hidráulica I

IT 144 Hidrulica Aplicada

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HIDRULICA APLICADA

1. PRINCPIOS BSICOS E PROPRIEDADES FSICAS DOS FLUIDOS 1.1 Definio de Fluidos (Streeter,1909)

Um fluido uma substncia que se deforma continuamente quando submetida a uma tenso de cisalhamento, no importando o quanto pequena possa ser essa tenso. Uma fora de cisalhamento uma componente tangencial de fora que age sobre a superfcie e, dividida pela rea da superfcie, d origem tenso de cisalhamento mdia sobre a rea. Tenso de cisalhamento num ponto o valor da relao entre a fora de cisalhamento e a rea quando a rea tende a um ponto. Na Figura 1, uma substncia colocada entre duas placas paralelas bem prximas e grandes de modo que as perturbaes nas bordas possam ser desprezadas. A placa inferior fixa, e uma fora F aplicada na placa superior, a qual exerce uma tenso de cisalhamento (F/A) na substncia entre as placas. A a rea da placa superior. Quando a fora F movimenta a placa superior com uma velocidade (no nula) constante, no importando quo pequena seja a intensidade de F, pode-se concluir que a substncia entre as duas placas um fluido.

Figura 1 - Deformao resultante da aplicao de fora de cisalhamento constante.

O fluido em contato com a superfcie slida tem a mesma velocidade que a superfcie; isto , no h escorregamento na superfcie. Este um fato experimental que observado em ensaios com vrias espcies de fluido e materiais de superfcie. O fluido na rea abcd escoa para a nova posio abcd com cada partcula fluida movendo-se paralelamente placa e a velocidade u variando linearmente de zero na placa estacionria at U na placa superior. A experincia mostra que, mantendo-se

Prof. Daniel Fonseca de Carvalho

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outras grandezas constantes, F diretamente proporcional a A e a U e inversamente proporcional a t. Em forma de equao,

F=

AU t

(1)

na qual um fator de proporcionalidade que depende do fluido em estudo. Sendo a tenso de cisalhamento ( = F = U t

A

):(2)

A relao U/t a velocidade angular do seguimento ab ou a velocidade de

deformao angular do fluido, isto , a velocidade com que o ngulo bad diminui. Avelocidade angular tambm pode ser escrita du/dy, pois tanto U/t como du/dy expressam a variao de velocidade divida pela distncia ao longo da qual a variao ocorre. Entretanto, du/dy mais geral porque continua vlida nas situaes nas quais a velocidade angular e a tenso de cisalhamento variam com y. O gradiente de velocidade du/dy pode tambm ser entendido como a velocidade com a qual uma camada se move em relao outra adjacente. Na forma diferencial, = du dy (3)

a relao entre a tenso de cisalhamento e a velocidade de deformao angular para um escoamento unidimensional. O fator de proporcionalidade chamado viscosidade do fluido, e a equao 3, lei de Newton da Viscosidade. Para fins de anlise feita freqentemente a hiptese de que um fluido noviscoso. Com viscosidade zero, a tenso de cisalhamento sempre zero, no importando o movimento que o fluido possa ter. Se o fluido tambm considerado incompressvel, ele ento chamado fluido perfeito ou ideal.

1.2

Viscosidade

De todas as propriedades dos fluidos, a viscosidade requer a maior considerao no estudo dos escoamentos. Viscosidade a propriedade pela qual um fluido oferece resistncia ao cisalhamento, ou seja, ao escoamento. A lei de Newton da viscosidade (Eq. 3) estabelece que, para uma dada velocidade de deformao angular de um fluido, a tenso de cisalhamento diretamente proporcional viscosidade. Melao e alcatro so exemplos de lquidos muito viscosos, enquanto que gua e arProf. Daniel Fonseca de Carvalho2


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apresentam viscosidades muito pequenas. Assim, um fluido de maior viscosidade apresenta maior resistncia ao escoamento que, por sua vez, demandar maior energia. Um fluido em repouso ou movendo-se de modo que no haja movimento relativo entre camadas adjacentes, no apresentar foras de cisalhamento aparente, embora tenha viscosidade, porque du/dy zero em qualquer ponto do fluido. Assim no estudo da esttica dos fluidos, no se consideram as foras de cisalhamento porque as mesmas no existem nessa condio e as nicas tenses atuantes so as tenses normais ou presses. As dimenses da viscosidade so determinadas a partir da lei de Newton da viscosidade (Eq. 3). Isolando a viscosidade : = du / dy (4)

Introduzindo as dimenses F, L,T de fora, comprimento e tempo: : F L-2

u : LT- 1

y:L

resulta com a dimenso F L-2 T. Com a dimenso da fora expressa em funo da massa pelo uso da segunda lei da mecnica de Newton, F viscosidade pode ser expressa como M L-1 T 1. A unidade no SI de viscosidade, o newton-segundo por metro quadrado (N s m-2) ou o quilograma por metro por segundo (kg m-1 s-1), no tem nome especial. M L T-2, a dimenso da

- Viscosidade cinemtica

A viscosidade frequentemente chamada de viscosidade absoluta ou

dinmica para se evitar confuso com a viscosidade cinemtica, que a relao entreviscosidade e massa especfica do fluido:

=

(5)

A viscosidade cinemtica aparece em muitas aplicaes, como por exemplo, no coeficiente denominado nmero de Reynolds, utilizado na caracterizao dos regimes de escoamento.Prof. Daniel Fonseca de Carvalho3


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A dimenso de L2T-1. A unidade SI de viscosidade cinemtica 1,0 m2 s-1, e a unidade inglesa usual 1 ft2 s-1. Como dito anteriormente, a presena da viscosidade gera uma resistncia ao deslizamento dos fluidos, tanto no interior da massa lquida (atrito interno) quanto ao longo de superfcies slidas (atrito externo). Quando um lquido escoa em contato com uma superfcie slida, junto mesma criada uma camada fluida, aderente, que no se movimenta. Um exemplo importante o que ocorre com o escoamento de um lquido em um tubo. Forma-se junto s paredes uma pelcula fluida que no participa do movimento. Assim, junto parede do tubo, a velocidade zero, sendo mxima na parte central (Figura 2).

