo, con un EOQQ = , se tiene:

ordendías

DQT

d

733651000

200===

Para obtener la desviación estándar durante el tiempo T+L se tiene:

155050

22222 ==⇒=

LL

dLσ

σσ

( )15

73155015

73155022 +=⇒

+=⇒ ++ LTLT σσ

Luego, para obtener Znds, primero calculamos E(Z) con la siguiente fórmula:

( ) ( ) 083,0

15731550

20005,0=

+

⋅=⇒

⋅= + ZE

QZELTσ

β

Page 56: Guia Usach

55

De la tabla, se tiene que si E(Z) = 0,083 ⇒ Znds = 1 De esta manera obtenemos el nivel de inventario objetivo y el costo anual:

( ) ( ) unidadesZLTDR LTndsd 3622,36215

73155017315365

1000' ≈=+

⋅++⋅=⋅++⋅= +σ

( )SDPSQCQDC

E AiAo

A ++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅+⋅+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅+⋅⋅+

⋅=

157315501100020

157315501

22002025,0

2001000100

AE

año

E A$7,027.24=

c) Sb) > Sa)

El sistema P siempre requiere mayor inventario de seguridad que el sistema Q para igual nivel de servicio, porque el sistema P debe proporcionar ese porcentaje de satisfacción de la demanda durante un tiempo P+L, mientras que el sistema Q debe protegerse contra inexistencias sólo durante un tiempo L.

d) Q y T siguen siendo los mismos. Además, para este ítem utilizamos la fórmula para N, dependiendo si es un

sistema Q (a) o un sistema P (b) d.a) Política II (fórmula N), Revisión Continua:

( )ZEQD

N LA ⋅⋅= σ

( ) ( ) 004,050200

10001 =⇒⋅⋅= ZEZE

De tabla se tiene que si E(Z) = 0,004 ⇒ Znds = 2,3 Luego:

unidadesROP 1561,156503,215365

1000≈=⋅+⋅=

( )503,2100020503,22

2002025,0200

1000100⋅++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅+

⋅=AE

año

E A$875.23=

Page 57: Guia Usach

56

d.b) Política II (fórmula N), Revisión Periódica:

( )ZEQD

N LTA ⋅⋅= +σ

( ) ( ) 002,015

731550200

10001 =⇒⋅+

⋅= ZEZE

De tabla se tiene que si E(Z) = 0,002 ⇒ Znds = 2,5

Luego:

( ) unidadesR 5449,54315

7315505,27315365

1000' ≈=+

⋅++⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅+⋅+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅+⋅⋅+

⋅=

157315505,2100020

157315505,2

22002025,0

2001000100

AE

año

E A$1,569.28=

e) Q y T siguen siendo los mismos. Si el n.d.s. = 95%, entonces, de la tabla normal se tiene que Znds = 1,645 ≈ 1,65 e.a) Política I (Z∼Normal), Revisión Continua:

unidadesROP 1246,1235065,115365

1000≈=⋅+⋅=

( )5065,11000205065,12

2002025,0200

1000100⋅++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅+

⋅=AE

año

E A$5,062.23=

e.b) Política I (Z∼Normal), Revisión Periódica:

( ) unidadesR 4419,44015

73155065,17315365

1000' ≈=+

⋅++⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅+⋅+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅+⋅⋅+

⋅=

1573155065,1100020

1573155065,1

22002025,0

2001000100

AE

año

E A$6,995.25=

Page 58: Guia Usach

57

8) Miró-Kandinsky una empresa que vende equipos de arte para niños, tiene un costo de lanzamiento de $40 por pedido para el equipo MK-1. El costo de almacenar el inventario del MK-1, es de $5 por equipo al año. Con el fin de cumplir con la demanda, Miró-Kandinsky ordena grandes cantidades de MK-1 siete veces al año. El costo de una falta de inventario para MK-1 se estima en $50 por equipo. En el curso de los últimos años. Miró–Kandinsky ha observado la siguiente demanda durante el plazo de entrega del MK-1:

Demanda durante el plazo de reaprovisionamiento Prob. Demanda durante el plazo de

reaprovisionamiento Prob.

40 0,1 70 0,2 50 0,2 80 0,2 60 0,2 90 0,1

El punto de pedido del MK-1 es de 60 unidades.

a) ¿Qué nivel de inventario de seguridad se debe mantener para MK-1? b) Suponga que un distribuidor más pequeño le compra este producto a Miró-

Kandinsky, a un precio de $50 y lo vende a un precio de $70 la unidad. Si no vende el producto, este distribuidor puede devolverlo a Miró-Kandisky, a un costo de $5 menos, por manipulación y almacenamiento. Asuma la misma distribución anterior para determinar el número de unidades que el distribuidor más pequeño debe almacenar.

Solución: C0 = 40 $/pedido Ci = 5 $/año N° de órdenes = 7 veces/año Cf = 50 $/año Punto de pedido es de 60 unidades a) Inventario

de seguridad

Costo Almacenamiento

adicional Costo de ruptura de inventarios Costo

total

30 30·5 =150 0 $150

20 20·5 =100 10·0,1·50·7 = 350 $450

10 10·5 =50 10·0,2·50·7+20·0,1·50·7 = 700+700 = 1400 $1450

0 0 10·0,2·50·7+20·0,2·50·7+30·0,1·50·7 = = 700+1400+1050 = 3.150 $3.150

En consecuencia el nivel de inventario de seguridad es de 30 unidades, pues es lo que representa un menor costo. b) ML: pérdida marginal = $5 MP: beneficio marginal = $70 – $50 = $20

Page 59: Guia Usach

58

2,0520

5ˆˆ =+

≥⇒+

≥ pMPML

MLp

Demanda Probabilidad de que la demanda esté a

este nivel

Probabilidad acumulada de que la demanda esté a este

nivel o a uno mayor 40 0,1 1 50 0,2 0,9 60 0,2 0,7 70 0,2 0,5 80 0,2 0,3 ≥ 0,2 90 0,1 0,1

Por lo tanto la mejor política es almacenar 80 unidades. 9) Una florista compra rosas cada mañana de su proveedor habitual a 6 dólares la docena y ella las vende al el mismo día al público a 15 dólares. Si las rosas no son vendidas el mismo día, estas son vendidas al día siguiente a 3 dólares por docenas. La demanda por rosas frescas en la florería, esta dado por la siguiente distribución:

Demanda (docenas) Probabilidad Probabilidad acumulada 06 0,1 0,1 08 0,2 0,3 10 0,2 0,5 12 0,2 0,7 14 0,1 0,8 16 0,1 0,9 18 0,1 1,0

Calcule el número de docenas óptimas de rosas, que la florista deba comprar a fin de maximizar su utilidad diaria. Solución: Sea p = $15 dólares, c = $6 dólares, s = $ 3 dólares De esta manera, la probabilidad crítica es:

75,0315615=

−−

=−−

≥spcpP

Por lo tanto, la cantidad óptima a pedir estará entre 12 y 14 docenas, y si tomamos en cuenta que sólo pueden presentarse las demandas dadas en la tabla, dado que la probabilidad debe ser mayor o igual a 0,75 la florista debería comprar 14 docenas de rosas.

Page 60: Guia Usach

59

10) Se sabe que el tiempo de espera para la entrega de hamburguesas congeladas a un restaurante de servicio rápido es de tres días. La demanda diaria se ha registrado de la siguiente forma:

Demanda diaria Probabilidad 1200 0,3 1300 0,2 1400 0,5

Si el nivel de servicio deseado por la gerencia es de un 85%, según los datos entregados determine: a) El inventario de seguridad necesario para obtener tal nivel de servicio. b) El punto de reorden de este sistema. Solución:

Demanda diaria Probabilidad Dj·P(Dj) (Dj - µ)2 (Dj-µ)2·P(Dj)

1200 0.3 360 14.400 4.320 1300 0.2 260 400 80 1400 0.5 700 6.400 3.200

Suma 1320 7600

unidadesDPDk

jjj 320.1)(

1

==∑=

µ

unidadesDPDj

jj 2,877600600.7)()(3

1

22 ==⇒=−=∑=

σµσ

Si el nivel de servicio es del 85%, entonces, asumiendo que la demanda diaria se distribuye normal, se tiene Zn.d.s. = 1,04; luego, tomando en cuenta un sistema de revisión continua: Existencia de seguridad:

unidadesZB Lsdn 15708,15732,8704,1... ≈=⋅=⋅= σ Punto de reposición:

unidadesBLDR d 41171573320.1 =+⋅=+=

11) Clone Computer Mart estima la distribución de la demanda correspondiente a cajas de disquetes, durante el tiempo de entrega, tal como se indica a continuación:

Page 61: Guia Usach

60

Demanda Probabilidad20 0,20 40 0,40 60 0,20 80 0,10

100 0,10

a) Si se utiliza un sistema de revisión continua, ¿qué punto de reorden , R, proporciona un ciclo del nivel de servicio de 80%?

b) ¿Cuál tendrá que ser el inventario de seguridad? Solución: 1º Método: ∑ ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅= 10,010010,08020,06040,04020,020)( iiL DPDD

50=LD unidades

( ) ( )∑ ⋅−= iLiL DPDD22σ

1,0)50100(1,0)5080(2,0)5060(4,0)5040(2,0)5020( 222222 ⋅−+⋅−+⋅−+⋅−+⋅−=Lσ 2408,245802 ≈=⇒= LL σσ unidades Suponiendo que la demanda se distribuye Normal, si se requiere un nivel de servicio de 80%, esto quiere decir:

8,0)( =< ZXP De la tabla normal tipificada de 0 a Z se tiene que “una entrada en la tabla es la proporción bajo toda la curva que está entre Z = 0 y un valor positivo de Z”, es decir, en nuestro caso sería necesario buscar el valor de Z para el cual la proporción sea 0.3, recordando que la distribución Normal es simétrica con media cero, y así la proporción bajo la curva para valores menores o iguales a cero es 0,5.

Z0,5 = 0 Z0,3 = ?

