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IlparadossodelcompleannoIl paradossodel compleanno (oproblemadel compleanno) fu così definitonel 1939daRichardvonMises(1883-1953).

Richard von Mises è stato un matematico, ingegnere e accademicoaustriaco naturalizzato statunitense. E' conosciuto per i suoi importanticontributi nel campo della Meccanica dei fluidi, dell'aerodinamica,dell'aeronautica,dellastatisticaediteoriadellaprobabilità,cheèilcampoincuitrovaappuntoapplicazioneilsuoparadosso.Ilparadossoaffermachelaprobabilità cheduepersone inungruppo

compiano gli anni nello stesso giorno è largamente superiore a quanto potrebbesembrare:giàinungruppodi23personelaprobabilitàèsuperioreal50%;con 30 persone essa supera il 70%, con 50 persone tocca addirittura il 97%, con 60personesipersonearrivapraticamenteall'eventocerto (perarrivaredavveroall’eventocerto occorre considerare un gruppodi almeno366persone o di 367, se si consideral’annobisestile).Questidatiappaionoinapparentecontraddizioneconilnostrosensocomune,tantoche,avolte, si fatica a crederci anche se viene dimostrato ed è questo ilmotivo per cui lo sidefinisce“paradosso”.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------SpiegazioneSupponiamodiprendereinconsiderazioneilfattocheduepersonenoncompianogliannilostessogiorno;utilizzandolaprobabilitàcontraria,sitrovachevale:

1 − !!"# =

!"#!"#,

datochevièunasolapossibilitàsu365che il compleannodiunapersonacoincidaconquellodiun'altra.Possiamodirechelasecondapersonarealizzalanoncoincidenzadelpropriocompleannoconlaprima,conprobabilità!"#!"#.

Allostessomodoeseguiamoilcalcoloselepersonesonotre;laprobabilitàè!"!!"#(sidevonoescludere le date delle prime due persone). Ossia, la terza persona realizza la noncoincidenzadelpropriocompleannoconleprimedueconprobabilità!"!!"#.Sintetizzandoilragionamento,siha:perduepersone

! !"#!"#

pertrepersone

! !"!!"#

per quattro

persone! !"#!"#

per ventitrépersone!!"#!!"!!

!"# = !"!!"#

ecc…

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Generalizzando,consideriamonpersoneecalcoliamocheintalegruppononcisianoduepersone con lo stesso compleanno. Essendo in presenza di eventi indipendenti, laprobabilitàp1chetuttiicompleannicadanoindatediverseèdatada:

!! =364365 ∙

363365 ∙

362365 ∙⋯ ∙ 365 − ! + 1365

e dunque la probabilità p del suo evento complementare, cioè che esistano almeno duecompleanniuguali,è

! = 1 − !! = 1 − 364365 ∙363365 ∙

362365 ∙⋯ ∙ 365 − ! + 1365

Calcolandoconn=23siha!! = !"#

!"# ∙!"!!"# ∙

!"#!"# ∙⋯ ∙ !"!!"# =

!"#!!"#!!∙!"#! ≅ 0,4927

equindi! = 1 − !! ≅ 1 − 0,4927 = 0,5073Cioèlaprobabilitàcheinungruppodi23personecenesianoduechenonhannolostessogiornodicompleannoècircail49%,mentrelacoincidenzadelcompleannoècircail51%

Ingeneralealvariaredelnumerondipersone,laprobabilitàpdicoincidenzaè:

10persone 0,1169482 11,7%

20persone 0,4114384 41,14%

23persone 0,5072972 50,73%

30persone 0,7063162 70,63%

40persone 0,8912318 89,12%

50persone 0,9703736 97,04%

60persone 0,9941227 99,41%

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AconfermadiquestorisultatoriportounastatisticapubblicatasulsitoEspressoWebinunarticolodel19gennaio2008:esaminandoledatedinascitaedimortediPresidentiamericani(43datedinascitae39datedimorte)sivedecheJamesKnoxPolk(11°presidente)eWarrenG.Harding(29°)nacqueroil2novembrementreJimmyCarter(39°)eDwightEisenhower(34°)nacqueroil14ottobre;HarryTruman(33°)eGeraldFord(38°)morironoil26dicembre,J.K.PolkeJamesBuchanan(15°)il15giugnoebentrepresidenti,JohnAdams(2°),ThomasJefferson(3°)eJamesMonroe(5°),morironoil4luglio.