Figura 2 - Perfil de velocidade em uma tubulao.

Em conseqncia dos atritos e, principalmente, da viscosidade, o escoamento de um lquido em uma canalizao somente se verifica com certa dissipao de energia, comumente denominada por perda de carga (Figura 3).

Figura 3 Demonstrao da ocorrncia da perda de carga.

A Tabela 1 apresenta os valores de viscosidade cinemtica da gua, em funo da temperatura.


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Tabela 1 Valores de viscosidade cinemtica da gua Temperatura (oC) 0 5 10 15 20 25 30 40 50 60 70 80 90 100 Viscosidade (x 10-6 m2 s-1) 1,79 1,52 1,31 1,14 1,01 0,90 0,80 0,66 0,56 0,48 0,42 0,37 0,33 0,30

1.3

Demais propriedades

a) Coeso e adeso

A primeira propriedade permite s partculas fluidas resistirem a pequenos esforos de tenso. A formao de uma gota d'gua deve-se coeso. Quando um lquido est em contato com um slido, a atrao exercida pelas molculas do slido pode ser maior que a atrao existente entre as molculas do prprio lquido. Ocorreu ento a adeso.

b) Presso de vapor

Dependendo da presso a que est submetido, um lquido entra em ebulio a uma determinada temperatura; variando a presso, varia a temperatura de ebulio. Por exemplo, a gua entra em ebulio temperatura de 100oC quando a presso 1,033 kgf cm-2 (1 atm), mas tambm pode ferver a temperaturas mais baixas se a presso tambm for menor. Portanto, presso de vapor corresponde ao valor da presso em que h mudana da fase lquida para a gasosa. Todo lquido tem temperatura de saturao de vapor (tv) (quando entra em ebulio), que correspondem biunivocamente a presses de saturao de vapor ou simplesmente tenses de vapor (pv).Prof. Daniel Fonseca de Carvalho5


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Essa propriedade fundamental na anlise do fenmeno da cavitao, pois quando um lquido inicia a ebulio, inicia-se tambm a cavitao.

c) Massa especfica, peso especfico e densidade

A massa especfica () de um fluido definida como sua massa por unidade de volume. O peso especfico () de uma substncia o seu peso por unidade de volume. varivel com a posio, dependendo, portanto, da acelerao da gravidade.

= g

(6)

uma interessante propriedade quando se trata da esttica dos fluidos ou de lquidos com uma superfcie livre. A densidade (d) de uma substncia a relao entre seu peso e o peso de um igual volume de gua nas condies normais. Pode tambm ser expressa como relao entre sua massa ou peso especfico e os da gua. A Tabela 2 apresenta alguns valores de massa especfica, peso especfico e presso de vapor dgua em funo da temperatura.

Tabela 2 Valores de massa especfica, peso especfico e presso de vapor dgua Temperatura (oC) 0 2 4 5 10 15 20 25 30 40 50 60 70 80 90 100 Massa especfica (kg m-3) 999,8 999,9 1.000,0 999,9 999,7 999,1 998,2 997,1 995,7 992,2 988,1 983,2 977,8 971,8 965,3 958,4 Peso especfico (N m-3) 9.805 9.806 9.810 9.806 9.803 9.798 9.780 9.779 9.767 9.737 9.697 9.658 9.600 9.557 9.499 9.438 Presso de vapor dagua (Pa) 611 ----873 1.266 1.707 2.335 3.169 4.238 7.377 12.331 19.924 31.166 47.372 70.132 101.357


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1.4

Smbolos adotados e unidades usuais em Mecnica dos fluidos

As grandezas fsicas so compatveis entre si atravs de medidas homogneas, ou seja, referidas mesma unidade. Os nmeros sem dimenso de medidas nada informam em termos prticos: o que maior: 8 ou 80? A pergunta necessita de sentido porque no h termo de comparao. Evidentemente que 8 m3 significa mais que 80 litros (80 dm3). Poderia ser de outra forma: 8 kg e 80 kg. As "unidades" de grandezas fsicas (dimenses de um corpo, velocidade, fora, trabalho ou potncia) permitem organizar o trabalho cientfico e tcnico sendo que, com apenas sete grandezas bsicas possvel formar um sistema que abranja todas as necessidades. Tradicionalmente a Engenharia usava o denominado sistema MKS (metro, quilograma, segundo) ou CGC (centmetro, grama, segundo), ou Sistema Gravitacional, em que unidades bsicas (MKS) so:

Tabela 3 Grandezas e unidades do sistema gravitacional GRANDEZAS Fora Comprimento Tempo UNIDADE quilograma - fora metro segundo SMBOLO kgf m s DIMENSIONAL F L T

Entretanto, observou-se que esse sistema estabelecia uma certa confuso entre as noes de peso e massa, que do ponto de vista fsico so coisas diferentes. A massa de um corpo refere-se sua inrcia e o peso de um corpo refere-se fora que sobre este corpo exerce a acelerao da gravidade (g). Entre a fora (F) e a massa de um corpo existe uma relao expressa pela equao (2 lei de Newton):

F = kmaem que k = constante; m = massa do corpo; e a = acelerao.

(7)

H dois sistemas de unidades que tornam a constante k igual a 1 (um): o SI ( Sistema Internacional) ou absoluto e o gravitacional. No absoluto, k igual a 1 (um) pela definio da unidade de fora e no gravitacional pela definio da unidade de massa, ou seja:Prof. Daniel Fonseca de Carvalho7


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Sistema Absoluto

a unidade de fora aquela que, ao agir sobre um corpo com

a massa de um quilograma, ocasiona uma acelerao de um metro por segundo, por segundo (1m s-2), e se denomina Newton. A unidade de massa nesse sistema correspondente a um bloco de platina denominado quilograma prottipo, guardado em Sevres (Frana).

Sistema Gravitacional

a unidade de fora igual a unidade de massa por

unidade de comprimento por segundo, por segundo, logo a unidade de massa neste sistema igual a g gramas. Melhor explicando, o Sistema Gravitacional torna o k igual unidade pela definio da unidade de massa. Se um corpo de peso unitrio cai livremente, a fora unitria atuar e a acelerao ser g; logo, para que a fora unitria produza uma acelerao unitria, a unidade de massa ser equivalente a g unidades de peso. No sistema mtrico seria: 1kgf = unidade de massa x 1(m/s2), logo: unidade de massa =

1(kgf ) = g (kg) 1(ms 2 )

Em outras palavras, a fora gravitacional comunica massa de 1 kg a acelerao g: 1,0 kgf = g x 1,0 kg. O importante entender que o peso de um corpo pode se reduzir a zero ao sair da gravidade terrestre, mas sua massa permanecer a mesma. Por conveno internacional de 1960, foi criado o Sistema Internacional de Unidades (SI), tambm conhecido por Sistema Absoluto, legalmente em vigor no Brasil e na maioria dos pases do mundo, do tipo MLT (massa, comprimento, tempo) e no FLT (fora, comprimento, tempo) como era o Sistema Gravitacional. As unidades bsicas desse sistema so o quilograma (neste caso seria um quilograma massa), o metro e o segundo. Deve-se atentar para a coincidncia de nomenclatura entre a antiga unidade peso e a atual de massa, evitando-se, assim, as confuses da advindas, infelizmente to freqentes. A Tabela 4 apresenta as grandezas que compe o SI. As abreviaturas das unidades SI so escritas com letras minsculas nos termos como horas (h), metros (m) e segundos (s). A exceo o litro, que ao invs de se abreviar por l, utiliza-se a letra L. Quando uma unidade designada por um nome prprio, a abreviatura (mas no o nome por extenso) escrita com letra maiscula. Exemplos so o watt (W), o pascal (Pa) e newton (N).Prof. Daniel Fonseca de Carvalho8


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Tabela 4 Grandezas bsicas componentes do SI GRANDEZA Comprimento Massa Tempo Intensidade de corrente Temperatura termodinmica Intensidade luminosa Quantidade de matria UNIDADE Metro Quilograma Segundo Ampre Kelvin Candela mol SMBOLO m kg s A K cd mol

Os mltiplos e submltiplos, expressos em potncias de 103, so indicados por prefixos, os quais tambm so abreviados. Os prefixos usuais so mostrados na Tabela 5.

Tabela 5 Prefixos usualmente utilizados Mltiplo 109 106 103 10-2 Prefixo SI giga mega kilo centi Abreviatura G M k c Mltiplo 10-3 10-6 10-9 10-12 Prefixo SI mili micro nano pico Abreviatura m n p

Apresenta-se a seguir (Tabela 6) as grandezas mais freqentes, com suas respectivas unidades para os clculos relacionados com as atividades da hidrulica.

Tabela 6 Grandezas e unidades mais utilizadas Grandeza rea Volume Velocidade Acelerao Massa especfica Fora Presso Energia Potncia Viscosidade dinmica Viscosidade cinemtica Momento de inrcia Peso especfico Smbolo Unidades Relao com as unidades bsicas m m m s-1 m s- kg m- kg m s- N m- Nm J s-1 0,1 N s m- 10-4 m2 s-1 m4 N m-3 Dimensional L L L T-1 L T-2 M L-3 M L T-2 M L-1 T-2 M L T-2 M L T-3 M L-1T-1 L T-1 L4 M L-2.T-2

N Pa J W P St

Newton Pascal Joule Watt Poise Stokes


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2. ESTTICA DOS FLUIDOS

a parte da Hidrulica que estuda os lquidos em repouso, bem como as foras que podem ser aplicadas em corpos neles submersos.

2.1 Presso e Empuxo

Quando se considera a presso, implicitamente relaciona-se uma fora unidade de rea sobre a qual ela atua. Considerando-se, no interior de certa massa lquida, uma poro de volume V, limitada pela superfcie A (Figura 4), se dA representar um elemento de rea nessa superfcie e dF a fora que nela atua (perpendicularmente), a presso ser: p =

dF dA

Considerando-se toda a rea, o efeito da presso produzir uma fora resultante que se chama empuxo (E), sendo, s vezes chamada de presso total. Essa fora dada pela integral: E = pdAA

Se a presso for a mesma em toda a rea, o empuxo ser: E = p A.

Figura 4 - Massa lquida em repouso, com rea A.

2.2 Lei de Pascal

Seja um lquido homogneo e em equilbrio, no interior do qual isola-se um prisma com altura dy, largura dx e comprimento unitrio (Figura 5). Se o prisma estiver em equilbrio, a somatria das foras atuantes na direo X ser nula. (Fx = 0).

px dy.1 = ps . sen ds .1 ; sen =Prof. Daniel Fonseca de Carvalho

dy ds10


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px dy = ps ds

dy dy dy ; px = ps ; px = ps ds ds ds

Figura 5 Foras atuantes em um prisma. Na direo Y deve ocorrer o mesmo: Fy = 0, havendo o equilbrio. Logo:

py dx.1 = ps ds . 1cos + dw

py dx = ps ds . cos +

dxdy . 1 2

Sendo o prisma elementar, suas dimenses so infinitesimais e, portanto, a fora resultante de seu peso desprezvel. Portanto:

py dx = ps dsEnto, px = py = ps.

dx ; ds

py

dx dx = ps ; py = ps ds ds

Este o princpio de Pascal, que se anuncia: Em qualquer ponto no interior de uma massa lquida em repouso e homognea, a presso a mesma em todas as direes.

A prensa hidrulica uma importante aplicao desta lei. Na Figura abaixo, considere que o dimetro do mbulo maior seja de 4 vezes o dimetro do mbulo menor. Se for aplicada uma fora F1 = 50 N, a presso do fluido transmitir, ao mbulo maior, uma fora F2 de 16 x 50 N, ou seja, F2 = 800 N. (p1 = p2 F1 A 2 = F2 A 1 )


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Figura 6 Desenho esquemtico de uma prensa hidrulica.

A Figura 7 ilustra uma soluo real para obteno da movimentao de uma carga, onde esto adicionados uma reservatrio e duas vlvulas de reteno que viabilizam o movimento alternativo do cilindro 1, provocando um movimento contnuo do cilindro 2. O cilindro 1 e as duas vlvulas caracterizam uma bomba de pisto de simples ao, ou seja, que produz vazo apenas em um sentido de movimentao do mbulo.

