Guida alla Fisica

del Laboratorio 1 e 2

Lorenzo Zaninettizaninetti@ph.unito.it

Dipartimento di Fisica GeneraleEdizione III

10 febbraio 2018

ii

Introduzione

Queste note vogliono sia essere un compendio completo alla fisica con-nessa con le esperienze del Laboratorio di Fisica I e II, sia eventualmen-te sostituire la parte di Fisica delle relazioni che i vari gruppi devonopresentare all esame.

iii

CAPITOLO 0. INTRODUZIONE

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Indice

Introduzione iii

1 Misure di lunghezze 1

1.1 Uso del nonio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Bilancia analitica 5

2.1 Posizione equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Fisica equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Sensibilita ed m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Doppia pesata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.5 Metodo tara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.6 Sensibilita teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 La molla 13

3.1 Molle multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1.1 Molle in parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1.2 Molle in serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Modulo di Young 19

4.1 catetometro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5 Piattaforma girevole 23

5.1 Determinazione I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.2 Teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

6 Pendolo Semplice 29

6.1 Nota storica sul metro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

v

INDICE INDICE

7 Pendolo Reversibile 337.1 Modo di sperimentare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367.2 periodo ed ampiezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377.3 Terza soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

7.3.1 Lesperimento della terza soluzione . . . . . . . . 467.3.2 L analisi dei dati . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

8 Giroscopio 538.1 Momento di Inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538.2 J assiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538.3 J equatoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568.4 Nutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

8.4.1 Esecuzione pratica . . . . . . . . . . . . . . . . . 608.5 Elaborazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618.6 Precessione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

8.6.1 Montaggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648.7 Esecuzione pratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.8 Determinazione J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

9 Bilancia di Cavendish 739.1 Metodo accelerazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759.2 Moto smorzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 779.3 Trattamento completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799.4 escursione Finale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 859.5 Note tecniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899.6 Novita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

10 Rotaia ad aria 9510.1 Forze dissipative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

11 Rotaia Leybold 10111.1 Il moto accelerato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10111.2 Influenza della viscosita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

12 Grande Tavola 10512.1 Moto rettilineo uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10712.2 Deduzione della viscosita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11012.3 Parabola di tiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11112.4 Urto elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

vi

INDICE INDICE

12.5 Urto Anelastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

13 Il Calorimetro 125

13.1 Calorimetro di Mahler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

13.2 Misurazione di cx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

13.3 Determinazione me . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

13.4 Influenza del motorino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

13.5 c dell acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

13.6 Correzione grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

13.7 Minima superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

13.8 Legge raffreddamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

13.9 Andamento riscaldamento . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

13.10Andamento raffreddamento . . . . . . . . . . . . . . . . 135

13.11Problema muro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

14 Equivalente meccanico 139

14.1 Costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

14.2 Errori potenza meccanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

14.3 Errori DELTA Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

15 Motore 145

15.1 Motore termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

15.2 Macchina frigorifera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

15.3 Esperienza come motore . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

15.4 Esperienza come refrigeratore . . . . . . . . . . . . . . . 151

15.5 Nota Storica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

16 La temperatura critica 153

16.1 L apparato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

16.2 La fisica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

17 Rapporto cp / cv 159

17.1 deduzione di k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

17.2 Montaggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

17.3 Esecuzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

17.4 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

17.5 Unita di pressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

vii

INDICE INDICE

18 Termometro a gas 16718.1 Verifica Boyle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

18.1.1 Montaggio-Legge di Boyle . . . . . . . . . . . . . 16818.1.2 Esecuzione -Legge di Boyle . . . . . . . . . . . . . 17018.1.3 Calcolo di p e di V-Legge di Boyle . . . . . . . . 17018.1.4 Considerazioni su V -Legge di Boyle . . . . . . . 17118.1.5 Il prodotto p V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17118.1.6 Numero di grammomolecole . . . . . . . . . . . . 172

18.2 Equazione di stato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17318.2.1 Montaggio-Equazione di stato . . . . . . . . . . . 17318.2.2 Esecuzione - Equazione di stato . . . . . . . . . . 175

18.3 Verifica Gay-Lussac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17618.3.1 Esecuzione dellesperienza . . . . . . . . . . . . . 177

19 Viscosimetro 17919.1 Viscosita olio 7 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18419.2 Viscosita acqua 7 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

20 Velocita limite 18720.1 Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18720.2 Eqn. diff. Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18820.3 Esecuzione Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19020.4 Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19120.5 Eqn. diff. Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

21 Galleria del vento 19321.1 Tubo di Venturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

21.1.1 Tubo di Venturi-Montaggio . . . . . . . . . . . . 19421.1.2 Tubo di Venturi-Esecuzione . . . . . . . . . . . . 196

21.2 Manometro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19621.2.1 Sonda manometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 19821.2.2 Misure dei vari tipi di pressione . . . . . . . . . . 19821.2.3 Misure della velocita di flusso . . . . . . . . . . . 200

21.3 Canale del vento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20021.3.1 Coefficiente di resistenza . . . . . . . . . . . . . . 20121.3.2 Montaggio per il coefficiente di resistenza . . . . . 20221.3.3 Esecuzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20321.3.4 Valutazione e risultato . . . . . . . . . . . . . . . 203

21.4 Ala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

viii

INDICE INDICE

21.4.1 Montaggio profilo polare ala . . . . . . . . . . . . 20621.4.2 Regolazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20721.4.3 Annotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20721.4.4 Esecuzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20921.4.5 Valutazione e risultato . . . . . . . . . . . . . . . 20921.4.6 Annotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

22 Lunghezza Focale 21322.1 Convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21322.2 Procedimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21422.3 Conv + div . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

23 Reticolo di diffrazione 21723.1 Scopo dell esperienza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21723.2 Dispositivo Sperimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21723.3 Legge Fisica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21823.4 Procedimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

A Unita di misura 221A.1 I sistemi mks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222A.2 Il sistema cgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223A.3 Nota sulla caloria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225A.4 Il sistema tecnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226A.5 Il sistema SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226A.6 Prefissi nel SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

B I programmi 231

C Dati 235C.1 Costanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235C.2 Tabelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

D Matematica 239D.1 Derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

D.1.1 Polinomi e potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . 239D.1.2 Esponenziali e funzioni logaritmiche . . . . . . . . 240D.1.3 Funzioni trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . 240D.1.4 Funzioni Iperboliche . . . . . . . . . . . . . . . . 241D.1.5 Altre Funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

D.2 Integrali indefiniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

ix

INDICE INDICE

D.2.1 Polinomi e potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . 242D.2.2 Funzioni esponenziali e logaritmiche . . . . . . . . 242D.2.3 Funzioni Trigonometriche . . . . . . . . . . . . . 243D.2.4 Funzioni Iperboliche . . . . . . . . . . . . . . . . 243D.2.5 Funzioni cicliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244D.2.6 Radici Quadrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

D.3 Integrali generalizzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245D.4 Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247D.5 Trigometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

D.5.1 Triangolo retto -Definizioni . . . . . . . . . . . . . 247D.5.2 Formule ridotte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247D.5.3 Identita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248D.5.4 Somme e Differenze . . . . . . . . . . . . . . . . . 248D.5.5 Angolo doppio e meta . . . . . . . . . . . . . . . 248D.5.6 Altre formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249D.5.7 Cambiamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249D.5.8 Funzioni trigometriche inverse . . . . . . . . . . . 250

D.6 Alfabeto greco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

x

Capitolo 1

Misure di lunghezze

In questa sezione ci occuperemo della piu semplice delle esperienze:misurare delle lunghezze con un calibro. Prima pero dobbiamo capirecome funziona il nonio.

1.1 Uso del nonio

Nell apprezzare la posizione di un indice scorrevole lungo una scalagraduata, come accade misurando uno spessore con un calibro, avvienequasi sempre che l indice indichi una posizione intermedia fra due trattiincisi sulla scala e quindi si debba valutare una frazione dell intervallominimo della graduazione. Nell esempio della figura 1.1, l indice Iinciso sulla parte scorrevole NN indica una posizione fra il tratto 26ed il tratto 27 della scala S ed occorre valutare la distanza x fra iltratto 26 e l indice I . A tale scopo sulla parte scorrevole NN e incisauna graduazione ausiliaria che costituisce propriamente il nonio ( daNonius , nome latinizzato di Pedro Nunes che lo invento). La lunghezzadi n intervalli del nonio ricopre n-1 intervalli della scala; quindi se a e lalunghezza di un intervallino di quest ultima, un intervallino del nonioe lungo n1

na. Nella figura 1.1, 10 intervalli del nonio corrispondono

a 9 intervalli del regolo graduato. L indice I corrisponde allo zerodel nonio. Per una posizione qualsiasi, i tratti incisi su NN non sonoallineati con quelli della scala eccettuato uno che vi corrisponde se nonesattamente almeno con buona approssimazione. Nella figura 1.1 ilsettimo tratto di NN e allineato con il tratto adiacente inciso sul regolo.Supponiamo che fra I zero del nonio e tale tratto vi siano k intervallini.

1

1.1. USO DEL NONIO CAPITOLO 1. MISURE DI LUNGHEZZE

Figura 1.1: Nonio decimale

Scrivendo la lunghezza ka (vedi figura 1.1) in due modi diversi si ha

x+ kn 1n

a = ka , (1.1)

dalla quale si ricava

x =k

na , (1.2)

Quindi la lunghezza x e i k -ennesimi di a. Nel caso della figura 1.1, sea= 1mm, e x = 7

10mm e percio l indice I indica la posizione 26.7 mm.

Il nonio dei calibri usualmente e diviso in 20 intervalli corrispondente-mente a 19 mm della graduazione,quindi consente l apprezzamento del120

mm=0.05mm.Per maggiori dettagli consultare il libro del [Bussetti 1967] . Ripor-

tiamo in Figura 1.2 una fotografia di un calibro di laboratorio.ELABORAZIONE DATI SU PC.Per quanto riguarda i dati possiamo adoperare il programma GAUSS,che, analizzando le varie lunghezze, compie alcune operazioni di statisti-ca, produce una divisione in classi e confronta la distribuzione osservatacon quella Gaussiana.

2

CAPITOLO 1. MISURE DI LUNGHEZZE 1.1. USO DEL NONIO

Figura 1.2: Foto di un calibro di laboratorio

3

1.1. USO DEL NONIO CAPITOLO 1. MISURE DI LUNGHEZZE

4

Capitolo 2

Bilancia analitica

La bilancia analitica e uno strumento in grado di misurare con grandeprecisione le masse. La bilancia (vedi figura 2.1) e contenuta in unacustodia ( 8 ) provvista di sportello ( 1 ) per protezione. Per unamaggiore stabilita, essa e dotata di tre viti calanti (10), medianti lequali poggia su di un piano orizzontale. I piatti della bilancia sonoattaccati alle staffe ( 3), che a loro volta, sono sostenute da due coltellii quali, assieme ad un terzo coltello in posizione centrale, chiamato fulcro , devono risultare paralleli. Questi tre coltelli, fissati al giogodella bilancia, vanno fatti appoggiare su di un piano quando la bilancianon viene usata ; a tal fine la bilancia e dotata di una manopola ( 5) perbloccare il giogo ed i piatti e staccare i coltelli dai piani. Solidale al giogosi trova un indice, che con i suoi spostamenti su di una scala graduata( 4 ), permette la lettura. Vi e inoltre un cavalierino di Berzelius (2)il quale puo essere spostato su di una scala graduata ( 7) tramite unamanopola esterna ( 6).

Esso e costituito da un pezzo di filo di alluminio da 10 mgr. a formadi U, e la sua funzione e semplicemente quella di ottenere la deter-minazione di masse inferiori a 10 mgr che di solito non si trovano nellepesiere. Ad esempio, appoggiare il cavalierino sulla posizione +3 dellascala graduata, che e suddivisa in dieci tacche a destra dello zero e inaltrettante a sinistra, sara equivalente ad aggiungere una massa di 3mgr sul piatto destro, poiche:

3

10 10mgr = 3mgr . (2.1)

5

CAPITOLO 2. BILANCIA ANALITICA

Figura 2.1: Bilancia analitica

6

CAPITOLO 2. BILANCIA ANALITICA 2.1. POSIZIONE EQUILIBRIO

Figura 2.2: Condizione di equilibrio

2.1 Posizione equilibrio

Blocchiamo la bilancia ed equilibriamo la massa su di un piattello ca-ricando progressivamente l altro e selezionando con cura i pezzi pro-venienti dalla pesiera. Se si vuol raggiungere la posizione di zero sicontinua con i pesi piu piccoli oppure si adopera il cavalierino. Ad ognilettura il moto dell indice sulla scala e oscillatorio smorzato e aspet-tiamo qualche ciclo prima di prendere le misure. Prenderemo poi unnumero dispari di posizioni da una parte e pari dall altra.

Se si leggono 5 massimi avremo come posizione di equilibrio:

x =1

2[1

3(x1 + x3 + x5) +

1

2(x2 + x4)] , (2.2)

se invece per brevita eseguiamo solamente tre letture avremo:

x =1

2[1

2(x1 + x3) + (x2)] . (2.3)

2.2 Fisica equilibrio

Nella figura 2.2 O rappresenta il fulcro, G il baricentro del giogoove si puo pensare applicata la forza m0g che rappresenta il peso totaledel giogo, A1 e A2 sono due coltelli a cui sono applicati i pesi m1g em2g.

Quando la bilancia e in equilibrio, secondo la legge cardinale delladinamica dei sistemi,

7

2.3. SENSIBILITA ED M CAPITOLO 2. BILANCIA ANALITICA

occorre che la risultante dei momenti delle forze rispetto ad O sianulla:

i

~Mi(O) = 0 . (2.4)

Esplicitando le formule otteniamo:

m1gb1cos()m0glsen()m2gb2cos() = 0 . (2.5)

Essendo l angolo piccolo provvediamo alle seguenti semplificazioni:

m1b1 m0lm2b2 = 0 . (2.6)

Supponiamo la bilancia in equilibrio, aggiungiamo su di un piatto unapiccola massa m; essa produrra un x sulla scala graduata dell indicee quindi possiamo definire la sensibilita come:

=m

x, (2.7)

espresso in mgr/div.

2.3 Sensibilita ed m

La sensibilita della bilancia risulta essere funzione della massa e, perottenere questa dipendenza, calcoliamo prima a piatti scarichi, piattodi destra e piatto di sinistra e poi aumentando progressivamente lemasse, che praticamente significa mettere masse uguali sui due piatti,ad esempio 10 g, 20 g, 30 g, 40 g, 50 g. Avremo quindi due curve dellasensibilita funzione della massa, con barre di errore molto alte dovuteall incertezza di una tacca sull indice della scala graduata.ELABORAZIONE DATI SU PC.Interpolare i dati tramite una retta usando il programma RETTA.

2.4 Doppia pesata

Si tratta di eliminare l errore dovuto alla diseguaglianza dei due bracci.Riferendoci alla figura 2.2 indichiamo con m1 e m2 le masse dei piattelli

8

CAPITOLO 2. BILANCIA ANALITICA 2.5. METODO TARA

scarichi con le rispettive sospensioni. Poniamo il corpo di massa inco-gnita mx a sinistra ed equilibriamo con una massa m a destra, ripor-tando l indice nella stessa posizione che aveva quando la piattaformaera scarica. L equazione dell equilibrio diventa:

(mx +m1) b1 m0l (m +m2) b2 = 0 . (2.8)

Ripetiamo poi la pesata ponendo pero il corpo di massa mx a destraed eguagliando con una massa m in modo da ritornare alla posizionedi equilibrio iniziale. Abbiamo quindi:

(m +m1) b1 m0l (mx +m2) b2 = 0 . (2.9)

Invece a piatti scarichi abbiamo:

m1b1 m0lm2b2 = 0 . (2.10)

Sottraiamo membro a membro questa equazione alle due precedenti eotteniamo:

mxb1 = mb2 , (2.11)

mxb2 = mb1 , (2.12)

moltiplichiamo poi membro a membro:

m2xb1b2 = mmb1b2 (2.13)

e otteniamo:

mx =mm m

+m

2. (2.14)

Dove abbiamo sostituito alla media geometrica quella aritmetica.

2.5 Metodo tara

Con questo metodo si pone rimedio alla diseguaglianza dei bracci po-nendo il corpo e le masse sempre sul medesimo piatto. Si mette su di unpiatto ( ad esempio il sinistro ) la tara avente massa maggiore di quellache si deve misurare. Si equilibra la tara ponendo sull altro piattello (a destra ) i campioni della pesiera che chiameremo ma.

Si rimettono tali pezzi campione nella pesiera e si mette il corpo dapesare sul piattello. Sia mb la massa che insieme a mx equilibra la tara.Avremo ovviamente

mx = ma mb . (2.15)

9

2.6. SENSIBILITA TEORICA CAPITOLO 2. BILANCIA ANALITICA

Figura 2.3: Schema bilancia

2.6 Sensibilita teorica

Cominciamo a tracciare il disegno 2.3 che schematizza la bilancia:dove m0 e la massa del giogo e m = massa sul piattello + massa

piattello.Supponiamo ora che i bracci siano uguali OA1 = OA2 = b e che

inoltre la distanza OD = sia positiva. A questo punto abbiamo duemasse m che pensiamo essere applicate in D; ricordiamo inoltre cheall equilibrio A1A2 e orizzontale e OG verticale.

Una piccola massa m variera adesso la situazione di equilibrioin maniera minima; applicheremo quindi la legge che la somma deimomenti rispetto all asse O e nulla:

m bcos( + ) 2msen()m0lsen() = 0 , (2.16)

raccogliamo a fattor comune e otteniamo:

mbcos( + ) (2m+m0l)sen() = 0 , (2.17)

10

CAPITOLO 2. BILANCIA ANALITICA 2.6. SENSIBILITA TEORICA

ma essendo: 0 e 0 , (2.18)

otteniamom b 2(m+m0l) = 0 , (2.19)

e ricaviamo facilmente la sensibilita S:

S =

m=

b

(2m+m0l). (2.20)

Da questa formula se ne deduce che la sensibilita e:

proporzionale alla lunghezza dei bracci

inversamente proporzionale alla massa del giogo

inversamente proporzionale alle masse applicate

Nel nostro caso abbiamo bracci e massa del giogo fissi e la massa mvariabile; mentre = m/x sara ovviamente direttamente propor-zionale alla massa applicata.

Per maggiori dettagli consultare il libro del [Bussetti 1967] .

11

2.6. SENSIBILITA TEORICA CAPITOLO 2. BILANCIA ANALITICA

12

Capitolo 3

La molla

La lunghezza naturale di una molla non sollecitata sia l0 (parte a dellafigura 3.1). Appendiamo un peso w che allunghera la molla di unalunghezza l ( parte b della figura 3.1

A causa dello sforzo dovuto al peso una forza di richiamo vieneoriginata nella molla che cerca di tornare nella posizione di partenza.Tramite la legge di Hooke questa forza e proporzionale alla distanza l( la lunghezza di cui si e allungata la molla):

F = kl , (3.1)

dove k > 0 e la costante della molla espressa in Nm

. Riportiamo nellatabella 3.1 alcuni parametri tipici delle molle presenti in laboratorio.

La forza agente verso il basso e la forza peso della massa attaccataalla molla. Se la molla e sulla superficie della terra, allora F=mg.Poiche la molla e in equilibrio la forza diretta verso il basso eguaglia la

Tabella 3.1: Parametri della molla

costante della molla Nm1 Carico max in N lunghezza in cm diametro in cm

3 2 15 310 5 12 125 5 12 1.532 10 35 35

13

CAPITOLO 3. LA MOLLA

Figura 3.1: Schema della molla

forza verso l alto :

kl = mg . (3.2)

Dalla formula precedente e gia possibile dedurre un primo valore di k

k =mg

l. (3.3)

Sia y=0 la posizione di equilibrio della molla con il peso w attaccato adessa. Se la molla con questo peso attaccato e allungata di un ulterioredistanza y le seguenti forze agiranno sulla molla :

una forza verso lalto dovuta alla tensione della molla che adessoe k(l+y)

una forza diretta verso il basso dovuta al peso w eguale ad mg

L equazione del moto diventa:

md2y

dt2= mg k(l + y) = mg kl ky . (3.4)

Grazie alla situazione di equilibrio precedente lequazione si semplificaulteriormente :

md2y

dt2= ky . (3.5)

14

CAPITOLO 3. LA MOLLA 3.1. MOLLE MULTIPLE

Questa e lequazione delloscillatore la cui soluzione e

y = Acos(t+ 1) , (3.6)

dove =

km

. Il periodo di tale moto oscillatorio vale:

T =2

= 2

m

k. (3.7)

La relazione che connette la costante k con il periodo T vale

k = 42m

T 2, (3.8)

e questa e pure la seconda definizione di k.

Dalle equazioni (3.3) e (3.8) e possibile ricavare il valore della co-stante g che rappresenta la gravita a Torino quando le masse sonouguali

g =l42

T 2. (3.9)

Lattrezzatura di laboratorio e riportata nella Figura 3.2.

3.1 Molle multiple

Le molle possono essere in parallelo o in serie.

3.1.1 Molle in parallelo

Ambedue le molle toccano il punto di azione e il livello di compressione, l , sara uguale per entrambe. La forza sul blocco Fb sara

Fb = F1 + F2 = k1l k2l = (k1 + k2)l , (3.10)

che significa una costante della molla equivalente ,keq, del tipo

keq = k1 + k2 . (3.11)

15

3.1. MOLLE MULTIPLE CAPITOLO 3. LA MOLLA

Figura 3.2: Lesperimento della molla

16

CAPITOLO 3. LA MOLLA 3.1. MOLLE MULTIPLE

3.1.2 Molle in serie

Supponiamo che la posizione di equilibrio sia l2

Fb = keql2 . (3.12)

Per continuare dobbiamo definire il punto di equilibrio fra le due mollel1

Fb = k1l1 + k2(l2 l1) . (3.13)

Essendo che all equilibrio la forza fra le molle e 0 possiamo risolvereper l1

l1 =k2

k1 + k2l2 , (3.14)

e quindi

Fb = (k1k2k1 + k2

)l2 , (3.15)

ovverosia

keq =k1k2k1 + k2

, (3.16)

che puo essere scritta come

1

keq=

1

k1+

1

k2. (3.17)

17

3.1. MOLLE MULTIPLE CAPITOLO 3. LA MOLLA

18

Capitolo 4

Modulo di Young

Se si ha un filo elastico di lunghezza l e sezione costante S, soggetto aduna forza di trazione F, l allungamento x vale:

x =1

E

l

SF . (4.1)

La costante:

E =1

x

l

SF (4.2)

si chiama modulo di allungamento o modulo di Young.Nel nostro caso abbiamo un filo di acciaio armonico di diametro

4/10 di mm. L estremo superiore e fissato ad un sostegno rigido el estremo inferiore porta un indice. Si osservano gli spostamenti permezzo di un oculare montato su un catetometro. Una massa della qualenon si terra conto ( 0.5 kg ) e sempre appesa al filo per tenerlo teso. Intali condizioni si osserva la posizione di zero dell indice e poi si appen-dono le masse note, m1, m2, m3 le cui forze peso F1 = m1g, F2 = m2g,F3 = m3g produrranno allungamenti x1, x2, x3. A questo punto ri-cordiamo che l allungamento del filo e in direzione opposta a quelladella scala del catetometro e che quindi conviene sottrarre a tutti i datiottenuti la posizione di partenza. Nel sistema CGS, E rimane espressoin dine

cm2, nel sistema MKS in Newton

m2.

