Hvorfor gjøre eksperimenter ?

Generelt om måling

•Resultat av en ideell måling er ett tall som gir måleobjektets ”sanne verdi”.

•Ved en virkelig måling kan vi bare avgrense et tallområde hvor vi mener at den sanne verdien vil ligge.

•Resultatet avhenger bla. av hvordan målingen har blitt utført, hvem som utfører målingene, måleutstyr, støy.

Litteratur: Wilhelm Løchstøer : Fysiske målinger: Elementær måleteori og usikkerhetsregning s 1-30 + appendix.

G.L. Squires . Practical physics, Cambridge university press, kapittel 2 og 3.

Forelesningsnotater.

Målefeil og måleusikkerhet

Målefeil:

•Avvikene er konstante og systematiske og gjentar seg på samme måte fra gang til gang.

•Avvikene kan ofte korrigeres

Måleusikkerhet: •Avvikene er av statistisk natur. Vi får snart litt høyere og snart litt lavere verdier uten av kan på forhånd si noe om neste verdi.

•Måleusikkerhet gjør resultatet ubestemt. Fordi vi ikke kan forutsi noe om avviket ved en bestemt måling kan resultatet ikke korrigeres.

Målefeil Måleusikkerhet

Skyldes Konstante eller systematiske avvik

Statistiske, tilfeldige avvik

Gir Forskyvning av måleverdien Spredning av måleverdiene

Gjør resultatet Galt Ubestemt

Bestemmer Riktigheten Nøyaktigheten

Kan prinsipielt korrigeres Kan ikke korrigeres, bare reduseres.

Kan typisk ikke påvises ved gjenntagelsesmålinger

Gir seg utslag og påvises ved gjenntagelsesmålinger.

Kilder til usikkerhet

1. Måleobjektet selv Definisjonsubestemthet. Eks: Temperaturen i et rom, tykkelsen av en ikke jevn tråd. Usikkerhet kan reduseres ved en skarpere definisjon av måleobjekt, og måleprosedyrer.

Fraktaler

2. Instrumenter metode Instrumentet og dets nominelle spesifikasjoner. Reproduserbarhet av

innstillinger, tykkelser av visere, begrenset antall siffer i digitale instrumenter eks . ADC kort.

3. Observatør og forsøksbetingelser Usikkerhet ved avlesning. Observatørens øvelse og ferdighet. Riktig belysning, rystelser vibrasjoner ol.

4. Naturlig støyTermiske fluktuasjoner (Johnsen Nyquist støy), seismisk støy, atmosfærisk støy (elektromagnetisk, hydrodynamisk) .

Angivelse av måleresultat

•Ved fullstendig angivelse av måleresultat skal usikkerhet angis!

2,04±0.05

•Det må komme klart frem om det er standardavvik av enkeltmålinger eller standardavvik av middelverdi som angis.

•Skal fremkomme om det er absolutt og relativ usikkerhet

•Det skal angis så mange siffer at det siste siffer er usikkert (også i utregninger). •Man sier noe om usikkerheten i det antallet siffer man oppgir. Feks: 2.0 cm (usikkerhet i mm) , 2.000cm (usikkerhet i 1/100mm) Slipper aldri unna å angi usikkerhet !!!

Gjenntagelsesmålinger

Observerte målinger:

Antall ganger observert:

Dersom de enkelte observasjonene er likeverdige og innbyrde uavhengige , så er middelverdien en god fikseringsverdi

Fordelinger og histogram

Normert fordelingsfunksjon:

P(x)dx er fraksjonen av målinger i intervallet [x,x+dx]. P(x)dx Er sannsynligheten for a finne en verdi x i intervallet [x,x+dx]. P(x) er en normert sannsynlighetstetthet.

Gjennomsnittsverdien av x til fordelingen <X>:

som definerer midlingen <>.

Svarer til å midle over et stort antall målinger

Varians til fordelingsfunksjon p(x) :

Hvor standardavvik et er

Sann verdi X defineres som X= <X>

Normeringskrav

X=<x> x

P(x)

Avvik i målingene fra sann verdi

Avvik av middelverdi fra sann verdi

Midler over et stort antall sett med n målinger i hvert sett.

hvor vi har antatt at er uavhengig av

Per definisjon:

Som gir:

Betrakt RMS (Root Mean Square) avviket:

Størrelsen er kalt standardavviket til prøven

Hvis vi gjør en midling over et stort antall målinger finner vi

Dette gir

Slik at

For store n

Gyldighet av beregnet standardavvik , skjønnsmessig angivelse av usikkerhet

Formelen :

er god kun for store verdier av n (n>10). For få målinger , 5 til 10, er usikkerheten i standardavviket stort (typisk 25-35%)

For små verdier av n er det ofte like godt Å gjøre en skjønnsmessig vurdering av s.