Figura 7 Exemplo de aplicao da Lei de Pascal

Exerccio: Calcular a fora P que deve ser aplicado no mbolo menor da prensahidrulica da Figura 8, para equilibrar a carga de 4.400 kgf colocada no mbolo maior.


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Os cilindros esto cheios, de um leo com densidade 0,75 e as sees dos mbolos so, respectivamente, 40 e 4000 cm2.

Figura 8 Desenho esquemtico de uma prensa hidrulica

2.3 Lei de Stevin

Na Figura 9, A a rea das faces, P o peso da massa lquida e h a diferena de nvel entre os pontos considerados. Como P = .V e V = A.h ento P = .A.h . Se o sistema estiver em equilbrio, Fy = 0 e, portanto:

Figura 9 Demonstrao da Lei de Stevin.

p1A + P p 2 A = 0 p1A + Ah p 2 A = 0 p 2 A p1A = Ah p 2 p1 = h ou p 2 p1 =h


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A diferena de presso entre dois pontos da massa de um lquido em equilbrio igual diferena de nvel entre os pontos, multiplicada pelo peso especfico do lquido.

2.4 Manometria

As presses so grandezas fsicas muito importantes no trabalho com fluidos, haja vista a equao fundamental da Esttica dos fluidos, que expressa em termos de presses e esforos. No sculo XVII Torricelli executou sua conhecida e clebre experincia ao nvel do mar, quando, ao emborcar uma proveta cheia de mercrio em uma cuba, o lquido fluiu da proveta para a cuba permanecendo apenas uma coluna de 762 milmetros de altura. A concluso lgica era de que o ar atmosfrico tinha peso, por conseguinte exercia presso. Esta presso, medida ao nvel do mar, correspondia a uma coluna de mercrio de 762 mm de altura. Este valor de presso foi chamado de "uma atmosfera Fsica". Como o peso especfico do mercrio 13.600 kgf m-3, vem: 13.600 kgf m-3 x 0,762 m = 10.363 kgf m-2 = 1,036 kgf cm-2

Como a densidade do mercrio 13,6, a mesma presso atmosfrica equilibraria uma coluna de gua de: 13,6 x 0,762 = 10,36 m. Na prtica da hidrulica se utiliza a atmosfera "tcnica" que vale 735 mm Hg. 735 mmHg = 10 mca = 10.000 kgf m-2 = 1,0 kgf cm-2 = 1,034 atm.

A presso atmosfrica medida por barmetros ou por bargrafos, que so barmetros registradores. A presso atmosfrica varia com a altitude; para cada 100 metros de elevao de altitude ocorre um decrscimo na presso atmosfrica de 0,012 atm (0,12 mca); desta forma, em um local de altitude igual a 920 metros, a presso :

patm = 1,034 atm - (0,012 . 9,2) = 1,034 - 0,110 = 0,92 atm

Exerccio: A Figura 10 reproduz a experincia de Torricelli em uma certa localidade,quando foi utilizado o mercrio como lquido manomtrico. Se, ao invs de mercrio,Prof. Daniel Fonseca de Carvalho14


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tivesse sido utilizado um leo com densidade de 0,85, qual teria sido a altura da coluna de leo?

Figura 10 Exemplo da experincia de Torricelli.

2.4.1 Tipos de presso

A um fluido com presso atmosfrica pode-se acrescentar ou "retirar presso. Tais presses so denominadas efetivas" ou manomtricas, por que so medidas por manmetros e podem ser positivas ou negativas. Imaginem uma vasilha hermeticamente fechada contendo ar presso atmosfrica local. Ligando-se o compressor indicado pelo sinal (+), mais ar ser injetado dentro do recipiente e a presso ir subindo concomitantemente, o que ser mostrado pelo manmetro. O ponteiro girar para a direita (rea positiva) partindo do valor zero. Suponha que o compressor tenha sido desligado quando a presso manomtrica era de 1,2 kgf cm-2. Em seguida, ligando-se a bomba de vcuo, ilustrada com o sinal (-), a presso ir caindo (o ar esta sendo retirado) voltando ao valor inicial (zero). Neste ponto a presso reinante no interior do recipiente somente a presso atmosfrica, a qual no acusada por manmetros. Com a continuao do processo, a presso passar a ser negativa, com o ponteiro do manmetro girando para a esquerda; estar ocorrendo o que denomina-se "vcuo" ou depresso. Desligando-se o conjunto, o manmetro estar marcando uma presso negativa (efetiva) de, por exemplo, -0,2 kgf cm-2.Prof. Daniel Fonseca de Carvalho15


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Praticamente um fluido est sujeito, portanto, a dois tipos de presso: a atmosfrica e a efetiva. A somatria dos valores das duas presses dar o que denomina-se presso absoluta. No exemplo considerado, sendo por hiptese a presso igual a 0,9 atm, as presses absolutas sero:

a) para presso efetiva nula (ar presso atmosfrica no interior do recipiente) Pabs = Patm + Pef = 0,9 + 0,0 = 0,9 atm b) para presso efetiva de 1,2 atm Pabs = Patm + Pef = 0,9 + 1,2 = 2,1 atm c) para presso efetiva de -0,2 atm. Pabs = Patm + Pef = 0,9 + (-0,2) = 0,7 atm Pode-se verificar que na situao do caso c, a presso absoluta menor que a presso atmosfrica local; logo, h depresso ou vcuo, no interior do recipiente. Como j mencionado a presso efetiva medida por manmetros. Vacumetro o manmetro que mede presses efetivas negativas.

2.4.2 Classificao dos medidores de presso

a) Manmetro de lquido ou de coluna lquida

So aqueles que medem as presses em funo das alturas da coluna dos lquidos que se elevam ou descem em tubos apropriados. Nesta categoria se agrupam:

a1) Tubo Piezomtrico, Piezmetro simples ou Manmetro Aberto

o tipo mais simples desses aparelhos. Consiste de um tubo transparente inserido no interior do ambiente onde se deseja medir a presso (Figura 11). O lquido circulante no conduto se elevar no tubo piezomtrico a uma altura h, que corrigida do efeito da capilaridade, d diretamente a presso em altura de coluna lquida.