ELABORAZIONE DATI SU PC.Per l analisi dei dati si consiglia l uso del programma RETTA(vediFigura 4.1) mentre il programma YOUNG permette di ottenere diret-tamente il valore di E.

19

4.1. CATETOMETRO CAPITOLO 4. MODULO DI YOUNG

Figura 4.1: Tipico run del programma YOUNG

4.1 catetometro

Esso consiste sostanzialmente di una colonna verticale AA1, girevoleintorno al proprio asse, portante un cannocchiale C1C2 ad asse orizzon-tale il quale puo scorrere lungo una colonna mediante lo spostamentodi una slitta Z(vedi Figura 4.2). La colonna verticale porta un regolograduato in mm e mezzi mm, il cui corpo e sempre adiacente ad unindice con nonio, solidale con la slitta Z, qualunque sia l orientamen-to del cannocchiale. Il cannocchiale e munito di reticolo e di solito eadatto per essere puntato su oggetti ad una distanza variabile fra 0.5e 2 m. Aggiustata la verticalita dell asse, la misurazione del dislivellofra due punti si effettua puntandoli successivamente col cannocchiale eleggendo le due posizioni indicate dall indice del nonio. La differenzadelle due letture da il dislivello. La precisione puo raggiungere 1/50 dimezzo mm, anche se lo studente diligente si accorgera che si ottengo-no risultati diversi a seconda che si arrivi sull indice di riferimento dasopra oppure da sotto; questo fatto porta l errore di misura a 3 - 4centesimi di mm. Prima di eseguire la misurazione di un dislivello sonoindispensabili alcune operazioni di aggiustamento per verificare la ver-ticalita della colonna e l orizzontalita del cannocchiale. Fatto questolo studente non modifichera piu il catetometro. Per maggiori dettagliconsultare il libro del [Bussetti 1967] .

Riportiamo nella tabella C.3 le proprieta elastiche di alcuni materialidi interesse ingegneristico.

20

CAPITOLO 4. MODULO DI YOUNG 4.1. CATETOMETRO

Figura 4.2: Il nostro catetometro

21

4.1. CATETOMETRO CAPITOLO 4. MODULO DI YOUNG

22

Capitolo 5

Piattaforma girevole

Per definizione il momento di inerzia del corpo rispetto ad una asse e:

I =

r2dm , (5.1)

dove r e la distanza dall asse dell elemento di massa dm (vedi Figu-ra 5.1) . Diversamente dalla massa il momento di inerzia di un cor-po dipende non soltanto dal corpo ma anche dalla posizione dell asserispetto ad esso.

Se si ha un solido girevole attorno ad un asse fisso, la legge fonda-mentale della dinamica dice che:

Ma = Id2

dt2, (5.2)

dove I e il momento d inerzia del corpo rispetto all asse , d2dt2

e l accele-razione angolare e Ma e il momento rispetto all asse delle forze esterneagenti sul corpo. Si dispone di una piattaforma P, girevole intorno adun asse verticale, sulla quale si appoggera il corpo Q del quale si vuolemisurare il momento di inerzia.

L albero della piattaforma ha raggio noto ( che deve essere misurato) e ruota su di un supporto fisso con attrito minimo. Il movimentodel sistema e dovuto alla trazione di una funicella terminante con unocchiello che fa presa su di un gancetto solidale con l albero, avvolta suquesto per un certo numero di giri. La funicella ( che e un sottile filo dinylon ) e tesa da una massa m nota appesa all altro estremo e appoggiasu una piccola puleggia posta ad un livello tale che il filo abbandonil albero orizzontalmente. All inizio si abbia la sola piattaforma senza

23

CAPITOLO 5. PIATTAFORMA GIREVOLE

Figura 5.1: La piattaforma

24

CAPITOLO 5. PIATTAFORMA GIREVOLE 5.1. DETERMINAZIONE I

il corpo Q. Si faccia ruotare la piattaforma e si osservi la sua posizionenell istante in cui il filo si sgancia: e necessario avere un segno diriferimento per contare il numero di giri n. L angolo di rotazione ( inradianti ) vale 2 n. Usando il cronometro si controlli che sotto l azionedella tensione costante del filo la legge del moto, partendo dalla quiete,e del tipo = cost t2.

5.1 Determinazione I

Si contano i tempi dall istante in cui la piattaforma inizia il moto sottol azione della trazione dovuta al peso mg del corpo C attaccato al filo.Si fa scattare il cronometro all istante t=0 in cui il moto ha inizio e siosserva il numero n1 di giri all istante t1 in cui il filo si sgancia.

Da questo istante la piattaforma ruota sotto l azione del solo mo-mento frenante delle forze di attrito e si ferma all istante t2. Si regi-strano dunque la massa m del corpo C appeso , le grandezze n1, t1,t2e i valori del raggio a dell albero e dell accelerazione di gravita g chesono noti.

5.2 Teoria

La posizione della piattaforma e determinata dal suo angolo di rotazione, mentre la posizione del corpo C ( di massa m e peso mg ) , appesoal filo e determinata dalla quota y del suo baricentro, contata verso ilbasso. Se a e il raggio dell albero intorno al quale e avvolto il filo, lospostamento dy di m e legato alla rotazione d della piattaforma dallarelazione dy=a d. La tensione della funicella abbia modulo T.

I momenti rispetto all asse di rotazione delle forze esterne applicatealla piattaforma si riducono al momento MT = a T della tensione delfilo ed al momento Mf delle forze di attrito.

Quindi essendo I il momento di inerzia della piattaforma, l equa-zione del moto di quest ultima e:

MT Mf = Id2

dt2, (5.3)

con

MT = aT . (5.4)

25

5.2. TEORIA CAPITOLO 5. PIATTAFORMA GIREVOLE

L equazione del moto verticale della massa m appesa al filo e:

mg T = md2y

dt2, (5.5)

dalla quale si ricava:

T = mg md2y

dt2, (5.6)

da cui e evidente che la tensione T del filo durante il moto acceleratonon e uguale al peso mg della massa m. Durante la discesa e dy

2

dt2 0 e

quindi T mg. Poiche dy=a d si ha l equazione vincolare:

d2y

dt2= a

d2

dt2, (5.7)

l equazione della tensione diventa quindi:

T = mg mad2

dt2, (5.8)

mentre:

MT = mgama2d2

dt2. (5.9)

L equazione differenziale del moto del sistema diventa quindi:

d2

dt2=mgaMfma2 + I

. (5.10)

Integrando rispetto al tempo ambo i membri di quest ultima for-mula otteniamo

d

dt= =

mgaMfma2 + I

t+ c , (5.11)

avendo posto ddt

= , velocita angolare. Per t=0 e = 0, percio lacostante c e nulla, quindi:

d

dt= =

mgaMfma2 + I

t . (5.12)

Con un ulteriore integrazione rispetto al tempo, tenendo conto che pert=0 e = 0, si ottiene:

=1

2

mgaMfma2 + I

t2 . (5.13)

26

CAPITOLO 5. PIATTAFORMA GIREVOLE 5.2. TEORIA

All istante t1 in cui il filo si sgancia dall albero sia = 1 e = 1,quindi:

1 =1

2

mgaMfma2 + I

t21 , (5.14)

1 =mgaMfma2 + I

t1 . (5.15)

Dopo tale istante, mancando il peso tensore, l equazione differenzialedel sistema diventa:

d2

dt2=MfI

, (5.16)

che, integrata rispetto al tempo da:

d

dt= =

MfI

t+ k . (5.17)

La costante di integrazione k si determina imponendo che per t = t1sia = 1, cioe:

1 = MfIt1 + k . (5.18)

Sostituendo il valore di k cos ottenuto nella 4.17 si ha:

= MfI

(t t1) + 1 , (5.19)

che da la velocita in funzione del tempo per t t1.All istante t2 la piattaforma si ferma ( = 0 ) e quindi, ponendo

nell equazione precedente t= t2 e = 0, si ottiene:

1 =MfI

(t2 t1) . (5.20)

Le equazioni 4.20, 4.15 e 4.14 costituiscono un sistema algebrico nelletre incognite I, Mf e 1. Eliminando 1 fra la 4.15 e la 4.20 si ha:

MfI

(t2 t1) =mgaMfma2 + I

t1 . (5.21)

Eliminando la frazionemgaMfma2+I

fra la 4.21 e la 4.14 si ha:

MfI

(t2 t1) =21t1

. (5.22)

27

5.2. TEORIA CAPITOLO 5. PIATTAFORMA GIREVOLE

Questa e la 4.14 formano un sistema piu semplice nelle incognite Mf eI. Riducendo tali equazioni a forma normale il sistema diventa:

t1(t2 t1)Mf 21I = 0 , (5.23)

t21Mf + 21I = mgat21 21ma2 . (5.24)

Risolvendo si trova infine:

Mf =mgat21 21ma2

t1t2, (5.25)

I =(t2 t1)(mgat21 21ma2)

21t2, (5.26)

con1 = 2n1 . (5.27)

Le grandezze che compaiono nei secondi membri sono note, cosrimangonodeterminati I e Mf ( per il valore di g a Torino si consulti l appendiceC dedicata alle costanti).

Per maggiori dettagli consultare il libro del [Bussetti 1967] .ELABORAZIONE DATI SU PC.Per quanto riguarda l elaborazione dei dati si consiglia il programmaINERZ , che calcola il momento di inerzia dai dati iniziali e lo confrontacon quello teorico.

