1/ת חדו״א

בנימיני י. פרופ׳

תשע״א חורף

הזמן. במשך אותה ולשפר להרחיב היא והכונה הקורס״, ״ספר של טיוטא זוהיטעויות ואפילו אי־בהירויות דפוס, שגיאות רבות, שגיאות ברשימות שיש ספק איןסוג. מכל ותיקונים הערות אלי שיעביר מי לכל מראש נתונה תודתי מתמטיות.

להגיע אמורים אנו שבו המשוער הזמן הדף בשולי מסומן מסויימים במקומותמהם. סטיות ותיתכנה משוערים זמנים רק אלה מקום. לאותו

מתאימה הערה עם קטנות באותיות מופיע בבחינה) נכלל (ושלא נדלג שעליו חומרהדף. בשולי

הרשימות. של ובעריכה בהדפסה שעזר מרמור לעופר מודה אני

עניינים תוכן

3 מבוא 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הקדמה 1.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הקורס: מטרות 1.2

5 יסוד מושגי 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . יסוד ומושגי סימונים 2.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . והוכחה משפט הגדרה, 2.28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . פונקציות 2.3

14 פונקציות של גבולות 314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . פונקציה של גבול 3.118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . גבולות של אריתמטיקה 3.1.120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הנושא על וריאציות 3.1.222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . גבולות של סדר תכונות 3.1.323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . חסומות ופונקציות קבוצות 3.2

27 סדרות של גבולות 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ממשיים מספרים של סדרות 4.127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . סדרות של גבולות 4.1.133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . תת־סדרות 4.1.235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קושי סדרות 4.1.336 . . . . . . . . . . . . סדרות של לגבול פונקציות של גבול בין הקשר 4.2

37 רציפות פונקציות 537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . יסודיות ותכונות הגדרה 5.139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . אי־רציפות נקודות מיון 5.240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . סגור בקטע רציפות פונקציות 5.3

43 דיפרנציאלי חשבון 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . נגזרות 6.143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . בסיסיות ותכונות הגדרות 6.1.146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מורכבת פונקציה של גזירה 6.1.247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . ההפוכה הפונקציה של הנגזרת 6.1.348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . גבוה מסדר נגזרות 6.1.4

1

49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . גזירות פונקציות של תכונות 6.249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מקומי קיצון נקודות 6.2.150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . לגרנז׳ ומשפט רול משפט 6.2.253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קיצון לנקודת מספיק תנאי 6.2.354 . . . . . . . . . . . . . ואי־שוויונים מינימום־מקסימום בעיות 6.2.456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . לופיטל כלל 6.356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . לופיטל כלל 6.3.159 . . . . . . . . . . . פונקציות של התכנסות וקצב גודל סדרי 6.3.259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קמירות 6.459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קמורות פונקציות 6.4.161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . גרפים שרטוט 6.4.263 . . . . . . . . . . . . . קמירות באמצעות אי־שוויונים הוכחת 6.4.365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . טיילור משפט 6.565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . לינארי קירוב 6.5.166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . טיילור נוסחת 6.5.270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ניוטון־רפסון שיטת 6.6

73 אינטגרלי חשבון 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מסוים הלא האינטגרל 7.178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . המסוים האינטגרל 7.282 . . . . . הקדומה. לפונקציה המסויים האינטגרל בין הקשר 7.2.184 . . . . . . . . . . . . . . . . . המסוים האינטגרל של שימושים 7.2.287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . המסוים האינטגרל חישוב 7.2.388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מקורבים חישובים 7.2.490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מוכללים אינטגרלים 7.392 . . . . . . . . אי־שליליות. פונקציות של מוכללים אינטגרלים 7.3.194 . . . . . . . . . . . . . ובתנאי בהחלט מתכנסים אינטגרלים 7.3.2

96 מספרים לטורי מבוא 896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . כלליים מושגים 8.197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . חיוביים אברים עם טורים 8.2

2

1 פרק

מבוא

הקדמה 1.1

וכאן ה״נגזרת״ הינו זה בקורס נעסוק בהם והמרכזיים הבסיסיים המושגים אחדאינטואיטיבי. באופן ובשימושיה הנגזרת במושג לקורס, כמוטיבציה נדון,

ו־ (a1, b1) נקודות שתי דרך העובר במישור ישר של השיפוע כי תחילה נזכירששיפועו (a, b) הנקודה דרך העובר הישר משוואת (לשרטט!). b2−b1

a2−a1הוא (a2, b2)

.y = m(x− a) + b היא m הואשקול, באופן (או, lim

t→a

f(t)−f(a)t−a הגבול היא a בנקודה f הפונקציה של הנגזרת

היא a בנקודה הנגזרת אינטואיטיבי, גיאומטרי באופן .( limh→0

f(a+h)−f(a)h הגבול

להבין אחרת דרך הנקודה. באותה הפונקציה של לגרף המשיק של השיפועa בנקודה מערכה f של הערך של כשינוי היא a בנקודה f של הנגזרת את

.(a בנקודה f של השינוי״ ״קצב כעל עליה (ונסתכל x של ליחידה

(או הטבע חוקי הכמותיים. המדע ענפי בכל טבעי באופן מופיעות נגזרותמסויימים גדלים שעוברים בשינויים מטפלים אחר) כמותי ענף כל או הכלכלה,כלכלה מפיסיקה, כאלה, בסיסיות דוגמאות שלוש הנה שלהם. השינוי ובקצב ־

כזה. טבעי באופן מופיעה הנגזרת שבהן ומתמטיקה

רגעית מהירותקבועה. איננה מהירותו כאשר הממשי, המספרים ציר על ישר בקו נע חלקיקנמצא החלקיק אם חיובי S(t)) .t בזמן החלקיק של המיקום את S(t)ב־ נסמןהוא S(t) − S(a) ההפרש ממנה). שמאלה הוא אם ושלילי מהראשית, ימינה.t לזמן a זמן בין החלקיק שעבר המתאים) הסימן עם המרחק, (כלומר ההעתקנקח אם זה. זמן בפרק החלקיק של הממוצעת המהירות היא S(t)−S(a)

t−a המנהקרובה תהיה הממוצעת המהירות ,(a ל־ ״קרוב״ t (כלומר, מאוד קצר זמן פרקככל יותר טובה תהיה הקירוב ומידת עצמו, a בזמן החלקיק נע בה למהירות,S(t) הפונקציה של הנגזרת כי מקבלים אנו מתמטי באופן .a ל־ מתקרב t ש־.a בזמן החלקיק של הרגעית״ ה״מהירות את מתאר ,lim

t→a

S(t)−S(a)t−a הגבול כלומר

זמן יחידות ,S להעתק אורך יחידות ״יחידות״. יש הגדלים לכל כי לב נשיםזמןאורך. שהן ביחידות נמדדת והמהירות ,t ל־

3

שולית עלותנניח לדוגמא, ״נגזרת״. במונח במקום ״שולי״ במונח להשתמש נהוג בכלכלהההפרש מסויים. מוצר של יחידות x של הייצור עלות את מתארת f(x) ש־רמת את מעלים כאשר הנוספות, היחידות h ייצור של העלות הוא f(a+h)−f(a)ייצור של הממוצעת העלות את מתארת f(a+h)−f(a)

h המנה .a+h ל־ a מ־ הייצור

limh→0

f(a+h)−f(a)h הגבול .a + h ל־ a מ־ הייצור רמת את כשמעלים אחת יחידה

של ייצור ברמת כשנמצאים מוצר, יחידת של העלות כלומר השולית״, ה״עלות הואיחידות. a

פונקציה חקירת

השיפוע את מתארת a בנקודה f הפונקציה של הנגזרת גיאומטרית מבחינהחיובית הנגזרת שכאשר אומרת האינטואיציה .a בנקודה f של לגרף המשיק שלבנקודות יורדת. הפונקציה שלילית וכשהיא בו, עולה הפונקציה מסויים בקטעלציר מקביל להיות צריך המשיק מקסימום או מינימום מקבלת הפונקציה שבהןפונקציה, של וירידה עלייה תחומי זיהוי לאפס. שווה שם הנגזרת כלומר x־ים, ה־מעשי, או מתמטי בהקשר ־ פונקציה של ומינימום המקסימום נקודות מציאת אול״מיצוי מגיעים מתי לתכנן לדעת למשל, חשוב, ביותר: חשובים כמובן הינם,חלק. לקחת רוצים אנחנו שבו כלכלי בתהליך הרווח פוטנציאל של מכסימלי״

הקורס: מטרות 1.2

נוספים נושאים כמה ושל אינטגרלים של נגזרות, של המתמטית התורה את לפתחאת האחרים) המתמטיים היסוד בקורסי שתלמדו החומר עם (ביחד המהוויםושבה והטכנולוגיה, המדע ענפי של ולפיתוח להבנה הדרושה המתמטית התשתית

לימודיכם. בהמשך תשתמשומושג הוא זה בקורס שנלמד הנושאים כל מתבססים שעליו הבסיסי המושגשלו. מעמיקה ולהבנה לפיתוחו הקורס בתחילת רב זמן נשקיע ואנחנו הגבול,הנושאים בשאר גם אותנו שישמשו וטכניקות מחשבה דרכי שפה, נפתח כך לשם

שנלמד.המתמטית החשיבה דרך המתמטית, השפה לימוד היא אחרת חשובה מטרהאחר או זה מפרט פחות לא חשובים אלה כל מתמטי. חומר של ההצגה ודרךהרעיון הבנת בין נשלב ובדר״כ מדוייקים ניסוחים על נקפיד לכן הנלמד. בחומר

מדוייקים. והוכחות הגדרות לבין והאינטואיציה

4

2 פרק

יסוד מושגי

יסוד ומושגי סימונים 2.1

מספרים קבוצות

ע״י קבוצה מסמנים אנו ממשיים. מספרים של בקבוצות רק נעסוק זה בקורס,{0,−3, 10} למשל הקבוצה, איברי מיהם מפורש באופן לכתוב ניתן לפעמים .{ }הקבוצה למשל, אותם. המאפיינת תכונה ציון ע״י אבריה את נציין בד״כ אךנסמן A לקבוצה שייך a אם החיוביים. המספרים כל קבוצת הינה {x : x > 0}

.(a 6∈ A ב־ זאת נסמן A ל־ שייך איננו (ואם a ∈ A ע״י זאת

קרובות: לעתים נפגוש שבהן מספרים של לקבוצות הבאים בסימונים נשתמש

הממשיים. המספרים כל קבוצת ־ R.{x : a < x < b} כלומר הקצוות), (ללא פתוח קטע ־ (a, b).{x : a ≤ x ≤ b} כלומר הקצוות), (עם סגור קטע ־ [a, b]

.(a, b] = {x : a < x ≤ b} למשל פתוח), חצי (או סגור חצי קטע ־ [a, b) או (a, b].(a,∞) = {x : a < x < ∞} למשל פתוחה, קרן ־ (−∞, a) או (a,∞).[a,∞) = {x : a ≤ x < ∞} למשל סגורה, קרן ־ (−∞, a] או [a,∞)

.{1, 2, 3...} כלומר הטבעיים, המספרים קבוצת ־ N.{...,−2,−1, 0, 1, 2, ...} כלומר השלמים, המספרים קבוצת ־ Z

.{ab : a, b ∈ Z , b 6= 0} כלומר הרציונליים, המספרים קבוצת ־ Q

שבו כשבר להציגם אפשר שאי כאלה כלומר אי־רציונליים, מספרים גם ישרציונליים. אינם e ו־ π כי להוכיח אפשר שלמים. והמכנה המונה

אי־רציונלי. מספר הוא√

2 טענה.

הוכחה.שלמים. a, b כאשר

√2 = a

b כשבר אותו ונרשום רציונלי√

2 כי בשלילה נניחתתקבל והסתירה ־ מצומצם השבר כי להניח גם נוכל והמכנה, המונה צמצום ע״י

5

מספרים הם המכנה וגם המונה גם מצומצם: אינו השבר שבהכרח שנראה מכךזוגיים!

הוא 2b2 ש־ ומכיוון .a2 = 2b2 כי נותנים בריבוע והעלאה אגפים העברתהוא אי־זוגי מספר של הריבוע אך זוגי. מספר הוא a2 שגם נובע זוגי, מספרc כאשר ,a = 2c בצורה אותו נציג זוגי. הוא עצמו a גם ולכן (הוכיחו!) אי־זוגי

שלם. מספרמאותם אז, אולם .2c2 = b2 כי מתקבל ב־2 האגפים שני וחילוק הצבה לאחרהם b והן a הן אם אך זוגי. מספר הוא b שגם נובע קודם שהצגנו השיקוליםכן שהטענה היא המסקנה לסתירה. והגענו ־ מצומצם אינו a

b שהשבר הרי זוגייםאי־רציונלי.

√2 ו־ נכונה

שני כל בין כלומר ,R ב־ ״צפופים״ הם האי־רציונלים והן הרציונלים המספרים הן משפט.אי־רציונליים. וגם רציונליים מספרים גם יש ממשיים מספרים

נקבע רציונלי. מספר קיים ממשיים מספרים שני כל שבין תחילה נראה הוכחה.חיובי מספר הוא b − a המספר אז .b > a כלשהם שונים ממשיים מספרים שניכלומר ,nb− na > 1 כי נקבל במכנה הכפלה ע״י .n > 1

b−a ש־ כך טבעי n ונבחר.na < m < nb המקיים m שלם מספר קיים ולכן ,1 מ־ גדול na ו־ nb בין המרחקמצאנו כלומר, ,a < m

n < b כי נקבל n ב־ אי־השוויון אגפי כל את כעת כשנחלקכמבוקש. b ל־ a בין m

n רציונלי מספרנמצא רציונלי: מספר של מהמקרה נובעת אי־רציונלי מספר עבור ההוכחה

אינו m√

2n אך .a < m

√2

n < b ואז a√2

< mn < b√

2ש־ כך m

n רציונלי מספר√

2 ש־ כלומר ,√

2 = nklm ש־ מקבלים היינו m

√2

n = kl היה אילו כי רציונלי,

רציונלי! אינו שהוא יודעים כבר אנחנו אך ־ רציונלי

מוחלט: ערך

.|x| ={

x x ≥ 0−x x ≤ 0

ע״י מוגדר x מספר של המוחלט הערך

יותר כללי באופן .0 מ־ x של המרחק היא |x| של הגיאומטרית המשמעותכן, אם הוא, |x − a| < δ השוויון אי פירוש .a ל־ x בין המרחק הוא |x − a|

.x ∈ (a− δ, a + δ) כלומר, ,δ מ־ קטן a מ־ x של שהמרחקהמשולש״: ״אי־שוויון את מקיים המוחלט הערך

.x, y לכל |x + y| ≤ |x|+ |y| (i) טענה.

.x, y לכל |x− y| ≥∣∣|x| − |y|

∣∣ (ii)

הפוכים הסימנים אם שוויון. יש אז סימן אותו יש y ול־ x ל־ אם (i) הוכחה.אין. ובימין צמצום יש שמאל באגף אז

y ושל x של הסימנים עפ״י במקרים הבחנה ע״י מתקבלת פשוטה הוכחה (ii).(i) ב־ כמו

6

(i) עפ״י :(i) מ־ זה שוויון אי להסיק גם אפשר

|x| = |(x− y) + y| ≤ |x− y|+ |y|.|y|− |x| ≤ |x− y| גם דומה באופן .|x|− |y| ≤ |x− y| כי נקבל אגפים וכשנעביר

שוויונים: איהבסיסיים: הכללים את רק נזכיר כאן שוויונים. באי הרבה בקורס נשתמש

מתהפך. השוויון אי כיוון אז λ < 0 אם .λa < λb גם אז λ > 0 ו־ a < b אם (i)

.a1 + a2 ≤ b1 + b2 אז a2 ≤ b2 ו־ a1 ≤ b1 אם (ii)

דוגמא.

?b2 − b1 על לאמר נוכל מה a2 ≤ b2 ≤ c2 ו־ a1 ≤ b1 ≤ c1 אםלאי אותו וכשנחבר ,−c2 ≤ −b2 ≤ −a2 כ־ נציג השני השוויון אי את התשובה:

.a1 − c2 ≤ b1 − b2 ≤ c1 − a2 כי נקבל הראשון השוויון

סכומים:

.a1 + . . . + an הסכום לסימוןn∑

i=1

ai ב־ נשתמש

ניתן d והפרש a ראשון אבר עם סופית אריתמטית סדרה של הסכום לדוגמא,

.n∑

i=0

(a + di) = (2a + nd)n+12 ע״י

q 6= 1 ומנה a ראשון אבר עם סופית גיאמטרית סדרה של סכום דומה באופן

.n∑

i=0

aqi = a qn+1−1q−1 ע״י ניתן

והוכחה משפט הגדרה, 2.2

משפט הגדרה, מהם היטב להבהיר וחשוב מדוייקת מאוד היא המתמטית השפההמתמטיים. הקורסים בכל הרבה נשתמש שבהם מושגים והוכחה,

מלעיל חסם רציונלי, מספר (למשל, מתמטי לעצם שם נתינת היא הגדרה הגדרה.השם נתינת וכו׳). מלעיל חסומה קבוצה (למשל, מתמטית לתכונה או וכו׳)לעצם להתייחס רוצים כאשר וקצר יעיל פשוט, לשוני ניסוח בהמשך מאפשרת

המוגדרים. התכונה או

תכונות או מושגים עצמים, בין קשר על המצביעה אמירה הוא משפט משפט.מתמטיים.

מסקנה נובעת אלה הנחות שמתוך הטענה באה ואח״כ בהנחות, מתחיל משפטמסויימת.

.3 מ־ שונה 4 ב־ בחלוקה n2 של השארית n טבעי מספר לכל לדוגמא:

על היא והמסקנה שלם, ריבוע שהוא טבעי במספר שדנים היא ההנחה כאןכזה. מספר על מסויימת אריתמטית פעולה של התוצאה צורת

התפקידים. בין להחליף ואין הנטענת למסקנה ההנחות בין להבחין כמובן חשובהמשפט של המסקנה היא ההנחה שבו משפט הוא נתון למשפט ההפוך״ ״המשפט

7

הוא נכון למשפט ההפוך המשפט הנכון. המשפט של ההנחה היא והמסקנה הנתוןשונה שארית המשאיר מספר שכל נכון זה אין לעיל בדוגמא למשל, נכון. לא בד״כ

שלם. ריבוע הוא 3 מ־כאשר כלומר, ביחד, נכונים לא או נכונים לו ההפוך המשפט וגם משפט כאשרל־ שקול ״(א) בצורה בד״כ יהיה הניסוח למסקנה, לוגית שקולות המשפט הנחות״אםם״ המקובל בקיצור לפעמים נשתמש (בכתיבה (ב)״. אם ורק אם ״(א) או (ב)״,

אם״). ורק ל״אםעזר״). ״טענת שפירושה לועזית (מילה ״למה״ או ״טענה״ במינוח גם נשתמשפחות משפטים יהיו אלה בדר״כ אך משפטים, כמו בדיוק הם עניינית מבחינה

מרכזיים.

אחד בצעד למסקנה, המשפט מהנחות מעבר ע״י נעשית משפט של הוכחה הוכחה.ממסקנות או מהן, מחלק (או מההנחות יוצאים צעד כשבכל צעדים, בכמה אוומגיעים ידועות) מתמטיות מתכונות או קודמים, בצעדים מהן שהוסקו בינייםאלה לוגיות הסקות בשורת אחרון הצעד ביניים. למסקנת לוגית הסקה בעזרת

המשפט. בניסוח הנטענת המסקנה יהיה

מקרים: בשני נבחין למעלה. שניסחנו המשפט את נוכיח לדוגמא,

.k טבעי מספר איזשהו עבור n = 2k להציג נוכל זה במקרה זוגי. n א׳. מקרה

ולכן 4 ב־ מתחלק n2 כלומר, ,n2 = 4k2 כי ונקבל האגפים שני את בריבוע נעלה.0 היא השארית

טבעי מספר איזשהו עבור n = 2k +1 להציג נוכל זה במקרה איזוגי. n ב׳. מקרה

ל־ הנוסחה (עפ״י n2 = 4k2 + 4k + 1 כי ונקבל האגפים שני את בריבוע נעלה .k.1 היא השארית ולכן 4 ב־ מתחלקים הראשונים המחוברים שני .((a + b)2

מכסים האלה המקרים ששני הרי איזוגי או זוגי או הוא טבעי מספר וכל היותמ.ש.ל. .3 איננה השארית ובשניהם ־ האפשרויות כל את

ההנחות שבהם המקרים לכל אותו להוכיח יש נכון הוא שמשפט להראות כדיכלומר, אחת, נגדית״ ״דוגמא להביא די נכון שאיננו להראות כדי מתקיימות.מתקיימת. איננה המסקנה אך ־ מתקיימות המשפט הנחות שבו אחד מקרה

נכונה איננה הטענה כי מניחים אנו זו בשיטה השלילה״: ״בדרך הוכחהבמהלך מהנתונים שהסקנו המסקנות לאחת או הנתונים לאחד לסתירה ומגיעיםהנחת כי היא המסקנה לסתירה, משהגענו ידועה. מתמטית לעובדה או ההוכחה,

נכונה. אכן היא עצמה הטענה ולכן ־ נכונה להיות יכולה לא השלילה

פונקציות 2.3

המתאימה התאמה היא B ל־ A מ־ f פונקציה אז B ו־ A קבוצות שתי בהנתן.B ב־ יחיד איבר A ב־ איבר לכל

תחום נקרא A לקבוצה .f : A → B ע״י B ל־ A מ־ f פונקציה נסמןהפונקציה (לפעמים שלה. הטווח נקרא B ול־ ,f של התחום) פשוט (או ההגדרהחלקי בתחום בערכיה רק מעוניינים אנחנו אך ,A1 בתחום טבעי באופן מוגדרתהפונקציה למשל, במפורש. זאת ונציין f של כתחום A ל־ נתייחס כזה במקרה .Af את להגביל נצטרך

√f(x) על לדבר נרצה אם אך x לכל מוגדרת f(x) = x3

.(A = {x : x ≥ 0} החלקי לתחום

8

x ∈ A לאיבר מתאימה f שהפונקציה לציין כדי f(x) = y בסימון נשתמשx והנקודה ,x הנקודה של התמונה היא y שהנקודה נאמר .y ∈ B האיבר את

.y של המקור נקראת

דוגמאות.

או f(x) = 3x + 4 כמו פשוטה, מפורשת נוסחה ע״י להנתן יכולה פונקציה (i)האי־זוגיות לכפולות פרט הממשי הישר כל הוא הגדרתה (שתחום h(x) = tan x

.(π2 של

פונקצית למשל מילולי, ״הסבר״ ע״י גם מוגדרת להיות יכולה פונקציה (ii)הגדול השלם המספר את x מספר לכל מתאימה G(x) = [x] השלם״ ״הערך

.[−2.5] = −3 או [π] = 3 למשל .x על עולה שאינו ביותרכל של השלם הערך n שלם מספר לכל נוסחה: ע״י גם זאת לתאר אפשר

.n הוא [n, n + 1) בקטע x הנקודות

שונות נוסחאות ע״י המוגדרת לפונקציה דוגמא היא (ii) ב־ הפונקציה (iii)אחרות: דוגמאות שונים. בקטעים

|x| ={

x x ≥ 0−x x < 0

; F (x) =

{x4 x ≥ 0sin x x < 0

הבאים: במונחים שוטף באופן נשתמש

של כערך מתקבלת y ∈ B נקודה כל בהכרח לא אז f : A → B כשנתונה תמונה:רק מקבלת f(x) = x2 ע״י המוגדרת f : R→ R הפונקציה לדוגמא, .f הפונקציה

שליליים. אי ערכיםהאברים את רק המכילה B הטווח של הקבוצה תת היא f של התמונה

הקבוצה זוהי כלומר ,A ב־ לאיברים בפועל שהותאמו

{f(x) : x ∈ A

}=

{y ∈ B : x ∈ A לאיזשהו y = f(x)

}

.B הטווח כל היא f של התמונה אם על היא f : A → B שפונקציה נאמר על:.f(x) = y ש־ כך x ∈ A קיים y ∈ B לכל אם כלומר,

.y = f(x) ש־ כך במישור (x, y) הנקודות קבוצת הוא f הפונקציה של הגרף גרף:

אם חח״ע) (ובקיצור חד־חד־ערכית היא f : A → B ש־ נאמר חד־חד־ערכית:או, .f(x) = y ש־ כך (x של המקור לו (שנקרא יחיד x יש בתמונה y איבר לכל

.f(x1) 6= f(x2) שגם מתקיים A ב־ x1 6= x2 לכל אם אחרות, במילים

ש־ מתקיים A ב־ x1 > x2 לכל אם עולה היא f שפונקציה נאמר מונוטוניות:ש־ מתקיים x1 > x2 לכל אם ממש עולה f שהפונקציה נאמר .f(x1) ≥ f(x1)ממש. יורדת ופונקציה יורדת פונקציה מגדירים דומה באופן .f(x1) > f(x2)כל האלה. מהתנאים תנאי איזשהו מקיימת היא אם מונוטונית f ש־ נאמר

חח״ע. כמובן היא, ממש מונוטונית פונקציה

האלמנטריות. הפונקציות

9

.f(x) = a0+a1x+. . .+anxn =∑n

j=0 ajxj מהצורה פונקציה הוא פולינום (a)

תחום .deg(f) = n ונסמן n דרגה) (או ממעלה הוא שהפולינום נאמר an 6= 0 אםבהתאמה, מקבלים, n = 0, 1, 2 כאשר .R הישר כל הוא פולינום של ההגדרהכל היא פולינום של התמונה ריבועיות. ופונקציות לינאריות פונקציות קבועים,

זוגי). n (כאשר ישר חצי או אי־זוגי) n (כאשר הישר

תחום פולינומים. p, q כאשר f(x) = p(x)/q(x) מנה היא רציונלית פונקציה (b)לכל יש אז deg(q) = n (ואם מתאפס q בהן לנקודות פרט R כל הוא ההגדרה

כאלה). נקודות n היותר

עם אכספוננציאלית) (או המעריכית הפונקציה ,(a 6= 1) קבוע a > 0 עבור (c) קצת לפרט למורה:

גרפים הכלליםולשרטט את מכירים אנחנו שלמים מעריכים עבור .f(x) = ax היא a בסיס

(∗) ax+y = axay ; (ax)y = axy ; a−x =1ax

עבור גם להתקיים ממשיכים (∗) הכללים amn = m

√an = ( m

√a)n

וכשמגדיריםרציונלי, מספר איננו x כאשר ההגדרה את במדויק נסביר לא רציונליים. מעריכים

עבורם. גם להתקיים ממשיכים (∗) הכללים אךתחום .0 < a < 1 כאשר ויורדות a > 1 כאשר עולות מעריכיות פונקצותבמונח נשתמש אנחנו .R+ הקרן היא והתמונה R הישר כל הוא ההגדרה(נגדיר a = e כאשר האכספוננציאלית) הפונקציה (או המעריכית״ ״הפונקציה

.exp(x) בצורה לפעמים אותה ונכתוב בהמשך) e המספר את

.cot x ,tan x ,cosx ,sin x הטריגונומטריות הפונקציות (d)המשתנה של כיחידות ברדיאנים משתמשים ואינטגרלי דיפרנציאלי בחשבון

מהם. תחילה ונזכיר הטריגונומטריות, בפונקציות

היא 1 ברדיוס במעגל חוסמת שהיא הקשת אורך אם רדיאנים α בת היא זווית הגדרה..α

-

6

&%

'$¶¶

O B

1A

_AB = α

< AOB = α

.αrad = C ·α◦ במעלות לגדלה פרופורציונלי כמובן הוא ברדיאנים הזווית גודלוהוא 2π הוא 1 ברדיוס מעגל שהיקף בכך נשתמש C המקדם את לקבוע כדיאת ומקבלים C = 2π

360 ולכן .2π = C · 360 כלומר, ,360◦ בת לזווית מתאיםהנוסחה

. αrad =2π

360· α◦

לטכניון״. טובה ב״הכנה ראו הטריגונומטריות הפונקציות על ופרטים להגדרותשימושיות: נוסחאות מספר רק נזכיר כאן לשרטט למורה:

ולהזכיר הגרפים

זוגיות מחזוריות,

מיוחדות 10וזוויות

sin2 x + cos2 x = 1

sin 2x = 2 sin x cos x

cos 2x = cos2 x− sin2 x

sin x− sin y = 2 sinx− y

2cos

x + y

2

cos x− cos y = −2 sinx− y

2sin

x + y

2

ההפוכות הפונקציות את גם האלמנטריות הפונקציות לרשימת נוסיף בהמשךשלהן.

פונקציות על פעולות

פונקציות על וכו׳) חיסור (חיבור אריתמטיות פעולות נגדיר אריתמטיות: פעולותממשיים. מספרים על האלה הפעולות בעזרת

פונקציה נגדיר משותף, הגדרה תחום להן שיש g ו־ f פונקציות שתי בהנתןהנוסחה ע״י התחום, באותו היא אף המוגדרת ,f + g חדשה

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

.sin x ו־ x2 הפונקציות שתי של הסכום היא x2 + sin x לדוגמא, בתחום. x לכלע״י פונקציות שתי של ומנה מכפלה הפרש, מגדירים דומה באופן

(f − g)(x) = f(x)− g(x) ; (fg)(x) = f(x)g(x) ;(

f

g

)(x) =

f(x)g(x)

.g(x) 6= 0 בהם x־ים ה־ את רק מכיל המנה פונקצית של ההגדרה תחום כאשר(כלומר f : B → C ו־ g : A → B תהיינה לפונקציות. מיוחדת פעולה זוהי הרכבה:ב־ מסומנת שלהן ההרכבה אז .(f של ההגדרה בתחום מוכלת g של התמונה

הנוסחה ע״י מוגדרת והיא ,f ◦ g

(f ◦ g)(x) = f(g(x))

אז ,g(x) = x2 ו־ f(x) = sin x אם לדוגמא, .f ◦ g : A → C כלומר

(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x2) = sin(x2)

.(g ◦ f)(x) = (sin x)2 6= sin(x2) שנתנו בדוגמא למשל ,f ◦ g 6= g ◦ f כלל בדרך

11

x ∈ A יש y ∈ B לכל אז ועל, חח״ע היא f : A → B אם ההפוכה: הפונקציה

הפונקציה היא ,f−1 ב־ שתסומן ,f ל־ ההפוכה הפונקציה .f(x) = y ש־ כך יחידיחיד. x ∈ A אותו את y ∈ B לכל המתאימה A ל־ B מ־

יש y ∈ R לכל על. חח״ע היא f(x) = x3 ע״י המוגדרת f : R → R לדוגמא,.f−1(y) = 3

√y היא ההפוכה הפונקציה ולכן ,x3 = y ש־ כך (x = 3

√y) יחיד x ∈ R

שלה שהמכנה למנה 1f הסימון לבין f−1 הסימון בין לבלבל אין (i) הערות.ההפכית. לפונקציה רק בו נשתמש תמיד אנחנו .f הוא

להשתמש ואפשר למשתנה שם רק זה מהותי, אינו y ב־ המשתנה של הסימון (ii)והפונקציה x ב־ החפשי המשתנה את כרגיל, נסמן, בדר״כ אחר. סימון בכל

.f−1(x) = 3√

x היא f(x) = x3 ל־ ההפוכה

פונקציה לה קיימת ואם f : A → B אם ההפוכה, הפונקציה הגדרת עפ״י (iii)הזהויות מתקיימות אז ,f−1 הפוכה,

a ∈ A לכל (f−1 ◦ f)(a) = f−1(f(a)) = a

b ∈ B לכל (f ◦ f−1)(b) = f(f−1(b)) = b

במישור עקום אותו הם f של והגרף f−1 של הגרף גיאומטרי באופן (iv)ה־ וציר החפשי המשתנה כציר ישמש y ה־ ציר :y ושל x של התפקידים בהחלפת,y = f(x) אם f של בגרף היא (x, y) (הנקודה התלוי. המשתנה כציר ישמש x לשרטט למורה:

התנאי). אותו וזה ־ x = f−1(y) אם f−1 של בגרף והיאישמש x ה־ ציר כאשר צירים, מערכת אותה על הגרפים את לצייר רוצים אםשל התפקידים את f−1 של בגרף להחליף עלינו בשניהם, החפשי המשתנה כצירע״י כלומר ,45◦ ב־ שיקוף ע״י f של מהגרף מתקבל f−1 של הגרף ואז .y ו־ x

.y = x לישר ביחס שיקוף

אך הפוכה, פונקציה לה אין על איננה או חח״ע איננה f : A → B כאשר (v)הפונקציה שבהן לתתי־קבוצות B והטווח A התחום את ״לצמצם״ לעיתים ניתןהאלמנטריות. הפונקציות של הרשימה בהרחבת זאת נדגים ועל. חח״ע תהיה כן

האלמנטריות: הפונקציות לרשימת תוספת

שהגדרנו. הפונקציות של ההופכיות הפונקציות את לרשימה נוסיף

על נסתכל אם למשל מוגדרות. הן כאשר לפולינומים ההפוכות הפונקציות (e)אך על. ואיננה חח״ע איננה היא אז ,R ל־ R מ־ כפונקציה f(x) = x2 הפונקציהעליה ונסתכל ,R+ = {x ∈ R : x ≥ 0} ל־ שלה והטווח התחום את נצמצם אםלתמונה בדיוק הטווח את צמצמנו כי לב (ושימו R+ ל־ R+ מ־ פונקציה כעל(זוהי .f−1(x) =

√x הפכית: פונקציה לה ויש ועל, חח״ע כן היא אז ,(f של

נקח ״תמיד וכי שורש יש אי־שלילי x שלכל לאמר הפורמלית המתמטית הדרךהחיובי״). השורש את

עבור המעריכיות: הפונקציות של ההפכיות הן הלוגריתמיות הפונקציות (f)ולכן ,R+ היא ax של התמונה .x = ay אםם y = loga x נגדיר 1 6= a > 0 לשרטט למורה:

הישר.גרפים כל היא ותמונתן ,x > 0 לכל מוגדרות הלוגריתמיות הפונקציות

12

.loga x1x2 = loga x1 + loga x2 ייתן ay1+y2 = ay1ay2 הכלל ,xj = ayj כשניקח.loga xy = y loga x כי גורר (ax)y = axy דומה באופן

.a < 1 אם ויורדת a > 1 כאשר עולה loga x הפונקציהכלל בדרך אך הטבעי״), ״הלוגריתם לו (ונקרא ln x לפעמים נכתוב a = e אםבסיס עם בלוגריתם פעם אף נשתמש לא הטבעי. ללוגריתם log x פשוט נכתוב

! 10

ההפוכות. הטריגונומטריות הפונקציות (g) להסביר למורה:

בהגבלת הצורך

ולשרטט התחום

גרפים

לטכניון״. טובה ב״הכנה פרטים ראו

דוגמא.