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PA = h Figura 11 Esquema de um tubo piezomtrico. A presso no ponto A ser: PA = h (Lei de Stevin), em que PA a presso em A (N m-2 ou kgf m-2); o peso especfico do lquido (N m-3 ou kgf m-3) e h a altura de coluna lquida acima do ponto A (m). Observaes: o dimetro do tubo piezomtrico deve ser maior que 1,0 cm, quando o efeito da capilaridade desprezvel. O tubo piezomtrico pode ser inserido em qualquer posio em torno de uma tubulao que o lquido atingir a mesma altura h, acima de A.

a2) Manmetro de tubo em U

usado quando a presso a ser medida tem um valor grande ou muito pequeno. Para tanto necessrio o uso de lquidos manomtricos que permitam reduzir ou ampliar as alturas da coluna lquida. Esta reduo ou ampliao da coluna obtida utilizando-se um outro lquido que tenha maior ou menor peso especfico, em relao ao lquido escoante (Figura 12).


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y

h

Figura 12 Esquema de um tubo em U.

Este outro lquido denominado lquido manomtrico, e deve apresentar algumas caractersticas, como:

-

no ser miscvel com o lquido escoante; formar meniscos bem definidos; ter densidade bem determinada.

Para pequenas presses os lquidos manomtricos mais comuns so: gua, cloreto de carbono, tetracloreto de carbono, tetrabrometo de acetileno e benzina. Para grandes presses, o lquido mais usado o mercrio. Nos manmetros de tubo em U, a presso j no dada diretamente pela altura da coluna lquida, mas atravs de equaes que caracterizam o equipamento. Para se conhecer a presso em A, deve-se proceder da forma seguinte: 1) Demarque os meniscos separando assim as diferentes colunas lquidas e cancele as colunas equivalentes; 2) Comeando em uma das extremidades escreva o valor da presso nesse ponto; sendo incgnita use um smbolo; 3) Escreva em continuao o valor da presso representada por uma a uma das colunas lquidas; para isto, multiplique a altura da coluna pelo peso especfico do fluido; cada parcela ser precedida do sinal (+) se a coluna tender a escoar para adiante sob a ao da gravidade e (-) em caso contrrio;


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4) Atingindo-se o ltimo menisco a expresso ser igualada presso nesse ponto, seja ela conhecida ou incgnita.

Baseando-se nestes preceitos, chega-se a dois pontos: 1 e 2, onde: PA+ 1y - 2h = Patm = 0 O ndice 2 se refere s caractersticas do lquido manomtrico. Quando o manmetro em forma de duplo U (Figura 13) ou mais (triplo U), prefervel comear por um dos ramos at chegar ao outro.

Figura 13 Esquema de um manmetro de duplo U.

P1 P2 P3 ; PB = PC ; PD = PE PA + 1( x + h1 ) 2h1 + 1y 2h 2 = 0 PA + ( x + y + h1 ) 1 (h1 + h 2 ) 2 = 0Exerccio: A Figura 14 representa um manmetro instalado em uma tubulao. Calculea presso no Ponto A, expressando-a em kgf m-2, kgf cm-2 e Pa. Considere: - lquido escoando na tubulao: gua;


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- lquido manomtrico: mercrio; - x = 15 cm; y = 20 cm; z = 8 cm; h = 22 cm; j = 20 cm.

Figura 14 Manmetro de duplo U.

- Com base no tensimetro de mercrio da Figura 15, mostre que o potencial matricial no ponto A A = 12,6 h + h 2 + h1

Figura 15 Desenho esquemtico de um tensimetro de mercrio.

a3) Manmetro Diferencial


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o aparelho usado para medir a diferena de presso entre dois pontos (Figura 16).

Figura 16 Esquema de um manmetro diferencial.

PA + ( x + y + h) 1 3 h 2 y = PB PA PB = 3h + 2 y ( x + y + h) 1Outro mtodo:

P1 = P2 P1 = PA + ( x + y + h) 1 e P2 = PB + 2 y + 3h PA + ( x + y + h) 1 = PB + 2 y + 3h PA PB = 2 y + 3h ( x + y + h) 1em que PA PB a diferena de presso entre A e B. a4) Manmetro inclinado Aparelho usado para medir presses ou diferenas de presses muito pequenas. A inclinao do tubo em por finalidade ampliar a escala de leitura. Conforme Figura 17, PA = h . Mas h = L sen . Portanto: PA = L sen .


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Figura 17 Esquema de um manmetro inclinado.

Figura 18 Esquema de um manmetro inclinado diferencial.

PA + 1y + 2h 1x = PB

PB PA = 1( y x ) + 2h

Exerccio: Considere o manmetro conectado a uma tubulao, como mostra aFigura 19. Sabendo que a densidade do leo 0,83, calcule a diferena de presso entre os pontos 1 e 2.


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Figura 19 Exemplo de um manmetro diferencial.

b) Manmetro metlico ou de Bourdon

So os manmetros metlicos os mais utilizados na prtica, pois permitem leitura direta da presso em um mostrador (Figura 20). As presses so determinadas pela deformao de uma haste metlica oca, provocada pela presso do lquido na mesma. A deformao movimenta um ponteiro que se desloca em uma escala.

aFigura 20 Manmetro (a) e vacumetro (b) metlicos.

b

constitudo de um tubo metlico transversal (seo reta) elptica que tende a se deformar quando a presso P aumenta. Com isso a seo reta tende a ser circularProf. Daniel Fonseca de Carvalho23


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que por sua vez acarreta um aumento no raio de curvatura do tubo metlico e movimenta o ponteiro sobre a escala graduada diretamente para medir a presso correspondente deformao. So usados para medir presses muito grandes

2.4.3 Relaes entre as unidades de presso

Atmosfera padro 1 atm = 760 mmHg = 1,033 kgf cm-2 = 10,33 mca = 14,7 psi = 101.337 Pa = 10330 kgf m-2 = 1,013 bar = 1013 mbar

Atmosfera tcnica 1 atm = 735 mmHg = 1,0 kgf cm-2 = 10,0 mca = 14,7 psi = 105 Pa = 104 kgf m-2 = 1,0 bar = 1000 mbar

2.5 Empuxo exercido por um lquido sobre uma superfcie plana imersa

Freqentemente, o engenheiro encontra problemas relativos ao projeto de estruturas que devem resistir s presses exercidas por lquidos. Tais so os projetos de comporta, registros, barragens, tanques, canalizaes e outros.

