35
/DER7H[ 9HUVLRQ 7KH7H[WXUH$QDO\VLV6RIWZDUHIRU:LQGRZV 3LRWU2]JD +H[DJRQDO$[HV &RQYHQWLRQV&RQYHUVLRQV 5HO /DER6RIWVF 3KRQH )D[ (PDLORIILFH#ODERVRIWFRPSO #/DER6RIW

Hexagonal Axes

  • Upload
    lenga

  • View
    248

  • Download
    3

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Hexagonal Axes

�������������������������������������������������/DER7H[����������������������������������������������������������������������������������9HUVLRQ�����

���7KH�7H[WXUH�$QDO\VLV�6RIWZDUH�IRU�:LQGRZV�� � � �

������������������������������������3LRWU�2]JD�+H[DJRQDO�$[HV��

&RQYHQWLRQV��&RQYHUVLRQV�5HO������

��/DER6RIW�V�F��3KRQH����������������)D[�����������������(�PDLO��RIILFH#ODERVRIW�FRP�SO�#�/DER6RIW������������

Page 2: Hexagonal Axes

� ��

��

&RQWHQWV�����+(;$*21$/�127$7,216����������������������������������������������������������������������������������������������������0,//(5��127$7,21�����$;,6�127$7,21����������������������������������������������������������������������������������0,//(5�%5$9$,6�127$7,21����$;,6�127$7,21� �������������������������������������������������������������

���5(/$7,216�%(7:((1�+(;$*21$/�127$7,216 ������������������������������������������������������&$/&8/$7,21�2)�0,//(5�,1',&(6�)520�0,//(5�%5$9$,6�,1',&(6��������������������������������������&$/&8/$7,21�2)�0,//(5�%5$9$,6�,1',&(6�)520�0,//(5�,1',&(6���������������������������������

���+(;$*21$/�$;(6�&219(17,216�)25�(8/(5�$1*/(6�����������������������������������������*(1(5$/�/$%27(;�&219(17,21 �������������������������������������������������������������������������������������������),567�+(;$*21$/�&219(17,21 �������������������������������������������������������������������������������������������� 6(&21'�+(;$*21$/�&219(17,21����������������������������������������������������������������������������������� 7+(�&+2,&(�2)�+(;$*21$/�&219(17,216�,1�/$%27(;�������������������������������������������������(;$03/(�2)�2')6�)25�%27+�&219(17,216 �������������������������������������������������������������������������6,1*/(�25,(17$7,21�'$7$�$1'�+(;$*21$/�&219(17,216 �������������������������������������������

��� 5(/$7,21�%(7:((1�&(//�3$5$0(7(56�$1'�&20321(176 ��������������������� ,19(56(�32/(�),*85(6�,1�+(;$*21$/�6<67(0����������������������������������������������$1,627523<�)$&7256��.($516�)$&7256� �����������������������������������������������������������

Page 3: Hexagonal Axes

� ��

���+H[DJRQDO�1RWDWLRQV��,Q�+H[DJRQDO�6\VWHP�DUH�XVHG�WZR�QRWDWLRQV��

������0LOOHU��1RWDWLRQ�����$[LV�1RWDWLRQ���

����

;�

;�

;�

;����������

��������

�������� ;�

;�

;�

;����������

��������

�������� D DF

��3ODQH�LQ�0LOOHU�1RWDWLRQ��^KNO`�'LUHFWLRQ�LQ�0LOOHU�1RWDWLRQ��XYZ!�,I�WKH�GLUHFWLRQ��XYZ!�OLHV�LQ�WKH�SODQH�^KNO`��WKHQ�������������������KX���NY���OZ� �����:HLVV�=RQH�/DZ�±�WUXH�LQ�DOO�FU\VWDO�V\VWHPV��,Q�KH[DJRQDO�V\VWHP��XYZ!�GLUHFWLRQ�LQ�0LOOHU�1RWDWLRQ�LV�QRW�SHUSHQGLFXODU�WR�^XYZ`SODQH�DV�LQ�FXELF�V\VWHP��)RU�H[DPSOH��WKH�^���`�SODQH�LV�SHUSHQGLFXODU�WR�GLUHFWLRQ�����!��QRW�����!�DV�LQ�FXELF�V\VWHP����

�� �����0LOOHU�%UDYDLV�1RWDWLRQ����$[LV�1RWDWLRQ����

�����������������������������������

;�

;�

;�

�� � ���� ���

;�

;� ��� � ��� �

� ��������

� � � ����

�������3ODQH�LQ�0LOOHU�%UDYDLV�1RWDWLRQ��^+.7/`������'LUHFWLRQ�LQ�0LOOHU�%UDYDLV�1RWDWLRQ��897:!������7 ��+�.����UHGXQGDQW�LQIRUPDWLRQ��������897:!�GLUHFWLRQ�LQ�0LOOHU�%UDYDLV�1RWDWLRQ�LV�SHUSHQGLFXODU�WR�^897:`�SODQH�������VLPLODU�DV�LQ�0LOOHU�1RWDWLRQ��LQ�FXELF�V\VWHP���

Page 4: Hexagonal Axes

� ��

��

���5HODWLRQV�EHWZHHQ�+H[DJRQDO�1RWDWLRQV��%HWZHHQ�0LOOHU�%UDYDLV�LQGLFHV�DQG�0LOOHU�LQGLFHV�DUH�VLPSOH�UHODWLRQV��������&DOFXODWLRQ�RI�0LOOHU�LQGLFHV�IURP�0LOOHU�%UDYDLV�LQGLFHV�

'LUHFWLRQ��897:!�WR��XYZ!��

X 8�7��

Y 9�7��

Z :��

IRU�H[DPSOH���������!�LV�HTXDO�����!���

3ODQH�^897:`�WR�^XYZ`��

X 8�

Y 9�

Z :��

IRU�H[DPSOH��^������`LV�HTXDO�^����`��

;�

;�;�

�������! ����!

� ���� ��!� ������!� �� ���!

����!

^����� � ` ^� ���`3ODQH

'LUHFWLRQ

Page 5: Hexagonal Axes

� ��

�����&DOFXODWLRQ�RI�0LOOHU�%UDYDLV�LQGLFHV�IURP�0LOOHU�LQGLFHV����'LUHFWLRQ��XYZ!�WR��897:!��

8 ��X�Y����9 ��Y�X����7 ��X�Y����

������������: Z�� IRU�H[DPSOH������������������!�LV�HTXDO��������!��������������������!�LV�HTXDO�������!��� 3ODQH�^XYZ`�WR�^897:`���

8 X�9 Y�7 ��X�Y��Z :��IRU�H[DPSOH���^����`�LV�HTXDO�^������`��^�����`�LVH�HTXDO�^���`���

;�

;�;�

�������! ����!

� ���� ��!����!

^����� � ` ^� ���`3ODQH

'LUHFWLRQ3ODQH ^������`

^���`

������!����!

'LUHFWLRQ

� ������!� �� ���!

�([DPSOH���&RQYHUVLRQ�RI�RULHQWDWLRQ�LQ�0LOOHU�%UDYDLV�LQGLFHV�^+.7/`�897:!�WR�0LOOHU�LQGLFHV�^KNO`�XYZ!���2ULHQWDWLRQ�^�����`�������!�� !�^���`����!��

Page 6: Hexagonal Axes

� ��

���+H[DJRQDO�$[HV�&RQYHQWLRQV�IRU�(XOHU�$QJOHV��

�8VHU�FDQ�XVH�WZR�KH[DJRQDO�D[HV�FRQYHQWLRQV�IRU�(XOHU�$QJOHV�LQ�/DER7H[��7KH�ILUVW�FRQYHQWLRQ�LV�FRPSDWLEOH�ZLWK�JHQHUDO�/DER7H[�D[HV�FRQYHQWLRQ��7KH�VHFRQG�FRQYHQWLRQ�LV�RIWHQ�XVHG�DQG�LW�LV�QRW�FRPSDWLEOH�ZLWK�JHQHUDO�/DERWH[�FRQYHQWLRQ�������*HQHUDO�/DERWH[�&RQYHQWLRQ��

>���@

>���@

>���@

=

;