0,5 0,3p = 0,8

n.d.s. = 80%

Page 62: Guia Usach

61

De la tabla se obtiene:

Proporción Z 0,2995 0,84

0,3 Z0,3 0,3023 0,85

Con interpolación lineal:

84,08417,085,0

3023,03,085,084,03023,02995,0

3.03,0

≈=⇒−

−=

−− Z

Z

Por lo tanto: a) 7016,702484,0503,0 ≈=⋅+=⋅+= LL ZDR σ unidades b) 2016,202484,03,0 ≈=⋅=⋅= LZB σ unidades 2º Método: a) Se realiza la distribución acumulada correspondiente a la demanda y se

selecciona R de modo que la probabilidad de que la demanda sea menor o igual a R sume en total 0,8:

Demanda Probabilidad Probabilidad Acumulada

20 0,20 0,20 40 0,40 0,60 60 0,20 0,80 80 0,10 0,90 100 0,10 1,00

1,00 ∴Se selecciona R = 60 unidades b) El valor de Inventario de Seguridad es R menos la demanda promedio dentro

del tiempo de entrega:

50=LD unidades 105060 =−=−=⇒ LDRB unidades

12) Una empresa X utiliza un sistema de gestión de inventarios con una política de revisión continua para su producto estrella. Éste posee una demanda anual promedio de 1.000 unidades, la cual se divide en una demanda promedio de 4 unidades por día con un tiempo de entrega promedio de 4 días (supóngase que la demanda del tiempo de entrega tiene una distribución normal con desviación

Page 63: Guia Usach

62

estándar de 4). Los costos de ordenar son $10 por orden, el costo de conservación es de $2 por unidad por año y el costo por faltante es de $1 por unidad. Determine la cantidad óptima a ordenar y el punto de reorden que equilibra los costos esperados por faltantes y los de mantener inventario. Solución: Cantidad óptima a ordenar:

orden

unidadesC

DCQ

i

Ao 100210001022

=⋅⋅

==

Para el ROP, dado que contamos con el costo por faltantes y la demanda no es determinística, debemos usar la fórmula “probabilidad de que no ocurra un faltante” (Pr):

833,02

10010001

10010001

Pr =+⋅

⋅=

+⋅

⋅=

if

f

CQDC

QDC

Luego, de tabla normal se tiene que Z0,833 = 0,97 Finalmente:

unidadesZLDROP Lndsd 209,19497,044 ≈=⋅+⋅=⋅+⋅= σ 13) Un proveedor de árboles de navidad ha evaluado la demanda semanal en noviembre y diciembre a lo largo de los últimos siete años. La demanda normalmente está distribuida con una media de 350 árboles por semana y con una desviación estándar de 200. Para asegurar suministros frescos y mantener una reputación de calidad, los árboles se cortan con una semana de anticipación a la demanda. Un árbol de navidad en promedio se vende a 6 dólares que es el precio de mayorista local, y si no se vende localmente, otra posibilidad de venta es embarcarlo fuera del estado y venderlo a 2 dólares (vendiéndolo como “no cortado fresco”). El costo de cuidar y cosechar el árbol es de 3,75 dólares. ¿Cuál debe ser el pedido semanal (cosecha) para la próxima temporada de navidad? Hint: En productos perecibles, existe el costo de escasez por no tener existencia (Cu) y los costos de tener demasiada existencia (Co). Por lo tanto la cantidad critica (CC) o cuantil, es el nivel de servicio que aumenta las utilidades. Siendo CC= (Cu) / [(Cu) + (Co)].

Page 64: Guia Usach

63

Solución: Datos:

semanaárbolesDsemanal 350=

semanaárboles

semanal 200=σ

semanaL 1= árboldólaresCosto 75,3=

árboldólaresPmayor 6=

árboldólaresPmenor 2=

Luego:

25,275,36 =−=−= CostoPC mayoru 75,1275,3 =−=−= menoro PCostoC

%25,56...5625,075,125,2

25,2=⇒=

+=

+=⇒ sdn

CCCCC

ou

u

1573,0=⇒ ndsZ Luego, la cantidad semanal de árboles a pedir (cosechar) para la próxima temporada de navidad está dada por:

árbolesSemanalPedidoSemanalPedido

ZLDSemanalPedido Lndssemanalsemanal

38146,38112001573,01350

≈=⋅+⋅=

⋅+⋅= σ

14) Gemtronic Corporation produce componentes eléctricos para la industria automotriz. La demanda para el modelo XK202 ha mostrado una pequeña variación estacional, sin embargo esta se distribuye normalmente con una media de 700 unidades por día y una desviación estándar diaria de 100. La compañía trabaja usualmente 250 días al año, con un lead time de diez días debido al tiempo de setup y programación de las máquinas para realizar el componente. El costo para iniciar la producción es de US$200 y la tasa de producción para el modelo XK202 es de 4.000 unidades por día. El costo de mantener una unidad de producto es de US$0,25 por año. A partir de la información anterior, calcule: a) La cantidad óptima de producción. b) El punto de reorden, dado un nivel de servicio de 96% (Z96% = 1,75)

Page 65: Guia Usach

64

Solución: a) Dd = 700 unidades ± 100 unidades/día

Pd = 4.000 unidades/día C0 = 200 US$/orden Ci = 0,25/250 US$/(unidad·día) = 0,001 US$/(unidad·día)

Luego: )(

2 0*

DPCDPCX

i −=

ordenunidadesX /65,422.18)700000.4(001,0

000.47002002* =−⋅⋅⋅⋅

=

La cantidad óptima, basada en la demanda promedio, es de 18.422,65 ≈ 18.423 unidades/orden.

b) Lsdnd ZLDR σ⋅+= ...

unidadesL 23,31610100 =⋅=σ Entonces:

unidadesZLDR Ld 553.739,553.739,553000.723,31675,110700 ≈=+=⋅+⋅=+= σ Cuando el nivel de inventario llega a 7.553 unidades se debe ordenar un lote de 18.423 unidades. 15) La Akaga Corporation distribuye productos de robótica en todo Japón. El gerente de marketing estima que la demanda para el año siguiente será de 60.000 unidades, con una desviación estándar de 12.000 unidades. El precio básico de un sistema de robótica es de $ 7.500 y el costo de hacer un pedido, incluidos los aspectos de ingeniería, es de $ 2.000. El costo estimado de manejo de inventario equivale al 15% del precio base por unidad y por año. La gerencia desea mantener un ciclo del nivel de servicio de 95% (es decir, una probabilidad de 5% de que se presenten faltantes). El tiempo de entrega es de 1 mes. El proveedor ha propuesto el siguiente plan de descuento sobre precios:

Pedido mínimo Descuento

5.000 1% 10.000 2% 30.000 3%

a) ¿Con qué cantidad de pedido óptima y de punto de reorden se minimiza el total

de costos? b) ¿Cuáles son los costos totales de inventario y el nivel de inventario de

seguridad correspondiente a la política óptima?

Page 66: Guia Usach

65

c) ¿Deberá aprovechar la compañía el plan de descuento de precios? En caso afirmativo, ¿en que nivel?

d) ¿Qué proporción del total de los costos corresponde a los costos de inventario, en el caso de la política óptima?

e) ¿Cuál sería el impacto en la política óptima si la probabilidad de que se presenten faltantes aumentara a 10%

Solución: Datos:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

añounidadesDA 000.60

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

ordenC $000.20

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

añounidades

A 000.12σ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅=

añounidadesPC ii

$15,0

1=L mes n.d.s. = 95% Tomando en cuenta el precio básico (P0) y los precios con descuento sobre P0, se tiene la siguiente tabla:

P Q P0 = 7.500 Menos de 5.000 P1 = 7.425 5.000 a 9.999 P2 = 7.350 10.000 a 29.999 P3 = 7.275 30.000 ó más

a) Primero calculamos el EOQ para cada intervalo, luego calculamos los costos

anuales para los Q factibles, y para los infactibles evaluamos el costo anual en el Q mínimo del intervalo correspondiente.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅⋅

=orden

unidadesPCD

PQi

Ai 15.0

2)( 0

⇒<⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≈=

⋅⋅⋅

= 000.54629,461500.715.0

000.2000.602)( 0 ordenunidadesPQ

⇒<⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≈=

⋅⋅⋅

= 000.54642,464425.715.0

000.2000.602)( 1 ordenunidadesPQ

⇒<⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≈=

⋅⋅⋅

= 000.104676,466350.715.0

000.2000.602)( 2 ordenunidadesPQ

⇒<⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⋅⋅⋅

= 000.30469275.715.0

000.2000.602)( 3 ordenunidadesPQ

Factible

Infactible

Infactible

Infactible

Page 67: Guia Usach

66

Para los costos anuales necesitamos el inventario de seguridad, y para ello, el valor de Z que corresponde a un nivel de servicio de 95% (asumiendo que la demanda se distribuye Normal). En el caso de la tabla entregada en la prueba, buscamos Z0,45 y obtenemos:

Proporción Z 0,4495 1,64 0,45 Z0,45

0,4505 1,65 Con interpolación lineal:

645,1

65,14505,045,0

65,164,14505,04495,0

45.045,0

=⇒−

−=

−− Z

Z Luego, los costos anuales serían:

iAiA

iA PDBQPQ

DCPQE ⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅+

⋅=

215,0),( 0

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅⋅+

⋅==

añoPQE A

$3,368.930.45675006000012

12000645,12

462750015,0462

600002000),462( 0

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅⋅+

⋅==

añoPQEA

$5,020.655.45474256000012

12000645,12

5000742515,05000

600002000),5000( 1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅⋅+

⋅==

añoPQEA

$038.807.45273506000012

12000645,12

10000735015,010000

600002000),10000( 2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅⋅+

⋅==

añoPQEA

$5,180.091.45972756000012

12000645,12

30000727515,030000

600002000),30000( 3

Comparando los costos anuales, el menor se da cuando Q = 10.000

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=∴

ordenunidadesQ 000.10*

698.10

12000.12645,11

12000.60

45,0 =⋅+⋅=⋅+⋅=∴ LM ZLDROP σ

b)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=

añoBQCiCiTOTAL

$038.795.1112000.12645,1

2000.10350.715,0

2*

698.54,698.5

12000.12645,145,0 ≈=⋅=⋅= LZB σ

c) Sí, porque con Q* = 10.000 (unidades/orden), en un nivel de precios P2 = 7.350 ($/unidad) correspondiente a un descuento de 2% sobre el precio básico (P0), se minimizan los Costos Totales.

unid.

unidades

Page 68: Guia Usach

67

d)

%6,2100038.807.452

038.795.11100% =⋅=⋅=A

TOTALTOTAL E

CiCi

e) Si la probabilidad de que se presenten faltantes aumentara a 10%, disminuiría

el inventario de seguridad, disminuyendo así el ROP y los Costos Anuales. Si bien ahora disminuyen los costos de mantener el nuevo inventario de seguridad, esta disminución es casi la misma para los distintos Pi, por lo que la decisión sobre el Q* no cambia, es decir, Q* = 10.000 (unidades/orden) se mantiene. Ahora, para el nuevo n.d.s. de 90% buscamos Z0.40 en la tabla dada, y obtenemos:

Proporción Z 0,3997 1,28 0,40 Z0,40

0,4015 1,29

Con interpolación lineal:

28,1

29,14015,040,0

29,128,14015,03997,0

40.040,0

≈⇒−

−=

−− Z

Z

Los nuevos valores para B, ROP y EA serán:

434.412000.1228,140,0 =⋅=⋅= LZB σ

434.9

12000.1228,11

12000.60

40,0 =⋅+⋅=⋅+⋅= LM ZLDROP σ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅+

⋅=

añoEA

$985.412.451350.7000.60434.42000.10350.715,0

000.10000.60000.2

unidades

unidades

Page 69: Guia Usach

68

II UNIDAD

Planificación de Requerimientos de Materiales (MRP)

Planificación Agregada

Secuenciamiento / Asignación

Page 70: Guia Usach

69

PROBLEMAS DE MRP

1) Se tiene la siguiente estructura de componentes para un producto A.

A D E F B(1) F(3) C(1) E(1) B(1) C(1) B(1) C(1) D(1) E(1)

Demanda por periodo Recepciones programadas Prod.

3 4 5 6

Tiempo de la orden

Inventario inicial 2 3 4

Tipo de lote ordenamiento

A 500 200 500 1000 1 200 200 200 200 Lote a lote B 2000 1000 2 6000 6000 L. min. 2000 C 1 1000 L. min. 3000 D 200 200 500 500 1 200 200 L. min. 200 E 200 200 500 1 3000 3000 L. min. 600 F 200 1000 1500 1000 1 1500 500 500 Lote a lote Determine las Órdenes de Producción y las Órdenes de Compras sugeridas para los distintos períodos. Por política de la empresa el componente F debe tener un inventario mínimo para cada período de 1.000 unidades. Solución: Producto A (Lote a lote, Lead time = 1)

Periodo 1 2 3 4 5 6 Req. Bruto 500 200 500 1000 Inventario Final 200 400 100 100 0 0 Recep. Prog. 200 200 200 Req. Neto 400 1000 Recep. Orden 400 Lanzam. Orden 400 1000

Producto F (Lote a lote, hijo de A, Inventario mínimo = 1000, Lead time = 1)

Periodo 1 2 3 4 5 6

200 + 0

1000 + 3·400

1500 + 3·1000

1000 + 0 Req. Bruto

200 2200 4500 1000 Inventario Final 1500 1500 1800 1000 1000 1000 Recep. Prog. 500 500

Page 71: Guia Usach

70

Req. Neto 900 4500 1000 Recep. Orden 900 4500 1000 Lanzam. Orden 900 4500 1000

Producto D (Lote mínimo = 200, hijo de F, Lead time = 1)

Periodo 1 2 3 4 5 6

200 + 900

200 + 4500

500 + 1000

500 + 0 Req. Bruto

1100 4700 1500 500 Inventario Final 0 200 0 0 0 0 Recep. Prog. 200 200 Req. Neto 700 4700 1500 500 Recep. Orden 700 4700 1500 500 Lanzam. Orden 700 4700 1500 500

Producto E (Lote mínimo = 600, hijo de D y F, Lead time = 1)

Periodo 1 2 3 4 5 6

0 0

+ 700

0 + 900 + 4700

200 + 4500 + 1500

200 + 1000 + 500

500 + 0 + 0 Req. Bruto

700 5600 6200 1700 500 Inventario Final 0 0 0 0 0 0 Recep. Prog. 3000 3000 Req. Neto 700 2600 3200 1700 500 Recep. Orden 700 2600 3200 1700 600 Lanzam. Orden 700 2600 3200 1700 600

Producto B (Lote mínimo = 2000, hijo de A, D y E, Lead time = 2)

Periodo 1 2 3 4 5 6 0

+ 0 + 0

+ 700

0 + 0

+ 700 + 2600

0 + 0

+ 4700 + 3200

0 + 400 + 1500 + 1700

2000 + 1000 + 500 + 600

1000 + 0 + 0 + 0

Req. Bruto

700 3300 7900 3600 4100 1000 Inventario Final 6000 5300 2000 100 0 0 0

Recep. Prog. 6000 Req. Neto 3500 4100 1000 Recep. Orden 3500 4100 2000 Lanzam. Orden 3500 4100 2000

Page 72: Guia Usach

71

Producto C (Lote mínimo = 3000, hijo de A, D y E, Lead time = 1)

Periodo 1 2 3 4 5 6 0

+ 0 + 0

+ 700

0 + 0

+ 700 + 2600

0 + 0

+ 4700 + 3200

0 + 400

+ 1500 + 1700

0 + 1000 + 500 + 600

0 + 0 + 0 + 0

Req. Bruto

700 3300 7900 3600 2100 0 Inventario Final 1000 300 0

Recep. Prog. Req. Neto 3000 7900 3600 2100 Recep. Orden 3000 7900 3600 3000 Lanzam. Orden 3000 7900 3600 3000

2) Ford Muebles, fabricante de excelentes muebles de escritorio, mantiene los cajones para el escritorio modelo Ergo XZ en inventario a un costo de $0.25 diarios por unidad. Los costos de preparación son $50. El inventario al comienzo del día 1 es de 40 unidades y el lead time es dos días. El costo de una rotura de existencia es de $5 por unidad y no hay recepciones programadas. En la Tabla siguiente se muestran las necesidades brutas para los siguientes 12 días: Día 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Necesidades brutas 35 30 45 0 10 40 30 0 30 55 60 55

Para evitar rupturas para la siguiente programación del taller, se desea tener un inventario de 30 cajones al final del día 12. Sabiendo que no se permiten ventas pendientes y que nos encontramos en el día 1 para realizar la planificación, determine el costo de Ford Muebles basado en: a) EOQ b) Costo Mínimo por Periodo (Silver-Meal) c) Equilibrio de unidades-períodos (PPB) d) Costo mínimo unitario Solución: a) ( ) ( ) 38030556055300304010045304035 =++++++++++++−=TotalNetaD

6,3112380

==NetaD

orden

unidadesC

CDEOQ

i

oNeta 11354,11225,0

506,3122≈=

⋅⋅==

Page 73: Guia Usach

72

Día 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Necesidades Brutas 35 30 45 0 10 40 30 0 30 55 60 55

Recepciones Programadas

Disponible 40 5 -25 68 68 58 18 101 101 71 16 69 127

Necesidades Netas 25 45 12 44

Recepción de Pedidos Programados 113 113 113 113

Lanzamiento de los Pedidos Programados 113 113 113 113

Nota: El EOQ no asegura mantener exactamente el inventario final deseado, pero para mantener por lo menos las 30 unidades deseadas, ordenamos una vez más para que llegue la orden en el último periodo.

( ) 5,17525,0127691671101101185868685200504

125525

=⋅++++++++++==⋅==⋅=

InventarioporCostoOrdenarporCostorupturaporCosto

$5,5005,175200125 =++=TotalCosto

b) Costo mínimo por periodo (Silver-Meal)

Periodos Combinados Tamaño de Lote Costo Acumulado Costo por Periodo

3 3,4

3,4,5 3,4,5,6

45 45 + 0 = 45

45 + 10 = 55 55 + 40 = 95

50 50 + 0·0,25·1

50 + 10·0,25·2 55 + 40·0,25·3

50/1 = 50 50/2 = 25

55/3 = 18,333 85/4 = 21,25

6 6,7

6,7,8 6,7,8,9

40 40 + 30 = 70 70 + 0 = 70

70 + 30 = 100

50 50 + 30·0,25·1 57,5 + 0·0,25·2

57,5 + 30·0,25·3

50/1 = 50 57,5/2 = 28,75

57,5/3 = 19,667 80/4 = 20

9 9,10

9,10,11 9,10,11,12

30 30 + 55 = 85

85 + 60 = 145 145 + ( 55 + 30 ) = 230

50 50 + 55·0,25·1

63,75 + 60·0,25·2 93,75 + 85·0,25·3

50/1 = 50 63,75/2 = 31,875 93,75/3 = 31,25

157,5/4 = 39,375

12 ( 55 + 30 ) = 85 50 50/1 = 50 Día 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Necesidades Brutas 35 30 45 0 10 40 30 0 30 55 60 55

Recepciones Programadas

Disponible 40 5 -25 10 10 0 30 0 0 115 60 0 30

Page 74: Guia Usach

73

Necesidades Netas 25 45 40 30 55

Recepción de Pedidos Programados 55 70 145 85

Lanzamiento de los Pedidos Programados 55 70 145 85

( ) 6525,030601153010105200504

125525

=⋅++++++==⋅==⋅=

InventarioporCostoOrdenarporCostorupturaporCosto

$39065200125 =++=TotalCosto

c) Equilibrio de unidades-periodo (PPB)

Economic Part Period: 20025,0

50===

i

o

CC

EPP

Periodos Combinados Tamaño de Lote Unidades por Periodos

3 3,4

3,4,5 3,4,5,6

3,4,5,6,7 3,4,5,6,7,8

45 45 + 0 = 45 45 + 10 = 55 55 + 40 = 95

95 + 30 = 125 125 + 0 = 125

0 0

10·2 = 20 20 + 40·3 = 140

140 + 30·4 = 260 260

9 9,10

9,10,11 9,10,11,12

30 30 + 55 = 85

85 + 60 = 145 145 + ( 55 + 30 ) = 230

0 55·1 = 55

55 + 60·2 = 175 175 + 85·3 = 430

12 ( 55 + 30 ) = 85 0 Día 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Necesidades Brutas 35 30 45 0 10 40 30 0 30 55 60 55

Recepciones Programadas

Disponible 40 5 -25 80 80 70 30 0 0 115 60 0 30

Necesidades Netas 25 45 30 55

Recepción de Pedidos Programados 125 145 85

Lanzamiento de los Pedidos Programados 125 145 85

Page 75: Guia Usach

74

( ) 5,11725,03060115307080805150503

125525

=⋅+++++++==⋅==⋅=

InventarioporCostoOrdenarporCostorupturaporCosto

$5,3925,117150125 =++=TotalCosto

d) Costo mínimo unitario

Periodos Combinados Tamaño de Lote Costo Acumulado Costo unitario

3 3,4

3,4,5 3,4,5,6

3,4,5,6,7

45 45 + 0 = 45 45 + 10 = 55 55 + 40 = 95 95 + 30 = 125

50 50 + 0·0,25·1

50 + 10·0,25·2 55 + 40·0,25·3 85 + 30·0,25·4

50/45 = 1,111 50/45 = 1,111

55/55 = 1 85/95 = 0,895

115/125 = 0,92 7

7,8 7,8,9

7,8,9,10 7,8,9,10,11

30 30 + 0 = 30 30 + 30 = 60

60 + 55 = 115 115 + 60 = 175

50 50 + 0·0,25·1

50 + 30·0,25·2 65 + 55·0,25·3

106,25 + 60·0,25·4

50/30 = 1,667 50/30 = 1,667 65/60 = 1,083

106,25/115 = 0,924 166,25/175 = 0,95

11 11,12

60 60 + (55+30) = 145

50 50 + 85·0,25·1

50/60 = 0,833 71,25/145 = 0,491

Día 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Necesidades Brutas 35 30 45 0 10 40 30 0 30 55 60 55

Recepciones Programadas

Disponible 40 5 -25 50 50 40 0 85 85 55 0 85 30

Necesidades Netas 25 45 30 60

Recepción de Pedidos Programados 95 115 145

Lanzamiento de los Pedidos Programados 95 115 145

( ) 25,12125,030855585854050505150503

125525

=⋅++++++++==⋅==⋅=

InventarioporCostoOrdenarporCostorupturaporCosto

$25,39625,121150125 =++=TotalCosto

3) ¿Cuánta reserva de seguridad se debe llevar en un sistema MRP?, ¿Cuál es el papel de la reserva de seguridad en un sistema MRP?, ¿Dónde se debe llevar una reserva de seguridad?

Page 76: Guia Usach

75

Solución: - El llevar una reserva de seguridad es para cubrir las incertidumbres de la

demanda y las variaciones en los tiempos de entrega, para cumplir con el nivel de servicio fijado. En compras se debe reducir las variaciones con los proveedores y al nivel de piso de taller mediante un control del tiempo de espera, logrando así una mejor necesidad de contar con una reserva de seguridad, en consecuencia si se administra adecuadamente estos dos últimos puntos se debe llevar un nivel bajo de inventarios, tendiendo a cero cuando PM sea fijo y Lead time constante.

