Guy brousseau FUNDAMENTOS Y MTODOS DE LA DIDCTICA DE LA MATEMTICALa didctica de la matemtica estudia las actividades didcticas, es decir las actividades que tienen por objeto la enseanza, evidentemente en lo que ellas tienen de especfico de la matemtica. Los resultados, en este dominio, son cada vez ms numerosos; tratan los comportamientos cognitivos de los alumnos, pero tambin los tipos de situaciones empleados para ensearles y sobre todo los fenmenos que genera la comunicacin del saber. La produccin o el mejoramiento de los instrumentos de enseanza encuentra en estos resultados ms que objetivos o instrumentos de evaluacin; encuentra aqu un apoyo terico, explicaciones, medios de previsin y de anlisis, sugerencias y an dispositivos y mtodos. Captulo I OBJETO DE LOS ESTUDIOS EN DIDCTICA Cul es el objeto de estos estudios? Un examen an muy superficial permitir comprender mejor su inters y an su necesidad. 1. 1. El saber matemtico y la transposicin didctica El saber constituido se presenta bajo formas diversas, por ejemplo, bajo la forma de preguntas y respuestas. La presentacin axiomtica es una presentacin clsica de la matemtica. Adems de las virtudes cientficas que se le conocen, parece maravillosamente adaptada para la enseanza. Permite a cada instante definir los objetos que se estudian con la ayuda de nociones introducidas precedentemente, y as organizar la adquisicin de nuevos conocimientos con la ayuda de adquisiciones anteriores. Asegura entonces al estudiante y a su profesor un instrumento para ordenar su actividad y acumular en un mnimo de tiempo un mximo de saberes bastante prximos al saber sabio. Evidentemente, debe completarse con ejemplos y problemas cuya solucin exige su empleo. Pero esta presentacin borra completamente la historia de los saberes, es decir la sucesin de dificultades y preguntas que han provocado la aparicin de conceptos fundamentales, su uso para plantear nuevos problemas, la ingerencia de tcnicas y preguntas nacidas de los progresos en otros sectores, el rechazo de algunos puntos de vista encontrados falsos o burdos, y las innumerables discusiones al respecto. Encubre el verdadero funcionamiento de la ciencia, imposible de comunicar y de describir fielmente desde el exterior, para colocar en su lugar una gnesis ficticia. Para hacer ms fcil la enseanza, la presentacin axiomtica aisla algunas nociones y propiedades del tejido de actividades donde ellas han tomado su origen, su sentido, su motivacin y su empleo. Las transpone al contexto escolar. Los epistemlogos llaman transposicin didctica a esta operacin. Esta tiene su utilidad, sus inconvenientes y su papel, an en la construccin de la ciencia. Es a la vez inevitable, necesaria y en cierto sentido lamentable. Debe ser puesta bajo vigilancia.

. El trabajo del alumno El trabajo intelectual del alumno debe ser por momentos comparable a esta actividad cientfica. Saber matemtica, no es solamente aprender definiciones y teoremas para reconocer la ocasin de utilizarlos y aplicarlos, sabemos que hacer matemtica implica ocuparse de problemas. No se hace matemtica slo cuando uno se ocupa de problemas, se olvida a veces que resolver un problema es slo una parte del trabajo; encontrar buenas preguntas es tan importante como encontrar sus soluciones. Una buena reproduccin por el alumno de una actividad cientfica exigira que acte, formule, pruebe, construya modelos, lenguajes, conceptos, teoras, que las cambie por otras, que reconozca las que se adaptan a su cultura, que recurra a las que son tiles, etc... Para hacer posible tal actividad, el profesor debe entonces imaginar y proponer a sus alumnos situaciones que ellos puedan vivir y en las que los conocimientos van a aparecer como la solucin ptima, y posible de ser descubierta, de los problemas planteados. El trabajo del profesor El trabajo del profesor es en cierta medida inverso al trabajo del investigador: debe producir una recontextualizacin y una repersonalizacin de los conocimientos. Estos se van a convertir en el conocimiento de un alumno, es decir una respuesta bastante natural a condiciones relativamente particulares, condiciones indispensables para que tengan un sentido para el alumno. Cada conocimiento debe nacer de la adaptacin a una situacin especfica, ya que no se crean las probabilidades en el mismo tipo de contexto y de relaciones con el medio que aquellos en los que se inventa o utiliza la aritmtica o el lgebra. Entonces el profesor debe simular en su clase una micro sociedad cientfica si quiere que los conocimientos sean formas econmicas para plantear buenas preguntas y zanjar debates, si quiere que los lenguajes sean instrumentos para controlar situaciones de formulacin y que las demostraciones sean pruebas. Pero tambin debe dar a sus alumnos los instrumentos para reencontrar en esta historia particular que les ha hecho vivir, lo que es el saber cultural y comunicable que se les ha querido ensear. Los alumnos a su vez deben redescontextualizar y redespersonalizar su saber y esto de modo tal que puedan identificar su produccin con el saber que se desarrolla en la comunidad cientfica y cultural de su poca. Por supuesto, se trata de una simulacin que no es la verdadera actividad cientfica como tampoco el saber presentado de manera axiomtica constituye el verdadero saber.

