Matemticas con la hoja electrnica de clculo es producto de un estudio experimental realizado en diversas

aulas del pas como parte del proyecto Enseanza de las Matemticas con Tecnologa (Emat), desarrollado por la

Direccin General de Materiales y Mtodos Educativos de la Subsecretara de Educacin Bsica y Normal, de

la Secretara de Educacin Pblica, y por el Instituto Latinoamericano de la Comunicacin Educativa.

Coordinacin de autoresSonia Ursini LegovichMnica Orendain Tremear

AutoresSimn Mochn Cohen (Cinvestav)Teresa Rojano CeballosSonia Ursini Legovich

Diseo de actividadesSimn Mochn Cohen

Coordinacin editorialElena Ortiz Hernn Pupareli

Cuidado de la edicinJos Manuel Mateo

CorreccinFelipe Vzquez

Supervisin tcnica-editorialAlejandro Portilla de Buen

Diseo y formacinLeticia Dvila Acosta

Enseanza de las Matemticas con Tecnologa

Direccin generalElisa Bonilla Rius (SEP)Guillermo Kelley Salinas (ILCE)

Coordinacin general de Enseanzade las Matemticas con TecnologaTeresa Rojano Ceballos (Cinvestav)

Vinculacin, infraestructura y soporte tcnicoMarcela Santilln Nieto (ILCE)

CoordinacinSonia Ursini Legovich (Cinvestav)Mnica Orendain Tremear (asistente)

EvaluacinTeresa Rojano CeballosLuis Moreno Armella (Cinvestav)Elvia Perrusqua Mximo (asistente)

Asistentes de cmputoIvn Cedillo MirandaArturo Torres

InstructoresRamiro vila (Hermosillo, Son.)Csar Corral (Chihuahua, Chih.)Fortino Fregoso (Guadalajara, Jal.)Gerardo Haase (Aguascalientes, Ags.)Jos Ramn Jimnez (Hermosillo, Son.)Felcitas Licea (Colima, Col.)Alejandro Ocaa (Xalapa, Ver.)Leticia Prez (Tlaxcala, Tlax.)Rubn Sanzn (Len, Gto.)

Matemticas con la hoja electrnica de clculo.Enseanza de las Matemticas con Tecnologase imprimi por encargo de la Comisin Nacionalde los Libros de Texto Gratuitosen los talleres de

con domicilio en

el mes de noviembre de 2000.El tiraje fue de 10000 ejemplaresms sobrantes de reposicin.

La evaluacin del proyecto Emat fue financiadapor el Conacyt, en el marco del proyectode grupo Incorporacin de Nuevas Tecnologasa la Cultura Escolar (G526338S), bajo la direccinde investigadores del Cinvestav.

D.R. SEP-ILCE, 2000Secretara de Educacin PblicaArgentina 28, Centro, 06020, Mxico, D.F.Instituto Latinoamericanode la Comunicacin EducativaCalle del Puente 45, colonia Ejidosde Huipulco, Tlalpan 14380, Mxico, D.F.

ISBN 970-18-5150-1

Impreso en Mxico

DISTRIBUCIN GRATUITA-PROHIBIDA SU VENTA

Profesor: Bienvenido a Emat! 7

El laboratorio Emat 9

Hoja electrnica de clculo 15

Estudiantes: Bienvenidos a Emat! 25

Actividades bsicas 27

Un paseo corto por una hoja de clculo 28Introduciendo frmulas 29Ms frmulas 31Otra frmula conocida? 33Comprando ropa 34Adivina la frmula 36Invierte la frmula 37Generando secuencias de nmeros 38Comparando secuencias 40Comprando ropa (versin avanzada) 42

Actividades expresivas 43

Divisibilidad 44Sabes qu significa MCD? 46Sabes qu significa mcm? 48Porcentajes (1) 50Descuentos y ms descuentos 51Variacin proporcional (1) 53Variacin proporcional (2) 56Variacin proporcional (3) 58Raz cuadrada y cbica 59Ecuaciones (1) 61Ecuaciones (2) 63Ecuaciones (3) 65Sabes qu es una razn? 66Otro tipo de razones 68Una investigacin con razones 70Mquinas transformadoras 72Nmeros consecutivos 73Del permetro y el rea a los lados 75Variacin lineal (1) 77

ndicendice

Variacin lineal (2) 79Variacin lineal (3) 82Lineales que caen 84Ecuaciones explcitas vs. recursivas 87Recursividad (1) 89Recursividad (2) 91Pndulo 93ngulo de elevacin y de depresin 95Explosin demogrfica 98Inflacin contra salario 99Inters compuesto 101Tiempos de duplicacin en el crecimiento compuesto 103Construyendo dados 105El problema del cumpleaos 108

Actividades exploratorias 110

Descomposicin en primos 112Clculo del MCD y el mcm 113Fracciones equivalentes 115Polgonos regulares 118Algoritmo de Euclides para calcular el MCD y el mcm 121Analizando grficas de rectas 123Sistema de dos ecuaciones 124Ecuaciones diofantinas 127Funciones cuadrticas 129Simulacin con el modelo de urna (1) 131Simulacin con el modelo de urna (2) 133Simulacin con el modelo de urna (3) 134Jugando con dados de tres caras 136Chances 139Anlisis de textos 142Apuestas 144Adivina qu est pasando 147Por dnde saldr? 149

Anexos 153

Descripcin del archivo FactPrim.xls 154Descripcin del archivo HojaAlg.xls 155Descripcin del archivo Rndmz.xls 156Examen: Hoja de clculo. Primer grado 158Examen: Hoja de clculo. Segundo grado 164Examen: Hoja de clculo. Tercer grado 169

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Profesor:Bienvenido a Emat!Profesor:Bienvenido a Emat!

E ste libro forma parte de la serie de publicaciones derivada de los materialesdiseados y puestos a prueba dentro del proyecto Enseanza de las Mate-mticas con Tecnologa (Emat). A principios de 1997, por iniciativa de laSubsecretara de Educacin Bsica y Normal y el Instituto Latinoamericano de la Co-municacin Educativa, se puso en marcha la fase piloto de este proyecto de innova-cin educativa en 15 escuelas secundarias pblicas de ocho estados de la repblica.Los propsitos generales del proyecto Emat se enmarcan en los del Programa de Mo-dernizacin Educativa y son los siguientes:

Elevar la calidad de la enseanza de las matemticas en la escuela secun-daria.Impulsar la formacin de profesores de matemticas de este nivel escolar.Promover el uso de las nuevas tecnologas en la educacin.Generar y actualizar mtodos y contenidos educativos de la matemticaescolar.

Ms especficamente, con el proyecto Emat se busca mostrar que es factibleaprovechar las nuevas tecnologas apoyadas en un modelo pedaggico quepermita construir ambientes de aprendizaje apropiados para enriquecer ymejorar la enseanza actual de las matemticas en la escuela secundaria. En-tre las caractersticas principales del modelo que propone el proyecto Emat seencuentran:

1. La utilizacin de piezas de software y herramientas que hacen posible darun tratamiento fenomenolgico a los conceptos matemticos; es decir, condichas piezas y herramientas se puede concretar la idea de que los con-ceptos son organizadores de fenmenos. As, la contextualizacin de lasactividades matemticas no es una mera ambientacin, sino que las situa-ciones planteadas por la actividad corresponden a comportamientos defenmenos que en cierto modo forman parte de la esencia del conceptoque se busca ensear.

2. La utilizacin de piezas de software y herramientas que impliquen repre-sentaciones ejecutables, es decir, que contemplen la manipulacin directade objetos o de representaciones de objetos (matemticos).

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3. La utilizacin de piezas de software y herramientas cuyo uso est relacio-nado con un rea especfica de la matemtica escolar (aritmtica, lge-bra, geometra, probabilidad, modelacin, matemtica del cambio).

4. La especializacin de los usuarios de la tecnologa (alumnos y maestros)en una o ms piezas de software o herramientas, de tal forma que logrendominarla y, al mismo tiempo, la empleen en la enseanza y aprendizajede temas curriculares especficos, antes de pasar al uso de otra herramien-ta en el aula.

5. La puesta en prctica de un modelo de cooperacin para el aprendizaje:los estudiantes trabajarn en parejas frente a la computadora en una mis-ma actividad, lo que promover la discusin y el intercambio de ideas.

6. La prctica de un modelo pedaggico en el que el profesor promueve elintercambio de ideas y la discusin en grupo, y al mismo tiempo actacomo mediador entre el estudiante y la herramienta, es decir, el ambientecomputacional asistiendo a los estudiantes en su trabajo con las activida-des de clase y compartiendo con ellos el mismo medio de expresin.

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El laboratorio EmatEl laboratorio Emat

E studios realizados en los ltimos aos han demostrado que el uso de nuevastecnologas abre perspectivas interesantes para la enseanza de las mate-mticas y otras ciencias. Entre los beneficios que brindan podemos mencio-nar los siguientes:

Ofrece al estudiante ambientes de trabajo que estimulan la reflexin y loconvierten en un ser activo y responsable de su propio aprendizaje.Provee un espacio problemtico comn al maestro y al estudiante paraconstruir significados.Elimina la carga de los algoritmos rutinarios para concentrarse en la con-ceptualizacin y la resolucin de problemas.Da un soporte basado en la retroalimentacin.Reduce el miedo del estudiante a expresar algo errneo y, por lo tanto, seaventura ms a explorar sus ideas.

La computadora y la calculadora nunca van a suplir al maestro: son instrumen-tos de apoyo, como el pizarrn y el gis, aunque sus caractersticas sean esencial-mente diferentes.

El objetivo principal del empleo de la tecnologa en el aula no se reduce apracticar algoritmos, sino que ayuda al alumno a descubrir y construir conceptos ytcnicas mediante el ejercicio de la reflexin. As, la matemtica pasa a ser muchoms que una simple mecanizacin de procedimientos.

Una caracterstica importante de los paquetes de cmputo que se han elegidopara el proyecto Emat es que son abiertos. Es decir, el usuario decide qu hacercon ellos, en vez de que el programa computacional dirija todo el trabajo comoocurre en los programas tutoriales. Estos paquetes abiertos pueden usarse conobjetivos didcticos muy diversos, muchos de los cuales estn definidos por lasactividades que se proponen en este libro.

Un laboratorio Emat est integrado bsicamente por el siguiente equipo:

Computadoras para los alumnosComputadora para el maestroImpresoraMdem (opcional)

Reguladores de corrienteCalculadorasMesas y sillas adecuadass

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Para instalar un laboratorio Emat en una escuela es necesario contar con unaula de buen tamao (por ejemplo de 8 x 12 m) que tenga corriente elctrica de110 voltios y que cuente con contactos trifsicos. Si se desea que alguna computa-dora tenga acceso a internet debe contarse, adems, con una lnea telefnica.

Dado que el equipo que integra el laboratorio es muy costoso, resulta indispen-sable instalar en el aula varias protecciones; por ejemplo: puerta con llave, enreja-do en las ventanas, mueble para guardar las calculadoras. Es importante tambinque las computadoras estn conectadas a reguladores de corriente.

Para el buen funcionamiento del trabajo en un laboratorio Emat, recomenda-mos que, en la medida de lo posible, las computadoras se acomoden en forma deherradura, como se muestra en el esquema.

Al instalar las computadoras hay que procurar que entre ellas quede espaciosuficiente para que puedan sentarse cmodamente dos o tres nios por mquina.La disposicin en herradura tiene mltiples ventajas. Por un lado, facilita al maestropasar de un equipo de alumnos a otro y observar el trabajo que estn realizando.Por el otro, con slo girar las sillas, dando la espalda a la computadora, los alum-nos pueden acomodarse para participar en una discusin colectiva o atender lasexplicaciones que el maestro dirija a todo el grupo.

Es necesario tambin que en el centro del aula haya mesas de trabajo. Los alum-nos las utilizarn, sobre todo, cuando trabajen con las calculadoras, pero tambincuando sus actividades requieran desarrollar alguna tarea con lpiz y papel.

Para ensear matemticas en un laboratorio Emat se hace uso de distintos pa-quetes computacionales (Cabri-Gomtre, Excel, SimCalc MathWorlds, Stella).

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Algunos de estos son de acceso libre y pueden obtenerse en internet; otros soncomerciales y necesitan adquirirse con los proveedores junto con los permisos parausarse en grupo. Para ms informacin al respecto puede consultar la pgina deEmat en internet, cuya direccin es:

http://emat-efit.ilce.edu.mx/emat-efit/emat

Metodologa de trabajo

Ensear matemticas utilizando computadoras o calculadoras conlleva muchoscambios en la organizacin del trabajo. stos se reflejan principalmente en el pa-pel que desempea el maestro en este contexto, en la organizacin del trabajo delos alumnos y en la manera de evaluar su rendimiento.

El papel del maestro

Las nuevas tecnologas requieren otro tipo de acercamiento a la enseanza, por loque el papel del maestro cambia radicalmente cuando la clase de matemticas sedesarrolla con tecnologa apoyada en hojas de trabajo. Con esta combinacin,tecnologa y hojas de trabajo, el profesor tiene la posibilidad de mediar el aprendi-zaje de sus alumnos de tres formas distintas:

Mediante las hojas de trabajo que les proporciona.Apoyando y guiando a los estudiantes durante la resolucin de las hojasde trabajo en el saln de clase. Los 45 o 50 minutos de la clase son los msvaliosos en el aprendizaje de los alumnos. En ese tiempo se tiene la oportu-nidad de interactuar con ellos y de observar sus avances y dificultades, loque permitir darles sugerencias cuando lo necesiten.En discusiones del grupo completo. El profesor no debe convertirse en elcentro de la discusin; debe procurar que los estudiantes se apropien deella. Los alumnos deben presentar sus opiniones e ideas a los dems y elprofesor slo debe coordinar esta actividad.

En el aula Emat el maestro asume el papel de organizador del trabajo, de guay de asesor. Propicia que sus alumnos desarrollen un espritu abierto a la investiga-cin; en otras palabras, los invita a:

Explorar.Formular hiptesis.Probar la validez de las hiptesis.

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Expresar y debatir sus ideas.Aprender a partir del anlisis de sus propios errores.

En este contexto, el maestro ya no agota el tiempo de clase repasando oexplicando temas nuevos, sino que la mayor parte la dedica a que los alumnostrabajen para resolver las actividades planteadas en las hojas de trabajo previa-mente elaboradas. En el aula Emat, el maestro no resuelve las actividades, susintervenciones tienen como finalidad que los alumnos reflexionen y encuentrenpor s mismos una solucin aceptable. Esta funcin se ve reforzada por la organi-zacin de los alumnos en equipos de trabajo, pues as el maestro puede pasar deun equipo a otro observando el trabajo que realizan y auxilindolos, cuando seanecesario, para que puedan llevar a cabo la actividad propuesta. Cuando estetipo de intervencin no es suficiente, conviene que el maestro muestre un caminode solucin posible y los invite a adoptarlo y continuar por s mismos. En estoscasos no se debe proporcionar demasiada informacin, pues lo importante es quelos equipos sigan trabajando de manera autnoma. El propsito siempre debe serayudar a los alumnos a que se involucren en la actividad, pongan en juego susaber matemtico anterior y lleguen a desarrollar correctamente ideas matemti-cas nuevas a partir de sus propias experiencias.

Si la mayora de los alumnos se enfrenta con el mismo tipo de dificultades alabordar una actividad determinada, es conveniente organizar una discusin paratratar de resolver el problema colectivamente. Discusiones de este tipo son buenasoportunidades para resumir y sistematizar los avances y resultados sobre los queexiste consenso, as como para introducir informacin nueva que permita a losalumnos avanzar en su trabajo.

La organizacin del trabajo de los alumnos

El uso de las computadoras no implica necesariamente un aprendizajeindividualizado. Esta idea parte de que algunos programas de cmputo han sidodiseados para que slo una persona trabaje a la vez (es el caso de los llamadostutoriales). Los programas de cmputo seleccionados para trabajar en el aula Ematfomentan la interaccin de los alumnos entre s y con su profesor, gracias al em-pleo de hojas de trabajo. En este acercamiento social del aprendizaje la comuni-cacin desempea un papel crucial.

Es aconsejable que los alumnos trabajen en equipos (de preferencia de dosintegrantes). Esto fomenta la discusin y produce un aprendizaje ms completo yslido. Para que el trabajo en equipo sea en verdad efectivo, habr que evitarque los estudiantes desempeen siempre las mismas funciones (por ejemplo, que

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slo uno lea y el otro trabaje con la computadora o la calculadora), pues si estoocurre, solamente adquirirn unas habilidades especficas pero no otras. Los es-tudiantes pueden formar sus equipos como deseen, pero es aconsejable queintercambien las tareas para que desarrollen todas las habilidades requeridas:manejo del software, planteamiento del problema, lectura y comprensin de lasactividades, etctera.

La organizacin de los alumnos en equipos de trabajo presenta muchas venta-jas, sin embargo, no siempre los alumnos tienen experiencia en trabajar de estemodo. Es, por lo tanto, necesario que el maestro les ayude a adoptar esta manerade trabajar. El trabajo en equipo propicia el intercambio y confrontacin de ideasentre los alumnos. Al trabajar de este modo se espera que cada individuo expongasu punto de vista, lo discuta y confronte con los dems integrantes. Este intercambioayuda al alumno a organizar sus propias ideas y a comunicarlas, a reflexionarsobre ellas, a defenderlas y a modificarlas cuando sea necesario, a escuchar ydebatir los argumentos de los dems e ir reafirmando sus conocimientos matemti-cos y adquiriendo otros nuevos.

Las hojas de trabajo

Las hojas de trabajo son una herramienta fundamental para realizar las activida-des que se plantean en el aula Emat. En ellas se presenta un problema de manerasucinta y se formulan preguntas que pueden llevar alguna sugerencia implcitapara que los alumnos empiecen a explorar el problema propuesto. Si bien lasactividades planteadas tienen que desarrollarse usando la tecnologa, es necesa-rio que los alumnos contesten por escrito las preguntas que se formulan en lashojas de trabajo. Esto tiene un doble propsito. Por un lado, obliga a los alumnosa reflexionar sobre el procedimiento y el resultado que obtuvieron empleando lamquina y a sintetizar su experiencia para comunicarla; por otro lado, proporcio-na informacin al maestro acerca de la comprensin que los alumnos han alcan-zado de los conceptos matemticos involucrados en la tarea. Esta informacin esfundamental para que el maestro decida qu acciones pondr en prctica en lasclases sucesivas, y para que conozca y evale el progreso de sus alumnos.

La mayora de las actividades estn pensadas para que todo un grupo de estu-diantes las lleve a cabo durante las horas normales de clase. Al comenzar la sesinde trabajo el maestro cuidar que todos los equipos cuenten con las hojas de traba-jo necesarias para esa sesin y les pedir que las lean. Es importante que el maes-tro se cerciore de que los alumnos han entendido en qu consiste la actividad y quse espera que hagan. Si hay dudas al respecto, conviene leer la hoja de trabajofrente a todo el grupo y llegar a un consenso acerca de lo que en ella se plantea.

El laboratorio Emat

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Propsitos

Cul es el objetivo didctico de la hoja de clculo?

La hoja electrnica de clculo no se cre con un propsito educativo especfico,sin embargo, se ha encontrado que puede ser un gran apoyo para la enseanzade diversos temas de matemticas. Entre las ventajas que reporta el uso didcti-co de la hoja electrnica de clculo se pueden mencionar los siguientes:

Permite desarrollar conceptos matemticos importantes.Es posible disear una experiencia didctica para el aprendizaje de untpico particular.Permite plantear un problema matemtico para su solucin.Se puede construir un modelo matemtico y usarlo en la enseanza de lasciencias.Facilita la resolucin de problemas de la vida cotidiana (depsitos en ban-cos, compras en supermercados, etctera).

Cules son las ventajas especficas de una hojaelectrnica de clculo?

En primer lugar debe considerarse que permite hacer muchos clculos repetitivosde manera instantnea. Aunque una calculadora es una herramienta ms adecua-da para este propsito, la hoja de clculo tiene otras virtudes:

La situacin que queremos describir o el problema que debemos resolverpuede ordenarse en columnas; cada una de estas columnas representauna de las variables de la situacin.A cada columna se le puede asignar una cabeza o ttulo para no perderde vista qu cantidad o variable se est representando.Es posible designar cantidades especiales (parmetros) para que puedanvariarse fcilmente y observar su efecto.Permite el empleo de frmulas sencillas para relacionar las columnas o lasceldas subsecuentes.Pone a nuestro alcance tablas de valores y sus grficas correspondientes.

Hoja electrnicade clculoHoja electrnicade clculo

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Por lo anterior, la hoja de clculo facilita el planteamiento y la resolucin deuna amplia diversidad de problemas matemticos, aunque no de todos; es poresto que el profesor debe proporcionar a sus alumnos una amplia gama de recur-sos para solucionar situaciones con y sin la computadora.

Qu tipo de tcnicas matemticas aparecenal utilizar una hoja de clculo?

Si bien la hoja de clculo puede utilizarse para ensear casi cualquier tema, mu-chas veces el enfoque resulta diferente del usual, ya que las tcnicas para plantearun problema con y sin la hoja de clculo son distintas. Por ejemplo, una funcinlineal puede plantearse mejor en una hoja de clculo cuando se aborda con baseen sus cambios (lineal = cambios constantes). En general, el trabajo que se realizacon la hoja de clculo muestra que sta es una herramienta adecuada para laenseanza de las relaciones recursivas.

Otro tema que se adapta sin problemas a la hoja de clculo es el de las funcionesexponenciales, cuando se emplean para establecer un modelo de una situacin real.

Por supuesto, existen otras tcnicas y temas matemticos relevantes e importan-tes que se pueden abordar con la hoja electrnica de clculo, si bien no todosestn incluidos en nuestro programa de estudios.