- El rol del inventario de seguridad es absorber las variaciones en el programa

maestro de producción o en manufactura, o en el tiempo de compra. - Cuando se lleva la reserva de seguridad, con frecuencia se agrega en el nivel

de programa maestro. Esto asegura que conjuntos iguales de componentes estén disponibles para los productos finales.

- Si el programa maestro es fijo y el tiempo de entrega es constante. No es

necesario un inventario de seguridad.

Page 77: Guia Usach

76

PROBLEMAS DE PLANIFICACION AGREGADA 1) Dada la siguiente información, resuelva para el plan con el mínimo costo

DATOS DE CAPACIDAD DISPONIBLE POR PERÍODO CAPACIDADES Periodo 1 Periodo 2 Periodo 3 Periodo 4 Periodo 5 Tiempo Regular 150 150 150 150 150 Sobre Tiempo 20 20 10 10 10

DEMANDA 150 160 130 200 210 Para la subcontratación, hay 100 unidades disponibles sobre un período de cinco meses. El inventario inicial es de 0 unidades y el inventario final requerido es de 20 unidades. Además los costos de la compañía para cada tipo de capacidad disponible es la siguiente:

DATOS DE COSTOS Costo en Tiempo Regular $100 Costo por Sobretiempo $125 Costo por Subcontratación $135 Costo de llevar Inventario porunidad/período $ 3

a) Prepare el plan de producción de menor costo, usando el método de tableau. b) ¿Cuánto vale el plan? Solución: a)

DEMANDA DE PRODUCCION DE

Periodo 1 Periodo 2 Periodo 3 Periodo 4 Periodo 5 Capaci-dad no

utilizada

Capacidad Total

Disponible

Inventario inicial 0

100 103 106 109 112 Tiempo regular 150 ---- ---- ---- ---- ---- 150

125 128 131 134 137 Tiempo extra

20 20

135 138 141 144 147

PERIODO 1

Subcon-tratación

100 100

M 100 103 106 109 Tiempo regular 150 ---- ---- ---- ---- 150

M 125 128 131 134 Tiempo extra 10

10

----

---- 20

M 135 138 141 144

PERIODO 2

Subcon-tratación

100 100

Page 78: Guia Usach

77

M M 100 103 106 Tiempo regular 130 20 ---- ---- 150

M M 125 128 131 Tiempo extra 10

----

---- 10

M M 135 138 141

PERIODO 3

Subcon-tratación

100 100

M M M 100 103 Tiempo regular 150 ---- ---- 150

M M M 125 128 Tiempo extra 10 ----

---- 10

M M M 135 138

PERIODO 4

Subcon-tratación

100 100

M M M M 100 Tiempo regular 150 ---- 150

M M M M 125 Tiempo extra 10 ---- 10

M M M M 135

PERIODO 5

Subcon-tratación

70

30 100

Demanda total 150 160 130 200 210 + 20 450 1320

b)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]

910.90$60850.903201357012510100150

1251010015012810103201311010013012510100150100150

=+=⋅+⋅+⋅+⋅+

+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

Total

Total

C

C

2) La empresa Rainbow Company produce una amplia variedad de pinturas de usos comerciales y privados, cuya demanda es altamente estacional. La administración ha realizado un programa de Planificación Agregada considerando los costos a continuación, y además el hecho de que se dispone inicialmente de 250.000 galones de pintura en inventario.

DATOS DE COSTOS Costo por galón Tiempo Regular $1,00

Costo por galón con Sobretiempo $1,50

Costo por galón de Subcontratación $1,90

Costo de llevar Inventario

$0,30 por galón por trimestre

Costo por mantener el inventario final requerido, al final del periodo 5

Page 79: Guia Usach

78

DEMANDA DE PRODUCCIÓN DE Periodo 1 Periodo 2 Periodo 3 Periodo 4 Capacidad

no utilizada

Capacidad total

disponible Inventario inicial 250 0 250

Tiempo regular 50 400 ---- ---- 0 450

Horas extras 90 ---- 0 90 PERIODO

1 Subcontra-tos 20 180 200

Tiempo regular 450 ---- ---- 0 450

Horas extras 90 ---- 0 90

PERIODO

2 Subcontra-tos 200 ---- 0 200

Tiempo regular 750 ---- 0 750

Horas extras 150 ---- 0 150

PERIODO

3 Subcontra-tos 200 ---- 0 200

Tiempo regular 350 100 450

Horas extras 90 90

PERIODO

4 Subcontra-tos 200 200

Demanda total (miles) 300 850 1500 350 570 3570 a) ¿Cuánta producción realizada en tiempo regular se espera durante el primer

periodo? ¿Cuanto inventario de previsión se espera tener al final del primer periodo? Calcule los costos

b) La empresa no tiene inventario final para el periodo 4. Si la empresa decidiera mantener 390 millares de galones en inventario al final del periodo 4, ¿cómo podría conseguirlo?

c) Calcule el costo total del Plan Agregado, incluido b). ¿Cuánto sería el costo por mantener inventario al final del periodo 4?

Solución: a) 450400501 =+=regularP b) Se aprovecha la capacidad no utilizada del periodo 4, la asignación sería:

Page 80: Guia Usach

79

DEMANDA DE PRODUCCIÓN DE

PERIODO 4

Tiempo regular 350 + 100

Horas extras 90

PERIODO 4Subcontra-tos 200

c)

( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]

000.298.4$$298.4117181.43,03909,12005,1900,1450

9,12005,11500,17502,22008,1905,2201,2900,14503,14000,150

==+=⋅+⋅+⋅+⋅+

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

demilesC

C

Total

Total

000.117$$1173,03904 ==⋅= demilesC PeriodoInventario

3) La empresa Alexis Golf Company produce tres importantes líneas de excelentes palos de golf. La demanda de sus productos es estacional y alcanza su nivel máximo en el segundo trimestre. Kyle Stone, gerente de manufactura de Alexis, ha presentado un Tableau que se muestra a continuación, con las cantidades representadas en millares:

DEMANDA DE PRODUCCIÓN DE Periodo 1 Periodo 2 Periodo 3 Periodo 4 Capacidad

no utilizada

Capacidad total

disponible Inventario inicial 200 0 200

Tiempo regular 350 150 0 500

Horas extras 100 0 100

PERIODO

1 Subcontra-tos 50 150 200

Tiempo regular 1000 0 1000

Horas extras 200 0 200

PERIODO

2 Subcontra-tos 200 0 200

Tiempo regular 500 0 500

Horas extras 100 0 100

PERIODO

3 Subcontra-tos 100 100 200

Page 81: Guia Usach

80

Tiempo regular 500 0 500

Horas extras 100 0 100

PERIODO

4 Subcontra-tos 50 150 200

Demanda total 550 1700 700 650

DATOS DE COSTOS Costo Tiempo Regular $10,00 Costo Sobretiempo $15,00 Costo Subcontratación $19,00 Costo de llevar Inventario $3,0 por trimestre

A partir de la información anterior responda las siguientes preguntas: a) ¿Qué cantidad de producción en tiempo regular se espera en el tercer periodo?

¿Qué cantidad de subcontratación se espera durante el tercer periodo? Calcule el costo

b) ¿Cuánta producción realizada en tiempo regular se espera durante el primer periodo? ¿Cuanto inventario de previsión se espera tener al final del primer periodo? Calcule el costo

c) La empresa no tiene inventario final para el periodo 4. si la empresa decidiera mantener 250.000 unidades en inventario al final del periodo 4, ¿cómo podría conseguirlo?

Solución: a) unidadesmilP regular 5003 = unidadesmilP adasubcontrat 1003 = 000.400.8$$400.81910015100105003 ==⋅+⋅+⋅= demilesPeriodoTotalCosto b) unidadesmilP regular 5001503501 =+= unidadesmilPeriodoFinalInventario 300501001501 =++=

( ) ( ) 000.350.8$$350.822501810013150103501 ==⋅+⋅+⋅+⋅= demilesPeriodoTotalCosto c) Debemos evaluar cuándo producir las 250.000 unidades, según las capacidades no utilizadas y sus respectivos costos. Las capacidades no utilizadas son:

• 150.000 unidades subcontratadas en el periodo 1. El subcontratar unidades en el periodo 1 para satisfacer la demanda del periodo 4 cuesta 28 $/unidad

• 100.000 unidades subcontratadas en el periodo 3. El subcontratar unidades en el periodo 3 para satisfacer la demanda del periodo 4 cuesta 22 $/unidad

Page 82: Guia Usach

81

• 150.000 unidades subcontratadas en el periodo 4. El subcontratar unidades en el periodo 4 para satisfacer la demanda del mismo cuesta 19 $/unidad

Luego, para mantener 250.000 unidades al final del periodo 4 utilizaremos

primero las 150.000 unidades de capacidad no utilizada del periodo 4 (a 19 $/unidad), y luego las 100.000 unidades de capacidad no utilizada del periodo 3 (a 22 $/unidad), puesto que son las que representan un menor costo. 4) Una empresa de manufactura está tratando de programar su producción para los siguientes tres meses. La demanda de la producción para cada uno de los tres próximos meses se pronosticó en 300, 250 y 325 unidades, respectivamente. Casi siempre hay a la mano un inventario de productos terminados en la planta de 95 unidades. Al final del periodo de programación de tres meses, la empresa desea tener 120 productos terminados disponibles para satisfacer toda la demanda (los pendientes no están permitidos). En el tiempo regular del turno la capacidad de producción es de 200 unidades/mes a un costo de 10 dólares por unidad. Las operaciones de tiempo extra pueden proporcionar hasta 100 unidades/mes a un costo de 15 dólares/unidad. Los costos de mantener inventarios son de 2 dólares/unidad/mes para los productos terminados. a) Plantee el problema como un modelo de Programación Lineal. b) Resuelva el problema por la técnica más adecuada. Solución: a) Modelo 1: Pensando en resolver el problema por el Método de Transporte, las variables son:

ijP = Unidades producidas en tiempo regular en el mes i para satisfacer la demanda del mes j (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3)

ijO = Unidades producidas en tiempo extra en el mes i para satisfacer la demanda del mes j (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3)

Parámetros:

ijCP = Costo por unidad producida en tiempo regular en el mes i para satisfacer la demanda del mes j (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3)

ijCO = Costo por unidad producida en tiempo extra en el mes i para satisfacer la demanda del mes j (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3)

jNETAD = Demanda neta del mes j (j = 1, 2, 3). 205953001 =−=NETAD ; 2502 =NETAD ; 4451203253 =+=NETAD

Page 83: Guia Usach

82

Función Objetivo:

( )∑∑= =

⋅+⋅=3

1

3

1

mini j

ijijijijT OCOPCPC (*)

(*) El método de transporte asume que la producción del último periodo es consumida totalmente, por lo que a CT habría que sumarle el costo por mantener las 120 unidades en inventario al final del periodo 3.

