Inferência em Lógica de Primeira Ordem

Capítulo 9

Sumário

• Inferência em lógica proposicional vs. inferência em lógica de primeira ordem

• Unificação

• Modus Ponens Generalizado

• Encadeamento para a frente

• Encadeamento para trás

• Resolução

Instanciação Universal

• A partir de uma frase com um quantificador universal, podemos inferir uma frase que resulta da substituição da variável por um termo sem variáveis

v αSubst({v/g}, α)

• E.g., x Rei(x) Ambicioso(x) Malvado(x) permite inferir:Rei(João) Ambicioso(João) Malvado(João)

Rei(Ricardo) Ambicioso(Ricardo) Malvado(Ricardo)

Rei(Pai(João)) Ambicioso(Pai(João)) Malvado(Pai(João))

.

.

.

Instanciação Existencial

• Para uma frase α, uma variável v, e uma constante k que não aparece em nenhuma frase da base de conhecimento

v αSubst({v/k}, α)

• E.g., A partir de x ECoroa(x) NaCabeca(x,João) podemos inferir ECoroa(C1) NaCabeca(C1,João)

desde que C1 seja um símbolo de constante novo, chamado constante de Skolem

• A frase que contém o quantificador existencial pode ser eliminada equivalência por inferência

Redução para inferência proposicional

Consideremos que a BC contém as seguintes frases:x Rei(x) Ambicioso(x) Malvado(x)Rei(João)Ambicioso(João)Irmãos(Ricardo,João)

• Instanciando a frase com de todas as formas possíveis, obtemos:Rei(João) Ambicioso(João) Malvado(João)Rei(Ricardo) Ambicioso(Ricardo) Malvado(Ricardo)Rei(João)Ambicioso(João)Irmãos(Ricardo,João)

• A BC está proposicionalizada, ou seja, contém apenas símbolos proposicionais:

Rei(João), Ambicioso(João), Malvado(João), Rei(Ricardo), etc.

Redução (cont.)

• Todas as BC em LPO podem ser proposicionalizadas de modo a preservar as consequências lógicas

• Uma termo sem variáveis é consequência da nova BC sse é consequência lógica da BC original

• Ideia: proposicionalizar BC e frase que é consequência lógica – aplicar resolução para fazer a prova

• Problema: para símbolos de função o número de termos sem variáveis é infinito– e.g., Pai(Pai(Pai(João)))

Redução (cont.)

Teorema [Herbrand,1930] Se uma frase α é consequência lógica de uma BC em LPO, então α é consequência lógica de um subconjunto finito da BC proposicionalizada

Ideia: Para n = 0 ∞criar uma BC proposicional instanciando termos até à profundidade n verificar se α é consequência lógica da BC

Problema: funciona se α é efectivamente consequência lógica, não termina se α não é consequência lógica

Teorema [Turing,1936][Church,1936] Consequências lógicas em LPO são semi-decidíveis, i.e. existem algoritmos que identificam consequências lógicas, mas não existem algoritmos que identifiquem frases que não são consequências lógicas

Proposicionalização: problemas• Proposicionalização pode gerar muitas frases irrelevantes

• E.g., a partir de:x Rei(x) Ambicioso(x) Malvado(x)Rei(João)y Ambicioso(y)Irmãos(Ricardo,João)

• Parece óbvio inferir Malvado(João), mas a proposicionalizaçãoproduz outros factos como Ambicioso(Ricardo) que são irrelevantes

• Para p predicados com aridade k e n constantes, existem p·nk

instanciações possíveis

Unificação

x Rei(x) Ambicioso(x) Malvado(x)• Se conseguimos encontrar uma substituição θ para x para a qual se

verifica Rei(x) e Ambicioso(x) então podemos inferir Malvado(x)• Genericamente: se conseguirmos encontrar uma substituição θ que

converta a premissa de uma implicação numa frase já existente na BC, então podemos derivar a conclusão da implicação após efectuada a substituição θ

Exº• x Rei(x) Ambicioso(x) Malvado(x)• Rei(João)• y Ambicioso(y)θ = {x/João,y/João} permite inferir Malvado(João)

• Unificação = identificação de uma substituição que permita que duas frases sejam logicamente equivalentes

Unificação: exemplo

• Unificação(α,β) = θ se αθ = βθ

α β θConhece(João,x) Conhece(João,Rita) Conhece(João,x) Conhece(y,Isabel) Conhece(João,x) Conhece(y,Mãe(y))Conhece(João,x) Conhece(x,Isabel)