<

���&U\VWDO�DQG�VDPSOH�FRRUGLQDWH�V\VWHPV��*HQHUDO�/DER7H[�$[HV�DQG�$QJOHV�&RQYHQWLRQ�

�H[DPSOH�IRU�ULJK��KDQGHG�FRRUGLQDWH�V\VWHPV���

�/DER7H[�XVHV�IROORZLQJ�JHQHUDO�FRQYHQWLRQ�RI�WKH�D[HV�IRU�IL[LQJ�WKH�FU\VWDO�DQG�VDPSOH�FRRUGLQDWH�V\VWHP��VHH�IRU�ILJXUH�DERYH����

���� ;�<�=�D[LV�DUH�SHUSHQGLFXODU�WR�HDFK�RWKHU������ >���@�D[LV�LV�LQ�;=�SODQH����� =�D[LV�LV�SDUDOHO�WR�WKH�>���@�FU\VWDOORJUDSKLF�D[LV������ &U\VWDO�FRRUGLQDWH�V\VWHP�DQG�VDPSOH�FRRUGLQDWH�V\VWHP�VKRXOG�EH�DW�WKH�VDPH�

RUGHU�L�H��ERWK�ULJKW�KDQGHG�RU�ERWK�OHIW�KDQGHG������ %XQJH�GHILQLWLRQ�RI�(XOHU�DQJOHV��

�ZKHUH�;�<�=����D[HV�RI�WKH�VDPSOH�FRRUGLQDWH�V\VWHP�������������>���@��>���@�>���@���FU\VWDOORJUDSKLF�D[HV��/DER7H[�XVHU�FDQ�DGMXVW�FRQYHQWLRQ�LQ�GLDORJ�³/DER7H[�2SWLRQV´��

������

Page 7: Hexagonal Axes

� ��

�����)LUVW�+H[DJRQDO�&RQYHQWLRQ��6DPSOH�DQG�FU\VWDO�V\VWHPV�SRVLWLRQ�IRU�(XOHU�DQJOH���������LQ�FRQYHQWLRQ�FRPSDWLEOH�ZLWK�JHQHUDO�/DER7H[�D[HV�DQG�DQJOH�FRQYHQWLRQ�DUH�VKRZQ�RQ�WKH�ILJXUHV�EHORZ��

�1RUPDO�'LUHFWLRQ

���= 5ROOLQJ�'LUHFWLRQ�/ 'LUHFWLRQ�

����!;

RQJLWXGLQDO�

7UDQVYHUVDO�'LUHFWLRQ�<

6$03/(6DPSOH�$[LV�'HILQLWLRQ��(XOHU�$QJOHV��������

����!

���������� "!$#&%'%(��)'*,+$ -��./�0������.-123 -14'!5.�#&%'%3�5)'*,+$ "��./�0�6�-�5."1

���� ���

;�

;�;;�

;��=

7�8�9 : :9�;<

7�;;�;�9 <7�;;�9 <

7 :9=8: 9�; <7;�9�; <

7�9�;; <

<7�9=8�; <: :7�;>:9�9?; <

7�:�:�89�9 ; <7�:�:/; <9�9

���������������������

@�A�BB�C

;

<D�E FHG F�IJ

D I E IJ

;�;

;�;�

�������!����!

� ���� ��!KMLON�LQP

<R�SUTVV SXWKON YZ Y L�P

^����� � `

K YN YN Z�LXPK YN YN L P �

Page 8: Hexagonal Axes

� ��

����� 6HFRQG�+H[DJRQDO�&RQYHQWLRQ��6DPSOH�DQG�FU\VWDO�V\VWHPV�SRVLWLRQ�IRU�(XOHU�DQJOH���������LQ�VHFRQG�KH[DJRQDO�FRQYHQWLRQ��FRQYHQWLRQ�QRQ�FRPSDWLEOH�ZLWK�JHQHUDO�/DER7H[�D[HV�DQG�DQJOH�FRQYHQWLRQ��DUH�VKRZQ�RQ�WKH�ILJXUHV�EHORZ��� []\=^(_X`?a�bXc�^3d?egfhc�\/i

j�j�kl m \�a-a"c5i�nobXc�^3d?e'fpc�\=i

qpr bXc�^3d?egfhc�\/i=st�u k$j�vw

\/i�n�c5f"x�y=c�i�`za

{ ^'`'i�|g}�d$^$|$`za�b~c5^3dHegfpc-\/it j�k$j�v

6$03/(6DPSOH�$[LV�'HILQLWLRQ��(XOHU�$QJOHV��������

t k$j=j�v�/�,�g�����&�(�-�3�h���(�,�(���5�z���g�����-��h�-���3���z�"�(�h���(�,�(�-���?�5�g�����-�

���������������������

���������

�X������ ��� �� �����;�

;��<

; ;�

;��=

��� � � ���� �

� ��������� �������

� �� �� ����� �������

� ����������X�������� ���� ����������

�~�O���X 

¡�¢�£�¢�¤

����!

<

;

¡�¢M£�¢�¤

��

� ������!� �� ���!

;�

;�

;�

; ������!����!

^�����`

<

���� ���!����!

¥ ¦§�¨¦ §�©oª¥ ©X§Q©oª

Page 9: Hexagonal Axes

� ��

����� 7KH�&KRLFH�RI�+H[DJRQDO�&RQYHQWLRQV�LQ�/DER7H[��8VHU� FDQ� FKRRVH� KH[DJRQDO� FRQYHQWLRQ� LQ� /DER7H[� XVLQJ� GLDORJ� µ+H[DJRQDO� $[HV�&RQYHQWLRQ´��7KHUH�LV�D�VSHFLDO�LFRQ�IRU�WKLV�GLDORJ�RQ�WKH�PDLQ�WRROEDU��� ���7R�GLVSOD\� WKH�2')� LQ� FRQYHQWLRQ� FRPSDWLEOH�ZLWK�JHQHUDO�/DER7H[�FRQYHQWLRQ�� VHOHFW� WKH�OHIW�UDGLR�EXWWRQ���

��%HORZ�LV�VKRZQ�WKH�H[DPSOH�RI�VHFWLRQ�RI�2')�ZLWK�WKH�PDUNHG�SRVLWLRQV�RI�VRPH�RULHQWDWLRQV�LQ�WKLV�FRQYHQWLRQ�IRU�KH[DJRQDO�FORVH�SDFNHG��+&3��ZLWK�DQ�LGHDO�F�D� ��������

�����>�����@

�����>����@

� �� �� �� �� �� �� �� �� ��

���

����

����

����

����

�����>���@

�����>����@

�����>����@

�����>����@

�����>����@

)

I�I ��

2')���6HFWLRQ� �I�

�����>���@

�����>���@ �����>����@ �����>�����@

�����>���@

�����>����@ �����>����@

�����>����@ �����>����@ �����>�����@

�����>�����@

�����>�����@

�����>�����@

�����>�����@

�����>���@ �����>����@ �����>����@�����>����@

�����>����@

�����>���@ �����>���@ �����>���@ �����>���@ �����>���@

�����>���@ �����>����@�����>����@

�����>����@ �����>�����@

�����>����@

�����>����@

�����>����@ �����>����@

Page 10: Hexagonal Axes

� ���

7R�GLVSOD\� WKH�2')�LQ�FRQYHQWLRQ�QRQ�FRPSDWLEOH�ZLWK�JHQHUDO�/DER7H[�FRQYHQWLRQ��VHOHFW�WKH�ULJKW�UDGLR�EXWWRQ����

��� ���%HORZ�LV�VKRZQ�WKH�H[DPSOH�RI�VHFWLRQ�RI�2')��WKH�VDPH�VHFWLRQ�DV�LQ�SUHYLRXV�H[DPSOH��ZLWK�WKH�PDUNHG�SRVLWLRQV�RI�VRPH�RULHQWDWLRQV�LQ�QRQ�/DER7H[�FRQYHQWLRQ�IRU�KH[DJRQDO�FORVH�SDFNHG��+&3��ZLWK�DQ�LGHDO�F�D� ��������

�����>���@

�����>���@

� �� �� �� �� �� �� �� �� ��

���

����

����

����

����

�����>���@

�����>����@

�����>����@

�����>����@

�����>����@

)