Contenidos matemticos relacionadoscon la hoja de clculo

Uno de los objetivos primordiales de este proyecto de enseanza con tecnologaes que el alumno adquiera conocimientos y habilidades que le sean de utilidad noslo en materias de carcter cientfico y en estudios posteriores, sino tambin en suvida cotidiana.

En algunos pases se ha probado con xito un enfoque didctico conocidocomo modelacin matemtica. En ste, el alumno se enfrenta a problemas basa-dos en situaciones reales, y al resolverlos, se apropia de una serie de herramien-tas matemticas importantes. Como los conceptos, tpicos o mtodos matemti-cos forman parte de la resolucin de un problema real adquieren importancia yas se justifica su estudio. Todas las actividades de este libro se rigen por esaidea y pueden ser de gran utilidad para el aprendizaje de los estudiantes desecundaria, aun cuando no sean del tipo que tradicionalmente se ensean en elsaln de clase.

Matemticas con la hoja electrnica de clculo

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Temas

Las actividades para trabajar con la hoja de clculo electrnica estn organiza-das en tres grupos, los cuales se describen a continuacin.

Actividades bsicas. Se trata de 10 hojas de trabajo que introducen al alumnoen el manejo de la hoja electrnica de clculo, al mismo tiempo que se abordanalgunos tpicos matemticos importantes, con lo cual se inicia tambin el trata-miento de algunos contenidos de la asignatura.

Actividades expresivas. El objetivo de esta serie de actividades es que los estu-diantes construyan sus propias hojas de clculo al tiempo que abordan nuevostemas matemticos.

Actividades exploratorias. Se llam as al tercer grupo de hojas de trabajodebido a que los alumnos emplearn archivos previamente elaborados para ex-plorar diversos temas de la asignatura (el presente libro viene acompaado de unCD con los archivos respectivos).

Para qu necesito hojas de trabajo?

Las nuevas tecnologas requieren un acercamiento didctico diferente, basado enel alumno y su interaccin con las herramientas tecnolgicas. Las hojas de trabajoguan al alumno para que esta comunicacin sea lo ms provechosa posible y,algo muy importante, le transfieren la responsabilidad de su aprendizaje.

Las estrategias de enseanza que se plantean en este libro no se aplican slocuando se usan herramientas tecnolgicas, pues tambin reportan grandes benefi-cios en el aula tradicional.

El diseo de las hojas de trabajo?

Para disear una hoja de trabajo se considera el tema, el objetivo didctico que sepersigue y la herramienta computacional que se planea utilizar.

Con base en estas directrices, se estableci la secuencia para las hojas detrabajo del presente libro y su contenido. A continuacin se describe cada partede la secuencia con el fin de proporcionar al maestro una gua que permita dise-ar sus propias hojas de trabajo.

1. Se plantea una situacin problemtica en un contexto real. Esto ayuda alestudiante a encontrar el significado de lo que est aprendiendo.

Hoja electrnica de clculo

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2. Se formulan preguntas que ayudan a reflexionar sobre el problema. Estaspreguntas tienen como objetivo que el alumno entienda el problema plan-teado y que formule algunas expectativas y predicciones antes de trabajarcon la computadora.

3. Se pide al alumno que explore y resuelva el problema con la herramientacomputacional.

4. Se plantean preguntas sobre los resultados as como retos. Para que elalumno no se limite a realizar la actividad, conviene brindarle oportunida-des para que cuestione los resultados y exprese ideas relacionadas con elproblema (esto, por falta de espacio, no siempre se hace explcito en lahoja de trabajo, pero se debe considerar cada vez que se lleve a cabo unaactividad).

5. Discusin y conclusiones. Es importante que el alumno trate de extraer al-gunas conclusiones de la actividad y que las exponga ante el grupo parasu discusin. En este caso se puede guiar a los alumnos destacando loselementos ms importantes de la actividad.

6. Trabajo extra. Un grupo siempre es heterogneo y con frecuencia hay estu-diantes que terminan de trabajar rpidamente. Para ellos se propone al finalde cada actividad un trabajo extra. No se trata de que todos los alumnoslleven a cabo la actividad adicional, basta con que cubran el material bsico.

Como puede observarse, al inicio de la hoja de trabajo se dirige bastante alestudiante y ya al final se vuelve ms abierta para que tenga la posibilidad deexplorar sus ideas.

Se pueden disear ms hojas de trabajo?

Desde luego; para ello puede seguirse el modelo descrito en la seccin anterior.Sin embargo, se debe tener presente que disear hojas de trabajo no es sencillo yque una vez diseadas deben probarse y refinarse continuamente.

Es muy importante no abusar de la herramienta computacional que tenemos ala mano. No convendra por ejemplo, usar una hoja de clculo para hacer tres ocuatro operaciones, cuando una calculadora sera realmente lo apropiado en estecaso. La hoja de clculo es idnea, por ejemplo, para hacer clculos repetitivos.Debemos por tanto aprovechar las ventajas especficas que nos proporciona y noemplearla para cualquier situacin.

Para comenzar a ejercitarse en el diseo de actividades, el maestro puede usardos archivos: Rndmz.xls y HojaAlg.xls. incluidos en el CD que acompaa este libro.

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Los instructivos para emplearlos se encuentran en la seccin de anexos (vanse pp.153-156). Tras explorarlos, el maestro podr aprovechar el primer archivo paraabordar las situaciones aleatorias, mientras que el segundo le ser til para plan-tear temas algebraicos como las frmulas inversas y la composicin.

En qu orden debo aplicar las actividades?

Hay dos maneras: en la primera, si un alumno o un equipo ha concluido una activi-dad, se le da la siguiente y as, cada uno avanza con un ritmo propio. En la segundaopcin, el grupo entero trabaja con la misma actividad y cuando sta se da porconcluida, se pasa a la siguiente. La actividad concluye cuando la mayora de losestudiantes han terminado. Ambas formas de proceder tienen ventajas y desventa-jas, pero aqu recomendamos la segunda por las razones expuestas a continuacin.

El profesor debe preparar su clase con anterioridad para guiar a sus alumnosadecuadamente cuando stos tengan dudas y para prever dificultades que po-dran presentarse. Obviamente se requiere ms tiempo si se trabaja con variasactividades simultneamente, que si se emplea una a la vez.

Debe considerarse tambin que es ms difcil dirigir una clase si cada alumnoresuelve una actividad diferente. Pero independientemente de las dificultades queimplica esta opcin, quiz la ventaja ms importante de trabajar la misma actividadcon todo el grupo es que pueden retomarse las ideas importantes de los alumnospara comentarlas colectivamente. Este tipo de interaccin es muy valiosa porqueunos aprenden de las ideas de otros (el profesor en este caso tiene el papel de undirector de orquesta que armoniza todos los instrumentos sin que se le oiga).

Cmo debo proceder si algunos estudiantes se atrasan enlas actividades?

El profesor puede obviar, con los estudiantes atrasados, algunas de las actividadesen las que se retoman temas ya vistos para que estos alumnos logren alcanzar atodo el grupo. Sin embargo, hay que tener cuidado de que no se vaya a dejar sintocar algunas ideas relevantes.

Otra opcin conveniente es que los estudiantes adelantados realicen activida-des de enriquecimiento mientras los dems completan las actividades bsicas, so-bre todo cuando se est cerrando una unidad. Algunas de estas actividades deenriquecimiento ya se encuentran diseadas y representan el punto de partidapara que el profesor idee otras.

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Se deben corregir las hojas de trabajocontestadas por los alumnos?

Las hojas de trabajo no son cuestionarios. Las preguntas que incluyen tienen elobjetivo de guiar al estudiante y hacer que reflexione sobre las ideas que se estntratando.

Por otro lado, una respuesta correcta no significa necesariamente que el estu-diante haya entendido lo que est haciendo ni una respuesta errnea implica quehaya procedido de manera incorrecta. Lo importante es observar el trabajo de losalumnos en clase.

Cmo se evala el trabajo de los alumnos?

Como ya mencionamos, los 45 o 50 minutos de clase son los ms valiosos en elaprendizaje de los alumnos. Tambin es la mejor oportunidad del profesor paraevaluar a sus alumnos de una manera justa. As, sugerimos que sea la evaluacinvisual de las actividades diarias en el saln de clase la que le sirva para identificarlo que aprendieron los estudiantes y sus dificultades individuales.

Por otro lado, el profesor tiene que definir sus propias estrategias para que estaevaluacin, adems de serle til para conocer el nivel de sus estudiantes, le sirvapara asignar una calificacin a cada estudiante. Por ejemplo, al final de cadaclase puede asignar una clave (A = muy bien, B = bien, C = regular o D = deficien-te) para representar el desempeo de cada estudiante durante el da.

Todas las actividades sugeridas estn en el programade estudios?

Las actividades se basan en la modelacin, que consiste en resolver problemasrelacionados con la vida real aplicando las matemticas (desde luego, se puedenescoger aquellos problemas en los que aparece la matemtica que se desea ense-ar). Con este enfoque los diferentes tpicos de las matemticas se van relacionan-do y cubriendo de una manera global, al tiempo que adquieren sentido gracias aque forman parte de un problema real.

La mayora de las actividades estn relacionadas con los programas de estu-dios, sin embargo, la hoja de clculo los aborda desde una perspectiva diferente.Por ejemplo, las ecuaciones generalmente se tratan como una serie de tcnicasalgebraicas para manipular la expresin y finalmente para despejar la incgni-

Matemticas con la hoja electrnica de clculo

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ta. En una hoja de clculo el procedimiento implica la bsqueda y refinamientode los resultados. Hay que hacer nfasis que ambas formas son importantes y secomplementan.

Existen tambin varias actividades que no estn explcitamente mencionadasen el programa de estudios pero que por su importancia actual se han incluido.stas estn relacionadas con la recursividad, que junto con el uso de lascomputadoras ha cobrado una gran relevancia en la enseanza. Sugerimos in-cluir este tipo de actividades ya que uno de los objetivos generales de la materiade Matemticas es mostrar al estudiante la conexin de las matemticas con elmundo real.

Ejemplo de distribucin de actividades

No es necesario explicar a los estudiantes qu es una hoja de clculo y cmo funcio-na. Las mismas actividades los introducen poco a poco en el manejo de esta herra-mienta. De hecho, las Actividades bsicas, integradas por una serie de 10 hojasde trabajo, cumplen con este propsito.

Despus de que las Actividades bsicas hayan sido cubierta por los alumnos,se puede seleccionar cualquiera de las actividades que se encuentren en los otrosdos grupos: Actividades expresivas y Actividades exploratorias, dependiendode los temas especficos del programa que se deseen cubrir. Desde luego, es nece-sario determinar si los estudiantes cuentan con los conocimientos suficientes paratrabajar con cada actividad, si bien casi todas son bastante sencillas y no requie-ren de conocimientos previos.