2.5.1 Grandeza e direo do empuxo

A Figura 21 mostra uma rea de forma irregular, situada em um plano que faz um ngulo com a superfcie livre do lquido.

Figura 21 Representao do empuxo.Prof. Daniel Fonseca de Carvalho24


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Para a determinao do empuxo que atua em um dos lados da mencionada Figura, essa rea ser subdividida em elementos dA, localizada em profundidade genrica h e a uma distncia de y da interseo 0. A fora agindo em dA ser: dF = pdA = hdA = y sen dA Cada uma das foras dF ser normal s respectivas reas. A resultante ou empuxo (total) sobre total rea, tambm normal, ser dado por

F = dF =

A

ysendA = sen ydA.A

A

ydA o momento da rea em relao interseo 0. Portanto

A

ydA = A y ,

expresso onde y a distncia do centro de gravidade da rea at 0, e A rea total. F = y sen A Como y sen = h F = h A

O empuxo exercido sobre uma superfcie plana imersa uma grandeza tensorial perpendicular superfcie e igual ao produto da rea pela presso relativa ao centro de gravidade da rea.

2.5.2 Determinao do centro de presso

A Figura 22 representa a posio do centro de presso que pode ser determinada aplicando-se o teorema dos momentos, ou seja, o momento da resultante em relao interseo 0 deve igualar-se aos momentos das foras elementares dF. F yp= dF y Na deduo anterior, dF = ysendA Substituindo, e F = ysenA .

y sen Ay p = A y sen dAy = sen A y 2dALogo:

yp

Ay =

2

dA

Ay

=

I Ay

,


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Figura 22 - Determinao do centro de presso

Nesta expresso, I o momento de inrcia em relao ao eixo-interseo. Mais comumente, conhece-se o momento de inrcia relativo ao eixo que passa pelo centro de gravidade, sendo conveniente a substituio.

I = Io + Ay 2 (Teorema de Huygens)

yp =

I0 + Ay 2 Ay

yp = y +

I0 Ay

Como

I0 = k 2 , quadrado do raio de girao (da rea relativa ao eixo, passando Ak2 y .

pelo centro de gravidade), tem-se, ainda, y p = y +

O centro de presso est sempre abaixo do centro de gravidade a uma distncia igual a

k2 y

, medida no plano da rea.

Exerccio: Numa barragem de concreto est instalada uma comporta circular de ferrofundido com 0,20 m de raio, situada a 4,0 m abaixo do nvel da gua. Determinar o empuxo que atua na comporta.


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3. HIDRODINMICA (Princpios gerais do movimento e Teorema de Bernoulli)

3.1 Movimento dos fluidos

A Hidrodinmica tem por objetivo o estudo dos movimentos dos fluidos. Consideremos um fluido perfeito em movimento, referindo as diversas posies dos seus pontos a um sistema de eixos retangulares 0x, 0y, 0z. O movimento desses fluidos ficar perfeitamente determinado se, em qualquer instante t, forem conhecidas a grandeza e a direo da velocidade v, relativa a qualquer ponto; ou, ento, o que vem a ser o mesmo, se forem conhecidas as componentes vx, vy, e vz, dessa velocidade, segundo os trs eixos considerados. Alm disso, h de se considerar tambm, os valores da presso p e da massa especfica , que caracterizam as condies do fluido em cada ponto considerado. O problema relativo ao escoamento dos fluidos perfeitos comporta, portanto, cinco incgnitas, vx, vy, vz, p e , que so funes de quatro variveis independentes, x, y, z, e t. A resoluo do problema exige um sistema de cinco equaes. As cinco equaes necessrias compreendem: as trs equaes gerais do movimento, relativas a cada um dos trs eixos; a equao da continuidade, que exprime a lei de conservao das massas; e uma equao complementar, que leva em conta a natureza do fluido. So dois os mtodos gerais para a soluo de problema; o mtodo de Lagrange, que consiste em acompanhar as partculas em movimento, ao longo da suas trajetrias, e o de Euler, que estuda, no decorrer do tempo e em determinado ponto, a variao das grandezas mencionadas. O mtodo de Euler ser adotado, por ser muito mais simples e cmodo.

3.2 Vazo ou descarga

Chama-se vazo ou descarga, numa determinada seo, o volume de lquido que atravessa essa seo na unidade de tempo. Na prtica, a vazo expressa em m s-1 ou em outras unidades mltiplas ou submltiplas. Assim, para o clculo de canalizaes, comum empregarem-se litros por segundo (L s-1); os perfuradores de poos e fornecedores de bombas costumam usar litros por hora (L h-1) ou metros cbicos por hora (m3 h-1).Prof. Daniel Fonseca de Carvalho27


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3.3 Classificao dos movimentos

Uniforme Acelerado Permanente Movimento Nao uniforme Re tardado Nao permanente Movimento permanente aquele cujas caractersticas (fora, velocidade, presso) so funo exclusiva de ponto e independem do tempo. Com o movimento permanente, a vazo constante em um ponto da corrente. Matematicamente:v p = 0; = 0; =0 t t t

As caractersticas do movimento no permanente, alm de mudarem de ponto para ponto, variam de instante em instante, isto , so funo do tempo. De maneira semelhante:v p 0; 0; 0 t t t v = 0 ). Neste caso, as sees transversais da L

O movimento permanente uniforme quando a velocidade mdia permanece constante ao longo da corrente (

corrente so iguais. No caso contrrio, o movimento permanente pode ser acelerado ou retardado (v 0 ), ou seja, no uniforme. L

Um rio pode servir para ilustrao (Figura 23). H trechos regulares em que o movimento pode ser considerado permanente e uniforme. Em outros trechos (estreitos, corredeiras, etc.), o movimento, embora permanente (vazo constante), passa a ser acelerado. Durante as enchentes ocorre o movimento no permanente: a vazo altera-se.

Figura 23 - Movimento permanente uniforme (a), acelerado (b) e no permanente (c).

3.4 Regimes de movimento


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A observao dos lquidos em movimento leva- nos a distinguir dois tipos de movimento, de grande importncia: a) regime laminar; b) regime turbulento.

Figura 24 - Regimes laminar e turbulento.

Com o regime laminar, as trajetrias das partculas em movimento so bem definidas e no se cruzam. J o regime turbulento caracteriza-se pelo movimento desordenado das partculas.

3.5 Linhas e tubos de corrente

Em um lquido em movimento, consideram-se linhas de corrente as linhas orientadas segundo a velocidade do lquido e que gozam da propriedade de no serem atravessadas por partculas do fluido.

Figura 25 - Linhas e tubo de corrente.

Em cada ponto de uma corrente passa, em cada instante t considerado, uma partcula de fluido animada de uma velocidade v. As linhas de corrente so, portanto, as curvas que no mesmo instante t considerado, se mantm tangentes em todos os pontos velocidade v. Pelo prprio conceito, essas curvas no podem cortar-se.Prof. Daniel Fonseca de Carvalho29


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Admitindo-se que o campo de velocidade v seja contnuo, pode-se considerar um tubo de corrente como uma figura imaginria, limitada por linhas de corrente. Os tubos de corrente, sendo formados por linhas de corrente, gozam da propriedade de no poderem ser atravessados por partculas de fluido: as suas paredes podem ser consideradas impermeveis. Esses conceitos so de grande utilidade no estudo do escoamento de lquidos.

3.6 Equaes Gerais do Movimento

Seja no interior da massa lquida (em movimento) um ponto M, fixo, de coordenadas x, y, e z, ao redor do qual tomamos um cubo infinitesimal de arestas dx, dy e dz. A massa contida no cubo dxdydz (Figura 26).

Figura 26 - Volume lquido elementar.

Sejam vx, vy, vz, as componentes da velocidade V com que as partculas atravessam nos sucessivos instantes de tempo o cubo em questo. Sejam ainda P e as presses e massas especficas, grandezas que so funes contnuas e uniformes das coordenadas. Sobre o prisma, agem os seguintes esforos:

-

as foras externas que dependem do volume considerado, como o peso, por exemplo, e que podem ser expressas por suas componentes segundo cada eixo e por unidade de massa: X, Y e Z. Os esforos totais em cada eixo sero:Xdxdydz Ydxdydz Zdxdydz30



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-

os esforos decorrentes das presses atuantes nas faces do prisma; essas presses so normais a cada face, como j visto na esttica, e segundo o eixo X tem como resultante: P' = Pdydz (P +P dx )dydz x P dxdydz x P dxdydz x

P' = Pdydz Pdydz

e segundo os outros eixos:

p dx dy dz y

e

p dx dy dz z

Sendo m a massa de uma partcula em movimento, a sua acelerao e F a fora resultante, pode-se escrever: F = m a Com relao ao eixo X, tem-se ento: m d2 x = Fx dt 2 ou dv F=m dt d2 x F=m 2 dt

d2 x p m 2 = dx dy dz . X . dx dy dz x dt dx dy dz .

p d2 x = X dx dy dz dx dy dz 2 x dt

O primeiro membro da equao anterior representa a fora de inrcia do movimento; o primeiro termo do segundo membro, a ao da fora externa, F, e o segundo termo, a ao da presso do fluido circundante. Simplificando a equao:

d2 x 1 p =X- . 2 x dt

(8)

d2 x Na equao acima, a componente da acelerao da partcula considerada dt 2 conforme o eixo X. Essa componente a derivada da componente da velocidade em relao ao tempo t. Logo:

d 2 x dv x = dt dt 2


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Por outro lado, como Vx funo de x, y, z, t, pode-se escrever:dv x v x v x dx v x d y v x d z = + + + dt t x dt y dt z dt

Equao que pode ser escrita assim: dv x v x v x v x v x = + vx + vy + vz dt t x y z

Portanto, substituindo na equao 10, tem-se: v x v x v x v x 1 p =X- . + vx + vy + vz x t x y z

Por analogia, pode-se escrever para os demais eixos:

v y t

+ vx .

v y x

+ vy .

v y y

+ vz .

v y z

=Y-

1 p . y

v z v v v 1 p + vx . z + vy . z + vz . z = Z - . t x y z z

Estas so as equaes gerais do movimento dos fluidos perfeitos, denominadas Equaes de Euler. Para a soluo do problema do movimento dos fluidos so necessrias ainda duas equaes que sero vistas adiante.

3.7 Movimento Permanente

Analisando a equao 8, pode-se escrever para os trs eixos: dv x 1 p =X- . dt x dv 1 p . =X- x x dt

dv y dt

=Y-

1 p . y

dv y 1 p . =Ydt y


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dv z 1 p =Z- . dt z

dv 1 p . =Z- z z dt

Multiplicando-se as equaes por dx, dy e dz, respectivamente, e somando-se membro a membro, obtm-se: p p 1 p dx dy dz ( dx + dy + dz ) = Xdx + Ydy + Zdz (dv x + dv y + dv z ) x y z dt dt dt Obs: a transformao anterior implica fisicamente que no h variao de vx, vy e vz com o tempo, ou seja, que o regime de escoamento permanente. O termo entre parnteses no primeiro membro da equao a diferencial total de p. Logo igual a dp.

1 dx dy dz dp = Xdx + Ydy + Zdz (dv x + dv y + dv z ) ou dt dt dt

1 v2 dp = Xdx + Ydy + Zdz d( ) 2

(9)

A equao anterior a Equao de Euler para regime permanente, tambm chamada de equao das foras vivas.