Sujeto a:

( ) jNETAi

ijij DOP∑=

=+3

1 j = 1, 2, 3

2003

1≤∑

=jijP i = 1, 2, 3

1003

1≤∑

=jijO i = 1, 2, 3

0, ≥ijij OP ∀ i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3 ZOP ijij ∈, ∀ i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3 Modelo 2: Variables:

tP = Unidades producidas en tiempo regular en el periodo t (t = 1, 2, 3)

tO = Unidades producidas en tiempo extra en el periodo t (t = 1, 2, 3)

tI = Unidades mantenidas en inventario al final del periodo t (t = 1, 2, 3) Parámetros:

tBRUTAD = Demanda bruta del periodo t (t = 1, 2, 3). Función Objetivo:

( )∑=

⋅+⋅+⋅=3

1

21510mint

tttT IOPC

Sujeto a:

tBRUTAtttt DOPII −++= −1 t = 1, 2, 3 con I0 = 95 I3 = 120

200≤tP t = 1, 2, 3 100≤tO t = 1, 2, 3

0,, ≥ttt IOP t = 1, 2, 3 ZIOP ttt ∈,, t = 1, 2, 3

Page 84: Guia Usach

83

b) Solución 1: Por Método de Transporte:

DEMANDA DE PRODUCCION DE

Periodo 1 Periodo 2 Periodo 3 Capacidad no utilizada

Capacidad Total

Disponible

Inventario inicial 95 95

10 12 14Tiempo regular 200 ----

----

---- 200

15 17 19PERIODO

1 Horas extras 5 0

95

---- 100

10 12Tiempo regular

M 200

----

---- 200

15 17PERIODO

2 Horas extras

M 50

50

---- 100

10Tiempo regular

M M 200

---- 200

15PERIODO

3 Horas extras

M M 100

---- 100

Demanda total 300 250 325 + 120 0 995

( ) ( ) ( )

220.11$212015100102001750155010200199515510200

USCC

T

T

=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

Solución 2: Como la capacidad total es igual a la demanda total, la única forma de satisfacerla es utilizar toda la capacidad

Periodo Mes 1 Mes 2 Mes 3

Demanda Bruta 300 250 325

Inventario al final del periodo I0 = 95 95 145 120

Unidades producidas en tiempo regular 200 200 200

Unidades producidas en tiempo extra 100 100 100

Page 85: Guia Usach

84

Costo por producción en tiempo normal 2000 2000 2000

Costo por producción en tiempo extra 1500 1500 1500

Costo por inventario 190 290 240

Costo Total por periodo 3690 3790 3740

220.11$374037903690 USCT =++=∴ 5) La empresa General Motors-Old fabrica un coche Xfort-T, en su planta ubicada en Autolandia. La empresa ha pronosticado la demanda trimestralmente (períodos) para su coche según la Tabla siguiente:

Periodo 1 Periodo 2 Periodo 3 Periodo 4 P. Demanda 10.000 12.000 9.000 11.000

La planta produce aproximadamente 25 autos por trimestre por cada trabajador de planta. Cada trabajador recibe un sueldo promedio por trimestre de $ 15.000. Además se sabe que el costo por contratar y entrenar un nuevo trabajador es de $ 7.000 y de despedirlo $ 10.000. Los trabajadores pueden ser contratados o despedidos al inicio de cualquier trimestre. La empresa posee actualmente 480 trabajadores de planta y 200 coches en inventario inicial en el primer trimestre el cual esta disponible para ser usado inmediatamente. El costo de tener un coche en inventario es de $ 1.000 al final del trimestre. a) Calcule el costo de llevar una estrategia de seguir la demanda b) Plantee el modelo de programación lineal para este problema, con la

enumeración completa de todas las restricciones. Solución: a)

Periodo Inicial 1 2 3 4 P. Demanda 10.000 12.000 9.000 11.000 Inventario 200 0 0 0 0 Unidades a producir ---- 9.800 12.000 9.000 11.000

Nº Trabaj. de Planta 480 392

25800.9

= 48025000.12

= 36025000.9

= 44025000.11

=

Nº Trabaj. contratados ---- 0 480 – 392

= 88 0 440 – 360 = 80

Nº Trabaj. despedidos ---- 480 – 392

= 88 0 480 – 360 = 120 0

Page 86: Guia Usach

85

Periodo Inicial 1 2 3 4 C x Inventario 0 0 0 0 C x Trabajad. de Planta 5.880.000 7.200.000 5.400.000 6.600.000

C x Trabajad. Contratado 0 616.000 0 560.000

C x Trabajad. Despedido

880.000 0 1.200.000 0

Costo Total 6.760.000 7.816.000 6.660.000 7.160.000

000.336.28$=⇒ AnualTotalCosto b) Sea:

Rt: Número de trabajadores regulares en el período t (t = 1,…,4) Ot: Número de trabajadores en sobretiempo en período t (suponiendo que

se puede utilizar sobretiempo, a un costo del 50% más que el regular) It: Inventario al final del período t (unidades) (t = 1,…,4) Ht: Número de trabajadores contratados en el período t (t = 1,…,4) Lt: Número de trabajadores despedidos en el período t (t = 1,…,4) Dt: demanda en el período t (t = 1,…,4)

F.O:

( )∑=

+++⋅+=4

1

000.10000.7000.1000.155,1000.15t

ttttt LHIORZMin

S.A: ttttt DORII −++= −1 4,...,1=∀t ; con 2000 =I

tttt LHRR −+= −1 4,...,1=∀t ; con 4800 =R 0,,,, ≥ttttt ILHOR 4,...,1=∀t 6) Un hotel en Orlando, Florida, desea preparar un plan agregado para el año siguiente. El hotel tiene un máximo de 300 habitaciones que se utilizan por completo en invierno, pero hay muchas habitaciones desocupadas en verano, como se muestra en la siguiente tabla:

Mes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Demanda 185 190 170 160 120 100 100 80 100 120 140 160

El hotel requiere de 1 empleado al cual se le pagan US $800 al mes por cada 20 habitaciones que se rentan en forma normal. Se puede utilizar hasta el 20% del tiempo extra y también contratar trabajadores eventuales a US $700 al mes. Los trabajadores en tiempo normal se contratan a un costo de US $500 y se despiden con un costo de US $200 por trabajador. No hay costo de contratación y despido en el caso de contratación eventual.

Page 87: Guia Usach

86

a) Con una fuerza de trabajadores normal de 6 empleados y 20% de tiempo extra cuando se necesita, ¿cuánto cuesta esta estrategia al año?

b) ¿Cuál es la mejor estrategia a seguir si se utiliza una fuerza de trabajo nivelada con 6 trabajadores normales? Pueden utilizarse varias cantidades de tiempo extra y trabajadores eventuales.

c) Formule el problema como un PPL Solución: Asumiendo que los 800 US$ es un sueldo fijo por trabajador, que el costo por sobretiempo cuesta un 50% más, y que los trabajadores eventuales atienden 20 habitaciones al mes por US$700, se tiene:

.

$40.20$800

HabUS

HabUS

NormalHabitaciónCosto ==

.$60

.20$8005,1

HabUS

HabUS

oSobretiempHabitaciónCosto =⋅

=

.$35

.20$700

HabUS

HabUS

EventualHabitaciónCosto ==

a) Debemos usar primero: 1º Habitaciones “normales” 2º Habitaciones en sobretiempo (cuando sea necesario) 3º Habitaciones eventuales (cuando sea necesario) Mes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Demanda 185 190 170 160 120 100 100 80 100 120 140 160 Nº Trabajadores Normal 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6

Nº Habitaciones Normal 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120

Nº Habitaciones Sobretiempo 24 24 24 24 0 0 0 0 0 0 20 24

Nº Habitaciones eventuales 41 46 26 16 0 0 0 0 0 0 0 16

$600.571212040. USNormalHabCTotal =⋅⋅= ( ) $400.82052460. USoSobretiempHabCTotal =+⋅⋅= ( ) $075.521626464135. USEventualHabCTotal =⋅+++⋅=

$075.71075.5400.8600.57 USAnualTotalCosto =++= b) Si lo único que se pide es mantener a los 6 trabajadores de planta, entonces cuando su capacidad no sea suficiente, se utilizarán sólo trabajadores eventuales, puesto que una habitación eventual es más barata que una en sobretiempo.

Page 88: Guia Usach

87

Mes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Demanda 185 190 170 160 120 100 100 80 100 120 140 160 Nº Trabajadores Normal 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6

Nº Habitaciones Normal 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120

Nº Habitaciones Sobretiempo 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Nº Habitaciones eventuales 65 70 50 40 0 0 0 0 0 0 20 40

$600.571212040. USNormalHabCTotal =⋅⋅= $0. USoSobretiempHabCTotal = ( ) $975.940204050706535. USEventualHabCTotal =+++++⋅=

$575.67975.90600.57 USAnualTotalCosto =++= c) Variables:

Rt: Nº de trabajadores de planta en el mes t (t = 1,…,12) Ot: Nº de habitaciones atendidas en sobretiempo en el mes t (t = 1,…,12) Et: Nº de trabajadores eventuales en el mes t (t = 1,…,12) Ht: Nº de trabajadores contratados (de planta) en el mes t (t = 1,…,12) Lt: Nº de trabajadores (de planta) despedidos en el mes t (t = 1,…,12)

Función Objetivo:

( )∑=

⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅=12

1

20050035700800t

tttt LHOERZMin

Restricciones:

tt RO ⋅⋅≤ 202,0 12,...,1=∀t tttt LHRR −+= −1 12,...,1=∀t tttt EORDDA ⋅++⋅= 2020 12,...,1=∀t 3002020 ≤⋅++⋅ ttt EOR 12,...,1=∀t 0,,,, ≥ttttt LHEOR 12,...,1=∀t 7) Una empresa desea planificar la producción de los 6 siguientes periodos. Se tienen los siguientes datos:

- Un operario es capaz de producir 400 unidades en cada periodo - Mantener una unidad de producto en inventario durante un periodo cuesta

$3.000 - El costo de un operario en tiempo regular es de $2.000 la hora

Page 89: Guia Usach

88

- El costo de un operario en sobretiempo es de $3.000 la hora - Contratar un operario cuesta $400.000 - Despedir un operario cuesta $600.000 - Un periodo corresponde a 200 horas de trabajo - En un periodo un trabajador puede trabajar como máximo 50 horas en

sobretiempo - El número inicial de operarios es de 25 personas - El inventario inicial es de 1.000 unidades y se desea que no quede

inventario al final del horizonte de planificación - Cabe hacer notar que no se aceptarán ventas perdidas y pendientes.

La tabla siguiente muestra la demanda estimada:

Periodo 1 2 3 4 5 6 Demanda 5.000 6.000 8.000 12.000 14.000 8.500

a) Se pide plantear un modelo de programación lineal que permita encontrar la

producción en tiempo regular, la producción en sobretiempo y el nivel de mano de obra. Debe escribir explícitamente la función objetivo y todas las restricciones.

b) Se pide determinar el costo total de la estrategia de tener mano de obra constante durante los 6 periodos con uso máximo de sobretiempo durante 2 periodos. Se debe recordar que los operarios pueden estar ociosos si ello es apropiado.