Lo ideal es que el mismo profesor escoja la distribucin de las actividades deacuerdo con su programa de estudios. Aqu la flexibilidad puede ser la virtud msimportante. No siempre es necesario que el tema de la hoja de trabajo sea elpunto principal de la clase. La hoja de trabajo puede aprovecharse para introducirideas, como repaso o para presentar un enfoque diferente.

Aunque muchas hojas de trabajo aparentemente no tienen mucha relacincon el programa de estudios, pueden ser muy tiles para que los estudiantes re-flexionen sobre una amplia gama de temas matemticos.

Las hojas de trabajo estn diseadas con un contenido matemtico especfico,el cual est delineado por el ttulo de la misma. A continuacin, se encuentra unalista de las actividades incluidas, junto con su tema y su posible distribucin dentrode los tres aos escolares de secundaria (la secuencia puede cambiar o mantener-se de acuerdo con el criterio del profesor).

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Un paseo corto por una hoja de clculo

Introduciendo frmulas

Ms frmulas

Otra frmula conocida?

Comprando ropa (1)

Adivina la frmula

Invierte la frmula

Generando secuencias de nmeros

Comparando secuencias

Comprando ropa (2)

Aritmtica Divisibilidad 1

Sabes qu significa MCD? 1

Sabes qu significa mcm? 1

Porcentajes (1) 1 2

Descuentos y ms descuentos 1 2

Variacin proporcional (1) 1

Variacin proporcional (2) 1

Variacin proporcional (3) 1

Raz cuadrada y cbica 1 2

Prelgebra Ecuaciones (1) 1 2 3

Ecuaciones (2) 2 3

Ecuaciones (3) 2 3

Aritmtica Sabes qu es una razn? 1 2

Otro tipo de razones 1 2

Una investigacin con razones 1 2

Mquinas transformadoras 2 3

Prelgebra Nmeros consecutivos 2

Geometra y prelgebra Del permetro y el rea a los lados 2

lgebra Variacin lineal (1) 1 2 3

Variacin lineal (2) 1 2 3

Variacin lineal (3) 1 2 3

Lineales que caen 2 3

Nuevas ideas Ecuaciones explcitas vs. recursivas 3

Recursividad (1) 3

Recursividad (2) 3

Contenidos curriculares

Matemticas con la hoja electrnica de clculo

Los nmeros que aparecen del lado derecho corresponden al grado en el que se sugiererealizar la actividad.

23@

Aplicacin Pndulo 3

Trigonometra ngulo de elevacin y de depresin 3

lgebra y nuevas ideas Explosin demogrfica 3

Inflacin contra salario 3

Inters compuesto 3

Tiempos de duplicacin en el crecimiento compuesto 3

Probabilidad Construyendo dados 2 3

El problema del cumpleaos 3 3

Aritmtica Descomposicin en primos 1

Clculo del MCD y el mcm 1

Fracciones equivalentes 1

Geometra Polgonos regulares 1

Aritmtica Algoritmo de Euclides para calcular el MCD y el mcm 1

lgebra Analizando grficas de rectas 2 3

Sistema de dos ecuaciones 2

Ecuaciones diofantinas 2

Funciones cuadrticas 3

Probabilidad Simulacin con el modelo de urna (1) 2 3

Simulacin con el modelo de urna (2) 3

Simulacin con el modelo de urna (3) 3

Jugando con dados de tres caras 3

Tratamiento de informacin Chances 1 2

Probabilidad Anlisis de textos

Apuestas

Adivina qu est pasando

Por dnde saldr? 1 2 3

Situaciones aleatorias 1 2 3*

lgebra Frmulas inversas y composicin 3*

Descripcin de archivos Descripcin del archivo FactPrim.xls

Descripcin del archivo HojaAlg.xls

Descripcin del archivo Rndmz

Exmenes Examen: Hoja de clculo. Primer grado

Examen: Hoja de clculo. Segundo grado

Examen: Hoja de clculo. Tercer grado

* Esta actividad deber disearla el profesor.

Hoja electrnica de clculo

24@

Las hojas de trabajo

En las pginas siguientes se incluyen las hojas de trabajo que el maestro puedeusar con sus alumnos para trabajar problemas de aritmtica, prelgebra y lge-bra. Las hojas estn agrupadas en Actividades bsicas, Actividades expresivasy Actividades exploratorias.

Antes de empezar el trabajo en el laboratorio Emat es conveniente que el maes-tro lea a todo el grupo el texto Estudiantes: Bienvenidos a Emat!. El propsito deesta lectura es contestar algunas de las preguntas que suelen inquietar a los alum-nos al empezar esta nueva manera de trabajar.

Como se observar, en las actividades exploratorias se menciona entre parn-tesis algunos archivos de Excel que es necesario copiar en las computadoras queusarn los alumnos. Para tener acceso a estos archivos entre al CD que acompaaal libro y haga clic en ACTIVIDADES.

Matemticas con la hoja electrnica de clculo

25@

Estudiantes:Bienvenidos a Emat!Estudiantes:Bienvenidos a Emat!

B ienvenidos a Emat (Enseanza de las Matemticas con Tecnologa). A partirde hoy muchas de las clases de Matemticas se desarrollarn en este labo-ratorio. Como podrn observar, en el laboratorio Emat hay varias compu-tadoras y calculadoras. Trabajarn con unas u otras dependiendo del tema de estudio.

Cmo se trabaja en un laboratorio Emat?

En el laboratorio Emat el modo de trabajo es algo distinto al acostumbrado. Esto senotar ms todava cuando se requiera el uso de las computadoras.

Se formarn equipos de dos o tres compaeros para que juntos resuelvan, conayuda de la computadora, las actividades que se propongan. A cada equipo se leentregar una hoja de trabajo en la que vendr detallada la actividad en cuestin.Ser necesario entonces que cada equipo lea con cuidado la hoja de trabajo y ladiscuta hasta entender bien qu se espera de todos. Una vez entendida la activi-dad, los equipos decidirn la estrategia que seguirn para resolverla. Es muy im-portante que cada uno de los miembros del equipo participe y tenga en algnmomento acceso al teclado y al manejo del ratn.

Quin me puede ayudar?

Cuando necesiten ayuda para entender bien de qu trata la actividad o para sa-ber cmo se maneja la computadora o la calculadora, pueden recurrir a otroscompaeros o al maestro. Lo importante al trabajar en el laboratorio Emat es com-prender la actividad y realizarla. Es irrelevante si tu equipo trabaja ms rpido oms lento que los dems. No se trata de competir ni de ganar, se trata de aprender.

Cmo trabajar en el laboratorio?

Para que los alumnos trabajen de manera provechosa en el laboratorio Emat, unequipo de expertos ha diseado una serie de actividades matemticas que podrndesarrollar usando la computadora o la calculadora y poniendo en juego sus co-

26@

nocimientos matemticos anteriores; as aprendern conceptos matemticos nue-vos. Las actividades se presentan en hojas de trabajo. Tendrn que leer las hojasde trabajo con cuidado, discutirlas en equipo y contestar las preguntas que all seformulan. Discutan con el maestro y los dems compaeros los resultados queobtengan en el equipo. Si resulta que al trabajar la misma actividad, otros compa-eros llegan a resultados distintos, traten de entender por qu; quiz se trate deresultados equivalentes o tal vez alguien cometi un error. Si esto ltimo ocurre, nohay que avergonzarse, pues de los errores podemos aprender mucho. Lo que sedebe hacer es analizar de nuevo el problema, entender dnde se cometi el errory corregirlo.

Cul es el papel del maestro?

En el laboratorio Emat no cambia slo la manera de trabajar de los alumnos,cambia tambin el papel del maestro. La funcin del maestro ya no ser la de darla clase, sino la de coordinar el trabajo del grupo y dar seguimiento al trabajo decada equipo auxilindolo cuando lo necesite. El maestro se vuelve entonces uncompaero experto que ayuda a los alumnos en su proceso de aprendizaje.

Cmo se evaluar el trabajo?

En el laboratorio Emat el maestro tomar en cuenta varios elementos. Considerarla participacin de cada quien en el equipo de trabajo as como las discusiones degrupo. Tambin valorar la constancia y el empeo que pongan en realizar lasactividades. De vez en cuando aplicar algn examen individual para ver qutanto han aprendido.

Cmo cuidar el equipo?

Finalmente queremos llamar la atencin sobre el cuidado que hay que tener almanejar el equipo del laboratorio Emat. Se trata de un equipo muy costoso que vaa ser usado por muchos compaeros. Al mismo laboratorio acudirn alumnos dedistintos grados y todos deben usarlo con provecho y cuidarlo. No hay que maltra-tar el teclado ni la pantalla de las computadoras y se debe manejar el ratn concuidado, evitando que caiga al suelo.

Matemticas con la hoja electrnica de clculo

Actividadesbsicas

Actividadesbsicas

Actividadesbsicas

Actividadesbsicas

28 a c t i v i d a d e s b s i c a s@

El objetivo de esta actividad es que te familiarices con la hoja electrnica de clculo.En las celdas de una hoja de clculo puedes introducir:

Texto:Escribe la palabra Nombre en la celda A1 (para confirmar oprime la teclaRETURN).Escribe tu nombre en la celda B1.Escribe la palabra Fecha en la celda F1.Escribe la fecha de hoy en la celda G1.

Nmeros:Escribe un 8 en la celda C9.Escribe un 9 en la celda D11.Escribe un 7 en la celda E10.

Expresiones aritmticas (para que la hoja calcule expresiones aritmticas, debesescribirlas empezando con el signo igual):Escribe = 7 * 2 8 en la celda E9 y observa el resultado. Coloca nuevamente el

cursor en esta celda y fjate en la expresin que escribiste en la barra CONTENIDO de lahoja de clculo.

Escribe = 9 2 * 2 en la celda D10 y verifica el resultado.Escribe = (9 2) * 2 10 en la celda C11 y observa el resultado.

Frmulas algebraicas (para escribir frmulas tambin debes comenzar con el sig-no igual):

Escribe = C9 5 en la celda C10. Explica el resultado:

Escribe = D10 4 en la celda D9. Explica el resultado:

Escribe = C11 / 2 en la celda E11. Explica el resultado:

Por ltimo, escribe Cuadrado mgico en la celda D7. Coloca el texto en el centro dela celda presionando el icono CENTRAR.

Para revisar si tu cuadrado mgico es correcto, suma cualquier columna o fila. Elresultado de la suma siempre deber ser 15. Tambin debes obtener 15 como resultadosi sumas cualquiera de las dos diagonales.

Nombre Edad

Escuela Fecha

n paseo corto por una hojade clculon paseo corto por una hojade clculo

UU

29a c t i v i d a d e s b s i c a s @

Digamos que en una panadera el pan dulce se vende a $1.75 la pieza, y para calcu-lar el costo de las piezas vendidas se usa la siguiente frmula:

= A2 * 1.75

Escribe la frmula en la celda B2. Oprime RETURN.

En la celda B2 aparece el valor 5.25. Sabes por qu? Si tu respuesta fue afirmati-va, ya ests listo para vender pan dulce. Cambia el nmero 3 en la celda A2 por el 8.

Cunto hay que pagar por 8 piezas de pan dulce?

Cunto hay que pagar por 12 piezas de pan dulce?

Una persona va a comprar pan dulce para una fiesta con un billete de $100.

Cuntas piezas puede comprar?

(Cambia paulatinamente el nmero de la celda A2 hasta que en la celda B2 teaproximes al 100, pero sin rebasar dicho nmero.)

Supn ahora que el precio de la pieza de pan dulce sube a $2.25. Cambia lafrmula en la celda B2 por la correcta en esta nueva situacin.

Cunto hay que pagar por 12 piezas de pan dulce?

Cuntas piezas se pueden comprar como mximo con $100?

Piensa ahora que ests en el ao 2010. Sin que vea tu compaero, cambia el preciode la pieza de pan dulce en tu hoja de clculo de acuerdo con esta nueva situacin.

ntroduciendo frmulasntroduciendo frmulas

Nombre Edad

Escuela Fecha

A B C

1 PIEZAS A PAGAR

2 3 = A2 * 1.75

3

4

II

30 a c t i v i d a d e s b s i c a s@

Introduciendo frmulas

Pdele a tu compaero que adivine la frmula que pusiste en la celda B2 variando elcontenido de la celda A2 (est prohibido que escriba el nmero 1 en esta celda).

Frmula:

Inviertan los papeles. Ahora tu compaero debe escribir la frmula para que t laadivines.

Frmula:

Guarda esta hoja de trabajo hasta el ao 2010 para ver quin de los dos tenarazn.

31a c t i v i d a d e s b s i c a s @

El resultado es 110 cm.

Escribe ahora tu edad en la hoja de clculo.

Qu estatura obtuviste al aplicar la frmula?

Cul es tu estatura real?

Explica la diferencia:

Con la frmula de arriba es posible determinar la estatura promedio de nios cuyaedad es de entre 5 y 15 aos. Introduce en la hoja de clculo varias edades diferentesy valora los resultados que obtengas.

De acuerdo con la frmula contesta las siguientes preguntas:

Cul es la estatura en centmetros de un adulto de 63 aos de edad?

Nombre Edad

Escuela Fecha

La siguiente frmula relaciona la edad de un nio con su estatura.

estatura = 5 * edad + 85

Para calcular la estatura, se debe multiplicar la edad por 5 y sumarle 85.En una hoja de clculo como la siguiente, escribe en la celda B2 la frmula

= 5 * A2 + 85

para calcular la estatura de un nio de 5 aos (celda A1).

s frmulass frmulas

A B C

1 EDAD ESTATURA

2 5

3

4

MM

32 a c t i v i d a d e s b s i c a s@

Ms frmulas

A cuntos metros equivale?

Como puedes apreciar, la frmula no es vlida para personas adultas.

Una frmula vlida para nios de Estados Unidos es:

estatura = 6 * edad + 80

Cunto debe medir un nio de 5 aos en los Estados Unidos?

Cul es la estatura promedio de nios de tu edad en los Estados Unidos?

33a c t i v i d a d e s b s i c a s @

Conoces las siguientes frmulas?

distancia = velocidad * tiempo

tiempo = distancia / velocidad

En esta actividad usars la segunda para realizar algunos clculos.

Supn que un coche sale de la ciudad de Mxico y se dirige a Acapulco. Si lavelocidad promedio del coche es de 100 km/h y Acapulco se encuentra a 400 km dedistancia, cunto tiempo tardar en realizar este recorrido? Para encontrar la respues-ta llena una hoja de clculo como la siguiente:

Escribe en la celda C2 la frmula = A2/B2. El resultado debe ser de 4 horas.

Cunto tiempo tardar en realizar el mismo recorrido un camin que se mueve a 60

km/h? Esto equivale a: horas y minutos.os.

La distancia entre la ciudad de Mxico y Mrida es de 1560 km.

Cunto tardar el mismo camin en realizar este recorrido?

La distancia entre la ciudad de Mxico y Mexicali es de 2760 km. Si un cochequiere hacer este recorrido en 24 horas exactamente, qu velocidad promedio debemantener? (Sugerencia: Inserta esta distancia en tu hoja de clculo y vara el valor de lavelocidad hasta que obtengas 24 horas en la columna tiempo.)

Nombre Edad

Escuela Fecha

OO

A B C

1 DISTANCIA VELOCIDAD TIEMPO

2 400 100

3

4

tra frmula conocida?tra frmula conocida?

34 a c t i v i d a d e s b s i c a s@

omprando ropaomprando ropa

Si una mam compra para sus tres hijos 6 camisas y cada una tiene un precio de$71.00, cul es el costo total de las 6 camisas?

En la siguiente hoja de clculo se registran los artculos que compr esta seora, consus respectivas cantidades y precios. Completa la hoja calculando el costo total decada tipo de prenda. Para ello, sigue estas instrucciones:

En la celda D2 escribe la frmula para calcular el costo de las camisas compradas,esto es:

= B2 * 71.00

En la celda D3 escribe la frmula para calcular el costo de las playeras, esto es:

= B3 * 31.50

En la celda D9 escribe la frmula para calcular el costo total, esto es:

= D2 + D3 + D4 + D5 + D6 + D7

A partir de la celda D4 sigue escribiendo frmulas similares a las anteriores quecalculen el costo de cada uno de los artculos restantes.

Tu total debe ser de $1 787.00. Si no es as, revisa tu trabajo o compralo con el dealguno de tus compaeros y realiza las correcciones pertinentes.

Nombre Edad

Escuela Fecha

A B C D

1 ARTCULO CANTIDAD PRECIO COSTO

2 Camisa 6 71.00

3 Playera 3 31.50

4 Falda 2 123.00

5 Pantaln 4 168.50

6 Shorts 6 39.90

7 Calcetines 9 11.90

8

9 TOTAL

CC

35a c t i v i d a d e s b s i c a s @

Ahora considera la siguiente lista de artculos:

Introdcelos en tu hoja de clculo para obtener el total que se debe pagar.Si slo se compraran 2 camisas y 3 faldas, cunto se tendra que pagar?Pdele a un compaero que complete la siguiente tabla como desee:

Introduce las nuevas cantidades en tu hoja de clculo para que sepas cunto debe-ras pagar si hicieras esa compra.

Considera que, para el ao siguiente, el precio de cada artculo subir como seindica en la tabla siguiente:

Introduce estos datos en tu hoja de clculo. Calcula el nuevo total que la primeraseora tendr que pagar si compra las mismas cantidades de ropa para sus treshijos. Nota que vas a tener que cambiar la columna C (precios) y tambin las frmu-las de la columna D, ya que stas contienen los precios anteriores.

Comprando ropa

ARTCULO CANTIDAD

Camisa 3

Playera 3

Falda 1

Pantaln 2

Shorts 3

Calcetines 6

ARTCULO CANTIDAD

Camisa

Playera

Falda

Pantaln

Shorts

Calcetines

ARTCULO CANTIDAD

Camisa 88.00

Playera 43.00

Falda 150.00

Pantaln 195.00

Shorts 49.50

Calcetines 16.50

36 a c t i v i d a d e s b s i c a s@

Observa la siguiente tabla.

El nmero 7 resulta de escribir la frmula = A2 + 4.

Ahora, sin que tu compaero vea, escribe un nmero en la celda A2 y una frmulaen la celda B3. Puedes emplear cualquier operacin para tu frmula, por ejemplo:

= A2 5, = A2 * 3,

= A2 / 4, etctera.

Pide a tu compaero que adivine la frmula cambiando el nmero de la celda A2.Una vez que la haya adivinado, dile que la escriba en la celda C3, para comprobarque las frmulas son iguales.

La frmula de tu compaero es igual a la que t pensaste? Escribe aqu la frmula:

Intercambien ahora los papeles: tu compaero escribir la frmula y t la adivinars.

Escribe aqu la frmula:

Repitan una vez ms el juego. Escriban a continuacin las frmulas:

divina la frmuladivina la frmula

Nombre Edad

Escuela Fecha

AA

A B C

1

2 3

3 7

4

37a c t i v i d a d e s b s i c a s @

Escribe un nmero en la celda A2 y una frmula en la celda B3. Ensale a tucompaero la frmula y pdele que escriba una frmula en la celda C2 que inviertala accin de la frmula que aparece en B3; es decir, el resultado de la celda C2siempre debe ser igual al valor que aparece en A2.

Observa el ejemplo siguiente:

Para obtener el 7 de la celda B3 se escribi la frmula = A2 + 4. Para invertir estafrmula, en C2 se escribi = B3 4. As se obtuvo el 3 en C2, cuyo valor es igual queen A2. Si cambias el valor en A2, cambiar en C2.

A continuacin, escribe una frmula en B3, y en C2 la frmula que invierta suaccin. Despus llena la tabla siguiente:

Para terminar, regresa a la actividad Adivina la frmula (p. 16), pero ahora pidea tu compaero que encuentre frmulas con dos operaciones como las siguientes:

= 2 * A2 + 1,

= 3 * A2 2, etctera.

nvierte la frmulanvierte la frmula IINombre Edad

Escuela Fecha

A B C

1

2 3 3

3 7

4

FRMULA FRMULA QUE LA INVIERTE

38 a c t i v i d a d e s b s i c a s@

*Pide a tu maestro que te explique cmo copiar hacia abajo la frmula que pusiste en A2.

Escribe un 4 en la celda A1 y en la celda A2 la frmula: = A1 + 1. Tu hoja debe versecomo sigue:

En la celda A3 debes tener el valor 6 y la frmula: = A2 + 1.En la celda A4 debes tener el valor 7 y la frmula: = A3 + 1.

Si esto es as, qu frmula debes tener en la celda A5? Compara tu frmula con lade tu hoja.

Cambia ahora el 4 de la celda A1 por el nmero 15 y observa lo que pasa. Qu

secuencia obtienes ahora en la columna A?

Qu haras para obtener la secuencia 100, 101, 102, 103 en la columna A?

Hazlo.

Escribe el nmero 100 en la celda B1. En la celda B2 escribe una frmula que te dcomo resultado el nmero 99. Cpiala hacia abajo para que obtengas en la columna Bla secuencia 100, 99, 98, 97 Tu hoja debe verse como sigue:*

A B C

1 100 100

2 101 99

3 102 98

4 103 97

Nombre Edad

Escuela Fecha

A B C

1 4

2 5

3

4

GG enerando secuencias de nmerosenerando secuencias de nmeros

39a c t i v i d a d e s b s i c a s @

Construye en la columna C la secuencia 1, 3, 5, 7 Recuerda que en C1 debesponer el primer nmero, en C2 la frmula que te d el segundo nmero y despuscopiarla hacia abajo.

Despus construye las siguientes secuencias:

En la columna D: 10, 5, 0, -5 En la columna F: 40, 20, 10, 5, 2.5

En la columna E: 1, 2, 4, 8, 16 En la columna E: 5, -5, 5, -5, 5

Discute con el resto del grupo si una frmula cambia o no cuando se copia haciaabajo.