. Situacin didctica, situacin a-didctica En la concepcin ms general de la enseanza, el saber es una asociacin entre las buenas preguntas y las buenas respuestas. El enseante plantea un problema que el alumno debe resolver: si el alumno responde, muestra a travs de esto, que sabe; si no, se manifiesta una necesidad de saber que requiere una informacin, una enseanza. A priori, todo mtodo que permite memorizar las asociaciones favorables, es aceptable. La mayutica socrtica limita estas asociaciones a aqullas que el alumno puede efectuar por s mismo. Esta restriccin tiene por objeto garantizar la comprensin del saber por el alumno, porque l mismo lo produce. Pero entonces se est obligado a suponer que el alumno posea ya ese saber, ya sea que lo ha tenido siempre (reminiscencia), o que lo construye l mismo por su actividad propia y aislada. Todos los procedimientos donde el maestro no da, l mismo, la respuesta, son aceptables para engendrar ese saber en el alumno. El esquema socrtico puede ser perfeccionado si se supone que el alumno es capaz de obtener su saber de sus propias experiencias, de sus propias interacciones con el medio, an si ese medio no est organizado con fines de aprendizaje: el alumno aprende viendo el mundo (hiptesis empirista-sensualista) o haciendo hiptesis entre las cuales su experiencia le permite elegir (hiptesis aprioristas) o an en una interaccin ms compleja hecha de asimilaciones y de acomodaciones tales como las descriptas por Piaget. El alumno aprende adaptndose a un medio que es factor de contradicciones, de dificultades, de desequilibrios, un poco como lo hace la sociedad humana. Este saber, fruto de la adaptacin del alumno, se manifiesta por respuestas nuevas que son la prueba del aprendizaje. Este proceso psico-gentico piagetiano es opuesto al dogmatismo escolstico. Uno no parece deber nada a la intencin didctica, mientras que el otro le debe todo. Atribuyendo al aprendizaje natural lo que reposa sobre el arte de ensear segn el dogmatismo, la teora de Piaget corre el riesgo de aliviar al maestro de toda responsabilidad didctica: esto constituye una vuelta paradojal a una especie de empirismo! Pero un medio sin intenciones didcticas es incapaz de inducir en el alumno todos los conocimientos culturales que se desea que l adquiera. La concepcin moderna de la enseanza va entonces a exigir al maestro que provoque en el alumno las adaptaciones deseadas por una eleccin sensata de los problemas que l le propone. Esos problemas, elegidos de modo tal que el alumno pueda aceptarlos deben hacerlo actuar, hablar, reflexionar, evolucionar por su propio movimiento. Entre el momento en que el alumno acepta el problema como suyo y aquel en que produce su respuesta, el maestro se rehsa a intervenir en calidad de oferente de los conocimientos que quiere ver aparecer. El alumno sabe que el problema fue elegido para hacerle adquirir un conocimiento nuevo, pero debe saber tambin que este conocimiento est enteramente justificado por la lgica interna de la situacin y que puede construirlo sin tener presente razones didcticas. No solamente puede, sino que tambin debe porque slo habr adquirido verdaderamente este conocimiento cuando sea capaz de ponerlo en obra l mismo en situaciones que encuentre fuera de todo contexto de enseanza y en ausencia de toda indicacin intencional. Tal situacin es llamada situacin a-didctica(4). Cada conocimiento puede caracterizarse por una (o unas) situacin a-didctica, donde se preserva el sentido de ese conocimiento, y que nosotros llamaremos situacin fundamental. Pero el alumno no puede resolver de entrada cualquier situacin a-didctica, el maestro le procura entonces aqullas que estn a su alcance. Esas situaciones a-didcticas preparadas con fines didcticos determinan el conocimiento enseado en un momento dado y el sentido particular que este conocimiento va a tomar por efecto de las restricciones y deformaciones as aportadas a la situacin fundamental.(4)

En el sentido de que desaparece de ella la intencin de ensear (la situacin es siempre especfica del saber). Una situacin pedaggica no especfica de un saber no sera llamada a-didctica sino solamente no didctica.

Esta situacin o ese problema elegido por el enseante es una parte esencial de la siguiente situacin ms amplia: el maestro busca devolver al alumno una situacin a-didctica que provoque en l la interaccin ms independiente y ms fecunda posible. Para esto, comunica o se abstiene de comunicar, segn el caso, informaciones, preguntas, mtodos de aprendizaje, heursticas, etc. El enseante est entonces implicado en un juego con el sistema de interacciones del alumno con los problemas que l le plantea. Este juego o esta situacin ms amplia es la situacin didctica. El alumno no distingue de entrada, en la situacin que vive, lo que es de naturaleza a-didctica y lo que es de origen didctico. La situacin a-didctica final de referencia, aquella que caracteriza el saber, puede ser estudiada de forma terica pero, en la situacin didctica, para el maestro como para el alumno, la situacin a-didctica es una especie de ideal hacia el cual se trata de converger: el enseante debe sin cesar ayudar al alumno a despojar lo antes posible a la situacin de todos sus artificios didcticos para dejarle el conocimiento personal y objetivo. El contrato didctico es la regla de juego y la estrategia de la situacin didctica: es el medio que tiene el maestro de ponerla en escena. Pero la evolucin de la situacin modifica el contrato lo que permite entonces la obtencin de situaciones nuevas. De la misma manera, el conocimiento es lo que se expresa por las reglas de la situacin a-didctica y por las estrategias. La evolucin de esas estrategias requiere producciones de conocimientos que permitan en su momento la concepcin de nuevas situaciones a-didcticas. El contrato didctico no es un contrato pedaggico general. Depende de los conocimientos en juego. En la didctica moderna, la enseanza es la devolucin al alumno de una situacin a-didctica, correcta, el aprendizaje es una adaptacin a esta situacin. Veremos ms adelante que se pueden concebir esas situaciones como juegos formales y que esta concepcin favorece la comprensin y el dominio de las situaciones de enseanza.

La epistemologa de los profesores El profesor est obligado entonces a explicitar ante el alumno un mtodo de traduccin de la respuesta: cmo responder con la ayuda de los conocimientos anteriores, cmo comprender, construir un conocimiento nuevo, cmo aplicar las lecciones anteriores, reconocer las preguntas, cmo aprender, adivinar, resolver..., etc. Se refiere as a un funcionamiento implcito de la matemtica o a un modelo (como la geometra elemental) construido por el uso que se hace de ella: resolver los conflictos del contrato didctico. Esta epistemologa del profesor (en el uso profesional) debe ser de hecho tambin la del alumno y la de sus padres. Debe estar presente en la cultura para permitir que las justificaciones funcionen y sean recibidas. El profesor no es libre de cambiar esa epistemologa a su gusto. Se comprende que ella tiene pocas oportunidades de ser consistente, y entonces de servir de base a una teora didctica. Para ensear, un profesor debe entonces reorganizar los conocimientos a fin de que se presten a esta descripcin, a esta epistemologa. Es el comienzo del proceso de modificacin de los conocimientos que cambia la organizacin, la importancia relativa, la presentacin, la gnesis ... en funcin de las necesidades del contrato didctico. Hemos llamado a esta transformacin transposicin didctica. Notemos que a priori, la prctica emprica de la enseanza de la matemtica cualquiera sea la calidad cientfica de los profesores no lo conduce espontneamente a construir una simulacin correcta de la gnesis de las nociones. Por el contrario, es grande la tentacin de economizar

el doble trabajo (de recontextualizacin y de redecontextualizacin) y de hacer aprender directamente un texto del saber: para respetar las otras obligaciones del contrato, los problemas estn bien propuestos a los alumnos pero su solucin puede ser encontrada por procedimientos que economizan el conocimiento especfico de la nocin (como en el ejemplo de la analoga). La solucin est oculta bajo una ficcin didctica, conocida por el alumno y que sirve en el momento de la negociacin. Ya que el maestro debe probar al alumno que l es capaz de responder y aprender el saber visualizado, debe al menos poder decirle a priori de qu manera hacerlo. Por cierto, si la solucin est articulada como un texto matemtico, comprende la justificacin cientfica correcta del resultado pero muchos alumnos obtienen la respuesta no por el razonamiento matemtico deseado sino por la decodificacin de la convencin didctica. . La nocin de juego Modelizar la nocin vaga de situacin por la de juego exige una precisin sobre los sentidos acordados a esta palabra. Sus cinco definiciones principales tienen una relacin con los elementos a presentar i) La primera caracteriza al conjunto de relaciones, el hiposistema a modelizar: Actividad fsica o mental, puramente gratuita, generalmente fundada sobre la convencin o la ficcin, que no tiene otro fin, en la conciencia de aqul que se libra a ella, que ella misma, otro fin que el placer que ella procura. [Definicin] Esta definicin pone en escena esencialmente un jugadorcapaz de experimentar placer, de concebir una ficcin y de establecer convenciones y relaciones con un medio no precisado. Proporciona una actividad y su placer depende de ella. Pero la definicin insiste sobre todo en el carcter casi aislado del sistema evocado. Para el jugador se admite que puede existir un Deus ex machina del cual no debe tener conciencia. Para l entonces, la actividad es gratuita. Pero cmo conciliar esta idea de una accin motivada por el placer y no obstante gratuita? Finalmente, todas las acciones no seran motivadas por placer? Interpretaremos la frase en el siguiente sentido: Las decisiones y las acciones en el transcurso del juego no estn fijadas ms que por el placer que el jugador experimenta cumplindolas, experimenta con sus efectos, pero la decisin de entregarse al juego mismo no tiende a ningn fin. Volveremos ms adelante sobre esta nocin de gratuidad. Acompaando este primer sentido, encontramos otros cuatro: ii) El juego es la organizacin de esta actividad bajo un sistema de reglas que definen un xito y un fracaso, una ganancia y una prdida. (Lalande) [Definicin 2]. Es el game. iii) Es tambin, y nosotros utilizaremos a menudo la palabra en este sentido, lo que sirve para jugar, los instrumentos del juego, y eventualmente uno de los estados del juego determinado por un montaje particular de los instrumentos del juego. [Definicin 3] iv) Es a veces 1a manera como se juega, el play. En los casos en que se trate de procedimientos, preferimos los trminos tctica o estrategia. [Definicin 4] v) Finalmente es el conjunto de posiciones entre las cuales el jugador puede elegir en un estado dado del juego (en el sentido 2 y por extensin, en mecnica por ejemplo, el conjunto de las posiciones posibles y en consecuencia los movimientos de un sistema, de un rgano, de un mecanismo que adems est obligado a respetar ciertas exigencias. [Definicin 5]

Las relaciones entre los diferentes sentidos aparecen en la figura [1]. Recordemos que formalmente, un juego con k personas (por ejemplo), es la estructura definida por el dato de: 1. Un conjunto X de posiciones distintas entre las cuales se pueden encontrar los objetos y las relaciones pertinentes. 2. Una aplicacin de X P (X) que, a todo estado x X hace corresponder el conjunto (x)de las posiciones permitidas entre las cuales el jugador a quien le toca jugar puede elegir a partir del estado x. representa, por consiguiente, las reglas. 3. Un estado inicial I y uno o unos estados terminales F (tales que 1 (I) = y (F) = ). 4. Un conjunto J de k jugadores y una aplicacin de J x X en J que, a cada estado x de juego, designa al sucesor de la tirada (j, x) del jugador j. 5. Una funcin llamada ganadora, de apuesta o de preferencia y que es una aplicacin de A, parte de X que contiene a F, en R.

Esta definicin no es general y se pueden encontrar ejemplos de juegos que exigen una modelizacin diferente, sensiblemente ms compleja: por ejemplo, es conveniente para el ajedrez o para el juego de los caballitos, no para el juego de roles. Sin embargo, es suficiente para definir algunos trminos de didctica. Un partido es una serie finita de estados (x i) 1 i n de X 1 = I, x n F y i x i +1 (x i ).Los estados permitidos son las posiciones de X que pueden figurar en un partidos partido (en ajedrez, los estados no permitidos se denominan, a veces, hechizo). Una estrategia S es una aplicacin de X X que determina las elecciones de un jugador en todos los estados permitidos S(x) (X), puesto que hay k jugadores, k estrategias son suficientes para determinar un partido. Una tctica T A ser una aplicacin de una parte A de X en X y tal que xA, TA(x) ) (X). Una estrategia es entonces, una tctica definida sobre todo X Un estado de conocimiento de un jugador C ser caracterizado por una aplicacin de X en (X) tal que ((x) ( C (x) (x) ) ). Un conocimiento (no vaco) restringe estrictamente las elecciones de los jugadores. (Esta definicin se puede aproximar a la de informacin). Un conocimiento determinante reduce a un solo estado la eleccin del jugador en un cierto nmero de estados (respectivamente en todos los estados), y entonces caracteriza una tctica (respectivamente una estrategia). Una adquisicin de conocimientos, por ejemplo como efecto de una informacin recibida (o de un aprendizaje), es una modificacin del estado de conocimiento: un par (C,C') -en realidad C en el instante t, C en el instante t + t.. A menudo, segn la teora de la informacin, se considera que C'(X) C(x), es decir, que el conocimiento reduce la incertidumbre del sujeto suprimiendo las posibilidades de eleccin. Pero es necesario, para modelizar las modificaciones de los conocimientos del alumno, imaginar que l no visualiza al instante todas las posiciones permitidas (aunque lo sean por las reglas, objetivamente) y que una modificacin de su estado de conocimiento puede consistir no en reducir su incertidumbre sino por el contrario en aumentarla por la consideracin en el instante t + t de posibilidades nuevas abiertas a su eleccin. Esta consideracin aleja el uso estricto de la teora de la informacin. Modelo de accin (8): Llamaremos modelo de accin a toda estrategia o todo procedimiento de clculo que engendre una estrategia (o una tctica). Asimismo, podramos llamar representacin lo que, en un juego particular, va a engendrar los estados de conocimiento, lo que va a permitir preverlo. La primera ventaja de un modelo de este tipo es permitir en casos precisos, considerar a priori todas las series de respuestas y compararlas desde el punto de vista de su eficacia. Una estrategia ganadora proporciona contra toda defensa una parte de ganancia positiva, aunque podemos evaluar diversas caractersticas: su costo, por ejemplo, el nmero de jugadas que llevan al fin de un partido, la ganancia que ella produce...(8)

Utilic estas definiciones en varios casos y especialmente en el estudio de las estrategias de medicin con H. Ratsimba-Rajohn. Se encontrar en sus tesis una redaccin mucho ms detallada con varios ejemplos interesantes, as como en la tesis de A. Bessot e F. Richard.

Una estrategia no ganadora podr ser sin embargo mejor que otra desde el punto de vista de los riesgos de prdidas que acarrea, de las ganancias que permite esperar, etc. La teora de juegos permite entonces estudiar los dilemas que se presentan. La mayora de los ejercicios de aprendizaje fundamentales son concebidos contra un adversario que es la naturaleza. La construccin de modelos de accin permite ir ms lejos en el anlisis de comportamientos posibles del sujeto, como lo hacemos en numerosos ejemplos (cf. tesis H. Ratsimba-Rajohn). El estudio de la adecuacin de una situacin a un conocimiento apunta entonces a mostrar que la estrategia ptima puede ser engendrada por este conocimiento y no por otro. Recprocamente, se hace entonces posible formular hiptesis sobre las variables de la situacin, sobre su influencia sobre las estrategias y sobre los cambios de estrategias (cf. tesis de Bessot-Richard). El sentido de una decisin, de una eleccin del alumno, puede ser tambin modelizado con la ayuda de ciertas componentes, entre ellas: 1. El conjunto de elecciones visualizadas por el alumno y rechazadas por una eleccin retenida. 2. El conjunto de estrategias posibles visualizadas y excluidas, en particular la serie de elecciones o de estrategias de reemplazo visualizadas por el sujeto. 3. Las condiciones mismas del juego que parecen determinantes para la eleccin retenida, en particular el espacio de las situaciones engendradas por los valores de las variables pertinentes que reservan a la decisin un carcter de optimalidad, o de validez, o de pertinencia.

Principales nociones desarrolladas en el campo de la didctica

- La nocin fundamental es la de situacin; que puede ser modelada por un juego formal. La posibilidad de aislar, los momentos de accin, los momentos de formulacin, los momentos orientados hacia la validacin y sus instrumentos, los momentos de institucionalizacin, en el marco de situaciones especialmente construidas - como Quien dir veinte "13 por ejemplo-, ha sido una de las caractersticas principales de los trabajos llevados a cabo durante ms de treinta aos sobre contenidos matemticos diferentes. Mostraron a la vez el inters y el valor heurstico de esta teorizacin y pueden legitimar el xito del proyecto cientfico de Guy Brousseau. - La transposicin didctica es un concepto desarrollado inicialmente por Yves Chevallard para explicar las transformaciones que sufren los objetos matemticos cuando tienen que estar presentes en un sistema didctico. En el paradigma de la teora de las situaciones este concepto se hace operativo y se precisa a travs de la nocin de situacin fundamental de un conocimiento, que constituye un instrumento privilegiado de estudio de estos fenmenos transpositivos, precisando las condiciones de conservacin del sentido del saber y los conocimientos en el momento de su transposicin.

- El concepto de contrato didctico, central en el anlisis del funcionamiento del sistema didctico, ha sido retomado recientemente por el propio Guy Brousseau, en una perspectiva de modelizacin de diferentes tipos de contratos. Otros investigadores estudiaron, en una perspectiva diferencial, las condiciones didcticas susceptibles de explicar el por qu ciertos alumnos se revelan ms sensibles que otros a implcitos movilizados en el contrato, as como los lazos que estos fenmenos de sensibilidad al contrato didctico tienen con la problemtica tradicional de las desigualdades escolares (B. Sarrazy). - El concepto de obstculo, tomado del epistemlogo Gastn Bachelard, ha permitido realizar enfoques originales en el anlisis de los errores de los alumnos. Este concepto ha sido especialmente productivo en el anlisis de las dificultades del paso de los nmeros enteros a los nmeros decimales. - La distincin realizada entre conocimientos involucrados en la accin, producidos por la actividad del sujeto en sus relaciones con en medio y el saber identificado en las instituciones, ha permitido abrir un campo de estudio relativo al papel de la enumeracin en la construccin de los nmeros (J. Briand), y otro que concierne al tratamiento de las relaciones entre conocimientos espaciales y geometra euclidiana (R. Berthelot, M.-H. Salin). - El concepto de medio para la accin y su estructuracin permiten modelar las rupturas necesarias realizadas en los cambios de referencia del sujeto en un contexto didctico (distincin situacin de aprendizaje, situacin didctica). Este concepto, introducido desde los principios de la teorizacin de los hechos didcticos, ha sido retomado y abordado en profundidad por C. Margolinas, en particular para analizar la accin del profesor en las clases ordinarias. - La memoria didctica ha sido un concepto esencial que ha permitido tomar en cuenta e identificar fenmenos vinculados al tiempo didctico, la progresin de este ltimo, la conversin de los conocimientos en saber por la accin de la institucionalizacin del profesor (J. Centeno). - El lugar y el rle de la institucionalizacin, que consiste en fijar a partir de los conocimientos elaborados en las situaciones adidcticas, los elementos que van a participar en la construccin y el reconocimiento explcito del saber y a asegurar as la coherencia entre los aprendizajes y los objetivos de enseanza fijados por la institucin. (A. Rouchier). - La nocin de agrupamiento/surtido didctico es ms reciente. Permite estudiar la estructuracin de los conjuntos de actividades y de ejercicios reunidos con una intencin de enseanza. (F.Genestoux).

CONCEPTOS BSICOS DE LA TEORA DE SITUACIONES DIDCTICAS Mabel Panizza1. INTRODUCCIN En virtud de la presencia de la Teora de Situaciones Didcticas de Guy Brousseau en los diferentes artculos del libro, y para facilitar su lectura, he considerado conveniente presentar una sntesis organizada de conceptos y trminos bsicos de esta teora1. No pretendo ni sera posible- abarcar la complejidad de la misma ni en amplitud ni en profundidad. El criterio adoptado ha sido el de presentar los conceptos y trminos a los que se hace referencia en el libro2. Asimismo, analizo algunas cuestiones que han mostrado en la evolucin de la teora o en la experiencia con docentes, necesidad de profundizacin o aclaracin. Se trata de una teora compleja, que requiere -como todo dominio de conocimiento-, muchos aos de dedicacin para ser bien comprendida. Con la lectura de este captulo, el lector acceder a un primer nivel de significacin de los trminos y conceptos, y a una gua de aspectos sobre los cuales deber estar especialmente atento a fin de evitar interpretaciones errneas. Los1 Otras

teoras e investigaciones sobre el aprendizaje y la enseanza de la matemtica han sido incluidas como referencias especficas en cada artculo 2 El lector interesado puede consultar Brousseau (1986), donde encontrar la teora tratada en profundidad

2 anlisis y propuestas de los distintos artculos, as como las observaciones provenientes de las puestas ulicas que el lector juzgue conveniente realizar a partir de los mismos, constituirn sin duda una base para sucesivas resignificaciones de los conceptos de la teora aqu presentados. 2. LA DIDCTICA DE LA MATEMTICA DE LA ESCUELA FRANCESA. La denominada escuela francesa de Didctica de la Matemtica naci en los aos setenta, de las preocupaciones de un grupo de investigadores -en su mayora matemticos de habla francesa-, por descubrir e interpretar los

fenmenos y procesos ligados a la adquisicin y a la transmisin del conocimiento matemtico. En esta escuela se destacan dos convicciones epistemolgicas. Por un lado, la de que la identificacin e interpretacin de fenmenos y procesos objeto de inters supone el desarrollo de un cuerpo terico, y no puede reducirse a observaciones realizadas a partir de experiencias aisladas ni a cuestiones de opinin; por otro lado, la conviccin de que ese cuerpo terico debe ser especifico del saber matemtico, y no puede provenir de la simple aplicacin de una teora ya desarrollada en otros dominios (como la psicologa o la pedagoga). 3. LA TEORA DE SITUACIONES DIDCTICAS Dentro de esta disciplina (la Didctica de la Matemtica de la escuela francesa), Guy Brousseau desarrolla la Teora de Situaciones. Se trata de una teora de la enseanza, que busca las condiciones para una gnesis artificial de los conocimientos matemticos, bajo la hiptesis de que los mismos no se contruyen de manera espontnea. 3 Guy Brousseau (1999) afirma, y nosotros pensamos con l que:(...) La descripcin sistemtica de las situaciones didcticas es un medio ms directo para discutir con los maestros acerca de lo que hacen o podran hacer, y para considerar cmo stos podran tomar en cuenta los resultados de las investigaciones en otros campos. La teora de las situaciones aparece entonces como un medio privilegiado, no solamente para comprender lo que hacen los profesores y los alumnos, sino tambin para producir problemas o ejercicios adaptados a los saberes y a los alumnos y para producir finalmente un medio de comunicacin entre los investigadores y con los profesores.

La Teora de Situaciones est sustentada en una concepcin constructivista -en el sentido piagetiano- del aprendizaje, concepcin que es caracterizada por Brousseau (1986) de esta manera:El alumno aprende adaptndose a un medio que es factor de contradicciones, de dificultades, de desequilibrios, un poco como lo hace la sociedad humana. Este saber, fruto de la adaptacin del alumno, se manifiesta por respuestas nuevas que son la prueba del aprendizaje.

pologa de situaciones La teora distingue tres tipos de situaciones didcticas: son las situaciones de accin, de formulacin y de validacin : _ situaciones de accin : el alumno debe actuar sobre un medio (material, o simblico); la situacin requiere solamente la puesta en acto de conocimientos implcitos. situaciones de formulacin: un alumno (o grupo de alumnos) emisor debe formular explcitamente un mensaje destinado a otro alumno (o grupo de alumnos) receptor que debe comprender el mensaje y actuar (sobre un medio, material o simblico) en base al conocimiento contenido en el mensaje. 11 situaciones de validacin : dos alumnos (o grupos de alumnos) deben enunciar aserciones y ponerse de acuerdo sobre la verdad o falsedad de las mismas. Las afirmaciones propuestas por cada grupo son sometidas a la consideracin del otro grupo, que debe tener la capacidad de sancionarlas, es decir ser capaz de aceptarlas, rechazarlas, pedir pruebas, oponer otras aserciones5. Una cuestin a retener al iniciarse en la comprensin de esta tipologa es el criterio por el cual se identifica una situacin particular como de uno u otro tipo. Para ello, hay que tener presente que una situacin es de accin cuando lo que requiere de los alumnos es que pongan en juego medios de accin; lo que es propio de las situaciones de formulacin es el carcter de necesidad que posee la formulacin de un mensaje; las situaciones de validacin requieren necesariamente no slo la formulacin sino tambin la validacin de juicios por parte de los alumnos. Naturalmente, durante el desarrollo de una situacin de accin, los chicos tambin hablan! Pueden incluso llegar a formular lo que hay que hacer para resolver el problema. Pero no es en las participaciones espontneas de los alumnos donde se debe buscar identificar el tipo de situacin de la que se trata. La situacin no es de formulacin por el hecho de que los alumnos formulen: la

situacin es una construccin terica que demanda un tipo particular de funcionamiento que la caracteriza. Entonces, si la situacin demanda que los alumnos acten, se trata de una situacin de accin, aunque los alumnos intercambien informaciones en el momento de resolver el problema. Esta diferencia es precisada por Brousseau (1986) al analizar los distintos tipos de situaciones a-didcticas desde el punto de vista de las interacciones con el medio:(...) Si el intercambio de informacin no es necesario para obtener la decisin, si los alumnos comparten las mismas informaciones sobre el medio, la componente accin es preponderante.

Un anlisis similar puede realizarse en relacin a la emisin de juicios por parte de los alumnos en situaciones de accin o de formulacin, en la medida en que los juicios no son requeridos por esos tipos de situaciones, sino solamente por las situaciones de validacin. Brousseau (ibidem) afirma:(...) Ciertamente la mayora de las informaciones estn implcitamente acompaadas por una afirmacin de validez. Pero en la medida en que el emisor no indique explcitamente esta validez, si l no espera ser contradicho o llamado a verificar su informacin, si el contexto no da una cierta importancia a la cuestin de saber si la informacin es verdadera, cmo y por qu o si esta validez es susceptible de ser establecida sin dificultad, entonces el mensaje ser clasificado como simplemente informativo. (...)

Otra cuestin importante a retener para evitar uno de los malentendidos habituales en la interpretacin de la teora se refiere a la validacin. A menudo se interpreta que la existencia de una instancia de validacin es especfica de las situaciones a-didcticas de validacin. Esto no es as: como hemos visto6, la posibilidad de que la situacin sancione las decisiones que toma el alumno es intrnseca a la nocin de a-didctico y est ligada a la importancia de que el alumno acceda a una informacin que le permita juzgar por s mismo la adecuacin o inadecuacin de su respuesta. En las situaciones de accin se validan acciones; en las situaciones de formulacin se validan mensajes; en las situaciones de validacin se validan afirmaciones. Otro malentendido fundamental es la creencia de que para cada saber al que apunte la enseanza hay que pasar necesariamente primero por una situacin de accin, luego por una situacin de formulacin y luego por una situacin de

validacin. Aunque esto pueda ser apropiado en algunos casos7 no se trata de una regla general. Por un lado, si bien una situacin de validacin supone la formulacin de una asercin, y la formulacin de una asercin supone una accin interiorizada, eso no significa que haya que pasar anteriormente por fases a-didcticas de accin y de formulacin. Por otro lado, habr conocimientos que ser oportuno que funcionen implcitamente y cuya formulacin explcita ser apropiada mucho despus, en ocasiones hasta aos despus (como puede ser el caso de las propiedades de las operaciones que hemos discutido en el captulo I), o bien conocimientos que sea oportuno formular pero cuya validacin explcita no sea apropiada para estos niveles de escolaridad. Institucionalizacin El ltimo concepto que presentamos aqu es el de institucionalizacin , definido as por Brousseau (1994)La consideracin oficial del objeto de enseanza por parte del alumno, y del aprendizaje del alumno por parte del maestro, es un fenmeno social muy importante y una fase esencial del proceso didctico: este doble reconocimiento constituye el objeto de la institucionalizacin.

La institucionalizacin es de alguna manera complementaria a la devolucin. Brousseau (1986) reconoce en estos dos procesos los roles principales del maestro, y afirma:(...) En la devolucin el maestro pone al alumno en situacin a-didctica o pseudo adidctica. En la institucionalizacin, define las relaciones que pueden tener los comportamientos o las producciones libres del alumno con el saber cultural o cientfico y con el proyecto didctico: da una lectura de estas actividades y les da un status. (...)

Esta descripcin pone a la luz uno de los aspectos tericos y prcticos ms delicados de la articulacin entre ambos procesos: los comportamientos o las producciones libres del alumno durante las fases a- didcticas de aprendizaje son constitutivos del sentido de los conocimientos8 que los alumnos construyen; definir las relaciones entre esos comportamientos o producciones y el saber cultural o cientfico significa que la institucionalizacin supone preservar el sentido de los conocimientos construdos por los alumnos en las fases a- didacticas de aprendizaje.