28

Capitolo 6

Pendolo Semplice

Il pendolo semplice di lunghezza l, con un peso di massa m e visualizzatonella Figura 6.1 ed e soggetto ad un moto oscillatorio. La forza cheproduce il moto e la forza di richiamo gravitazionale che agisce nelladirezione tangente all arco del moto e vale mg sin() dove e langolodi oscillazione. La seconda legge del moto di Newton dice che

F = mdv

dt= mgsin() , (6.1)

e quindidv

dt= g sin() . (6.2)

La distanza s che percorre la massa sull arco vale

s = l , (6.3)

e quindi

v = ld

dt,

dv

dt= l

d2

dt2. (6.4)

Dalle equazioni precedenti otteniamo la seguente equazione differenzialedel secondo ordine

ld2

dt2+ g sin() = 0 . (6.5)

Questa e un equazione differenziale non lineare che sfruttando lo svi-luppo in serie di Taylor

sin() = 3

3!+ ... (6.6)

29

CAPITOLO 6. PENDOLO SEMPLICE

Figura 6.1: Il pendolo semplice

30

CAPITOLO 6. PENDOLO SEMPLICE 6.1. NOTA STORICA SUL METRO

ld2

dt2+ g g

3

3!+ g

5

5!... = 0 . (6.7)

Quindi per angolo piccoli possiamo linearizzare lequazione precedenteottenendo

ld2

dt2+ g = 0 , (6.8)

oppured2

dt2+g

l = 0 . (6.9)

Ma questa e lequazione dell oscillatore

d2

dt2+ 2 = 0 , (6.10)

dove2 =

g

l, (6.11)

e quindi il periodo, T0, delle oscillazioni vale

T0 = 2

l

g. (6.12)

Nel caso in cui non sia piccolo la risoluzione non lineare dellequazio-ne (6.5) richiede gli integrali ellittici. La soluzione non lineare per ilperiodo, T, e

T

T0= 1 + 1/4 (sin (1/2 max))

2 +9 (sin (1/2 max))

4

64, (6.13)

dove max e lampiezza iniziale in radianti.Figura 6.2 riporta la soluzione numerica del rapporto T

T0funzione

dell ampiezza massima in radianti.

6.1 Nota storica sul metro

Il concetto di metro deriva dalla parola greca metron che significa mi-sura. E stato introdotto da Tito Livio Burattini nel libro Misura Uni-versale nel 1670. Burattini introdusse il metro cattolico che oscillavacon 3600 vibrazioni in un ora. Il libro in questione e stato stampato aCracovia (Polonia) che ha un gravita di g = 9.81071m

s. In questo caso

l equazione (6.12) da, per T0 = 2s, l = .994m che differisce per 6mmdal metro attuale.

31

6.1. NOTA STORICA SUL METRO CAPITOLO 6. PENDOLO SEMPLICE

Figura 6.2: Periodo normalizzato TT0

32

Capitolo 7

Pendolo Reversibile

Si tratta di un solido girevole attorno ad un asse orizzontale di tracciaO1 rispetto al quale ha momento di inerzia I1, e statto inventato dalcapitano Kater nel 1817. Il sistema delle forze peso dei singoli elementidi volume e equivalente al sistema costituito dall unica forza peso totalemg applicata nel baricentro G (vedi Figura 7.1). Sia h1 la distanzadell asse di rotazione dall asse parallelo condotto per G. La posizionee individuata dall angolo diedro che il piano solidale con il corpo,passante per G e per l asse di rotazione, forma con il piano verticalepassante per il suddetto asse.

Vale l equazione fondamentale della dinamica per un solido girevoleattorno ad un asse fisso:

Ma = I1d2

dt2, (7.1)

dove Ma e il momento delle forze esterne rispetto all asse che nelnostro caso vale -mgh1sen. Sostituendo tale valore di Ma otteniamo

d2

dt2+ 2sen = 0 , (7.2)

avendo posto

2 =mgh1I1

. (7.3)

Per spostamenti molto piccoli si ha sen e la (7.2) diventa:

d2

dt2+ 2 = 0 , (7.4)

33

CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE

Figura 7.1: Pendolo reversibile

34

CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE

la cui soluzione,

= Acos(t+ 0) , (7.5)

rappresenta le oscillazioni armoniche attorno alla posizione =0.Il periodo di tale moto oscillatorio vale:

T =2

= 2

I1

mgh1, (7.6)

mentre il periodo di un pendolo semplice vale:

T =2

= 2

l

g. (7.7)

Confrontando le due ultime relazioni si vede che il pendolo compostooscilla con il medesimo periodo di un pendolo semplice di lunghezza:

l =I1mh1

. (7.8)

Tale lunghezza si chiama lunghezza ridotta del pendolo composto.Consideriamo ora un insieme di rette parallele all asse di rotazione

considerato e solidali con il pendolo e domandiamoci se oltre tale asseesistano altre rette dell insieme tali che assunte come nuovi assi di ro-tazione per il pendolo, questo oscillerebbe con il medesimo periodo diprima. Per risolvere il problema osserviamo anzitutto che, chiamandoIG il momento di inerzia del corpo rispetto alla retta del fascio pas-sante per il baricentro, il momento di inerzia rispetto ad un altra rettadell insieme che disti di h dal baricentro vale( per il noto teorema diHuygens-Steiner ):

I = IG +mh2 , (7.9)

quindi per le oscillazioni attorno ad essa il periodo vale

T = 2

I

mgh= 2

IG +mh2

mgh, (7.10)

e la lunghezza ridotta di tale pendolo composto e:

l =I

mh=IG +mh

2

mh; (7.11)

35

7.1. MODO DI SPERIMENTARE CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE

inoltre si ha

l = g( T

2

)2= g

1

2. (7.12)

Dall equazione 7.11 sulla lunghezza ridotta otteniamo:

mh2 + IG = mlh , (7.13)

cioe

h2 lh+ IGm

= 0 . (7.14)

Fissato T, rimangono fissati ed l, quindi le radici di questa sem-plice equazione di secondo grado nell incognita h danno le distanze dalbaricentro di quegli assi per i quali si ha un prefissato periodo. Nelcaso generale in cui il discriminante e positivo, le due soluzioni h1 edh2 dell equazione 7.14 sono positive e soddisfano alle proprieta notedall algebra elementare

h1 + h2 = l , (7.15)

h1h2 =IGm

. (7.16)

Dunque in generale esistono due cilindri rotondi aventi per asse la rettabaricentrica e raggi h1 e h2, le cui generatrici possono essere assi di

rotazione con il medesimo periodo T = 2

lg, prefissato a piacere.

Per maggiori dettagli consultare il libro del [Bussetti 1967] .

7.1 Modo di sperimentare

Il pendolo reversibile e un asta ai cui estremi sono fissati due coltellicon gli spigoli paralleli, distanti una lunghezza nota l uno dall altro;esso e dotato di una massa fissa posta al di sopra di un coltello e diuna mobile posta invece fra i due coltelli. Si parte con la massa mobilevicino alla massa fissa ( ad esempio 10 cm ) e si fa oscillare il pendoloattorno allo spigolo del coltello A e si misura il periodo T1 in base alladurata di un certo numero n di oscillazioni complete.

Al crescere di n diminuisce l errore nell apprezzamento di T1. Set1 e il tempo impiegato per le n oscillazioni complete , si ha T1 =

t1n

.Poi si fa oscillare il pendolo attorno allo spigolo dell altro coltello

B ed analogamente si trovera T2. Annotati i due tempi sposteremo la

36

CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE 7.2. PERIODO ED AMPIEZZA

Figura 7.2: Tipico run del programma PENDOG

massa mobile di una distanza fissa (ad esempio 10 cm ) e prenderemoaltri due tempi e cos via.ELABORAZIONE DATI SU PC.A questo punto avremo due parabole di t ( variabile dipendente ) e d( variabile indipendente ) che parametrizziamo tramite il programmaPENDO che calcola i coefficienti delle due parabole, la loro intersezio-ne ed il conseguente valore di g. A livello singolo possiamo adoperareil programma PARABO. Dal periodo comune tramite il programmaPENDOG (vedi Figura 7.2) otteniamo g ed il relativo errore.

Trovata l intersezione delle due parabole resta cos determinato ilperiodo comune T=T1=T2, la distanza nota fra i coltelli e la lunghezzaridotta del pendolo corrispondente a tale periodo. Otteniamo quindifinalmente la gravita che vale:

g = l(2T

)2= 42

l

T 2. (7.17)

7.2 periodo ed ampiezza

Lequazione dalla quale partiamo e quella del pendolo semplice:

ld2

dt2+ gsen = 0 . (7.18)

37

7.2. PERIODO ED AMPIEZZA CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE

Moltiplicando questa equazione per 2ddt

e facendo uso della relazione :

2(d2dt2

)ddt

=d

dt

(ddt

)2, (7.19)

otteniamo

ld

dt(2) + 2g

d

dt(cos) = 0 . (7.20)

Integriamo adesso lequazione ottenuta assumendo che per t=0 , =0 , =0 ( condizioni iniziali) ottenendo :

=d

dt=

2g

l

cos cos0 . (7.21)

Integrando questa equazione con le condizioni iniziali t=0, = 0 otte-niamo:

t() =

l

2g

0

ducosu cos0

. (7.22)

Essendo che a t=0, = 0, =0, quando = -0 e passato un mezzoperiodo. Usando queste condizioni iniziali ed il fatto che cosu e unafunzione pari , ovverosia, cos(-u)=cosu ricaviamo la formula del mezzoperiodo del pendolo:

T

2=

l

2g

00

ducosu cos0

, (7.23)

e poi quella del periodo:

T = 2

2

l

g

00

ducosu cos0

. (7.24)

Sostituendo nella formula precedente le uguaglianze:

cosu = 1 2 sen2(u2) ,

cos0 = 1 2 sen2( 02 ) , (7.25)

otteniamo la seguente espressione del periodo:

T = 2

l

g

00

dusin2(0/2) sin2(u/2)

. (7.26)

38

CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE 7.2. PERIODO ED AMPIEZZA

Nella formula precedente operiamo le sostituzioni:

senu

2= sen 0

2sen (7.27)

1

2cos

u

2du = sen 0

2cos d .

Si puo dimostrare che quando u=0 ,=0 e che quando u=0, =2. Il periodo diventa quindi :

T = 4

l

g

/20

d1 k2sen2

, k = sen02

. (7.28)

Questo integrale e conosciuto come integrale ellittico completo e siindica brevemente con il simbolo K (k)

K(k) =

/20

d1 k2sen2

. (7.29)

Dopo questa definizione si puo compattare la formula del periodo:

T = 4

l

gK(sen0

2

). (7.30)

Lintegrale ellittico suddetto non puo essere espresso mediante funzionielementari ma puo essere valutato scrivendo lintegrale tramite una seriedi potenze:

(1 k2sen2)1/2 = 1 + 12k2sen2+

1 32 4

k4sen4+ . . . . (7.31)

Sfruttando la relazione: /20

sennd =1 3 5 . . . (n 1)

2 4 6 . . . n

2n pari , (7.32)

inseriamo la serie di potenze nellintegrale e otteniamo unespressioneapprossimata per il periodo :

T = 2

l

g

[1 +

k2

22+(1 3

2 4

)2k4]

. (7.33)

39

7.3. TERZA SOLUZIONE CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE

Ritornando all angolo iniziale avremo una formula per il periodo infunzione dei parametri del sistema:

T = 2

l

g

[1 +

(12

)2sen2(

02

) +(1 3

2 4

)2sen4(

02

)]

. (7.34)

A questo punto possiamo dedurre una nuova espressione per laccelera-zione di gravita che tiene conto dell ampiezza iniziale:

g = 42l

T 2

[1 +

(12

)2sen2(

02

) +(1 3

2 4

)2sen4(

02

)]2

. (7.35)