Generando secuencias de nmeros

40 a c t i v i d a d e s b s i c a s@

Extiende tu tabla hasta la semana 52 (un ao) y contesta las siguientes preguntas:

En qu semana la cantidad de la segunda opcin ser igual a la de la primera?

Cunto tendra que darte tu pap en la semana 26 (despus de medio ao) si

hubieras escogido la segunda opcin?

Cunto tendra que darte en esta misma opcin en la semana 30?

Crees que pueda seguirte pagando tu semana?

En una secuencia aritmtica se suma un nmero fijo al valor anterior para obtener elsiguiente. En una secuencia geomtrica se multiplica el valor anterior por un nmero fijopara obtener el siguiente.

Cul de las secuencias de arriba es geomtrica y cul es aritmtica?

Piensa en el siguiente problema: Tu pap te ofrece dos opciones para tu gasto semanal.En la primera, te dar 100 pesos para empezar y cada semana incrementar 100pesos a la cantidad inicial. En la segunda opcin, te dar un centavo para empezar,aunque promete que cada semana te dar el doble de la semana anterior. Cul de lasdos opciones escogeras?

Para averiguar cul es la mejor eleccin, construye la siguiente hoja de clculo usan-do frmulas en la fila 3 para generar las tres series.

Nombre Edad

Escuela Fecha

A B C

1 SEMANA 1A OPCIN 2A OPCIN

2 1 100 0.01

3 2 200 0.02

4 3 300 0.04

CC omparando secuenciasomparando secuencias

41a c t i v i d a d e s b s i c a s @

Clasifica las secuencias de la actividad Generando secuencias de nmeros(pp. 38-39) como aritmticas o geomtricas.

Aritmticas:

Geomtricas:

En las lneas de abajo, inventa tres secuencias aritmticas y tres secuencias geomtricas:

Comparando secuencias

42 a c t i v i d a d e s b s i c a s@

omprando ropa (versin avanzada)omprando ropa (versin avanzada)

Usa una hoja de clculo para obtener el costo de tres uniformes escolares, dos denias y uno de nio. En la celda D2 escribe una frmula que calcule el costo totalde cada rubro, multiplicando el costo unitario por la cantidad. Copia esta frmula enlas celdas de abajo. En la celda D9 escribe una frmula para calcular el costo total.

Usa esta hoja para calcular el costo total de las siguientes ventas:

a) 2 camisas, 3 playeras, 1 falda, 1 pantaln, 2 shorts y 4 pares de calcetines.

b) 5 camisas, 2 playeras, 3 faldas, 2 pantalones y 6 pares de calcetines.

Si tuvieras 600 pesos para gastar en el uniforme de la escuela y debes comprar porlo menos 1camisa, 1playera, 1pantaln, 1short y un par de calcetines, de cuntasmaneras diferentes puedes aprovechar tus 600 pesos? Usa tu hoja para encontrarlas.

Acabas de enterarte de que todos los precios aumentaron 8%, cmo afecta esto a

tus respuestas a las preguntas anteriores?

A B C D

1 ARTCULO COSTO UNITARIO CANTIDAD COSTO

2 Camisa 71.90 3

3 Playera 31.90 3

4 Falda 123.90 2

5 Pantaln 168.00 1

6 Shorts 39.90 3

7 Calcetines 11.90 3

8

9 TOTAL

Nombre Edad

Escuela Fecha

CC

Actividadesexpresivas

Actividadesexpresivas

Actividadesexpresivas

Actividadesexpresivas

a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@44

Cmo podemos saber si el nmero 1232 es divisible entre 2, 3, 4? Recuerda quedivisible significa que el resultado de la divisin es un nmero entero. Hay criteriosque nos ayudan a determinar esto sin tener que efectuar las divisiones. Sin embargo,como veremos en esta actividad, con una hoja de clculo apropiada, estas operacio-nes resultan automticas.

Construye una hoja de clculo como la siguiente e introduce en la segunda columnalas frmulas apropiadas; por ejemplo: = B1/2, = B1/3 y as hasta llegar a la divisinentre 12.

Entre qu nmeros result divisible el 1232?

Entre qu nmeros es divisible el 2311?

Entre qu nmeros es divisible el 2 520?

Busca un nmero que sea divisible entre los primeros 12 nmeros.

Cul encontraste? Verifcalo en tu hoja de clculo.

Aritmtica

A B C

1 Nmero (N) 1232

2 N entre 2 616

3 N entre 3 410.6666666

4 N entre 4 308

5 N entre 5 246.4

6 N entre 6 205.3333333

7 N entre 7 176

8 N entre 8 154

9 N entre 9 136.8888888

10 N entre 10 123.2

11 N entre 11 112

12 N entre 12 102.6666666

Nombre Edad

Escuela Fecha

DD ivisibilidadivisibilidad

a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @45

Escribe el nmero 72 en la celda B1 para obtener su divisibilidad. Observa que elnmero en B4 es el doble del que est en B8.

Por qu? Ser cierto esto para cualquier nmero?

Encuentra cinco relaciones ms, como la anterior, de dobles y triples entre los nme-

ros en la columna B y explica por qu.

Para cada situacin encuentra un nmero que sea divisible:

Entre 2 pero no entre 4

Entre 4 pero no entre 8

Entre 4 pero no entre 2

Entre 8 pero no entre 4

A qu conclusiones llegaste?

Para cada situacin encuentra un nmero que sea divisible:

Entre 3 pero no entre 6

Entre 2 pero no entre 6

Entre 6 pero no entre 3

Entre 6 pero no entre 2

Si un nmero es divisible entre 6, debe ser divisible entre y

Divisibilidad

a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@46

En esta actividad descubrirs el significado de estas tres letras. Para ello, analiza elsiguiente problema.

El dueo de una tienda tiene 56 cuadernos y quiere hacer paquetes para venderlosal mayoreo. Todos los paquetes deben tener el mismo nmero de cuadernos y no debesobrar ninguno.

Puede hacer paquetes de 4 cuadernos sin que sobren?

Cuntos paquetes hara?

Puede hacer paquetes de 7 cuadernos sin que sobren?

Cuntos paquetes hara?

Puede hacer paquetes de 5 cuadernos sin que sobren?

Cuntos paquetes hara?

Primero conviene averiguar todas las posibilidades de empacar los cuadernos. Paraesto, construye una hoja de clculo como la siguiente.

Qu frmula se puede usar para obtener los nmeros de la columna B?

Como puedes observar, es posible hacer paquetes de 2 y 4 cuadernos sin que sobreninguno. Existen otras cinco posibilidades.

Extiende tu tabla para obtenerlas y anota cules son.

AritmticaSabes qu significa MCD?Sabes qu significa MCD?

Nombre Edad

Escuela Fecha

A B C D

1 CUADERNOS TOTALPOR PAQUETE DE PAQUETES

2 2 28

3 3 18.6666666

4 4 14

5 5 11.2

a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @47

Los siete nmeros que resultan son divisores (D) de 56?

Supn ahora que una sucursal de la tienda en cuestin tiene 80 de esos cuadernosy tambin quiere agruparlos en paquetes. Utiliza la columna C para calcular el nmerode paquetes resultante para este caso (toma en cuenta los cuadernos por paquete de lacolumna A).

Anota cuntas posibilidades hay de formar paquetes con los cuadernos de la segun-

da tienda:

Estos nueve nmeros son divisores (D) de 80?

El dueo de las tiendas ha resuelto que en ambas se vendan paquetes con el mismo

nmero de cuadernos. De las posibilidades que tiene cada una, cules son las tres que

tienen en comn?

Estos tres nmeros son los divisores (D) comunes (C) de 56 y 80.Como tienen tres posibilidades, deciden escoger la mayor de ellas. Es decir, ambas

tiendas forman paquetes de 8 cuadernos. Este nmero es el mximo comn divisor (MCD)de 56 y 80.

Considera ahora el siguiente problema.Un obrero trabaj tres veces en una construccin. En cada oportunidad trabaj una

cantidad de das diferente, y le pagaron, respectivamente, $728, $1560 y $3 900.Si quiere saber cul fue su salario diario, qu puede hacer para averiguarlo? Cons-

truye una hoja de clculo para encontrar la respuesta.

El nmero que encontraste, es el MCD de 728, 1560 y 3900?

Sabes qu significa MCD?

A B C D

1 SALARIO? PRIMER PAGO SEGUNDO PAGO TERCER PAGO

2 1 728 1560 3 900

3 2 364 780 1950

4 3 242.66666 520 1300

5 4 182 390 975

6 5 145.6 312 780

a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@48

Para averiguarlo, analiza el siguiente problema.Se busca poner en funcionamiento una estacin con tres trenes: uno cubrir el

norte de la ciudad (tren N), otro el sur (tren S) y el tercero el este (tren E). Los recorri-dos durarn, respectivamente, 28, 36 y 45 minutos y se realizarn una y otra vezdurante 24 horas. Los encargados de la planeacin desean saber en qu momentolos tres trenes estarn de nuevo en la estacin si todos inician su primer recorrido a lamisma hora.

El tren N regresar a la estacin despus de 28 minutos en su primera vuelta. Regre-

sar otra vez a los 56 minutos, a los minutos, a los 112 minutos, etctera.

El tren S regresar a la estacin despus de minutos en su primeraa

vuelta, a los minutos en su segunda vuelta, a los minutos en

su tercera vuelta, etctera.

El tren E regresar a la estacin despus de minutos en su primeraa

vuelta, a los minutos en su segunda vuelta, a los minutos en

su tercera vuelta, etctera.

Como puedes observar, los minutos que tarda en regresar cada tren son los mltiplosde su tiempo de recorrido. Para resolver el problema planteado construye una hoja declculo como la siguiente.

Qu formula se us para la columna B?

Qu formula se us para la columna C?

Qu formula se us para la columna D?

Aritmtica

Nombre Edad

Escuela Fecha

Sabes qu significa mcm?Sabes qu significa mcm?

A B C D

1 VUELTAS TREN N TREN S TREN E

2 1 28 36 45

3 2 56 72 90

4 3 84 108 135

a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @49

Extiende tu tabla hasta donde sea necesario para contestar las preguntas siguientes:

Despus de cuntos minutos coinciden en la estacin los trenes N y S?

Cuntas vueltas dio cada uno en el momento de coincidir?

Cul es el siguiente tiempo en el que pasa esto otra vez?

En qu momento sucede de nuevo?

Cul es el mnimo comn mltiplo (mcm) de 28 y 36?

Despus de cuntos minutos coinciden en la estacin los trenes N y E?

Cuntas vueltas dio cada uno en el momento de coincidir?

En qu minuto se vuelven a encontrar?

Y despus?

Cul es el mnimo comn mltiplo (mcm) de 28 y 45?

Despus de cuntos minutos coinciden en la estacin los trenes S y E?

Cuntas vueltas lleva cada uno?

Cul es el siguiente minuto en el que coinciden otra vez?

En qu minuto vuelve a ocurrir esto?

Y despus en qu momento vuelven a coincidir?

Cul es el mnimo comn mltiplo (mcm) de 36 y 45?