נציג ואמנם, .arcsin x + arccos x = π/2 כי נוכיח

ZZ

ZZ

x 1

cos(arcsin x)

הסמוכה, הזווית היא arccosx ו־ x לצלע הנגדית הזווית הוא arcsin x ואז.90◦ = π/2 הוא וסכומן

כל וכן (a) − (g) מהסוגים הפונקציות כל הן האלמנטריות״ ״הפונקציות (h)והרכבות. מנות מכפלות, סכומים, ע״י מהן המתקבלות הפונקציות

חסומה (או מלמעלה חסומה נקראת f : A → B פונקציה חסומות: פונקציות

באופן .f(x) ≤ M מתקיים x ∈ A שלכל כך M ממשי מספר קיים אם מלעיל)כך m ממשי מספר קיים אם (מלרע) מלמטה חסומה נקראת f פונקציה דומה,וחסם מלעיל חסם נקראים mו־ M המספרים .f(x) ≥ m מתקיים x ∈ A שלכל

בהתאמה. ,f של מלרעמלעיל חסם M אם למשל, כך, יחיד. באופן נקבעים אינם שהחסמים לב שימו

.M מ־ גדול M ′ מספר כל גם כך אז שלמלמטה, וגם מלמעלה גם חסומה היא אם חסומה נקראת f : A → B פונקציה(או, m ≤ f(x) ≤ M מתקיים x ∈ A שלכל כך mו־ M מספרים כשיש כלומר

.(|f(x)| ≤ M מתקיים x ∈ A שלכל כך M מספר קיים אם שקול, באופןכן g(x) = arctan x והפונקציה חסומה, אינה f(x) = x2 הפונקציה לדוגמא,

.|g(x)| ≤ π2 מתקיים x שלכל מכיוון חסומה,

מוגדרת f שבה A בקבוצה תלויים f של והחסמים שהחסימות להדגיש חשוב,A ב־ f של מלעיל חסם M ,A בקבוצה חסומה f הוא: יותר מדוייק מינוח (ולכןבקטע מלעיל חסומה כן היא אך מלעיל, חסומה אינה f(x) = x2 למשל כך וכו׳).

.[−2, 6]

13

3 פרק

פונקציות של גבולות

פונקציה של גבול 3.1

a לנקודה אולי פרט ,a הנקודה של מסויימת בסביבה המוגדרת פונקציה f תהי הגדרה.שלכל כך δ > 0 קיים ε > 0 לכל אם L וערכו a בנקודה גבול f ל־ שיש נאמר עצמה.limx→a f(x) = L ע״י זאת נסמן .|f(x) − L| < ε מתקיים 0 < |x − a| < δ המקיים x

.f(x) →x→a

L או

הוא L ש־ לפעמים נאמר L וערכו a בנקודה גבול f ל־ שיש לאמר במקום.a ל־ שואף x כאשר f של הגבול הוא L ש־ או ,a בנקודה f של הגבול

דוגמאות.

.limx→2(3x + 5) = 11 (i)אז |x − 2| < δ שאם כך δ > 0 שקיים להוכיח וצריך כלשהו, ε > 0 נקבע

.|3x + 5− 11| < εקטן יהיה זה שביטוי היא והדרישה ,|3x + 5− 11| = |3x− 6| = 3|x− 2| נציגנבחר :δ את לבחור איך לנו אומר וזה .|x − 2| < ε

3 כי שקול, באופן או, ε מ־.δ = ε

3

.limx→2x

x−1 = 2 (ii)אז |x − 2| < δ שאם כך δ > 0 שקיים להוכיח וצריך כלשהו, ε > 0 נקבע

.| xx−1 − 2| < ε

∣∣∣∣נציגx

x− 1− 2

∣∣∣∣ =∣∣∣∣x− 2x + 2

x− 1

∣∣∣∣ =|2− x||x− 1|

ושהמכנה קטן יהיה המונה כי להבטיח עלינו ״קטנה״, שהמנה להבטיח כדימאפס. ״רחוק״ יהיה

(למספר 14 מ־ גדול יהיה שהמכנה למשל, להבטיח, ונרצה במכנה תחילה נטפל

,1 מ־ קטן אחר חיובי מספר כל במקומו לקחת ויכולנו חשיבות אין 14 הספציפי

14

2 − δ < ש־ פרושו |x − 2| < δ התנאי .(2 ו־ 1 המספרים בין המרחק שהואבאמת ולכן ,x > 5

4 אז δ = 34 שאם רואים השמאלי השוויון מאי .x < 2 + δ

.|x− 1| = x− 1 > 14

השבר. של להערכה נחזור המכנה, של בגודל לשלוט איך שמצאנו אחרי כעת,כי נקבל |x− 2| < 3

4 ש־ כשנניח

|x− 2||x− 1| <

|x− 2|14

= 4|x− 2|

| xx−1 − 2| < ε ש־ להבטיח כדי לסיכום, .|x− 2| < ε

4 כאשר ε מ־ קטן זה וביטוי.δ < min{3

4 , ε4} איזשהו נבחר לכן, .|x− 2| < ε

4 וגם |x− 2| < 34 ש־ לדרוש עלינו

למשל ,x = 2 בנקודה 2 מ־ שונה ערך היה f ל־ אילו שגם לב נשים (iii)

f(x) ={

xx−1 , x 6= 27 , x = 2

limx→2 f(x) = ש־ מתקיים היה עדיין אז שם), מוגדרת היתה לא אפילו f ש־ (או.2

למעשה, עצמה. a בנקודה מוגדרת להיות חייבת אינה f הגבול בהגדרת הערה.חשיבות זה לערך אין מסויים, ערך שם ומקבלת a בנקודה מוגדרת f אם אפילו

מעשית. והן עקרונית מבחינה הןהיא משמעות אין a בנקודה f של שלערך העובדה של העקרונית החשיבותx ערכי כאשר f הפונקציה של ההתנהגות ״דינמית״: תופעה מתאר הגבול שמושגבשאלה רק אלא ,a בנקודה f של בערך מתעניינים לא אנו .a לנקודה מתקרבים

.L למספר מתקרבים ערכיה a לנקודה מתקרבים כאשר אםבאמת a ב־ הפונקציה ערך בהם רבים חשובים מקרים ישנם מעשית, מבחינהבנקודה g(x) נתונה פונקציה של בנגזרת נטפל כאשר לדוגמא, מוגדר. יהיה לאלמעשה אז ,f(t) = g(b+t)−g(b)

t נסמן אם .limt→0g(b+t)−g(b)

t בגבול נתבונן אנו ,bוהפונקציה ,t = 0 בנקודה f הפונקציה של limt→0 f(t) הגבול את בודקים אנחנו

!t = 0 עבור מוגדרת לא באמת f

הבא: במינוח להשתמש שימושי לפעמים

של (εסביבת־ (או ε־סביבה נקרא (ε > 0 (כאשר (a− ε, a + ε) הפתוח הקטע הגדרה..a הנקודה

ε־סביבה נקרא עצמה, a הנקודה ללא אולם ,(a − ε, a + ε) הפתוח הקטע אותו.a של מנוקבת

סביבה (או סביבה על פשוט ונדבר אותו נציין לא לנו, חשוב אינו ε של ערכו כאשר.a הנקודה של מנוקבת)

ε־סביבה ל־ שייך הוא אם a ל־ כ״קרוב״ x על נחשוב אלה, במונחים בשימוש״קטן״. ε עבור a של

שייך x וכי ,|x − a| < ε אם ורק אם a של ε־סביבה ל־ שייך x כי לב שימו.0 < |x− a| < ε אם ורק אם a של מנוקבת ε־סביבה ל־

15

כך: תראה הגבול הגדרת זו, בשפה נשתמש אם

לכל אם limx→a f(x) = L כי נאמר .a של מנוקבת בסביבה מוגדרת f תהי הגדרה.f(x) ש־ מתקיים a של המנוקבת δ־סביבה ל־ השייך x שלכל כך δ > 0 קיים ε > 0

.L של ε־סביבה ל־ שייך

ההגדרה. עפ״י גבולות לבדיקת נוספות דוגמאות מספר כעת נביא

דוגמאות.

.limx→a sin x = sin a (i)| sin t| ≤ |t| אי־השוויונים מתקיימים t שלכל בכך ונשתמש כלשהו, ε > 0 נקבע

נציג .| cos t| ≤ |1| ו־

| sin x− sin a| = |2 sinx− a

2cos

x + a

2| ≤ 2| sin x− a

2| ≤ 2|x− a

2| = |x− a|

כי יבטיח |x− a| < δ אז δ = ε נבחר אם לכן,

| sin x− sin a| ≤ |x− a| < δ = ε

.limx→a cos x = cos a דומה: באופן (ii)

.limx→a√

x =√

a אז a > 0 אם (iii)|x − a| < δ המקיים x שלכל כך δ > 0 שקיים ונוכיח כלשהו ε > 0 נקבע

.|√x−√a| < ε מתקייםאחרת (כי x ≥ 0 ש־ יגרור |x− a| < δ כי להבטיח תחילה נצטרך δ בקביעת

כעת נציג .δ < a נבחר אם מובטח אכן זה ודבר כלל!), מוגדר אינו√

x

|√x−√a| = |√x−√a| ·√

x +√

a√x +

√a

=|x− a|√x +

√a≤ |x− a|√

a

אז ,|x− a| < δ ואם ,δ < ε√

a שיקיים כך δ את נבחר אם ולכן,

.|√x−√a| ≤ |x− a|√a

<δ√a

< ε

.δ < min{a, ε√

a} לבחור עלינו ולסיכום,.limx→2

x2−4x−2 = 4 (iv)

הגבול אך עצמה, x = 2 בנקודה מוגדרת אינה אמנם הפונקציה זו בדוגמאולכן ,x

2−4x−2 = x + 2 כי מתקיים x 6= 2 לכל קיים: זו בנקודה

limx→2

x2 − 4x− 2

= limx→2

(x + 2) = 4

16

הבאה. הטענה אחרי אותן נוכיח איטואיטיבית. ברורות הבאות הדוגמאות שתיהגרפים!) את (שרטטו

לא limx→a[x] אז שלם a אם ,limx→a[x] = [a] אז שלם מספר אינו a אם (v)קיים.

קיים. אינו limx→0 sin 1x הגבול (vi)

שלכל כך a של מנוקבת סביבה קיימת K < L לכל אז ,limx→a f(x) = L אם טענה.ש־ כך a של מנוקבת סביבה יש K > L (ולכל f(x) ≥ K מתקיים סביבה באותה x

סביבה). באותה x לכל f(x) ≤ K

0 < המקיים x שלכל כך δ > 0 קיים ε > 0 לכל הגבול הגדרת עפ״י הוכחה.ונקבל ,ε = L−K לבחירה במתאים δ נמצא .|f(x)−L| < ε מתקיים |x− a| < δ

ובפרט ,|f(x)− L| < ε מתקיים 0 < |x− a| < δ המקיים x לכל כי

. f(x) > L− ε = L− (L−K) = K

.(vi) ו־ (v) הדוגמאות את כעת נבדוקבשני ונבחין ,L הוא שערכו גבול שקיים השלילה בדרך נניח (v) להוכחתלהיות שצריך ונקבל K = a − 3

4 < L עם בטענה נשמש L ≥ a − 12 אם מקרים:

אם כי נכון, לא זה אבל 0־־ < |x− a| < δ לכל f(x) = [x] > a− 34 ש־ כך δ > 0

.[x] ≤ a− 1 < a− 34 אז x < a

שצריך ונקבל K = a− 14 > L עם בטענה נשמש L ≤ a− 1

2 אם דומה באופןנכון, לא זה אבל 0־־ < |x− a| < δ לכל f(x) = [x] < a− 1

4 ש־ כך δ > 0 להיות.[x] ≥ a > a− 1

4 אז x > a אם כיונקודות sin 1

x = 1 שבהן נקודות מכילה 0 של סביבה כל כי דומה, (vi) הוכחת.sin 1

x = −1 שבהן

כתרגיל: הוכיחו הבאה החשובה הטענה את

וגם limx→a f(x) = L אם כלומר, יחיד, הוא אז קיים limx→a f(x) הגבול אם טענה..K = L אז limx→a f(x) = K

חסומה. f שבה a של מנוקבת סביבה קיימת אז limx→a f(x) הגבול קיים אם טענה.

כך δ > 0 קיים ε > 0 לכל הגבול הגדרת לפי .limx→a f(x) = L נסמן הוכחה.ולכן ,ε לכל נכון זה .|f(x) − L| < ε מתקיים 0 < |x − a| < δ המקיים x שלכלהמקיים x 6= a שלכל כך δ > 0 שקיים ומקבלים ,ε = 1 עבור נכון זה בפרטחסומה f אחרות, במילים .L− 1 < f(x) < L + 1 ש־ מתקיים a− δ < x < a + δ

שמצאנו. δ ה־ עבור המנוקבת δ ה־ בסביבת

*****************5− 6 שעה סוף*****************

17

גבולות של אריתמטיקה 3.1.1

בהנתן גבול: של המפורשת ההגדרה עפ״י רק ובחישובם בגבולות טיפלנו עכשיו עדשל הגבול לחישוב שיטות לפתח נתחיל זה בסעיף לו. המתאים δ חיפשנו εבכל היסודיות מההגדרות להתחיל נצטרך שלא כך שלה, המבנה עפ״י פונקציה

מחדש. דוגמא

אולי (פרט a של מסויימת בסביבה המוגדרות פונקציות שתי g ו־ f תהיינה משפט.הגבולות אזי .limx→a g(x) = M ו־ limx→a f(x) = L והמקיימות עצמה) a לנקודה

המתאימות: הנוסחאות ע״י וניתנים קיימים הבאים

.limx→a αf(x) = αL מתקיים α ∈ R לכל (i)

.limx→a(f + g)(x) = L + M (ii)

.limx→a(fg)(x) = LM (iii)

שבה a של מנוקבת סביבה קיימת (ובפרט limx→af(x)g(x) = L

M גם אז M 6= 0 אם (iv).(g(x) 6= 0

דוגמא.

בנפרד נחשב הפונקציה: של המבנה אחרי ״נעקוב״ limx→−1x2+3x−45x2+2x+7 לחישוב

(בכדי (iii) וב־ (i) ב־ שימוש תוך ובמכנה במונה מחובר כל של הגבולות אתשל הגבול לחישוב (ii) ב־ נשתמש אח״כ ,(limx→−1 x2 = (−1)2 = 1 את לחשבבזה. זה אותם ונחלק (iv) ב־ נשתמש ולבסוף ־ המכנה של הגבול ולחישוב המונה

המבוקש. הגבול היא ,−6/10 הסופית, התוצאה

המשפט. הוכחתδ > 0 למצוא וצריך ε > 0 נקבע ברור). α = 0 (המקרה α 6= 0 כי נניח (i)המספר ובאמת, .|αf(x)− αL| < ε יתקיים 0 < |x− a| < δ המקיים x שלכל כךx שלכל כך δ > 0 יש הגבול הגדרת עפ״י ולכן חיובי, מספר הוא גם ε1 = ε

|α|גם ולכן ,|f(x)− L| < ε

|α| יתקיים 0 < |x− a| < δ המקיים

. |αf(x)− αL| = |α| |f(x)− L| < |α| · ε

|α| = ε

0 < |x − a| < δ המקיים x שלכל כך δ > 0 למצוא וצריך ε > 0 נקבע (ii)בשלבים: תעשה הבחירה .|(f(x) + g(x))− (L + M)| < ε יתקיים

ש כך δ1 > 0 שקיים נובע limx→a f(x) = L ש־ מהנתון

|f(x)− L| < ε

2

limx→a g(x) = M ש־ מהנתון דומה, באופן .0 < |x − a| < δ1 המקיים x לכלמתקיים 0 < |x− a| < δ2 המקיים x שלכל כך δ2 > 0 שקיים נובע

.|g(x)− L| < ε

2

18

שני יתקיימו אז 0 < |x − a| < δ מקיים x ואם δ = min{δ1, δ2} נבחר אםונקבל אחת בבת אי־השוויונים

|(f(x) + g(x))− (L + M)| = |(f(x)− L) + (g(x)−M)|≤ |f(x)− L|+ |g(x)−M | < ε

2+

ε

2= ε

0 < |x − a| < δ המקיים x שלכל כך δ > 0 למצוא וצריך ε > 0 נקבע (iii).|f(x)g(x)− LM | < ε יתקיים

נרשום מהסוף. נתחיל ההוכחה, רעיון את להבין מנת על

f(x)g(x)− LM = f(x)(g(x)−M) + M(f(x)− L)

בנפרד. מחובר כל וננתחכך δ1 > 0 קיים ולכן ,limx→a f(x) = L הנתון עפ״י השני: מהמחובר נתחיל

ולכן ,|f(x)− L| < ε2(|M |+1) כי מתקיים 0 < |x− a| < δ1 המקיים x שלכל

.|M(f(x)− L)| < |M |ε2(|M |+ 1)

<ε

2

M הקבוע המספר במקום כי מורכב יותר קצת הראשון במחובר הטיפולתחילה ונצטרך ,f פונקציה, לנו יש כאן השני), במחובר הסוגריים את (הכופלa של מנוקבת סביבה קיימת כי יודעים אנו שהוכחנו, הטענה לפי אותה. להעריך0 < |x−a| < המקיים x שלכל כך δ2 > 0 ו־ T > 0 קיימים כלומר, חסומה. f בה

כי מתקיים δ2

|f(x)| < T

,limx→a g(x) = M הנתון עפ״י השני: של לזו דומה הראשון המחובר הערכת וכעתכי מתקיים 0 < |x− a| < δ3 המקיים x שלכל כך δ3 > 0 קיים ולכן

|g(x)−M | < ε

2T

כל יתקיימו 0 < |x − a| < δ המקיים x לכל ואז ,δ = min{δ1, δ2, δ3} נבחראחת. בבת השוויונים אי שלושת

כי נובע האחרונים אי־השוויונים משני

|f(x)(g(x)−M)| < Tε

2T=

ε

2נקבל הראשון השוויון אי עם וביחד

|f(x)g(x)− LM | = |f(x)(g(x)−M) + M(f(x)− L)|≤ |f(x)(g(x)−M)|+ |M(f(x)− L)| < ε

2+

ε

2= ε

19

בהצגה השתמשו הבאה: בדרך כתרגיל ההוכחה את השלימו (iv)

f(x)g(x)

− L

M=

M(f(x)− L)Mg(x)

+L(M − g(x))

Mg(x)

שיש נובע limx→a g(x) = M 6= 0 שמתוך לב שימו בנפרד. מחובר כל והעריכו

שם.∣∣∣ 1g(x)

∣∣∣ < 2|M | ולכן ,|g(x)| > |M |/2 שבה a של מסוימת מנוקבת סביבה

אין אולם בדיוק, ε עם ההוכחה את לסיים השתדלנו אלה בהוכחות (i) הערות.גם C קבוע מספר לכל אז כללי חיובי מספר הוא ε אם ממש: של חשיבות לכךעם לסיים מניעה כל אין לכן כללי. חיובי מספר מתאר כללי) ε > 0 (עבור Cεוקטן ε את שמכיל אחר ביטוי כל עם יותר, כללי באופן או ,(|L|+ |M |+ 1)ε ,5ε

מספיק. קטן ε כאשר כרצוננו

הפונקציה של הגבול ידיעת מתוך תקף: אינו ההפוך שהמשפט לב שימו (ii)limx→a(f + ש־ ידוע אם למשל, רכיביה. על כלום להסיק אפשר אי הסופית־ limx→a g(x) = M או limx→a f(x) = L כי להסיק ניתן לא ,g)(x) = L + M

בכלל. קיימים אלה שגבולות להסיק אפשר אי ואפילופונקציה לקחת נוכל (ובפרט כלשהי f פונקציה נקח קיצוני: באופן זאת נדגיםלכל f(x) + g(x) = 0 אז .g = −f ונקח ,(a מסויימת בנקודה גבול כלל לה שאיןהמקורית f על כלום מכך להסיק אפשר אי אך .limx→a(f +g)(x) = 0 ובפרט ,x

לגמרי. כללית שהיתה

הנושא על וריאציות 3.1.2

x כאשר a מסויימת בנקודה פונקציה של התנהגות את לבחון נרצה לעיתיםיכול x ,f(x) =

√x הפונקציה עבור למשל, אחד. מצד רק אליה מתקרב

צדדיים. חד גבולות נגדיר כך לשם ימין. מצד רק 0 ל־ ״להתקרב״

a בנקודה f של מימין גבול הוא L כי נאמר .a של ימנית בסביבה מוגדרת f תהי הגדרה..|f(x)−L| < ε מתקיים a < x < a+ δ המקיים x שלכל כך δ > 0 קיים ε > 0 לכל אם

.f(x) →x→a+

L או limx→a+ f(x) = L ע״י זאת נסמן

בסביבה מוגדרת f אם a בנקודה f של משמאל גבול הוא L כי נאמר דומה, באופןמתקיים a− δ < x < a המקיים x שלכל כך δ > 0 קיים ε > 0 לכל ואם ,a של שמאלית

.f(x) →x→a−

L או limx→a− f(x) = L ע״י זאת נסמן .|f(x)− L| < ε

דוגמא.

שונים והם השלמות, בנקודות גם צדדיים חד גבולות יש f(x) = [x] לפונקציה.limx→a− [x] = a− 1 ואילו limx→a+ [x] = a אז שלם מספר a אם מזה: זה

f ל־ יש אז הקטע. של פנימית נקודה a ותהי I בקטע המוגדרת פונקציה f תהי טענה.ושווים. קיימים a ב־ f של החד־צדדיים הגבולות אםם a בנקודה גבול

20

קיימים החד־צדדיים הגבולות שגם ברור אז קיים limx→a f(x) = L אם הוכחה..L ל־ ושווים a ב־

שגם ונראה ,L ל־ ושווים קיימים a ב־ החד־צדדיים הגבולות כי נניח להפך,כי ונוכיח כלשהו ε > 0 נקבע כך לשם .(L הוא (ושערכו קיים a בנקודה הגבול

.0 < |x− a| < δ המקיים x לכל |f(x)− L| < ε ש־ כך δ > 0 קיים|f(x) − L| < ε ש־ כך δ1 > 0 קיים ולכן ,L וערכו קיים a ב־ מימין הגבול

.a < x < a + δ1 המקיים x לכל|f(x)− L| < ε ש־ כך δ2 > 0 קיים ולכן ,L וערכו קיים a ב־ משמאל הגבול

.a− δ2 < x < a המקיים x לכלהתנאים שני מתקיימים אז 0 < |x − a| < δ ואם δ = min{δ1, δ2} נבחר אם

.|f(x)− L| < ε ולכן

חד־ גבולות עבור גם כמובן תקפים גבולות של האריתמטיקה״ ״חוקי הערה.צדדיים.

קיים ε > 0 לכל אם limx→∞ f(x) = L כי נאמר .(a,∞) בקרן מוגדרת f תהי הגדרה..|f(x)− L| < ε מתקיים x > M שלכל כך M > a

אנלוגי. באופן limx→−∞ f(x) נגדיר (−∞, b) שמאלית בקרן מוגדרת f אם

דוגמאות.

כי גורר x > M ואז ,M = 1/ε נבחר אז ε > 0 נתון אם כי ,limx→∞ 1x = 0 (i)

.0 < 1x < 1/M = ε

.limx→−∞ x+1x = limx→−∞(1 + 1

x ) = 1 + limx→−∞ 1x = 1 (ii)

באינסוף. גבולות עבור גם תקפים גבולות של האריתמטיקה״ ״חוקי הערה.

לכל אם limx→a f(x) = ∞ כי נאמר .a של מנוקבת בסביבה מוגדרת f תהי הגדרה..f(x) > M כי מתקיים 0 < |x− a| < δ המקיים x שלכל כך δ > 0 קיים M מספר

שלכל כך δ > 0 קיים M לכל אם limx→a f(x) = −∞ כי נאמר כי נאמר דומה, באופן.f(x) < M כי מתקיים 0 < |x− a| < δ המקיים x

דומה. באופן יוגדרו limx→a+ f(x) = −∞ כגון חד־צדדים, גבולות

דוגמאות.

. limx→0

1x2 = ∞ (i)

limx→(−π/2)+

tanx = −∞ (ii)

−∞ או ∞ או סופי, או להיות שיכול לגבול שואפת פונקציה כאשר (i) הערות.לפעמים נשתמש אנחנו גם הרחב״. במובן ״קיים שהגבול לומר לפעמים נוהגים

21

להתייחס מבלי קיים מסויים שגבול כשנאמר מקום, מכל זו. בטרמינולוגיהסופי. שהגבול לכך תמיד תהיה הכוונה אינסופי שהוא לאפשרות במפורש

או אחד כאשר גבולות של האריתמטיקה לכללי רבה בזהירות להתייחס יש (ii)lim(f + g)(x) = lim f(x) + lim g(x) ש־ הכלל למשל, אינסופייים. הם מהם יותרשניהם אם או סופי, הוא lim g(x) או lim f(x) הגבולות משני אחד אם תקףלביטוי אז lim g(x) = −∞ ו־ lim f(x) = +∞ אם אך סימן. אותו עם אינסופיים

משמעות! בכלל אין lim f(x) + lim g(x)מצורה ובגבולות משמעות אין וכדומה 0

0 ,0 ·∞ ,∞∞ ,∞−∞ מהצורה לביטוייםאריתמטיקה. כללי ע״י ולא אחרים באמצעים לטפל יש זו

1/f(x) → ש־ מתקיים בהכרח לא ,f(x) → 0 כאשר כי לב לשים כדאי כן, כמומסויימת מנוקבת בסביבה f(x) > 0 ש־ נוסף: תנאי מניחים אם רק קורה זה .∞

.a של

.limx→−∞ f(x) = ∞ או limx→∞ f(x) = ∞ מהם להגדיר לקורא נשאיר (iii)

גבולות של סדר תכונות 3.1.3

ו־ limx→a f(x) = L ש־ כך a של מנוקבת בסביבה מוגדרות g ו־ f תהיינה משפט..L ≤ M אז בסביבה x לכל f(x) ≤ g(x) אם .limx→a g(x) = M

וגם limx→a f(x) = L אם כלומר, יחיד. הוא אז קיים limx→a f(x) הגבול אם מסקנה..M = L בהכרח אז limx→a f(x) = M

כתרגיל! לעצמכם אותו הוכיחו המשפט. את נוכיח לא (i) הערות.,M ≤ L וגם L ≤ M כי נקבל f(x) ≤ f(x) ו־ היות פשוטה: המסקנה הוכחתישירות ε״ − δ״ בלשון הגבול יחידות את הוכיחו תרגיל, בתור שווים. הם ולכן

הגבול. מהגדרת

לגבולות חד־צדדיים, לגבולות גם המתאימים, בשינויים נכון, המשפט (ii)(ולהוכיח!) לנסח יודעים שאתם לעצמכם בדקו אינסופיים. ולגבולות באינסוף

האלה. הגרסאות את

אלא ,L < M כי להסיק נוכל לא ,f(x) < g(x) חריף שוויון אי נדרוש אם (iii)f(x) < g(x) אמנם .g(x) = 2x2 וב־ f(x) = x2 ב־ נתבונן לדוגמא, .L ≤ M רק

.limx→0 f(x) = limx→0 g(x) = 0 אולם ,x 6= 0 לכל

L < M החריף השוויון אי את נניח אם ההפוך: למשפט גירסא גם קיימת (iv)לעצמכם זה משפט הוכיחו .f(x) < g(x) שבה a של מנוקבת סביבה קיימת אז

כתרגיל.

f ≤ שם ומקיימות (a, b) בקטע מוגדרות f, g, h הפונקציות שלוש אם [סנדוויץ׳] משפט.קיים, limx→a+ g(x) הגבול גם אז ,limx→a+ f(x) = limx→a+ h(x) = L ואם ,g ≤ hכמו דו־צדדיים. גבולות ועבור משמאל גבולות עבור גם נכון (המשפט .L הוא ערכו וגם

.(limx→a+ g(x) = ∞ גם אז limx→a+ f(x) = ∞ ואם f ≤ g אם כן

22

|h(x) − L| < ε ש־ וכך |f(x) − L| < ε ש־ כך δ > 0 ונקבע ε > 0 נקבע הוכחה.יתקיים כזה x לכל בפרט .a < x < a + δ לכל

L− ε < f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) < L + ε

.|g(x)− L| < ε כלומר

דוגמאות.

limx→a sin x = של פרטי מקרה שזה (למרות limx→0+ sin x = 0 כי נראה (i)מתקיים 0 < x < π

2 לכל ואמנם .(a = 0 כשמציבים כבר, ראינו שאותו ,sin aפונקציה sin ו־ מאחר הרצוי. את נקבל x → 0+ נשאיף אם ולכן ,0 < sin x < x להוסיף יש

ולכןשרטוטים ,0 ל־ שווה 0 ב־ משמאל הגבול גם ,sin(−x) = − sin x כלומר, אי־זוגית,.limx→0 sin x = 0

.cosx = 1− 2 sin2(x2 ) →

x→01 כי נקבל כמסקנה

.limx→0sin x

x = 1 (ii)הינו ידה על שנוצר הגזרה שטח .1 ברדיוס במעגל 0 < x < π

2 זווית נקבעזה שטח . x2π · π = x

2 הוא השטח כלומר ,(π (שהוא כולו המעגל לשטח x2π ביחס

או x2 < tan x

2 ולכן ,( tan x2 (שהוא החיצוני הזווית ישר המשולש משטח יותר קטן

.0 < sin x < x < tan x

ב־ הכפלה וע״י , 1tan x < 1

x < 1sin x ולכן חיוביים, הם השוויון באי הביטויים כל

.limx→0+sin x

x = 1 הסנדוויץ׳ משפט סמך ועל ,cosx < sin xx < 1 כי נקבל sinx

,1 ל־ שווה 0 ב־ משמאל הגבול שגם נקבל זוגית, פונקציה הינה sin xx ו־ היות

.limx→0sin x

x = 1 ולכן

מנוקבת בסביבה חסומה פונקציה g ואם limx→a f(x) = 0 שאם נראה (iii)ואז בסביבה, |g(x)| ≤ T כי נניח ובאמת, .limx→a(fg)(x) = 0 אז ,a של

. − T |f(x)| ≤ |f(x)g(x)| ≤ T |f(x)|

האמצעי. גם ולכן לאפס, שואפים הקיצוניים האברים ושני

*****************10 שעה סוף

*****************

חסומות ופונקציות קבוצות 3.2

ההגדרה את כעת נרחיב שלה. החסמים ואת חסומה פונקציה הגדרנו בהקדמהלקבוצות.

מספר קיים אם מלעיל) חסומה (או מלמעלה חסומה נקראת A ⊂ R קבוצה (i) הגדרה.של מלעיל חסם נקרא כזה M מספר כל .x ≤ M מתקיים x ∈ A שלכל כך M ממשי

מלרע. וחסם (מלרע) מלמטה חסומה קבוצה מגדירים אנלוגי באופן .A

23

כשיש כלומר מלמטה, וגם מלמעלה גם חסומה היא אם חסומה נקראת A קבוצה (ii)מספר קיים אם שקול, באופן (או, x ∈ A לכל m ≤ x ≤ M ש־ כך m ו־ M מספרים

.(x ∈ A לכל |x| ≤ M ש־ כך M > 0

העליון) החסם (או הסופרמום נקרא A קבוצה של ביותר הקטן המלעיל חסם (iii)גם נקרא הוא A לקבוצה שייך הסופרמום אם .supx∈A x או ,sup A ע״י ויסומן ,A שלהחסם (או האינפימום דומה באופן .maxx∈A x או max A ע״י ויסומן ,A של המקסימוםA לקבוצה שייך האינפימום ואם ,A של ביותר הגדול המלרע חסם הוא A של התחתון)

וכדומה. minx∈A x ,inf A הם הסימונים .A של המינימום גם נקרא הוא

עבור האלה במונחים משתמשים כאשר מתקבלת לפונקציות הטרמינולוגיה (iv)חסם הוא אם D בתחום f פונקציה של מלעיל חסם הוא M למשל, כך, שלהן. התמונהDנקרא בתחום f של ביותר הקטן המלעיל החסם .{f(x) : x ∈ D} הקבוצה של מלעיל(או אינפימום .supx∈D f(x) או ,supD f ב־ ויסומן שלה העליון) החסם (או הסופרמום

דומה. באופן ומסומנים מוגדרים D ב־ f של ומינימום מכסימום תחתון), חסם

דוגמאות.

חסם הוא M ≥ b מספר כל חסומה. קבוצה הינו I = (a, b] סגור חצי קטע (i)והתחתון b הוא העליון החסם מלרע. חסם הוא m ≤ a מספר וכל I של מלעיל

מינימום. I ל־ אין אך ,max{x : x ∈ I} = b מתקבל, המכסימום .a הוא

מלמעלה. חסומה אינה אך מלמטה, חסומה הטבעיים המספרים קבוצת (ii)סופרמום. N ל־ קיים לא אולם ,minN = 1 כלומר:

לא minx>01x ולכן הפונקציה, של ערך אינו אפס אולם ,infx>0

1x = 0 (iii)

קיים.

לא maxx∈R arctan x ולכן מתקבל, אינו π2 הערך אך ,supx∈R arctanx = π

2 (iv)קיים.

מתאפסת היא .I = (−4, 1) בקטע x − x2 = x(1 − x) בפונקציה נסתכל (v)הקורס בהמשך הנקודות. בשאר ושלילית (0, 1) בקטע חיובית ,x = 0; 1 בנקודותב־ מתקבל (והוא maxx∈I(x − x2) = 1

4 כי שיטתי באופן להראות איך נלמד(נסו מינימום. מקבלת אינה הפונקציה אולם infx∈I(x − x2) = −20 וכי ,(x = 1

2אלה!). בעובדות עצמכם את ולשכנע הפונקציה של הגרף את לשרטט

קבוצה לכל כי סמוי באופן הנחנו ואינפימום סופרמום הגדרנו כאשר הערה.עבור אנלוגי (ובאופן ביותר הקטן שהינו מלעיל חסם קיים אכן מלמעלה חסומההמספרים את להגדיר יש להוכחתה אך נכונה, אכן זו עובדה התחתון). החסםלעובדה נתייחס לכן זאת. נעשה לא ואנו ־ מדוייק מתמטי באופן הממשייםשל ריקה לא קבוצה לכל השלמות״): ״אקסיומת לה (ונקרא כ״אקסיומה״ זו

(אינפימום). סופרמום קיים (מלמטה) מלמעלה החסומה ממשיים מספריםשל כאוסף הרציונליים במספרים נתבונן הזו, הטרמינולוגיה את להסביר כדיהאי־ המספרים (שהינם רבים ״חורים״ שמשאירות הממשי הישר על נקודות־ ״שלמה״ מערכת הם הממשיים שהמספרים אומרת האקסיומה רציונליים).

כאלה. ״חורים״ בה אין

24

.B = {x ∈ Q : x2 < 2} הרציונליים המספרים בקבוצת נסתכל כדוגמאהמספרים במסגרת ולכן אי־רציונלי, מספר זה אך ,

√2 הוא שלה העליון החסם

במספרים כשמסתכלים ״נסתם״ הזה ה״חור״ סופרמום. B ל־ אין הרציונלייםכולם. הממשיים

העליון לחסם ישיר אפיון נותנת הבאה הלמה

הבאים: התנאים שני מתקיימים אםם M = sup A למה.