7.3 Terza soluzione

Quanto segue e stato scritto in collaborazione con Michele Rossi delDipartimento di Matematica di Torino; maggiori dettagli possono esse-re trovati nell articolo [Pendolo 2002]. In questa sezione consideriamoun pendolo fisico di Kater costituito da un asta e da due pesi di for-ma cilindrica inseriti su di essa, vedi figura 7.3 . Uno di questi pesi emesso in posizione fissa durante tutto l esperimento e sara chiamatomf . L altro sara chiamato mm e puo essere mosso su tutta l asta. Icoltelli per sospendere il pendolo sono applicati sui due punti distintic1 e c2; questi punti saranno i centri di rotazione del pendolo ed essisono scelti in posizione simmetrica rispetto al centro di massa b dellabarra (considerazione senza i pesi). Nellesperimento il peso mf sarafissato al di fuori dell insieme di punti fra c1 e c2 mentre al contrariomm puo assumere sia le posizioni fra i coltelli sia quelle al di fuori diessi in direzione opposta ad mf ; in quest ultimo caso uno dei coltel-li sara sempre fra i due pesi. Nell esperimento prima sospendiamo ilpendolo su c1 e otteniamo un primo insieme di dati chiamato primoset, correlando la posizione di mm ed il periodo dell oscillazione. Poiil pendolo viene rovesciato per assumere c2 come centro di rotazioneper ottenere il secondo set di dati. La posizione del pendolo e parame-trizzata dall angolo che si assume sufficientemente piccolo da dare sin (i.e. 3 0). Quindi l equazione del pendolo e

+mghiIi

= 0 , (7.36)

dove g e l accelerazione dovuta alla gravita , m e la massa totale delpendolo, hi e la distanza fra baricentro e il centro di rotazione ci ed Ii

40

CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE 7.3. TERZA SOLUZIONE

Figura 7.3: Schema tecnico del pendolo

41

7.3. TERZA SOLUZIONE CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE

e il momento di inerzia rispetto ad ci. Il teorema di Huygens-Steinerrispetto agli assi paralleli asserisce che

Ii = I0 +mh2i , (7.37)

dove I0 e il momento di inerzia rispetto al baricentro . Allora i periodidi oscillazione sono

Ti =2

i= 2

Ii

mghi= 2

I0 +mh2imghi

, (7.38)

questo significa che il pendolo di Kater oscilla con lo stesso periodo diun pendolo semplice la cui lunghezza e

li =Iimhi

=I0 +mh

2i

mhi. (7.39)

Assumiamo adesso che la massa mobile mm sia posta in un punto x0sull asta tale che

T1 = T2 =: T (x0) . (7.40)

Questo e possibile se e solo se l1 = l2 =: l(x0). La lunghezza l = l(x0) ela lunghezza caratteristica del pendolo di Kater che dipende da mm po-sizionato su x0; tutti gli mm posizionati x0j che soddisfano la relazione(7.40) saranno chiamati posizioni caratteristiche . La lunghezza carat-teristica sara la lunghezza l = l(x0j) ed i periodi caratteristici saranno iperiodi associati T (x0j). Vedremo che il pendolo di Kater puo assumereal piu tre posizioni caratteristiche. Per ogni j = 1, 2, 3 dalla conoscenzadi l(x0j) e T (x0j) e poi possibile ottenere il valore di g poiche

T = 2

l

g, (7.41)

e quindi

g = 42l

T 2. (7.42)

Per determinare le posizioni caratteristiche associeremo l asta del pen-dolo con un sistema di coordinate lineari x che ammette origine in c1e tale che c2 e il punto x = d > 0 (controllate la figura 7.3). Assu-miano che la massa mobile e la massa fissa siano composti da dischii cui raggi siano dati rispettivamente da rm e rf . Se denotiamo la

42

CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE 7.3. TERZA SOLUZIONE

lunghezza della barra con L allora la posizione del centro di mm e pa-rametrizzata dalla sua distanza da c1. Le sue posizioni determinateempiricamente sono date da tutti gli x tali che sia rm x d rmoppure d + rm x L+d2 , altrimenti mm coinciderebbe con uno deidue coltelli. D altra parte il centro di mf e piazzato in una posizionefissa xf tale che (d L) /2 < xf < rf . Il centro di massa b dell astae il punto x = d/2. Allora la distanza fra il baricentro del pendolo bx el origine c1 dipende dalla posizione x di mm ed e data da :

h =d2ma + xfmf + xmm

ma +mf +mm, (7.43)

dove ma e la massa dell asta. Mettendo

m := ma +mf +mm , (7.44)

K :=d2ma + xfmf

m, (7.45)

otteniamoh = K +

mmm

x . (7.46)

D altra parte possiamo adesso esprimere il momento di inerzia I0 comesegue:

I0 = (h xf )2mf + (h x)2mm +(h d

2

)2ma + I

0 , (7.47)

dove

I 0 :=r2f2mf +

r2m2mm +

L2

12ma . (7.48)

Inponendo

I 0 = I0 +mf (xf K)

2 +ma

(d

2K

)2+mmK

2 , (7.49)

I0 puo essere riscritto come segue

I0 := mmmmm

mx2 2mmKx+ I 0 . (7.50)

La condizione (7.40) e soddisfatta se e solo se

I0 +mh21

mh1=I0 +mh

22

mh2, (7.51)

43

7.3. TERZA SOLUZIONE CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE

che e equivalente a richiedere che

(h1 h2) (mh1h2 I0) = 0 . (7.52)

Dalla (7.46) abbiamo che

h1 = h = K +mmm

x

h2 = d h = dK mmm

x . (7.53)

ed otteniamo una prima posizione caratteristica inponendo che h1 = h2ovverosia

x01 =d

2+

mf2mm

(d 2xf ) . (7.54)

Due posizioni caratteristiche possono essere ottenute dal secondo fat-tore in (7.52): inponendo mh1h2 I0 = 0 ed esprimendo I0 come in(7.50) abbiamo

x2 dx mK2 mdK + I 0

mm= 0 , (7.55)

le cui soluzioni sono

x02 :=d

2+

1

2

d2 + 4

mK2 mdK + I 0mm

x03 :=d

2 1

2

d2 + 4

mK2 mdK + I 0mm

. (7.56)

Notate che l effettiva occorrenza di tutte le posizione caratteristiche ri-chiede una discussione dettagliata che trovate nellappendice A dellar-ticolo [Pendolo 2002]. Qu ci limitiamo a notare che la suddetta discus-sione conduce a condizioni strutturali sui parametri fisici del pendoloche permettono di realizzare in pratica tutte le tre posizioni caratte-ristiche x01 , x02 e x03 . La conoscenza delle posizioni caratteristiche eutile per calcolare le lunghezze associate l(x0j): ricordate (7.39), (7.51)e (7.53) per ottenere

l(x0j) =I0 +m

(K + mm

mx0j)2

mK +mmx0j. (7.57)

44

CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE 7.3. TERZA SOLUZIONE

E facile poi osservare che l(x02) e l(x03) sono uguali e costanti poichex02 e x03 sono simmetriche. Piu precisamente

l(x02) = l(x03) = h1 + h2 = d , (7.58)

ed esse non dipendono dagli altri parametri fisici del pendolo. Alcontrario questo non e vero per l(x01) poiche

l(x01) =d

2+ 2

I 0md

+mf (mm +mf ) (d 2xf )2

2mmmd. (7.59)

Notate che tutte le lunghezze caratteristiche dipendono solamente daiparametri fisici del pendolo: ovverosia esse sono calcolabili a priori enon dipendono dai dati o dalle procedure sperimentali. Anche se le for-mule (7.54), (7.56), (7.58) e (7.59) danno tutte le informazioni rilevanti, dobbiamo rendere piu esplicite le relazioni cubiche che coinvolgono iperiodi di oscillazione Ti e la posizione x della massa mobile che de-termina la natura dell esperimento. In effetti questo e l ingredientefondamentale nel portare avanti l analisi dei dati sperimentali: essoci permette di determinare la forma algebrica che approssima meglio idati periodo x. Per questo motivo e necessario ricordare l espres-sione (7.38) di Ti quando il pendolo oscilla sul coltello ci. Prendendo ilquadrato ed applicando (7.50) + (7.53) vediamo che il periodo Ti e ladistanza x sono correlate come segue

aix2 + bix+ ci = T

2i + dixT

2i , (7.60)

dove

a1 =42mmgmK

b1 = 0

c1 =42

gmK

(I 0 +mK

2)

d1 =mmmK

, (7.61)

45

7.3. TERZA SOLUZIONE CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE

Tabella 7.1: Parametri fisici caratterizzanti il pendolo

mm (g) mf (g) ma(g) xf (cm) l (cm) d (cm) rf (cm) rm(cm)

1399(1) 1006(1) 1249(1) 26.73(1) 167.0(1) 99.3(1) 5.11(1) 5.12(1)

e

a2 =42mm

gm(dK)

b2 = 82mmd

gm (dK)

c2 =42

gm(dK)(I 0 +m (dK)

2)d2 =

mmm(dK)

. (7.62)

7.3.1 Lesperimento della terza soluzione

I parametri fisici caratterizanti il nostro pendolo reversibile sono ripor-tati nella tabella 7.1 ; le cifre fra parentesi rappresentano le incertezzesull ultima cifra .

La lunghezza dell asta e misurata grazie ad un metro flessibile la cuisensibilita e 1 mm. I raggi rm, rf e la posizione xf sono rilevatecon un calibro avente precisione 0.1 mm. Le masse ma,mm,mf sonodeterminate grazie ad una bilancia di precisione sensibile al grammo .Ricordando (7.54) e (7.56) ci aspettiamo che

x01 = (104.57 0.11) cmx02 = (61.74 0.40) cmx03 = (37.56 0.31) cm , (7.63)

con le lunghezze associate

l (x01) = (121.44 0.09) cml (x02) = l (x03) = d = (99.3 0.1) cm . (7.64)

46

CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE 7.3. TERZA SOLUZIONE

Le misure dei nostri periodi saranno quindi piu concentrate alle posi-zione caratteristiche date dalla (7.63) . Scendendo nei dettagli le misu-re sono realizzate memorizzando il tempo di 9 oscillazioni consecutivequando il pendolo parte da un angolo 0 6 1. Per raggiungerequesto obbiettivo abbiamo adoperato una fotocellula pilotata dal con-tatore elettronico digitale ( modello LEYBOLD-LH ) avente precisionedi 0.1 ms . Abbiamo ripetuto l esperienza per 18 posizioni della massamobile mm , prima rispetto a c1 e poi rispetto a c2. La media dei 9 valorie stata presa come misura del periodo alla data posizione mm il cui er-rore e dato dalla meta della escursione massima ovverosia 0.0018 s .I dati ottenuti sono riportati in Tabella 7.2 . L angolo iniziale e suffi-cientemente piccolo da approssimare l equazione del moto con (7.36).Espandendo l integrale ellittico in serie di potenze e possibile esprimereil periodo associato con l equazione esatta del pendolo:

+mghiIi

sin = 0 (7.65)

addizionando termini correttivi all espressione del periodo dato in(7.41);maggiori dettagli su questo punto sono riportati nella sezione 7.2 .