Despus de cuntos minutos coinciden en la estacin los tres trenes?

(Asegrate de que tu resultado equivalga a 21 horas).

Cuntas vueltas ha dado cada uno?

Cul es el mnimo comn mltiplo (mcm) de 28, 36 y 45?

Pide a tu profesor que te d otro problema de mnimo comn mltiplo para que loresuelvas en otra hoja de clculo.

Sabes qu significa mcm?

a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@50

orcentajes (1)orcentajes (1)

Una tienda ofrece 30% de descuento en todos sus artculos. Construye una hoja declculo que aplique este descuento a cada artculo de una lista de compras.

Calcula el descuento para una camisa de 90 pesos.Multiplica 90 x 0.3.

Qu observas?

Calcula ahora el descuento para un pantaln de 140 pesos.Construye la siguiente hoja de clculo, introduciendo las frmulas correctas en las

columnas C y D. Una vez que verifiques tus resultados con los valores dados, cambia atu gusto los cinco artculos y sus precios.

Imagina ahora que en el departamento de ropa se ofrece 40% de descuento, en elde comestibles 20%, y en el departamento de deportes y juguetes 35%. Construyeuna hoja de clculo para obtener los descuentos de seis artculos, dos de cada depar-tamento, y el total a pagar.

Copia tu hoja de clculo en la tabla siguiente:

Aritmtica

Nombre Edad

Escuela Fecha

PP

A B C D E F

1 ARTCULO DEPARTAMENTO PRECIO DESCUENTO PRECIO FINAL

2

3

4

5

6

7 TOTAL A PAGAR

A B C D E

1 ARTCULO PRECIO 30% DE DESCUENTO PRECIO FINAL

2 Camisa 90 27 63

3 Pantaln 140 42 98

4 C. D. 110 33 77

5 Pan 24 7.20 16.80

6 Queso 65.50 19.65 45.85

7 300.65 TOTAL A PAGAR

a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @51

escuentos y ms descuentosescuentos y ms descuentos

Si se aplica un descuento extra de 30% despus de haber aplicado uno de 20%, qu

descuento total se obtiene?

En esta actividad estudiars situaciones de este tipo y posiblemente te sorprenderscon los resultados.

Empecemos con la situacin de un solo descuento.*

En las celdas C2 y D2 de la hoja de clculo escribe las frmulas para determinar lacantidad descontada y el precio con descuento, de acuerdo con los datos de las celdasA2 y B2 (recuerda que para hacer clculos, 20% se escribe 0.2).

Prueba tu hoja poniendo cantidades con las que puedas calcular el resultadomentalmente.

Si el precio original de un coche es de $82 000.00 y los vendedores ofrecen 13%

de descuento, cul es el precio final?

Un traje con 30% de descuento vale $875.00. Cul era el precio original?Hay dos maneras de averiguarlo: la primera consiste en tratar de adivinar el precionormal hasta llegar al precio con descuento. La segunda es construir otra hoja de clcu-lo que realice esta conversin:

Precio con descuento Precio normal

Usa por lo pronto el primer mtodo. El segundo queda como tarea.

Pasemos ahora a agregar un descuento adicional. Para ello observa la siguientehoja de clculo. Tienes que trasladar el precio con descuento a la celda B5 con unafrmula. Introduce las frmulas apropiadas en las celdas C5 y D5.

* Si tienes dificultad para escribir textos largos en las celdas consulta a tu profesor.

Aritmtica

Nombre Edad

Escuela Fecha

DD

A B C D E

1 PORCENTAJE DE PRECIO CANTIDAD PRECIO CONDESCUENTO NORMAL DESCONTADA DESCUENTO

2 0.2 250.00 50.00 200.00

3

a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@52

Descuentos y ms descuentos

Cambia ahora el precio normal a $100.00. En la columna Precio con descuento elresultado debe ser $80.00 y en Precio con descuento extra debe ser $56.00.

Cul fue entonces el descuento total?

Cul ser el descuento total si se aplica primero un descuento de 50% y al precio

con descuento se le aplica otro 50%?

Un padre de familia tiene que pagar $1500 de colegiatura. La escuela le otorga25% de descuento y despus su hijo recibe una beca que representa 20% de lacolegiatura. La escuela afirma que debe pagar $900, pero l dice que slo debepagar $825. Explica cmo llegaron cada uno a estas cantidades y discute quin tienela razn.

Infiere en algo si primero se aplica el descuento que corresponde al porcentaje de

la beca y despus el descuento que otorga la escuela?

A B C D E

1 PORCENTAJE DE PRECIO CANTIDAD PRECIO CONDESCUENTO NORMAL DESCONTADA DESCUENTO

2 0.2 250.00 50.00 200.00

3

4 PORCENTAJE PRECIO CON CANTIDAD PRECIO CONEXTRA DESCUENTO EXTRA DESCUENTO

DE DESCUENTO DESCONTADA EXTRA

5 0.3 200.00 60.00 140.00

a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @53

La cantidad de dlares y su equivalente en pesos, as como la distancia recorrida por uncoche y el tiempo que tarda en recorrerla son cantidades relacionadas. A continuacinse abordar este tema.

Pensemos primero en la situacin en la que un dlar se puede cambiar por 8 pesos.

A cuntos pesos equivaldran 2 dlares?

A cuntos pesos equivaldran 4 dlares?

A cuntos pesos equivaldran 5 dlares?

Construye una hoja de clculo relacionando estas dos cantidades.

La frmula de A3 es = A2 + 1.

La frmula de B2 es = 8 * A2.

Escribe ahora la frmula de la celda B3.

Escribe la frmula de la celda B6.

En general podemos escribir: columna B = factor * columna A

Cul es el factor en el ejemplo anterior?

Piensa ahora en un coche que va a una velocidad constante de 80 km/h. Las doscantidades que consideraremos son la distancia recorrida (d) y el tiempo que tarda enrecorrerla (t).

A B

1 CANTIDAD DE DLARES CANTIDAD DE PESOS

2 1 8

3 2 16

4 3 24

5 4 32

6 5 40

Aritmtica

Nombre Edad

Escuela Fecha

VV ariacin proporcional (1)ariacin proporcional (1)

a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@54

Variacin proporcional (1)

Qu distancia recorri en 2 horas?

Qu distancia recorri en 4 horas?

Qu distancia recorri en 5 horas y media?

Construye una hoja de clculo relacionando ambas cantidades.

La frmula de la celda A3 es = A2 + 1.

La frmula de la celda B2 es = A2 * v.

Escribe la frmula de la celda B3:

Escribe la frmula de la celda B6:

Cul es el factor en el ejemplo anterior?

Cuando una cantidad se obtiene multiplicando otra por un factor constante se obtie-ne una variacin proporcional.

A continuacin se plantean algunas preguntas para conocer otra propiedad de estetipo de variaciones.

Qu le pasa a la distancia recorrida si duplicamos el tiempo?

Por ejemplo:

Cuntos kilmetros recorre el coche en cinco horas?

Si se duplica el tiempo, ocurre lo mismo con la distancia?

A B C

1 TIEMPO (EN HORAS) DISTANCIA (EN KILMETROS) VELOCIDAD CONSTANTE

2 0 0 v (km/h)

3 1 80 80

4 2 160

5 3 240

6 4 320

7 5 400

a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @55

Qu le pasa a la distancia recorrida si triplicamos el tiempo?

Qu le pasa a la distancia recorrida si el tiempo se reduce a la mitad?

Qu le pasa a la distancia recorrida si el tiempo se reduce a la quinta parte?

A qu conclusin general puedes llegar entonces?

Variacin proporcional (1)

a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@56

Resuelve el siguiente problema: si 0.45 kg equivalen a una libra, cuntas libras habren 90 kg?

Construye una hoja de clculo como la siguiente; para ello relaciona ambas cantida-des y encuentra las frmulas para las columnas A y B.

Cul es el factor de proporcionalidad en el ejemplo anterior?

Contina llenando la tabla hasta que encuentres cuntas libras equivalen a 90 kg y

escribe la respuesta:

Observa ahora el tercer rengln de la hoja. Podras haber resuelto el problema

considerando slo esta informacin?

Cmo?

Usa solamente los primeros 10 datos de tu tabla para responder las siguientespreguntas:

Cuntas libras equivalen a 3 600 kg?

Cuntos kilogramos equivalen a 500 libras?

A B C

1 LIBRAS KILOGRAMOS

2 1 0.45

3 2 0.9

4 3 1.35

5 4 1.8

6 5 2.25

7 6 2.7

Aritmtica

Nombre Edad

Escuela Fecha

VV ariacin proporcional (2)ariacin proporcional (2)

a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @57

Cuntos kilogramos equivalen a 0.5 libras? Usa el sexto rengln de tu hoja para

responder esta pregunta.

Cuntos kilogramos equivalen a 1.5 libras? Usa el resultado anterior para encon-

trar la respuesta.

Cuntos kilogramos equivalen a 2.6 libras? Usa la misma estrategia

Regresemos ahora al tercer rengln de tu hoja, donde se indica que 2 libras equiva-

len a 0.9 kg (casi 1 kg), y busca cuntas libras equivalen aproximadamente a 1 kg.

Ahora toma en cuenta la siguiente tabla para responder las preguntas que aparecenabajo.

Cuntos kilmetros equivalen a 70 millas?

Cuntos kilmetros equivalen a 75 millas?

Cuntos kilmetros equivalen a 0.5 millas?

Cuntos kilmetros equivalen a 2.5 millas?

Cuntos kilmetros equivalen a 4.7 millas?

Cuntas millas equivalen a 96 kilmetros?

Cuntas millas equivalen a 10 kilmetros?

Variacin proporcional (2)

MILLAS KILMETROS

1 1.6

2 3.2

3 4.8

4 6.4

5 8.0

6 9.6

7 11.2

8 12.8

9 14.4

a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@58

Si una embarcacin puede navegar 360 millas con 16 galones de combustible diesel,

qu distancia recorrer con 300 galones?

Construye una hoja de clculo como la siguiente para relacionar los galones con lasmillas recorridas. Para responder la pregunta, conviene preguntarnos cuntas millas puedenavegar la embarcacin con un solo galn. Escribe una frmula en B3 para relacionarlas cantidades de A2 y B2.

Cul es el factor de proporcionalidad en el ejemplo anterior?

Ahora contesta la pregunta original. Inserta el nmero 300 en la celda A4 y escribeuna frmula en B4 que calcule la cantidad de millas correspondiente.

Qu distancia recorrer entonces con 300 galones?

Usa tu hoja de clculo para responder las siguientes preguntas:

Qu distancia recorrera la embarcacin con 200 galones?

Qu distancia recorrera la embarcacin con 80 galones?

Cuntos galones necesitar para recorrer 1 000 millas?

Construye ahora una hoja de clculo para resolver las siguientes situaciones:

Si un frasco de caf de 400 gramos cuesta $12.50, cunto debera costar uno de

250 gramos?

Si se determin que el precio de un frasco de caf es de $10, cuntos gramos

contiene?