3.8 Equao da conservao das massas Equao da continuidade

Se no interior do cubo no h vazios (Figura anterior), ou seja, se ele permanece cheio de fluido durante o movimento, segue-se que a diferena entre a massa que entrou e a que saiu durante o tempo dt igual variao da massa no interior do mesmo. A massa fluida que durante o intervalo de tempo dt entra pelas trs faces do prisma :

v x dydzdt + v y dxdzdt + v z dxdydt

A massa que no mesmo intervalo sai pelas faces opostas:

( +

v dx )( v x + x )dydzdt + x x33



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( +( +

v y dy )( v y + )dxdzdt + y yv dz )( v z + z )dxdydt z z

A diferena entre as duas :

(

(v x ) (v y ) (v z ) + + ) dxdydzdt y z x

(10)

Por outro lado, a massa contida no prisma no instante t dxdydz e no instante t + dt :

( +

dt ) dxdydz t

A variao da massa , portanto:

dxdydzdt tSendo as equaes 10 e 11 equivalentes:

(11)

(

(v x ) (v y ) (v z ) + + ) dxdydzdt = dxdydzdt x y z t

(v x ) (v y ) (v z ) dt + + + =0 t x y zEsta a equao da Lei da Conservao da Massa. a quarta equao para o estudo do movimento. A quinta a equao de estado dos fluidos, que ser apresentada a seguir. Para os lquidos incompressveis, = constante. Assim:

v x v y v z + + =0 x y zConsiderando um trecho de um tubo de corrente, indicado na Figura 27, com as sees A1 e A2 e velocidades respectivas v1 e v2, a quantidade de lquido de massa especfica que passa pela primeira seo, na unidade de tempo, ser:

dm1 = 1v 1A 1 dt


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Para a outra seo:

dm 2 = 2 v 2 A 2 dt

No movimento permanente, a quantidade de lquido que atravessa A1 igual quantidade que atravessa A2. Assim:

1v 1A 1 = 2 v 2 A 2Se o lquido for incompressvel, 1=2. Logo:

v 1A 1 = v 2 A 2 = QEsta a equao da continuidade e mostra que no regime permanente, o volume de lquido que, por unidade de tempo, atravessa todas as sees da corrente sempre o mesmo.

Figura 27 - Tubo de corrente utilizado para demonstrao do Teorema de Bernoulli.

3.9 Equao de estado dos fluidos

A ltima equao da Hidrodinmica necessria ao sistema de cinco equaes obtida considerando-se uma caracterstica particular do fluido. Esta equao representa uma relao envolvendo a massa especfica com a presso e com a temperatura, para cada fluido. Nos casos dos fluidos homogneos e incompressveis, constante. Para os gases perfeitos, tem-se a equao geral:


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p gRT = constante Esta equao introduziria uma sexta varivel que a temperatura. Por isso, admitindo a temperatura constante, tem-se:

p = constante.

3.10 Teorema de Bernoulli para fluidos perfeitos

O Teorema de Bernoulli decorre da aplicao da equao de Euler aos fluidos sujeitos ao da gravidade (lquidos), em movimento permanente. Nessas condies:

X = 0,

Y = 0,

Z = -g

Substituindo na equao 9:

1 v2 dp = gdz d( ) 2Dividindo-se a equao anterior por g:

dp v2 dz + + d( ) = 0 g 2gSabendo que g = (peso especfico), e dividindo-se todos os termos por ds (dx, dy, dz), obtem-se:

d p v2 (z + + )=0 ds 2g

p v2 z+ + = constante 2g

A Figura 27 mostra parte de um tubo de corrente, no qual escoa um lquido de peso especfico . Nas duas sees indicadas, de reas A1 e A2, atuam as presses p1 e p2, sendo as velocidades, respectivamente, v1 e v2. As partculas, inicialmente em A1, num pequeno intervalo de tempo, passam a A1, enquanto que as que esto em A2 movem-se para A2.


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Investigando apenas as foras que produzem trabalho, temos a variao da energia cintica:

1 1 1 2 m 2 v 2 m1v 1 = mv 2 2 2 2 2

Sendo o lquido incompressvel, A 1dS1 = A 2 dS 2 = V . V o volume do lquido e a soma dos trabalhos das foras externas (empuxo e gravidade, pois no h atrito lquido perfeito) ser:

p1A 1dS1 p 2 A 2 dS 2 + V( Z1 Z 2 )Igualando as duas equaes anteriores:

1 1 2 m 2 v 2 m1v 1 = p1A 1dS1 p 2 A 2 dS 2 + V( Z1 Z 2 ) 2 2 2 1 2 V( v 2 v 1 ) = V(p1 p 2 ) + V( Z1 Z 2 ) 2 2gSimplificando:

2 v 2 v 1 p1 p 2 2 = + Z1 Z 2 2g 2g

2 v 1 p1 v2 p + + Z1 = 2 + 2 + Z 2 = constante 2g 2g

Este o importante Teorema de Bernoulli que pode ser anunciado: Ao longo de qualquer linha de corrente constante a soma das alturas cintica (

v2 ), 2g

piezomtrica ( ) e geomtrica ou potencial (Z). Este teorema o prprio princpio da conservao da energia. Cada um dos termos da equao representa uma forma de energia. importante notar que cada um dos termos pode ser expresso em metros, constituindo o que se denomina carga.

p

3.11 Demonstrao experimental do Teorema de Bernoulli


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Em 1875, Froude apresentou importantes experincias sobre o teorema de Bernoulli. Uma delas consiste numa canalizao horizontal e de dimetro varivel, conectada a um reservatrio de nvel constante. Instalando-se piezmetros nas diversas sees, verifica-se que a gua sobe alturas diferentes; nas sees de menor dimetro, a velocidade maior e, portanto, tambm maior a carga cintica, resultando menor carga de presso. Como as sees so conhecidas, podem-se verificar a distribuio e a constncia da carga total (soma das alturas).

Figura 28 - Ilustrao do Teorema de Bernoulli.

Exerccio: Um lquido incompressvel de massa especfica igual a 800 kg m-3 escoapelo duto representado na Figura 29 com vazo de 10 L s-1. Admitindo o escoamento como ideal e em regime permanente, calcule a diferena de presso entre as sees 1 e 2 (1 N = 1 kg m s-2).

Figura 29 Exemplo da aplicao da equao de Bernoulli.


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