Variasjonsområde= differansen mellom største og minste observerte verdi

Grenseavviket = halve variasjonsområdet.

Det skal alltid fremgå hvordan usikkerheten er anslått

Gauss, Normal fordeling .

Erfaring viser at eksperimentell fordelinger ofte gir Gauss eller normal fordeling.

Maze pattern formed by drainage of granular suspension .

Gausisk trykkfordeling

Hvis støyen som gir opphav til spredningen av variablen x består av et stort antall uavhengige (ukorrelerte) stepp, vil fordelingen bli Gausisk. Sentralgrenseteorem .

Eksempel: diffusjon (virrevandring):

x

t

Eksempel fra imbibisjon i porøst medium. Front beveger seg med ulik Hastighet i de ulike porene.

Vis at:

Sannsynlighet for å finne målt verdi i intervallet [-x,x]

Konfidensnivå

68% 95% 99.7%

Konfidens-interval

1s 2s 3s

Vanlig å regne data som ligger mer enn 2s unna som signifikant forskjellig.

Vanligvis så er feilestimatene relativt grove . Usikkerheten i disse er ofte større betydning enn effekter som skyldes moderate avvik fra en Gausisk funksjon

Sammensatte målinger

R(x,y,z,..) bestemmes ved direkte måling av x,y,z... Osv. Vi antar atx,y,z,... er uavhengige størrelser.

Måling nr: 1

2

3 . . N

Tilsvarende for x, y, z.. osv

For R har vi N verdier med middelverdi og standardavvik

Vi finner:

Hvis fordelingen av x,y,z, osv er symmetrisk om middelverdien dvs, like Stor sannsynlighet for positive og negative verdier så vil kryssledd kanseleres.

Spesielt for potensfunksjoner

Avvik fra middelverdi av R:

Tilpassing av måledata

Eksempel: kapillærbølge

Riktig å vise avvik fra tilpassetFunksjon fordi den viser kvaliteten på tilpassningen.

2s

Kan bestemme overflatespenning γ og viskositeten μ fra dispersjonsRelasjonene:

Målemetode:Avbøyning av laserstråle. Ekstremt følsomt teknikk.

Samme prinsipp brukes for AFM.

Lock-in forsterker teknikk

Bruk av lock-in forsterker krever en referanse frekvens. Spesielt velegnettil eksperimenter hvor en driver systemet med en ytre frekvens og måler på Systemets respons.

Virkemåte: Multipliserer målt signal med et periodisk signal med eksakt samme frekvens som eksternt signal. Faseskiftet mellomsignalene kan justeres.

Virker som en fouriertransformasjon !!! Filtrerer ut støy.

Eksempler på andre fordelingsfunksjoner

Boblefordeling av gass ved tofaseFortrengning i porøse medier

29

x y 15cm

25cm

Brudd eksperiment2. Optical and mechanical set-up

• Optical tracking high speed & high resolution camera

•500 fps, 512×240 pixels

→ ~ 4300 frames•1000 fps, 1024×512 pixels

→ ~ 12000 frames

0.4 μm.s-1 < h V i < 40 μm.s-1

1.7 μm < pixel size: a < 10 μm

Hatighetsfluktuasjoner målt ved oppsprekking av PMMA. Målt med ultra hurtig kamera 100000fps

31

2. Waiting time matrix M ← front dynamics M0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

M1

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

F1

M2

0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 1 0 2 0 1 1 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

F2

Raw image → front extraction

Analysis procedure1. Image analysis

waiting time matrix obtained by adding fronts

32

2. Final waiting time matrix M

1. Image analysis

the darker parts the longer waiting times

33

• Final waiting time matrix : M

Analysis procedure

• M→ V : local front velocity matrix

a pixel sizeδt time delay between 2 picturesm element in waiting time matrix

• V → CV : clipped velocity matrix local burst activity

δt = 10 -3 s time delay between 2 pictures

34

• local front dynamics Hastighetsfordeling av front

-

Synchrotron radiation:

Bending magnet

Wiggler

ESRF

Grenoble

Energy 6 GeV. Dvs energien til elektronene i ringen.

Bølgelengden på røntgenstrålingen er fra μm til Å

Eksempel på røntgen spredning fra nanosilicater .

Bragg lov

2d sinθ = n λ

Oppgaver:

1) Vis at:

2) Anta at vi skal måle fokallengden til en linse ved å måle avstanden a fra objekt til linse og avstanden b fra linse til bilde. Hva blir standardavviket til f gitt at vi kjenner standardavviket til a og b.

3) Bestem den relative usikkerheten til overflatespenningen og viskositeten ved måling av overflatebølger (se dispersjonsrelasjon). Anta at frekvens, bølgelengde og tetthet er målt med en relativ usikkerhet på 1%.

4) Vis at for gjelder: