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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Gusci sottili: corpi bidimensionali la cui superficie media non è piana ma si sviluppa nello spazio, con carichi applicati sia giacenti sul piano medio che ortogonali ad esso.
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Guscio sottile asialsimmetrico: superficie media ottenuta da una curva piana () che ruoti attorno ad un asse () appartenente allo stesso piano () della curva
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Guscio sottile asialsimmetrico: superficie media ottenuta da una curva piana () che ruoti attorno ad un asse () appartenente allo stesso piano () della curva
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Guscio sottile asialsimmetrico: superficie media ottenuta da una curva piana () che ruoti attorno ad un asse () appartenente allo stesso piano () della curva
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
meridiano ()
La curva piana () costituisce uno dei meridiani (curve ottenute per intersezione con un semipiano uscente dall’asse .
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
P
meridiano ()
parallelo
La curva piana () costituisce uno dei meridiani (curve ottenute per intersezione con un semipiano uscente dall’asse .Le circonferenze ottenute sezionando con un piano ortogonale a costituiscono i paralleli.
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
P
meridiano ()
parallelo
La posizione di un meridiano è definita dall’angolo azimutale , misurato a partire da un meridiano origine arbitrario.
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
P
meridiano ()
parallelo
La posizione di un meridiano è definita dall’angolo azimutale , misurato a partire da un meridiano origine arbitrario.La posizione di un parallelo è definita dall’angolo meridiano , formato tra la normale alla superficie e l’asse di rotazione.
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
P
meridiano ()
parallelo
P
La posizione di un meridiano è definita dall’angolo azimutale , misurato a partire da un meridiano origine arbitrario.La posizione di un parallelo è definita dall’angolo meridiano , formato tra la normale alla superficie e l’asse di rotazione.
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
meridiano
parallelo
z
P
zP
Fissato un punto P, si definisce in esso un SR locale con:• Asse z ortogonale al piano tangente alla superficie media in P• Asse giacente sul piano tangente e diretto secondo il parallelo per P• Asse giacente sul piano tangente e diretto secondo il meridiano per P
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
OR
P
Raggi di curvatura rilevanti:• Raggio di curvatura meridiano (R): curvatura sul piano ‐Z, corrisponde al raggio di
curvatura della curva ; il centro di curvatura giace sul prolungamento dell’asse Z.
OR
P
z
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Raggi di curvatura rilevanti:• Raggio di curvatura azimutale (R): curvatura sul piano ‐Z; distanza tra P e
l’intersezione dell’asse z con l’asse di simmetria, su cui giace il centro di curvatura O
OO
R
R
P
OR OR
P
z
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
OO
R
R
R
P
R
Raggi di curvatura rilevanti:• Raggio di curvatura assiale (R): distanza tra P e l’asse di simmetria; risulta
chiaramente R=R ∙ sin()
OR OR
P
z
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Esercizio 1Verificare se le seguenti strutture possono essere studiate come gusci assialsimmetrici:
Recipiente cilindrico orizzontale pieno di acqua e soggetto al relativo peso proprio
SI NO
Recipien
te cilind
rico verticale pien
o di acqua
e
soggetto al relativo pe
so proprio
SI NO
Recipiente cilindrico orizzontale pieno di liquido e soggetto all’effeto di una accelerazione nella direzione del suo asse (Es.: autobotte che frena)
SI NO
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
O
Raggi di curvatura per alcune figure geometriche significativeSfera
RRROOO
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
R
Raggi di curvatura per alcune figure geometriche significativeCilindro
RRRR
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
R
Raggi di curvatura per alcune figure geometriche significativeCono (semi‐apertura 90
R
RR
sin
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Ra
R
Raggi di curvatura per alcune figure geometriche significativeToro (Raggi Ra ed Rc)
)sin()sin(
)sin()sin(
ca
ca
c
RRR
RRRRRR
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Raggi di curvatura per alcune figure geometriche significativeEllisse (Semi‐assi a e b)
Nel punto di coordinate:
)sin()cos(
0
0
byax
si ottiene:
sin
sincos
sinarccos
sincos
cossin
22
22
22
22
23
2222
RRba
baaR
babaR
R
p
x
y
2a
b
A
B
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
R
Raggi di curvatura per alcune figure geometriche significativeEllisse (Semi‐assi a e b)
In particolare si ottiene:
baRRB
aR
abR
A
2
2
90
)0(
A
B
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Analisi dei carichi di pressione
Se una superficie è soggetta ad una pressione uniforme p, la risultante di tali forze di pressione in una direzione fissata , indipendentemente dalla forma della superficie, è pari al prodotto di p per l’area della proiezione netta della superficie stessa su di un piano ortogonale ad .
p
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Analisi dei carichi di pressioneSe una superficie è soggetta ad una pressione uniforme p, la risultante di tali forze di pressione in una direzione fissata , indipendentemente dalla forma della superficie, è pari al prodotto di p per l’area della proiezione della superficie stessa su di un piano ortogonale ad . Il verso è dato dalla componente del vettore che rappresenta la pressione sulla direzione .
p
A1
p∙A1
p∙A1
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Analisi dei carichi di pressioneSe una superficie è soggetta ad una pressione uniforme p, la risultante di tali forze di pressione in una direzione fissata , indipendentemente dalla forma della superficie, è pari al prodotto di p per l’area della proiezione della superficie stessa su di un piano ortogonale ad . Il verso è dato dalla componente del vettore che rappresenta la pressione sulla direzione .
p
A2
p∙A2
p∙A2
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Analisi dei carichi di pressione
Se una superficie è soggetta ad una pressione uniforme p, la risultante di tali forze di pressione in una direzione fissata , indipendentemente dalla forma della superficie, è pari al prodotto di p per l’area della proiezione netta della superficie stessa su di un piano ortogonale ad .
p
A1‐A2
A1
A2
p∙(A1‐A2)p∙(A1‐A2)
A1‐A2
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Esercizio 2aCalcolare la reazione vincolare assiale che devono esercitare i prigionieri che trattengono la testa emisferica di un compressore da 10 bar.Come cambierebbe la risposta se la testa fosse piana?E se fosse semiellittica con rapporto 2 tra gli assi?
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Esercizio 2bIl recipiente pressurizzato mostrato in Figura è composto da tre corpi cilindrici formanti all’interno un’unica cavità.Quanto vale la forza assiale cui è sottoposto complessivamente il cilindro centrale?
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h
2 p0
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
p
Q M
NNp
Differenze fondamentali tra gusci e piastre
Piastre: superficie media piana, per cui i carichi esterni non potrebbero essere equilibrati da tensioni costanti nello spessore, la cui risultante non avrebbe componenti ortogonali al piano medio → taglio + flessione in ogni punto
Gusci: superficie media curva, per cui i carichi esterni possono essere equilibrati da tensioni costanti nello spessore, la cui risultante N ha una componente nella risultante della pressione p → taglio e flessione solo in particolari zone limitate
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
NNp
Teoria «membranale» dei gusci sottili
Escluse particolari zone, solitamente di limitata estensione, lo stato di tensione dei gusci sottili può essere analizzato ipotizzando che lo stato di tensione sia costante nello spessore (Teoria membranale dei gusci sottili)
Ipotesi preliminari della teoria dei gusci sottili• spostamenti sotto carico molto minori dello spessore• punti dello spessore che, prima della deformazione, giacevano su di una retta
ortogonale alla superficie media, dopo la deformazione continuano a formare una retta ortogonale alla superficie media deformata (ipotesi di Kirchoff).
• le tensioni normali agenti ortogonalmente al piano medio della piastra siano trascurabili (stato piano di tensione)
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Teoria membranale dei gusci sottili assialsimmetriciIn base alle ipotesi generali fatte, per i gusci sottili assialsimmetrici possono essere introdotte le seguenti ulteriori semplificazioni:• la componente di spostamento in direzione circonferenziale è nulla per simmetria• le componenti di spostamento, tensione e deformazione sono costanti in direzione
circonferenziale e cambiano solo nella direzione meridiana
meridiano
parallelo
z
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
d
dds1
ds2R
z
Tensioni e caratteristiche di sollecitazione generalizzate membranali
Elemento di guscio compreso tra due piccoli incrementi delle coordinate azimutale () e meridiana () ed interessante l’intero spessore.
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Tensioni e caratteristiche di sollecitazione generalizzate membranali
Componenti di tensione agenti
d
dds1
ds2R
z
35/
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arec
chia
ture
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imic
he”
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no
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Tensioni e caratteristiche di sollecitazione generalizzate membranali
Componenti di tensione agenti
z
h
dz
z
h
Caratteristiche di sollecitazione generalizzate membranali
2
2
2
2
h
h
h
h
dzNdzN
36/
Cor
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chia
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he”
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no
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Tensioni e caratteristiche di sollecitazione generalizzate membranali
z
h
dz
z
h
hN
hdzN
hNhdzN
h
h
h
h
2
2
2
2Ipotesi: tensioni costanti nello spessore
37/
Cor
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pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
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dem
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Equazioni di equilibrio/1
Grandezze geometriche:
dd OOd’
ds1ds2
dRdsdRdRdRds
2
1 'sin
Rds1ds2
38/
Cor
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di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Rds1ds2
Equazioni di equilibrio/2
Si considera l’equilibrio dell’elemento di guscio in direzione z:
z
h
39/
Cor
so d
i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Equazioni di equilibrio/3
Si rappresenta l’elemento di guscio sui piani ‐z e z‐:
d
d'
z z
pp
02
'sin22
sin2 2121
dsdspddsNddsN
40/
Cor
so d
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one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Equazioni di equilibrio/4
02
'sin22
sin2 2121
dsdspddsNddsN
0' 2121 dsdspddsNddsN
Approssimando il seno con l’angolo
41/
Cor
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arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
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Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Equazioni di equilibrio/4
02
'sin22
sin2 2121
dsdspddsNddsN
0' 2121 dsdspddsNddsN
dRdsdRds
2
1 '
0''' ddRRpddRNddRN
Sostituendo
42/
Cor
so d
i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Equazioni di equilibrio/4
02
'sin22
sin2 2121
dsdspddsNddsN
dRdsdRds
2
1 '
0 RRpRNRN
Semplificando
0' 2121 dsdspddsNddsN
0''' ddRRpddRNddRN
43/
Cor
so d
i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Equazioni di equilibrio/4
02
'sin22
sin2 2121
dsdspddsNddsN
dRdsdRds
2
1 '
pRN
RN
Equazione di Laplace
0 RRpRNRN
0' 2121 dsdspddsNddsN
0''' ddRRpddRNddRN
44/
Cor
so d
i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
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20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
z
p
R
02sin 2 FRpRN
sin2sin2 R
FRpN
Equazioni di equilibrio/5
Una seconda equazione di equilibrio può essere ottenuta sezionando il guscio con un piano ortogonale all’asse di simmetria e considerando l’equilibrio della porzione ottenuta in direzione . Le N evidentemente non contribuiscono, mentre le N sono uniformemente distribuite.
F
45/
Cor
so d
i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
2
RRRR
Applicazioni/1
Cilindro soggetto a pressione internaPer un cilindro si ha:
R
p
h
46/
Cor
so d
i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
RpN
pRN
2
RRRR
Applicazioni/1
Cilindro soggetto a pressione internaPer un cilindro si ha:
R
p
hDalla equazione di Laplace si ricava:
47/
Cor
so d
i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
RpN
pRN
2
RRRR
Applicazioni/1
Cilindro soggetto a pressione internaPer un cilindro si ha:
R
p
hDalla equazione di Laplace si ricava:
Formula di Boyle e MariottehRp
hN
48/
Cor
so d
i “C
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uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
hRp
hN
RpN
RpRN
2
2
2 2
Applicazioni/1
Cilindro soggetto a pressione internaSe il cilindro è chiuso si ha inoltre:
R
p
h
49/
Cor
so d
i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
hRp
hN
RpN
RpRN
2
2
2 2
Applicazioni/1
Cilindro soggetto a pressione internaSe il cilindro è chiuso si ha inoltre:
R
p
h
Deformazioni
hE
RpE
hERp
E
221
22
50/
Cor
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i “C
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pp
arec
chia
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Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Esercizio 3
Determinare lo spessore minimo richiesto per il mantello cilindrico del recipiente in acciaio pressurizzato internamente mostrato nella Figura.Con il suddetto valore di spessore, determinare la variazione di diametro e di lunghezza prodotte dalla pressione.
p0L 0
52/
Cor
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i “C
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uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
RRR
Applicazioni/2
Sfera soggetta a pressione internaPer una sfera si ha:
O
p
h
53/
Cor
so d
i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
RRR
Applicazioni/2
Sfera soggetta a pressione internaPer una sfera si ha:
Considerando una sezione con un piano passante per il centro si ha:
p
2R
2
2 2
RpN
RpRN
54/
Cor
so d
i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
RRR
Applicazioni/2
Sfera soggetta a pressione internaPer una sfera si ha:
Considerando una sezione con un piano passante per il centro si ha:
p
2R
2
2 2
RpN
RpRN
55/
Cor
so d
i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/2
Sfera soggetta a pressione internaDalla equazione di Laplace si ha inoltre:
O
p
h
hRp
RpRpRpN
pRN
RN
RN
RN
2
22
56/
Cor
so d
i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/2
Sfera soggetta a pressione internaDalla equazione di Laplace si ha inoltre:
Deformazioni
hE
RpE 2
1
O
p
h
hRp
RpRpRpN
pRN
RN
RN
RN
2
22
57/
Cor
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i “C
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uzi
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pp
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chia
ture
Ch
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he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Esercizio 4
Data la sfera pressurizzata in acciaio mostrata in Figura, determinare la variazione di diametro prodotta dalla pressione.Determinare inoltre lo spessore minimo richiesto e la variazione di diametro che si ottiene per tale valore minimo.
O
p
h
59/
Cor
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i “C
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uzi
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pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
tan0 RR
Applicazioni/3
Cono soggetto a pressione internaPer un cono si ha:
Fissata la coordinata si ha: R
2
p
R
2
cossinR
RRR
60/
Cor
so d
i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
tan0 RR
Applicazioni/3
Cono soggetto a pressione internaPer un cono si ha:
Fissata la coordinata si ha: R
2
p
R
2
cosR
RR
cos2tan
cos2
2cos
0
2
RpRp
N
RpRN y
Equilibrio assiale:
61/
Cor
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i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/3
Cono soggetto a pressione internaDalla equazione di Laplace si ha inoltre:
costan
cos0
RpRp
RpN
pRN
R
p
R
62/
Cor
so d
i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/3
Cono soggetto a pressione internaDalla equazione di Laplace si ha inoltre:
cos2tan
costan
costan
cos
0
0
0
Rhp
hN
Rhp
hN
RpRp
RpN
pRN
R
p
R
63/
Cor
so d
i “C
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one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Esercizio 5
Dato il recipiente pressurizzato in acciaio, cilindrico con estremità tronco‐coniche, mostrato nella Figura, determinare lo spessore minimo richiesto per la porzione tronco conica.Con tale valore di spessore, determinare la variazione di diametro del cono nel punto di tensione ideale massima.
65/
Cor
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one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/4
Toro soggetto a pressione internaPer un toro si ha:
Ra
R
p
)sin()sin(
)sin()sin(
ca
ca
c
RRR
RRRRRR
66/
Cor
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pp
arec
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Ch
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An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/4
Toro soggetto a pressione internaPer un toro si ha:
Si consideri adesso una porzione del toro compresa tra un cilindro di raggio Ra ed un cono di semi‐apertura passante per il centro del cerchio. Imponendo l’equilibrio in direzione assiale si ha:
Ra
R
p
)sin()sin(
)sin()sin(
ca
ca
c
RRR
RRRRRR
Ra
R
p
02sin 22 aRRpRN
67/
Cor
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i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
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An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/4Toro soggetto a pressione interna
sin2
02sin22
22
RRRp
N
RRpRN
a
a
68/
Cor
so d
i “C
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uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/4Toro soggetto a pressione interna
sinsin2sin
sin2
02sin2222
22
ca
acaa
a
RRRRRp
RRRp
N
RRpRN sinca RRR
Sostituendo
69/
Cor
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i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/4Toro soggetto a pressione interna
2
2222
2222
22
sinsin2sin2sin
sinsin2sin
sin2
02sin
ca
acaca
ca
acaa
a
RRRRRRRp
RRRRRp
RRRp
N
RRpRN
Svolgendo i calcoli
70/
Cor
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di A
pp
arec
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Ch
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dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/4Toro soggetto a pressione interna
2
2
2
2222
2222
22
sinsin2sin2sin
sinsin2sin2sin
sinsin2sin
sin2
02sin
ca
acc
ca
acaca
ca
acaa
a
RRRRpR
RRRRRRRp
RRRRRp
RRRp
N
RRpRN
Semplificando
71/
Cor
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pp
arec
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Ch
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he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/4Toro soggetto a pressione interna
sin22sin
sinsin2sin2sin
sinsin2sin2sin
sinsin2sin
sin2
02sin
2
2
2
2222
2222
22
ca
acc
ca
acc
ca
acaca
ca
acaa
a
RRRRpR
RRRRpR
RRRRRRRp
RRRRRp
RRRp
N
RRpRN
Dividendo per sin()
72/
Cor
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i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/4Toro soggetto a pressione internaDalla equazione di Laplace:
R
RNpRN
73/
Cor
so d
i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/4Toro soggetto a pressione internaDalla equazione di Laplace:
sinsin
sin22sin
sinsin
c
ca
ca
accca
RRR
RRRRpRRRp
RRNpRN
Sostituendo
sinsinca RRR
sin2
2sin
ca
acc
RRRRpRN
74/
Cor
so d
i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/4Toro soggetto a pressione internaDalla equazione di Laplace:
sin22sin
sinsin
sinsin
sin22sin
sinsin
acca
c
ca
ca
accca
RRpRRp
RRR
RRRRpRRRp
RRNpRN
Semplificando
75/
Cor
so d
i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/4Toro soggetto a pressione internaDalla equazione di Laplace:
2sinsin
sin
sin22sin
sinsin
sinsin
sin22sin
sinsin
caca
acca
c
ca
ca
accca
RRRRp
RRpRRp
RRR
RRRRpRRRp
RRNpRN
Raccogliendo
76/
Cor
so d
i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/4Toro soggetto a pressione internaDalla equazione di Laplace:
2sin
sin
2sinsin
sin
sin22sin
sinsin
sinsin
sin22sin
sinsin
c
caca
acca
c
ca
ca
accca
Rp
RRRRp
RRpRRp
RRR
RRRRpRRRp
RRNpRN
Semplificando
77/
Cor
so d
i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/4Toro soggetto a pressione interna
2sin
sin
2sinsin
sin
sin22sin
sinsin
sinsin
sin22sin
sinsin
c
caca
acca
c
ca
ca
accca
Rp
RRRRp
RRpRRp
RRR
RRRRpRRRp
RRNpRN
2cRpN
Semplificando
78/
Cor
so d
i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/4Toro soggetto a pressione interna
hRp
RRhRRpR
c
ca
acc
2
sin22sin
ca
cac
RRhRRpR
2
2max_
79/
Cor
so d
i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/4Toro soggetto a pressione interna
mmhmRmRbarp
c
a
513200
80/
Cor
so d
i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Esercizio 6
Data la camera d’aria in gomma naturale mostrata in Figura, utilizzabile come slittino, determinare la massima pressione di gonfiaggio ammissibile.