Aritmtica

Nombre Edad

Escuela Fecha

ariacin proporcional (3)ariacin proporcional (3)

A B

1 GALONES MILLAS

2 16 360

3 1 ?

4

VV

a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @59

En esta ocasin la hoja de clculo te servir para obtener los cuadrados y lo cubos deuna lista de nmeros, lo cual te ayudar, a su vez, a encontrar la raz cuadrada y la razcbica de un nmero dado.

Calcula el cuadrado del nmero 20 y anota el resultado.

Calcula el cubo del nmero 20 y anota el resultado.

Construye una hoja de clculo como la que se muestra e introduce frmulas para lascolumnas B y C. Para encontrar la frmula de la columna C considera que

203 = 202 * 20

Extiende la tabla hasta el nmero 30.

Busca en tu tabla un nmero cuyo cuadrado sea 361 y antalo:

Cul es la raz cuadrada de 361?

Busca en tu tabla un nmero cuyo cubo sea 1331 y escrbelo:

Cul es la raz cbica de 1331?

Cul es la raz cuadrada de 676?

Cul es la raz cbica de 10 648?

La raz cuadrada de 300 no es un nmero entero. De acuerdo con tu tabla, entre

qu nmeros debe estar esta raz?

Aritmticaaz cuadrada y cbicaaz cuadrada y cbica

Nombre Edad

Escuela Fecha

A B C

1 NMERO CUADRADO CUBO

2 0 0 0

3 1 1 1

4 2 4 8

5 3 9 27

6 4 16 64

7 5 25 125

RR

a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@60

La raz cbica de 22000 no es un nmero entero. De acuerdo con tu tabla, entre

qu nmeros debe estar esta raz?

Cmo podemos usar la hoja de clculo anterior para que las races que se hanobtenido hasta aqu sean ms precisas? Sabemos que la raz cuadrada de 300 debeestar entre los nmeros 17 y 18. As, podemos empezar la lista de nmeros desde el 17y tomar saltos cada 0.1, es decir, generar la lista de nmeros: 17, 17.1, 17.2 como lomuestra la tabla siguiente:

Completa la tabla para obtener el primer decimal de la raz cuadrada de 300.

Qu resultado obtuviste?

Aplica la misma estrategia para obtener el segundo decimal de esta raz.

300 = 17.

Sigue el mismo procedimiento para obtener los primeros dos decimales de la razcbica de 22 000.

3 22 000 = 28.

Raz cuadrada y cbica

A B C

1 NMERO CUADRADO CUBO

2 17 289 4 913

3 17.1 292.41 5 000.211

4 17.2

5 17.3

6

a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @61

Dentro de las matemticas, una habilidad importante consiste en poder expresar rela-ciones verbales entre cantidades por medio de frmulas. Por ejemplo, cmo escribirascon smbolos: un nmero es la octava parte de otro nmero? Una hoja de clculocomo la que se sugiere a continuacin puede ayudarte a comprobar que la expresinmatemtica que propusiste es correcta.

Escribe tu expresin matemtica en la celda B2. Obtuviste el resultado que espe-rabas? (Si no fue as, consulta a tus compaeros para saber cmo procedieron).

Cambia el nmero 8 en la celda A2 por el 16 y por el 4 para comprobar que tuexpresin es correcta.

Construye una hoja de clculo similar a la anterior, pero ahora el encabezado de laprimera columna ser Cantidad de artculos vendidos y el de la segunda columnaser Costo total. Considera que cada uno se vende a $85. Para comprobar tu frmulacambia el nmero de artculos, por ejemplo 1, 10 y 100.

Cul sera la frmula algebraica apropiada?

Incluye dos columnas ms en tu hoja de clculo (observa el ejemplo de abajo).Registra en una la cantidad vendida de un segundo artculo y en la otra el costo de losartculos. Considera que el precio de cada uno es de $150. Usa la quinta columna paracalcular el costo total de los dos artculos. Vara el nmero de ambos artculos, porejemplo con 0, 1, 10 y 100 para comprobar tus frmulas.

EE Prelgebra

A B

1 NMERO OCTAVA PARTE DEL NMERO

2 8 expresin

3

cuaciones (1)cuaciones (1)

Nombre Edad

Escuela Fecha

A B C D E

1 CANTIDAD COSTO CANTIDAD COSTO COSTOPRIMER PRIMER SEGUNDO SEGUNDO DE AMBOS

ARTCULO ARTCULO ARTCULO ARTCULO ARTCULOS2 0 expresin 1 expresin expresin

3

a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@62

Cul sera la frmula algebraica del costo del primer artculo? (Usa n para expresar

la cantidad del primer artculo.)

Cul sera la frmula algebraica del costo del segundo artculo? (Usa m para expre-

sar la cantidad del segundo artculo.)

Cul sera la frmula algebraica del costo de ambos artculos?

Veamos ahora un ejemplo diferente. Escribe una ecuacin que exprese lo siguiente:

Dos personas se reparten $750

Considera a A como la cantidad que le toca a una de las personas y como B a lacantidad que le toca a la segunda.

Elabora una hoja de clculo como la siguiente y escribe en la celda B2 una expre-sin que haga que el total de las dos cantidades en las columnas A y B sea 750.

Comprueba tu frmula variando la cantidad de la primera persona.Para terminar resuelve la siguiente cuestin: Un nmero es 15% mayor que otro.Construye una hoja de clculo que te ayude a escribir esta relacin en forma algebraica.

Ecuaciones (1)

A B

1 CANTIDAD QUE LE TOCA CANTIDAD QUE LE TOCAA UNA PERSONA A LA OTRA PERSONA

2 50 expresin

3

63a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @

cuaciones (2)

Aqu trataremos de usar las ventajas de una hoja de clculo para resolver ecuacionesdel tipo:

q + 23 = 51

Para empezar, construye una hoja de clculo como la siguiente; introduce en lacolumna A la frmula = A2 + 1, y en la columna B la frmula = A2 + 23, luego cpialashacia abajo.

El objetivo es llegar al nmero 51 en la columna B. Una opcin consiste en alargarms nuestra lista. La otra implica cambiar el 1 en A2 por el 11. Haz esto y observa loque pasa.

Llegaste al 51 en la columna B? Si no es as, cambia el 11 por el 21. Encontraste

la solucin de la ecuacin? Cul es?

Resuelve con el mismo mtodo las siguientes ecuaciones:

155 + q = 242

A B

1 Nmero (q) q + 23

2 1 24

3 2 25

4 3 26

5 4 27

6 5 28

7 6 29

8 7 30

9 8 31

10 9 32

11 10 33

= A2 + 23

= A2 + 1

cuaciones (2) Prelgebra

Nombre Edad

Escuela Fecha

EE

64 a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@

q + 234.5 = 432.1

Ahora modifica tu hoja para resolver la siguiente ecuacin:

q 118 = 155

Veamos ahora una ecuacin ms complicada: Qu nmero, luego de multiplicarlopor 2 y de restarle 15, da 36 como resultado?

Para responder, construye una hoja de clculo como la siguiente:

Cambia como antes el nmero inicial en A2 hasta que encuentres el resultado.

Cul es?

Resuelve ahora la siguiente ecuacin:

3n + 35 = 5

A B

1 Nmero (n) 2n 15

2 1 13

3 2 11

4 3 9

5 4 7

6

= A2 + 1

Ecuaciones (2)

= EXPRESIN

65a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @

Prelgebra

Cmo resolveras con una hoja de clculo ecuaciones que tienen dos incgnitas, unade cada lado del signo igual? Considera la ecuacin:

4 n + 6 = 2 n + 4

Es n = 2 una solucin?

Es n = 4 una solucin?

Construye una hoja de clculo para encontrar la solucin.

Nombre Edad

Escuela Fecha

EE cuaciones (3)cuaciones (3)

66 a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@

Una razn es una relacin entre dos cantidades. Por ejemplo:

6 de cada 10 humanos viven en el continente asitico.

3/5 partes de la superficie terrestre estn cubiertas por agua.

Como se ve, la relacin se establece entre una parte y el todo.Esta actividad te ayudar a entender para qu sirven las razones. Para esto, piensa en

la situacin siguiente.Un jugador de basquetbol entrena desde la lnea de tiro, durante la semana ante-

rior a la temporada de juegos. Los resultados que obtuvo estn registrados en lasiguiente tabla:

Observa que en cada da se da la razn de canastas con respecto al total de tiros(20 de 50, 52 de 100, 90 de 150) Para poder comparar estas razones convieneexpresarlas como fracciones de la siguiente manera:

Construye una hoja de clculo con la informacin de la tabla. En la cuarta columnacalcula la razn como fraccin para que puedas observar el progreso del jugadordurante su entrenamiento.

Los porcentajes son una manera muy comn de expresar razones. Los ejemplos delprincipio pueden expresarse como sigue:

Nombre Edad

Escuela Fecha

Aritmtica

razn como fraccin =canastas

total de tiros

Sabes qu es una razn?Sabes qu es una razn?

DA TIROS CANASTAS CANASTAS/TIROS

1 50 20

2 100 52

3 150 90

4 200 110

5 250 175

6 200 152

7 250 170

67a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @

60% de la poblacin humana vive en el continente asitico.

60% de la superficie terrestre est cubierta por agua.

Agrega una quinta columna a tu hoja y calcula el porcentaje de canastas (esto es,multiplica la cuarta columna por 100).

Cul fue el mejor da del jugador en su entrenamiento?

Qu porcentaje de tiros encest ese da?

La tabla siguiente muestra las cantidades de tiros y canastas de dos jugadores, con-siderando los primeros 5 juegos de la temporada regular. Usa tu hoja de clculo paracompletar la tabla de abajo y de acuerdo con los resultados decide quin jug mejor.

Quin fue el mejor?

Discute tu respuesta con otros compaeros.

Qu significa, en beisbol, que un jugador tenga 320 de porcentaje de bateo?

PRIMER JUGADOR SEGUNDO JUGADOR

JUEGO TIROS CANASTAS FRACCIN TIROS CANASTAS FRACCIN

1 24 8 18 7

2 13 6 16 6

3 21 8 15 6

4 30 9 9 5

5 17 7 6 3

Sabes qu es una razn?

68 a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@

Nombre Edad

Escuela Fecha

Aritmtica

Las razones no slo relacionan una parte con el todo. Tambin se usan para establecerrelaciones entre dos cantidades distintas. Por ejemplo, cuando decimos que 100 g decacahuates cuestan 6 pesos estamos expresando una razn de este ltimo tipo.

Otro ejemplo de razn entre dos cantidades distintas es el consumo de gasolina deun coche; por ejemplo: Con 40 litros de combustible se llena el tanque de un auto ypuede recorrer 480 kilmetros.

Estas razones, al igual que las que relacionan una parte con el todo, pueden serexpresadas con un solo nmero:

Los cacahuates cuestan 60 pesos por kilo.

El rendimiento del auto es de 12 kilmetros por litro.

Una expresin como 80 kilmetros por hora es tambin una razn de este tipo.

Da otro ejemplo de razone