.x ∈ A לכל x ≤ M (i)

.x0 > M − ε ש־ כך x0 ∈ A קיים ε > 0 לכל (ii)

כך y0 ∈ A קיים ε > 0 לכל וגם y ∈ A לכל y ≥ m אםם m = inf A דומה, באופן.y0 < m + ε ש־

M שאם כתרגיל (והוכיחו התנאים שני את מקיים שהסופרמום רק נוכיח הוכחה..(A של העליון החסם אכן הוא אז (ii) ו־ (i) מקיים

.x ∈ A לכל x ≤ M ולכן מלעיל, חסם בוודאי הוא עליון, חסם M אםהקטן מלעיל החסם הוא M העליון החסם הגדרת עפ״י .ε > 0 כעת נקבעיש כלומר, מלעיל. חסם להיות יכול איננו ממנו, ממש הקטן ,M − ε ולכן ביותר,

.x0 > M − ε ש־ כך x0 ∈ A

.a הנקודה של חד־צדדית מנוקבת בסביבה וחסומה מונוטונית פונקציה f תהי משפט..a בנקודה קיים f של החד־צדדי הגבול אז

.a של I ימנית בסביבה עולה שהפונקציה למשל נניח הוכחה.אקסיומת ועפ״י מלמטה, חסומה {f(x) : x > a , x ∈ I} הקבוצה הנתון עפ״י

.limx→a+ f(x) = m כי ונוכיח m ב־ אותו נסמן אינפימום. לה יש השלמותa < x < a + δ המקיים x שלכל כך δ > 0 למצוא וצריך כלשהו, ε > 0 נקבע

.m− ε < f(x) < m + ε שקול, באופן או, |f(x)−m| < ε מתקייםלמצוא נוכל הלמה עפ״י אז ,A הקבוצה של האינפימום הינו m ש־ מכיווןכי נובע f של ומהמונוטוניות m מהגדרת .f(b) < m + ε ש־ כך I בקטע b > a

מתקיים x ∈ (a, b) לכל

.m− ε < m ≤ f(x) ≤ f(b) < m + ε

מתקיים x ∈ (a, a+δ) לכל כי קבלנו ולכן ,a+δ = b כי נקבל δ = b−a נגדיר אם.limx→a+ f(x) = m כלומר ,m− ε < f(x) < m + ε

בכל קיימים f של החד־צדדיים הגבולות אז .I בקטע מונוטונית פונקציה f תהי מסקנה.בקטע. נקודה

,a נקודה של צדדית חד בסביבה חסומה ואינה מונוטונית f כאשר (i) הערות.כתרגיל!) (הוכיחו בנקודה. אינסופי חד־צדדי גבול לה יש אז

25

.−∞ או ∞ ב־ הוא והגבול קרן I כאשר גם נכון דומה משפט (ii)

*****************11 שעה סוף

*****************

26

4 פרק

סדרות של גבולות

ממשיים מספרים של סדרות 4.1

איבר שני, איבר ראשון, איבר יש מספרים: של מסודר אינסופי אוסף הינה סדרהמהמספרים פונקציה כעל סדרה על להתבונן ניתן פורמלי (באופן וכולי. שלישי

הממשיים). למספרים הטבעיים.(αk) או ,(cj)∞j=1 או ,{bm}∞m=1 או ,{an : n = 1, 2, . . .} ע״י סדרה נסמן אנו

נוספים. סימונים גם שתפגשו ייתכןבאמצעות היא הישירה הדרך שונים. באמצעים להינתן יכולים הסדרה איברילכל bm = [

√m] או ,n לכל an = n2 או ,j לכל xj = 1 כגון: מפורשת, נוסחה

הספרה הינו an למשל, מוגדרת. הסדרה שלפיו כלל לתת היא אחרת דרך .mאת להציג היא אחרת אפשרות .π של העשרוני בפיתוח הנקודה אחרי n־ית ה־

ע״י מוגדרת פיבונאצ׳י״ ״סדרת למשל, נסיגה״. ״נוסחת בעזרת הסדרה

.n ≥ 3 לכל an = an−1 + an−2 ו־ a1 = a2 = 1

אז ורק לו, הקודמים האברים את תחילה לחשב עלינו זו, נוסחה עפ״י an לחישובהנוסף. הצעד את לבצע ניתן

המפורשת הנוסחה ע״י גם ניתנים הסדרה שאברי באינדוקציה הראו תרגיל:

.an =

[(1 +

√5

2

)n

−(

1−√52

)n] /√5

סדרות של גבולות 4.1.1

פונקציה. של גבול של לזה דומה סדרה של גבול בהגדרת הרעיון

כך טבעי N קיים ε > 0 לכל אם ,{an}∞n=1 הסדרה של הגבול הוא a ש־ נאמר הגדרה..an →

n→∞a או limn→∞ an = a ע״י זאת נסמן .|an − a| < ε מתקיים n > N שלכל

מתבדרת. שהיא נאמר גבול אין לסדרה אם

27

נציין לא ולפעמים .a ל־ מתכנסת, או שואפת, שהסדרה גם נאמר limn→∞ an = a אם.an → a או lim an = a פשוט ונכתוב n →∞ כי בכתיבה

פרט ־ הסדרה אברי כל ,a של I סביבה לכל אם an → a סביבות: בלשון ההגדרה.I ב־ נמצאים ־ מהם סופי למספר אולי

על משפיע לא הסדרה מאברי סופי מספר של שינוי כי לב שימו (i) הערות.שלה. הגבול ערך על או הסדרה, התכנסות

כך. על נקפיד לא ולפעמים חיונית, אינה טבעי N ש־ הדרישה (ii)

דוגמאות.

שקיים להוכיח וצריך כלשהו, ε > 0 נקבע זאת להוכיח כדי .limn→∞ 1n = 0 (i)

השוויון לאי שקול הזה אי־השוויון .| 1n−0| < ε מתקיים n > N שלכל כך טבעי Nלכל אז ,(N > 1

ε ש־ המקיים אחר N כל (או N = [ 1ε ] + 1 נבחר אם ולכן, n > 1ε

הדרוש. השוויון אי יתקיים n > N∣∣n−1

n − 1∣∣ = 1/n < ε התנאי ואז כלשהו, ε > 0 נקבע כי .limn→∞ n−1

n = 1 (ii).N = [ 1ε ] + 1 נבחר שוב ולכן ,n > 1

ε אםם מתקיים

להוכיח וצריך כלשהו, ε > 0 נקבע כי .limn→∞ qn = 0 אז |q| < 1 אם (iii)אז ε ≥ 1 אם .|qn − 0| = |q|n < ε מתקיים n > N שלכל כך טבעי N שקיים.ε < 1 במקרה כך אם ונטפל ,N = 1 לבחור נוכל ולכן n לכל נכון זה אי־שוויון

השקילויות״ ב״שרשרת ונתבונן הלוגריתם של במונוטוניות נשתמש

|q|n < ε ⇐⇒ ln |q|n < ln ε ⇐⇒ n ln |q| < ln ε ⇐⇒ n >ln ε

ln |q|ולכן .(ln |q| < 0 ולכן |q| < 1 ש־ מכיון התחלף האחרון השוויון אי של (הכיווןn > N לכל אז ,( ln ε

ln |q| מהביטוי הגדול N כל (או N = [ ln εln |q| ] + 1 נבחר אם

הרצוי. אי־השוויון מתקיים

הם סדרות, של גבולות של סדר ועל אריתמטיקה על הבאים, המשפטיםללא אותם ניתן ולכן פונקציות, של גבולות עבור כבר שראינו לאלה אנלוגיים

כתרגיל!). מהם חלק להוכיח נסו (אך הוכחות.

lim an = a המקיימות סדרות שתי {bn} ו־ {an} אם גבולות] של [אריתמטיקה משפט.המתאימות: הנוסחאות ע״י וניתנים קיימים הבאים הגבולות אז .lim bn = b ו־

.α ∈ R לכל limαan = αa (i)

.lim(an + bn) = a + b (ii)

.lim(anbn) = ab (iii)

.b 6= 0 ש־ בתנאי lim(an

bn) = a

b (iv)

דוגמא.

28

.n2 + 3n− 45n2 + 2n + 7

=1 + 3

n − 4n2

5 + 2n + 7

n2

→ 15

לכל אם limn→∞ an = ∞ ש־ נאמר אינסופיים: גבולות גם נגדיר (i) הערות.מגדירים אנלוגי באופן .an > M מתקיים n > N שלכל כך טבעי N יש M

.limn→∞ an = −∞לא limn→∞ qn אז q ≤ −1 אם אך .limn→∞ qn = ∞ אז q > 1 אם לדוגמא,

הרחב. במובן גם קיים

(עם פונקציות של לזו היא גם אנלוגית אינסופיים גבולות של אריתמטיקה (ii)מהצורה מוגדרים לא ולגבולות ,an → 0 כאשר 1

anעבור זהירה התייחסות אותה

וכיו״ב). ∞∞ או ∞−∞

שוויון (אי a < b אם .bn → b ,an → a המקיימות סדרות שתי bn ו־ an תהיינה משפט..an < bn מתקיים n ≥ N שלכל כך N קיים אז חריף)

,bn ≤ an מתקיים n ≥ N שלכל כך N קיים ואם bn → b ,an → a אם שקול, באופן.b ≤ a אז

ונמצא n > N1 לכל |an−a| < b−a2 ש־ כך N1 ונמצא ,ε = b−a

2 > 0 נבחר הוכחה.נקבל n > N = max{N1, N2} אם ואז, .n > N2 לכל |bn − b| < b−a

2 ש־ כך N2

כי

. an < a +b− a

2=

b + a

2= b− b− a

2< bn

an → a אם כי יחיד, באופן נקבע סדרה של שהגבול נובע מהמשפט (i) הערות.ולכן ,b ≤ a וגם a ≤ b כי ונקבל bn = an עם (ii) ב־ נשתמש אז an → b וגם

.a = b

נכונה. אינה הטענה a ≤ b חלש שוויון אי רק במשפט יש אם כי לב שימו (ii)an = 0 למשל ניקח .bn ל־ an בין היחסים על מגבלה שום אין אז a = b אם כי

.bn = (−1)n

n ו־ n לכל

(החל an ≤ bn ≤ cn המקיימות סדרות cn ו־ bn ,an תהיינה הסנדוויץ׳] [משפט משפט.אם .L וערכו קיים lim bn הגבול גם אז .lim an = lim cn = L ש־ כך מסויים) N ממקום

.lim bn = ∞ ־ גם אז lim an = ∞ ו־ an ≤ bn

דוגמאות.

29

,hn > 0 כאשר n√

n = 1 + hn נציג ולכן ,n לכל n√

n > 1 כי .lim n√

n = 1 (i)שרשמנו השוויון של האגפים שני את נעלה ובאמת, .hn → 0 כי להוכיח ועלינו

כי הבינום) נוסחת (עפ״י ונקבל n בחזקת

n = (1 + hn)n = 1 + nhn +(

n

2

)h2

n + . . . + hnn >

(n

2

)h2

n =n(n− 1)h2

n

2.

משפט עפ״י ולכן 0 ל־ שואף ימין אגף אך .0 < hn <√

2n−1 או ,h

2n < 2

n−1 ולכן

.hn → 0 גם הסנדוויץ

n > a לכל 1 ≤ n√

a < n√

n אז a ≥ 1 אם כי .a > 0 לכל n√

a → 1 (ii)הסנדוויץ׳. ובמשפט (i) ב־ ומשתמשים

, n√

b → 1 הוכחנו שכבר מה עפ״י .b > 1 ואז ,b = 1a נרשום ,0 < a < 1 אם

. n√

a = 1n√

b→ 1 גם ולכן

טבעי. באופן מוגדרים וכו׳ מונוטונית, ממש, יורדת עולה, סדרה המושגים.n לכל an+1 > an אם ממש עולה היא סדרה למשל,

מתכנסת חסומה שאינה מונוטונית (וסדרה מתכנסת וחסומה מונוטונית סדרה משפט.יורדת). היא אם −∞ ול־ עולה, היא אם +∞ ל־ הרחב: במובן

דוגמאות.

.an+1 =√

an + c ו־ a1 = 1 רקורסיבי: באופן סדרה ונגדיר c > 0 נקבע (i)הגבול את נחשב מכן, לאחר מתכנסת. ולכן וחסומה, מונוטונית שהסדרה נראה

האריתמטיקה. חוקי עפ״י

שורש תמיד שלוקחים (זכרו n לכל an ≥ 0 שכן מלרע, חסומה הסדרה חסימות:זה מלעיל. חסומה גם היא כן ועל an ≤ 1 + c ש־ באינדוקציה נראה אי־שלילי).

n + 1 עבור ונוכיח n עבור הטענה נכונות נניח .n = 1 עבור נכון ודאי

an+1 =√

an + c ≤ √1 + c + c =

√1 + 2c < 1 + c

שורש מהוצאת האחרון ואי־השוויון האינדוקציה מהנחת נובע הראשון (אי־השוויון.(1 + 2c < 1 + 2c + c2 = (1 + c)2 באי־השוויון

ואם ,n = 1 עבור נכון זה .n לכל an ≤ an+1 כי באינדוקציה נראה מונוטוניות:כי: נקבל an ≤ an+1 נניח

an+1 =√

an + c ≤ √an+1 + c = an+2

.an ≥ 0 ש־ ומכיוון ,A שנסמנו לגבול, מתכנסת הסדרה כי נקבל המשפט עפ״י,A2 = A + c ש־ נקבל גבולות של אריתמטיקה לפי .A ≥ 0 שגם נובע n לכל

.A = 1+√

1+4c2 הוא הזו הריבועית המשוואה של החיובי והשורש

מבלי הגבול את לחשב מנת על גבולות של באריתמטיקה להשתמש אין (ii)ו־ a1 = 1 אם לדוגמא, מתכנסת. אכן הסדרה כי אחר באופן תחילה לוודא

30

אינה הסדרה ולכן זוגי, n ל־ an = 0 ו־ איזוגי n ל־ an = 1 אז ,an = 1 − an−1

לחשב כדי אריתמטיים חישובים ונבצע הגבול קיום נניח אם אולם מתכנסת.שטות. כמובן שזו ,A = 1

2 כלומר, ,A = 1−A כי נקבל אותו

*****************13 שעה סוף

וחסומה.***************** עולה שהיא למטה נראה כי מתכנסת an = (1 + 1n )n הסדרה (iii)

באופן להגדירו דרך לנו אין .e של ההגדרה שזו לב ונשים ,e ב־ הגבול את נסמןמספר איננו ואפילו רציונלי אינו הוא מכירים, שאנו אחרים גדלים ע״י מפורש

שלמים. מקדמים עם פולינום של שורש איננו הוא כלומר, אלגברי,

חסימות:

(1 +

1n

)n

=n∑

j=0

(n

j

)1nj

=n∑

j=0

1j!

n

n

n− 1n

· . . . · n− j + 1n

≤n∑

j=0

1j!

= 1 + 1 +12!

+13!

+ . . . +1n!

≤ 1 + 1 +12

+14

+ . . . +1

2n−1= 1 +

1− ( 12 )n

1− 12

< 3

ובשני ,0 ≤ k ≤ n לכל n−kn ≤ 1 ש־ בכך השתמשנו הראשון השוויון (באי

הנוסחה הוא האחרון השוויון אותה!). (הוכיחו j! ≥ 2j−1 בהערכה השתמשנו.(q = 1

2 עם גיאומטרית סדרה לסכום

מונוטוניות:האומר הממוצעים״ ב״אי־שוויון נשתמש עולה מונוטונית שהסדרה להראות כדי

אז bj ≥ 0 שאם

.

m∏

j=1

bj

1m

≤ 1m

m∑

j=1

bj

ונקבל ,2 ≤ j ≤ n+1 לכל bj = 1+ 1n ו־ b1 = 1 הערכים את באי־השוויון נציב

(1 · (1 + 1

n )n) 1

n+1 ≤ 1 + n(1 + 1n )

n + 1=

n + 2n + 1

= 1 +1

n + 1

נקבל n + 1 בחזקת האגפים שני את נעלה ואם

.an =(

1 +1n

)n

≤(

1 +1

n + 1

)n+1

= an+1

יותר כללי ובאופן ,limn→∞(1 + λn )n = eλ מתקיים λ מספר לכל למעשה הערה.

.limx→0(1 + λx)1/x = eλ

31

ל־ an מ־ במעבר כי עולה מונוטונית סדרה בוודאי זו .an =∑n

j=11j2 (iii)

שכן חסומה, גם היא חיובי. מחובר מוסיפים an+1

1 ≤n∑

j=1

1j2

= 1 +n∑

j=2

1j2≤ 1 +

n∑

j=2

1j(j − 1)

= 1 +n∑

j=2

(1

j − 1− 1

j

)

מתכנסת. הסדרה המשפט ועפ״י ,1 + 1 − 1n < 2 שערכו טלסקופי״ ״סכום שהוא

של לחומר מעבר ידע נדרש זאת להוכיח מנת על אך ,π2

6 הינו הגבול למעשה,הזה. הקורס

(וכאשר כלשהו x ממשי מספר עבור ax מגדירים אנו כיצד להסביר נוכל כעת (iv)העשרוני בייצוגו אותו נרשום .x > 0 כי נניח נוחות, לשם .(1 6= a > 0מתכנסת זו סדרה .qn = k.p1p2 . . . pn המונוטונית בסדרה ונתבונן ,x = k.p1p2 . . .ולכן n־י, ה־ המקום עד מתלכדים qn ושל x של העשרוניים הפיתוחים (כי x ל־

.(|qn − x| ≤ 10−n

שהם מעריכים עבור מביה״ס מכירים אנחנו שאותם החזקות״, ״חוקי עפ״יויורדת ,a > 1 כאשר עולה מונוטונית: an = aqn הסדרה גם רציונליים, מספריםכאשר a[x]+1 ע״י ומלמעלה ,0 ע״י מלמטה חסומה: גם הסדרה .a < 1 כאשרלהיות ax את נגדיר ואנו מתכנסת, an המשפט ע״ס .a < 1 כאשר 1 ו־ ,a > 1

שלה. הגבולבאופן בכך נשתמש (ואנחנו להראות ניתן אך לפרטים, יותר ניכנס לא אנחנומעריכים עבור גם ונכונים תקפים להיות ממשיכים החזקות״ ״חוקי כל כי חופשי)(בין כלשהי מתכנסת סדרה היא xn → x אם כי להוכיח גם ניתן כן כמו ממשיים.

.axn → ax אז לא), או מונוטוניים לא, או רציונליים אבריה אם

,j לכל Ij+1 ⊂ Ij ש־ כך סגורים קטעים Ij = [αj , βj ] יהיו קנטור] של [הלמה משפט.יחידה. נקודה מכיל החיתוך אז לאפס, שואפים ארכיהם גם אם .∩∞j=1Ij 6= ∅ אז

ולכן αj ≤ αk ≤ βk ≤ βj מתקיים j < k לכל כי אומר ההכלה תנאי הוכחה.מוכלות הן כי חסומות, גם הסדרות יורדת. {βj} ו־ עולה מונוטונית {αj} הסדרה

.β = lim βj ו־ α = lim αj ונסמן מתכנסות, הן ולכן ,I1 בקטעגם ולכן סגור, Ij הקטע אך ־־ αk ∈ Ij ש־ מתקיים k > j לכל ואז ,j נקבעיכול הגבול סגור, היה לא הקטע (אילו בקטע. נמצא ,α = lim αj הסדרה, גבולקבלנו ,j לכל נכון וזה היות לקטע!). שייך אינו שאולי הקצוות אחד להיות היהכי מראה דומה (הוכחה ריק. לא והחיתוך α ∈ ∩∞j=1Ij כלומר ,j לכל α ∈ Ij כילמעשה כי כתרגיל הראו בחיתוך. מוכל [α, β] הקטע כל ולכן β ∈ ∩∞j=1Ij גם

הזה). הקטע בדיוק הוא החיתוך

וזוהי α = β אז ,βj − αj → 0 אם כלומר, לאפס, שואפים הקטעים אורכי אםשונות נקודות שתי שיש ייתכן לא גיאומטרי (באופן בחיתוך. היחידה הנקודהלהנחה בניגוד ,j לכל b − a > 0 לפחות היה Ij של האורך אז כי בחיתוך, a < b

לאפס). שואפים שהאורכים

32

תת־סדרות 4.1.2

הם שאיבריה סדרה היא {an} של תת־סדרה נתונה. סדרה {an}∞n=1 תהא הגדרה.ע״י זאת נסמן המקורית. בסדרה כמו הסדר באותו מופיעים כשהם {an} מאיברי חלקהאיבר של המקורית בסדרה המיקומים את מייצגים n1 < n2 < . . . כאשר ,{anj}∞j=1

הסדרה. בתת וכו׳ השני, הראשון,זאת!). (הוכיחו nj ≥ j ש־ מתקיים j שלכל לב שימו

דוגמאות.

בסדרה הזוגיים במקומות המופיעים האיברים את ניקח כאן .nj = 2j (i).a2, a4, a6, . . . כלומר, ,{an}

״ריבועים״, שהם במקומות שמופיעים האיברים את ניקח כאן .nj = j2 (ii).a1, a4, a9, . . . כלומר,

תת־ איזשהי של גבול הוא (an) הסדרה של חלקי גבול .(an) הסדרה נתונה הגדרה.שלה. סדרה

דוגמא.

ושני מתכנסות סדרות תת לה יש אך מתכנסת, אינה an = (−1)n + 1n הסדרה

.limj→∞ a2j+1 = −1 ו־ limj→∞ a2j = 1 שונים חלקיים גבולות

שלה תת־סדרה כל גם אז אינסופי), או (סופי L לגבול מתכנסת (an) הסדרה אם טענה.אז שונים, לגבולות המתכנסות תת־סדרות שתי לסדרה יש אם בפרט, .L ל־ מתכנסת

מתכנסת. איננה היא

כך J יש ε > 0 לכל כי להוכיח וצריך ,(anj ) ב־ הסדרה תת את נסמן הוכחה..|anj − L| < ε מתקיים j > J שלכל

ואז ,J = N נבחר .|an−L| < ε מתקיים n > N שלכל כך N יש ההנחה עפ״יכמבוקש. |anj − L| < ε ש־ בוודאי ולכן ,nj ≥ j > J = N גם אז j > J אם

.L = ∞ למקרה ההוכחה את כתרגיל השלימו

מספר רק יש L של סביבה לכל אםם L הוא הגבול להוכחה: אחר ניסוח הערה.רק הם הסדרה תת אברי אך לסביבה. מחץ הנמצאים הסביבה אברי של סופימחוץ מהם סופי מספר רק שיש בוודאי ולכן המקורית, הסדרה מאברי חלק

לסביבה.

את מכיל (L − ε, L + ε) הקטע ,ε > 0 לכל אםם L ל־ מתכנסת an הסדרהדומה איפיון נותן הבא המשפט מהם. סופי למספר אולי פרט הסדרה אברי כל

חלקיים. לגבולות ושימושי

33

(L − ε, L + ε) הקטע ,ε > 0 לכל אםם (an) הסדרה של חלקי גבול הינו L משפט..(an) מאיברי אינסוף מכיל

אולי פרט סדרה, התת אברי כל אז anj→ L אם ברור: אחד כיוון הוכחה.

an־ים. אינסוף בו יש ובפרט בקטע. נמצאים מהם סופי למספרכך n1 נבחר .L ל־ המתכנסת סדרה תת ונבנה מתקיים, שהתנאי כעת נניח,n1 < . . . < nj−1 כבר בחרנו אם באינדוקציה: ונמשיך an1 ∈ (L − 1, L + 1) ש־(L− 1

j , L+ 1j ) הקטע כי אפשרי (זה anj ∈ (L− 1

j , L+ 1j ) ש־ כך nj > nj−1 נבחר

הסדרה). מאברי אינסוף מכילשואפים הקיצוניים הביטויים שני אך ,j לכל L− 1

j < anj < L + 1j כי קבלנו

.anj→ L גם ולכן ,L ל־

סדרה תת לה יש תמיד אך להתכנס, כמובן, חייבת, אינה חסומה סדרהמתכנסת:

אם מתכנסת. תת־סדרה יש (an) חסומה סדרה לכל [בולצאנו־ויירשטראס] משפט.אינה אם +∞ ל־ הרחב: במובן המתכנסת תת־סדרה לה יש חסומה איננה הסדרה

מלמטה. חסומה אינה אם −∞ ול־ מלמעלה, חסומה

α0 ≤ ש־ כך β0 ו־ α0 קיימים ולכן חסומה, (an) שהסדרה תחילה נניח הוכחה..n לכל an ≤ β0

מכיוון .[α0+β02 , β0] ו־ [α0,

α0+β02 ] שווים, חלקים לשני [α0, β0] הקטע את נחלק

החצאים משני באחד שלפחות הרי ,[α0, β0] בקטע נמצאים הסדרה איברי שכל.[α1, β1] ב־ זה קטע נסמן מהם. אינסוף להימצא חייבים הקטע של

אינסוף שוב יכיל מהם אחד לפחות שווים. חלקים לשני [α1, β1] את נחצה כעת.[α2, β2] ב־ זה קטע ונסמן הסדרה, מאיברי

הלמה תנאי את המקיימת [αj , βj ] קטעים סדרת ונקבל האופן באותו נמשיךנקודה מכיל הקטעים שחיתוך הרי ,βj − αj = β0−α0

2j → 0 ש־ והיות קנטור, של.L יחידה

βj−αj < אם ,ε > 0 לכל הקודם: המשפט עפ״י הסדרה של חלקי גבול הוא Lהסדרה! מאברי אינסוף מכיל הוא הבחירה ועפ״י ,[αj , bj ] ⊂ (L− ε, L + ε) אז ε

מהסדרה מאיברי אינסוף שיש היות מלמעלה. חסומה אינה (an) ש־ כעת נניחש־ קבלנו אז n1 הוא שלו האינדכס אם מהם. אחד לבחור נוכל 1 מ־ הגדוליםאחד ונבחר ,2 מ־ הגדולים הסדרה מאיברי אינסוף יש אופן, באותו .an1 > 1ונקבל כך נמשיך .an2 > 2 ואז השני, האיבר להיות (n2 > n1 אינדכס (עם מהם

.limj→∞ anj = ∞ ולכן ,j לכל anj > j המקיימת תת־הסדרה

הוא שלה העליון הגבול חסומה. סדרה an תהי הגדרה.

sup{l : הסדרה של חלקי גבול הוא l}

lim inf an ב־ ויסומן דומה באופן מוגדר התחתון הגבול .lim an או lim sup an ב־ ויסומן.lim an או

34

דוגמא.

שלה העליון הגבול חלקיים. גבולות שני יש an = (−1)n + 1n שלסדרה ראינו.−1 והתחתון 1 הוא

חלקיים. גבולות אינסוף אפילו ייתכנו כללית לסדרה כי עוד נעיר

הגבול (כלומר, שלה. חלקי גבול בעצמו הוא an סדרה של העליון הגבול גם משפט.הסדרה). של ביותר הגדול החלקי הגבול הוא העליון

מאברי אינסוף יש ε > 0 שלכל ונראה L ב־ העליון הגבול את נסמן הוכחה.גבול ונמצא הסופרמום בהגדרת נשתמש ואמנם, .(L − ε, L + ε) בקטע הסדרה(l − ε

2 , l + ε2 ) ⊂ ב־ הסדרה מאברי איסוף יש ואז ,L− ε

2 ≤ l ≤ L ש־ כך l חלקי.(L− ε, L + ε)

קושי סדרות 4.1.3

מנת על הדרושים הכלים לנו אין מתכנסת? an =∑n

j=0(−1)j

j! הסדרה האם

הגבול מהו לנחש מסוגלים לא ואנו מונוטונית, איננה הסדרה זו: שאלה על לענות(שאותו שאחריה והמשפט הבאה ההגדרה גבול). קיים שבכלל (בהנחה המיועד

שלהן. לגבול התייחסות כל ללא מתכנסות לסדרות אפיון ייתנו נוכיח) לא

לכל אם קושי) תנאי את המקיימת סדרה (או קושי סדרת נקראת (an) סדרה הגדרה..|an − am| < ε ש־ מתקיים n,m ≥ N שלכל כך טבעי N קיים ε > 0

קושי. סדרת היא אםם מתכנסת (an) סדרה משפט.

דוגמא.

היא (ולכן קושי סדרת זוהי כי ונראה an =∑n

j=0(−1)j

j! לדוגמא נחזורמתכנסת).

ובנוסחה j! ≥ 2j−1 הפשוט באי־השוויון נשתמש .m > n ו־ כלשהו ε > 0 נקבעאז m > n ≥ N ואם ,2N > 2

ε שאם ונקבל q = 12 עם סופי גיאומטרי לטור

|am − an| =

∣∣∣∣∣∣

m∑

j=n+1

(−1)j

j!

∣∣∣∣∣∣≤

m∑

j=n+1

1j!≤

m∑

j=n+1

12j−1

= 2−n 1− (1/2)m−n

1− (1/2)< 2−n+1 < ε

35

קיים שהגבול הוכחנו קושי: בתנאי לשימוש טיפוסית דוגמא זוהי (i) הערות.הקורס (בהמשך ערכו. לחישוב שיטה שום במקביל לפתח צריכים שהיינו מבלי

.(1/e הוא הגבול כי נראה

אינטואיטיבית מאוד היא קושי תנאי את מקיימת מתכנסת שסדרה העובדה (ii)אז ,L קבוע למספר קרובים הסדרה אברי אם זאת!): נסו ־ להוכחה (ופשוטה

לזה. זה קרובים בהכרח הםייתכן שלא אומר הוא אינטואיטיבי: הוא שגם למרות עדין יותר ההפוך הכיווןקרובים כולם שהם מזה ינבע שהדבר בלי לזה זה קרובים יהיו הסדרה שאברי

קבוע. מספר לאיזשהו

לכל בדוגמא, שכתבנו כפי (או, m,n > N לכל מתייחס קושי תנאי (iii)שהמרחק כלומר ,|an+1 − an| → 0 ש־ בכך להסתפק אפשר אי .(m > n > Nכי טורים) על (בפרק בהמשך נראה למשל, כרצוננו. קטן עוקבים אברים בין

.an+1 − an = 1n+1 → 0 ש־ למרות an =

∑nj=1

1k →∞

סדרות של לגבול פונקציות של גבול בין הקשר 4.2

הפונקציה ערכי אז a ל־ ״קרוב״ x שכאשר פירושו ,limx→a f(x) = L כי לאמרכל את (ולא a ל־ ה״מתקרבים״ מסויימים x ערכי רק ניקח אם .L ל־ ״קרובים״למשל, .L ל־ יתקרבו אלה בנקודות הפונקציה שערכי בוודאי האפשריים) x־ים ה־בוודאי אז ,xn → a ש־ המקיימת xn 6= a ש־ כך xn נקודות סדרת ניקח אם

.limn→∞ f(xn) = L כי היא גם תקיים ,f(xn) המתקבלים, f ערכי שסדרת

דוגמא.

קיים. לא limx→0 sin 1x שהגבול זו הערה באמצעות בודקים איך נראה

0 6= xn → 0 סדרה לכל ההערה עפ״י .L וערכו קיים שהגבול בשלילה נניחו־ an = 1

2nπ הסדרות לשתי אבל .limn→∞ sin 1xn

= L ש־ להתקיים צריך היה

מתקיים bn = 1π2 +2nπ

f(an) = sin1an

= sin 2nπ = 0 → 0

. f(bn) = sin1bn

= sin(π

2+ 2nπ) = 1 → 1 6= 0

עמוק הוא בה, שפתחנו הפשוטה להערה ההפוך המשפט שהוא הבא, המשפטהוכחה. ללא אותו וניתן יותר

xn 6= a נקודות סדרת לכל אם .a של מנוקבת בסביבה המוגדרת פונקציה f תהי משפט..limx→a f(x) = L גם אז limn→∞ f(xn) = L ש־ מתקיים xn → a ש־ המקיימת

xn →∞ ש־ המקיימת xn סדרה לכל אםם limx→∞ f(x) = L דומה באופן הערה..limn→∞ f(xn) = L ש־ מתקיים

*****************17 שעה סוף

*****************

36

5 פרק

רציפות פונקציות

יסודיות ותכונות הגדרה 5.1

עצמה!). a בנקודה (כולל a של מסויימת בסביבה המוגדרת פונקציה f תהי הגדרה..f(a) ל־ ושווה קיים limx→a f(x) הגבול אם a בנקודה רציפה f ש־ נאמר

הוא: הניסוח ε־δ בלשון הגבול קיום תנאי את במפורש כותבים כאשר.|x− a| < δ המקיים x לכל |f(x)− f(a)| < ε ש־ כך δ > 0 קיים ε > 0 לכל

הוא: הניסוח סדרות בלשון הגבול קיום תנאי את במפורש כותבים כאשר.f(xn) → f(a) ש־ מתקיים xn → a ש־ כך xn סדרה לכל

דוגמאות.

limx→a f(x) = 1 = f(a) ש־ מכיוון נקודה, בכל רציפה f ≡ 1 הפונקציה (i).a נקודה לכל

limx→a f(x) = a = f(a) ש־ מכיוון נקודה, בכל רציפה f(x) = x הפונקציה (ii).a נקודה לכל

ו־ | cos t| ≤ 1 השוויונים מאי כי נקודה, בכל רציפה f(x) = sin x הפונקציה (iii)כי נובע | sin t| ≤ |t|

| sinx− sin a| = 2∣∣∣∣sin

x− a

2cos

x + a

2

∣∣∣∣ ≤ 2∣∣∣∣sin

x− a

2

∣∣∣∣

≤ 2|x− a|

2= |x− a| →

x→a0

שהגבול מכיוון ,x = 0 ב־ רציפה איננה f =

{0 x < 01 x ≥ 0

הפונקציה (iv)

נעיר לזה). זה שווים אינם 0 ב־ החד־צדדיים (הגבולות קיים לא limx→0 f(x)

37

למשל, אחרים. לתחומים בשימושים קרובות לעיתים מופיעות כאלה פונקציות כיכזו. פונקציה ע״י מתואר ולאחריו המפסק הפעלת לפני חשמלי במעגל הזרם

.limx→a+ f(x) = f(a) אם a בנקודה מימין רציפה f שהפונקציה נאמר (i) הגדרה.משמאל. רציפות מגדירים דומה באופן

ורציפה בו, פנימית נקודה בכל רציפה היא אם בקטע רציפה f שפונקציה נאמר (ii)לקטע). שייכות הן (אם שלו הקצה בנקודות משמאל או מימין

דוגמא.

איננה והיא שלם, מספר שאיננה a נקודה בכל רציפה f(x) = [x] הפונקציהו־ limx→a+ [x] = a אז שלם מספר a אם יותר, מפורט באופן שלם. a אם רציפהמשמאל רציפה איננה אך זו, בנקודה מימין רציפה f לכן ,limx→a− [x] = a − 1

שם.

פונקציה על לחשוב ניתן מדוייק!), לא שזה (למרות אינטואיטיבי באופן הערה.״להרים מבלי בקטע שלה הגרף את לשרטט שניתן פונקציה כעל בקטע רציפה

בהמשך. זה לרעיון נחזור אנו מהדף״. העפרון את

fg ,f + g ,αf הפונקציות גם אז ,a בנקודה רציפות g ו־ f הפונקציות אם (i) משפט..a ב־ רציפות (g(a) 6= 0 (כאשר f

g ו־

רציפה f ואם ,a בנקודה רציפה g אם .g ו־ f הפונקציות של ההרכבה f ◦ g תהי (ii).a בנקודה רציפה f ◦ g אז ,b = g(a) בנקודה

הפוכה פונקציה שם לה קיימת אז בקטע, ממש ומונוטונית רציפה f הפונקציה אם (iii)ממש. ומונוטונית רציפה היא שגם f−1

זאת!). (הוכיחו גבולות. של מאריתמטיקה ישירות נובעת ההוכחה (i) הוכחה.

מקיימת xn הסדרה כי נניח סדרות: בעזרת הרציפות בהגדרת נשתמש (ii)ולכן ,a ב־ רציפה g כי נתון .(f ◦ g)(xn) → (f ◦ g)(a) כי ונוכיח xn → a

ולכן g(a) = b ב־ רציפה f ש־ גם ידוע אך .yn = g(xn) → g(a) = b

(f ◦ g)(xn) = f(yn) → f(b) = (f ◦ g)(a)

.

אינטואיטיבי. הסבר ניתן ורק במדוייק, זה סעיף נוכיח לא (iii)שלה הגרף את לשרטט ניתן אם רציפה היא פונקציה אינטואיטיבי באופןשל y = x סביב שיקוף הינו f−1 של הגרף אך מהדף״. העפרון את להרים ״מבליאת להרים ״מבלי f הפונקציה של הגרף את לשרטט ניתן אם ולכן ,f של הגרףגם רציפה f−1 כלומר, ,f−1 של לגרף גם זאת לעשות ניתן אז מהדף״, העפרון

היא.