Unificação: exemplo

• Unificação(α,β) = θ se αθ = βθ

α β θConhece(João,x) Conhece(João,Rita) {x/Rita}Conhece(João,x) Conhece(y,Isabel) Conhece(João,x) Conhece(y,Mãe(y))Conhece(João,x) Conhece(x,Isabel)

Unificação: exemplo

• Unificação(α,β) = θ se αθ = βθ

α β θConhece(João,x) Conhece(João,Rita) {x/Rita}Conhece(João,x) Conhece(y,Isabel) {x/Isabel,y/João}Conhece(João,x) Conhece(y,Mãe(y))Conhece(João,x) Conhece(x,Isabel)

Unificação: exemplo

• Unificação(α,β) = θ se αθ = βθ

α β θConhece(João,x) Conhece(João,Rita) {x/Rita}Conhece(João,x) Conhece(y,Isabel) {x/Isabel,y/João}Conhece(João,x) Conhece(y,Mãe(y)) {y/João,x/Mãe(João)}Conhece(João,x) Conhece(x,Isabel)

Unificação: exemplo

• Unificação(α,β) = θ se αθ = βθ

α β θConhece(João,x) Conhece(João,Rita) {x/Rita}Conhece(João,x) Conhece(y,Isabel) {x/Isabel,y/João}Conhece(João,x) Conhece(y,Mãe(y)) {y/João,x/Mãe(João)}Conhece(João,x) Conhece(x,Isabel) {falha}

Estandardização

• Conhece(João,x) e Conhece(x,Isabel) poderão ser unificados se substituirmos x por outra variável

• Esta unificação faz sentido– Conhece(João,x) significa que o João conhece toda a gente– Conhece(x,Isabel) significa que a Isabel é conhecida por toda a

gente– Logo, o João conhece a Isabel

• Estandardização = renomeação de variáveis numa das duas frases a serem unificadas para evitar conflitos nos nomes das variáveis

• Conhece(João,x) e Conhece(y,Isabel) pode ser unificado com {x/Isabel,y/João}

Unificação: UMG

• Para unificar Conhece(João,x) e Conhece(y,z),θ = {y/João, x/z } ou θ = {y/João, x/João, z/João}

• A primeira substituição é mais genérica do que a segunda.

• Existe um único unificador mais geral (UMG): efectua o menor número de substituições para unificar dois termosUMG = { y/João, x/z }

Algoritmo de UnificaçãoFunção Unifica(x,y,) devolve uma substituição que unifica x e y

(x e y são variáveis, constantes, compostos ou listas, inicialmente vazio)se =falha então devolve falhasenão se x=y então devolve senão se Variável?(x) então devolve UnificaVar(x,y,)senão se Variável?(y) então devolve UnificaVar(y,x,)senão se Composto?(x) e Composto?(y) então

devolve Unifica(Args[x],Args[y],Unifica(Op[x],Op[y],))senão se Lista?(x) e Lista?(y) então

devolve Unifica(Rest[x],Rest[y],Unifica(First[x],First[y],))senão devolve falha

Exº para o composto F(A,B) temos Op[F(A,B)]=F e Args[F(A,B)]=(A,B)

Algoritmo de UnificaçãoFunção UnificaVar(var,x,) devolve uma substuição

(x é uma expressão)

se {var/val} então devolve Unifica(val,x,)senão se {x/val} então devolve Unifica(var,val,)senão se VerificaOcorrencia?(var,x) então devolve falhasenão adiciona {var/x} a

VerificaOcorrencia?(var,x) verifica se var ocorre na expressão x

Complexidade do algoritmo é quadrática na dimensão das expressões que pretendemos unificar

Modus Ponens Generalizado (MPG)

p1', p2', … , pn', ( p1 p2 … pn q)qθ

p1' é Rei(João) p1 é Rei(x) p2' é Ambicioso(y) p2 é Ambicioso(x) θ é {x/João,y/João} q é Malvado(x) q θ é Malvado(João)

• MPG usado com BC com cláusulas que têm exactamente um literal positivo: (p1 p2 … pn q) equivale a (p1 p2 … pn q)

• Todas as variáveis estão quantificadas universalmente

com pi'θ = pi θ para todo o i

Solidez de MPG

• É preciso provar quep1', …, pn', (p1 … pn q) ╞ qθ

quando temos pi'θ = piθ para todo o i

• Lema: Para qualquer frase p, temos p ╞ pθ pela instanciação universal

1. (p1 … pn q) ╞ (p1 … pn q)θ = (p1θ … pnθ qθ)2. p1', … ,pn' ╞ p1' … pn' ╞ p1'θ … pn'θ3. A partir de 1 e 2 obtemos qθ por Modus Ponens

Exemplo: base de conhecimento

• Do ponto de vista legal, um Americano é um criminoso por vender armas a nações hostis. O país Nono, um inimigo da América, possui alguns mísseis, e todos estes mísseis foram-lhe vendidos pelo Coronel West, que é Americano.