7.3.2 L analisi dei dati

In questa sezione presentiamo una procedura di analisi lineari dei datidella Tabella 7.2 e determiniamo in maniera empirica le posizioni ca-ratteristiche . Da un punto di vista numerico dobbiamo fittare i daticon dei polinomi cubici come quelli nell equazione (7.60). Questo tipodi analisi puo essere trattato linearmente poiche i coefficienti d1 e d2possono essere determinati a priori da (7.61) e (7.62) che coinvol-gono solamente i parametri del sistema riportati in Tabella 7.1. Piuprecisamente otteniamo

d1 = (3.983 0.01) 102 cm1

d2 = (4.2689 0.0047) 103 cm1 . (7.66)

Possiamo poi ottenere gli altri coefficienti applicando i minimi quadrati

i (ai, bi, ci) :=18h=1

T 2h,i aix2h+bixh+ci1+dixh2Th,iT

2 , (7.67)47

7.3. TERZA SOLUZIONE CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE

Tabella 7.2: I dati sperimentali

posizione x[cm] T1[s] T2[s]

1 10 2.3613 2.0615

2 20 2.1492 2.0337

3 30 2.0363 2.0089

4 35 2.0016 1.9999

5 40 1.9838 1.9931

6 45 1.9733 1.9911

7 50 1.9754 1.9894

8 55 1.9799 1.9908

9 58 1.9846 1.9924

10 65 2.0055 2.0002

11 68 2.0173 2.0064

12 75 2.0470 2.0273

13 85 2.0939 2.0678

14 90 2.1224 2.0969

15 92 2.1334 2.1071

16 106 2.2178 2.2174

17 110 2.2441 2.2589

18 120 2.3078 2.3776

48

CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE 7.3. TERZA SOLUZIONE

Tabella 7.3: Coefficienti di C1 stimati tramite il metodo lineare

a1[s2 cm2] 0.001607 0.000006

b1[s2 cm1] 0.00002 0.00063c1[s

2] 7.641 0.015

Tabella 7.4: Coefficienti di C2 stimati tramite il metodo lineare

a2[s2 cm2] 0.000172 0.000001

b2[s2 cm1] 0.03422 0.00019c2[s

2] 4.393 0.006

dove (xh, Th,i) sono i dati dell insieme iesimo nella tabella 7.2 e T :=

0.0018s e l errore estimato nella misura dei periodi . Notate che le de-rivate parziali di i sono funzioni lineari di ai, bi, ci: quindi minimizzarequesta funzione richiede semplicemente di risolvere un sistema 3 3 .I risultati ottenuti sono riportati nella tabella 7.3 e nella tabella 7.4.

I coefficienti delle cubiche di Tabella 7.3 e Tabella 7.4 ci permettonodi valutare le posizioni caratteristiche ed i relativi periodi caratteristiciintersecando le branche superiori. Otteniamo una equazione cubica lecui soluzioni sono riportate nella tabella 7.5 ; mentre nella figura 7.4riportiamo il grafico dei punti sperimentali e delle curve teoriche.

Fate riferimento a (7.42) e (7.64) per calcolare i valori associati di g.

Tabella 7.5: Punti di intersezione stimati tramite il metodo lineare

(x01 , T (x01)) (106.015cm : 2.2184s)

(x02 , T (x02)) (62.541cm : 1.9973s)

(x03 , T (x03)) (35.779cm : 1.9998s)

49

7.3. TERZA SOLUZIONE CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE

Figura 7.4: Cubiche teoriche ( curva punteggiata), cubiche come dalfit (curva piena) e punti sperimentali (punti riempiti). La barra deglierrori sui periodi ( 0.0018 s)e trascurabile .

50

CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE 7.3. TERZA SOLUZIONE

Tabella 7.6: Valori di g tramite il metodo lineare

g1[cms2] 974.19 1.70

g2[cms2] 982.67 1.99

g3[cms2] 980.21 1.98

g[cms2] 979.02 1.09

Abbiamo

g1 = 42 l (x01)

T (x01)2

g2 = 42 l (x02)

T (x02)2

g3 = 42 l (x03)

T (x03)2

(7.68)

e i loro valori relativi sono riportati in tabella 7.6.La loro media da:

g = (979.02 1.09) cm s2 , (7.69)

dove le incertezze sono calcolate tramite la propagazione degli errori diGauss. Calcoliamo adesso la correzione che origina dall approssima-zione della soluzione esatta del pendolo (7.65) gia citata alla fine dellasezione precedente. Essa da (questa e la formula 7.35):

g = 42l

T 2

[1 +

(12

)2sin2(

02

) +(1 3

2 4

)2sin4(

02

)]2

(7.70)

Un piccolo aumento del valore di g e evidente da questa formula efaremo riferimento ad essa come la correzione ad ampiezza finita . Coni nostri dati otteniamo

g+ = (980.36 1.12) cm s2 . (7.71)

Una misura accurata di g in Torino [Cerutti et al. 1996] da:

gT = 980.534099(4) cm s2 . (7.72)

51

7.3. TERZA SOLUZIONE CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE

Questo valore sara considerato come il valore vero dovuto al campogravitazionale in Torino . Paragonando quest ultimo valore con g+ ,risulta che la nostra misura e -191 ppm piu piccola del valore vero.

52

Capitolo 8

Giroscopio

8.1 Momento di Inerzia

Si prepara il giroscopio ( vedi fotografia 8.1 ) come e indicato nellafigura 8.2 in un sistema di assi coordinati ortogonali in modo chel asse della figura 8.2 indichi la direzione z, allora gli assi principali diinerzia coincidono con gli assi cartesiani.

A causa della simmetria cilindrica il giroscopio possiede solo duediversi momenti principali di inerzia: il momento assiale Jz e il momentoequatoriale Jxy riferito all asse x o all asse y. In questo esperimentovengono misurati entrambi i momenti di inerzia.

8.2 J assiale

L asse del giroscopio e mantenuto orizzontale, come indica la figura 8.3 .

Attaccando una massa m = 200 g sulla circonferenza perimetraledel giroscopio ( raggio R ) questo viene trasformato in un pendolofisico. Dal periodo di oscillazione di questo pendolo possiamo ricavareil momento di inerzia Jz.

Mediante la massa aggiuntiva il momento di inerzia diventa:

Jz = Jz +mR2 , (8.1)

il momento di richiamo Mz del pendolo per una deviazione comporta:

Mz = m g R sin , (8.2)

53

8.2. J ASSIALE CAPITOLO 8. GIROSCOPIO

Figura 8.1: Fotografia del giroscopio

Figura 8.2: Per la definizione dei momenti di inerzia

54

CAPITOLO 8. GIROSCOPIO 8.2. J ASSIALE

Figura 8.3: Dispositivo sperimentale

55

8.3. J EQUATORIALE CAPITOLO 8. GIROSCOPIO

dove g rappresenta l accelerazione di gravita.Ponendo questo valore nell equazione fondamentale della dinamica,

essa assume la forma:

Mz = Jz

d2

dt2, (8.3)

e si ottiene l equazione delle oscillazioni:

Jzd2

dt2+m g R sin = 0 , (8.4)

che per angolo piccolo coincide con l equazione del moto di un oscilla-tore armonico:

d2

dt2+m g R

Jz= 0 . (8.5)

Risolvendo l equazione differenziale si ha:

=

m g R

Jz. (8.6)

Da questa si ottiene il periodo di oscillazione T:

T = 2

JzmgR

. (8.7)

Sostituiamo Jz nella prima equazione e risolviamo rispetto a Jz: otte-niamo la cercata equazione per la determinazione di Jz

Jz = mR(gT 2

42R) . (8.8)

Mediante le misure di m, R e T si puo determinare Jz. Non abbiamoconsiderato il momento di inerzia rispetto al suo asse.

8.3 J equatoriale

Per questa misura il giroscopio, secondo la figura 8.4 e appoggiato conil suo asse verticale e sostenuto sul baricentro.

Allora il baricentro del giroscopio e spostato verso il basso e si trovaad una distanza d al disotto del punto di appoggio.

56

CAPITOLO 8. GIROSCOPIO 8.3. J EQUATORIALE

Figura 8.4: Dispositivo sperimentale momento equatoriale

57

8.4. NUTAZIONE CAPITOLO 8. GIROSCOPIO

Se il giroscopio e dotato di massa mk, il momento di inerzia deldispositivo, secondo il teorema di Huygens-Steiner ha il valore:

Jxy = Jxy +mkd2 . (8.9)

Per il momento di richiamo Mxy vale:

Mxy = mk g d sin . (8.10)

Sostituendo R con d, m con mk e Jz con J

xy per il momento di inerzia

Jxy si ha analogamente:

Jxy = mk d (gT 2

42 d) . (8.11)

8.4 Nutazione

Su un giroscopio simmetrico appoggiato sul baricentro non agisce alcunmomento di rotazione; il suo impulso di rotazione L = J rimanecoscostante. Per il giroscopio impiegato nel nostro esperimento J ha laforma:

J =

Jxy 0 00 Jxy 00 0 Jz

.Se la velocita angolare non indica la direzione di un asse principaledel tensore di inerzia, le direzioni di L ed non coincidono. Comeconseguenza l asse del giroscopio non rimane nella stessa posizionespaziale, ma gira intorno, con frequenza di nutazione fn, alla direzioneimpulso di rotazione. La velocita angolare puo essere scompostain due componenti : la velocita angolare z, che ruota con quella delgiroscopio sul suo asse e la velocita angolare n della nutazione ( vederela figura 8.5). La direzione di e anche indicata come asse istantaneodi rotazione; L, e z giacciono sempre su di un piano(vedi figura 8.5 )

Per calcolare la relazione fra z ed n osserviamo il moto del giro-scopio in un istante nel quale il sistema di coordinate , solidale con ilcorpo, coincide con il sistema di coordinate cartesiane del laboratorio.Per le componenti del vettore impulso di rotazione vale dapprima:

Ly = Jxy y = L sin , (8.12)

58

CAPITOLO 8. GIROSCOPIO 8.4. NUTAZIONE

Figura 8.5: Definizione grandezze impiegate

59

8.4. NUTAZIONE CAPITOLO 8. GIROSCOPIO

Lz = Jz z = L cos , (8.13)

Lx e nulla perche L giace nel piano xy. Sulla figura 8.5 in basso silegge inoltre

sin =yn

. (8.14)

Combinando alcune equazioni otteniamo:

L = Jxy n . (8.15)

Eliminiamo L con l aiuto di questa relazione e risolviamo rispettoad n, otteniamo:

n =z JzJxycos

, (8.16)

e dopo divisione per 2 , per un angolo di apertura piccolo,

fn =fz JzJxy

. (8.17)

La proporzionalita fra la frequenza fz del giroscopio rispetto al suo assee la frequenza di nutazione fn e mostrata quantitativamente in questoesperimento. Nel caso che i momenti principali di inerzia Jz e Jxy delgiroscopio siano noti, puo essere verificato il fattore di proporzionalitaJzJxy

.

8.4.1 Esecuzione pratica

Sostenere l asse del giroscopio con la mano sinistra e con la mano de-stra porlo in rapida rotazione mediante ripetute spinte sulla custodiadel supporto di rotazione del giroscopio, dare un leggero colpo lateraleall asse del giroscopio per lasciarlo libero, in modo che esso per l in-staurato moto di nutazione lasci libero il raggio di luce del traguardoluminoso. Mettere a zero l unita di ingresso leggere sul contatore di-gitale il periodo di nutazione Tn e la frequenza corrispondente 18 fz (18 raggi della ruota ) sul contatore P. Ripetere le misure piu volte pernumero di giri lentamente decrescente ( porre a zero per ogni misural unita di ingresso ).