I�I ��

2')���6HFWLRQ� �I�

������>���@

��������>���@ �������>����@ ��������>����@

������>���@

������>���@ ������>����@ ������>����@

������>���@ ������>����@ ������>����@

������>����@

������>����@

��������>����@

�����>����@

������>���@ ������>���@������>���@

������>����@������>����@

������>����@

������>���@ ������>���@������>���@

������>���@ ������>����@

������>���@ ������>���@ ������>���@ ������>���@������>���@ ��

Page 11: Hexagonal Axes

� ���

�����([DPSOH�RI�2')V�IRU�ERWK�FRQYHQWLRQV��([DPSOH�RI�2')�RI�VDPSOH�ZLWK�VWURQJ�^���`�����!�WH[WXUH�FRPSRQHQW�LQ�WKH�ILUVW�KH[DJRQDO�FRQYHQWLRQ��FRPSRQHQW�^���`�����!�LQ�(XOHU�DQJOHV�������������L�� 2')�SURMHFWLRQ�I« ��

���LL��2')�LQ�WKH��'�YLHZ�

������������������

Page 12: Hexagonal Axes

� ���

�([DPSOH�RI�2')�RI��VDPSOH�ZLWK�VWURQJ�^���`�����!�WH[WXUH�FRPSRQHQW�LQ�WKH�VHFRQG�KH[DJRQDO�FRQYHQWLRQ��FRPSRQHQW�^���`�����!�LQ�(XOHU�DQJOHV������������L��2')�SURMHFWLRQ�I« ��

���LL��2')�LQ�WKH��'�YLHZ�

���������������

Page 13: Hexagonal Axes

� ���

�����6LQJOH�RULHQWDWLRQ�GDWD�DQG�KH[DJRQDO�FRQYHQWLRQV��

:KHQ� \RX� LQSXW� VLQJOH� RULHQWDWLRQV� GDWD� �ILOH�ZLWK� VHW� RI� RULHQWDWLRQV� LQ� (XOHU� DQJOHV�� \RX�VKRXOG� FKRRVH� FRQYHQWLRQ� IRU� (XOHU� DQJOHV� LQ� KH[DJRQDO� FU\VWDO� V\VWHP� �DYDLODEOH� IURP�YHUVLRQ� ��������� 7KLV� FKRLFH� LV� PDGH� LQ� GLDORJ� Ä2')� &DOFXODWLRQV� IURP� D� 6HW� RI� 6LQJOH�2ULHQWDWLRQV´��

��,I�\RX�FKRVH�EDG�FRQYHQWLRQ�GXULQJ�LQSXW�RI�GDWD� WKHQ�/DER7H[�ZLOO�VKRZ�PD[LPXP�LQ�EDG�SODFHV� RQ� WKH� 2')�� � ([DPSOH� EHORZ� VKRZV� VHFWLRQV� RI� 2')V� ZLWK� JUHDW� SDUWLFLSDWLRQ� RI�FRPSRQHQW� ^����`����!� IRU� ERWK� KH[DJRQDO� FRQYHQWLRQV� �VHFWLRQ� RI� 2')� LQ� WKH� ILUVW�FRQYHQWLRQ�LV�VKRZQ�RQ�WKH�ILJXUH�IURP�WKH�OHIW�DQG�VHFWLRQ�RI�2')�LQ�WKH�VHFRQG�FRQYHQWLRQ�LV� VKRZQ� RQ� WKH� ILJXUH� IURP� WKH� ULJKW��� 7KH�PDUNV� �LQ� /DER7H[�PRGH�� µ$QDO\VLV¶�� LQGLFDWH�SURSHU� SRVLWLRQV� RI� � RULHQWDWLRQ� EHORQJ� WR^����`����!� FRPSRQHQW� �WR� FKDQJH� RI� KH[DJRQDO�FRQYHQWLRQ�XVH�D�VSHFLDO�LFRQ�IURP�WKH�PDLQ�WRROEDU��� �����

���������� �

Page 14: Hexagonal Axes

� ���

�([DPSOH�EHORZ�VKRZV�VHFWLRQV�RI�2')V�ZLWK�JUHDW�SDUWLFLSDWLRQ�RI�FRPSRQHQW�^����`����!�ZKLFK�ZHUH�LQSXW�WR�/DER7H[�LQ�EDG�FRQYHQWLRQ��)RU�ERWK�KH[DJRQDO�FRQYHQWLRQV�WKH�PDUNV�LQGLFDWH� SRVLWLRQ� RI� RULHQWDWLRQ� EHORQJ� WR^����`����!� FRPSRQHQW�ZKHQ�PD[LPXP�RI�2')�DUH�PRYHG�WR�LQFRUUHFW�SRVLWLRQ��VHFWLRQ�RI�2')�LQ�WKH�ILUVW�FRQYHQWLRQ�LV�VKRZQ�RQ�WKH�ILJXUH�IURP�OHIW�DQG�VHFWLRQ�RI�2')�LQ�WKH�VHFRQG�FRQYHQWLRQ�LV�VKRZQ�RQ�WKH�ILJXUH�IURP�ULJKW����

������ ���

��� 5HODWLRQ�EHWZHHQ�FHOO�SDUDPHWHUV�DQG�FRPSRQHQWV��,Q� WKH� KH[DJRQDO� FU\VWDO� V\VWHP� WKH� SRVLWLRQV� RI� SROHV� RI� RULHQWDWLRQ� LQ� WKH� SROH� ILJXUHV��LQYHUVH�SROH�ILJXUHV�DQG�LQ�2')�DUH�GHSHQG�RQ�FHOO�SDUDPHWHUV��F�D���)RU�H[DPSOH�EHORZ�DUH�VKRZQ�SROH�ILJXUHV��LQYHUVH�SROH�ILJXUHV�DQG�2')�VHFWLRQV�IRU�VWURQJ�FRPSRQHQW�^����`����!��DQG�IRU�F�D�HTXDO�������OHIW��������FHQWUDO��DQG�����ULJKW����������������������������������������������������������������������������������������������������������3ROH�)LJXUHV��������������������

Page 15: Hexagonal Axes

� ���

,QYHUVH�3ROH�)LJXUHV�����������

��

2')�VHFWLRQV��

����,Q� KH[DJRQDO� FU\VWDO� V\VWHP� (XOHU� DQJOHV� IRU� RULHQWDWLRQ� ^����`����!� GHSHQG� RQ� FHOO�SDUDPHWUHV��KHQFH�ZKHQ�/DER7H[�VKRZV�SROHV�IRU�RULHQWDWLRQ�JLYHQ�E\�(XOHU�DQJOHV�DFFRUGLQJ�WR� ILUVW� SROH� ILJXUH� L�H�^��������`� WKH� RWKHUV� VKRZV�PDUNV� QRW� LQ�PD[LPV� �(XOHU� DQJOHV� IRU�RULHQWDWLRQ�^����`����!� IRU� VHFRQG�DQG� WKLUG�FDVH�RI�F�D�DUH�HTXDO� UHVSHFWLYHO\�^��������`�DQG�^��������`�������������������

Page 16: Hexagonal Axes

� ���

�(XOHU�DQJOHV�DUH�LQGHSHQGHQW�IURP�FHOO�SDUDPHWHUV�LQ�FDVH�RI�VRPH�FRPSRQHQWV��EXW�SRVLWLRQV�RI��SROHV�DUH�PRYHG�RQ�WKH�SROH�ILJXUHV�ZLWK�FKDQJH�RI�F�D��%HORZ�LV�DQ�H[DPSOH�IRU�FRPSRQHQW�^���`����!��F�D�LV�HTXDO�����������DQG����UHVSHFWLYHO\�������������������:KHQ�\RX�PDNH�LQ�/DER7H[�VLPXOWDQHRXVO\�DQDO\VLV�RI�SROH�ILJXUHV�ZLWK�GLIIHUHQW�F�D�WKHQ�/DER7H[�PDUNV�SROHV�RI�FRPSRQHQW�^���`����!�LQ�PD[LPXP�LQWHQVLW\�IRU�DOO�SROH�ILJXUHV��ZLWK�GLIIHUHQW�F�D��(XOHU�DQJOHV�DUH�LQGHSHQGHQW�IURP�FHOO�SDUDPHWHUV���������������������

��� ,QYHUVH�SROH�ILJXUHV�LQ�KH[DJRQDO�V\VWHP��

7KH�/DER7H[�GLVSOD\V�FRPSOHWH�DQG�SDUWLDO�LQYHUVH�SROH�ILJXUHV��7KH�SDUWLDO�SROH�ILJXUHV�DUH�WKH�XQLW�WULDQJOHV�GLVSOD\HG�LQ�WKH�UDQJH�GHWHUPLQHG�E\�GLUHFWLRQV�������!����������!�DQG�������!���0LOOHU�%UDYDLV�QRWDWLRQ��RU�����!������!�DQG�����!��0LOOHU�QRWDWLRQ����

Page 17: Hexagonal Axes

� ���

8QLW�WULDQJOH��PDLQ�DUHD��LV�FKRVHQ�IURP�VL[�V\PPHWULFDOO\�HTXLYDOHQW�DUHDV�RI�IXOO�LQYHUVH�SROH�ILJXUH�DV�LW�LV�VKRZQ�RQ�WKH�ILJXUHV�EHORZ�IRU�FORFNZLVH�DQG�FRXQWHU�FORFNZLVH�D[HV�V\VWHPV����

¬ ­&®5¯5®5¯5°-±¬�¯5°-°-±²³­&®5¯5°�´

¬�¯5®5¯5°"°�±¬�¯5®5¯5°-±²5¯5®5¯5°�´

¬�¯5®³­(¯5°-±¬µ°"®5¯5°�±²5¯5®³­&°5´

¬µ°"®5¯"¯�°-±¬³®5¯5®³­&°�±²,°"®5¯5°�´

¬�¯5°-®�¯�°-±¬ ­(¯�°-±²5¯5°-°�´

¬�¯"¯5®³­&°�±¬�¯"¯5°-±²5¯"¯5°�´

¬µ®�¯�®5¯�­&°-±¬µ®5¯5®5¯5°�±²,®5¯5®5¯5°5´

¬µ®5¯5°h¯�°-±¬³®³­&®5¯5°�±²,®5¯5°"°�´

¬µ°h¯5®5¯5°�±¬�¯�­&°-±²,°h¯5°�´¬µ®5¯�­&®5¯5°�±¬µ°h¯5°-±²,®5¯�­&°5´

¬µ®�¯-¯5°"°-±¬µ®5¯"¯5°�±²,®5¯"¯5°5´

¬µ®³­(¯"¯5°�±¬µ®�¯�°"°-±²,®,­h¯5°�´

¶�·p¸g¹�ºh»¼�½$¾?¿�À$Á�Â�À³Ã ¶�·p¸3¹�»�º¼�½z¾?¿�À'ÁÂHÀ,Ã

¶·p¸3¹�»¼�½$¾?¿�À'ÁÂHÀ³Ã

¶·p¸3¹�ºpºhº¼�½$¾H¿�À'ÁÂHÀ³Ã Ä ¹$Å�Æ�¶·&¸g¹¶�·p¸g¹�ºhº¼�½$¾H¿�À'ÁÂHÀ³Ã

Ç�ÈÇ�É

Ç�Ê

Ç�Ë

¬µ°-°"°h¯�±Ì Í&Î�Ï5Î5Ï5Ð-ÑÌ�Ï5Ð"Ð-ÑÒ,Í&Î5Ï5Ð�Ó

Ì�Ï5Î�Ï�Ð"Ð-ÑÌ�Ï5Î5Ï5Ð-ÑÒ5Ï5Î5Ï5Ð�Ó

Ì�Ï5γÍ(Ï5Ð-Ñ̳Ð-Î�Ï5Ð-ÑÒ�Ï�Î,Í&Ð�Ó̵Ð"Î�Ï"Ï5Ð�Ñ̵Ð"Î5Ï5Ð-ÑÒ,Ð"Î5Ï5Ð�Ó

Ì�Ï5Ð"Î5Ï5Ð-ÑÌ Í(Ï5Ð-ÑÒ5Ï5Ð"Ð�Ó

Ì�Ï"Ï5γÍ&Ð-ÑÌ�Ï"Ï5Ð-ÑÒ5Ï"Ï5Ð�Ó

̵Î5Ï5Î5Ï�Í&Ð-Ñ̵Î5Ï5Î�Ï5Ð-ÑÒ,Î5Ï5Î�Ï5Ð�Ó

̵Î5Ï5ÐhÏ5Ð-Ñ̵γÍ&Î5Ï5Ð-ÑÒ�Î5Ï5Ð"Ð�Ó

̵ÐhÏ5Î5Ï5Ð-ÑÌ�Ï�Í&Ð-ÑÒ,ÐhÏ5Ð�Ó̵Î5Ï�Í&Î5Ï5Ð-Ñ̵ÐhÏ5Ð-ÑÒ,Î5Ï�Í&Ð�Ó

̵Î�Ï"Ï5Ð-Ð-Ñ̵Î5Ï"Ï5Ð-ÑÒ,Î5Ï"Ï5Ð�Ó

̵γÍ(Ï"Ï5Ð-Ñ̳Î5Ï5Ð"Ð-ÑÒ�γÍ(Ï5Ð�Ó Ô�ÕpÖg×�ØpÙÚ&ÛzÜ?Ý�Þ'ßàHÞ,á

ÔÕpÖ3×�Ù�ØÚ&Û$Ü?Ý�Þ'ßà�Þ³áÔÕpÖg×�Ù

Ú"ÛzÜ?Ý�Þ'ßà�Þ³á

ÔÕpÖg×�ØhØhØÚ&Û$Ü?Ý�Þ$ßàHÞ³á â ×$ã�ä�ÔÕpÖg×

ÔÕpÖ3×�ØhØÚ&Û$ÜHÝ�Þ$ßàHÞ³á

åæå�ç

å�è

å�é

̵Ð"Ð"ÐhÏ�Ñ

��%HORZ�\RX�FDQ�VHH�H[DPSOHV�RI�FRPSOHWH��IXOO��DQG�SDUWLDO�LQYHUVH�SROH�ILJXUHV�IRU�KH[DJRQDO�FU\VWDO�V\VWHP��H[DPSOH�FDOFXODWHG�IRU�VWURQJ�FRPSRQHQW�^����`����!��F�D ������

� ��,Q�VRPH�ZRUNV�WKH�XQLW�WULDQJOH�LV�SUHVHQWHG�LQ�VPDOOHU�UHJLRQ�WKDQ�SUHVHQWHG�DERYH�L�H��RQO\����GHJUHHV�LQVWHDG����GHJUHHV��/DER7H[�FDQ�FDOFXODWH�LQYHUVH�SROH�ILJXUHV�IRU�PDQ\�GLUHFWLRQV�GHILQHG�RQ�WKH�EDVLV�RI�VDPSOH�FRRUGLQDWH�� 'LUHFWLRQV� �;<=!� DUH� GHWHUPLQHG� RQ� WKH� VLPLODU� UXOH� DV� FU\VWDOORJUDSKLF��89:!��ZKHUHDW�XQLWV�IRU�D[HV�;�<�DQG�=�DUH�WKH�VDPH��7KH�PRVW�LPSRUWDQW�DUH�LQYHUVH�SROH�ILJXUH�FDOFXODWHG�IRU�GLUHFWLRQV�SDUDOOHO�WR�GLUHFWLRQV�RI�VDPSOH�FRRUGLQDWH�V\VWHP��;<=����� ����!��L�H��GLUHFWLRQ�DORQJ�5HIHUHQFH�5ROOLQJ�'LUHFWLRQ��5'��;�D[LV����� ����!�L�H��GLUHFWLRQ�DORQJ�7UDQVYHUVH���7'��<�D[LV���� ����!�L�H��GLUHFWLRQ�DORQJ�1RUPDO�GLUHFWLRQ��1'��=�D[VLV��

/DER7H[� FDOFXODWHV� WKHVH� LQYHUVH� SROH� ILJXUHV� GXULQJ� 2')� FDOFXODWLRQ�� 8VHU� FDQ� FDOFXODWH�LQYHUVH�SROH�ILJXUHV�IRU�RWKHU�GLUHFWLRQV�XVLQJ�VSHFLDO�GLDORJ�ZKLFK�LV�DFFHVVLEOH�IURP�PHQX�LWHP�RU�IURP�PDLQ�WRROEDU���

Page 18: Hexagonal Axes

� ���

/DER7H[�VKRZV��;<=��GLUHFWLRQ�LQ�WKH�OHIW�VLGH�RI�LQYHUVH�SROH�ILJXUH��LW�LV�PDUNHG�UHG�OLQH����������������������������������������������,QWHQVLW\�RI� LQYHUVH�SROH� ILJXUH�GHSHQG�RQ�QXPEHUV�RI�FU\VWDO�SODQHV�^KNO`�SHUSHQGLFXODU� WR�FKRVHQ� VDPSOH� GLUHFWLRQ� ��;<=!��� 2Q� WKH� LQYHUVH� SROH� ILJXUH� WKH� SODQH� LV� UHSUHVHQWHG� E\�GLUHFWLRQ�SHUSHQGLFXODU�IRU�WKLV�SODQH��)RU�H[DPSOH��IURP�GHILQLWLRQ�RI�^KNO`�XYZ!��^KNO`�LV�D�FU\VWDOORJUDSKLF�SODQH�SDUDOOHO�ZLWK�WKH�SODQH�RI�WKH�UROOLQJ��RU�RWKHU�UHIHUHQFH�SODQH�;<����XYZ!�LV�D�FU\VWDOORJUDSKLF�GLUHFWLRQ�LQ�WKLV� SODQH� DQG� SDUDOOHO� ZLWK� WKH� UROOLQJ� GLUHFWLRQ�� +HQFH� LQ� KH[DJRQDO� V\VWHP�� LI� SUHIHUUHG�RULHQWDWLRQ� LV�^KNO`�XYZ!�WKHQ�SODQH�^KNO`VKRXOG�EH�GRPLQDWLQJ�RQ� WKH� LQYHUVH�SROH� ILJXUH�ZKLFK�VKRZV�GLVWULEXWLRQ�RI�GLUHFWLRQV�SDUDOOHO�WR�QRUPDO�GLUHFWLRQ�������1'���$V�LW�LV�VKRZQ�RQ�WKH�ILJXUH�EHORZ���LQ�WKH�FDVH�RI�RULHQWDWLRQ�^���`����!��WKH�PD[LPXP�RI�WKH�SODQH�^���`�VKRXOG�REVHUYH��EDVDO�SODQH�LV�PDUNHG�E\�\HOORZ�FRORU��������

ê�ë0ìîípï&ð3ñHò3óHóHë-ô�õ5ö/ðhï"÷�íøìîípï&÷(ùúzð(ù�û�ñ-÷�ò3óHóHë-ô�õ5ö/ðhï"÷�íøìîípï&÷(ù

;�;�

;

;�

;�

ü�ý�þ ÿ ÿþ����

ü�������þ �ü�����þ �

ü ÿþ=ýÿ þ�� �ü���þ�� �

ü�þ���� �

<ü�þ�ý�� �ÿ ÿü��>ÿþþ�� �

6$03/(

=

üXÿÿ/ýþþ � �üXÿÿ�� �þþ

�������������������������������������������������������������������������������������������������2ULHQWDWLRQ�^���`����!���

Page 19: Hexagonal Axes

� ���

%HORZ��\RX�FDQ�VHH�WKLV�PD[LPXP�RQ�WKH�LQYHUVH�SROH�ILJXUH�ZKLFK�ZHUH�FDOFXODWHG�IRU�PRGHO�ZKLFK�KDYH������YROXPH�IUDFWLRQ�RI�^���`����!�FRPSRQHQW�DQG�):+0�HTXDO����GHJUHHV��

��3ROH�ILJXUHV��������������DQG�������IRU�RULHQWDWLRQ�^���`����!�VKRZ�SRVLWLRQ�RI�EDVDO�SODQHV�^����`��ILUVW�RUGHU�SULVP�SODQHV�^�����`�DQG�VHFRQG�RUGHU�SULVP�SODQHV�^������`����

������������������������ �����������������������������

��������������������������������������������� ���

Page 20: Hexagonal Axes

� ���

,Q�FDVH�RI�LQYHUVH�SROH�ILJXUHV�IRU�5'�DQG�7'�GLUHFWLRQV��;<= ����!�DQG�;<= ����!��ZH�FDQ� REVHUYH� WKH� GLIIHUHQW� SRVLWLRQV� RI� PD[LPXP� IRU� RULHQWDWLRQ� ^���`����!�� 7KH� SODQH�SHUSHQGLFXODU�WR�;�D[LV�LV�^������`���

����KHQFH�WKH��PD[LPXP�LQWHQVLW\�LV�REVHUYHG�IRU�GLUHFWLRQ�HTXDO�>���@�DV�DOVR�RQ�V\PPHWULFDOO\�HTXLYDOHQW�GLUHFWLRQ�>���@����������������������������������������������������

Page 21: Hexagonal Axes

� ���

%HORZ�\RX�FDQ�VHH�WKDW�ZKHQ�\RX�FKRRVH�<��L�H���������RU�7'��GLUHFWLRQ�IRU�LQYHUVH�SROH�ILJXUH�WKHQ�WKH�SODQHV�W\SH�^���`�WKH�SODQH�������LV�PDUNHG�RQ�WKH�UHG�LQ�WKH�ILJXUH���LV�SHUSHQGLFXODU�WR�WKLV�GLUHFWLRQ�IRU�RULHQWDWLRQ�^���`����!����

;

���� �����������������������! " #�� ��� %$&��%$('��� �����������������! " #�� ��� %$

;�

<

;�

;�

)�*�+�,�+�*�-)�*�+�*�-.�/�/�/"0�1.�/�/20�1

. 30�43 0�/51.�/20�/�1 .20�/�/�1.�4630730 /81

6$03/(

=SODQH�

SHUSHQGLFXODU�WR�<�D[LV

9 +;:�*=<

;�. 3(3 40�0 /�1. 3(3 /(10�0

����7KH� SHUSHQGLFXODU� GLUHFWLRQ� ����!� ZLOO� UHSUHVHQW� WKLV� SODQH� RQ� WKH� LQYHUVH� SROH� ILJXUH��%HFDXVH� GLUHFWLRQ� ����!� GRHVQ¶W� EHORQJ� WR� WKH� XQLW� WULDQJOH� �PDLQ�� IXQGDPHQWDO� DUHD�� WKH�HTXLYDOHQW�GLUHFWLRQ�����!�IURP�XQLW�WULDQJOH�LV�FKRRVHQ����

���������������������������

>�?�@BAB@BABC=D>�AEC�C=DF ?�@BABC=G

>%AE@;AEC�C=D>�AE@BABC=DF AE@BABC=G

>�AE@�?�ABC=D>�C�@BABC=DF AB@!?�C=G>�C�@BA�AEC�D>!C�@;AEC�DF C�@;AEC�G

>�AEC�@;AEC�D>�?"AEC�DF ABC�C�G

>�A�AB@!?�C=D>�A�ABC=DF A�ABC=G

>�@;AE@BA�?�C�D>�@;AE@BABC=DF @;AE@BABC=G

>�@;AEC�AEC=D>!@!?�@BAEC�DF @BABC�C=G

>�C�AE@;AEC�D>%A�?�C�DF C�AEC�G>!@BA�?�@BABC=D>�C�AEC=DF @BA�?�C=G

>�@;A�ABC�C=D>!@BA�AEC=DF @BA�AEC=G

>�@!?"A�ABC=D>�@;AEC�C=DF @�?�ABC=G$UHD�,9

�6\P��(T��$UHD�9,�6\P��(T��

$UHD�9�6\P��(T��

$UHD�,,,�6\P��(T�� 0DLQ�$UHD

$UHD�,,�6\P��(T��

;�;�

;�

;�

>�C�C�C�A�D

��

Page 22: Hexagonal Axes

� ���

%HORZ�\RX�FDQ�VHH�WKH�LQYHUVH�SROH�ILJXUH�IRU�7'�GLUHFWLRQ�ZLWK�PD[LPXP�IRU�GLUHFWLRQ�����!��������!��GHWHUPLQHG�E\�WKH��SODQHV��^���`�RU�^�����`��������������������������������������,Q�FDVH�RI�RULHQWDWLRQ�^����`����!�ZKLFK�LV�VKRZQ�RQ�WKH�ILJXUH�EHORZ����

HJI8I�KL5L M5NHJI8I MONL5L

H IL KI L2M8N

P�M I L5L"M2Q

;�

;�

;

;�

=

H K L I IL7M N

H M5M�MRLSNH M5MRLSN

H MRL"M(N

H L"M5M5N

<6$03/(;�

T"U�V�W�X%Y;Z�[B\�\�U�]�^!_�Y�X�`(W�V�WEX�`Eab�YEa6c�Z�`5[B\�\�U�]�^!_�Y�X�`(W�V�WEX�`Ea

dfe"gfh h e%i

j k�lnm m k�op!q q q�r�st�u�v�w v�w�x

p q q q r�s

y�z�{E|�|�z�}y�{�|�{�~�z�}

p q q q r s

��������

Page 23: Hexagonal Axes

� ���

�WKH�EDVDO�SODQHV�DUH�SHUSHQGLFXODU�WR�7'��<��GLUHFWLRQ�KHQFH�LQ�WKLV�FDVH�WKH�LQYHUVH�SROH�ILJXUH�FDOFXODWHG�IRU�WKLV�GLUHFWLRQ�VKRZV�PD[LPXP�IRU�����!�GLUHFWLRQ����

������������������������������������ �����������������������������������,QYHUVH�SROH�ILJXUH�FDOFXODWHG�IRU�GLUHFWLRQ�7'�������������������������0RGHO�RI��FRPSRQHQW�^����`����!��):+0����GHJUHHV����%HORZ�\RX�FDQ�VHH�WKH�SROH�ILJXUHV�^���`�DQG�^���`�FDOFXODWHG�IRU�PRGHO�PRGHO�RI��FRPSRQHQW�^����`����!�������������������3OHDVH� UHPHPEHU� WKDW� RULHQWDWLRQ� QRWHG�E\�0LOOHU� LQGLFHV�ZKHQ� LV� H[SUHVVHG�E\�(XOHU�DQJOHV�KDV�GLIIHUHQW�QRWDWLRQ�IRU�HDFK�KH[DJRQDO�D[HV�FRQYHQWLRQ���)RU� H[DPSOH� RULHQWDWLRQ� � ^����`����!� LV� HTXLYDOHQW� RULHQWDWLRQ� ^������`� LQ� WKH� ILUVW�FRQYHQWLRQ�DQG�^�������`�LQ�WKH�VHFRQG�KH[DJRQDO�D[HV�FRQYHQWLRQ��3ROH�ILJXUHV�DQG�LQYHUVH�SROH� ILJXUHV� DUH� WKH� VDPH� IRU� RULHQWDWLRQ� ^����`����!� LQ� ERWK� FRQYHQWLRQ�� 2ULHQWDWLRQ�^��������LQ�WKH�ILUVW�FRQYHQWLRQ�LV�GLIIHUHQW�IURP�RULHQWDWLRQ�^��������LQ�WKH�VHFRQG�FRQYHQWLRQ�KHQFH� RULHQWDWLRQ� H[SUHVVHG� E\� 0LOOHU� LQGLFHV�� SROH� ILJXUHV� DQG� LQYHUVH� SROH� ILJXUHV� DUH�GLIIHUHQW�LQ�WKH�ERWK�FRQYHQWLRQV��

Page 24: Hexagonal Axes

� ���

����$QLVRWURS\�)DFWRUV��.HDUQV�)DFWRUV��$QLVRWURS\� LV� YHU\� LPSRUWDQW� SDUDPHWHU�ZKLFK� GHVFULEHG� SURSHUWLHV� RI� KH[DJRQDO�PDWHULDOV��/DER7H[�FDOFXODWHV�WZR�NLQGV�RI�WH[WXUH�IDFWRUV�ZKLFK�DUH�XVHG�WR�FKDUDFWHUL]H�WKH�KH[DJRQDO�PDWHULDOV�� 7KH� DQLVRWURS\� IDFWRUV� DQG� .HDUQV� IDFWRUV� KDYH� IRXQG� XVH� IRU� FRUUHODWLRQV� DQG�PDWHULDOV� FKDUDFWHUL]DWLRQ� RI� KH[DJRQDO� PDWHULDOV� �WKHUPDO� H[SDQVLRQ�� LUUDGLDWLRQ� JURZWK��HODVWLF� SURSHUWLHV� LQ� ]LUFRQLXP� DQG� WLWDQLXP� DOOR\V�� HWF���� /DER7H[� FDOFXODWHV� DQLVRWURS\�WH[WXUH�IDFWRUV�DOVR�IRU�2UWKRUKRPELF�DQG�7HWUDJRQDO�&U\VWDO�6\VWHPV����$QDO\VLV�RI� WH[WXUH�EDVHG�RQ�SDUWLDO� �LQFRPSOHWH��SROH� ILJXUHV�RU�RQ� WKH�7KHWD��7KHWD� VFDQV�PD\� OHDG� WR� HUURUV� LQ� HVWLPDWLRQ�RI� DQLVRWURS\� IDFWRUV�KHQFH�/DER7H[�FDOFXODWHV� DQLVRWURS\�WH[WXUH� IDFWRUV� IURP�2')� �RULHQWDWLRQ� 'LVWULEXWLRQ� )XQFWLRQ��� 7KH� 2')� FRQWDLQV� FRPSOHWH�LQIRUPDWLRQ�DERXW�WH[WXUH�RI�VDPSOH��9HU\�LPSRUWDQW�LV�WKDW�/DER7H[�FDQ�FDOFXODWH�2')�XVLQJ�LQFRPSOHWH�GDWD��SDUWLDO�SROH�ILJXUHV��IURP�RQO\�RQH�WHFKQLTXH���

x� ;�5D\�UHIOHFWLRQ��SDUWLDO�SROH�ILJXUHV��x� ;�5D\�WUDQVPLVVLRQ��SDUWLDO�SROH�ILJXUHV��x� 1HXWURQ�GLIIUDFWLRQ��SDUWLDO�SROH�ILJXUHV��x� (%6'�

�7KH�ILUVW�NLQG�RI�DQLVRWURS\� IDFWRUV� LQIRUP�XV�DERXW� IUDFWLRQV�RI�EDVDO�SROH� >����@� � LQ�HDFK�IURP�WKUHH�SULQFLSDO�GLUHFWLRQV����

x� ;��5ROOLQJ�'LUHFWLRQ��RU��$[LDO�'LUHFWLRQ����x� <��7UDQVYHUVH�'LUHFWLRQ�RU�&LUFXPIHUHQWLDO�'LUHFWLRQ���x� =��1RUPDO�'LUHFWLRQ�RU��5DGLDO�'LUHFWLRQ�����

3HUIHFW�DOLJQPHQW�RI�WKH�EDVDO�SROHV�LQ�RQH�GLUHFWLRQ�JLYHV�DQ�µI¶�YDOXH�RI��µ�¶�LQ�WKDW�GLUHFWLRQ�DQG�µ�¶�LQ�VHFRQG�DQG�WKLUG�GLUHFWLRQV��7KH�VXP�RI��DQLVRWURS\��IDFWRUV�LQ�WKH�WKUHH�GLUHFWLRQ�LV�HTXDO������������������������������������������������������������ ������ �� �"�

��

�� III

�)RU�VDPSOH�ZLWK�QRQH�FU\VWDOORJUDSKLF�WH[WXUH��WH[WXUH�³IUHH´�VDPSOH��DOO�IDFWRUV�DUH�HTXDO��������7KHUH� DUH� DOVR� WKH� DQLVRWURS\� IDFWRUV�� µI¶� IDFWRUV�� GHILQHG� E\� .HDUQV� �.HDUQV� IDFWRUV� �--�.HDUQV�� ³7KHUPDO� H[SDQVLRQ� DQG� SUHIHUUHG� RULHQWDWLRQ� LQ� =LUFDOR\´�� %HWWLV� $WRPLF� 3RZHU�/DERUDWRU\�� 5HSRUW� :$3'�70���������� DQG� --� .HDUQV�� &5� :RRGV�� -�� %XFO�� 0DWHU�� ����������������,I�ZH�PDNH�DVVXPSWLRQ�WKDW�IRU�VLQJOH�KH[DJRQDO�FU\VWDO�FRQWULEXWLRQ�WR�WKH�EXON�SURSHUW\��3��GHSHQGV�RQ�WKH�DQJOH�EHWZHHQ�UHIHUHQFH�GLUHFWLRQ�DQG�WKH�>����@�FU\VWDO�GLUHFWLRQ��.HDUQV� RQ� WKH� EDVLV� RI� ��$QLVRWURS\� RI� 0HWDOV´�� :�%RDV� DQG� -�.�0DFNHQ]LH�� ������ DV��IROORZLQJ���

�FRV��FRV ��������������������� MM �� �333������ZKHUH�3 �E����� LV�WKH�SURSHUW\�LQ�WKH�UHIHUHQFH�GLUHFWLRQ�� ���������3 DQG� ��������� 3 DUH�WKH�VLQJOH�FU\VWDO�YDOXHV�SDUDOOHO�DQG�SHUSHQGLFXODU�WR�>����@��DQG�M�LV�WKH�DQJOH�EHWZHHQ�WKH�UHIHUHQFH�GLUHFWLRQ�DQG�>����@��WKHQ�IRU�SRO\FU\VWDOOLQH�KH[DJRQDO�PDWHULDOV���

Page 25: Hexagonal Axes

� ���

MMMM

¡

G,I � ³¢

£¢FRV�VLQ��� �

���¤¥�¥�¥�¦§¤¥�¥�¥�¦§¨ I3I33©�ª�« �� ¬ZKHUH��I�LV�RULHQWDWLRQ�SDUDPHWHU�±�.HDUQV�IDFWRU���7KH�.HDUQV�IDFWRUV�FDQ�EH�GHILQHG�IRU�SULQFLSDO�GLUHFWLRQV���

­�®¯�°± I)/II ² ��$[LDO�RU�5ROOLQJ�RU�/RQJLWXGLQDO�'LUHFWLRQ�

­�³´µ°´ I)7II ¶ �&LUFXPIHUHQWLDO�RU�7UDQVYHUVH�'LUHFWLRQ��

©·"¸· I)1II ¹ ��5DGLDO�RU�1RUPDO�'LUHFWLRQ����

7KH�VXP�RI��.HDUQV�IDFWRUV�LQ�WKH�WKUHH�GLUHFWLRQ�LV�DOVR�HTXDO�������

��� �� º»¼ III

DV� DOVR� WKH� ³I´� IDFWRUV� IRU� � WH[WXUH� ³IUHH´� VDPSOH� DUH� HTXDO� ����� VLPLODU� DV� HDUOLHU� GHILQHG�DQLVRWURS\� IDFWRUV�� 7KH� .HDUQV� IDFWRUV� FDQ� EH� GHWHUPLQHG� IURP�7KHWD��7KHWD� VFDQ� �.HDUQV�PHWKRG�� ZKLFK� VKRXOG� EH� PDGH� IRU� HDFK� SULQFLSDO� SODWH� GLUHFWLRQ� RU� IRU� ORQJLWXGLQDO� DQG�WUDQVYHUVH�GLUHFWLRQV�LQ�FDVH�RI�URG�DQG�VLPLODU�PDWHULDOV��:H�FDQ�FDOFXODWH�WKHVH�IDFWRUV�ZLWK�JUHDWHU� DFFXUDF\� XVLQJ� 2')� ZKLFK� FDQ� EH� GHWHUPLQHG� RQ� WKH� EDVLV� RI� WKH� SROH� ILJXUHV�PHDVXUHG�ZLWK� RQO\� RQH� SULQFLSDO� GLUHFWLRQ�� 7KH� .HDUQV�PHWKRG� XVH� VHYHUDO� LQWHUSRODWLRQV��KHQFH� LW� LV� GLIILFXOW� WR� LQGLFDWH�ZKHWKHU� WKH� UHVXOWV� RI� FDOFXODWLRQ� DUH� JRRG� RU� SRRU� �VHH� IRU�H[DPSOH� WR� WKH� SDSHU� ��*HQHUDOL]HG� .HDUQV� WH[WXUH� IDFWRUV� DQG� RULHQWDWLRQ� WH[WXUH�PHDVXUHPHQW��E\�*UXEHU�HW��DOO� LQ� WKH�-RXUQDO�RI�1XFOHDU�0DWHULDOV�� �9ROXPH������� ��������SS�� ���������� 3OHDVH� VHH� RQ� WKH� ILJXUH� EHORZ� �FRPSDULVRQ� RI� 2')� DQG� .HDUQV� PHWKRGV���ZKHUH�GHSHQGHQFH�,� ���UHG�OLQH��LV�LQWHUSRODWHG�IURP�H[SHULPHQWDO�SRLQWV�GHWHUPLQHG�RQ�WKH�EDVLV�RI�SHDNV�IURP�����KNLO��SODQHV��EODFN�SRLQWV�DQG�EODFN�OLQHV�������������������

Page 26: Hexagonal Axes

� ���

��7KH�UDGLDO�.HDUQ¶V�WH[WXUH�SDUDPHWHU��I ½ ��LV�XVXDOO\�JUHDWHU�WKDQ�����IRU�=LUFDOR\�QXFOHDU�IXHO�FODG�WXELQJ���6HH�DOVR��9DQ�6ZDP��/��)��3��HW�DO���5HODWLRQVKLS�%HWZHHQ�&RQWUDFWLEOH�6WUDLQ�5DWLR�5�DQG�7H[WXUH�LQ�=LUFRQLXP�$OOR\�7XELQJ���0HWDOOXUJLFDO�7UDQVDFWLRQV�$��9ROXPH���$��SDJHV���������������������&DOFXODWLRQ�RI�$QLVRWURS\�)DFWRUV���<RX�FDQ�VWDUW�GLDORJ�µ&DOFXODWLRQ�RI�$QLVRWURS\�)DFWRUV¶�IURP�PHQX�µ&DOFXODWLRQ¶���

�������������������������������������������� ���:KHQ�\RX�FOLFN�RQ�WKH�EXWWRQ�µ&DOFXODWH¶�/DER7H[�VKRZV�UHVXOWV�RI�FDOFXODWLRQ�IRU�WKH�FXUUHQW�6DPSOH�DQG�-RE��7KH�FDOFXODWLRQ�DUH�PDGH�RQ�WKH�EDVLV�RI�2')��

Page 27: Hexagonal Axes

� ���

��

�����������������������������������������������/DER7H[�GLVSOD\V��x� $QLVRWURS\�IDFWRUV�±�I ¾ ��I ¿ ��I À �±�IUDFWLRQV�RI�%DVDO�3ODQHV�������LQ�6DPSOH�'LUHFWLRQV��RQ�

WKH�EDVLV�RI�DQJOHV�EHWZHHQ�QRUPDO�WR�%DVDO�3ODQH��UHVXOWDQW��DQG�6DPSOH�'LUHFWLRQV��x� $QJOHV�EHWZHHQ�QRUPDO�WR�%DVDO�3ODQH��UHVXOWDQW��DQG�6DPSOH�'LUHFWLRQV��x� .HDUQV�)DFWRUV��I/�I7��I1��±�IUDFWLRQ�LQ�SK\VLFDO�SURSHUW\�x� QRUPDOL]HG�WH[WXUH�LQGH[��³�´�±�UDQGRP��³�´�PRQRFU\VWDO������([DPSOH������:H� FDQ� EXLOG� WKH� PRGHO� WH[WXUH� ZKLFK� FRQWDLQV� ����� RI� WH[WXUH� FRPSRQHQW��3KL� ��3KL �����3KL� ����L�H��WKH�DQJOH�EHWZHHQ�>����@�GLUHFWLRQ�DQG�1'�GLUHFWLRQ�LV�HTXDO������GHJUHHV������

Page 28: Hexagonal Axes

� ���

����%HFDXVH�PRGHO�RI�2')�ZDV�FUHDWHG�IRU�WULFOLQLF�VDPSOH�V\PPHWU\�KHQFH�FRPSOHWH�SROH�ILJXUH��������VKRZV�RQO\�RQH�PD[LPXP��

��

������������������

Page 29: Hexagonal Axes

� ���

��7KH�UHVXOWV�RI�.HDUQV�IDFWRUV�FDOFXODWLRQ�DUH�WKH�IROORZLQJ�����������������������������������7KH� WH[WXUH� LQGH[� HTXDO����� LQGLFDWHV� WKDW� RXU� WH[WXUH� FRUUHVSRQG� WR� SXUH�PRQRFU\VWDO�� 7KH�DQJOHV�EHWZHHQ�GLUHFWLRQ�>����@�RI� WKLV�PRQRFU\VWDO� �³UHVXOWDQW´�PRQRFU\VWDO��DQG�GLUHFWLRQ�1'� LV� HTXDO� ����� GHJUHHV� ZKHQ� IRU� 7'� GLUHFWLRQ� LV� HTXDO� ����� GHJUHHV�� +HQFH� DQLVRWURS\�IDFWRUV�I ¾ �I ¿ �I À �DUH�FORVH�WR�����������DQG�������x� IRU�1'�GLUHFWLRQ���������������>�������������������������������@ �����x� IRU�7'�GLUHFWLRQ���������������>�������������������������������@ �����x� IRU�/'�GLUHFWLRQ���������������>�������������������������������@ �����

,Q�FDVH�RI�.HDUQV�IDFWRUV��WKH�IUDFWLRQV�LQ�SK\VLFDO�SURSHUW\�DUH�WKH�IROORZLQJ��x� IRU�1'�GLUHFWLRQ���WKH�DQJOH�1'�>����@�LV�HTXDO����GHJUHHV�KHQFH�IÁ ��FRV ¿ �����  � ������x� IRU�7'�GLUHFWLRQ���WKH�DQJOH�7'�>����@�LV�HTXDO������GHJUHHV�KHQFH�I à �FRV ¿ �����  � ������x� IRU�/'�GLUHFWLRQ��WKH�DQJOH�/'�>����@�LV�HTXDO������GHJUHHV�KHQFH�I Ä �FRV ¿ �����  � ������

Page 30: Hexagonal Axes

� ���

([DPSOH�����:H�FDQ�EXLOG�WKH�PRGHO�RI�2')�ZKLFK�FRQWDLQV���

x� ����SODQHV�ZLWK�>����@�LQ�1'�GLUHFWLRQ���x� ����SODQHV�ZLWK�>����@�LQ�7'�GLUHFWLRQ�DQG��x� ����SODQHV�ZLWK�>����@�LQ�5'�/'�GLUHFWLRQ��

XVLQJ�GLDORJ�³0RGHO�2')´����

���7KH�SROH�ILJXUH�IRU���������EDVDO�SODQH��FDOFXODWHG�RQ�WKH�EDVLV�RI�WKH�PRGHO�2')�LV�IROORZLQJ���������������������

Page 31: Hexagonal Axes

� ���

�7KH�UHVXOWV�RI�.HDUQV�IDFWRUV�FDOFXODWLRQ�DUH�FRPSDWLEOH�ZLWK�DVVXPSWLRQV�RI�PRGHO����

���:DUQLQJ��7KH�.HDUQV�IDFWRUV��I Å �I Æ ��I Ç ��DUH�SUHIHUUHG�IRU�FDOFXODWLRQ�RI�SK\VLFDO�SURSHUWLHV�RI�VDPSOH�LQ�WKHLU�SULQFLSDO�GLUHFWLRQV�RQ�WKH�EDVH�RI�GDWD�IRU�PRQRFU\VWDO�����([DPSOH������:H�KDYH�D�KH[DJRQDO�PDWHULDO�ZKLFK�KDV�

ÈÉ�É�É�ÊË3 ���D�X���ÌÍ�Í�Í�ÎÏÐ3 ���D�X��

�ZKHUH��D�X����DUELWUDU\�XQLWV�DQG�3���DUELWUDU\�SURSHUW\����

Page 32: Hexagonal Axes

� ���

:H�FDOFXODWHG�2')�RQ�WKH�EDVLV�RI�SROH�ILJXUHV�IRU�1'�GLUHFWLRQ�RI�VDPSOH�DQG�ZH�KDYH�FDOFXODWHG�DQLVRWURS\�IDFWRUV��:H�UHFHLYHG�IRU�H[DPSOH�IROORZLQJ�GDWD�����

��

���¤¥�¥�¥�¦§¤¥�¥�¥�¦§¨ I3I33©�ª�« �� ¬��������� ÑÒ�Ò�Ò�ÓÔÑÒ�Ò�Ò�ÓÔ �� Õ333Ö"× �

�������������������� XD3Ø"Ù ���� ����������� ÚÛ�Û�Û�ÜÝÚÛ�Û�Û�ÜÝÞ �� ß333 à�áâ á

����������������������ã XD3 ä�åæ å ���� �7KH�SURSHUW\�3�LQ�GLUHFWLRQ�1'�LV�HTXDO����D�X��ZKHQ�LQ�GLUHFWLRQ�7'�DQG�/'�LV�HTXDO����D�X���8VHU� FDQ� ILQG� WKH� PD[LPDO� YDOXH� RI� WKH� SURSHUW\� IRU� FDOFXODWLRQ� RI� .HDUQV� IDFWRUV� IRU�WUDQVIRUPHG�2')�IRU�RWKHU�SRVLWLRQV�RI�VDPSOH�IUDPHV��E\�FKDQJHV�RI�3KL��DQG�3KL�DQJOHV���7KH�FDOFXODWLRQ�RQ�WKH�EDVH�RI�WKH�UHVXOWDQW�PRQRFU\VWDO��DV�LQ�H[DPSOH����JLYH�JRRG�UHVXOWV�RQO\�LQ�VRPH�FDVHV���

Page 33: Hexagonal Axes

� ���

([DPSOH�����3ROH�ILJXUH���������LQWHQVLW\�RI�EDVDO�SODQH��IRU�LQLWLDO�SRVLWLRQ�RI�VDPSOH�IUDPH��

��7KH�FDOFXODWLRQ�RI�DQLVRWURS\�IDFWRUV�IRU�LQLWLDO�VDPSOH�IUDPH�DUH�WKH�IROORZLQJ��

�����������������������

Page 34: Hexagonal Axes

� ���

�7KH�FDOFXODWLRQ�RI�2')�IRU�QHZ�VDPSOH�IUDPH�SRVLWLRQ��URWDWLRQ�DERXW��3KL� ���3KL ���3KL� ��L�H��URWDWLRQ�DERXW����GHJUHHV�DURXQG�5'�D[LV���

��������������������

�7KH�SROH�ILJXUH�������DIWHU�VDPSOH�IUDPH�FKDQJH��1'��!7'���������������������������

Page 35: Hexagonal Axes

� ���

7KH�.HDUQV�IDFWRU�IRU�/'��I ç ��LV�WKH�VDPH�LQ�ERWK�FDVH��WKH�URWDWLRQ�ZDV�DURXQG�WKLV�D[LV���7KH�IDFWRU�IRU�7'��I è ��LV�QRZ�HTXDO�IDFWRU�IRU�IDFWRU�Ié �LQ�WKH�LQLWLDO�IUDPH�DQG�IDFWRU�IRU�1'��Ié ��LV�QRZ�HTXDO�I è �LQ�WKH�LQLWLDO�IUDPH��

������������������������������������������

��:DUQLQJ��:H� FDQ� FDOFXODWH�.HDUQV� IDFWRUV� IRU� DQ\� SRVLWLRQ� RI� VDPSOH� IUDPH� E\� FKDQJH� RI� WKH� LQLWLDO�VDPSOH� IUDPH� LQ� GLDORJ� ³2')� 7UDQIRUPDWLRQ´�� ,I� \RX� KDYH� WKH� H[SHULPHQWDO� UHVXOWV� �SROH�ILJXUHV��IRU�RQO\�RQH�VDPSOH�IUDPH�SRVLWLRQ�\RX�FDQ�FDOFXODWH�DQLVRWURS\�IDFWRUV�IRU�DQ\�RWKHU�SRVLWLRQV�RI�VDPSOH�IUDPH��7KH�DERYH�LV�WUXH�LI�WH[WXUH�LQ�\RXU�VDPSOH�LV�KRPRJHQHRXV��QRQH�RU�VPDOO�FKDQJHV�ZLWK�GHSWK����