• Objectivo: provar que o Coronel West é um criminoso.

Exemplo: base de conhecimento (cont.)

... um Americano é um criminoso por vender armas a nações hostis:Americano(x) Arma(y) Vende(x,y,z) Hostil(z) Criminoso(x)

Nono … possui alguns mísseis, i.e., x Possui(Nono,x) Míssil(x):Possui(Nono,M1) e Missil(M1) [instanciação existencial]

… todos os mísseis foram-lhe vendidos pelo Coronel WestMissil(x) Possui(Nono,x) Vende(West,x,Nono)

Mísseis são armas:Missil(x) Arma(x)

Um inimigo da América é considerado “hostil”:Inimigo(x,America) Hostil(x)

West é Americano …Americano(West)

O país Nono é um inimigo da América …Inimigo(Nono,America)

Encadeamento progressivo: algoritmo

Função EP-LPO-Pergunta(BC,) devolve uma substuição ou falso(var.local) novo conjº de frases inferidas em cada iteraçãorepetir até novo ser vazio

novo { }paracada frase r na BC

(p1 … pn q) estandardização(r)paracada t.q. (p1 … pn q) = (p1‘ … pn‘ q)

para algum p1‘, …, pn‘ na BCq’ qse q’ não é uma renomeação de uma frase na BC

ou em novo entãoadicionar q’ a novo Unifica(q’,)se não é falha então devolve

adiciona novo à BCdevolve falso

Exº de renomeação: Gosta(x,Gelado) e Gosta(y,Gelado)

Encadeamento progressivo: prova

Inicialmente: frases que não têm variáveis

Encadeamento progressivo: prova

Encadeamento progressivo: prova

Propriedades do encadeamento progressivo

• Sólido e completo para cláusulas na forma (p1 … pn q) em lógica de primeira ordem

• Datalog = cláusulas na forma (p1 … pn q) em lógica de primeira ordem + não há funções

• EP termina para Datalog num número finito de iterações

• Não termina se α não é consequência lógica

• Não podemos resolver este problema: encadeamento progressivo é semi-decidível

Eficiência do encadeamento progressivo

Encadeamento progressivo incremental: só é necessário fazer um emparelhamento de uma frase na iteração k se uma premissa tiver sido adicionada na iteração k-1 Emparelhar cada frase cuja premissa contém um novo literal

positivo

Emparelhamento pode ser dispendioso:Bases de dados indexadas permitem encontrar factos

conhecidos em tempo constante (O(1))– e.g., pergunta Missil(x) responde Missil(M1)

Encadeamento progressivo é muito usado em bases de dados dedutivas

Emparelhamento: exemplo

Míssil(x) Possui(Nono,x) Vende(West,x,Nono)

• Podemos obter os objectos possuídos pelo Nono em tempo constante, e depois verificar se algum desses objectos é um míssil

• Se existirem muitos objectos possuídos pelo Nono e poucos mísseis, então é preferível começar por obter os mísseis e posteriormente verificar quais são possuídos pelo Nono

Emparelhamento difícil: exemplo

• ColoracaoOK() é inferido sse o CSP tem solução• Dificilmente conseguimos perceber qual a ordem a

seguir para fazer o emparelhamento de menor custo

Diff(wa,nt) Diff(wa,sa) Diff(nt,q) Diff(nt,sa) Diff(q,nsw) Diff(q,sa) Diff(nsw,v) Diff(nsw,sa) Diff(v,sa) ColoracaoOK()

Diff(Verm,Azul) Diff (Verm,Verde) Diff(Verde,Verm) Diff(Verde,Azul) Diff(Azul,Verm) Diff(Azul,Verde)

Emparelhamento difícil: soluções

• Objectivo: encontrar uma ordenação óptima de modo a que o custo do emparelhamento seja minimizado NP-difícil para problemas NP-difíceis!