60

CAPITOLO 8. GIROSCOPIO 8.5. ELABORAZIONE

8.5 Elaborazione

La rappresentazione grafica della funzione fn = f ( fz ) mostra la pro-porzionalita fra la frequenza di nutazione fn e la frequenza di rotazionefz di un giroscopio:

fn fz oppure fn/fz = cost . (8.18)

Con c = (fnfz

) = 1.54 ( pendenza della retta ) si ottiene:

fnfz

= 1.54 . (8.19)

Da un punto di vista teorico, secondo una equazione precedente abbia-mo:

(fnfz

) =JzJxy

. (8.20)

Con il momento di inerzia assiale

Jz = 0.128 kgm2 , (8.21)

e con il momento di inerzia equatoriale

Jxy = 0.0855 kgm2 , (8.22)

si ottiene:

(fnfz

) =0.128 kgm2

0.0855 kgm2= 1.5 . (8.23)

8.6 Precessione

Il moto di un giroscopio sotto l influenza di una forza esterna conducealla precessione del giroscopio. Se sull asse del giroscopio agisce unmomento, l asse del giroscopio non segue questo momento, ma si spo-sta ad angolo retto. Si osserva un giroscopio il cui asse di rotazionepassa per l origine di un sistema di coordinate ortogonali e il cui puntod appoggio giace nell origine ( vedi figura 8.6).

La distanza del baricentro S del giroscopio dall origine e d, l in-clinazione dell asse del giroscopio rispetto all asse Z e . Il momentoangolare ~L del giroscopio e

~L = J ~ , (8.24)

dove

61

8.6. PRECESSIONE CAPITOLO 8. GIROSCOPIO

Figura 8.6: Precessione del giroscopio

62

CAPITOLO 8. GIROSCOPIO 8.6. PRECESSIONE

=frequenza di rotazione del giroscopio

J =momento di inerzia del giroscopio riferito all asse della figu-ra 8.6

L e in generale una funzione del tempo cioe L=f(t). Nel campo gravi-

tazionale terrestre e applicata al baricentro del giroscopio una forza ~F=m ~g e agisce sull asse di rotazione il momento

M = ~d ~F = m ~d ~g con (8.25)

M = F d sin = m g d sin (8.26)~M e perpendicolare al piano definito da ~F e ~d e produce una varia-

zione d~L del momento angolare. La variazione del momento angolared~L risulta perpendicolare al momento angolare istantaneo ~L. Per ilmomento angolare prodotto da ~M vale:

~M =d~L

dt. (8.27)

CondL = L sin d , (8.28)

segue:

M = L sinddt

= L sin p , (8.29)

dove p = d/dt e la frequenza di precessione. Combinando le formuleprecedenti otteniamo:

p =m g d

L=d

m gJ

. (8.30)

Cio vuol dire: la frequenza p di precessione e direttamente proporzio-nale alla distanza d del baricentro dal punto di appoggio e inversamenteproporzionale alla frequenza di rotazione del giroscopio, non dipendedall angolo fra l asse del giroscopio e l asse z (per la deduzione sie presupposto p ; giroscopio piu veloce). Per verificare la rela-zione precedente viene misurata p in funzione di d e di . E inoltredeterminato il momento di inerzia J ed il secondo fattore mg /J e con-frontato con la pendenza della retta p = f (d) ( confrontare la misurasupplementare alla fine della descrizione dell esperimento). Poiche la

63

8.6. PRECESSIONE CAPITOLO 8. GIROSCOPIO

posizione del baricentro P del giroscopio e incognita , non si puo de-terminare direttamente d. Come misura di s e percio scelta la distanzafra l estremita superiore dell asse del giroscopio e l anello superio-re di chiusura del supporto del giroscopio (vedi figura 8.7); s0 misuraquindi la distanza fra l estremita superiore dell asse del giroscopio ela scanalatura ad anello incisa sull asse del giroscopio.

Se l anello superiore di chiusura del supporto del giroscopio coincideesattamente con la scanalatura ad anello, allora il giroscopio appoggiasul baricentro P.

Se il baricentro e il punto di appoggio coincidono, cioe se il giroscopiorimane in qualsiasi posizione, senza oscillare od orientarsi ( giroscopiodetto libero da forze ), allora e s = s0.

Per una scelta qualsiasi di P vale:

d = s0 s . (8.31)

Se il baricentro sta sopra o sotto il punto di appoggio, d e positivoo negativo e il moto di precessione e positivo o negativo; il moto diprecessione e rivolto in senso antiorario o in senso orario.

8.6.1 Montaggio

Costruire il montaggio come nella figura 8.8 . Misura della frequenzap di precessione con traguardo luminoso (1), unita di ingresso e con-tatore digitale (4). Per la misura di un periodo completo di precessionepremere i tasti dell unita di ingresso segnati in nero e porre il selettore(3) su man. Disporre il contatore digitale (4) sulla misura del tempo.

Misura della frequenza di rotazione del giroscopio con traguardoluminoso (2), unita di ingresso e contatore digitale P (5). Porre ilcontatore digitale P sulla misura di frequenza.

La frequenza di rotazione e determinata dalla frequenza d interru-zione f prodotta dai raggi del giroscopio sul traguardo luminoso (2). Ungiro corrisponde a 18 interruzioni del traguardo luminoso ( 18 raggi ):

= 2 f = 2 N/18 , (8.32)

( N indicazione del contatore digitale ).

64

CAPITOLO 8. GIROSCOPIO 8.6. PRECESSIONE

Figura 8.7: Determinazione della posizione del baricentro

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8.6. PRECESSIONE CAPITOLO 8. GIROSCOPIO

Figura 8.8: Montaggio sperimentale per la precessione

66

CAPITOLO 8. GIROSCOPIO 8.7. ESECUZIONE PRATICA

8.7 Esecuzione pratica

Regolare il valore s desiderato e misurarlo con il calibro. Disporre ilgiroscopio verticale e spostarlo lateralmente, con il piede di supporto, inmodo che l asse del giroscopio tagli l asse ottico del traguardo luminoso(l) e interrompa il raggio luminoso. Porre il giroscopio in rotazione. Perchi adopera normalmente la mano destra: tenere con la mano sinistral estremita superiore dell asse del giroscopio e con la mano destra porrein rapida rotazione il giroscopio con ripetute spinte sulla custodia delcuscinetto del giroscopio ( non piu di 3 Hz ). Inclinare con prudenzal asse e lasciarlo libero in modo che si instauri un moto di precessionepuro senza la sovrapposizione di un moto vibratorio.

Mentre il giroscopio diventa gradualmente piu lento, misurare piuvolte le coppie di valori (p, ). Prestare attenzione che le misuredella frequenza di precessione p avvengano durante la misura dellacorrispondente frequenza di rotazione

Ripetere l esperimento per diversi valori di s. Misurare s0 con ilcalibro.

La figura 8.9 mostra la proporzionalita richiesta dall equazione (4)fra p e 1/ per due diversi valori per s1 = 1.5 cm e s2 = 8.0 cm di d.

La figura 8.10 mostra la proporzionalita fra il prodotto p e d; d= s0 -s.

Che la retta della figura 8.10 non passi esattamente per l originedipende dalla precisione della misura di s0. I valori di d sono percio rile-vati tutti minori per circa 2 mm; spostare la retta di 2 mm in direzioned.

L angolo di precessione diventa, durante il moto, sempre piu picco-lo; il giroscopio si dispone a poco a poco da se ancora verticale. Questoeffetto e prodotto dall attrito del cuscinetto del supporto del giroscopioed ha come conseguenza che, durante il funzionamento in una serie diesperimenti, deve essere di tanto in tanto di nuovo inclinato.

Secondo la relazione 8.30 la pendenza della retta della figura 8.10 de-ve avere il valore mg /J. Per provare cio bisogna determinare la massimam del giroscopio (senza l asse ) e il momento d inerzia J e confrontarela pendenza del diagramma della figura 8.11 con il quoziente mg/J.

67

8.7. ESECUZIONE PRATICA CAPITOLO 8. GIROSCOPIO

Figura 8.9: Plot di p e 1/

68

CAPITOLO 8. GIROSCOPIO 8.7. ESECUZIONE PRATICA

Figura 8.10: Plot di p e d

69

8.7. ESECUZIONE PRATICA CAPITOLO 8. GIROSCOPIO

Figura 8.11: Determinazione del momento J del giroscopio

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CAPITOLO 8. GIROSCOPIO 8.8. DETERMINAZIONE J

8.8 Determinazione J

Per questo scopo far funzionare il giroscopio come pendolo fisico. Ilmontaggio e indicato nella figura 8.11 : due masse supplementari di100 g. sono fissate sul cerchione dalla parte interna , p. es. con nastroadesivo.

Dal valore m delle masse supplementari, dalla distanza R delle massesupplementari dall asse di rotazione e dal periodo di oscillazione T delpendolo si calcola J con

J = m R (g T2

42R) , (8.33)

dove g e la solita accelerazione di gravita. Regolare l unita di ingressoper il conteggio di una oscillazione completa; per questo scopo premerei tasti indicati in nero nella figura . Predisporre il contatore digita-le per la misura del tempo. Porre a zero il contatore con il tasto direset. Spostare il pendolo in modo che il traguardo luminoso, duran-te un oscillazione completa, sia interrotto solo da un raggio. Questoraggio interrompe il traguardo luminoso 2 volte.

Determinare da ultimo con il dinamometro la massa del giroscopio.Riportiamo come misure m = 0.2 Kg, T=3.48 s, R=0.236 m, M=3Kg.

Dall esempio di misure si ottiene per il momento di inerzia J = 0.13Kgm2. Con cio il valore teorico per la pendenza del diagramma e:

Mg

J=

3.0Kg 9.81m/sec2

0.13Kgm2= 226m1s2 . (8.34)

Dalla figura sperimentale troviamo invece la pendenza:

(p )d

= 214m1s2 . (8.35)

Con cio e verificata quantitativamente la relazione per la frequenza diprecessione.ELABORAZIONE DATI SU PC.In questa esperienza compaiono molti fit tramite una retta, consigliamoquindi di adoperare il programma RETTA.

71

8.8. DETERMINAZIONE J CAPITOLO 8. GIROSCOPIO

72

Capitolo 9

Bilancia di Cavendish

Lo scopo dell esperimento e la determinazione del valore della costantedi gravitazione universale. Lo strumento usato a tal fine e la bilancia diCavendish, costituita da una parte che durante l esperienza rimane fissae da un sistema mobile, la bilancia di torsione. La bilancia di torsionee costituita da una massa trascurabile ai cui estremi sono fissate duepiccole masse sferiche. L asta e sostenuta per il baricentro, al finedi ridurre l influenza dell aria sul moto della bilancia. All esternodella custodia si trova l equipaggio fisso, costituito da due grosse massesferiche imperniate, per mezzo di un manubrio, coassialmente al sistemamobile e sullo stesso piano in cui si muovono le masse piccole. Quandole masse grandi sono posizionate rispetto alle piccole come in figura 9.1(parte sinistra) rispetto alle piccole, il sistema si dice carico, mentre infigura 9.1( parte destra) il sistema e a riposo.

Quando l equipaggio e carico ogni massa attira a se, per effetto

Figura 9.1: Sistema carico a sinistra e scarico a destra

73

CAPITOLO 9. BILANCIA DI CAVENDISH

Figura 9.2: Schema del sistema

della forza di attrazione gravitazionale, la massa piccola piu vicina. Sigenera cos un momento al quale si oppone il momento torcente del filodi sospensione ed il momento della forza di attrito viscoso dell aria: ilmoto del sistema e oscillatorio smorzato e tende ad una posizione diequilibrio. Per facilitare l operazione di misura, le oscillazioni vengonoamplificate per mezzo di un sistema ottico, costituito da uno specchio,una sorgente luminosa fissa ed un regolo. Lo specchio e fissato sull astadella bilancia all altezza del baricentro e su di esso si riflette un raggioluminoso prodotto dalla sorgente fissa. Esso viene proiettato su diun regolo trasparente. Gli spostamenti angolari dell asta durante ilmoto oscillatorio corrispondono a spostamenti lungo il regolo del raggioriflesso, vedi figura 9.2 .