Ra
R
p
82/
Cor
so d
i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/5Semisfera riempita di liquidoSemisfera riempita di un liquido di densità , appoggiata al bordo superiore:
83/
Cor
so d
i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/5Semisfera riempita di liquidoSemisfera riempita di un liquido di densità , appoggiata al bordo superiore:
d
p
Sezione con cono di vertice nel centro della sfera e semiapertura . Coordinata meridiana , valore di pressione:
cosgRp
84/
Cor
so d
i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/5Semisfera riempita di liquidoImponendo l’equilibrio in direzione assiale:
d
p
0
cossin2cossinsin2 dRRgRRN
85/
Cor
so d
i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/5Semisfera riempita di liquidoImponendo l’equilibrio in direzione assiale:
d
p
0
23
0
sincos2
cossin2cossinsin2
dgR
dRRgRRN
Portando fuori integrale
86/
Cor
so d
i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/5Semisfera riempita di liquidoImponendo l’equilibrio in direzione assiale:
d
p
0
33
0
23
0
3cos2sincos2
cossin2cossinsin2
gRdgR
dRRgRRN
Integrando
87/
Cor
so d
i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/5Semisfera riempita di liquidoImponendo l’equilibrio in direzione assiale:
d
p
33
0
33
0
23
0
cos13
2
3cos2sincos2
cossin2cossinsin2
gR
gRdgR
dRRgRRN
88/
Cor
so d
i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/5Semisfera riempita di liquidoImponendo l’equilibrio in direzione assiale:
d
p
33
0
33
0
23
0
cos13
2
3cos2sincos2
cossin2cossinsin2
gR
gRdgR
dRRgRRN
Semplificando
2
32
sincos1
3
gRN
89/
Cor
so d
i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/5Semisfera riempita di liquidoImpiegando l’equazione di Laplace:
d
p
NpRN
90/
Cor
so d
i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/5Semisfera riempita di liquidoImpiegando l’equazione di Laplace:
d
p
2
32
sincos1
3cos
gRRgRNpRN
2
32
sincos1
3
gRN
cosgRp
Sostituendo
91/
Cor
so d
i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/5Semisfera riempita di liquidoImpiegando l’equazione di Laplace:
d
p
2
32
2
32
sincos1cos3
3
sincos1
3cos
gR
gRRgRNpRN
92/
Cor
so d
i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/5Semisfera riempita di liquidoAndamento tensioni:
2
32
2
32
sincos1
3
sincos1cos3
3
hgR
hgR
mmhmRdmkg
51
1 3
93/
Cor
so d
i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
ApplicazioniSemisfera riempita di liquidoAndamento tensioni:
94/
Cor
so d
i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/6Fondo semiellittico in pressioneDato un punto di coordinate:
sincos
0
0
byax
si ha:
sin
sincos
sinarccos
sincos
cossin
22
22
22
22
23
2222
RRba
baaR
babaR
R
p
x
y
2a
b
A
B
95/
Cor
so d
i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/6Fondo semiellittico in pressioneSezione lungo un parallelo.Equilibrio assiale:
R
p
x
y
2a
b
tanarctansin2
cossin2sin2
sin2
0
2
ab
papxpRN
RpRN
96/
Cor
so d
i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/6Fondo semiellittico in pressioneEquazione di Laplace:
hNh
N
RN
pRN
R
p
x
y
2a
b
A
B
97/
Cor
so d
i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/6Fondo semiellittico in pressioneIn particolare si ha :
R
p
x
y
2a
b
A
B
baRRB
aR
abR
A
2
2
90
)0(
bhap
bapNNB
ba
hap
baapN
hapapN
A
2290
22
22
22)0(
20
20
2
20
2
20
00
98/
Cor
so d
i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/6Fondo semiellittico in pressioneAndamento tensioni:
mmhmbma
barp
2012500
2511
2
2511
2
2
20
20
max_
ba
ba
hap
ba
hbap
eq
Oss.ni: • per a/b > √2 la diviene negativa nel punto A• le tensioni assumono valori estremi nei punti A e B, per cui, tenendo anche conto
del segno della la tensione ideale massima, in funzione del rapporto tra i semi‐assi, è data da:
99/
Cor
so d
i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Applicazioni/6Fondo semiellittico in pressioneIn particolare si ha : R
p
x
y
2a
b
A
B
2511
2
2511
2
2
20
0max_
ba
ba
hap
ba
hap
eq
Oss.ni: • per a/b > √2 la diviene negativa nel punto A• le tensioni assumono valori estremi nei punti
A e B, per cui, tenendo anche conto del segno della la tensione ideale massima, in funzione del rapporto tra i semi‐assi, è data da:
100/
Cor
so d
i “C
ostr
uzi
one
di A
pp
arec
chia
ture
Ch
imic
he”
An
no
acac
dem
ico
20
13
-14
Lezioni sull’analisi di gusci sottili assialsimmetrici
Esercizio 7Dato il recipiente cilindrico mostrato in Figura, si confronti lo spessore necessario ed il peso del materiale per un fondo emisferico (a) o semiellittico, con rapporto tra i semiassi = 2 (b).
(a) (b)0 0/4