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1/ Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche” Anno acacdemico 2013-14 Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici 1/ Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche” Anno acacdemico 2013-14 Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici Gusci sottili: corpi bidimensionali la cui superficie media non è piana ma si sviluppa nello spazio, con carichi applicati sia giacenti sul piano medio che ortogonali ad esso.

Gusci sottili: corpi bidimensionali la cui superficie … Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche” Anno acacdemico 2013-14 Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Gusci sottili: corpi bidimensionali la cui superficie media non è piana ma si sviluppa nello spazio, con carichi applicati sia giacenti sul piano medio che ortogonali ad esso.

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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Guscio sottile asialsimmetrico: superficie media ottenuta da una curva piana () che ruoti attorno ad un asse () appartenente allo stesso piano () della curva

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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Guscio sottile asialsimmetrico: superficie media ottenuta da una curva piana () che ruoti attorno ad un asse () appartenente allo stesso piano () della curva

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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Guscio sottile asialsimmetrico: superficie media ottenuta da una curva piana () che ruoti attorno ad un asse () appartenente allo stesso piano () della curva

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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

meridiano ()

La curva piana () costituisce uno dei meridiani (curve ottenute per intersezione con un semipiano uscente dall’asse .

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meridiano ()

parallelo

La curva piana () costituisce uno dei meridiani (curve ottenute per intersezione con un semipiano uscente dall’asse .Le circonferenze ottenute sezionando con un piano ortogonale a  costituiscono i paralleli.

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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

P

meridiano ()

parallelo

La posizione di un meridiano è definita dall’angolo azimutale , misurato a partire da un meridiano origine arbitrario.

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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

P

meridiano ()

parallelo

La posizione di un meridiano è definita dall’angolo azimutale , misurato a partire da un meridiano origine arbitrario.La posizione di un parallelo è definita dall’angolo meridiano , formato tra la normale alla superficie e l’asse di rotazione.

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P

meridiano ()

parallelo

P

La posizione di un meridiano è definita dall’angolo azimutale , misurato a partire da un meridiano origine arbitrario.La posizione di un parallelo è definita dall’angolo meridiano , formato tra la normale alla superficie e l’asse di rotazione.

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meridiano

parallelo

z

P

zP

Fissato un punto P, si definisce in esso un SR locale con:• Asse z ortogonale al piano tangente alla superficie media in P• Asse  giacente sul piano tangente e diretto secondo il parallelo per P• Asse giacente sul piano tangente e diretto secondo il meridiano per P

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OR

P

Raggi di curvatura rilevanti:• Raggio di curvatura meridiano (R): curvatura sul piano ‐Z, corrisponde al raggio di 

curvatura della curva ; il centro di curvatura giace sul prolungamento dell’asse Z.

OR

P

z

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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Raggi di curvatura rilevanti:• Raggio di curvatura azimutale (R): curvatura sul piano ‐Z; distanza tra P e 

l’intersezione dell’asse z con l’asse di simmetria, su cui giace il centro di curvatura O

OO

R

R

P

OR OR

P

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OO

R

R

R

P

R

Raggi di curvatura rilevanti:• Raggio di curvatura assiale (R): distanza tra P e l’asse di simmetria; risulta 

chiaramente R=R ∙ sin()

OR OR

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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Esercizio 1Verificare se le seguenti strutture possono essere studiate come gusci assialsimmetrici:

Recipiente cilindrico orizzontale pieno di acqua e soggetto al relativo peso proprio

SI NO

Recipien

te cilind

rico verticale pien

o di acqua

 e 

soggetto al relativo pe

so proprio

SI NO

Recipiente cilindrico orizzontale pieno di liquido e soggetto all’effeto di una accelerazione nella direzione del suo asse (Es.: autobotte che frena)

SI NO

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O

Raggi di curvatura per alcune figure geometriche significativeSfera

RRROOO

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Raggi di curvatura per alcune figure geometriche significativeCilindro

RRRR

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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

R

Raggi di curvatura per alcune figure geometriche significativeCono (semi‐apertura 90

R

RR

sin

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Ra

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Raggi di curvatura per alcune figure geometriche significativeToro (Raggi Ra ed Rc)

)sin()sin(

)sin()sin(

ca

ca

c

RRR

RRRRRR

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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Raggi di curvatura per alcune figure geometriche significativeEllisse  (Semi‐assi a e b)

Nel punto di coordinate:

)sin()cos(

0

0

byax

si ottiene:

sin

sincos

sinarccos

sincos

cossin

22

22

22

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23

2222

RRba

baaR

babaR

R

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Raggi di curvatura per alcune figure geometriche significativeEllisse  (Semi‐assi a e b)

In particolare si ottiene:

baRRB

aR

abR

A

2

2

90

)0(

A

B

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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Analisi dei carichi di pressione

Se una superficie è soggetta ad una pressione uniforme p, la risultante di tali forze di pressione in una direzione fissata , indipendentemente dalla forma della superficie, è pari al prodotto di p per l’area della proiezione netta della superficie stessa su di un piano ortogonale ad .

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Analisi dei carichi di pressioneSe una superficie è soggetta ad una pressione uniforme p, la risultante di tali forze di pressione in una direzione fissata , indipendentemente dalla forma della superficie, è pari al prodotto di p per l’area della proiezione della superficie stessa su di un piano ortogonale ad . Il verso è dato dalla componente del vettore che rappresenta la pressione sulla direzione .

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A1

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Analisi dei carichi di pressioneSe una superficie è soggetta ad una pressione uniforme p, la risultante di tali forze di pressione in una direzione fissata , indipendentemente dalla forma della superficie, è pari al prodotto di p per l’area della proiezione della superficie stessa su di un piano ortogonale ad . Il verso è dato dalla componente del vettore che rappresenta la pressione sulla direzione .

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Analisi dei carichi di pressione

Se una superficie è soggetta ad una pressione uniforme p, la risultante di tali forze di pressione in una direzione fissata , indipendentemente dalla forma della superficie, è pari al prodotto di p per l’area della proiezione netta della superficie stessa su di un piano ortogonale ad .

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p∙(A1‐A2)p∙(A1‐A2)

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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Esercizio 2aCalcolare la reazione vincolare assiale che devono esercitare i prigionieri che trattengono la testa emisferica di un compressore da 10 bar.Come cambierebbe la risposta se la testa fosse piana?E se fosse semiellittica con rapporto 2 tra gli assi?

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Esercizio 2bIl recipiente pressurizzato mostrato in Figura è composto da tre corpi cilindrici formanti all’interno un’unica cavità.Quanto vale la forza assiale cui è sottoposto complessivamente il cilindro centrale?

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p

Q M

NNp

Differenze fondamentali tra gusci e piastre

Piastre: superficie media piana, per cui i carichi esterni non potrebbero essere equilibrati da tensioni costanti nello spessore, la cui risultante non avrebbe componenti ortogonali al piano medio → taglio + flessione in ogni punto

Gusci: superficie media curva, per cui i carichi esterni possono essere equilibrati da tensioni costanti nello spessore, la cui risultante N ha una componente nella risultante della pressione p → taglio e flessione solo in particolari zone limitate

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NNp

Teoria «membranale» dei gusci sottili

Escluse particolari zone, solitamente di limitata estensione, lo stato di tensione dei gusci sottili può essere analizzato ipotizzando che lo stato di tensione sia costante nello spessore (Teoria membranale dei gusci sottili)

Ipotesi preliminari della teoria dei gusci sottili• spostamenti sotto carico molto minori dello spessore• punti dello spessore che, prima della deformazione, giacevano su di una retta 

ortogonale alla superficie media, dopo la deformazione continuano a formare una retta ortogonale alla superficie media deformata (ipotesi di Kirchoff).

• le tensioni normali agenti ortogonalmente al piano medio della piastra siano trascurabili (stato piano di tensione)

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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Teoria membranale dei gusci sottili assialsimmetriciIn base alle ipotesi generali fatte, per i gusci sottili assialsimmetrici possono essere introdotte le seguenti ulteriori semplificazioni:• la componente di spostamento in direzione circonferenziale è nulla per simmetria• le componenti di spostamento, tensione e deformazione sono costanti in direzione 

circonferenziale e cambiano solo nella direzione meridiana

meridiano

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chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

d

dds1

ds2R

z

Tensioni e caratteristiche di sollecitazione generalizzate membranali

Elemento di guscio compreso tra due piccoli incrementi delle coordinate azimutale () e meridiana () ed interessante l’intero spessore.   

34/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Tensioni e caratteristiche di sollecitazione generalizzate membranali

Componenti di tensione agenti

d

dds1

ds2R

z

35/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Tensioni e caratteristiche di sollecitazione generalizzate membranali

Componenti di tensione agenti

z

h

dz

z

h

Caratteristiche di sollecitazione generalizzate membranali

2

2

2

2

h

h

h

h

dzNdzN

36/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Tensioni e caratteristiche di sollecitazione generalizzate membranali

z

h

dz

z

h

hN

hdzN

hNhdzN

h

h

h

h

2

2

2

2Ipotesi: tensioni costanti nello spessore

37/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Equazioni di equilibrio/1

Grandezze geometriche:

dd OOd’

ds1ds2

dRdsdRdRdRds

2

1 'sin

Rds1ds2

38/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Rds1ds2

Equazioni di equilibrio/2

Si considera l’equilibrio dell’elemento di guscio in direzione z:

z

h

39/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Equazioni di equilibrio/3

Si rappresenta l’elemento di guscio sui piani ‐z e z‐:

d

d'

z z

pp

02

'sin22

sin2 2121

dsdspddsNddsN

40/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Equazioni di equilibrio/4

02

'sin22

sin2 2121

dsdspddsNddsN

0' 2121 dsdspddsNddsN

Approssimando il seno con l’angolo

41/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Equazioni di equilibrio/4

02

'sin22

sin2 2121

dsdspddsNddsN

0' 2121 dsdspddsNddsN

dRdsdRds

2

1 '

0''' ddRRpddRNddRN

Sostituendo

42/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Equazioni di equilibrio/4

02

'sin22

sin2 2121

dsdspddsNddsN

dRdsdRds

2

1 '

0 RRpRNRN

Semplificando

0' 2121 dsdspddsNddsN

0''' ddRRpddRNddRN

43/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Equazioni di equilibrio/4

02

'sin22

sin2 2121

dsdspddsNddsN

dRdsdRds

2

1 '

pRN

RN

Equazione di Laplace

0 RRpRNRN

0' 2121 dsdspddsNddsN

0''' ddRRpddRNddRN

44/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

z

p

R

02sin 2 FRpRN

sin2sin2 R

FRpN

Equazioni di equilibrio/5

Una seconda equazione di equilibrio può essere ottenuta sezionando il guscio con un piano ortogonale all’asse di simmetria  e considerando l’equilibrio della porzione ottenuta in direzione . Le N evidentemente non contribuiscono, mentre le N sono uniformemente distribuite.

F

45/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

2

RRRR

Applicazioni/1

Cilindro soggetto a pressione internaPer un cilindro si ha:

R

p

h

46/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

RpN

pRN

2

RRRR

Applicazioni/1

Cilindro soggetto a pressione internaPer un cilindro si ha:

R

p

hDalla equazione di Laplace si ricava:

47/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

RpN

pRN

2

RRRR

Applicazioni/1

Cilindro soggetto a pressione internaPer un cilindro si ha:

R

p

hDalla equazione di Laplace si ricava:

Formula di Boyle e MariottehRp

hN

48/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

hRp

hN

RpN

RpRN

2

2

2 2

Applicazioni/1

Cilindro soggetto a pressione internaSe il cilindro è chiuso si ha inoltre:

R

p

h

49/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

hRp

hN

RpN

RpRN

2

2

2 2

Applicazioni/1

Cilindro soggetto a pressione internaSe il cilindro è chiuso si ha inoltre:

R

p

h

Deformazioni

hE

RpE

hERp

E

221

22

50/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Esercizio 3

Determinare lo spessore minimo richiesto per il mantello cilindrico del recipiente in acciaio pressurizzato internamente mostrato nella Figura.Con il suddetto valore di spessore, determinare la variazione di diametro e di lunghezza prodotte dalla pressione.

p0L 0

52/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

RRR

Applicazioni/2

Sfera soggetta a pressione internaPer una sfera si ha:

O

p

h

53/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

RRR

Applicazioni/2

Sfera soggetta a pressione internaPer una sfera si ha:

Considerando una sezione con un piano passante per il centro si ha:

p

2R

2

2 2

RpN

RpRN

54/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

RRR

Applicazioni/2

Sfera soggetta a pressione internaPer una sfera si ha:

Considerando una sezione con un piano passante per il centro si ha:

p

2R

2

2 2

RpN

RpRN

55/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Applicazioni/2

Sfera soggetta a pressione internaDalla equazione di Laplace si ha inoltre:

O

p

h

hRp

RpRpRpN

pRN

RN

RN

RN

2

22

56/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Applicazioni/2

Sfera soggetta a pressione internaDalla equazione di Laplace si ha inoltre:

Deformazioni

hE

RpE 2

1

O

p

h

hRp

RpRpRpN

pRN

RN

RN

RN

2

22

57/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Esercizio 4

Data la sfera pressurizzata in acciaio mostrata in Figura,  determinare la variazione di diametro prodotta dalla pressione.Determinare inoltre lo spessore minimo richiesto e la variazione di diametro che si ottiene per tale valore minimo.

O

p

h

59/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

tan0 RR

Applicazioni/3

Cono soggetto a pressione internaPer un cono si ha:

Fissata la coordinata si ha: R

2

p

R

2

cossinR

RRR

60/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

tan0 RR

Applicazioni/3

Cono soggetto a pressione internaPer un cono si ha:

Fissata la coordinata si ha: R

2

p

R

2

cosR

RR

cos2tan

cos2

2cos

0

2

RpRp

N

RpRN y

Equilibrio assiale:

61/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Applicazioni/3

Cono soggetto a pressione internaDalla equazione di Laplace si ha inoltre:

costan

cos0

RpRp

RpN

pRN

R

p

R

62/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Applicazioni/3

Cono soggetto a pressione internaDalla equazione di Laplace si ha inoltre:

cos2tan

costan

costan

cos

0

0

0

Rhp

hN

Rhp

hN

RpRp

RpN

pRN

R

p

R

63/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Esercizio 5

Dato il recipiente pressurizzato in acciaio, cilindrico con estremità tronco‐coniche, mostrato nella Figura, determinare lo spessore minimo richiesto per la porzione tronco conica.Con tale valore di spessore, determinare la variazione di diametro del cono nel punto di tensione ideale massima.

65/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Applicazioni/4

Toro soggetto a pressione internaPer un toro si ha:

Ra

R

p

)sin()sin(

)sin()sin(

ca

ca

c

RRR

RRRRRR

66/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Applicazioni/4

Toro soggetto a pressione internaPer un toro si ha:

Si consideri adesso una porzione del toro compresa tra un cilindro di raggio Ra ed un cono di semi‐apertura passante per il centro del cerchio. Imponendo l’equilibrio in direzione assiale si ha:

Ra

R

p

)sin()sin(

)sin()sin(

ca

ca

c

RRR

RRRRRR

Ra

R

p

02sin 22 aRRpRN

67/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Applicazioni/4Toro soggetto a pressione interna

sin2

02sin22

22

RRRp

N

RRpRN

a

a

68/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Applicazioni/4Toro soggetto a pressione interna

sinsin2sin

sin2

02sin2222

22

ca

acaa

a

RRRRRp

RRRp

N

RRpRN sinca RRR

Sostituendo

69/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Applicazioni/4Toro soggetto a pressione interna

2

2222

2222

22

sinsin2sin2sin

sinsin2sin

sin2

02sin

ca

acaca

ca

acaa

a

RRRRRRRp

RRRRRp

RRRp

N

RRpRN

Svolgendo i calcoli

70/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Applicazioni/4Toro soggetto a pressione interna

2

2

2

2222

2222

22

sinsin2sin2sin

sinsin2sin2sin

sinsin2sin

sin2

02sin

ca

acc

ca

acaca

ca

acaa

a

RRRRpR

RRRRRRRp

RRRRRp

RRRp

N

RRpRN

Semplificando

71/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Applicazioni/4Toro soggetto a pressione interna

sin22sin

sinsin2sin2sin

sinsin2sin2sin

sinsin2sin

sin2

02sin

2

2

2

2222

2222

22

ca

acc

ca

acc

ca

acaca

ca

acaa

a

RRRRpR

RRRRpR

RRRRRRRp

RRRRRp

RRRp

N

RRpRN

Dividendo per sin()

72/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Applicazioni/4Toro soggetto a pressione internaDalla equazione di Laplace:

R

RNpRN

73/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Applicazioni/4Toro soggetto a pressione internaDalla equazione di Laplace:

sinsin

sin22sin

sinsin

c

ca

ca

accca

RRR

RRRRpRRRp

RRNpRN

Sostituendo

sinsinca RRR

sin2

2sin

ca

acc

RRRRpRN

74/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Applicazioni/4Toro soggetto a pressione internaDalla equazione di Laplace:

sin22sin

sinsin

sinsin

sin22sin

sinsin

acca

c

ca

ca

accca

RRpRRp

RRR

RRRRpRRRp

RRNpRN

Semplificando

75/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Applicazioni/4Toro soggetto a pressione internaDalla equazione di Laplace:

2sinsin

sin

sin22sin

sinsin

sinsin

sin22sin

sinsin

caca

acca

c

ca

ca

accca

RRRRp

RRpRRp

RRR

RRRRpRRRp

RRNpRN

Raccogliendo

76/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Applicazioni/4Toro soggetto a pressione internaDalla equazione di Laplace:

2sin

sin

2sinsin

sin

sin22sin

sinsin

sinsin

sin22sin

sinsin

c

caca

acca

c

ca

ca

accca

Rp

RRRRp

RRpRRp

RRR

RRRRpRRRp

RRNpRN

Semplificando

77/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Applicazioni/4Toro soggetto a pressione interna

2sin

sin

2sinsin

sin

sin22sin

sinsin

sinsin

sin22sin

sinsin

c

caca

acca

c

ca

ca

accca

Rp

RRRRp

RRpRRp

RRR

RRRRpRRRp

RRNpRN

2cRpN

Semplificando

78/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Applicazioni/4Toro soggetto a pressione interna

hRp

RRhRRpR

c

ca

acc

2

sin22sin

ca

cac

RRhRRpR

2

2max_

79/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Applicazioni/4Toro soggetto a pressione interna

mmhmRmRbarp

c

a

513200

80/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Esercizio 6

Data la camera d’aria in gomma naturale mostrata in Figura, utilizzabile come slittino, determinare la massima pressione di gonfiaggio ammissibile.

Ra

R

p

82/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Applicazioni/5Semisfera riempita di liquidoSemisfera riempita di un liquido di densità , appoggiata al bordo superiore:

83/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Applicazioni/5Semisfera riempita di liquidoSemisfera riempita di un liquido di densità , appoggiata al bordo superiore:

d

p

Sezione con cono di vertice nel centro della sfera e semiapertura . Coordinata meridiana , valore di pressione:

cosgRp

84/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Applicazioni/5Semisfera riempita di liquidoImponendo l’equilibrio in direzione assiale:

d

p

0

cossin2cossinsin2 dRRgRRN

85/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Applicazioni/5Semisfera riempita di liquidoImponendo l’equilibrio in direzione assiale:

d

p

0

23

0

sincos2

cossin2cossinsin2

dgR

dRRgRRN

Portando fuori integrale

86/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Applicazioni/5Semisfera riempita di liquidoImponendo l’equilibrio in direzione assiale:

d

p

0

33

0

23

0

3cos2sincos2

cossin2cossinsin2

gRdgR

dRRgRRN

Integrando

87/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Applicazioni/5Semisfera riempita di liquidoImponendo l’equilibrio in direzione assiale:

d

p

33

0

33

0

23

0

cos13

2

3cos2sincos2

cossin2cossinsin2

gR

gRdgR

dRRgRRN

88/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Applicazioni/5Semisfera riempita di liquidoImponendo l’equilibrio in direzione assiale:

d

p

33

0

33

0

23

0

cos13

2

3cos2sincos2

cossin2cossinsin2

gR

gRdgR

dRRgRRN

Semplificando

2

32

sincos1

3

gRN

89/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Applicazioni/5Semisfera riempita di liquidoImpiegando l’equazione di Laplace:

d

p

NpRN

90/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Applicazioni/5Semisfera riempita di liquidoImpiegando l’equazione di Laplace:

d

p

2

32

sincos1

3cos

gRRgRNpRN

2

32

sincos1

3

gRN

cosgRp

Sostituendo

91/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Applicazioni/5Semisfera riempita di liquidoImpiegando l’equazione di Laplace:

d

p

2

32

2

32

sincos1cos3

3

sincos1

3cos

gR

gRRgRNpRN

92/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Applicazioni/5Semisfera riempita di liquidoAndamento tensioni:

2

32

2

32

sincos1

3

sincos1cos3

3

hgR

hgR

mmhmRdmkg

51

1 3

93/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

ApplicazioniSemisfera riempita di liquidoAndamento tensioni:

94/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Applicazioni/6Fondo semiellittico in pressioneDato un punto di coordinate:

sincos

0

0

byax

si ha:

sin

sincos

sinarccos

sincos

cossin

22

22

22

22

23

2222

RRba

baaR

babaR

R

p

x

y

2a

b

A

B

95/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Applicazioni/6Fondo semiellittico in pressioneSezione lungo un parallelo.Equilibrio assiale:

R

p

x

y

2a

b

tanarctansin2

cossin2sin2

sin2

0

2

ab

papxpRN

RpRN

96/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Applicazioni/6Fondo semiellittico in pressioneEquazione di Laplace:

hNh

N

RN

pRN

R

p

x

y

2a

b

A

B

97/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Applicazioni/6Fondo semiellittico in pressioneIn particolare si ha :

R

p

x

y

2a

b

A

B

baRRB

aR

abR

A

2

2

90

)0(

bhap

bapNNB

ba

hap

baapN

hapapN

A

2290

22

22

22)0(

20

20

2

20

2

20

00

98/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Applicazioni/6Fondo semiellittico in pressioneAndamento tensioni:

mmhmbma

barp

2012500

2511

2

2511

2

2

20

20

max_

ba

ba

hap

ba

hbap

eq

Oss.ni: • per a/b > √2 la  diviene negativa nel punto A• le tensioni assumono valori estremi nei punti A e B, per cui, tenendo anche conto 

del segno della  la tensione ideale massima, in funzione del rapporto tra i semi‐assi, è data da:

99/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Applicazioni/6Fondo semiellittico in pressioneIn particolare si ha : R

p

x

y

2a

b

A

B

2511

2

2511

2

2

20

0max_

ba

ba

hap

ba

hap

eq

Oss.ni: • per a/b > √2 la  diviene negativa nel punto A• le tensioni assumono valori estremi nei punti 

A e B, per cui, tenendo anche conto del segno della  la tensione ideale massima, in funzione del rapporto tra i semi‐assi, è data da:

100/

Cor

so d

i “C

ostr

uzi

one

di A

pp

arec

chia

ture

Ch

imic

he”

An

no

acac

dem

ico

20

13

-14

Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici

Esercizio 7Dato il recipiente cilindrico mostrato in Figura, si confronti lo spessore necessario ed il peso del materiale per un fondo emisferico (a) o semiellittico, con rapporto tra i semiassi = 2 (b).

(a) (b)0 0/4