74

CAPITOLO 9. BILANCIA DI CAVENDISH9.1. METODO ACCELERAZIONE

Riportiamo i parametri del sistema:

m = (15.00 0.12)103kgM = (1.500 0.001)kgl = (5.00 0.01)mr = (4.5 0.1)102ms0 = (4.65 0.1)102md = (5.0 0.1)102m

dove m sono le masse poste all estremita della bilancia di torsione, Mle masse fisse che generano il campo gravitazionale, r la distanza framassa grande e massa piccola alla fine dellesperimento, s0 la distanzafra masssa grande e centro della scatola, , R la scala per la misuradell indice luminoso, S la sorgente di luce, T lo specchio della levaottica solidale con l asta.

Possiamo ricavare la costante G mediante quattro metodi.

9.1 Metodo accelerazione

Consiste nell approssimare il moto iniziale del sistema con un motouniformemente accelerato. Questo metodo si applica solo nell analisidei dati relativi ai primi istanti del moto( nel nostro caso nei primi 125secondi), perche nella fase iniziale si puo trascurare l effetto dell attritoviscoso dell aria ed assumere come nullo il momento torcente del filo.

L equazione del moto vale quindi:

I = 2Fd . (9.1)

Trascurando la massa dell asta orizzontale, il momento di inerzia I delsistema mobile e:

I = 2md2 . (9.2)

Poiche S = l = 2 l, segue che = S2l

e conseguentemente, =S2l

. L equazione del moto diventa quindi

=2Fd

I, (9.3)

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9.1. METODO ACCELERAZIONECAPITOLO 9. BILANCIA DI CAVENDISH

Figura 9.3: Risultati metodo della parabola

che, eguagliata all equazione precedente, da:

S =4Fdl

I. (9.4)

Con due successive integrazioni otteniamo:

S =1

2

4Fdl

It2 ; (9.5)

assumendo poi un moto parabolico del tipo:

S =1

2at2 , (9.6)

otteniamo finalmente:

a =2lGM

dr2, (9.7)

dove a ha proprio le dimensioni di un accelerazione e si ottiene daivalori di x e di t rilevati nei primi 125 secondi del moto. Abbiamo cioeassunto una dipendenza del tipo parabolico:

x =1

2at2 = At2 . (9.8)

Trovata A tramite il metodo dei minimi quadrati abbiamo finalmente:

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CAPITOLO 9. BILANCIA DI CAVENDISH 9.2. MOTO SMORZATO

G =ar2d

2Ml. (9.9)

ELABORAZIONE DATI SU PC.Possiamo trovare A adoperando per esempio il programma PARABO oancora meglio PARAB2. Il programma CAVEN da invece sia l accele-razione sia direttamente il valore di G ; vedi figura 9.3 .

9.2 Moto smorzato

Il sistema mobile descrive un moto rotatorio e segue l equazione fon-damentale della dinamica:

~M =d~P

dt, (9.10)

dove ~P e il momento angolare totale ed ~M e la risultante dei momentidelle forze applicate. Pertanto la corrispondente equazione scalare delmoto e:

I = k+ 2Fd , (9.11)dove il secondo membro e la somma dei momenti delle forze applicate:la forza di attrito viscoso dell aria( e il coefficiente di attrito viscoso),la forza elastica di torsione del filo metallico( k e il coefficiente elasticodi torsione) e la forza gravitazionale F = GmM

r2. Posti

I= 2 e k

I=

2, l equazione del moto diventa:

+ 2+ 2 =2Fd

I. (9.12)

Integrando l equazione omogenea associata:

+ 2+ 2 = 0 , (9.13)

si ottiene la soluzione particolare:

0(t) = Aetcos(t+ ) , (9.14)

dove A e l ampiezza dell oscillazione, il coefficiente di smorzamen-to, la fase iniziale e =

2 2 la velocita angolare. Soluzione

particolare dell equazione completa e:

0(t) =2Fd

k. (9.15)

77

9.2. MOTO SMORZATO CAPITOLO 9. BILANCIA DI CAVENDISH

Segue che la soluzione generale dell equazione completa e:

(t) = Aetcos(t+ ) +2Fd

k, (9.16)

che descrive un moto armonico smorzato. Passati 4 minuti dall ini-zio della misura la torsione del filo di sostegno non e piu trascurabilee l equazione del moto e espressa da un moto armonico smorzato diperiodo:

T =2

=

22 2

=2

K

I

2

4I2

. (9.17)

Si trascura il termine 2

4I2dovuto all attrito viscoso dell aria:

T = 2

I

k= 2

2md2

k, (9.18)

e poiche T si ricava dai dati sperimentali, si esprime il coefficiente ditorsione k in funzione di grandezze note:

k =82md2

T 2. (9.19)

Per t che tende ad infinito il sistema tende a stabilizzarsi in una po-sizione di equilibrio: il momento I e nullo e dalla 9.11 discende cheil momento della forza gravitazionale eguaglia il momento torcente delfilo. Nella 9.16, al crescere del tempo t, l esponenziale tende a zeroe tende al valore di equilibrio eq

2= 2Fd

k. Ricordiamoci che il moto

avviene fra - eq2

e + eq2

laonde per cui nel limite limt il momento

torcente keq2

equaglia il momento delle forze 2Fd. Poiche eq =Seq2l

edessendo |F | = GmM

r2, si ottiene

Seq2l

=4d

kGMm

r2, (9.20)

da cui si ricava la costante G in funzione di grandezze note:

G =2r2d

MlT 2Seq . (9.21)

La posizione di equilibrio Seq si ricerca per via dinamica, per evitare uneventuale angolo morto che si otterrebbe con la misura per via statica.

78

CAPITOLO 9. BILANCIA DI CAVENDISH9.3. TRATTAMENTO COMPLETO

Figura 9.4: Riferimento

9.3 Trattamento completo

Facciamo riferimento1 alla figura 9.4 .

Chiamiamo 0 la posizione in cui il momento torcente del filo enulla; l equazione del moto diventa:

~M =d~P

dt, (9.22)

che, tradotta in pratica, da:

MG +MT +MF = I , (9.23)

1Questi conti sono stati estratti da appunti di Renzo Richiardone delDipartimento di Fisica Generale nell a/a 82/83

79

9.3. TRATTAMENTO COMPLETOCAPITOLO 9. BILANCIA DI CAVENDISH

dove:

MG = 2GmMd/r2

MT = K( 0) ,MF = D ,I 2md2 .

essendo MG la componente lungo z del momento delle forze gravi-tazionali, MF il momento frenante dovuto alla viscosita dell aria, MTla componente lungo z del momento torcente del filo e I il momento diinerzia.

Sia

r = QB1 R s (9.24)

( i segni superiori/inferiori si riferiscono alle masse M nella posizione1/2 rispettivamente ). Si ha:

1

r2=

1

(R S)2=

1

R2(1 SR

)2(9.25)

1R2

(1 2SR

) =1

R2(1 2d

R) ; (9.26)

quindi l equazione 9.23 diventa

K( 0)2dGmM

R2(1 2 d

R)D = I . (9.27)

Posto

A =2dGmM

R2, (9.28)

K0 A (K 2Ad

R)D = I , (9.29)

B = K 2A dR

, (9.30)

Q = K0 A , (9.31)

80

CAPITOLO 9. BILANCIA DI CAVENDISH9.3. TRATTAMENTO COMPLETO

l equazione del moto diventa:

I +D +B = Q , (9.32)

il cui integrale generale si ottiene sommando un integrale particolare( per esempio = Q

B) all integrale generale dell equazione omogenea,

la cui forma e del tipo:

= C1ek1t + C2e

k2t , (9.33)

dove k1 e k2 sono le radici dell equazione:

Ik2 +Dk +B = 0 , (9.34)

cioe

k =D

D2 4IB2I

. (9.35)

Essendo D2 4IB 0( oscillazioni smorzate) avremo:

=

4IB D2

2I, (9.36)

=2I

D. (9.37)

L integrale generale dell omogenea associata puo essere scritto nellaforma:

Cet cos(t+ ) , (9.38)

dove C e sono costanti da determinarsi in base alle condizioni iniziali.La soluzione della 9.32 e pertanto:

=Q

B+ Ce

t cos(t+ ) . (9.39)

Indicheremo d ora in poi il valore finale di con

=Q

B. (9.40)

Le costanti C e si possono determinare a partire dall angolo inizialee dalla velocita angolare iniziale, ma per il nostro scopo non sono dinessun aiuto. Notiamo piuttosto che l unica grandezza che dipende

81

9.3. TRATTAMENTO COMPLETOCAPITOLO 9. BILANCIA DI CAVENDISH

dalla posizione 1/2 delle masse e Q, e quindi il valore finale dell angolo =

QB

( valore attorno al quale oscilla ). Dalla 9.40 e dalla 9.31 siha che

2, 1, =K0 + A

B K0 A

B= 2

A

B, (9.41)

da cui

A =B

2(2, 1,) . (9.42)

Elevando al quadrato la 9.36 e sostituendovi la 9.37 , otteniamo

2 =4IB D2

4I2=B I2

2

I=

B

I 1 2

, (9.43)

e quindi

B = I(2 +1

2) = I20 , (9.44)

dove 0 e la velocita angolare del moto non smorzato che, sostituitanella 9.42 , da:

A =I

2(2 +

1

2)(2, 1,) . (9.45)

La costante di gravitazione universale G si puo ricavare dalla 9.28 :

G =AR2

2dmM, (9.46)

dalla 9.40 e dalla 9.31 si ottiene

G =dR2

2M(2 +

1

2)(2, 1,) . (9.47)

che e quanto ci interessa.

Consideriamo le masse M nella posizione 1. La pallina in P none attratta solamente dalla massa M in A1, ma anche da quella postaposta in B1 , che la attira con una forza di attrazione di intensita:

GmM

PB12 , (9.48)

82

CAPITOLO 9. BILANCIA DI CAVENDISH9.3. TRATTAMENTO COMPLETO

provocando un momento aggiunto ( lo stesso accade per la pallina in Qattratta dalla massa in A1) di modulo

|Ma| = 2dGmM

PB12 sen , (9.49)

dove per semplicita nel considerare la componente che provoca il mo-mento si e supposta la pallina fissa nella sua posizione media S.

Il tratto PB1 ' RB1 = SB1 - SR = L-SPsen = L-s sen essendoSPR ' OSB1 perche complementari ( pressoche) dello stesso angoloPSR.

Poiche sen = RL

si ottiene PB1 ' L- dRL. Quando le masse Msono nella posizione 2 al denominatore della 9.49 vi e il tratto PB2 'L+ s sen = L+ dR

L. Essendo ora

1

(L dRL)2' 1L2(1 2dR

L2)

(9.50)

e poiche il momento aggiuntivo e sempre opposto a quello principaleMG si ha:

Ma = 2dGmM

L2sen

(1 2dR

L2)

, (9.51)

dove il segno{superioreinferiore

}indica come al solito il caso

{12

}e come

al solito Ma e in realta la componente nella direzione z. Poiche sen=RL

la 9.51 diventa (usando la 9.28) :

Ma =R2A

L2R

L

(1 2dR

L2)