Solución: a) Cálculo de costos necesarios para el modelo:

Costo de Inventario periodounidad ⋅

=$000.3

Costo de producción en sobretiempo unidadhora

periodounidadesperiodohoras

$500.1$000.3400

200=⋅=

Costo de contratación persona

$000.400=

Costo de despido persona

$000.600=

Costo Mano de Obra periodopersonaperiodo

horaspersonahora ⋅

=⋅⋅

=$000.400200$000.2

Page 90: Guia Usach

89

Variables: Pt = Nº de unidades producidas en tiempo regular durante el periodo t Ot = Nº de unidades producidas en sobretiempo durante el periodo t It = Nº de unidades en inventario al final del periodo t Rt = Nº de trabajadores de planta (mano de obra) en el periodo t Ht = Nº de trabajadores contratados en el periodo t Lt = Nº de trabajadores despedidos en el periodo t (t = 1,…, 6) Función Objetivo:

( )∑=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=6

1

000.3000.600000.400500.1000.400t

ttttt ILHORZMin

Restricciones:

000.51110 =−++ IOPI 1110 RLHR =−+ 000.62221 =−++ IOPI 2221 RLHR =−+ 000.83332 =−++ IOPI 3332 RLHR =−+

000.124443 =−++ IOPI 4443 RLHR =−+ 000.145554 =−++ IOPI 5554 RLHR =−+

500.86665 =−++ IOPI 6665 RLHR =−+ con 000.10 =I ; con 06 =I con 250 =R

tt RP ⋅≤ 400 6,...,1=∀t

tt RO ⋅⋅≤ 40025,0 6,...,1=∀t

Ζ∈∧≥ 0,,,,, tttttt LHRIOP 6,...,1=∀t

b) Para determinar las cantidades a producir y la mano de obra necesaria debemos trabajar con las necesidades netas.

Sea X el número de trabajadores fijos a encontrar. Si utilizamos el máximo del sobretiempo durante 2 periodos, será recomendable usarlo durante los periodos de mayor demanda. Luego, sabiendo que el máximo de sobretiempo corresponde al 25% del tiempo regular, y que en tiempo regular la producción de un operario es de 400 unidades por periodo, se tiene: Periodo t 1 2 3 4 5 6 Dda. Neta 5.000 – 1.000 6.000 8.000 12.000 14.000 8.500 Pt 400·X 400·X 400·X 400·X 400·X 400·X Ot 0 0 0 0,25·400·X 0,25·400·X 0

Page 91: Guia Usach

90

Igualando la producción total a la demanda neta, se tiene:

( ) XX ⋅⋅⋅+⋅⋅=+++++− 40025,024006500.8000.14000.12000.8000.6000.1000.5 1923,20=⇒ X

Luego, con 21 trabajadores fijos más su producción máxima durante 2

periodos podríamos cubrir la demanda, los cuales estarían ociosos durante cierto tiempo para poder cubrir exactamente la demanda y dejar un inventario de cero unidades al final del periodo 6, puesto que la cantidad a producir en tiempo regular durante c/u de los 6 periodos será Pt = 20,1923·400 = 8.076,9 ≈ 8.077 unidades, y la producida en sobretiempo para los periodos 4 y 5 será Ot = 0,25· 8.077 ≈ 2.019 unidades.

A continuación se muestra la tabla asociada a dichos cálculos:

Periodo t 1 2 3 4 5 6 Dda. Bruta 5.000 6.000 8.000 12.000 14.000 8.500 Inv. Inicial 1.000 4.077 6.154 6.231 4.327 423

Pt 8.077 8.077 8.077 8.077 8.077 8.077 Ot 0 0 0 2.019 2.019 0 It 4.077 6.154 6.231 4.327 423 0 Rt 21 21 21 21 21 21 Ht 0 0 0 0 0 0 Lt 4 0 0 0 0 0

Costo x It 12.231.000 18.462.000 18.693.000 12.981.000 1.269.000 0 Costo x Ot 0 0 0 3.028.500 3.028.500 0 Costo x Rt 8.400.000 8.400.000 8.400.000 8.400.000 8.400.000 8.400.000 Costo x Ht 0 0 0 0 0 0 Costo x Lt 2.400.000 0 0 0 0 0 C x Periodo 23.031.000 26.862.000 27.093.000 24.409.500 12.697.500 8.400.000

000.493.122$=⇒ TotalC 8) Dada la siguiente regla de decisión: Pt = 1,3·Ft + 0,8·Wt-1 – 0,5·It-1 y si la fuerza de trabajo es de 150, el inventario es de 1.000 unidades y el pronóstico de demanda es de 700, 1.200 y 1000 para los próximos tres meses, ¿cuál es el nivel de producción para el mes? Solución: 530000.15,01508,07003,11 =⋅−⋅+⋅=P 830700530000.11 =−+=I 265.18305,01508,0200.13,12 =⋅−⋅+⋅=P 895200.1265.18302 =−+=I

5,9728955,01508,0000.13,13 =⋅−⋅+⋅=P

Page 92: Guia Usach

91

PROBLEMAS DE SECUENCIAMIENTO / ASIGNACIÓN 1) La empresa Computín S.A se especializa en la reparación de discos duros dañados, los cuales pueden requerir sólo la reconfiguración de su sistema de archivos, mientras que otros requieren la sustitución de partes defectuosas. Actualmente están en espera del servicio cinco discos duros con diversas averías. Las estimaciones más aproximadas acerca de los tiempos de trabajo y los datos de entrega prometidos a los clientes (el número de días para la entrega a partir de hoy) se presentan en la siguiente tabla:

Disco Duro Tiempo estimado de trabajo (días)

Fecha de entrega prometida (días desde hoy)

HP 1000 5 8 Kingston X-230 4 15 Samsung 200-Z 10 12 Kingston 9000 1 20 Dell 2K Series 3 10

a) Desarrolle programas por separado aplicando las reglas SPT, EDD y mínima

holgura. b) Compare los tres programas considerando el tiempo promedio de flujo, el

inventario promedio, la utilización de la máquina y la tardanza promedio. ¿Cuál secuencia es mejor según cada una de las anteriores medidas de eficiencia?

Solución: a) Se tiene:

Trabajo Disco Duro ti di Holgura: Hi = di – ti A HP 1000 5 8 3 B Kingston X-230 4 15 11 C Samsung 200-Z 10 12 2 D Kingston 9000 1 20 19 E Dell 2K Series 3 10 7

Secuencia SPT: D – E – B – A – C

Trabajo ti Tiempo de Flujo

Fi di

Tardanza Ti

D 1 1 20 0 E 3 4 10 0 B 4 8 15 0 A 5 13 8 5 C 10 23 12 11

Suma 23 49 ---- 16

Page 93: Guia Usach

92

Secuencia EDD: A – E – C – B – D

Trabajo ti Tiempo de Flujo

Fi di

Tardanza Ti

A 5 5 8 0 E 3 8 10 0 C 10 18 12 6 B 4 22 15 7 D 1 23 20 3

Suma 23 76 ---- 16 Secuencia Mínima Holgura: C – A – E – B – D

Trabajo ti Tiempo de Flujo

Fi di

Tardanza Ti

C 10 10 12 0 A 5 15 8 7 E 3 18 10 8 B 4 22 15 7 D 1 23 20 3

Suma 23 88 ---- 25 b) Secuencia

Medida

SPT EDD Mínima Holgura MEJOR MÉTODO

Tiempo promedio de flujo: F (días)

8,9549

= 2,15576

= 6,175

88= SPT

Inventario WIP promedio 130,2

2349

= 304,32376

= 826,32388

= SPT

Utilización %94,464694,04923

== %26,303026,07623

== %14,262614,08823

== SPT

Tardanza promedio: T (días)

2,35

16= 2,3

516

= 5525

= SPT o EDD

Page 94: Guia Usach

93

2) Andrés Arturson es un consultor de software independiente. Después de terminar su mas reciente proyecto, el tiene cinco trabajos esperándolos para su termino. El estima los siguientes tiempos de procesos para completar cada trabajo y además los tiempos de entrega. En la Tabla siguiente se presenta dicha información:

Trabajo N° Tiempo de Procesamiento (días) Fecha de entrega (días a partir del presente)

A 12 52 B 16 37 C 08 28 D 20 57 E 06 31

Andrés que tomo recientemente un curso de Gestión de Operaciones desea saber que política tomar para realizar los trabajos. Para ello desea aplicar las siguientes reglas SPT (menor tiempo de procesamiento), EDD (fecha de terminación mas temprana); CR (índice crítico) y STR (menor tiempo de holgura). Para cada caso calcule el tiempo promedio del flujo por trabajo, makespan, número de trabajos promedio en el sistema, tardanza a promedio por trabajo y la cantidad de trabajos tardíos al aplicar cada una de las políticas anteriores y decida cual política es más conveniente para él. NOTA: Para el cálculo del makespan use la fórmula a lo menos en dos políticas. Solución: a) Regla SPT

Secuencia Trabajo Fecha entrega

Tiempo de flujo

Días anticipados

Días retrasados

1 E(6) 31 6 25 - 2 C(8) 28 14 14 - 3 A(12) 52 26 26 - 4 B(16) 37 42 - 5 5 D(20) 57 62 - 5 Suma = 150 Suma = 10

- Tiempo promedio de flujo=150/5=30 días

- Makespan:

622042)1,()1,()1,(421626)1,()1,()1,(261214)1,()1,()1,(

1486)1,()1,()1,(6)1,(

545

434

323

212

1

=+=+==+=+==+=+=

=+=+==

JTJCJCJTJCJCJTJCJCJTJCJC

JC

Page 95: Guia Usach

94

- Número de trabajos promedio: 150/62=2.42 trabajos

- Tardanza promedio (por trabajo):10/5=2 días

- Número de trabajos retrasados: 2 trabajos b) Regla EDD

Secuencia Trabajo Fecha entrega

Tiempo de flujo

Días anticipados

Días retrasados

1 C(8) 28 8 20 - 2 E(6) 31 14 17 - 3 B(16) 37 30 7 - 4 A(12) 52 42 10 - 5 D(20) 57 62 - 5 Suma = 156 Suma = 5

- Tiempo promedio de flujo=156/5= 31.2 días

- Makespan:

622042)1,()1,()1,(421626)1,()1,()1,(261214)1,()1,()1,(

1486)1,()1,()1,(8)1,(

545

434

323

212

1

=+=+==+=+==+=+=

=+=+==

JTJCJCJTJCJCJTJCJCJTJCJC

JC

- Número de trabajos promedio: 156/62= 2.52 trabajos

- Tardanza promedio (por trabajo): 5/5= 1 días

- Número de trabajos retrasados: 1 trabajos

c) Regla CR(índice crítico)

Secuencia Trabajo Índice crítico

Tiempo de flujo

Días anticipados

Días retrasados

1 B(16) 37/16=2.31 16 22 - 2 D(20) 57/20=2.87 36 21 - 3 C(8) 29/8=3.5 44 - 16 4 A(12) 52/12=4.33 56 - 4 5 E(6) 31/6=5.17 62 - 31 Suma = 214 Suma = 51

- Tiempo promedio de flujo= 214/5= 42.8 días

- Makespan: 62

- Número de trabajos promedio: 214/62= 3.45 trabajos

- Tardanza promedio (por trabajo): 51/5= 10.2 días

- Número de trabajos retrasados: 3 trabajos

Page 96: Guia Usach

95

d) Regla STR

Secuencia Trabajo Holgura Tiempo de flujo

Días anticipados

Días retrasados

1 C(8) 28-8=20 8 20 - 2 B(16) 37-16=21 24 13 - 3 E(6) 31-6=25 30 1 - 4 D(20) 57-20=37 50 7 - 5 A(12) 52-12=40 62 - 10 Suma = 174 Suma = 10

- Tiempo promedio de flujo = 174/5= 34.8 días

- Makespan: 62

- Número de trabajos promedio: 174/62= 2.8 trabajos

- Tardanza promedio (por trabajo):10/5= 2 días

- Número de trabajos retrasados: 1 trabajos Tabla resumen:

Tiempo Flujo Makespan N° Trabajos

Promedio Tardanza Promedio

N° Trabajos Retrasados

SPT 30 62 2.42 2 2 EDD 31.2 62 2.52 1 1 CR 42.8 62 3.45 10.2 3 STR 34.8 62 2.81 2 1

Dada la tabla anterior se puede apreciar que la política más adecuada es la EDD dado que tiene el menor número de retraso y el menor tiempo de retraso. 3) Considere los siguientes trabajos y sus tiempos de procesamiento en las tres máquinas. No se permite pasar los trabajos.