38

ורק אם x < y ואז ממש, עולה f שהפונקציה למשל נניח ברורה. המונוטוניות.f−1(s) < f−1(t) אםם s < t כלומר ,s = f(x) < f(y) = t אם

דוגמאות.

הרציפות הפונקציות של כהרכבה רציפה cosx = sin(x + π/2) הפונקציה (i).g(x) = x + π/2 ו־ f(x) = sin x

שלה. ההפוכה כפונקציה רציפה loga גם ולכן רציפה, ax ש־ אמרנו (ii)הפונקציות שכל מקבלים אנו רציפות, הן רציפות פונקציות של שהרכבות היותבכל רציפות (log x ו־ arctan x ,

√x כגון הפוכות פונקציות (כולל האלמנטריות

הגדרתן. תחום.x = 0 ל־ פרט נקודה בכל רציפה sin 1

x הפונקציה למשל,

שבה סביבה a ל־ יש אז .f(a) > 0 ש־ כך a בנקודה רציפה פונקציה f תהי למה.להחליף כמובן, ניתן, כן וכמו ,f(a) < 0 עבור נכונה אנלוגית טענה .x לכל f(x) > 0

.M אחר מספר בכל 0 את

|f(x)− f(a)| < ε ש־ כך δ > 0 קיים ε > 0 לכל ולכן a בנקודה רציפה f הוכחה.δ > 0 קיים כלומר, .ε = f(a) > 0 עבור נכון זה בפרט .a של δבסביבת־ x לכל

זו. בסביבה f(x) > 0 ולכן ,a של δבסביבת־ |f(x)− f(a)| < f(a) ש־ כך

אי־רציפות נקודות מיון 5.2

הגבול קיים אם a בנקודה סליקה אי־רציפות יש f שלפונקציה נאמר (i) הגדרה.בנקודה כלל מוגדרת אינה f ש־ או f(a) ל־ שווה אינו שהוא או אך ,limx→a f(x)אנו אם בין x = 0 בנקודה סליקה אי־רציפות יש f(x) = sin x

x לפונקציה (לדוגמא: .a.(0 ב־ הפונקציה את כלל מגדירים איננו אם ובין ,1 מ־ השונה כמספר f(0) את מגדירים

הגבולות שני אם a בנקודה קפיצה מסוג אי־רציפות יש f שלפונקציה נאמר (ii)(לדוגמא: מזה. זה שונים אך קיימים, limx→a− f(x) ו־ limx→a+ f(x) החד־צדדייםאי־ נקודות לעיתים נקראות קפיצה נקודות השלמות). בנקודות f(x) = [x] הפונקציה

הראשון. מהסוג רציפות

משני אחד לפחות אם a בנקודה עיקרית אי־רציפות יש f שלפונקציה נאמר (iii)sin(1/x) (לדוגמא: קיים. אינו limx→a− f(x) או limx→a+ f(x) החד־צדדיים הגבולותמהסוג אי־רציפות נקודות לעיתים נקראות עיקריות אי־רציפות נקודות .(x = 0 ב־ 1/x או

השני.

נקבל בו נקודה בכל חד־צדדיים גבולות יש בקטע מונוטונית שלפונקציה מכיוון

להיות שיכולות אי־הרציפות נקודות אז בקטע. ומונוטונית מוגדרת פונקציה f תהי משפט.קפיצה. מסוג רק הן לה

*****************18 שעה סוף

*****************

39

סגור בקטע רציפות פונקציות 5.3

אריתמטיות פעולות הגדרות, הרציפות: מושג של ״הטכני״ בחלק עסקנו עתה עדפונקציות של יותר עמוקות בתכונות לעסוק נעבור כעת וכו׳. רציפות פונקציות על

בקטע. רציפותהוא רציפה פונקציה של שהגרף האינטואיציה את ממחיש הראשון המשפטלעבור יכול אינו ולכן מהדף״, העפרון את להרים ״מבלי אותו לשרטט שניתן כזה

הביניים. ערכי כל את לעבור מבלי אחר לערך אחד מערך

מספר α ויהי ,[a, b] סגור בקטע רציפה פונקציה f תהי הביניים] ערך [משפט משפט..f(c) = α ש־ כך a < c < b נקודה קיימת אז .f(b) ל־ f(a) בין כלשהו

סדרת באינדוקציה ונגדיר f(a) < f(b) כי הכלליות, הגבלת בלי נניח, הוכחה.ו־ a0 = a כאשר [a0, b0] יהיה הראשון הקטע הבא. באופן סגורים קטעיםשווים חלקים לשני [a0, b0] הקטע את נחלק [a1, b1] את להגדיר כדי .b0 = b

אפשרויות: בשלוש ונבחין [a0+b02 , b0] ו־ [a0,

a0+b02 ]

.(c = a0+b02 ניקח (כי ההוכחה את סיימנו f(a0+b0

2 ) = α אם (i)

.[a1, b1] = [a0+b02 , b0] נסמן f(a0+b0

2 ) < α אם (ii)

.[a1, b1] = [a0,a0+b0

2 ] נסמן f(a0+b02 ) > α אם (iii)

.f(a1) < α < f(b1) כי מתקיים (iii) ו־ (ii) המקרים בשני כי לב נשיםש־ כך [an, bn] הקטעים סדרת את ונבנה אינדוקטיבי באופן נמשיך

.[an−1, bn−1] ב־ מוכל [an, bn] הקטע (1) •.f(an) < α < f(bn) (2) •.bn − an = b−a

2n (3) •,c ב־ שנסמנה יחידה, נקודה הוא הקטעים חיתוך קנטור של הלמה עפ״י

המבוקשת. הנקודה שזוהי נראה .lim an = lim bn = c ומתקיים,n לכל f(an) < α אך .f(an) → f(c) כי נקבל רציפה f ו־ an → c ו־ מאחר

.f(c) ≤ α יקיים הגבול גם ולכןכלומר, ,α ≤ f(c) ≤ α ולכן ,f(c) ≥ α ש־ f(bn) > α מ־ נסיק דומה באופן

כמבוקש. f(c) = α

מקורב פתרון למציאת חישוב״ ״שיטת למעשה נותנת המשפט הוכחת הערה.רכיבים: שני להיות צריכים כזו לשיטה .f(x) = α למשוואה

נשתמש (אצלנו שלבים. n לאחר לפתרון קירוב לחישוב מפורש אלגוריתם (i).(an את כקירוב ונקח הקטע חציית של באלגוריתם

(אצלנו האמיתי. לפתרון שמצאנו המקורב הערך בין לשגיאה הערכה (ii).(|c− an| < |b−a|

2n כי נותנות |bn − an| = |b−a|2n ו־ an < c < bn ההערכות

רוצים וכי [a, b] = [0, 1] כי למשל, נניח, פשוט: החישוב בשיטת השימוש תהליך. 11000 מ־ קטנה טעות עם c את לחשב

40

זאת). מקיים n = 10) 12n < 1

1000 ש־ כך n ((ii) (ע״ס נמצא הראשון בשלבואז ,a10 את המשפט בהוכחת המתואר האלגוריתם עפ״י מחשבים, אח״כ

.|c− a10| < 1210

=1

1024<

11000

דוגמאות.

אחד. שורש לפחות קיים אי־זוגית ממעלה פולינום לכל (i)בלי ונניח ,an 6= 0 ו־ אי־זוגי n כאשר p(x) = a0 + a1x + . . . + anxn נסמן

נציג x 6= 0 עבור .an > 0 ש־ הכלליות הגבלת

.p(x) = xn(a0

xn+

a1

xn−1+ . . . + an)

xn → ±∞ ש־ בעוד an ל־ שואף שבסוגריים הביטוי x → ±∞ כאשרקיים בפרט .limx→−∞ p(x) = −∞ ו־ limx→∞ p(x) = ∞ ולכן בהתאמה,פונקציה הוא ופולינום היות .p(b) > 0 ש־ כך b > a וקיים p(a) < 0 ש־ כך aנקודה שקיימת ונקבל α = 0 עבור הביניים ערך במשפט להשתמש אפשר רציפה

.p(c) = 0 ש־ כך a < c < b

מת״א יוצא סטודנט ראשון, ביום ק״מ. 100 הוא לת״א חיפה בין המרחק (ii)עוזב הוא חמישי ביום בלילה. 10 לפני לחיפה ומגיע בבוקר 10 לאחר כלשהו בזמןכך t0 זמן קיים האם בלילה. 10 לפני לת״א ומגיע בבוקר 10 אחרי חיפה את

הימים? בשני t0 בזמן בדרך נקודה באותה נמצא שהואמרחקו ואת f1(t) ע״י ראשון ביום t בזמן מת״א הסטודנט מרחק את נסמןלנו אומרת הפיזיקה .f = f1 − f2 ונגדיר ,f2(t) ע״י חמישי ביום t בזמן מת״אשתי של (כהפרש רציפה f ש־ אומרת המתמטיקה רציפות. f1, f2 שהפונקציותעשר השעה ואת t = 10 ע״י בבוקר עשר השעה את נסמן אם רציפות). פונקציות

כי יתקיים t = 22 ע״י בלילה

f(10) = f1(10)− f2(10) = 0− 100 = −100 < 0f(22) = f1(22)− f2(22) = 100− 0 = 100 > 0

f1(t0) = כלומר ,f(t0) = 0 ש־ כך 10 < t0 < 22 יש הביניים ערך משפט ולפי.f2(t0)

להבין. יכול ילד שכל מתמטי לא פתרון תנו תרגיל.

כתרגיל!) (הוכיחו קטע. היא רציפה פונקציה ע״י קטע של התמונה (iii)

הוכחה. ממש. בו מונוטונית היא אז ,[a, b] בקטע ורציפה חח״ע f הפונקציה אם משפט.

על לדלגממש.ההוכחה עולה מונוטונית f ש־ ונראה f(a) < f(b) ש־ למשל, נניח, .f(a) 6= f(b) ש־ הרי חח״ע, f ש־ היות

מכיוון f(x) = f(y) ש־ ייתכן (לא f(x) > f(y) אולם ,a < x < y < b ש־ כך y ו־ x שיש בשלילה נניחמקרים. בשני ונבחין חח״ע), f ש־

41

f(x) > α > ש־ כך α ונבחר ,f(x) > max{f(a), f(y)} השלילה הנחת עפ״י אז f(x) > f(a) אם (i),f(c) = f(d) = α ש־ כך x < d < y ו־ a < c < x יש הביניים ערך משפט פי על .max{f(a), f(y)}

חח״ע. fש־ לכך בסתירה

f(x) < f(a) < f(b) ≤ f(y) מקבלים היינו שאחרת (מכיוון f(y) < f(b) בהכרח אז f(x) < f(a) אם (ii).f(y) < β < min{f(b), f(x)} ש־ כך β לבחור נוכל לכן .(f(x) > f(y) ש־ להנחה בסתירה

שוב ,f(c) = f(d) = β ש־ וכך x < c < y < d < b ש־ כך d ו־ c קיימים הביניים ערך משפט פי על

חח״ע. f ש־ לכך בסתירה

גם (ונראה בתיכון למדתם מאד. חשוב עקרוני משפט הינו הבא המשפטלפונקציה אם שם שאלתם לא אך נגזרות, ע״י קיצון נקודות למצוא בהמשך)נגזור לאפס, נשווה נגזור, רבה, עבודה נשקיע אולי כאלה. נקודות בכלל ישפונקציה שעבור מבטיח המשפט כלום? נמצא לא המאמץ כל ובסוף נוספת פעםאינו החיפוש ושתהליך כאלה נקודות יש שאכן מראש נדע סגור בקטע רציפה

לשווא. מבוצע

אז .[a, b] סגור בקטע רציפה פונקציה f תהי [ויירשטראס] משפט.

.[a, b] ב־ חסומה הפונקציה (i)

ומינימום. מקסימום [a, b] ב־ מקבלת הפונקציה (ii)

שהיא בכלליות, הגבלת בלי ונניח, חסומה, אינה f ש־ בשלילה נניח (i) הוכחה.הסדרה .f(xn) > n ש־ כך xn ∈ [a, b] קיים n לכל לכן, מלמעלה. חסומה אינהלה קיימת בולצאנו־ויירשטראס, משפט עפ״י ולכן, (a ≤ xn ≤ b (כי חסומה xn

.xnk→ x0 מתכנסת תת־סדרה

כלומר הגבול, עבור גם אי־שוויונים אותם נקבל ,k לכל a ≤ xnk≤ b ש־ היות

,limk→∞ f(xnk) < ∞ כלומר ,f(xnk

) → f(x0) ש־ נובע f מרציפות .x0 ∈ [a, b]!f(xnk

) > nk →∞ כי הנותנת xn־ים ה־ לבחירת סתירה זו אולם בכיתה לתתההוכחה רק(i) הערה עפ״י

ולכן חסומה f ש־ ידוע (i) סעיף לפי מינימום). עבור להוכיח ניתן דומה (באופן מקסימום מקבלת fש־ נוכיח (ii).f(xn) > M− 1

n ש־ כך xn ∈ [a, b] קיים n שלכל נקבל הסופרמום הגדרת לפי .M ב־ שנסמנו סופרמום לה קייםולכן f(x0) = M ש־ ונראה ,xnk

→ x0 ∈ [a, b] מתכנסת תת־סדרה קיימת ,(i) בסעיף כמו השיקולים מאותם.x0 ב־ מקסימום מקבלת fxn־ים ה־ בחירת עפ״י

M ≥ f(xnk) > M − 1

nk

→ M

.f(x0) = M ולכן ,f(xnk) → f(x0) ש־ נובע f מרציפות אך .f(xnk

) → M הסנדוויץ׳ משפט וע״ס

המשפט אלה תנאים בלי סגור. ושהקטע רציפה f ש־ היו המשפט תנאי הערה.ואיננה (0, 1] פתוח החצי בקטע רציפה f(x) = 1

x הפונקציה למשל, נכון. אינו

הסגור בקטע מוגדרת f(x) =

{x 0 < x ≤ 11 x = 0

הפונקציה מלמעלה. בו חסומה

מקבלת אינה היא אך חסומה, הפונקציה ״במקרה״ בו. רציפה ואינה [0, 1]בקטע. מינימום

*****************20 שעה סוף

*****************

42

6 פרק

דיפרנציאלי חשבון

נגזרות 6.1

בסיסיות ותכונות הגדרות 6.1.1

אם a בנקודה גזירה היא ,a הנקודה של בסביבה המוגדרת ,f שפונקציה נאמר הגדרה.f של הנגזרת לו ונקרא f ′(a) ע״י זה גבול נסמן וסופי. קיים limx→a

f(x)−f(a)x−a הגבול

.a בנקודה

.f ′(a) = limh→0f(a+h)−f(a)

h כגבול הנגזרת את נרשום לפעמים נוספים. סימונים

נסמן אנלוגי באופן .∆y∆x או

∆f∆x ע״י לעיתים מסומנת

f(x)−f(a)x−a ההפרשים מנת

לב שימו (אך . dydx או

dfdx ע״י פשוט או ,

dydx (a) או df

dx (a) ע״י הנגזרת את לעתיםחילוק!) פעולת כאן ואין בלבד סימון שזהו

זמן, מתאר t כשהמשתנה ,x(t) פונקציה של הנגזרת את לסמן נהוג בפיסיקה.x ע״י פשוט או x(t) ע״י

לפונקציה המשיק של כשיפוע הנגזרת של הגיאומטרי בפירוש דנו בהקדמה״מתקרבת״ x הנקודה כאשר מיתרים של השיפועים כגבול אותו כשתארנו ,a בנקודהכשינוי כלומר, ,a בנקודה f של השינוי כקצב הנגזרת את פירשנו כן כמו .a ל־מהירות, דוגמאות: שתי ראינו .x של לשינוי ביחס a בנקודה f של ה״מקומי״

שולית. ועלות המיקום, של השינוי קצב את המתארתשהתייל נניח הומוגני. לא תייל של המסה בצפיפות נדון נוספת, דוגמא בתורהמסה את f(x) ב־ ונסמן בראשית, השמאלי כשקצהו המספרים ציר על מונחהביטוי .[a, x] הקטע של המסה את מתאר f(x) − f(a) אז .[0, x] הקטע שלבמילים או זה, בקטע אורך ליחידת הממוצעת המסה את לכן, מייצג, f(x)−f(a)

x−a

מתאר f ′(a) כי נקבל x → a כשנשאיף בקטע. הממוצעת הצפיפות את אחרות,מסה/אורך. כמובן, הן, הצפיפות של היחידות .a בנקודה המסה צפיפות את

דוגמאות.

43

ולכן f ′(a) = limx→ac−cx−a = 0 ש־ מתקיים a נקודה לכל קבועה. f ≡ c (i)

.f ′ ≡ 0

.f ′ ≡ 1 ולכן f ′(a) = limx→ax−ax−a = 1 ש־ מתקיים a נקודה לכל .f(x) = x (ii)

שהגבול מכיוון x = 0 ב־ גזירה איננה f(x) = |x| הפונקציה (iii)

limx→0

f(x)− f(0)x− 0

= limx→0

|x|x

.−1 הוא משמאל והגבול 1 הוא מימין הגבול קיים: לאשלה הגרף אז מסויימת בנקודה גזירה פונקציה אם אינטואיטיבי, באופן

.(x = 0 בנקודה |x| של ה״חוד״ (כמו בנקודה ״חוד״ לו ואין שם ״חלק״זאת לראות כדי .f ′(x) = nxn−1 אז טבעי, מספר n כאשר f(x) = xn אם (iv)

בנוסחה נשתמש

an − bn

a− b= an−1 + an−2b + . . . + abn−2 + bn−1

ונקבל

.(x + h)n − xn

h= (x + h)n−1 + (x + h)n−2x + . . . + xn−1 −→

h→0nxn−1

ממשי.) µ לכל נכונה (xµ)′ = µxµ−1 דומה שנוסחה נראה (בהמשך

והמשיק הראשונית, מהאינטואיציה מורכב יותר הוא ״המשיק״ מושג חשובה. הערהמקיימת f(x) = x3 לדוגמא הגרף. של אחד מצד כולו להיות חייב אינו המתמטימתלכד והוא 0 שיפוע יש 0 בנקודה למשיק כלומר ,f ′(0) = 0 ו־ f ′(x) = 3x2

הפונקציה! של הגרף את משיקי״ ״באופן חוצה זה ומשיק x־ים, ה־ ציר עם

ש מתקיים a נקודה שלכל מכיוון ,f ′(x) = cos x אז f(x) = sin x אם (v)

.sin(a + h)− sin a

h=

2 cos 2a+h2 sin h

2

h−→h→0

cos a

.( 2 sin h2

h → 1 ו־ cos 2a+h2 → cos a ש־ בכך כאן (השתמשנו

.(cos x)′ = − sin x דומה באופן (vi)

limn→∞(1 + λn )n = eλ ש־ ניזכר כי .f ′(x) = 1/x אז ,f(x) = lnx אם (vii)

נקבל λ = 1x ניקח אם לכן, .limh→0(1 + λh)1/h = eλ יותר כללי ובאופן

.ln(x + h)− ln x

h= ln

(x + h

x

)1/h

= ln(

1 +1x· h

)1/h

−→ ln e1/x =1x

איננה ההפוכה הטענה אולם שם, רציפה היא אז a בנקודה גזירה f פונקציה אם טענה.נכונה.

44

.limx→a(f(x) − f(a)) = 0 או ,limx→a f(x) = f(a) כי להוכיח צריך הוכחה.ואמנם

f(x)− f(a) =f(x)− f(a)

x− a· (x− a) −→

x→a0

.0 ל־ x− a ו־ f ′(a) ל־ שואפת ההפרשים שמנת מכיווןזו .f(x) = |x| בפונקציה נתבונן נכון, אינו ההפוך שהכיוון להראות כדי

.x = 0 בנקודה גזירה איננה היא אך נקודה, בכל רציפה פונקציה

הגבול אם a בנקודה מימין חד־צדדית נגזרת יש f שלפונקציה נאמר (i) הגדרה..f ′+(a) ע״י מימין הנגזרת את נסמן קיים. limx→a+

f(x)−f(a)x−a

גזירה f ש־ (כמובן .f ′−(a) ב־ ונסמנה משמאל חד־צדדית נגזרת נגדיר דומה באופןלזו). זו שוות והן קיימות f ′−(a) ו־ f ′+(a) החד־צדדיות הנגזרות שתי אםם a ב־

בקטע. נקודה בכל גזירה היא אם (a, b) פתוח בקטע גזירה f ש־ נאמר (ii)

הפונקציות גם אז .a בנקודה גזירות פונקציות g ו־ f תהיינה הגזירה] [כללי משפט.הנוסחאות את מקיימות שם ונגזרותיהם ,a ב־ גזירות הבאות

(af)′ = af ′ (i)

.(f + g)′ = f ′ + g′ (ii)

.(fg)′ = fg′ + f ′g (iii)

.g(a) 6= 0 ש־ בתנאי ( fg )′ = f ′g−fg′

g2 (iv)

כתרגיל). (הוכיחו גבולות של מאריתמטיקה מיידית נובעים (i) + (ii) הוכחה.

(iii)

f(x)g(x)− f(a)g(a)x− a

= g(x)f(x)− f(a)

x− a+ f(a)

g(x)− g(a)x− a

−→x→a

f ′(a)g(a) + f(a)g′(a).

(iv)f(x)g(x) − f(a)

g(a)

x− a=

1g(x)g(a)

(g(a)

f(x)− f(a)x− a

− f(a)g(x)− g(a)

x− a

)

−→x→a

1g2(a)

(f ′(a)g(a)− g′(a)f(a)

).

דוגמאות.

.(loga x)′ = ( ln xln a )′ = 1

ln a · (lnx)′ = 1x ln a (i)

.(tan x)′ =(

sin xcos x

)′= 1

cos2 x (ii)

45

מורכבת פונקציה של גזירה 6.1.2

בנקודה גזירה פונקציה g ותהי a בנקודה גזירה פונקציה f תהי השרשרת] [כלל משפט.הנוסחה ע״י נתונה ונגזרתה a ב־ גזירה g ◦ f אז .b = f(a)

. (g ◦ f)′(a) = g′(f(a))f ′(a) = g′(b)f ′(a)

הפנימית״. ״הנגזרת קוראים במכפלה f ′(a) לביטוי

דוגמא.

.(sin(x2))′ = cos(x2) · 2x

המקרה הוא נדון בו המקרה אולם זה, למשפט מלאה הוכחה ניתן לא הוכחה.נכון. המשפט מדוע מסביר והוא העיקרי,

עצמנו נגביל .t → b כי ,a בנקודה f מרציפות גורר, x → a ואז ,t = f(x) נסמןלרשום נוכל ואז ,x 6= a כאשר f(x) 6= f(a) ש־ למקרה כעת

g(f(x))− g(f(a))x− a

=g(f(x))− g(f(a))

f(x)− f(a)· f(x)− f(a)

x− a

=g(t)− g(b)

t− b· f(x)− f(a)

x− a−→x→a

g′(b)f ′(a)

f(x) = המקיימים x־ים ל־ קורה מה גם כשמנתחים מושגת המלאה ההוכחה.f(a)

הנוסחה את נקבל y = g(t) ו־ t = f(x) נרשום אם הערה.

dy

dx= (g ◦ f)′(x) = g′(f(x))f ′(x) = g′(t)f ′(x) =

dy

dt· dt

dx

בלבד בסימון שמדובר כמובן !dt ב־ השבר את ״הרחבנו״ שפשוט כאילו שבהנראה . dy

dx שבסימון החוכמה את ממחישה זו דוגמא אולם ״צמצומים״, באמת ואיןאינטגרלים. על נדבר כאשר בהמשך, גם זאת

השרשרת לכלל שימושים

דוגמאות: בשתי נתבונן לוגריתמיות. גזירה (i)

(את האגפים שני את וכשנגזור ,ln f(x) = µ ln x נציג f(x) = xµ את לגזור כדי .1

.f ′(x) = µf(x)x = µxµ−1 ולכן . f

′(x)f(x) = µ

x נקבל השרשרת) כלל לפי השמאלי

המשוואה אגפי שני את וכשנגזור ,ln y = x ln x נציג y = xx את לגזור כדי .2.y′ = y(1 + ln x) = xx(1 + ln x) לכן .y

′

y = xx + ln x = 1 + ln x נקבל

46

אלא ישירה, בצורה נתון אינו y ל־ x בין הקשר לעיתים קשורים: קצבים (ii)dydt הנגזרת לחישוב כלי מהווה השרשרת כלל .t שלישי למשתנה קשר באמצעות.t המשתנה של במונחים y של מפורשת נוסחה תחילה למצוא שנצטרך מבלי

והרדיוס h גובהו חודו, על העומד ניצב חרוט בצורת מיכל נדמיין לדוגמא,של קבועה במהירות מים המיכל לתוך מוזגים .r הוא העליון בקצהו העיגול של

ס״מ? 5 הוא שגובהם בזמן המים בגובה השינוי קצב מהו .s cm3

sect0 בזמן y′(t0) מהו היא השאלה ואז ,y(t) ע״י t בזמן המים גובה את נסמן

.y(t0) = 5 שבונקבל משולשים מדמיון .r(t) ע״י t בזמן המים בגובה המעגל רדיוס את נסמן

הוא t בזמן במיכל המים נפח ולכן ,r(t) = ry(t)h כלומר , r(t)y(t) = r

h כי

. V (t) =πr(t)2y(t)

3=

πr2y(t)3

3h2

שני את כשנגזור ולכן ,V ′ ≡ s כלומר ,s קבוע בקצב המים את שמוזגים נתוןכי השרשרת כלל עפ״י נקבל המשוואה אגפי

. s =πr2

3h23y(t)2y′(t) =

πr2

h2y(t)2y′(t)

או s = πr2

h2 52y′(t0) כי ונקבל y(t0) = 5 הנתון את כעת נציב

. y′(t0) =sh2

25πr2

נוסחה חישוב וללא t0 את כלל שנחשב בלי זו לתוצאה שהגענו לב שימו!y(t) עבור מפורשת

*****************23 שעה סוף

*****************

ההפוכה הפונקציה של הנגזרת 6.1.3

נגזרתה את מכירים ואנחנו ,ln x לפונקציה ההפוכה הפונקציה היא ex הפונקציהשל הנגזרת את לחשב כדי זו בנוסחה להשתמש איך נראה .(lnx)′ = 1/x שהיא

.(ex)′

ונקבל האגפים שני את נגזור .ln(ex) = x כי נקבל ההפוכה הפונקציה מהגדרת.(ex)′ = ex נחלץ ומכאן . 1ex (ex)′ = 1 ש־

ש מתקיים 1 6= a > 0 שלכל מכאן לקבל השרשרת כלל בעזרת הערה.

. (ax)′ =(ex ln a

)′ = ex ln a ln a = ax ln a

בדוגמא השתמשנו שבה השיטה את מכליל הבא המשפט

47

f−1 אז f ′(t) 6= 0 אם .f(t) = x ונסמן ,t בנקודה וגזירה ממש מונוטונית f תהי משפט.ומתקיים x ב־ גזירה

. (f−1)′(x) =1

f ′(f−1(x))

גזירה. f−1 ש־ העובדה את ולא הנוסחה את רק נוכיח אנו הוכחה.השרשרת). כלל עפ״י (השמאלי האגפים שני את ונגזור f(f−1(x)) = x נרשום

.(f−1)′(x) = 1f ′(f−1(x)) ולכן f ′(f−1(x))(f−1)′(x) = 1 ש־ נקבל

של השיקוף הינו f−1 של הגרף לנוסחה. גיאומטרי הסבר הנה (i) הערות.ול־ (x, f(x)) בנקודה f ל־ המשיקים גם ולכן ,y = x הישר סביב f של הגרףגיאומטריה כזה. שיקוף ע״י מזה זה מתקבלים בהתאמה (f(x), x) בנקודה f−1

ה־ ציר עם האלה המשיקים שיוצרים β ו־ α הזוויות כי מראה אלמנטריתהטריגונומטרית מהנוסחה מתקבלת הנוסחה ןאז ,α + β = π/2 מקיימות x־ים

.tan(π2 − α) = 1

tan α

באופן זאת לקבל ניתן קיים. לא (f−1)′(x0) אז f ′(f−1(x0)) = 0 אם (ii)משיקולים גם בזאת להשתכנע ניתן אולם באפס, מחלקים כי מהנוסחה, פורמלי.f−1 ל־ אנכי למשיק השיקוף תחת עובר f של האופקי המשיק גיאומטריים:

שהחישובים כמובן .dxdy = 1

/dydx לרשום היא הנוסחה את לזכור טובה דרך (iii)

מתאימות. בנקודות להעשות צריכים השוויון אגפי בשני

דוגמא.

כי ונקבל ,f−1(x) = arcsin x אז f(x) = sin x אם

(arcsin)′(x) =1

sin′(arcsin x)=

1cos(arcsin x)

=1√

1− x2

השני). הבית שיעורי ובגליון 2 מספר בתרגול (ראו cos(arcsin x) =√

1− x2 כי

x = sin y ואז ,y = arcsin x נרשום אחרת: בדרך גם נוסחה אותה לקבל ניתןומקבלים

.dy

dx= 1

/dx

dy=

1cos y

=1√

1− sin2 y=

1√1− x2

גבוה מסדר נגזרות 6.1.4

פונקציה גם הקטע. באותו חדשה פונקציה הינה f ′ אז בקטע, גזירה f אםהקטע. בכל אפילו או הקטע, של מסויימות בנקודות גזירה להיות יכולה זו חדשהבאופן .f של השנייה הנגזרת לה ונקרא f ′′ = (f ′)′ ע״י שלה הנגזרת את נסמן

.f (n) = (f (n−1))′ ע״י n־ית ה־ הנגזרת את להגדיר ניתן אינדוקטיבי

48

עבור מהנוסחאות ישיר באופן נובעים גבוה מסדר נגזרות של הגזירה חוקייותר נוסחה מקבלים ולמכפלה ,(f + g)(n) = f (n) + g(n) כך ראשון. מסדר נגזרתבאינדוקציה) אותה (הוכיחו ניוטון של הבינום לנוסחת דומה מבנה עם מסובכת,

(fg)(n) =n∑

j=0

(n

j

)f (j)g(n−j)

של גבוה מסדר לנגזרות פשוטה נוסחה אין .f (0)(x) = f(x) מסמנים אנו כאשרמנה.

*****************25 שעה סוף

*****************

גזירות פונקציות של תכונות 6.2

מקומי קיצון נקודות 6.2.1

לכל אם (גלובלי) מינימום נקודת היא x0 ∈ I אז I בקטע מוגדרת f שאם נזכור(גלובלי). מקסימום נקודת מגדירים דומה באופן .f(x) ≥ f(x0) מתקיים x ∈ I

קיימת אם x0 ב־ מקומי מינימום יש I בקטע המוגדרת f לפונקציה כי נאמר הגדרה..f(x) ≥ f(x0) ש־ מתקיים x ∈ J שלכל כך x0 של J ⊂ I סביבה

מקבלת f אם מקומי קיצון נקודת x0 ש־ ונאמר מקומי, מקסימום נגדיר דומה באופןמקומי. מקסימום או מקומי מינימום בה

נקודת היא x0 אם .x0 פנימית בנקודה וגזירה I בקטע מוגדרת f תהי [פרמה] משפט..f ′(x0) = 0 אז f של מקומי קיצון

כלומר, ,f של מקומי מינימום נקודת הינה x0 כי הכלליות הגבלת בלי נניח הוכחה.x ∈ J לכל .f(x) ≥ f(x0) ש־ מתקיים x ∈ J שלכל כך x0 של J סביבה יש

אפשרויות. בשתי ונבחין f(x)−f(x0)x−x0

ההפרשים במנת נסתכל

אי־שוויון . f(x)−f(x0)x−x0

≥ 0 ולכן חיובי, והמכנה אי־שלילי המונה אז x > x0 אם

.f ′+(x0) ≥ 0 ולכן x → x0 כאשר בגבול נשמר זהגזירה f אך .f ′−(x0) ≤ 0 ולכן שלילי, והמכנה אי־שלילי המונה אז x < x0 אם

.f ′(x0) = 0 כלומר ,0 ≤ f ′+(x0) = f ′(x0) = f ′−(x0) ≤ 0 ולכן ,x0ב־

של מקומי קיצון נקודת עבור הכרחי תנאי הינו f ′(x0) = 0 התנאי (i) הערות.בנקודה להתאפס יכולה פונקציה של והנגזרת מספיק, אינו אך גזירה פונקציהש־ מקיימת f(x) = x3 הפונקציה למשל, מקומי. קיצון נקודת שתהיה מבלי

ממש. עולה מונוטונית והיא ,f ′(0) = 0

במקום גלובליות. קיצון נקודות במציאת גם יעיל מאוד פרמה משפט (ii)בד״כ) (קצרה רשימה נותן המשפט הקטע, נקודות אינסוף בין כזו נקודה לחפש(בהנחה הקטע של הקצה נקודות גלובליות: קיצון כנקודות ״חשודות״ נקודות של

49

פנימיות ונקודות גזירה איננה f בהן נקודות סגור), בקטע מוגדרת שהפונקציהע״י הגלובליות הקיצון נקודות את למצוא נוכל בד״כ מתאפסת. הנגזרת שבהן

אלה. בנקודות המתקבלים הפונקציה ערכי בין פשוטה השוואה

לבדוק תחילה יש (ii) ב־ המתואר השיטתי החיפוש את שמפעילים לפני (ii)בד״כ נובע הקיום זאת!). מדגימה להלן (ii) (דוגמא קיצון נקודת בכלל יש האם

נוספים. נימוקים בעזרת או ישיר באופן ווירשטראס, ממשפט

דוגמאות.

רציפה פונקציה זוהי .[−1, 1] בקטע f(x) =√|x|(1− x) בפונקציה נתבונן (i)

ומקסימום מינימום שם מקבלת היא ויירשטראס משפט לפי ולכן סגור, בקטעשמתקבלים הפונקציה ערכי בין ונשווה החשודות״ ה״נקודות כל את נמצא גלובליים.

שם.הנגזרת .f ′(x) = 1−2x

2√

x−x2 ולכן f(x) =√

x− x2 ש־ מתקיים 0 < x < 1 כאשר.x = 1/2 החשודה״ ה״נקודה את נקבל ולכן x = 1/2 עבור מתאפסת

f ′(x) = 2x−12√

x2−xולכן f(x) =

√x2 − x ש־ מתקיים −1 < x < 0 כאשר

זה. ערכים בתחום מתאפסת שאיננה״הנקודות לרשימת נוסיף ולכן גזירה, אינה כלל והפונקציה ייתכן x = 0 כאשר

.x = ±1 הקטע קצות את גם וכמובן ,x = 0 הנקודה את החשודות״נותנת f( 1

2 ) = 12 ו־ f(−1) =

√2 , f(0) = f(1) = 0 הערכים השוואת

ונקודת x = 1 ו־ x = 0 הן [−1, 1] בקטע הפונקציה של המינימום נקודות כי.x = −1 היא המקסימום

מתאפסת הנגזרת .f(x) = x3 − 3x הפונקציה על החיפוש שיטת את נפעיל (ii)שהמכסימום לכאורה, תתן, אלה בנקודות הערכים והשוואת ,x = ±1 בנקודותומקסימום מינימום אינם אלה אך ,x = 1 ב־ והמינימום x = −1 בנקודה מתקבלזו לפונקציה שאין היא האמת !(x = ±9 ב־ הערכים את למשל (בדקו גלובליים

(שרטטו!) גלובליים. ומכסימום מינימום נקודות בכלל

לגרנז׳ ומשפט רול משפט 6.2.2

(a, b) הפתוח בקטע גזירה ,[a, b] הסגור בקטע רציפה פונקציה f תהי [רול] משפט..f ′(c) = 0 ש־ כך a < c < b נקודה קיימת אז .f(a) = f(b) ש־ ומקיימת

מינימום שם מקבלת היא ויירשטראס, משפט לפי ולכן, [a, b] ב־ רציפה f הוכחה..f ′ ≡ 0 ומקיימת הקטע בכל קבועה הפונקציה אז m = M אם .M ומקסימום mמהערכים אחד שלפחות נובע f(a) = f(b) ש־ ומכיוון M > m ש־ מתקיים אחרת,a < c < b נקודה קיימת כלומר, פנימית. בנקודה להתקבל חייב M או mמתקיים פרמה, משפט לפי .f של מקומית) (ובפרט גלובלית קיצון נקודת שהיא

.f ′(c) = 0

לגרף המשיק שבה a < c < b נקודה שיש אומר המשפט גיאמטרי באפן הערה.אופקי. הוא

50

דוגמא.