Duración (horas) Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3

TRABAJO Ti1 Ti2 Ti3 A 6 4 7 B 5 2 4 C 9 3 10 D 7 4 5 E 11 5 2

Con esta información calcule:

a) Las secuencias, empleando el algoritmo de CDS b) Cuál de las secuencias anteriores es la mejor, empleando para ello el concepto

de makespan (utilice la fórmula para ello)

Page 97: Guia Usach

96

Solución: a) Solución 1:

Secuencia aplicando Johnson: A, C, D, B, E. Solución 2:

Secuencia aplicando Jonson: A, C, D, E, B. b) Secuencia A, C, D, B, E:

6)1,1()1,1( == jtjc

17710)3,1()2,1()3,1(

1046)2,1()1,1()2,1(

381127)1,5()1,4()1,5(

27522)1,4()1,3()1,4(

22715)1,3()1,2()1,3(

1596)1,2()1,1()1,2(

=+=+=

=+=+=

=+=+=

=+=+=

=+=+=

=+=+=

jtjcjc

jtjcjc

jtjcjc

jtjcjc

jtjcjc

jtjcjc

{ }{ }{ }{ } 33528)3,()3,()2,(max)3,(

26422)2,()2,()1,(max)2,(281018)3,()3,()2,(max)3,(

18315)2,()2,()1,(max)2,(

3233

3233

2122

2122

=+=++==+=++==+=++==+=++=

jtjcjcjcjtjcjcjcjtjcjcjcjtjcjcjc

{ }{ }{ }{ } 45243)3,()3,()2,(max)3,(

43538)2,()2,()1,(max)2,(37433)3,()3,()2,(max)3,(29227)2,()2,()1,(max)2,(

5455

5455

4324

4344

=+=++==+=++==+=++==+=++=

jtjcjcjcjtjcjcjcjtjcjcjcjtjcjcjc

Trabajos M1 M2 A 6 7 B 5 4 C 9 10 D 7 5 E 11 2

Trabajos M1 M2 A 10 11 B 7 6 C 12 13 D 11 9 E 16 7

Page 98: Guia Usach

97

Secuencia A, C, D, E, B:

{ }{ }{ }{ }{ }{ }{ }{ } 44440)3,()3,()2,(max)3,(

40238)2,()3,()1,(max)2,(40238)3,()3,()2,(max)3,(38533)2,()2,()1,(max)2,(33528)3,()3,()2,(max)3,(26422)2,()2,()1,(max)2,(281018)3,()3,()2,(max)3,(

18315)2,()2,()1,(max)2,(

5455

5455

4344

4344

3233

3233

2122

2122

17710)3,1()2,1()3,1(

1046)2,1()1,1()2,1(

38533)1,5()1,4()1,5(

331122)1,4()1,3()1,4(

22715)1,3()1,2()1,3(

1596)1,2()1,1()1,2(

6)1,1()1,1(

=+=++==+=++==+=++==+=++==+=++==+=++==+=++=

=+=++=

=+=+=

=+=+=

=+=+=

=+=+=

=+=+=

=+=+=

==

jtjcjcjcjtjcjcjcjtjcjcjcjtjcjcjcjtjcjcjcjtjcjcjcjtjcjcjcjtjcjcjc

jtjcjc

jtjcjc

jtjcjc

jtjcjc

jtjcjc

jtjcjc

jtjc

La mejor solución es A, C, D, E, B; pues el makespan es el menor. 4) Las órdenes A, B y C llegan en orden alfabético y reciben su prioridad sobre la base del primero en llegar y primero en salir. Las rutas y los tiempos de operación se muestran a continuación:

Hoja de ruta: Orden A

Hoja de ruta: Orden B

Hoja de ruta: Orden C

Secuencia de operaciones Máquina Tiempo

(horas) Máquina Tiempo (horas) Máquina Tiempo

(horas) 1 I 3 II 3 I 4 2 II 3 III 2 III 4 3 III 2 I 2 II 2

a) ¿Cómo programaría las máquinas, según la información entregada? Haga un esquema, tabla, gráfico u otro elemento de apoyo para justificar su respuesta. Cabe señalar que los tiempos limites para las ordenes son de 10 horas para A, de 16 horas para B y 14 horas para la orden C. ¿Qué tanto retraso resulta en el procesamiento de las órdenes? ¿Cuál es el exceso del inventario resultante? b) Es posible proponer otra secuencia, que sea más eficiente. Discútala y evalúela.

Page 99: Guia Usach

98

Solución: a) Secuencia A-B-C

Opción no fraccionable:

Horas I II III 1 A B 2 A B 3 A B 4 A B 5 A B 6 B A 7 B A 8 C A 9 C 10 C 11 C 12 C 13 C 14 C 15 C 16 C 17 C

Opción Fraccionable:

Horas I II III 1 A B 2 A B 3 A B 4 C A B 5 C A B 6 B A 7 B A 8 C A 9 C 10 C 11 C 12 C 13 C 14 C 15 C 16 17

Page 100: Guia Usach

99

Existe retraso en C dado que la fecha límite es 14 horas, en consecuencia (15-17) 3 horas de retraso para la orden C. El retraso es de 1 hora, en el caso fraccionable para C.

Inventario en sistema = (8+5+17)/17=1.88 ordenes.

Si entrega a tiempo, inventario en sistema = 3/17 = 0.176 ordenes.

La fracción de atraso =1/15 = 0.06. b) Secuencia ACB:

No fraccionada:

Horas I II III 1 A B 2 A B 3 A B 4 C A B 5 C A B 6 C A 7 C A 8 B A 9 B C 10 C 11 C 12 C 13 C 14 C 15

El tiempo total es de 14 horas para el total de los 3 trabajos, ajustándolos a los tiempos límites.

5) Los últimos pasos del proceso de producción requieren dos operaciones. En algunos trabajos es necesario completar el procesamiento en M1 antes de iniciarlo en M3. Otros trabajos requieren que el procesamiento en M2 se realice antes que en M3. Actualmente, seis trabajos están en espera de ser procesados en M1 y cuatro trabajos en espera de ser procesados en M2. Los siguientes datos han sido generados por el sistema de control del taller de producción:

Page 101: Guia Usach

100

Tiempos de procesamientos (horas)

Trabajo M1 M2 M3 Fecha de vencimiento (h)

1 6 - 4 13 2 2 - 1 18 3 4 - 7 22 4 5 - 3 16 5 7 - 4 30 6 3 - 1 29 7 - 4 6 42 8 - 2 10 31 9 - 6 9 48 10 - 8 2 40

a) Desarrolle el programa para este taller, aplicando la CR, calcule además el

tiempo promedio de flujo, las horas promedio de tardanza y de demora, así como el inventario promedio.

Solución: Dado el orden en que se debe realizar cada trabajo, para calcular el índice crítico podemos tomar los datos como parte de un solo gran sistema:

Trabajo Tiempo de procesamiento

Fecha de vencimiento Índice Crítico

1 10 13 1.3 2 3 18 6 3 11 22 2 4 8 16 2 5 11 30 2.72 6 4 29 7.25 7 10 42 4.2 8 12 31 2.58 9 15 48 3.2 10 10 40 4

62710958346271095843

1:−−−−−−−−−−−−−−−−

−Secuencia

Page 102: Guia Usach

101

Utilizando la primera secuencia:

Trabajo Tiempo de Procesamiento

Tiempo de Flujo

Fecha de Vencimiento Demora Tardanza

1 10 10 13 -3 0 3 11 21 22 -1 0 4 8 29 16 13 13 8 12 41 31 10 10 5 11 52 30 22 22 9 15 67 48 19 19 10 10 77 40 37 37 7 10 87 42 45 45 2 3 90 19 72 72 6 4 94 29 65 65

Suma 94 568 ––– 279 283 Finalmente:

trabajosInventario

horasFlujodeTiempo

04,694568

8,5610568

==

==

horasTardanza

horasDemora

3,2810283

9,2710279

==

==

6) La Quix Company, ha desarrollado un nuevo líquido para lavar platos, y está preparándose para una campaña promocional en televisión. La empresa ha decidido programar una serie de anuncios de un minuto durante las puntas de audiencia de dueñas de casa, de 1:00 a 5:00 P.M. Para abarcar la mayor audiencia posible. Quix Company desea programar un anuncio en cada una de las cuatro cadenas y tener un anuncio durante cada uno de los cuatro bloques de una hora. Los índices de exposición por cada hora, representan el número de televidentes por cada 1.000 dólares gastados y se presentan en la siguiente Tabla.

CADENAS HORA A B C Independiente

1:00-2:00 P.M. 2,71 1,81 1,13 0,95 2:00-3:00 P.M. 1,89 1,55 1,71 1,06 3:00-4:00 P.M. 1,92 1,85 0,99 0,77 4:00-5:00 P.M. 1,15 2,14 1,68 1,28

a) ¿Qué cadena debería ser programada a cada hora para ofrecer una máxima exposición a la audiencia? b) Plantee el modelo como un problema de Programación Lineal

Page 103: Guia Usach

102

Solución: a) Para maximizar cambiaremos la estructura de los datos, usando

ijij yx =− )10( , y a partir de este cambio minimizamos:

A B C IND 1 7.29 8.19 8.87 9.052 8.11 8.45 8.29 8.943 8.08 8.15 9.01 9.234 8.85 7.85 8.32 8.72

Restando el menor de cada fila:

A B C IND 1 0 0.9 1.58 1.762 0 0.34 0.18 0.833 0 0.07 0.93 1.154 1 0 0.47 0.87

Restando el menor de cada columna:

A B C IND 1 0 0.9 1.1 0.932 0 0.34 0 0 3 0 0.07 0.25 0.324 1 0 0.19 0.04

Se tienen sólo 3 líneas, por lo cual es infactible. Luego, restamos el menor de los no cubiertos, sumándoselo a las intersecciones:

A B C IND 1 0 0.9 1.26 0.892 0.04 0.38 0 0 3 0 0.07 0.71 0.284 1 0 0.25 0

Nuevamente se tienen sólo 3 líneas, por lo cual es infactible. Luego,

restamos el menor de los no cubiertos, sumándoselo a las intersecciones: A B C IND 1 0 0.83 1.29 0.822 0.11 0.38 0 0 3 0 0 0.64 0.214 1.07 0 0.25 0

Se tienen 4 líneas = rango, luego estamos en el óptimo.

Page 104: Guia Usach

103

Asignación: Período 1, cadena A Período 2, cadena C-D Período 3, cadena A-B Período 4, cadena B-IND

Entonces, finalmente:

Período 1, cadena A Período 2, cadena C Período 3, cadena B Período 4, cadena IND

b) F.O.:

∑∑= =

=4

1

4

1i jijij XPMaxZ

444342

41343332312423

222114131211

28.168.114.215.177.099.085.192.106.171.1

55.189.195.013.131.171.2

XXXXXXXXXX

XXXXXXMaxZ

++++++++++

+++++=

Alternativamente:

∑∑= =

=4

1

4

1i jijij XPMinZ

444342

41343332312423

222114131211

72.832.885.785.823.901.915.808.894.829.8

45.811.805.987.819.829.7

XXXXXXXXXX

XXXXXXMinZ

++++++++++

+++++=

S.A.:

4..1_14

1

==∑=

iXj

ij

4..1_14

1==∑

=

jXi

ij

⎩⎨⎧

=01

ijX , donde las ijX son variables binarias.

7) Un operario de la fábrica LookOut Inc., ubicada al sur de Californa, tiene cinco trabajos que se pueden procesar en cualquiera de las seis máquinas, con sus respectivos tiempos (en horas), las cuales se presentan a continuación:

Page 105: Guia Usach

104

Trabajo Máquina

A-52 E-23 I-56 O-42 U-84

1 60 22 29 42 30 2 22 52 16 32 18 3 34 16 58 28 25 4 42 32 28 46 15 5 30 18 22 15 45 6 60 48 55 30 42

a) Determine la asignación óptima de los trabajos a las máquinas, que dé cómo resultado la minimización del tiempo total de procesamiento. b) Aplique una heurística “golosa” por columnas para hacer la asignación Solución: a) Por el Método Húngaro: Como hay una máquina demás, creamos un trabajo ficticio asignándole altos tiempos de procesamiento, para que una máquina que tenga un bajo tiempo de procesamiento en el resto de los trabajos, no sea asignada a este trabajo ficticio. De esta manera, se tiene:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

100423055486010045152218301001546283242100252858163410018321652221003042292260

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

70120251830853007315850311317278491242018842160366788207038

º

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

01202518241530073915031131721149124201214216036088207032

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

012018181715300032150316171414912350521923043088200025

Menor de c/Col.

sin cerosMenor de c/fila

Menor de los no cubiertos

Iteraciónfinal

Page 106: Guia Usach

105

Asignación: M1 → E-23 ó I-56 ⇒ M1 → I-56 M2 → A-52 ó I-56 ⇒ M2 → A-52 M3 → E-23 ⇒ M3 → E-23 M4 → U-84 ⇒ M4 → U-84 M5 → I-56 ó O-42 ⇒ M5 → O-42 M6 → O-42 ó Ficticio ⇒ M6 → Ficticio Tiempo Total Procesamiento = 29 + 22 + 16 + 15 + 15 = 97 horas b) Una solución puede ser:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

423055486045152218301546283242252858163418321652223042292260

Tiempo total de procesamiento = 22 + 16 + 22 + 30 + 15 = 105 horas 8) Gerald Glynn administra el Michaels Distruibution Center. Después de examinar cuidadosamente la información de su base de datos, ha determinado los requisitos diarios para el personal de tiempo parcial que atiende la plataforma de carga. El centro de distribución funciona los siete días a la semana, y los requisitos diarios de personal de tiempo parcial son los siguientes: Día L M M J V S D Requisitos 6 3 5 3 7 2 3

a) Encuentre el número mínimo de trabajadores que Glynn necesita contratar.

Prepare un programa de trabajo para esos individuos, de manera que cada uno disponga de dos días libres consecutivos por semana y que todos los requisitos de personal sean satisfechos. En caso de empate, conceda preferencia a la pareja S-D.

b) Plantee el problema anterior como un problema P.L., sin la consideración del requisito de empate.

Page 107: Guia Usach

106

Solución: a) Número mínimo de trabajadores:

L M W J V S D 6 3 5 3 7 2 3 S-D 5 2 4 2 6 2 3 S-D 4 1 3 1 5 2 3 M-W o W-J 3 1 3 0 4 1 2 S-D 2 0 2 0 3 1 2 L-M o M-W o W-J 1 0 2 0 2 0 1 S-D 0 0 1 0 1 0 1 L-M 0 0 0 0 0 0 0

Luego, el número mínimo de trabajadores que se necesitan contratar es 7. Programa de Trabajo:

Trabajador L M W J V S D

1 X X X X X Libre Libre 2 X X X X X Libre Libre 3 X Libre Libre X X X X 4 X X X X X Libre Libre 5 X X Libre Libre X X X 6 X X X X X Libre Libre 7 Libre Libre X X X X X

Disponible 6 5 5 6 7 3 3 Demanda 6 3 5 3 7 2 3 Holgura 0 2 0 3 0 1 0

Holgura Total = 8 b) Sabiendo que, para nuestro caso, el número mínimo de trabajadores es 7

(equivalente al requisito de personal máximo), comenzamos probando el modelo con un valor de n = 7, luego 8, 9 y así sucesivamente, hasta el primer n en que se obtenga una solución factible. Ese valor de n es el número mínimo de trabajadores que se necesitan contratar.

De esta manera tenemos: Variables:

⎩⎨⎧

=jdíaellibreestáitrabajadorelsi

jdíaeltrabajaitrabajadorelsiX ji 0

1 i = 1,2,…,n j = 1,2,…,7

Page 108: Guia Usach

107

Parámetros:

Rj = Requisitos diarios de personal durante el día j (j = 1,2,…,7) Modelo:

∑ ∑= =

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

7

1 1min

jj

n

iijTotal RXH

Sujeto a:

i) ∑=

≥n

ijij RX

1 7,...,2,1=∀ j

ii) ∑=

=∀=7

1

,...,2,15j

ij niX

iii) niXXXX iij

jiji ,...,2,121,7,

6

11,, =∀=−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∑

=+

Otra forma de expresar esta restricción, de manera no lineal es:

( )∑=

+ =∀=⋅+⋅6

17,1,1,, ,...,2,14

jiijiji niXXXX

Con 7≥n

9) La regla de Jonson se puede utilizar para minimizar el tiempo de procesamiento para colocar en secuencia un grupo de trabajos a través de dos instalaciones o máquinas. También minimiza el tiempo ocioso total en las máquinas. Explique el porqué. Solución:

La idea de la regla de Jonson es hacer que unas cuantas tareas pasen por

el procesador 1 con rapidez (trabajos de menor tiempo) para dar al procesador 2 para que tenga algo que hacer (disminuir ocio del procesador 2). Al final del programa el propósito es que queden tareas que requieran poco tiempo para los últimos procesadores de modo que una vez que este completo el procesador 1, el ultimo procesador pueda terminar rápidamente.

Page 109: Guia Usach

108

10) Cuando se programan n tareas en un solo procesador, el tiempo medio del flujo se minimiza secuenciando primero la tarea con el tiempo más corto de procesamiento, o sea t1 ≤ t2≤ .....≤tn. Demuestre que cuando se programan n tareas en un sólo procesador, la demora media se minimiza por la secuencia de t1 ≤ t2≤ .....≤tn.

Nota: Si se supone que todas las tareas están disponibles cuando se inicia el programa, el tiempo de flujo de cada tarea es igual a su tiempo de terminación (Fi,s = Ci,s) Solución:

Supongamos que el programa S’, una secuencia que no es SPT, minimiza el tiempo medio de flujo. Entonces debe existir un par de trabajos en S’, digamos i y j, tales que j está programado inmediatamente antes de i, y tj > ti. Ahora consideremos el programa S, que es el mismo que S’ excepto que los trabajos i y j se intercambiaron, de manera que i está programado inmediatamente antes de j. Las tareas anteriores a i y j se definen dentro del conjunto A y las posteriores pertenecen al conjunto B, los cuales están en la misma posición en los dos programas. Las dos secuencias se pueden ver en la figura a continuación. Obsérvese que las tareas en los conjuntos A y B se inician y completan en los mismos tiempos en ambas secuencias; por tanto, sus tiempos de flujo son los mismos. La única diferencia en los tiempos de flujo de las dos secuencias se presenta en las tareas i y j.

El tiempo medio de flujo para cada secuencia está dado por:

( ) ( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++++⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∑∑

∑∑

∀∀

∀∀

BenkSkjiAiA

AenkSk

BenkSkSjSi

AenkSkS

FtttttFn

FFFFn

F

,,

,,,,

1

1

( ) ( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++++⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∑∑

∑∑

∀∀

∀∀

BenkSkijAjA

AenkSk

BenkSkSiSj

AenkSkS

FtttttFn

FFFFn

F

',',

',',',','

1

1

tA ti tj

i j

j i

Tareas en A

Tareas en A

Tareas en B

Tareas en B

Sec

uenc

ia S

Sec

uenc

ia S

Page 110: Guia Usach

109

Sustrayendo el flujo medio de S’ del de S se obtiene:

[ ] 01' <−=− jiSS tt

nFF

Esto implica que el tiempo medio de flujo de S es menor que el de S’, lo que contradice la suposición de que S’ es óptimo. Este mismo intercambio de dos a dos de tareas adyacentes se puede repetir siempre que el cambio coloque la tarea más corta adelante de la más larga y que cada intercambio reduzca el tiempo medio de flujo. Estas mejoras se pueden hacer hasta que t[1] ≤ t[2] ≤ … ≤ t[n], lo cual representa el tiempo medio mínimo de flujo. Por lo tanto, un programa óptimo debe estar en el orden SPT. 11) Si se tiene un sistema constituido por 2 máquinas A y B, ¿cuál sería el orden de procesamiento de los siguientes conjuntos de tareas {a}, {b}, {ab} y {ba}? Fundamente su respuesta. Solución:

Los trabajos en {ab} deben programarse antes en la máquina A que los

trabajos en {ba}, porque no se quiere que la máquina A esté ociosa mientras espera que termine la primera operación de un trabajo {ba} en la máquina B antes de poder procesarlo en la máquina A. Por el mismo argumento, se quiere programar, en la máquina A, todos los trabajos de {a} antes que los trabajos {ba}. Por otro lado, ningún trabajo de {a} debe ir antes que los trabajos {ab} en la máquina A, ya que podría retrasar el proceso de un trabajo {ab} en la máquina B. Esto implica un orden de los conjuntos de trabajos en la máquina A: {ab} {a} {ba}. De la misma manera, el orden en B debe ser {ba} {b} {ab}.

En cuanto al orden de los trabajos dentro de los conjuntos, si sólo se tuvieran trabajos {ab}, se podría usar el algoritmo de Johnson para programarlos. También se podría usar para programar los trabajos en {ba}, pero con la máquina B primero y la A después. El orden de los trabajos dentro de {a} y {b} no importa, de manera que el programa de lapso mínimo para un taller de producción intermitente con 2 máquinas es:

• Máquina A: trabajos {ab} ordenados según el algoritmo de Johnson,

después los trabajos {a} en cualquier orden, seguidos de los {ba} en orden inverso al algoritmo de Johnson.

• Máquina B: trabajos {ba} en orden inverso de Johnson, trabajos {b} en cualquier orden y trabajos {ab} en el orden de Johnson.