אחד. שורש בדיוק יש x3 + px + q = 0 למשוואה אז p > 0 אםערך משפט לפי ולכן אי־זוגית, ממעלה פולינום זה .f(x) = x3 + px + q נסמן

ההוכחה). פרטי את זוכרים שאתם (בדקו אחד שורש לפחות לו יש הבינייםa < b קיימים כלומר, אחד, מפתרון יותר יש למשוואה כי בשלילה כעת נניחבקטע רול משפט תנאי כל את מקיימת f הפונקציה .f(a) = f(b) = 0 ש־ כךכי כזו c נקודה אין אבל .f ′(c) = 0 ש־ המקיימת c נקודה קיימת ולכן [a, b]

כריבוע). x2 ≥ 0 ו־ p > 0 ש־ (מכיוון x לכל f ′(x) = 3x2 + p > 0

רול. משפט את מכליל הבא המשפט

.(a, b) הפתוח בקטע גזירה ,[a, b] הסגור בקטע רציפה פונקציה f תהי [לגרנז׳] משפט.ש־ כך a < c < b נקודה קיימת אז

f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a

.f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a) שקול, באופן או,

היא (b, f(b)) ו־ (a, f(a)) הנקודות דרך העובר הישר משוואת הוכחה.

. g(x) = f(a) +f(b)− f(a)

b− a(x− a)

עזר פונקצית נגדיר

. F (x) = f(x)− g(x) = f(x)−(f(a) +

f(b)− f(a)b− a

(x− a))

או גזירות פונקציות של (כהפרש (a, b) ב־ גזירה ,[a, b] ב־ רציפה הזו הפונקציהa < c < b קיימת רול משפט עפ״י .F (a) = F (b) ש־ ומקיימת בהתאמה) רציפות

.0 = F ′(c) = f ′(c)− f(b)−f(a)b−a ש־ כך

.f(a) = f(b) כאשר לגרנז׳ משפט של הפרטי המקרה הוא רול משפט (i) הערות.

המשיק שבה a < c < b נקודה שיש אומר לגרנז׳ משפט גיאמטרי באפן (ii)היה רול (ומשפט (b, f(b)) ו־ (a, f(a)) הנקודות את המחבר למיתר מקביל לגרף

אופקי). היה הזה שהמיתר הפרטי המקרה

כפי מקשר, שהוא מכיון ביותר רבה חשיבות בעל הוא לגרנז׳ משפט (iii)הנגזרת) של (תכונות פונקציה של מקומיות תכונות בין הבא, המשפט שיראהבהמשך שנראה כפי וכו׳). עלייה/ירידה תחומי (כגון שלה גלובליות תכונות לבין

אחרים. רבים מתמטיים שימושים גם לו יש

הפיסיקליים השימושים של האופי את היטב מדגימה הבאה ה״מעשית״ הדוגמא (iv)בבוקר 10 בשעה ת״א את עוזב המשטרה מצלמות ע״י נצפה נהג המשפט: שלבמהירות בנסיעה להרשיעו אפשר האם יותר. מאוחר שעה 1/2 לחיפה ומגיע

51

לבית יעזור לגרנז׳ משפט איך נראה פעם! אף נמדדה לא מהירותו הרי מופרזת?המשפט.

f(10 : כי יודעים אנו ואז ,f(t) ע״י t בזמן מת״א הנהג של המרחק את נסמןהיא הנהג של הממוצעת ומהירותו ,f(10 : 30) = 100 ו־ 00) = 0

f(10 : 30)− f(10 : 00)12

=100

12

= 200

המהירות שבה 10 : 00 < c < 10 : 30 זמן נקודת שיש אומר לגרנז׳ משפט קמ״ש.כל לאט, ומתי מהר נסע הנהג מתי יודעים שאיננו לב שימו .f ′(c) = 200 היאבמהירותו נסע אכן הנהג שבה אחת זמן נקודת לפחות שקיימת הוא שיודעים מה

ביותר. מופרזת

*****************27 שעה סוף

של***************** גלובליות תכונות ונסיק לגרנז׳, משפט של נוספים לשימושים כעת נמשיךהנגזרת). מתכונות (כלומר, שלה לוקליות מתכונות פונקציה

אזי: שלו. הפנימיות בנקודות וגזירה סגור בקטע רציפה פונקציה f תהי משפט.

קבועה. פונקציה f אז f ′ ≡ 0 אם (i)

יורדת). היא f ′ ≤ 0 (ואם עולה. מונוטונית f אז f ′ ≥ 0 אם (ii)

ממש). יורדת היא f ′ < 0 (ואם ממש. עולה מונוטונית f אז f ′ > 0 אם (iii)

כך a < c < b נקודה לגרנז׳, משפט עפ״י קיימת, הסגור בקטע a < b לכל הוכחה..f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a) ש־

ולכן ,f ′(c) = 0 גם אז בקטע, פנימית נקודה בכל f ′(x) = 0 ש־ היות (i)קבועה. שהפונקציה נובע שרירותיים היו b ו־ a ש־ ומכיוון .f(b) = f(a)

f(b) ≥ ולכן ,f ′(c) ≥ 0 אז בקטע, פנימית נקודה בכל f ′(x) ≥ 0 ש־ היות (ii)עולה. מונוטונית שהפונקציה נובע שרירותיים היו b ו־ a ש־ ומכיוון .f(a)

ולכן ,f ′(c) > 0 אז בקטע, פנימית נקודה בכל f ′(x) > 0 ש־ היות (iii)עולה מונוטונית שהפונקציה נובע שרירותיים היו b ו־ a ש־ ומכיוון .f(b) > f(a)

ממש.

למשל (הוכיחו, ההפוכים. המשפטים גם נכונים (ii) ו־ (i) בחלקים (i) הערות..(f ′ ≥ 0 אז עולה מונוטונית f שאם

המשפט תנאי את קצת להחליש אפשר המשפט של (iii) ו־ (ii) בחלקים (ii)פרט בהתאמה) f ′(x) > 0 (או f ′(x) ≥ 0 ומקיימת רציפה f ש־ רק ולהניח

אפילו). גזירה איננה אולי f (שבהן נקודות של סופי למספרמונוטונית f המשפט עפ״י ואז ,a = a0 < a1 < . . . < an = b הן שהנקודות נניחנקבל x < ai < y ואם .[ai−1, ai] חלקי קטע בכל ממש) עולה מונוטונית (או עולה

.((iii) ב־ חריפים שוויונים (ואי f(x) ≤ f(ai) ≤ f(y) כי (ii) ב־ לכן

52

דוגמאות.

ממש. עולה מונוטונית f ולכן f ′(x) = 11+x2 > 0 אז f(x) = arctan(x) אם (i)

אינה f כלומר ,f(−1) < f(1) אך ,f ′(x) = −1/x2 < 0 אז f(x) = 1/x אם (ii)מקיימת לא ולכן x = 0 ב־ רציפה אינה f כי המשפט את סותר אינו זה יורדת.

המשפט. תנאי את

כי למשל נוכיח שוויונים. אי בהוכחת שימושי מאוד המשפט (iii)

. x > −1 לכל ln(1 + x) ≥ x

1 + x

מייד ינבע השוויון אי .f(0) = 0 כי לב ונשים f(x) = ln(1 + x) − x1+x נגדיר

ובאמת .[0,∞) ב־ ועולה (−1, 0] בקטע יורדת f ש־ כשנראה

f ′(x) =1

1 + x− (1 + x)− x

(1 + x)2=

x

(1 + x)2

.x < 0 עבור ושלילית x > 0 עבור חיובית זו ומנה

קיצון לנקודת מספיק תנאי 6.2.3

אז גזירה, פונקציה של מקומית קיצון נקודת היא x0 שאם אומר פרמה משפטבנקודה f(x) = x3 (למשל מספיק אינו זה שתנאי וראינו ,f ′(x0) = 0 בהכרח(אך מקומית קיצון נקודת היא x0 ש־ לכך מספיקים תנאים כעת נחפש .(x0 = 0

הכרחיים). יהיו לא אלה מספיקים שתנאים לב נשים

משמאל ויורדת x0 ל־ מימין עולה f ש־ כך x0 הנקודה בסביבת מוגדרת f תהי משפט.אולי (פרט בסביבה גזירה f אם נכון הדבר בפרט .x0 ב־ מקומי מינימום f ל־ יש אז לה.ו־ x0 של ימנית בסביבה f ′ ≥ 0 ש־ כך רציפה) שתהיה מספיק שבה עצמה x0 לנקודה

מקומי). למכסימום נכונה אנלוגית (וטענה שלה. שמאלית בסביבה f ′ ≤ 0

מבטיחים f ′ ≤ 0 ו־ f ′ ≥ 0 כי ממנו נובע והשני ברור, הראשון החלק הוכחה..f של ירידה או עליה בהתאמה

דוגמא.

מתאפסת והנגזרת f ′(x) = (x + 1)(3x − 1) אז f(x) = (x − 1)(x + 1)2 אםנקודת היא x = −1 ולכן (+,−, +) הם הנגזרת של הסימנים .x = −1; 1/3 עבור

מקומי. מינימום נקודת x = 13 ו־ מקומי מקסימום

f ′ אז ,f ′′(x0) 6= 0 ו־ f ′(x0) = 0 ומקיימת x0 בסביבת פעמיים גזירה f אםהנגזרת מהגדרת אז .f ′′(x0) > 0 ש־ למשל, נניח, כי .x0 ב־ סימן משנה בהכרח

f ′(x0) = 0 אבל קטן, מספיק |t| > 0 עבור f ′(x0+t)−f ′(x0)t > 0 ש־ נובע השניה

53

עבור f ′(x0 + t) < 0 ו־ מספיק קטן t > 0 עבור f ′(x0 + t) > 0 כי מקבלים ולכןהבאה המסקנה את קבלנו כך המוחלט. בערכו מספיק קטן t < 0

x0 אז .f ′′(x0) 6= 0 ו־ f ′(x0) = 0 ומקיימת x0 ב־ פעמיים גזירה f תהי מסקנה.אם מקומי ומינימום f ′′(x0) < 0 אם מקומי מקסימום .f של מקומי קיצון נקודת היא

.f ′′(x0) > 0

ל־ לדוגמא, .f ′′(x0) = 0 אם גם מקומי קיצון נקודת להיות יכולה x0 הערה..f ′′(0) = 0 אך ,x = 0 ב־ (וגלובלי) מקומי מינימום נקודת יש f(x) = x4

ואי־שוויונים מינימום־מקסימום בעיות 6.2.4

שהוכחנו. המשפטים של לשימושים דוגמאות כעת נביא

הקטע את רואים שממנה y ציר של האי־שלילית הקרן על נקודה מיצאו (i)היא הזווית מקסימלית. ראייה בזווית x ציר שעל [1, 2]

f(y) ={

arctan(2/y)− arctan(1/y) y > 00 y = 0

.(y = 0 ב־ רציפה זו פונקציה כי לב (נשיםנחשב לכן

f ′(y) =1

1 + (2/y)2· −2

y2− 1

1 + (1/y)2· −1

y2

(מכיוון y =√

2 ולכן ,2y2 + 2 = y2 + 4 נקבל .f ′(y) = 0 המשוואה את ונפתורלב ונשים מקסימום, נקודת אכן זו האם השאלה נשאלת .(y ≥ 0 שדרשנומכסימום: f ל־ יש שבכלל להראות נצליח אם חיובית תהיה לשאלה שהתשובהy0 המכסימום נקודת ולכן ,f(0) = 0 ו־ y > 0 לכל חיובית f הפונקציהf ′(y0) = בה להתקיים צריך פרמה משפט ע״ס ממש. חיובית להיות להיות חייבתנקודת זוהי ולכן התאפסה f ′ בה היחידה הנקודה היתה y0 =

√2 אולם ,0

!f של המקסימום

הבאה הכללית מהטענה מיידית נובע המכסימום קיום

מקבלת f אז .f(0) = limx→∞ f(x) = 0 ש־ כך [0,∞) בקרן רציפה f תהי טענה.בקרן. גלובלי מכסימום

f(0) = 0 הינו הגלובלי המקסימום ערך אז x ≥ 0 לכל f(x) ≤ 0 אם הוכחה..f(x1) = ε ונסמן f(x1) > 0 ש־ כך x1 שיש להניח נוכל לכן ההוכחה. את וסיימנוהבחירה וע״ס ,x > K לכל f(x) < ε ש־ כך K > 0 יש באינסוף גבול הגדרת עפ״י

.x1 ≤ K ש־ בוודאי ε = f(x1)היא ווירשטראס משפט עפ״י ולכן ,[0,K] הסגור בקטע רציפה f הפונקציהבכל מכסימום למעשה הוא M ש־ ונראה ,M ב־ שנסמנו מכסימום, שם מקבלתואם .M הגדרת עפ״י f(x) ≤ M ש־ בוודאי אז x ≤ K אם ובאמת, .[0,∞) הקרן

.(x1 ≤ K (כי f(x) < ε = f(x1) ≤ M אז x > K

54

בכיתה לעשותזמן יש אם רקמומלץ אך ־

לקרוא!

בזווית מוחזרת במראה הפוגעת אור קרן האור: החזרת עקרון את להוכיח מנת על מתמטיים בכלים נשתמש (ii)במראה. הפגיעה של α לזווית השווה β

(בנקודה y ציר של החיובי בחלקו נמצא האור ומקור x ציר על נמצאת שהמראה כך קואורדינטות נבחר,B = (b, h) שצורתה נניח פשטות ולשם מהמראה, המוחזרת הקרן על שנמצאת B נקודה נבחר .(A = (0, h)לנוע ״בוחרת״ האור קרן בסיסי: פיזיקלי בעקרון כעת נעזר .A הנקודה כמו h הגובה באותו נמצאת שהיא כלומר,,(x0, 0) ב־ שנסמנה במראה, הפגיעה בנקודת לכן .B ל־ ומגיע במראה, פוגע A מ־ היוצא ביותר הקצר במסלול

נחשב מינימום. מקבלת f(x) =√

h2 + x2 +√

h2 + (x− b)2 שהפונקציה יתקיים

0 = f′(x) =

2x

2√

h2 + x2− 2(b− x)

2√

h2 + (x− b)2

או

cos α =x√

h2 + x2=

b− x√h2 + (x− b)2

= cos β

.α = β כלומר,(שלא נוספים פשוטים חישובים ואכן, מינימום. נקודת אכן שזו לוודא עלינו מינימום/מכסימום, בעית בכל כמוועולה x < b/2 כאשר יורדת ושהפונקציה ,x = b/2 הינו למעלה הרשומה למשוואה שהפתרון מראים אותם) נבצע

.x > b/2 כאשרכי [0, b] בקטע מינימום f ל־ יש הקודם: לתרגיל דומים שיקולים ע״י מינימום נקודת אכן שזו לנמק גם ניתן

בה. להתקבל חייב המינימום אחת, קריטית״ ״נקודה רק שיש ומכיוון סגור. והקטע רציפה היא

ציר של האחר מצדו B′ ל־ B את נשקף דיפרנציאלי. חשבון ללא גם האור החזרת חוק את להוכיח ניתן הערה.

B′ ל־ A מ־ המסלול של האורך כמו הוא B ל־ ומגיע במראה, פוגע A מ־ היוצא מסלול כל של האורך ואז ,xה־

הוא B′ ל־ A בין ביותר הקצר המסלול אך הפגיעה. נקודת שאחרי החלק של במראה שיקוף ע״י ממנו המתקבל

בינהן. הישר הקטע

לנקודה ביותר הקרובה שהיא y = x + 2 הישר על B נקודה מיצאו (iii).A = (−1, 0)

הכללית הנקודה של המרחק את d(x) =√

(x + 1)2 + (x + 2)2 ב־ נסמןהפונקציה של המינימום את ונחפש מהראשית, הישר על (x, x + 2)

. f(x) = d2(x) = (x + 1)2 + (x + 2)2

(והוכיחו .B = (− 32 , 1

2 ) לכן .x = − 32 ונקבל 0 = f ′(x) = 4x+6 המשוואה את נפתור

מינימום!). אכן שזהכללית תופעה כמובן, זו, .L לישר ניצב B − A = (− 1

2 , 12 ) שהוקטור לב שימו

מקיימת A ל־ ביותר הקרובה שהינה B ∈ L הנקודה ,A /∈ L ונקודה L ישר ולכלתרגיל). (הוכיחו L ל־ ניצב B −A שהוקטור

.x 6= 0 לכל x arctan x > ln√

1 + x2 כי הוכיחו (iv)״חקירה״ לבצע מנת על בנגזרת ונשתמש f(x) = x arctanx− ln

√1 + x2 נגדיר

f ′(x) = ש־ מראה ישיר חישוב .x 6= 0 לכל f(x) > 0 ש־ ולהסיק הפונקציה שלמינימום f ל־ ויש ,x > 0 עבור וחיובית x < 0 עבור שלילית הנגזרת ולכן arctan x

.x 6= 0 לכל f(x) > 0 ולכן f(0) = 0 אך .x = 0 בנקודה ממש

.x > 0 לכל sinx > x− x3/6 כי הוכיחו (v)אם ולכן f(0) = 0 התנהגותה. את ונחקור f(x) = sin x − x + x3/6 נגדירעבור ממש עולה מונוטונית שהפונקציה נקבל x > 0 לכל f ′(x) > 0 ש־ נראה

x > 0 שלכל נראה אם די כלומר, חיובית. שהיא ומכאן x > 0

. f ′(x) = cos x− 1 + x2/2 > 0

55

מקיימת שנגזרתה נראה אם די ולכן ,f ′(0) = 0 שמקיימת f ′ פונקציה קיבלנואם לבדוק עלינו כלומר, .x > 0 לכל (f ′)′(x) = f ′′(x) > 0

f ′′(x) = − sin x + x > 0

.x > 0 לכל sin x < x ש־ ידוע כי נכון אכן וזה .x > 0 לכל*****************

29 שעה סוף*****************

לופיטל כלל 6.3

לופיטל כלל 6.3.1

אינם הרגילים האריתמטיקה שכללי גבולות לחישוב חשוב כלי הינו לופיטל כלל״∞∞״. ו־ ״

0״0 מהצורה גבולות כמו לחישובם, מספיקים

את ומקיימות a של מנוקבת בסביבה וגזירות מוגדרות פונקציות g ו־ f תהיינה משפט.הבאים התנאים

.limx→a f(x) = limx→a g(x) = 0 (i)

בסביבה. g′(x) 6= 0 (ii)

.L ל־ ושווה קיים limx→af ′(x)g′(x) (iii)

.L ל־ ושווה קיים limx→af(x)g(x) הגבול גם אז

בהוכחת רק נסתפק ולכן מסובכת, קצת הכללי המקרה של ההוכחה הוכחה.מוגדרות, g ו־ f ש־ הנוספות ההנחות תחת המשפט את נוכיח פרטי: מקרהזה מקרה .g′(a) 6= 0 וש־ a ב־ רציפות g′ ו־ f ′ ש־ ,a בנקודה גם וגזירות רציפותההוכחה). אחרי ההערה גם (וראו במשפט המעשיים השימושים רוב את ״מכסה״

כי נותנות המשפט הנחות הנוספים התנאים תחת

.f(a) = g(a) = 0 (i)′

.g′(a) 6= 0 (ii)′

. f′(a)

g′(a) = L (iii)′

(iii) מ־ נובע (iii)′ ואילו .a ב־ g ו־ f ומרציפות (i) מ־ נובע (i)′ ואמנם,.a ב־ g′ ו־ f ′ ומרציפות

מתקיים (i)′ ע״ס ואמנם, ,limx→af(x)g(x) = f ′(a)

g′(a) שגם להוכיח עלינו

f(x)g(x)

=f(x)− f(a)g(x)− g(a)

=f(x)− f(a)

x− a

/g(x)− g(a)x− a

גבולות. של ואריתמטיקה הנגזרת הגדרת עפ״י f ′(a)g′(a) ל־ שואף זה וביטוי

56

ההנחה מתקיימות. הנוספות ההנחות במשפט המעשיים השימושים ברוב הערה.(ראו רבים במקרים .g′(a) 6= 0 ש־ היא מתקיימת איננה שלעתים העיקריתבלופיטל משתמשים אנחנו ואז f ′(a) = g′(a) = 0 גם להלן) (iii) דוגמא למשלשעשינו כפי להשתמש, אפשר ואי מתקיים לא (ii)′ כזה במקרה אך נוספת. פעםשל הכללי בניסוח נשתמש כאלה במקרים גבולות. של באריתמטיקה בהוכחה,

אותו. הוכחנו שלא למרות המשפט

דוגמא.

יתן בלופיטל שימוש ולכן ,limx→0(1− cos3 x) = limx→0 sin x = 0

. limx→0

1− cos3 x

sin x= lim

x→0

3 cos2 x sinx

cosx= 0

חד־צדדי בגבול מדובר אם גם המסקנות אותן את להסיק ניתן (i) הערות.נדרשות (אולם limx→a

f ′(x)g′(x) = ±∞ אם או ב־∞, מוחלף a אם או ,a בנקודה

השונים). מהמקרים חלק עבור נפרדות הוכחות

של הגבול כאשר כלומר, באמת: נחוץ הוא כאשר רק נכון לופיטל כלל (ii)באופן הגבול את נחשב המקרים שאר בכל .∞/∞ או 0/0 מהצורה הוא f/gאפילו יכול כאלה במקרים במשפט שימוש לופיטל. בכלל להשתמש בלי ישיר(שגוי שימוש אולם ,limx→0

1+x1+2x = 1 ש־ ברור לדוגמא, נכונות! לא תוצאות לתת

.1/2 נותן היה בלופיטל ואסור!)

בלופיטל להשתמש יכולים אנו ,f ′(a) = g′(a) = 0 ש־ וקיבלנו גזרנו אם (iii)לגזור נמשיך ,f ′′(a) = g′′(a) = 0 גם אם .g′′(a) ו־ f ′′(a) את ולחשב שובlimx→a f(x)/g(x) = ואז g(n)(a) 6= 0 ש־ כך ביותר הקטן n הטבעי המספר עדלופיטל). כלל של ה״וריאציות״ שאר עבור גם תקפה דומה (הערה .f (n)(a)/g(n)(a)

לדוגמא

. limx→0

ex + e−x − 21− cosx

= limx→0

ex − e−x

sin x= lim

x→0

ex + e−x

cosx= 2

קיים f/g של הגבול גם אז קיים f ′/g′ של הגבול שכאשר אומר המשפט (iv)ו־ f(x) = x2 sin(1/x) עבור למשל, נכונה. אינה ההפוכה הטענה שווים. ושניהםx sin(1/x) → (כי limx→0

f(x)g(x) = limx→0

x2 sin(1/x)sin x = 0 ש־ נקבל g(x) = sin x

גבול בכלל אין f ′(x)g′(x) = 2x sin(1/x)−cos(1/x)

cos x הנגזרות למנת אך .( xsin x → 1 ו־ 0.x = 0 בנקודה

להשתמש מותר מאוד: נוח הוא הכלל ,(ii) בהערה ראינו שכבר כמו כאן, גםאותו. כשצריך רק לופיטל במשפט

למשל שיטות. עוד עם בשילוב לופיטל בכלל להשתמש צורך יש לפעמים (v)

. limx→0

1− cos3 x

ex − 1− x= lim

x→0

3 cos2 x sin x

ex − 1

57

וארוכים. מסובכים ביטויים נקבל לגזור ולהמשיך שוב בלופיטל להשתמש ננסה אםאת רק לופיטל עפ״י נחשב ולכן ,3 cos2 x → 3 כי לב נשים אך

limx→0

sin x

ex − 1= lim

x→0

cos x

ex= 1

כי גבולות של מאריתמטיקה ונסיק

. limx→0

1− cos3 x

ex − 1− x= lim

x→03 cos2 x · lim

x→0

sin x

ex − 1= 3 · 1 = 3

דוגמאות.

״∞−∞״. של מהצורה ביטויים עבור לופיטל בכלל להשתמש ניתן לפעמים (i)למשל

limx→0

( 1sin x

− 1x

)= lim

x→0

x− sin x

x sin x= lim

x→0

1− cos x

sin x + x cosx

= limx→0

sinx

2 cos x− x sin x= 0

עם בעייתיים ביטויים של גבולות לחשב גם אפשר בלוגריתמים שימוש ע״י (ii)נחשב ״00״) מהצורה (שהינו limx→0+ xx הגבול את לחשב מנת על למשל, חזקות.

הגבול את זאת במקום

limx→0+

ln(xx) = limx→0+

x ln(x) = limx→0+

ln(x)1/x

= limx→0+

1/x

−1/x2= lim

x→0+(−x) = 0

.limx→0+ xx = elimx→0+ ln(xx) = e0 = 1 ונקבל xx = eln(xx) ב־ נשתמש וכעת

על בלופיטל לשימוש נוספת דוגמא זו .limx→0(1 + x)1/ sin x את נחשב (iii)מהצורה הוא מימין הגבול כאן (כאשר חזקות עם ביטויים של גבולות לחשב מנת

ונקבל הביטוי של לוגריתם ניקח ״∞−1״). מהצורה משמאל והגבול ״∞1״

. limx→0

ln(1 + x)1/ sin x = limx→0

ln(1 + x)sin x

= limx→0

1/(1 + x)cosx

= 1

.limx→0(1 + x)1/ sin x = e1 = e ולכן (1 + x)1/ sin x = eln(1+x)1/ sin x

אך

ה״טובה הדרך מהי למצוא יש לופיטל, באמצעות גבול לחשב מנסים כאשר (iv)להשתמש ננסה אם לדוגמא, .f/g מהצורה כשבר הנתון הביטוי את להציג ביותר״

אפילו ביטוי וזה , 2e−1/x2

x3 נקבל המקורית בצורתו limx→0e−1/x2

x על לופיטל בכללהמבוקש הגבול של הביטוי את נרשום אם אולם, המקורי! מהביטוי מסובך יותר

פשוט יהיה הפתרון אחר, באופן

. limx→0

1/x

e1/x2 = limx→0

−1/x2

− 2x3 e1/x2 = lim

x→0

x

2e1/x2 = 0

.p(x) פולינום לכל limx→0e−1/x2

p(x) = 0 כי להראות ניתן דומה באופן

58

פונקציות של התכנסות וקצב גודל סדרי 6.3.2

לקבוע ורוצים ,∞ ל־ או 0 ל־ ששואפות פונקציות שתי להשוות צריך לעתיםאומרת limx→∞ x2+3

x5+8x+1 = 0 ש־ העובדה למשל כך מהר״. ״יותר שואפת מי.x2 + 3 מאשר מהר״ ״יותר לאינסוף שואף x5 + 8x + 1 שהביטוי

לאפס 0 בנקודה שואפים sin x ו x ש־ אומר limx→0sin x

x = 1 זאת לעומתמהירות״. ״באותה

מאשר יותר קטן גודל מסדר באינסוף היא x2 + 3 כי לפעמים נאמר אנחנו.x5 + 8x + 1

השאיפה מהירות את ולבדוק מוכרות פונקציות של ב״סקלות״ להשתמש נוחעם השוואה עושים קרובות לעתים הסקלה. לאברי ביחס לאינסוף או לאפס(הסקלה {xα : α > 0} עם או הלוגריתמית), (הסקלה {(log x)α : α > 0} המשפחה

המעריכית). (הסקלה {eαx : α > 0} עם או הפולינומיאלית)x5 + 8x + 1 ואילו x2 כמו גודל סדר מאותו הוא באינסוף x2 + 3 למשל כך

.x5 כמואת כשבודקים כך, שונות. שאיפה מהירויות בודקות האלה הסקלות שלוש״איטיים הלוגריתמית הסקלה אברי כל אז באינסוף, לאינסוף השאיפה מהירותהמעריכית: הסקלה מאברי ״איטיים״ ואלה הפולינומיאלית, הסקלה מאברי יותר״

כי מתקיים α > β > 0 לכל

.xα

eβx−→x→∞

0 ;(log x)α

xβ−→x→∞

0

הבאים: בסימונים משתמשים לפעמים,a בנקודה g מאשר יותר קטן גודל״ מ״סדר f כלומר ,limx→a

f(x)g(x) = 0 אם

קטן״). (״או x → a כאשר f(x) = o(g(x)) ע״י זאת נסמןהוא של בגודל סדר (כלומר, a בסביבת

∣∣∣ f(x)g(x)

∣∣∣ ≤ K ש־ כך K קבוע יש אם

״). גדול (״או x → a כאשר f(x) = O(g(x)) כי נאמר ,( של כמו היותר לכל.x →∞ לוקחים x → a במקום כאשר משתמשים סימונים באותם

*****************30 שעה סוף

*****************

קמירות 6.4

קמורות פונקציות 6.4.1

f ש־ נאמר .I בקטע המוגדרת פונקציה f תהי לקמירות) גיאומטרית (הגדרה הגדרה.מעל כולו נמצא שלה הגרף על נקודות שתי איזשהן המחבר מיתר כל אם I ב־ קמורהב־ קמורה g(x) = x3 ו־ (−∞,∞) ב־ קמורה f(x) = x2 הפונקציה לדוגמא, הגרף.

.[0,∞)לגרף. מתחת נמצאים שלה לגרף המיתרים אם I בקטע קעורה תקרא f

מתמטית־אנליטית לשפה אותה לתרגם כדי ו״תיאורית״. גיאומטרית הגדרה זואנליטית. בגיאומטריה נעזר

59

וההפרש הסכום במישור. נקודות שתי B = (b1, b2) ו־ A = (a1, a2) תהיינהממשי מספר t אם .A±B = (a1, a2)±(b1, b2) = (a1±a2, b1±b2) ע״י מוגדר שלהןאת ומבינים בנוסחאות שולטים שאתם (בדקו .tA = t(a1, a2) = (ta1, ta2) נגדיר

שלהן). הגיאומטרית המשמעותהנוסחה ע״י לתאר נוכל B ו־ A הנקודות דרך העובר הישר את

. t ∈ R כאשר B + t(A−B) = tA + (1− t)B

מתאימות בישר השונות (הנקודות הישר של הפרמטרית ההצגה נקראת זו הצגהאת מקבלים t = 0 שעבור לב נשים .(t הפרמטר ערך של השונות לבחירותבקטע הנקודות את מקבלים 0 ≤ t ≤ 1 אם .A את t = 1 ועבור B הנקודה

.A ו־ B את המחברבינהן, המחבר הקטע כי נקבל ,B = (y, f(y)) ו־ A = (x, f(x)) נבחר אם

הנוסחה ע״י מתואר ידן, על הנקבע f של לגרף המיתר שהוא

. 0 ≤ t ≤ 1 כאשר (tx + (1− t)y, tf(x) + (1− t)f(y))

לכן היא tx+(1−t)y לנקודה המתאימה המיתר על הנקודה של y קאורדינטתהמתאימה f של הגרף על הנקודה של y קואורדינטת ואילו ,tf(x) + (1− t)f(y)התנאי ולכן .f(tx + (1− t)y) הוא בנקודה הפונקציה ערך כלומר, נקודה, לאותהf(tx + (1 − t)y) ≤ השוויון אי ע״י מתואר הגרף מעל יהיה בנקודה שהמיתר.0 ≤ t ≤ 1 לכל נכון זה שוויון אי כאשר קמורה היא ופונקציה ,tf(x)+(1− t)f(y)

לקמירות: שקולה הגדרה קבלנו כך

f ש־ נאמר .I בקטע המוגדרת פונקציה f תהי לקמירות) אנליטית (הגדרה הגדרה.אם I ב־ קמורה

f(tx + (1− t)y) ≤ tf(x) + (1− t)f(y)

.0 ≤ t ≤ 1 ולכל x, y ∈ I לכל.I ב־ ממש קמורה f ש־ נאמר 0 < t < 1 ולכל x, y ∈ I לכל חריף אי־שוויון יש אםאי־השוויונים מתקיימים אם בקטע ממש) קעורה (או קעורה תקרא f הפונקציה

ההפוכים.

אנלוגי משפט קמורות. פונקציות של ואיפיונים תכונות מפרט הבא המשפטשתשכנעו חשוב אך נוכיח, לא המשפט חלקי רוב את קעורות. לפונקציות גם נכוןאכן (iii) ו־ (ii) הגיאומטריים שהתנאים בדוגמאות הסתכלות ע״י עצמכם את

מתקיימים.

אולי פרט (כלומר, שלו בפנים רציפה היא אז בקטע, קמורה f פונקציה אם (i) משפט.הקצה). לנקודות

לפונקציה המשיק a ∈ I לכל אםם I ב־ קמורה f אז .I בקטע גזירה f תהי (ii)לכל f(x) ≥ f(a) + f ′(a)(x − a) כלומר שלה, לגרף מתחת כולו נמצא a בנקודה

.x ∈ I

ב־ עולה מונוטונית פונקציה היא f ′ אםם I ב־ קמורה f אז .I בקטע גזירה f תהי (iii)ממש. קמורה f אז I ב־ ממש עולה מונוטונית f ′ אם .I

60

קמורה f אזי .I בקטע פעמיים גזירה פונקציה f תהי מאוד) ושימושי לאימות (קל (iv)ממש קמורה f אז x ∈ I פנימית נקודה בכל f ′′(x) > 0 אם .I ב־ f ′′ ≥ 0 אםם I ב־

.I ב־

f הפונקציה (iii) עפ״י ואמנם, .(iii) מ־ נובע (iv) שסעיף רק נראה הוכחה.נגזרתה, אםם קורה זה קודם, משפט לפי אך עולה, מונוטונית f ′ אםם קמורה

שלילית. אי היא ,(f ′)′ = f ′′

מונוטונית f ′(x) אז x ∈ I פנימית נקודה בכל f ′′(x) > 0 אם דומה, באופןממש. קמורה f ולכן ממש, עולה

דוגמאות.

.(−∞,∞) ב־ ממש קמורה פונקציה היא ex ולכן ,x לכל (ex)′′ = ex > 0 (i)

לכל (xp)′′ = p(p− 1)xp−2 > 0 ש־ מתקיים אז . p > 1 ממשי מספר ניקח (ii)גם מוגדרת f אז שלם p אם .[0,∞) בקרן ממש קמורה f(x) = xp ולכן x > 0

איזוגי. כשהוא וקעורה זוגי p כאשר שם קמורה והיא ,(−∞, 0] בקרן

f שכאשר וכמובן גזירה, להיות חייבת איננה קמורה שפונקציה זכרו (iii)הפונקציה למשל, בנגזרות. הנעזרים בקריטריונים להשתמש נוכל לא גזירה אינהמתקיים פעמיים גזירה f שבה x נקודה שבכל למרות קעורה היא f(x) = −|x|

!f ′′ = 0 ≥ 0 ש־

בתחומי שונים במודלים טבעי באופן מופיעות וקעורות קמורות פונקציות (iv)הכלכלה. מתחום כזו דוגמא הנה וההנדסה. המדע

בסיסי עקרון כלשהו. ממוצר יחידות x של הייצור עלות את f(x) ב־ נסמןורחבים כלליים מאוד שבתנאים אומר הפוחתת״, השולית העלות ״עקרון בכלכלה,וקטנה הולכת המוצר של נוספת אחת יחידה ייצור של והעלות לגודל״ ״יתרון ישאומר זה מתמטית בשפה . גדל) x כאשר (כלומר גדלה הייצור שרמת ככלf המשפט ולפי יורדת. מונוטונית פונקציה היא ,f ′(x) כלומר השולית, שהעלות

קעורה! להיות חייבתשפונקציות מכתיבים הכלכלה תורת של כלליים עקרונות מעניינת: תופעה וקבלנו

קעורות. או קמורות להיות חייבות מסויימים כלכליים במודלים המופיעות

גרפים שרטוט 6.4.2

תחומי ־ פונקציה של הגרף צורת על רבה אינפורמציה לנו נותן בנגזרות השימושקמירות ותחומי וגלובאליים מקומיים ומקסימום מינימום נקודות וירידה, עלייה

נוספים. מושגים בשני כעת נדון וקעירות.

התפתלות נקודת היא a ש־ נאמר .a נקודה של מנוקבת בסביבה מוגדרת f תהי הגדרה.כלומר, שלה. קעירות לתחום הפונקציה של קמירות תחום בין מעבר בנקודה יש אם f של

להפך. או ־ שלה ימנית בסביבה וקעורה a של שמאלית בסביבה קמורה f

־ פיתול נקודות a אז a ב־ סימן משנה f ′′ ו־ פעמיים גזירה f שאם ברורתהיה f ש־ בכלל צורך ואין גיאומטרית, היא ההגדרה אך .f ′′(a) = 0 ובהכרח

בנקודה. גזירה או רציפה, או מוגדרת,

61

דוגמאות.

שם) קמורה f (ולכן (0,∞) בקרן חיובית f ′′(x) = 6x כאן .f(x) = x3 (i)פיתול. נקודת a = 0 ולכן שם), קעורה f (ולכן (−∞, 0) ב־ ושלילית

(0,∞) בקרן חיובית f ′′(x) = 2/x3 כאן גם .x 6= 0 עבור f(x) = 1/x (ii)בה מוגדרת אינה f ש־ למרות פיתול נקודת a = 0 ולכן ,(−∞, 0) ב־ ושלילית

כלל.

ראינו כבר !f ′′(a) = 0 ש־ איננה ההגדרה בהגדרות. מבלבול להזהר יש (iii)ולכן קמורה, היא f(x) = x4 והפונקציה כלל, מוגדרת אינה f שבה פיתול נקודת

.f ′′(0) = 0 זאת ובכל ־ פיתול נקודות לה אין

של אסימפטוטה נקרא y = ax + b הישר אז limx→∞(f(x)− ax− b) = 0 אם הגדרה.דומה באופן .(∞ ב־ f(x) = 1/x ל־ אסימפטוטה מהווה x ה־ ציר (לדוגמא, .∞ ב־ f

.−∞ ב־ f של אסימפטוטה מגדיריםאסימפטוטה (a, 0) הנקודה דרך העובר האנכי לישר נקרא limx→a+ |f(x)| = ∞ אםמהווה y ה־ ציר (לדוגמא, משמאל. אסימפטוטה מגדירים דומה באופן .a ב־ f של מימין

.(0 ב־ f(x) = 1/x של אסימפטוטה

limx→∞(f(x)−ax−b) = 0 אז ∞ ב־ f של אסימפטוטה הוא y = ax+b אם:b ו־ a ל־ נוסחאות נקבל ומכאן

. f(x)x − a− b

x → 0 גם כי תתן x ב־ limx→∞(f(x)− ax− b) = 0 של חלוקה (a).a = limx→∞

f(x)x ולכן b

x → 0 אך

.b = limx→∞(f(x)− ax) כי ברור (b)y = ax + b הישר אז קיימים (b) ו־ (a) ב־ הגבולות שאם מראה קל חישוב

.∞ ב־ f של אסימפטוטה הוא

דוגמא.

שלה). הגרף את (ונשרטט f(x) = x1+x2 הפונקציה את נחקור

הפונקציה כאשר רציפות, פונקציות של כמנה x לכל ורציפה מוגדרת f •מתאפסת. איננה שבמכנה

.x לכל f(−x) = −x1+x2 = −f(x) ש־ מכיוון אי־זוגית f •

.(0, 0) הנקודה היא הצירים עם f של היחידה החיתוך נקודת •יורדת ומונוטונית x ∈ (−1, 1) כאשר עולה מונוטונית f ולכן f ′(x) = 1−x2

(1+x2)2 •מינימום נקודות הן (1, 1/2) ו־ (−1,−1/2) הנקודות .x > 1 או x < −1 כאשר

בהתאמה. מקומי ומקסימום מקומי

נקודות למעשה, הן, (1, 1/2) ו־ (−1,−1/2) הנקודות ולכן ,lim|x|→∞ f(x) = 0 •בהתאמה. הגלובאליים והמקסימום המינימום

נקודות אלה .x = 0 וב־ x = ±√3 ב־ סימן משנה f ′′ ולכן f ′′(x) = 2x(x2−3)(1+x2)3 •

ו־ [−√3, 0] ב־ וקמורה ,[0,√

3] ו־ (−∞,−√3] ב־ קעורה והיא ,f של הפיתול.[√

3,∞)

62

נחשב ±∞ ב־ אסימפטוטות למצוא כדי •

a = limx→±∞

f(x)x

= limx→±∞

11 + x2

= 0

b = limx→±∞

(f(x)− ax) = limx→±∞

x

1 + x2= 0

.L(x) ≡ 0 הישר והיא ,±∞ ב־ אסימפטוטה יש לכן

.f של הגרף את ושרטטו שקבלנו באינפורמציה כעת השתמשו

קמירות באמצעות אי־שוויונים הוכחת 6.4.3

קמורה f הפונקציה לשימוש: נוחה יותר קצת בצורה הקמירות תנאי את נכתובמתקיים λ1 + λ2 = 1 ש־ כך λ1, λ2 ≥ 0 ולכל x1, x2 ∈ I לכל אםם I בקטע

(∗) f(λ1x1 + λ2x2) ≤ λ1f(x1) + λ2f(x2)

.λ1, λ2 ב־ 1− t ו־ t ואת ,x1, x2 ב־ x, y החלפנו פשוט כיכאשר המתקבל השוויון באי תחילה נסתכל אומר זה ניסוח מה להבין כדיהוא במילים .f

(x1+x2

2

) ≤ f(x1)+f(x2)2 השוויון באי כלומר ,λ1 = λ2 = 1

2 בוחריםהשוויון אי הממוצע״. בנקודת לערכה שווה או גדול f ערכי ״ממוצע כי אומראלא רגילים ממוצעים רק לא מרשים כאשר עקרון אותו של הכללה הוא (∗)

כלשהם. λ1, λ2 משקלות עם משוקללים ממוצעים גם

מספר של (משוקללים!) לממוצעים להכליל איך לנו אומרת גם (∗) הכתיבהנקודות של כלשהו סופי

ולכל x1, . . . , xn ∈ I נקודות של סופי מספר לכל אז ,I בקטע קמורה f אם טענה.מתקיים

∑λj = 1 ש־ כך λ1, . . . , λn ≥ 0

(∗∗) f

n∑

j=1

λjxj

≤

n∑

j=1

λjf(xj)

אותה. ניתן ולא באינדוקציה פשוטה ההוכחה הוכחה.

דוגמאות.

אז a1, . . . , an > 0 אם הממוצעים: אי־שוויון (i)

.

n∏

j=1

aj

1n

≤ 1n

n∑

j=1

aj

ונקבל xj = ln aj ועם f(x) = ex הקמורה הפונקציה עם (∗∗) ב־ נעזר

63

(∗ ∗ ∗)n∏

j=1

a1nj =

n∏

j=1

e1n ln aj = e

1n

∑nj=1 ln aj = f

1

n

n∑

j=1

xj

≤ 1n

n∑

j=1

f(xj) =1n

n∑

j=1

eln aj =1n

n∑

j=1

aj

ההערה לעשותרק (ii) ודוגמאזמן יש ,a1אם . . . , an > 0 לכל משוקללים: לממוצעים השוויון אי של הכללה נוכיח לוכיח גם אפשר אופן באותו הערה.

מתקיים∑

λj = 1 ש־ כך λ1, . . . , λn > 0 ומשקלות

.n∏

j=1

aλjj ≤

n∑

j=1

λjaj

הצורה את אז מקבל (∗ ∗ ∗) השוויון אי .(λ1 = λ2 = . . . = λn = 1n כשלוקחים מתקבל הקודם השוויון (אי

n∏

j=1

aλjj =

n∏

j=1

eλj ln aj = e

∑nj=1 λj ln aj = f

n∑

j=1

λjxj

≤n∑

j=1

λjf(xj) =

n∑

j=1

λjeln aj =

n∑

j=1

λjaj

אז ,aj , bj > 0 אם קושי־שוורץ: אי־שוויון (ii)

.

n∑

j=1

ajbj ≤

n∑

j=1

a2j

1/2

n∑

j=1

b2j

1/2

ועבור αj = saj עבור נכון השוויון שאי כך s, t > 0 שיש להראות די ולכן הומוגני, שוויון אי שזהו לב שימואותם. ולצמצם הסכומים מתוך t ו־ s את להוציא פשוט, נוכל, אז כי .βj = tbj

המיוחד במקרה השוויון אי את להוכיח מספיק כי נקבל ,t = 1(∑b2j

)1/2 ו־ s = 1(∑a2

j

)1/2 לקיחת ע״י

אז כי להוכיח ועלינו ,(∑

a2j

)1/2=

(∑b2j

)1/2= 1 ש־

.

n∑

j=1

ajbj ≤ 1

λj = ה״משקלות״ ועם xj =ajbjהנקודות עם ,f(x) = x2 הקמורה הפונקציה עם (∗∗) ב־ כעת נעזר

ונקבל ,(∑

λj = 1 שאכן כלומר ,∑

b2j = 1 כי אומר שבחרנו הנרמול כי לב (ושימו b2j

n∑

j=1

ajbj

2

=

n∑

j=1

b2j ·

aj

bj

2

= f

n∑

j=1

λjxj

≤

n∑

j=1

λjf(xj)

=

n∑

j=1

b2j

(aj

bj

)2

=∑

a2j = 1

.∑n

j=1 ajbj ≤ 1 גם ולכן

*****************32 שעה סוף

*****************

64

טיילור משפט 6.5

לינארי קירוב 6.5.1

הקבועה לפונקציה ״קרובים״ מאוד f שערכי פירושו a בנקודה רציפה f ש־ לאמרמציגים שאם פירושה a ב־ רציפות מתמטי באופן .a ל־ ״קרוב״ x כאשר f(a)

f(x) = f(a) + e(x)

מקיימת זו שגיאה אז ,f(a) הקבוע ע״י f(x) בהערכת השגיאה הוא e(x) כאשר.x → a כאשר e(x) = o(1) שהכנסנו בסימון או, limx→a e(x) = 0

נרשה שאם הדעת על ומתקבל אופקי, ישר קו הוא קבועה פונקציה של הגרףכאשר יותר. טובים קירובים לקבל נוכל אופקיים בהכרח שאינם ישרים קוויםביותר״ ״הטוב הישר הקו כי מהר מגלים (שרטטו!) כזה קירוב לשרטט מנסיםמתמטי. באופן אומר זה מה כעת נראה בנקודה. לפונקציה המשיק הישר הוא.y = b + m(x− a) היא (a, b) נקודה דרך העובר m שיפוע עם הישר משוואתהוא (a, f(a)) בנקודה לגרף המשיק הישר של השיפוע אז ,a ב־ גזירה f אם

לכן נציג .y = f(a) + f ′(a)(x− a) היא המשיק הישר ומשוואת f ′(a)

f(x) =(f(a) + f ′(a)(x− a)

)+ α(x)

הישר ע״י f בקירוב ״השגיאה״ הינו α(x) = f(x) − f(a) − f ′(a)(x − a) כאשרשהשאיפה אלא ,limx→a α(x) = 0 שמתקיים רק לא כי לב נשים ואז המשיק.

אפילו כי נקבל הנגזרת מהגדרת יותר, מהירה היא לאפס

α(x)x− a

=f(x)− f(a)

x− a− f ′(a) −→

x→a0

,a ל־ x של הקירבה מאשר יותר קטן גודל מסדר ממש היא השגיאה כלומר,.x → a כאשר α(x) = o(x− a)

α(x) שגיאה עם f ל־ קירוב שנותן היחיד הישר הינו לפונקציה המשיקדיוק ליתר .limx→a

α(x)x−a = 0 המקיימת

המקיימת α(x) ופונקציה A,B קבועים יש אםם a בנקודה גזירה f הפונקציה משפט.ש כך limx→a

α(x)x−a = 0

. f(x) = A + B(x− a) + α(x)

.B = f ′(a) ו־ A = f(a) זה במקרה

לגבול מעבר להפך, מתקיימים. התנאים a ב־ גזירה f שאם כבר ראינו הוכחה.,(limx→a α(x) = 0 ש־ בוודאי (כי f(a) = A כי מראה x → a כאשר בנוסחה

מ־ נובעת B ל־ והנוסחה

.f(x)− f(a)

x− a=

f(x)−A

x− a= B +

α(x)x− a

−→ B

65

דוגמא.

b = f(a) כי נניח השרשרת. לכלל נוספת הוכחה לתת כדי במשפט נשתמשקבועים והוספת משתנה שינויי ע״י .(g ◦ f)′(a) = g′(b)f ′(a) כי להוכיח ועלינועם f(x) = Ax + α(x) הנתון עפ״י ואז ,a = b = f(a) = g(b) = 0 כי להניח נוכל.y → 0 כאשר β(y) = o(y) עם g(y) = By + β(y) ו־ ,x → 0 כאשר α(x) = o(x)

כי ונקבל y = f(x) = Ax + α(x) נציב

g(f(x)) = B(Ax + α(x)) + β(Ax + α(x)) = ABx + γ(x)

.Ax + α(x) = O(x) כי γ(x) = Bα(x) + β(Ax + α(x)) = o(x) כאשר

טיילור נוסחת 6.5.2

בסביבת לקירוב ניתנת f ש־ פירושה a בנקודה f פונקציה של שרציפות ראינוe(x) → 0 עם f(x) = f(a) + e(x) דיוק, ליתר קבועה. פונקציה ע״י a הנקודההערכה לתת גם צריך כמותי תיאור בלבד: ״איכותי״ תיאור זהו .x → 0 כאשר

.e(x) הקירוב שגיאת עללגרנז׳: משפט בעזרת כזו הערכה לקבל נוכל a הנקודה בסביבת גזירה f אםלקבל, אפשר וכך ,f(x) = f(a) + f ′(a)(x − a) ש־ כך x לבין a בין c נקודה יש

.M = sup |f ′(x)| עבור |e(x)| ≤ M |x− a| כי למשל,ישרים נרשה אם יותר טוב קירוב לקבל נוכל a ב־ גזירה f שאם כבר ראינוהמשיק הישר הוא ביותר״ ה״טוב המקרב הישר אופקיים): דוקא (ולאו כללייםל״כיוון״ גם אלא ,a ב־ הפונקציה לערך רק לא המתייחס ,y = f(a)+f ′(a)(x−a)

לשגיאה). הערכה עדיין לנו אין ששוב לב נשים (אך הגרף. שללצפות יש אפשריות, מקרבות פונקציות של יותר גדולה משפחה נרשה אםגזירה f ש־ בהנחה נותנת, טיילור נוסחת יותר. טובים קירובים גם לקבל שנוכלממעלה פולינום בעזרת a בסביבת f של ביותר הטוב הקירוב את ,a ב־ פעמים n

.n

המתאים f של n ממעלה טיילור פולינום .a ב־ פעמים n גזירה פונקציה f תהי הגדרה.הפולינום הוא a לנקודה

Tn(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) +f ′′(a)

2!(x− a)2 + . . . +

f (n)(a)n!

(x− a)n

=n∑

j=0

f (j)(a)j!

(x− a)j .

,T0(x) ≡ f(a) הקבועה הפונקציה ע״י f של הקירוב מתקבל n = 0 עבורהמשיק שהינו ,T1(x) = f(a)+f ′(a)(x−a) הלינארי הקירוב מתקבל n = 1 ועבור

.a בנקודה הפונקציה לגרףכללי ובאופן .T ′n(a) = f ′(a) ו־ Tn(a) = f(a) מתקיים n לכל כי לב שימו

ערכי וכן f ו־ Tn ערכי אז שלה. טיילור פולינום Tn ויהי a ב־ פעמים n גזירה f תהי למה..k ≤ n לכל T

(k)n (a) = f (k)(a) כלומר, ,a בנקודה מתלכדים n סדר עד נגזרותיהם

66

לכל אז ,n ממעלה p(x) =∑n

j=0 aj(x − a)j פולינום בהנתן כללי, באופן הוכחה.

j < k עבור ואמנם, .p(k)(a) = k!ak ע״י נתונה a בנקודה k־ית ה־ הנגזרת k(x − a) הביטוי j > k עבור אפס, זהותית היא (x − a)j של k־ית ה־ הנגזרתשנשאר היחידי והביטוי ,x = a בנקודה מתאפס ולכן חיובית חזקה עם נשאר

בפרט .(ak(x− a)k

)(k) = k!ak הוא

. T (k)n (a) = k! · f (k)(a)

k!= f (k)(a)

דוגמאות.

כי לב נשים ,a = 0 בסביבת f(x) = ex של טיילור פולינום את למצוא כדי (i)הוא טיילור ופולינום n לכל f (n)(0) = 1 ולכן ,n לכל f (n)(x) = ex

. Tn(x) =n∑

j=0

xj

j!

את נחשב ,a = 0 בסביבת f(x) = sin x של טיילור פולינום את למצוא כדי (ii)ב נשתמש .a = 0 ב־ הפונקציה של הנגזרות

f ′(x) = cos x ; f ′′(x) = − sin x ; f (3)(x) = − cosx ; f (4)(x) = f(x)

של טיילור ופולינום .(4 של מחזור (עם 1, 0,−1, 0, . . . הן 0 ב־ שהנגזרות ונקבללכן הוא sinx

T2m+1(x) = T2m+2(x) = x− x3

3!+

x5

5!− . . . + (−1)m x2m+1

(2m + 1)!

.m = 0, 1, 2, 3 . . . כאשר

״האמיתי״. f(x) לערך קירוב רק כמובן, מקבלים, Tn(x) את מחשבים כאשר

זה. מקורב בחישוב השארית) (או השגיאה את Rn(x) = f(x) − Tn(x) ב־ נסמןהשגיאה לגודל הערכה תאפשר זו ונוסחה ,Rn לשארית נוסחה נותן הבא המשפט

המקורב. בחישוב

נקודה לכל אז .a הנקודה בסביבת פעמים n + 1 גזירה פונקציה f תהי משפט.[טיילור]ש כך a ל־ x בין c נקודה קיימת a בסביבת x

. Rn(x) =f (n+1)(c)(n + 1)!

(x− a)n+1

קיום מבטיח לגרנז׳ משפט כי לגרנז׳, משפט בדיוק זה n = 0 עבור כי נעיר הערה.,f(x) = f(a) + f ′(c)(x− a) באגפים, העברה ע״י או, f(x)−f(a)

x−a = f ′(c) ש־ כך c

.R0(x) = f ′(c)(x− a) ולכן T0(x) ≡ f(a) אך

67

ההוכחה לתתזמן יש אם ע״ירק [a, x] בקטע עזר פונקצית הגדרנו לגרנז׳ משפט שלהוכחת גם נזכור הוכחה.

F (t) = f(t)− f(a)− f(x)− f(a)

x− a(t− a)

כי מכאן מקבלים באגפים העברה לאחר .F ′(c) = 0 מתקיים בה c נקודה למצוא כדי רול במשפט והשתמשנוכנדרש. f(x) = f(a) + f ′(c)(x− a)

ע״י [a, x] בקטע עזר פונקצית מגדירים מתכונת. אותה לפי היא טיילור משפט של ההוכחה

ϕn(t) = f(t)− Tn(t)− f(x)− Tn(x)

(x− a)n+1(t− a)

n+1

פעמים. n + 1 רול במשפט ומשתמשיםש־ כך a < c < x שיש להוכיח עלינו זה במקרה .n = 1 עבור זאת נדגים ורק המלאה, ההוכחה את ניתן לא

היא העזר ופונקצית ,f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) +f′′(c)

2 (x− a)2

ϕ1(t) = f(t)− (f(a) + f′(a)(t− a))− f(x)− (f(a) + f ′(a)(x− a))

(x− a)2(t− a)

2

.ϕ ב־ פשטות, לשם אותה, ונסמןקיימת רול משפט עפ״י ולכן ,ϕ(a) = ϕ(x) = 0 ומקיימת (a, x) ב־ גזירה ,[a, x] ב־ רציפה ϕ כי לב נשים

.ϕ′(c1) = 0 ש־ כך a < c1 < x

ומקיימת (a, c1) ב־ גזירה ,[a, c1] ב־ רציפה זו פונקציה .ϕ′ הפונקציה עם רול במשפט שוב נשתמש כעת

מחפשים. אנו שאותה c הנקודה וזו ־ ϕ′′(c) = 0 ש־ כך a < c < c1 נקודה קיימת ולכן ,ϕ′(a) = ϕ′(c1) = 0

במשוואה אגפים מעבירים וכעת ,ϕ′′(c) = 2f(x)−(f(a)+f′(a)(x−a))

(x−a)2(!t הוא כאן שהמשתנה (נזכור ואמנם

.ϕ′′(c) = 0

דוגמאות.

.1/1000 מ־ הקטנה שגיאה עם e את חשבו (i),Tn(x) =

∑nj=0 xj/j! הוא a = 0 בסביבת f(x) = ex של טיילור פולינום

הן (התלויה c = c(x, n) הנקודה כאשר Rn(x) = ecxn+1/(n + 1)! היא והשארית.x ל־ 0 בין נמצאת (n ב־ והן x ב־

בהערכה וכשנשתמש ,n לכל 0 < c < 1 ולכן x = 1 בו במקרה מתעניינים אנו.|Rn| < 3/(n + 1)! כי נקבל ec < e < 3

שאם אומר שקבלנו השוויון ואי ,|Rn| < 1/1000 כי שיבטיח n מחפשים אנחנו.1/1000 מ־ היא גם קטנה תהיה ודאי השגיאה אז ,3/(n + 1)! < 1/1000 יקיים nכדי עד e של קירוב כלומר, ,n = 6 עבור מתקיים אכן זה כי מראה ישיר חישוב

.1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + 1/6! ע״י ניתן מאלפית הקטנה שגיאה

.1/1000 מ־ הקטנה שגיאה עם sin 1 את חשבו (ii)הוא a = 0 בסביבת f(x) = sin x של טיילור פולינום

. Tn(x) = x− x3/3! + x5/5!− . . .∓ . . .

,± cos או ± sin תמיד הן שהנגזרות שמכיוון לב נשים השארית, את להעריך כדי,|Rn(x)| ≤ 1/(n + 1)! ולכן x = 1 אצלנו .c ולכל n לכל |f (n+1)(c)| ≤ 1 ש־ נקבלאת מקרב 1 − 1/3! + 1/5! כלומר .1/(6 + 1)! < 1/1000 כי נקבל n = 6 ועבורוכי ברדיאנים, זוויות מודדים אנו כי (זכרו מאלפית. הקטנה שגיאה כדי עד sin 1

.(!60◦ ל־ קרוב הוא קטנה, זווית איננו אחד רדיאן

68

יש כזו שיטה לכל כמו מקורב. לחישוב נומרית״ ״שיטה נותנת טיילור נוסחתרכיבים: שני לה

הנומרי. הקירוב לחישוב נוסחה נותן טיילור פולינום (a)

את שיבצע טיילור פולינום (מעלת n לקבוע מאפשרת לשארית הנוסחה (b)נדרשת. דיוק רמת מכל קטנה תהיה המוחלט) (בערכה שהשגיאה שיבטיח הקירוב)

,x מסויימת בנקודה f נתונה לפונקציה f(x) את לקרב כשרוצים (i) הערות.השיקול טיילור. פיתוח את נבצע שסביבה a הנקודה את לבחור עלינו מוטלונגזרותיה הפונקציה ערכי את בקלות לחשב שניתן הוא a בבחירת הראשוןאת מכירים אנו כי ,a = 0 לבחור חייבים היינו (i) בדוגמא כך .a בנקודהאת לחשב יודעים אנו (ii) בדוגמא .a 6= 0 עבור ea את מכירים איננו אך e0 = 1תבחר a ולכן וכו׳), π ,π/2 ,0 (כמו מיוחדות בנקודות ונגזרותיה sin x של הערכים

אלה. מנקודות אחת להיותככל קרובה נקודה לבחור בדר״כ נשתדל האלה האפשריות הנקודות כל מבין

השגיאה. להקטנת הוא גם יתרום (x− a)(n+1) הגורם אז כי a ל־ האפשר

או מקלורן״ ״נוסחת גם נקרא a = 0 בו טיילור נוסחת של הפרטי המקרה (ii)טיילור־מקלורן״. ״נוסחת

דוגמא.

השגיאה, את מקטינה n של הגדלה שבד״כ הוא טיילור בנוסחת בשימוש הרעיוןהבא המשפט גדול. מספיק n של בחירה ע״י הקירוב בטיב לשלוט אפשר וכך

יקרה. באמת שזה f על תנאים ייתןקורה, לא זה שבשבילן ״רעות״ פונקציות גם שיש לציין חשוב המשפט להערכתשהפונקציה מראה (ואינדוקציה) לופיטל בכלל שימוש כזו. קיצונית דוגמא והנה

f(x) =

{e−1/x2

x 6= 00 x = 0

שלה טיילור פולינום בפרט, .n לכל f (n)(0) = 0 ומקיימת פעמים אינסוף גזירהואיננו x לכל Rn(x) = f(x) ולכן ,n לכל ,Tn(x) ≡ 0 זהותית, מתאפס a = 0 ב־

לאפס! שואף

K קבוע שיש נניח .a הנקודה של בסביבה פעמים אינסוף גזירה פונקציה f תהי משפט.בסביבה. x לכל Rn(x) →

n→∞0 אז ,n ולכל זו בסביבה x לכל |f (n)(x)| ≤ K ש־ כך

הוכחה.

|Rn(x)| =∣∣∣∣f (n+1)(c)(n + 1)!

(x− a)n+1

∣∣∣∣ ≤K|x− a|n+1

(n + 1)!→ 0

המנה. מבחן באמצעות למשל, שרואים, כפי A מספר לכל An/n! → 0 כי

69

שבהן לנקודות פרט האלמנטריות הפונקציות לכל מתקיימים המשפט תנאימשפט ולכן נגזרותיה), או פונקציה של במכנה אפסים (כגון בעיה שיש ברור

ביותר. שימושי באמת הוא טיילור

דוגמא.

הוא a = 0 הנקודה סביב f(x) = ex הפונקציה של טיילור שפולינום ראינוc = c(x, n) כאשר Rn(x) = ecxn+1/(n + 1)! היא והשארית ,Tn(x) =

∑nj=0 xj/j!

קבוע x שלכל ומקבלים ,ec < e|x| ו־ |c| = |c(x, n)| ≤ |x| לכן .x ל־ 0 בין נמצא

. |Rn(x)| = ec|x|n+1/(n + 1)! < e|x||x|n+1/(n + 1)! →n→∞

0

מוקדמים בשלבים שהבטחנו כפי ,∑n

j=01j! → e ש־ נקבל x = 1 כשנקח בפרט,

הקורס. של יותר

*****************34 שעה סוף

*****************

ניוטון־רפסון שיטת 6.6

ערך משפט .f(a) < 0 < f(b) ש־ כך a, b ∈ I ותהיינה I בקטע גזירה f כי נניחניוטון־ שיטת .f(x) = 0 למשוואה אחד פתרון לפחות שקיים מבטיח הביניים

לפתרון. יעיל קירוב מסויימים) (בתנאים נותנת רפסוןהבא: באופן xn נקודות סדרת אינדוקטיבי באופן נגדיר

פתרון. מצאנו f(x0) = 0 במקרה אם בקטע. x0 שרירותית נקודה נבחרהמשיק של החיתוך נקודת את ונסמן x0 בנקודה לפונקציה משיק נעביר אחרת,

.x1 ע״י כזו) שיש (בהנחה x־ים ה־ ציר עםלפונקציה משיק נעביר ואחרת סיימנו, f(x1) = 0 אם צורה. באותה נמשיךנגדיר באינדוקציה x־ים. ה־ ציר עם שלו החיתוך נקודת את x2 ב־ ונסמן x1 ב־בנקודה הפונקציה לגרף המשיק עם x־ים ה־ ציר של החיתוך כנקודת xn+1 את

.xn

xn בנקודה הפונקציה לגרף המשיק לסדרה. מפורשות נוסחאות כעת נכתובשכשנציב הוא החיתוך ותנאי ,y = f ′(xn)(x − xn) + f(xn) הנוסחה ע״י נתון

כי תתן אגפים העברת .y = 0 נקבל x = xn+1

(∗) . xn+1 = xn − f(xn)f ′(xn)

f ′ כי גם נניח ואם ,γ ב־ שנסמנו גבול, xn לסדרה יש בכלל שאם מתבררבנוסחה n →∞ נשאיף כי .f(x) = 0 למשוואה פתרון בהכרח הוא γ אז רציפה,

.f(γ) = 0 ולכן ,γ = γ − f(γ)f ′(γ) ש־ ונקבל f ′ ושל f של ברציפות ונשתמש (∗)

תתכנס. באמת xn הסדרה ,f על מתאימות הנחות שתחת יראה הבא המשפטטיב על כלומר, ההתכנסות, קצב על הערכות אפילו ייתן המשפט כן, על יתר

הסדרה. אברי ע״י γ של הקירובדוגמאות. כמה תחילה אך

דוגמאות.

70

נדגים מאוד. מהר מתכנסת בד״כ היא מתכנסת, xn הסדרה כאשר (i)נגדיר .x2 − 2 = 0 המשוואה של הפתרון שהינו ,

√2 של מקורב בחישוב זאתכי ונקבל f(x) = x2 − 2

. xn+1 = xn − x2n − 22xn

=xn

2+

1xn

סדרה אכן שזו סדרות, של בגבולות טוב כתרגיל (הוכיחו, .x0 = 2 עם נתחילבסדרה ראשונים אברים כמה נחשב מתכנסת).

x1 =22

+12

=32

= 1.5

x2 =3/22

+1

3/2=

1712

= 1.41666 . . .

x3 =17/12

2+

117/12

=577408

= 1.4142156 . . .

.1.4142135 הוא במחשבון) דיוק ספרות (שמונה√

2 של ״אמיתי״ וחישוב

שאיברי כל קודם צריך היטב, מוגדרת בכלל תהיה xn שהסדרה כדי (ii)למשל, נסתכל, פונקציה. לכל כמובן, יקרה, לא וזה ,I הקטע בתוך יהיו הסדרה

אז .x0 = 2 עם ונתחיל ,I = [0,∞) בקרן f(x) = 2√

x− 1 על

x1 = x0 − f(x0)f ′(x0)

= 2− 2√

2− 11/√

2< 0

הפונקציה. של ההגדרה בתחום כלל נמצא איננו והוא x1 6∈ I כלומר,

דוגמא לשרטט נסו התכנסות. מבטיח זה אין ,n לכל xn ∈ I אם אפילו (iii)מקיימים הם כלומר לסירוגין, עצמם על חוזרים הסדרה אברי שבה קיצונית

להתכנס. יכולה אינה כזו שסדרה ברור .xn+2 = xn

נניח .f(a) < 0 < f(b) ש־ כך a, b ∈ I ותהיינה ,I בקטע פעמיים גזירה f תהי משפט.ע״י f(x) = 0 המשוואה של (היחיד!) הפתרון את ונסמן בקטע f ′(x), f ′′(x) > 0 כי גם

אז ,(∗) ע״י אינדוקטיבי באופן xn הסדרה את ונגדיר x0 = b נבחר .γ

.xn → γ (i)

ואז ,m = mina≤x≤b

f ′(x) ו־ M = maxa≤x≤b

f ′′(x) נסמן (ii)

. |xn+1 − γ| ≤ M

2m|xn − γ|2

ואז ,K = M2m נסמן (iii)

. |xn − γ| ≤ (K|b− a|)2n+1/K

71

ונקבל x = γ נציב ,xn סביב f של טיילור פיתוח את נרשום (i) הוכחה.

0 = f(γ) = f(xn) + f ′(xn)(γ − xn) + f ′′(c)(γ − xn)2/2

= f ′(xn)(γ − xn +

f(xn)f ′(xn)

)+ f ′′(c)(γ − xn)2/2

= f ′(xn)(γ − xn+1) + f ′′(c)(γ − xn)2/2.

השני המחובר כי ,n לכל xn > γ ש־ היא זה מחישוב הראשונה המסקנהγ−xn+1 בהכרח ולכן ,f ′(xn) גם וכך ,(f ′′(xn) > 0 (כי חיובי הוא הסופי בסכום

שלילי.ולכן ,xn > γ ו־ עולה, מונוטונית f כי ,n לכל f(xn) > 0 ש־ לב כעת נשיםיורדת, מונוטונית סדרה xn ש־ נקבל (∗) ב־ זאת כשנציב .f(xn) > f(γ) = 0הוא גבולה ראינו שכבר כפי מתכנסת. ולכן ,γ ע״י מלרע חסומה כמובן והיא

.γ כלומר ,f(x) = 0 המשוואה של היחיד הפתרון בהכרח

כי נובע קודם שרשמנו טיילור מפיתוח (ii)

. |γ − xn+1| =∣∣∣ f ′′(c)2f ′(xn)

(γ − xn)2∣∣∣ ≤ M

2m|xn − γ|2

נקבל (ii) לפי אז ,|xn − γ| = δn נסמן אם (iii)

δn+1 ≤ Kδ2n ≤ K[Kδ2

n−1]2 =

(Kδn−1

)22

/K

≤ . . . ≤ (Kδ0)2n+1

/K ≤ (K|b− a|)2n+1/K.

אם :γ לקירוב שיטה נותנת הביניים ערך למשפט שנתנו ההוכחה גם הערה.אז ,[an, bn] ב־ (γ את כולם (והמכילים בהוכחה שבונים הקטעים את נסמןאם אך לאפס, מהירה שאיפה אמנם זוהי .|an − γ| < b−a

2n ולכן ,bn − an = b−a2n

מהירה שאיפה שזו ,|xn − γ| < K−1

22n+1 כי (iii) מ־ נקבל K(b − a) < 12 ש־ נניחבהרבה.

ש־ כך כלשהם α, β ∈ I נקבע .K(b−a) < 12 ש־ כך a, b למצוא שקל עוד נעיר

הביניים), ערך משפט בעזרת לקירוב ההתחלה נקודת גם (זוהי f(α) < 0 < f(β)אחד לפחות . 1

2K מ־ קטן באורך [aj , aj+1] לקטעים [α, β] את נחלק ואח״כ(הוכיחו .f(aj) < 0 < f(aj+1) ש־ יקיים מתאים) באורך (שכולם אלה מקטעים

זאת!)

*****************35 שעה סוף

*****************

72

7 פרק

אינטגרלי חשבון

מסוים הלא האינטגרל 7.1

היא שנגזרתה פונקציה כלומר ,f לפונקציה קדומה פונקציה∫

f(x)dx ב־ נסמןנקצר (לפעמים .f של מסוים הלא האינטגרל גם לה ונקרא ,f הנתונה הפונקציהכאל לסימון להתייחס יש זה בשלב .(

∫f אפילו או ,

∫f(x) ונכתוב הסימון את

יותר. מאוחר יבוא ההסבר אך משונה, נראה אמנם הוא בלבד. סימון

שאלות: בשלוש לטפל עלינו

המסויים. האינטגרל על בפרק תטופל זו שאלה קיום:

כדי עד נקבעת קדומה פונקציה זו. לשאלה התשובה את יודעים כבר אנו יחידות:מהנתון כי ,x לכל F (x) = G(x) + C ש־ כך C קבוע יש אז ,F ′ = G′ אם קבוע:

קבועה. פונקציה F −G ולכן ,(F −G)′ = 0 שמתקיים נובעזו הנבדלות פונקציות של למשפחה סימון לכן, הוא,

∫f(x)dx פורמלי באופן

מפורשות, בפונקציות כשנטפל רק הקבועים את נציין אנחנו בלבד. בקבועים מזו.∫

cos xdx = sin x + C למשל כמו

מבוססות שכולן שיטות, מספר נתאר אנחנו זה. בסעיף העיקרי הנושא זהו חישוב:הגזירה. לפעולת ההפוכה״ ״הפעולה היא שאינטגרציה כך על

לינאריותהשוויון ומתקיים יש, af + bg ל־ גם אז קדומות, פונקציות יש g ול־ f ל־ אם

∫(af(x) + bg(x))dx = a

∫f(x)dx + b

∫g(x)dx

כלל עפ״י ימין אגף את גוזרים (כאשר נגזרת אותה יש המשוואה אגפי לשני כי.((aF + bG)′ = aF ′ + bG′ הגזירה

מיידיים אינטגרלים

פונקציות אותן של נגזרות״ ״טבלת לעצמנו פיתחנו נגזרות לחשב כשלמדנוכשנקרא .sin′ x = cos x או (xα)′ = αxα−1 למשל קרובות, לעתים פוגשים שאנו

למשל רבות, קדומות לפונקציות נוסחאות נקבל ההפוך״ ״בכיוון הטבלה את

73

.∫

cosx = sin x + C

.∫

1cos2 x = tan x + C

.∫

x−1 = ln |x|+ C

.β 6= −1 כאשר∫

xβ = xβ+1

β+1 + C

.∫

exdx = ex + C

.∫

11+x2 = arctan x + C

,arcsin x+arccos x = π/2 כי (בידקו∫

1√1−x2 = arcsinx+C = − arccosx+C

בקבוע). רק למעשה, נבדלות, אכן מזו זו שונות שנראות התשובות שתי וכך

אינטגרלים נקרא בטבלה״ ״הסתכלות ע״י מקבלים שאנחנו קדומות לפונקציותשונות טבלאות ״זוכרים״ שונים ואנשים ־ מדוייק מתמטי מושג איננו זה מיידיים.

מיידיים. אינטגרלים של

בחלקים אינטגרציה

כשנבודד .(uv)′ = uv′ + u′v המכפלה של לנגזרת הנוסחה את כעת ״נהפוך״״נוסחת שנקראת הבאה הנוסחה את נקבל אינטגרציה, ונבצע uv′ המחובר את

בחלקים״ האינטגרציה

.

∫uv′ = uv −

∫u′v

דוגמאות.

ונקבל v′(x) = x ו־ u(x) = ln x ב־ נשתמש∫

x ln xdx לחישוב (i)

.

∫x ln xdx =

x2

2ln x−

∫x2

21x

dx =x2

2ln x− x2

4+ C

השתמשנו (כאן .∫

ln xdx =∫

1 ln xdx = x ln x− ∫x 1

xdx = x ln x− x + C (ii).(v′(x) = 1 ו־ u(x) = ln x ב־

ונקבל v′ = sin x ו־ u = ex עם בחלקים אינטגרציה נבצע .∫

ex sinxdx (iii)בחלקים נוספת אינטגרציה ע״י נחשב האינטרגל את .−ex cos x+

∫ex cos xdx את

וכשנאסוף .ex sin x− ∫ex sin xdx ל־ שווה שהוא ונקבל v′ = cos x ו־ u = ex עם

.2∫

ex sinxdx = ex sin x− ex cos x + C נקבל המחוברים כל את

עם בחלקים אינטגרציה נבצע .Fn(x) ב־ האינטגרל את נסמן .∫

cosn xdx (iv)ונקבל sin2 x = 1− cos2 x בזהות ונשתמש v′ = cos x ו־ u = cosn−1 x

Fn(x) = sin x cosn−1 x + (n− 1)∫

sin2 x cosn−2 dx

= sin x cosn−1 x + (n− 1)∫

(1− cos2 x) cosn−2 dx

= sin x cosn−1 x + (n− 1)(Fn−2(x)− Fn(x)

)

74

באגפים העברה אחרי או,

.

∫cosn xdx =

1n

sin x cosn−1 x +n− 1

n

∫cosn−2 xdx

שבה תוצאה ,n של הזוגיות עפ״י לבסוף, נותן פעם אחרי פעם זו בנוסחה שימוש.∫

cosxdx = sin x את או∫

1dx = x האינטגרל את או לחשב יש

הצבה ע״י אינטגרציה

נסמן אם .(F (g(x))′ = F ′(g(x))g′(x) השרשרת, כלל את ״הופכים״ כאןכי נקבל אינטגרציה ונבצע F ′ = f

∫f(g(x))g′(x)dx = F (g(x)) + C.

דוגמאות.

g(x) = וב־ (F (t) = et (כלומר f(t) = et ב־ נשתמש כאן .∫

2xex2dx (i)

.F (g(x)) + C = ex2+ C הוא שהאינטגרל ונקבל ,(g′(x) = 2x (ואז x2

y = x2 מציבים אנחנו כך: מתבצעת הצבה ע״י איטגרציה מעשי באופןומתייחסים ״מרמים״ אנחנו כאן . dy

dx = 2x בצורה y של הנגזרת את וכותבים

כעת .dy = 2xdx וכותבים מספרים של מנה היה כאילו dydx הפורמלי ∫לביטוי

eydy = ey + C ומקבלים y המשתנה בעזרת dx ואת האינטגרנד את כותבים

.ex2+ C כ־ x המשתנה לשפת חזרה ״מתרגמים״ שאותו ־־

ולכן y = ex (הצבנו .∫

ex

e2x+1dx =∫

dyy2+1 = arctan y + C = arctan ex + C (ii)

.(dy = exdx

ולכן y = cos x (הצבנו .∫

tan xdx =∫

sin xcos xdx =

∫ −dyy = − ln | cosx|+ C (iii)

.(dy = − sin xdx

כי ,∫ f ′(x)

f(x) dx = ln |f(x)| + C הנוסחה את מקבלים יותר כללי באופן (iv)להיות הופך והאינטגרל dy = f ′(x)dx ואז y = f(x) מציבים

.

∫f ′(x)f(x)

dx =∫

dy

y= ln |y|+ C = ln |f(x)|+ C

האינטגרל לחישוב למשל, שונות. אינטגרציה שיטות לצרף יש לעתים (v)שאותו ,

∫et2tdt ומקבלים dx = 2tdt ואז (x = t2 (כלומר t =

√x נציב

∫e√

xdxבחלקים. אינטגרציה ע״י מחשבים

כללי בידנו יש מסובכת פונקציה וכשנתונה שיטתי, מאוד הוא נגזרות חישוב הערה.הפשוטים. רכיביה של לנגזרות רדוקציה ע״י נגזרתה את לחשב המאפשרים גזירהעל יתר ודמיון. נסיון ודורש ״מובנה״ איננו זאת, לעומת הקדומה, הפונקציה חישוב

75

להוכיח שאפשר , sin xx או ex2

למשל כמו מאד, פשוטות שנראות פונקציות יש כן,אלמנטרית! כפונקציה שלהן הקדומה הפונקציה את להציג בכלל אפשר שאי

פשוטה: מאד היא נכון הוא קדומה פונקציה של חישוב אם הבדיקה שני מצדנכונה לא לתשובה תרוץ כל שאין (כך הנתונה לפונקציה שוויון ובודקים גוזרים

בבחינה...).

רציונליות. פונקציות של אינטגרציה

דוגמאות.

ההצגה נקראת זו (הצגה 1x2−1 = 1

2

(1

x−1 − 1x+1

)נציג

∫1

x2−1dx לחישוב (i)

ואז חלקיים), שברים של כסכום∫

1x2 − 1

dx =12

∫ (1

x− 1− 1

x + 1

)dx =

12

(ln |x− 1|+ ln |x + 1|)

חלקיים שברים של כסכום נציג∫ −2x+4

(x2+1)(x−1)2 לחישוב (ii)

−2x + 4(x2 + 1)(x− 1)2

=A

x− 1+

B

(x− 1)2+

Cx + D

x2 + 1

לכן .C = 2, D = 1, A = −2, B = 1 כאשר

∫ −2x + 4(x2 + 1)(x− 1)2

dx

=∫ −2

x− 1dx +

∫1

(x− 1)2dx +

∫2x + 1x2 + 1

dx

= −2 ln |x− 1| − 1x− 1

+ ln(x2 + 1) + arctanx + C.

המכנה מדרגת קטנה המונה שדרגת בכך משתמשים חלקיים כשברים בהצגהלשבר כללי משבר לעבור האפשרות פריקים. האי גורמיו כמכפלת המכנה ובהצגתלחלק שאפשר היא הראשונה אלגבריות: עובדות משתי נובעת כזו הצגה לו שישg ו־ f אם שלמים): מספרים של לחלוקה דומה (באופן שארית עם פולינומים(השארית) r ופולינום (המנה) q פולינום יש אז ,deg(f) ≥ deg(g) ש־ כך פולינומים

שמתקיים כך ,deg(r) < deg(g) המקיים

. f(x) = g(x)q(x) + r(x)

של כמכפלה יחידה) למעשה (שהיא להצגה ניתן פולינום שכל היא השניהשהם או ראשונה ממעלה או הם פריקים האי (והפולינומים פריקים אי פולינומים

שלילית). שלהם שהדיסקרימיננטה ריבועיים פולינומים

76

נותן במכנה המונה חילוק ,deg(f) ≥ deg(g) ש־ כך רציונלית פונקציה fg אם

האינטגרל את לחשב בעיה (שאין פולינום של כסכום הצגה וזו fg = q + r

g כי

המכנה. מדרגת קטנה המונה דרגת שבו שבר ושל שלו)נוסחאות אין (כי מעשי לא קרובות, לעתים הוא, אי־פריקים לגורמים הפירוקמראש נתון אולי ואפילו ־ (i) בדוגמא כמו מעשי, כן הוא לעתים אבל לחישובו),

.(ii) בדוגמא כמוהנוסחאות את כאן ניתן ולא שנתנו האפייניות בדוגמאות נסתפק אנחנותקפה אכן השיטה כי נוכיח ולא חלקיים שברים של כסכום להצגה הכלליות

כללי. באופן

את לחשב איך לדעת עלינו חלקיים, שברים בעזרת השבר את משהצגנומהצורות אחת בעלי יהיו הם לינאריים משתנה שינויי אחרי שלהם. האינטגרלים

הבאות:

.(j = 1 כאשר ln |x− a|+ C (או∫

1(x−a)j dx = (x−a)−j+1

−j+1 + C (i)

.∫

2x(x2+a2)j dx = (x2+a2)−j+1

−j+1 + C (ii)

.(x = a tan t ההצבה (בעזרת∫

1(x2+a2)j dx = a−2j+1

∫cos2j−2 tdt (iii)

שרשים עם ביטויים

למשל: טריגונומטריות, בזהויות להעזר בדר״כ אפשר כאלה בביטויים

.∫

cos2 udu ומקבלים dx = cos u du ואז ,x = sin u הציבו .∫ √

1− x2dx (i)הוא והאיטגרל cos2 u = (1 + cos 2u)/2 בזהות נשתמש כעת

.12

∫(1 + cos 2u)du = (u +

12

sin 2u)/2 + C = (arcsin x + x√

1− x2)/2 + C

לכאורה, שהיא, (− arccosx+x√

1− x2)/2 נקבל (i) ב־ x = cos u נציב אם (ii).arcsin x + arccos x = π/2 כי בקבוע רק נבדלות הן למעשה אך שונה, תשובה

x = ההצבה את לנסות מתבקש√

a2 − x2 המכיל רציונלי ביטוי יש אם (iii).x = a cos u או a sin u

.y = cos u ואח״כ u = x− 1 ונציב לריבוע נשלים∫

dx√2x−x2 לחישוב לדוגמא,

x = ההצבה את לנסות כדאי√

a2 + x2 המכילים רציונליים בביטויים (iv).1 + tan2 u = 1

cos2 u בזהות ולהשתמש a tan u

.x = asin t ההצבה את לנסות כדאי

√x2 − a2 המכילים רציונליים בביטויים (iv)

*****************37 שעה סוף

*****************

77

המסוים האינטגרל 7.2

היא האחת השאלה פנים: שני זו לשאלה שטחה? מהו במישור. קבוצה נתונהכללית מישורית קבוצה של שטח להגדיר איך, אז כן ואם אפשר, האם עקרונית,השטח. את מחשבים איך היא השניה השאלה מסויימות? קבוצות של לפחות, או,מכאן הגובה. כפול הבסיס אורך המלבן: שטח הגדרת היא המוצא נקודתשטח לחצי זהה השטח והרכבה חיתוך ע״י למשולש: פשוטה תשובה גם נקבלשיטה נתן ארכימדס כבר עיגול? עם מה אך גובה. ואותו בסיס אותו עם מלבןצלעות. n עם משוכלל מצולע בעיגול נחסום העיגול: שטח של מקורב לחישובלחשב. יודעים אנו שטחם שאת ממשולשים מורכב הוא כי לחשב, קל שטחו אתהגבול, הוא העיגול שטח ולכן העיגול, כל את כמעט מכסה המצולע גדול n כאשר

אלה. שטחים של ,n →∞ כאשרלקבוצות רק זה בשלב זאת ונעשה רעיון, אותו של מתמטי בפיתוח נתחיללטפל נוכל שאח״כ (כמובן x־ים. ה־ ציר לבין פונקציה של הגרף בין המוגבלותכלליות צורות ואפילו כאלה, מקבוצות והרכבה לפירוק הניתנות בקבוצות גם

יותר).בקטע, f של האינטגרל נקרא [a, b] לקטע f של הגרף בין המוגבל השטח

.(∫ b

af(x)dx ב־ (ולפעמים

∫ b

af ב־ ונסמנו

יתברר הקדומה הפונקציה עם שלו הקשר סימון. רק זהו זה, בשלב (i) הערות.המתמטיקה. של הגדולים מההשגים אחד והוא בהמשך רק

לאינדכס j השם (כמו למשתנה שם רק הוא∫ b

af(x)dx בכתיבה x ה־ (ii)

y, t, s כגון אחר, סימן בכל x את להחליף ואפשר (∑N

j=M aj בסכום הסכימהוכדומה.

!x ב־ תלוי ואינו מספר הוא האינטגרל

סימן יקבל x־ים ה־ ציר מעל שטח סימן: עם שטח יהיה שנגדיר השטח (iii)שלילי. סימן יקבל לציר מתחת ושטח חיובי,

הבנין אבני ולכן המלבן, היא שטחה את יודעים שאנו הבסיסית הצורהפונקציות מלבנית: צורה המגבילות פונקציות תהיינה שנפתח בתורה היסודיותשל ה״מורכבות״ עפ״י צעדים בשלושה יטופל הכללי המקרה בקטע. קבועות שהן

.f

a קצוות עם פתוח) חצי או פתוח סגור, להיות (שיכול חסום קטע I יהי :1 צעדמגבילה f ש־ השטח אז בקטע. c הקבוע הערך את מקבלת f ש־ ונניח ,b ו־

.∫ b

af = c(b− a) ולכן שלילי), c אם שלילי (שהוא c(b− a) הוא

n ל־ מחולק [a, b] הקטע כלומר, מדרגה״, ״פונקצית היא f ש־ נניח :2 צעדכך ,a = a0 < a1 < . . . < an = b החלוקה נקודות ע״י הנקבעים חלקיים קטעיםf(ai) = ci אם חשוב זה (אין ai ו־ ai−1 שבין בקטע ci קבוע ערך מקבלת f ש־ai− ai−1 באורך בסיסים עם מלבנים, של זר איחוד מגביל f של הגרף .(ci−1 או

.∫ b

af =

∑ni=1 ci(ai − ai−1) ולכן בהתאמה, ci וגבהים

גבולי. בתהליך נשתמש זה, סעיף יוקדש שלפיתוחו והעיקרי, הסופי בשלב :3 צעדטבעית ודרך ״פשוטות״, צורות ע״י המבוקש השטח את נקרב ארכימדס כמו

78

מאוד חלוקה עם מדרגה פונקציות ע״י השטח של קירוב ע״י היא זאת לעשות.ci = f(ai) למשל, הוא, i ה־ בקטע ערכה וכאשר [a, b] של עדינה

ונבחר ,ci הערכים בבחירת גמישות ביותר צורך יש טכניות מתמטיות מסיבותבקטע ti הנקודה של שרירותית בחירה נרשה כאשר ,ci = f(ti) כגבהים אותם

פורמליות. להגדרות כעת נפנה .[ai−1, ai] בקטע כלומר i־י, ה־

a = a0 < a1 < · · · < an = b ותהי [a, b] בקטע המוגדרת פונקציה f תהי הגדרה.הסכום .ti ∈ [ai−1, ai] נקודה נבחר i לכל הקטע. של חלוקה

n∑

i=1

f(ti)(ai − ai−1)

.ti הנקודות לבחירת וביחס הנתונה לחלוקה ביחס f הפונקציה של רימן סכום נקרא

אנחנו .f של הגרף ע״י המוגבל השטח של הטבעיים הקירובים הם רימן סכומיהרימן לסכומי יש עדינה נהיית החלוקה שכאשר המקיימות בפונקציות רק נעסוקפורמלי ובאופן אינטגרביליות, פונקציות נקרא כאלה לפונקציות גבול. המתאימים

אינטגרבילית פונקציה היא [a, b] בקטע המוגדרת f חסומה שפונקציה נאמר הגדרה.התכונה עם δ > 0 יש ε > 0 לכל אם ,I המספר הוא שלה ושהאינטגרל בקטע, רימןבחירה ולכל max1≤i≤n(ai − ai−1) < δ ש־ כך הקטע של {ai} חלוקה לכל הבאה:

יקיים המתאים רימן סכום ,ti ∈ [ai−1, ai] נקודות של

.∣∣I −

∑f(ti)(ai − ai−1)

∣∣ < ε

.∫ b

af ב־ נסמן f של האינטגרל את

הן רבה, חשיבות יש רימן סכומי של כגבול האינטגרל שלהגדרת למרותהשונים, והטכנולוגיה המדע לענפי בשימושים בהמשך, שנראה כפי והן, מתמטיתזה כי האינטגרל, לחישוב בהגדרה ישיר באופן להשתמש מאוד קשה שבד״כ הריבקטעי ti נקודות של האפשריות הבחירות ולכל החלוקות לכל התייחסות מצריךהיא להלן (i) דוגמא אך לחישוב, יותר יעילות שיטות נציג בהמשך החלוקה.לחשב ניתן אכן הנקודות ושל החלוקות של מסוימת בבחירה שבה פשוטה דוגמא

הגבול. את

דוגמאות.

סכומי נבנה .1 וגובה בסיס עם משולש של שטח שזה מכיון∫ 1

0xdx = 1/2 (i)

המתאים f(x) = x של רימן בסכום נסתכל n לכל זו. תוצאה שנותנים רימןהאחידה לחלוקה

0 =0n

<1n

<2n

. . .n− 1

n<

n

n= 1

סכומי ואז החלקיים). הקטעים של הימניים לקצוות (כלומר ti = in ולבחירההם רימן

.

n∑

i=1

f(ti)(ai − ai−1) =n∑

i=1

i

n

(i

n− i− 1

n

)=

n∑

i=1

i

n· 1n

=n(n + 1)

2n2→ 1/2

79

דיריכלה של הפונקציה למשל, אינטגרביליות, שאינן פונקציות יש (ii)

D(x) =

{1 רציונלי x

0 אירציונלי x

או רציונליים) ti־ים בוחרים (אם 1 להיות יכול עבורה רימן סכום חלוקה שלכלאירציונליים). ti־ים בוחרים (אם 0

הבא המשפט רימן. אינטגרביליות הן החסומות האלמנטריות הפונקציות כליותר כללי אפילו

שהן (בתנאי סופי קטע בכל רימן אינטגרביליות הן הבאות הפונקציות משפחות משפט.בו): חסומות

מונוטוניות. פונקציות (i)

רציפות. פונקציות (ii)

את לחלק שאפשר כאלה כלומר למקוטעין, מונוטוניות או רציפות פונקציות (iii)אחד בכל מונוטונית או רציפה שהפונקציה באופן חלקיים קטעים של סופי למספר הקטע

.((ii) של (i) של הכללה כמובן, (זו, מהם.

חדש: מושג להכניס יש (ii) חלק להוכחת כי נעיר אך המשפט, את נוכיח לא

(התלוי δ > 0 יש ε > 0 לכל אם I בקטע שווה במידה רציפה f שפונקציה נאמר הגדרה..|f(x)−f(y)| < ε ש־ מתקיים |x−y| ≤ δ המקיימים x, y ∈ I שלכל כך (!ε ב־ ורק אך

דוגמא.

שווה: במידה בו רציפה אינה היא אך ,(0, 1) בקטע רציפה כמובן 1x הפונקציה

מקיימות בוודאי y = x + δ ו־ x הנקודות δ > 0 בהנתן ואז ,ε > 0 איזשהו נקבעמאוד קרוב x אם ε מ־ קטן אינו זה וגודל 1

x − 1x+δ = δ

x(x+δ) אך ,|x − y| ≤ δ

לאפס.

נוכיח לא הבא המשפט את למורה: הערההסבר לתת ישאינטואיטיבי,(ii) לחלקנכנסת ואיךרציפות כאן

במ״ש

שווה. במידה בו רציפה היא אז סגור בקטע רציפה f אם משפט.

האינטגרל. של הבסיסיות בתכונות לדון כעת נעבור

אז ,[a, b] בקטע אינטגרביליות פונקציות g ו־ f תהיינה משפט.

80

ומתקיים בקטע, אינטגרבילית αf + βg הפונקציה גם α, β ∈ R לכל (i)

.

∫ b

a

(αf + βg) = α

∫ b

a

f + β

∫ b

a

g

אז בקטע f ≤ g אם (ii)

.

∫ b

a

f ≤∫ b

a

g

אז בקטע, x לכל m ≤ f(x) ≤ M ואם ,∫ b

af ≥ 0 אז f ≥ 0 אם בפרט,

. m(b− a) ≤∫ b

a

f ≤ M(b− a)

.∫ b

af ≤ ∫ b

a|f | ו־ בו אינטגרבילית |f | גם אז ,[a, b] בקטע אינטגרבילית f אם (iii)

[c, b] ו־ [a, c] החלקיים מהקטעים אחד בכל אינטגרבילית f אז a < c < b אם (iv)∫ומתקיים b

a

f =∫ c

a

f +∫ b

c

f

ומתקיים בקטע אינטגרבילית h גם אז נקודות, של סופי למספר פרט h = f אם (v).∫ b

ah =

∫ b

af ש־

שיש העובדה בד״כ .∫ b

af ≥ 0 אז f ≥ 0 אם כי במשפט ראינו (i) הערות.

,∫ b

af > 0 חריף שוויון אי לקבל כדי מספיקה אינה f(x0) > 0 שבה x0 נקודה

רציפה f אם אך .x0 הבודדת בנקודה חיובי לערך פרט 0 זהותית f אם למשל,סביבה שיש נובע f מרציפות אז f(x0) = c > 0 אם חריף: שוויון אי מתקבל אכן

ולכן ,f(x) ≥ c2 > 0 מתקיים שבה [x0 − δ, x0 + δ]

∫ b

a

f =∫ x0−δ

a

f +∫ x0+δ

x0−δ

f +∫ b

x0+δ

f ≥ 2δc

2> 0

.2δ c2 מ־ גדול האמצעי והמחובר אי־שליליים, המחוברים כל כי

פורמלי באופן כעת נגדיר .a < b עבור הוגדר∫ b

af האינטגרל (ii)

.

∫ a

b

f = −∫ b

a

f

האינטגרל כללי וכל הגבולות, סדר על להשגיח מהצורך משחררת זו הגדרהבקטע אינטגרבילית f ואם בתוקף, נשארת (iii) ב־ הנוסחה בפרט נשמרים.

מתקיים α, β, γ ∈ [a, b] לכל אז [a, b]∫ β

α

f =∫ γ

α

f +∫ β

γ

f

81

כתרגיל!). זאת (הוכיחו .α, β, γ של בסדר תלות בלי

*****************39 שעה סוף

*****************הקדומה. לפונקציה המסויים האינטגרל בין הקשר 7.2.1

זוהי .F (x) =∫ x

af חדשה פונקציה ונגדיר [a, b] בקטע אינטגרבילית f תהי

תכונותיה. את ונחקור בקטע, היטב מוגדרת פונקציה

בו. רציפה F (x) =∫ x

af הפונקציה אז ,[a, b] בקטע אינטגרבילית f תהי משפט.

.x ∈ [a, b] לכל |f(x)| ≤ M כלומר הפונקציה, של מלעיל חסם M ב־ נסמן הוכחה.ואז x0 < y כי למשל ונניח בקטע x0 נקבע

F (y)− F (x0) =∫ y

a

f −∫ x0

a

f =∫ y

x0

f

ולכן

. |F (y)− F (x0)| =∣∣∣∣∫ y

x0

f

∣∣∣∣ ≤∫ y

x0

|f | ≤ M |y − x0| →y→x0

0

.(∣∣∣∫ y

x0f∣∣∣ ≤

∫ x0

y|f | כי דומה באופן נקבל x0 > y (אם

x0 ∈ בנקודה ורציפה [a, b] ב־ אינטגרבילית f תהי החדו״א] של היסודי משפט.[המשפטומתקיים x0 ב־ גזירה F (x) =

∫ x

af אז ,[a, b]

. F ′(x0) = f(x0)

חד־צדדית). היא הנגזרת אז הקטע של קצה נקודת x0 (אם

ונציג x > x0 נבחר מימין. נגזרת נבדוק הוכחה.

. F (x)− F (x0) =∫ x

a

f −∫ x0

a

f =∫ x

x0

f

ב־ f של הרציפות ואז ,mx = infx0≤t≤x f(t) ו־ Mx = supx0≤t≤x f(t) נסמןהשוויונים אי כן כמו .limx→x+

0mx = limx→x+

0Mx = f(x0) כי נותנת x0

mx(x− x0) ≤∫ x

x0

f ≤ Mx(x− x0)

שגם נקבל הסנדוויץ׳ משפט ועפ״י , mx ≤ F (x)−F (x0)x−x0

≤ Mx כי נותנים

. limx→x0+

F (x)− F (x0)x− x0

= f(x0)

.F ′−(x0) = f(x0) כי מראים דומה באופן

82

f(x) =

{−1 x < 01 x ≥ 0

הפונקציה למשל, חיונית. x0 ב־ f של הרציפות הנחת הערה.

איננה F (x) =∫ x

0f(x) = |x| ש־ מראה ישיר וחישוב ,x0 = 0 בנקודה רציפה איננה

זו. בנקודה גזירה

כזו קדומה פונקציה בקטע. קדומה פונקציה לה יש אז [a, b] ב־ רציפה f אם מסקנה.

.F (x) =∫ x

af הנוסחה ע״י ניתנת

הקטע כקצה דוקא F בהגדרת התחתון הגבול לקביעת חשיבות אין (i) הערות.הקבוע היא F1−F אז F1(x) =

∫ x

cf ונגדיר בקטע c נקודה איזושהי נבחר אם .a

נגזרת. אותה להן יש ולכן∫ c

af

אם התחתון. הגבול של כפונקציה גם האינטגרל על להסתכל אפשר (ii).G′(x) = −f(x) ולכן G(x) = − ∫ x

bf להציג גם נוכל אז G(x) =

∫ b

xf

וכשנגזור H(x) = F (b(x)) אז H(x) =∫ b(x)

af ואם גזירה פונקציה b(x) אם (iii)

.H ′(x) = f(b(x))b′(x) כי נקבל השרשרת כלל עפ״י

ולכן φ(x) = F (b(x))− F (a(x)) אז φ(x) =∫ b(x)

a(x)f אם יותר, כללי באופן (iv)

.φ′(x) = f(b(x))b′(x)− f(a(x))a′(x)

. ddx

∫ 7x2

cos xsin tdt = 14x sin(7x2)− (− sin x) sin(cos x) למשל,

החדוא של היסודי המשפט של תרגום הם שלאחריו) (והמשפט הבא המשפטהמסויים האינטגרל לחישוב מעשית לנוסחה

אז שלה, קדומה פונקציה G ותהי [a, b] ב־ רציפה f תהי ניוטון־לייבניץ] משפט.[נוסחת

.

∫ b

a

f = G(b)−G(a)

C קבוע יש ולכן ,f של קדומה פונקציה היא גם F (x) =∫ x

af הפונקציה הוכחה.

,C = G(a)−F (a) = G(a) כי נותן F (a) = 0 ואז ,x = a נציב .G = F + C ש־ כךולכן

.

∫ b

a

f = F (b) = G(b)− C = G(b)−G(a)

־ קירובים ובלי חלוקות בלי∫ b

af את לחשב מאפשרת ניוטון־לייבניץ נוסחת

למשל בנוסחה. ומשתמשים f ל־ קדומה פונקציה מוצאים פשוט

.

∫ π

0

sin xdx = − cosx∣∣∣π

0= − cosπ − (− cos 0) = 2

83

את ולהחליש כלליים, יותר בתנאים גם דומה בנוסחה להשתמש ניתן למעשהרציפה. פונקציה הוא שהאינטגרנד הדרישה

את ומקיימת רציפה G ו־ אינטגרבילית, f כאשר גם נכונה ניוטון־לייבניץ נוסחת משפט.נקודות. של סופי למספר פרט בקטע x לכל G′(x) = f(x) התנאי

*****************41 שעה סוף

*****************

המסוים האינטגרל של שימושים 7.2.2

למשל, כלליות. יותר קבוצות של שטחים גם אינטגרלים בעזרת לחשב אפשר (i)לדוגמא, מגבילים. שהם השטחים כהפרש לחישוב ניתן גרפים שני שבין השטח

הוא [0, 2] הקטע מעל x3 ושל x2 של הגרפים שבין (הגיאומטרי) השטח

∫ 2

0

|x2 − x3|dx =∫ 1

0

(x2 − x3)dx +∫ 2

1

(x3 − x2)dx

=(

x3

3− x4

4

) ∣∣∣1

0+

(x4

4+

x3

3

) ∣∣∣2

1=

1712

בזמן ס״מ/לשניה. v(t) היא t בזמן כשמהירותו הממשי הציר לאורך נע גוף (ii)?t = T בזמן ימצא הוא איפה .a בנקודה נמצא הוא t = 0

v ש־ (בהנחה ולכן S′(t) = v(t) כידוע .S(t) ב־ t בזמן מיקומו את נסמן

.S(T ) = a +∫ T

0v(t)dt תקפה) לייבניץ ניוטון שנוסחת כך רציפה, פונקציה

״מלאכותית״ נראתה שלילית כשהפונקציה כשלילי האינטגרל הגדרת (a) הערות.כמבטאות לאינטגרל הנוסחאות על מסתכלים כשאנחנו שטחים. בחישובי כשעסקנוושמאלה חיובית כשהמהירות ימינה נע הגוף מאליו: מובן זה הגוף של מיקומו את

שלילית! כשהיאמיקומו) את (ולא T לזמן עד עובר שהגוף הכוללת הדרך את לחשב רוצים אם

S(T ) = אז .a = 0 ו־ v(t) = sin t כי נניח לדוגמא, .∫ T

0|v(t)|dt היא הנוסחה אז

הכולל המרחק אפס. או שלילי חיובי, (T של הערך (עפ״י להיות שיכול ,− cosT

.∫ T

0| sin t|dt הוא T לזמן עד יעבור שהגוף

של ההגדרה עפ״י גם S(T ) = a+∫ T

0v(t)dt הנוסחה את להבין מאוד חשוב (b)

של 0 < t1 < . . . < tN = T עדינה חלוקה נקח רימן: סכומי של כגבול האינטגרל,v(ti)(ti − ti−1) ב־ בערך i־י ה־ החלוקה בקטע מועתק הגוף ואז ,[0, T ] הקטעהאמיתי הכללי ההעתק של קירוב הוא

∑Ni=1 v(ti)(ti − ti−1) רימן סכום ולכן.t = T לבין t = 0 שבין הזמן בפרק

את האינטגרל) הגדרת (עפ״י מקרב גם זה סכום מתמטית מבחינה אבלעם מתלכד האינטגרל כי מקבלים לגבול כשעוברים ולכן .

∫ T

0v(t)dt האינטגרל

ההעתק.

84

לחשוב טובה דרך המסוים. לאינטגרל הסימון את להסביר המקום גם זה (c)ונסתכל ai − ai+1 = ∆i נסמן רציף״. ״סכום כעל היא המסוים האינטגרל על.{ai} מסוימת לחלוקה ביחס [a, b] בקטע f של

∑ni=1 f(ti)∆i רימן בסכום

בגבול גדל. ומספרם וקטנים הולכים המחוברים ומתעדנת הולכת כשהחלוקההמחוברים את ,dx האינפיניטיסימלי״ ב״אורך ∆i (הקטן) האורך את מחליפיםבין i שהוא שלהם, המספור ואת f(x)dx האינפיניטיסימלי״ ב״מחובר f(ti)∆i

מוחלף∑n

i=1 קליגרפי (ובאופן .b לבין a בין x שהוא רציף״ ב״מספור ,n ל־ 1

dx ה־ להכללת הביאה הזו האנלוגיה .(dx ב־ מוחלף ∆i ו־∫ b

aהאינטגרל בסימן

בסימון.f של היחידות יש f(x) ל־ יחידות: יש האינטגרל בתוך גורם לכל כן, על יתריש ,

∫ b

af(x)dx הרציף״, ל״סכום כזה באופן .x של כלומר ,∆i של היחידות dx ול־

.∑n

i=1 f(xi)∆i רימן לסכומי כמו יחידות ∫אותן b

af(x)dx לאינטגרל ולכן אורך, יחידות יש f ל־ והן x ל־ הן השטחים בחישובי

יחידות יש v ול־ זמן יחידות יש t ל־ המהירות עם בדוגמא שטח. יחידות יש

אורך. יחידות יש∫ b

av(t)dt לאינטגרל ולכן אורך/זמן, כלומר מהירות,

ויעילה, אינטואיטיבית מאוד היא רציף כסכום האינטגרל על ההסתכלותבחלק גם זאת נדגים אנחנו קרובות. לעתים בה משתמשים ופיסיקאים ומהנדסים

הבאות. מהדוגמאות

נסמן משתנה. צפיפות בעל הוא ([a, b] הקטע עם מתמטית (המזוהה תיל (iii)ע״י ניתנת x בנקודה המסה צפיפות ואז ,[a, x] הקטע של המסה את m(x) ב־

.ρ(x) = m′(x) כלומר ,ρ(x) = limh→0m(x+h)−m(x)

h הקשרלשחזר אפשר החדו״א של היסודי המשפט עפ״י אז ,ρ(x) הצפיפות, נתונה אםהיחידות מסה/אורך, הן ρ של היחידות .m(x) =

∫ x

aρ(t)dt הנוסחה ע״י המסה אתמסה. m ושל אורך, הן x של

האינפיניטיסימלית, המסה את מסכמים אנחנו רציף כסכום האינטגרל על בהסתכלות.b לבין a בין x ערכי כל עבור [x, x + dx] האינפיניטיסימלי הקטע של ,ρ(x)dx

וב־ מסוים, ממוצר יחידות x של מייצור הכולל הרווח את F (x) ב־ נסמן (iv)נתונה, f הפונקציה ואם ,f = F ′ אז .x ה־ היחידה בייצור השולי הרווח את f(x)

.F (x) =∫ x

0f(t)dt ע״י F את לחשב אפשר

יחידות הן (t (או x של היחידות רציף: כסכום האינטגרל על ובהסתכלותהן f(t)dt של היחידות ולכן מוצר, שקלים/יחידות הן f(x) של והיחידות מוצר,שקלים. הן F (x) של היחידות גם .(t ה־ היחידה מייצור הרווח (וזה שקליםסך של כ״סכום״ הכולל הרווח את מציגה F (x) =

∫ x

0f(t)dt כאינטגרל הההצגה

היחידות. כל מייצור הרווחיםf(t) < שלילי: הוא שלילית פונקציה של האינטגרל מדוע ברור זו בדוגמא גםואילו ממכירתה, מההכנסה גדולה t ה־ היחידה של הייצור שעלות פירושו 0וברור ייצורן. ממחיר קטן היחידות x כל של הכולל שהערך פירושו F (x) < 0תהיה הכוללת המכירה גם אז מוצר, יחידת כל של ומכירה בייצור מפסידים שאם

בהפסד.

הפיסיקלי שלגודל הוא אינטגרל יופיע בהן לדוגמאות המשותף המכנה הערה.תכונות: שתי יש וכו׳) מסה העתק, (שטח, לחשב מנסים שאותו

85

הגודל חלקיים, לקטעים x החפשי המשתנה של קטע כשמפרקים ־ אדיטיביותהחלקיים. בקטעים הגדלים סכום הוא מסה) העתק, (שטח, המבוקש הכולל

אז צפיפות) מהירות, (גובה, בקטע קבועה הנתונה הפונקציה כאשר ־ מכפלההקטע. באורך הקבוע מכפלת הוא המבוקש הגודל

התוצאה של קירוב נותנים∑n

i=1 f(ti)∆i הסכומים מתקיימות אלה כשתכונותהערך את המקבלת המדרגות פונקצית ע״י f את מקרבים הם כי המבוקשת,רימן סכומי בדיוק הם הסכומים אך i־י. ה־ החלוקה בקטע f(ti) הקבוע

.∫ b

af את המקרבים

נע יחידה מסת בעל כשגוף הנעשית העבודה סוג: מאותו נוספת דוגמא (v)הכח אם .f(x) הוא x בנקודה עליו הפועל הכח כאשר [a, b] הקטע לאורךשל מתאים (בנירמול (b − a)F1 המכפלה היא העבודה אז ,F1 קבוע, הוא f(x)הכוללת. העבודה את נותן זרים בקטעים העבודות של הסכום כן כמו היחידות),.∫ b

af(x)dx הרציף״ ״הסכום היא הכוללת העבודה קבועה אינה f כאשר לכן

והממוצע∫ b

af(x)dx/(b − a) הוא [a, b] בקטע f של הממוצע הערך (vi)

ו־ w(x) ≥ 0 היא השקלול פונקצית כאשר ,∫ b

af(x)w(x)dx הוא המשוקלל

.∫ b

aw(x)dx = 1

שלה הגרף של האורך אז ,[a, b] בקטע ברציפות גזירה פונקציה f תהי (vii).∫ b

a

√1 + (f ′(x))2dx הנוסחה ע״י ניתן

במישור (b1, b2) ו־ (a1, a2) הנקודות את המחבר הקטע אורך כי תחילה נזכור

במצולע ונסתכל הקטע של {ai} חלוקה נקבע .((a1 − a2)2 + (b1 − b2)2

) 12 הוא

הוא המצולע של אורכו .(ai, f(ai)) הנקודות בין המקשר∑(

(ai − ai−1)2 + (f(ai)− f(ai−1))2) 1

2

לכן הגרף. אורך את ויותר יותר מקרב הוא ומתעדנת, הולכת החלוקה וכאשר.max(ai − ai+1) → 0 כאשר זה ביטוי של הגבול את מחפשים אנחנו

עפ״י המדוייקת. המתמטית הדרך ותחילה דרכים, בשתי הזה הגבול את נחשבולכן .f(ai)− f(ai−1) = f ′(ti)(ai− ai−1) ש־ כך ai−1 < ti < ai יש לגרנז׳, משפט

∑((ai − ai−1)2 + (f(ai)− f(ai−1))2

) 12

=∑(

(ai − ai−1)2 + f ′(ti)2(ai − ai−1)2) 1

2 =∑ √

1 + f ′(ti)2 ∆i

המתכנס מתכנס הוא ולכן ,√

1 + (f ′(x))2 הפונקציה עבור רימן סכום שהואהנוסחה. שאומרת כפי ,

∫ b

a

√1 + (f ′(x))2dx שלה, לאינטגרל

האינפיניטיסימלי במשולש להסתכל היא הנוסחה להוכחת ״המקוצרת״ הדרךהוא הזה הקטע (אורך [(x, f(x)), (x+dx, f(x))] הקטע הוא שבסיסו הזווית ישר,√

(dx)2 + (f ′(x)dx)2 =√

1 + (f ′(x))2 dx הוא היתר אורך ולכן .f ′(x)dx וגובהו (dxה־ כל על ״כשמסכמים״ האלה היתרים ארכי כל של ״הסכום״ הוא הגרף ואורך

.∫ b

a

√1 + (f ′(x))2 dx כלומר x־ים,

דוגמא.

86

של הגרף אורך את נחשב כך לשם היחידה. מעגל של ההיקף את נחשבf ′(x) = זו בדוגמא ההיקף. חצי שהוא ,[−1, 1] ב־ f(x) =

√1− x2 הפונקציה

הוא הגרף ואורך 1 + (f ′(x))2 = 11−x2 ולכן −x√

1−x2

.

∫ 1

−1

1√1− x2

= arcsin x∣∣1−1

=π

2− −π

2= π

.2π הוא כולו המעגל הקף ולכן

*****************43 שעה סוף

*****************

המסוים האינטגרל חישוב 7.2.3

הפונקציה למציאת שפיתחנו בשיטות נשתמש המסויים האינטגרל של בחישובלגבולות התייחסות תוך זאת נעשה אך והצבה), בחלקים (אינטגרציה הקדומה

החישוב). את מפשט אפילו לפעמים זה מעשית (מבחינה האינטגרל.

דוגמאות.

בחלקים אינטגרציות שתי ונבצע I ב־ האינטגרל את נסמן .∫ π

0ex sin xdx (i)

I = ex sin x∣∣∣π

0−

∫ π

0

ex cos xdx = −∫ π

0

ex cosxdx

= −{

ex cos x∣∣∣π

0+

∫ π

0

ex sin xdx

}

= −{−eπ − 1 + I}.I = (eπ + 1)/2 ולכן

x = sin t נציב היחידה). מעיגול רבע של השטח (זה I =∫ 1

0

√1− x2dx (ii)

.I =∫ π/2

0cos2 tdt ולכן ,dx = cos tdt ואז

.I האינטגרל לחישוב שיטות שלוש ניתן

ונקבל בחלקים אינטגרציה נבצע א.

I =∫ π/2

0

cos t cos tdt = cos t sin t∣∣∣π/2

0+

∫ π/2

0

sin t sin tdt

= 0 +∫ π/2

0

(1− cos2 t)dt =π

2− I

.I = π4 ולכן

ונקבל cos2 t = (1 + cos 2t)/2 בזהות נשתמש ב.

.

∫ π/2

0

cos2 tdt =∫ π/2

0

(1 + cos 2t)/2dt =( t

2+

sin 2t

4

)∣∣∣π/2

0= π/4

87

.I = − ∫ 0

π/2sin2 tdt =

∫ π/2

0sin2 tdt ונקבל x = cos t נציב x = sin t במקום ג.

נקבל sin2 +cos2 = 1 הזהות עפ״י

2I =∫ π/2

0

cos2 tdt +∫ π/2

0

sin2 tdt =∫ π/2

0

dt = π/2

הסתכלות ע״י גם∫ π/2

0cos2 tdt =

∫ π/2

0sin2 tdt כי עצמכם (שכנעו .I = π/4 ו־

בגרפים).

מקורבים חישובים 7.2.4

כן, על יתר הקדומה. הפונקציה למציאת שיטתית דרך אין כבר שהערנו כפיהתוצאה, הגבולות את כשמציבים ,sin x כגון מפורשת, פונקציה מוצאים אם אפילו

לחישובו. קירוב בשיטות להשתמש ויש ״פשוט״ מספר איננה בדר״כ,החדו״א של היסודי המשפט עם הסתיימה לא שעבודתנו אומרים אלה שיקולים

מקורב. באופן האינטגרל את מחשבים איך ללמוד ועלינוונראה טיילור, משפט בעזרת האינטגרנד את לקרב היא אחת מתבקשת דרך

מאד. יעיל מכשיר אכן זה כי

דוגמא.

sin t עבור טיילור בנוסחת נשתמש∫ 1

0sin x2dx לחישוב

sin t = t− t3

3!+

t5

5!. . .± t2n+1

(2n + 1)!+ Rn(t)

.|Rn(t)| ≤ |t|2n+3

(2n+3)! המקיימת שארית עם

ונקבל אינטגרציה נבצע ,t = x2 נציב∫ 1

0

sinx2dx =∫ 1

0

{x2 − x6

3!+

x10

5!. . .± x4n+2

(2n + 1)!+ Rn(x2)

}dx

=13− 1

7 · 3!+

111 · 120!

. . .± 1(4n + 3) · (2n + 1)!

+ En

.|En| ≤∫ 1

0t4n+6dt(2n+3)! = 1

(4n+7)(2n+3)! כאשר

הבאה החשובה ההערכה את גם נותן טיילור במשפט שימוש

אמצע את ונסמן ,[a, b] בקטע רציפות נגזרות שתי בעלת f תהי המלבן] משפט.[כלל

מקיימת R השגיאה כאשר∫ b

af = f(c)(b− a) + R אז .c = a+b

2 ב־ הקטע

. |R| ≤ (b− a)3

24max

x∈[a,b]|f ′′(x)|

88

כי ונקבל c סביב 1 מסדר טיילור בפיתוח נשתמש הוכחה.

f(t) = f(c) + f ′(c)(t− c) +12f ′′(γt)(t− c)2

לב ונשים b ל־ a בין אינטגרציה נבצע כעת .t לבין c בין ביניים נקודת γt כאשרע״י חסום השלישי ואילו יתאפס, ימין באגף השני המחובר כי

.

∫ b

a

12f ′′(γt)(t− c)2dt ≤ max

x∈[a,b]|f ′′(x)|

∫ b

a

12(t− c)2dt =

(b− a)3

24max

x∈[a,b]|f ′′(x)|

על האינטגרל בקירוב השגיאה את להעריך למשל, אפשר, המלבן כלל בעזרתקטע כל של האורך אז האחידה החלוקה עם בו כשנשתמש רימן: סכומי ידי

כי ונקבל ai − ai−1 = b−an הוא חלקי

∫ b

a

f =∑

i≤n

∫ ai

ai−1

f =∑

i≤n

(f(ci)(ai − ai−1) + Ri

)+ E

מקיים E =∫ b

af −∑(

f(ci)(ai − ai−1))

=∑

Ri ההפרש ולכן

. |E| ≤ n( b−a

n )3

24max

x∈[a,b]|f ′′(x)| = (b− a)3

24n2max

x∈[a,b]|f ′′(x)|

*****************44 שעה סוף

במקומות***************** מופיעים אינטגרלים איך שידגים המלבן כלל של אחר שימוש כעת נציגמראש. צפויים לא

שימושית נוסחה (זו . n!√2πn nn

en→ 1 כלומר, ,n! ≈ √

2πnnn

en סטירלינג] משפט.[נוסחת

.(n! את להעריך או לחשב שצריך פעם בכל ביותר

.√

nnn

en = n(n+ 12 )e−n הביטוי בא מאיפה רק נראה הוכחה.

מתקיים המלבן כלל עפ״י .ln(n!) =∑n

j=2 ln j נציג

∫ j+ 12

j− 12

ln tdt = ln j + Rj

ולכן

. ln(n!) =n∑

j=2

ln j =n∑

j=2

∫ j+ 12

j− 12

ln tdt−n∑

j=2

Rj =∫ n+ 1

2

32

ln tdt−n∑

j=2

Rj

89

אבל

∫ n+ 12

32

ln tdt = t ln t− t∣∣∣n+ 1

2

32

= (n +12) ln(n +

12)− (n +

12)−B

= (n +12) ln n− n−B + Cn

ואילו , 32 בנקודה כלומר התחתון, בגבול הערך הוא B כאשר

Cn = (n +12)(

ln(n +12)− ln n

)− 1

2= (n +

12) ln

n + 12

n− 1

2

= ln(1 +12n

)n+ 12 − 1

2→ ln e

12 − 1

2= 0

כי נקבל ,En = −∑nj=2 Rj נסמן אם ולכן,

n! = e(n+ 12 ) ln n−n+En−B = nn+ 1

2 e−neEn−B

שהגבול רק נעיר נבצע. לא שאותו ,lim En של מחישוב באה המדוייקת והנוסחהכי לב נשים זאת לראות כדי קושי. סדרת En כי קיים, באמת

|Rj | ≤ 124

maxj− 1

2≤t≤j+ 12

1t2≤ 1

j(j + 1)

אז n > m אם ולכן

|En − Em| =

∣∣∣∣∣∣∑

m<j≤n

Rj

∣∣∣∣∣∣≤

∑

m<j≤n

1j(j + 1)

=∑

m<j≤n

(1j− 1

j + 1

)=

1m + 1

− 1n + 1

→ 0

מוכללים אינטגרלים 7.3

נרצה כעת סופי. בקטע חסומות פונקציות של באינטגרלים טיפלנו עתה עדמתקיימים. אינם אלה תנאים בהם למקרים האינטגרל את להכליל

.[a, c] חלקי קטע בכל ואינטגרבילית [a,∞) בקרן המוגדרת פונקציה f תהי (i) הגדרה.

נאמר (ובקיצור קיים בקרן f של המוכלל שהאינטגרל נאמר קיים limc→∞

∫ c

a

f הגבול אם

ונסמן בקרן), אינטגרבילית f ש־ פשוט

.

∫ ∞

a

f = limc→∞

∫ c

a

f

90

קיים אם .[a, c] חלקי קטע בכל ואנטגרבילית [a, b) בקטע המוגדרת פונקציה f תהי (ii)

(ובקיצור קיים [a, b] בקטע f של המוכלל שהאינטגרל נאמר limc→b−

∫ c

a

f משמאל הגבול

ונסמן בקטע), אינטגרבילית f ש־ פשוט נאמר

.

∫ b

a

f = limc→b−

∫ c

a

f

כשהסינגולריות סופי בקטע או שמאלית, בקרן מוכלל אינטגרל מגדירים דומה באופןהשמאלי. בקצה היא

האינטגרל כי לפעמים נאמר ,(−∞ (או +∞ והוא הרחב במובן רק קיים הגבול אם.(−∞ (או ∞ ל־ מתבדר

באינסוף f של בהתנהגות רק תלוי∫∞

af האינטגרל של קיומו אי או קיומו הערה.

כמובן, תלוי, כן קיים, הוא אם האינטגרל, של ערכו (אולם a הנקודה בבחירת ולאאז a < c אם כי ,(a ב־

.

∫ ∞

a

f =∫ c

a

f +∫ ∞

c

f

דומה הערה תחתון. גבול כלל לציין בלי קיים∫∞

f כי לכן נאמר לפעמיםסופי. בקטע חסומה לא פונקציה של לאינטגרל ביחס תקפה

דוגמאות.

כאשר גבול אין∫ c

0sin x = cos c − 1 ל־ כי קיים, לא

∫∞0

sin x האינטגרל (i).c →∞

.c →∞ כאשר∫ c

0e−x = 1− e−c → 1 כי מתכנס

∫∞0

e−x האינטגרל (ii)

.∫∞1

x−p את נבדוק (iii)מתבדר. והאינטגרל

∫ c

1x−1 = ln c →∞ אז p = 1 אם

אם קיים לא c →∞ כאשר והגבול∫ c

1x−p = 1

−p+1 (c−p+1− 1) אז p 6= 1 אם.p > 1 אם 1

p−1 והוא ,p < 1

(iii) ל־ דומה חישוב ועפ״י ,0 ב־ היא הבעיה כאן .∫ 1

0x−p את נבדוק (iv)∫ 1

cx−p = 1

−p+1 (1− c−p+1) → מקבלים p < 1 ועבור מתבדר, p ≥ 1 ל־ האינטגרל.c → 0 כאשר 1

1−p

סופיות) בנקודות משמאל או מימין או ±∞ (ב־ סינגולריות מספר f ל־ יש אםקיים הוא כאשר רק קיים המוכלל והאינטגרל בנפרד, מהן אחת כל לבדוק יש

מהן. אחת בכל

91

דוגמאות.

לא∫ 1

0x−pdx אז p ≥ 1 אם כי ,p לאף קיים לא

∫∞0

x−pdx האינטגרל (i)מתכנס. לא

∫∞1

x−pdx אז p ≤ 1 ואם מתכנס,

על יתר .∫∞−∞

2xdxx2+1 = 0 כי לחשוב היה ניתן ולכן איזוגית, 2x

x2+1 הפונקציה (ii)

כאשר לגבול וכשעוברים ,R לכל∫ R

−R2xdxx2+1 = 0 כי מחשבים נזהרים, לא אם כן,

.0 מקבלים אכן R →∞∫ 0

−∞2xdxx2+1 ו־

∫∞0

2xdxx2+1 המוכללים האינטגרלים שני כי קיים, לא

∫∞−∞

2xdxx2+1 אבל

קיימים. לא

האינטגרל: של הרגילות התכונות יש המוכלל לאינטגרל∫

cf = c

∫f ;

∫(f1 +f2) =

∫f1 +

∫f2 ;

∫ ∞

a

f =∫ c

a

f +∫ ∞

c

f

.∫

f ≤ ∫g אז f ≤ g אם כן וכמו

אי־שליליות. פונקציות של מוכללים אינטגרלים 7.3.1

F אםם קיים∫∞

af אז .F (x) =

∫ x

af ונסמן ,[a,∞) בקרן אי־שלילית f תהי משפט.

חסומה.

לפונקציה כי וידוע עולה, מונוטונית F כי גוררת f של השליליות אי הוכחה.חסומה. היא אםם גבול יש מונוטונית

לכך המפתח הם סופי) בקטע מוכלל לאינטגרל שלו (והאנלוג זה פשוט משפטמזה יותר פשוט קבוע סימן בעלות פונקציות של מוכללים באינטגרלים שהטיפולמודגם זה חסימות! לבדוק רק יש גבול קיום לבדוק במקום כלליות: פונקציות של

הבא: במשפט היטב

ב־ ואינטגרביליות [a,∞) בקרן אי־שליליות g ו־ f תהיינה ההשוואה]. [קריטריון משפט.קיים

∫∞a

g האינטגרל ואם בקרן, x לכל 0 ≤ f(x) ≤ g(x) אם .a < b < ∞ לכל [a, b]ו־ קיים

∫∞a

f גם אז ,

.

∫ ∞

a

f ≤∫ ∞

a

g

,0 ≤ F ≤ G ו־ חסומה G הנתון עפ״י .G(x) =∫ x

ag ו־ F (x) =

∫ x

af נסמן הוכחה.

חסומה. F גם לכן

92

לכל יתקיים 0 ≤ f(x) ≤ g(x) ש־ צורך אין יתכנס∫∞

af שהאינטגרל כדי הערה.

x ערכי עבור כלומר ,[c,∞) חלקית קרן איזשהי על יתקיים שזה ומספיק ,x ≥ aמספיק. גדולים שהם

עבור 0 ≤ f(x) ≤ Kg(x) מהטיפוס הערכה בדר״כ נקבל בשימושים כן כמו.∫∞

af של ההתכנסות להוכחת מספיק זה שגם כמובן .K > 0 חיובי קבוע איזשהו

אם חלקי. קטע בכל ואינטגרביליות [a,∞) בקרן אי־שליליות f, g תהיינה מסקנה.

קיים.∫∞

g אםם קיים∫∞

f אז ,0 < L < ∞ כאשר limx→∞

f(x)g(x)

= L

,x ≥ c לכל 0 < L2 < f(x)

g(x) < 3L2 ש־ כך c > a נמצא הגבול הגדרת לפי הוכחה.

. 3L2 g ועם L

2 g עם השוואות ע״י מהמשפט נובעת והמסקנה

קיים.∫∞

f גם אז קיים,∫∞

g ו־ L = 0 שאם מראה דומה הוכחה

של מוכללים לאינטגרלים גם תקפות ולמסקנה למשפט אנלוגיות תוצאות הערה.בקטע. חסומות לא פונקציות

דוגמאות.

זוגית, פונקציה הוא האיטגרנד ואמנם מתכנס.∫∞−∞ e−x2

dx האינטגרל (i)

עבור 0 < e−x2 ≤ e−x אך ימנית, בקרן מתכנס האינטגרל כי לבדוק די ולכןמתכנס.

∫∞1

e−xdx כי כבר וראינו ,1 ≤ x < ∞כי .q < 2 אםם מתכנס

∫ 1

0sin xdx

xq (ii)

limx→0

sinx

xq

/ 1xq−1

= limx→0

sin x

x= 1

,q−1 < 1 אםם קורה וזה מתכנס,∫

dxxq−1 אםם מתכנס האינטגרל המסקנה ועפ״י

.q < 2 כאשר כלומר

זהו .Γ(x) =∫∞0

tx−1e−tdt ע״י x > 0 עבור מוגדרת Γ הפונקציה (iii)של ההתכנסות את לבדוק ויש אינסופי, תחום על חיובית פונקציה של אינטגרללבדוק עלינו לכן ,0 ב־ חסומה אינה גם הפונקציה x < 1 כאשר .

∫∞1

tx−1e−tdt

.∫ 1

0tx−1e−tdt של ההתכנסות את גם בנפרד

מקבלים מתכנס,∫∞1

e−t/2dt שהאינטגרל והיות limt→∞

tx−1e−t

e−t/2 = 0 ש־ היות

מתכנס.∫∞1

tx−1e−tdt שגם

ו־∫ 1

0tx−1e−tdt ולכן 1

3 tx−1 ≤ tx−1e−t ≤ tx−1 כי מתקיים 0 ≤ t ≤ 1 עבור,x > 0 לכל מתכנס השני והאינטגרל ־ ביחד מתבדרים או מתכנסים

∫ 1

0tx−1dt

.0 < x < 1 לכל ובפרט

93

הסתברות, המספרים, תורת כמו המתמטיקה של רבים בענפים מופיעה Γ פונקציתמתקיים x > 0 לכל שלה: פשוטה תכונה נראה ועוד.

Γ(x + 1) = xΓ(x)

נותנת בחלקים אינטגרציה כי

Γ(x + 1) =∫ ∞

0

txe−tdt = −e−ttx∣∣∣∞

0+

∫ ∞

0

xtx−1e−tdt

= 0 + x

∫ ∞

0

tx−1e−tdt = xΓ(x)

באינדוקציה ונקבל ,Γ(1) =∫∞0

t0e−tdt = −e−t∣∣∣∞

0= 1 ש־ בכך כעת נשתמש

טבעי k לכל כי

. Γ(k) = (k − 1)Γ(k − 1) = . . . = (k − 1)!

ובתנאי בהחלט מתכנסים אינטגרלים 7.3.2

הדעיכה״ ב״קצב תלויה שלילית אי פונקציות של מוכלל אינטגרל של ההתכנסותערכים גם מקבלת f כאשר סופי. בקטע שלה הגידול״ ב״קצב או באינסוף, f שלהחיוביות התרומות נוספת: מסיבה להתכנס יכול האינטגרל שליליים וגם חיוביים

אלה. את אלה חלקית לבטל יכולות f של והשליליות

מתכנס סופי) קטע על או אינסופית קרן (על∫

f המוכלל שהאינטגרל נאמר הגדרה.היא שההתכנסות נאמר מתכנס לא

∫ |f | אך מתכנס ∫f אם מתכנס.

∫ |f | אם בהחלטבתנאי.

∫∞a|f | < ∞ אם כלומר, מתכנס. הוא אז בהחלט מתכנס מוכלל אינטגרל אם משפט.

סופי. קטע על המוכלל לאינטגרל דומה ובאופן מתכנס,∫∞

af גם אז

נסמן הוכחה.

. f+(x) =

{f(x) f(x) ≥ 00 f(x) < 0

; f−(x) =

{0 f(x) > 0−f(x) f(x) ≤ 0

אם .|f | = f+ + f− ואילו f = f+ − f− ו־ אי־שליליות האלה הפונקציות שתימתכנס ואז מתכנסים,

∫∞a

f− וגם∫∞

af+ גם ההשוואה ממשפט אז

∫∞a|f | < ∞

גם

.

∫ ∞

a

f =∫ ∞

a

f+ −∫ ∞

a

f−

94

דוגמאות.

| cos x|x2 ≤ כי בהחלט מתכנסים ∫∞

1sin xx2 dx ו־

∫∞1

cos xx2 dx האינטגרלים (i)

.∫∞1

dxx2 < ∞ ו־ | sin x|

x2 ≤ 1x2 וגם 1

x2

אינטגרציה נבצע ההתכנסות לבדיקת בהחלט. לא אך מתכנס,∫∞1

sin xx dx (ii)∫בחלקים ∞

1

sinx

xdx =

− cosx

x

∣∣∣∞

1−

∫ ∞

1

cosx

x2dx

נוסחת של פורמלית בכתיבה כאן (השתמשנו .(i) עפ״י מתכנס האחרון והאינטגרל־ והוכחתה! ־ הנוסחה משמעות .∞ הוא העליון כשהגבול בחלקים האינטגרציה.(b הוא העליון כשהגבול המתקבלים בביטויים b →∞ כאשר גבול שלוקחים היא∫∞1

sin2 xx dx כי ונראה | sin x| ≥ sin2 x כי בהחלט מתכנס אינו ∞∫האינטגרל

1cos 2x

2x dx ואילו∫∞1

12xdx = ∞ ואז ,sin2 x = 1−cos 2x

2 בזהות נשתמש מתבדר:.(i) עפ״י מתכנס

הוכחה ללא נביא שאותו הבא המשפט של פרטי מקרה היא (ii) דוגמא

חסומה F (x) =∫ x

af(t)dt שהפונקציה כך [a,∞) בקרן רציפה f תהי משפט.[דיריכלה]

המוכלל האינטגרל אז . limx→∞

g(x) = 0 ש־ כך בקרן ומונוטונית גזירה g תהי בקרן.

מתכנס.∫∞

afg

*****************48 שעה סוף

*****************

95

8 פרק

מספרים לטורי מבוא

כלליים מושגים 8.1

על ולדבר אבריה כל את לסכם ונרצה ,a1, a2, . . . , aj , . . . מספרים סדרת נתונההאינסופי הסכום

a1 + a2 + a3 + . . . =∞∑

i=1

ai

n של החלקי הסכום את Sn =∑n

i=1 ai ב־ נסמן גבולי. תהליך ע״י זאת ונעשהבסדרה. הראשונים האברים

,{Sn} שלו, החלקיים הסכומים סדרת כאשר מתכנס∑∞

k=1 ak שהטור נאמר הגדרה..∑∞

k=1 ak = S ונסמן S הוא הטור שסכום נאמר limn→∞

Sn = S הוא גבולה אם מתכנסת.

מתבדר. שהטור נאמר קיים לא limn→∞

Sn אם

.series ולטור sequence הוא לסדרה האנגלי המינוח

דוגמאות.

.1 + q + q2 + q3 + . . . =∞∑

k=1

qk−1 אינסופי גיאומטרי טור (i)

הם החלקיים הסכומים q 6= 1 כאשר

. Sn = 1 + q + q2 + q3 + . . . + qn−1 =1− qn

1− q

ולכן קיים, limn→∞

Sn = limn→∞

1−qn

1−q = 11−q הגבול אז |q| < 1 אם

.

∞∑

k=1

qk−1 =1

1− q

מתקבלים q = ±1 עבור בפרט מתבדר. והטור קיים, לא הגבול |q| ≥ 1 אם.∑∞

n=1(−1)n = −1 + 1− . . . ו־∑∞

n=1 1 = 1 + 1 + . . . המתבדרים הטורים

96

״הטור בפרט .p > 1 אםם מתכנס∑∞

k=11kp שהטור נראה בהמשך (ii)

מתבדר. ,∑

1k ההרמוני״,

הטור גם ממשיים d ו־ c לכל אז מתכנסים,∑

bk ו־∑

ak הטורים אם (i) משפט.תנו כמובן. נכון אינו ההפוך (הכיוון .c

∑ak + d

∑bk הוא וסכומו מתכנס

∑(c ak + d bk)

נגדית!) דוגמא

.lim ak = 0 אז מתכנס∞∑

k=1

ak הטור אם (ii)

האנלוגיות התוצאות של פשוט תרגום היא ההוכחה .(i) את נוכיח לא הוכחה.לסדרות.

an = Sn − Sn−1 → S − S = 0 נציג : (ii) הוכחת

הטור למשל, מספיק. שאיננו הכרחי תנאי רק נותן (ii) ש־ להדגיש חשובלאפס. שואפת אבריו שסדרת למרות מתבדר,

∑1k ההרמוני

או התכנסותו על להשפיע יכול אינו הטור מאברי סופי מספר של שינוי הערה.ערך על להשפיע יכול השינוי מתכנס הטור כאשר כי מובן אבל התבדרותו.

הסכום).

חיוביים אברים עם טורים 8.2

גם אינסופית. בקרן מוכללים באינטגרלים לטיפול מאד דומה בטורים הטיפולשהם נניח ובה״כ קבוע, סימן בעלי אברים עם בטורים תחילה מטפלים כאן

חיוביים.(תוך חיוביים אברים עם בטורים הטיפול את מקוצר באופן נציג רק זה בקורסמספריים בטורים יותר יסודי טיפול המוכללים). לאינטגרלים האנלוגיה הדגשת

2/ת. בחדו״א ייעשה פונקציות וטורי ובסדרותיותר פשוט קבוע סימן בעלי אברים עם בטורים שהטיפול לכך המפתחבהמשך ההוכחות כמו (שהוכחתו, הבא המשפט הוא כלליים בטורים מהטיפולמוכללים). לאינטגרלים להוכחות דומים ממנו, והמסקנה ההשוואה קריטריון של

היא Sn החלקיים הסכומים סדרת אםם מתכנס∑

an אז ,n לכל an ≥ 0 אם משפט.חסומה. סדרה

אםם גבול יש מונוטונית לסדרה כי וידוע עולה, מונוטונית Sn שהסדרה נובע an־ים ה־ של השליליות מאי הוכחה.חסומה. היא

97

־ יותר פשוטה בדיקה ע״י חיובי טור של ההתכנסות בדיקת מאפשר המשפטבלבד!) חיוביים אברים עם (לטורים נשתמש גם אנחנו חסימות. לבדוק רק עלינו

מתבדר. לטור∑

an = ∞ וב־ מתכנס לטור∑

an < ∞ בסימון

אם אי־שליליים. אברים עם טורים∑

bn ו־∑

an יהיו ההשוואה]. [קריטריון משפט..∑

an ≤∑

bn ו־ מתכנס∑

an גם אז מתכנס,∑

bn הטור ואם ,n לכל 0 ≤ an ≤ bn

BN הנתון עפ״י הטורים. של החלקיים הסכומים את BN =∑N

n=1 bn ו־ AN =∑N

n=1 an ב־ נסמן הוכחה.נובע הטורים סכומי בין השוויון אי מתכנסת. ולכן חסומה AN גם לכן ,N לכל 0 ≤ AN ≤ BN ו־ חסומה סדרה

לגבול. ממעבר

ומספיק n לכל 0 ≤ an ≤ bn כי לדרוש צורך אין∑

an הטור להתכנסות הערה.אך ־ מספיק גדולים n עבור כלומר ,n > N לכל רק יתקיים שזה כך N שיש

להתקיים. חייב אינו הסכומים בין השוויון אי שאז ברוראותה נציין לא ובדר״כ בהמשך רבים למשפטים גם נכונה תהיה דומה הערה

במפורש.

לשימוש. מאד נוחה הבאה המיידית המסקנה

מתכנס∑

an אז 0 < L < ∞ אם . limn→∞

an

bn= L וכי חיוביים an, bn כי נניח מסקנה.

מתכנס.∑

bn אםם

מהמשפט. נובעת והמסקנה ,n ≥ N לכל 0 < L2 < an

bn< 3L

2 ש־ כך N נמצא הגבול הגדרת לפי הוכחה.

מתכנס.∑

an גם אז מתכנס,∑

bn ו־ L = 0 שאם מראה דומה הוכחה

דוגמא.

ו־∑

sin(

1n

)הטורים ולכן ,x/2 < sin x < x מתקיים קטן x > 0 לכל

ו־∑

1n הטורים שני כמו מתנהגים חיוביים) אברים בעלי (שהם

∑sin

(1

n2

)מתבדר,

∑1n ההרמוני הטור בהמשך, ונוכיח ־ שאמרנו וכפי בהתאמה,

∑1

n2

מתכנס.∑

1n2 ואילו

.limx→0sin x

x = 1 כי במסקנה להשתמש אפשר לחילופין,

אינטגרל להתכנסות טור של התכנסות בין פורמלי קשר נותן הבא המשפטמונוטוניות. גם אלא חיוביות, רק לא בו שמניחים לב שימו מוכלל.

ואינטגרבילית ,x ≥ 0 בקרן עולה לא חיובית פונקציה f תהי האינטגרל] [מבחן משפט.

הטור אם ורק אם מתכנס

∫ ∞

0

f(x)dx המוכלל האינטגרל אז .[0, b] חלקי קטע בכל

ומתקיים מתכנס∑∞

k=1 f(k)

.

∞∑

k=1

f(k) ≤∫ ∞

0

f(x)dx ≤∞∑

k=0

f(k)

98

כי מהשרטוט רואים יורדת, f שהפונקציה היות .Sn =n∑

k=1

f(k) נסמן הוכחה.

Sn ≤∫ n

0

f(x)dx ≤ f(0) + Sn−1

∫ n

0f האינטגרלים סדרת אםם מתכנס) הטור (כלומר חסומה Sn הסדרה ולכן

מתכנס). האינטגרל (כלומר חסומה

.∞∑

k=1

f(k) ≤∞∫0

f ≤∞∑

k=0

f(k) כי נותן לגבול מעבר

דוגמאות.

בדיקה מאפשר אינטגרלים, והערכת לחישוב שפיתחנו השיטות בצירוף המשפט,רבים. לטורים פשוטה

p < 0 אם .p ≤ 1 עבור ומתבדר p > 1 עבור מתכנס∑

1np שהטור נראה (i)

במבחן נשתמש p > 0 אם לאפס. כלל שואף איננו 1np כי מתבדר שהטור ברור

.(0,∞) בקרן יורדת ומונוטונית חיובית שהיא f(x) = 1xp הפונקציה עם האינטגרל

ולכן ,p ≤ 1 עבור ומתבדר p > 1 עבור מתכנס∫∞1

dxxp שהאינטגרל יודעים אנחנו

.p > 1 אםם מתכנס∑

1np הטור גם

אז q < 0 אם מתכנס.∑

1k(ln k)q הטור q של ערכים לאילו נבדוק (ii)

גם ההשוואה קריטריון עפ״י ולכן מתבדר∑

1k אך ,k > 2 לכל 1

k(ln k)q > 1k

מתבדר.∑

1k(ln k)q

באינטגרל נציב .f(x) = 1x(ln x)q עם ההשוואה במבחן נשתמש q > 0 אם

.q > 1 אםם המתכנס∫∞ dy

yq את ונקבל dy = dxx ואז ,y = ln x את

∫∞ dxx(ln x)q

99