• Solução: uso de heurísticas; e.g. escolher variável com mais restrições

Encadeamento regressivo: algoritmo

SUBST(COMPOE(θ1, θ2), p) = SUBST(θ2, SUBST(θ1, p))

Função ER-LPO-Pergunta(BC,objectivos,)devolve conjunto de substituições

, substituição actual, inicialmente { }(var.local) resp, conjº de substituições, inicialmente { }

se objectivos está vazio então devolver {}q’ Substitui(,First(objectivos))paracada r em BC onde estandardização(r) = (p1 … pn q)

e ’ Unifica(q,q’) não falharesp ER-LPO-Pergunta(BC,[p1,…,pn|Rest(objectivos)],

COMPOE(, ’)) respdevolve resp

Encadeamento regressivo: exemplo

Encadeamento regressivo: exemplo

Encadeamento regressivo: exemplo

Encadeamento regressivo: exemplo

Encadeamento regressivo: exemplo

Encadeamento regressivo: exemplo

Encadeamento regressivo: exemplo

Propriedades do encadeamento regressivo

• Prova com procura em profundidade com recursão: espaço é linear no tamanho da prova

• Incompletude devido a ciclos infinitos– Podem ser evitados comparando o objectivo actual

com os objectivos na pilha

• Ineficiente devido à existência de sub-objectivos repetidos (tanto com sucesso como falha)– Guardar em memória resultados obtidos

anteriormente memória adicional

• Muito usado em programação em lógica

Programação em Lógica: Prolog

• Algoritmo = Lógica + Controlo

• Base: encadeamento regressivo com cláusulas de HornFácil prototipagem, manipulação de símbolos (e.g. compiladores, parsing de língua natural)

• Programa = conjunto de cláusulas = cabeça :- literal1, … literaln.criminoso(X) :- americano(X), arma(Y), vende(X,Y,Z), hostil(Z).

• Encadeamento regressivo: profundidade, esquerdadireita• Predicados pré-definidos para aritmética etc., e.g., X is Y*Z+3.• Predicados pré-definidos com efeitos colaterais• Mundo fechado

– e.g., considerando vivo(X) :- not morto(X).– vivo(joão) é verdade se morto(joao) falha

Prolog (1)

• Concatenação de duas listas para produzir uma terceira lista:append([],Y,Y).

append([A|X],Y,[A|Z]) :- append(X,Y,Z).

• Aparentemente semelhante à definição de Lisp mas com mais funcionalidades

• Questão: append(A,B,[1,2]) ?

• Respostas: A=[] B=[1,2]A=[1] B=[2]

A=[1,2] B=[]

Prolog: appendProcedimento Append(ax,y,az)

caminho ApontadorGlobalCaminho()se ax=[] e Unifica(y,az) então continuaResetCaminho(caminho)a NovaVariavel(), x NovaVariavel(), z NovaVariavel()se Unifica(ax,[a|x]) e unifica(az,[a|z]) então Append(x,y,z)

Prolog(2)

• Definição de caminho entre dois pontos:path(X,Z): link(X,Z).path(X,Z): path(X,Y),link(Y,Z).path(X,Z): link(X,Y),path(Y,Z).

• Ordem é relevante!

descendente(D,A):-progenitor(A,D). descendente(D,A):-

progenitor(P,D),descendente(P,A).

fact(0,1).fact(N,F):- N>0, N1 is N-1, fact(N1,F1),

F is N*F1.

Prolog(3)

soma(0,X,X). % 0+X=Xsoma(s(X),Y,Z) :- soma(X,s(Y),Z).

% (X+1)+Y=Z <== X+(Y+1)=Z

?- soma(s(s(s(0))),s(0),Total).?- soma(s(s(0)),s(s(0)),Total).?- soma(s(0),s(s(s(0))),Total). ?- soma(0,s(s(s(s(0)))),Total). Total=s(s(s(s(0))))

Resolução em LPO

l1 ··· lk, m1 ··· mn

(l1 ··· li-1 li+1 ··· lk m1 ··· mj-1 mj+1 ··· mn)θcom Unifica(li, mj) = θ.

• Aplica-se a fórmulas no formato CNF• Por exemplo,

Rico(x) Infeliz(x) Rico(João)

Infeliz(João)com θ = {x/João}

• Assume-se que as duas cláusulas estão estandardizadas não têm variáveis em comum

CNF para LPO

1. Eliminação de e 2. Leis de DeMorgan

3. Estandardização de variáveis

4. Skolemização

5. Eliminação de quantificadores universais

6. Distributividade de sobre

Skolemização

• Consiste na remoção de quantificadores existenciais por eliminação

• Caso simples: substituir x P(x) por P(A) em que A é uma constante de Skolem (constante nova, nunca usada anteriormente)

• Caso complexo: quando existem quantificadores encadeados xy P(x,y) substituído por x P(x,F(x)) em que F é uma função de Skolem– Caso geral: argumentos da função de Skolem são

todas as variáveis quantificadas universalmente que aparecem antes do quantificador existencial

CNF para LPO: exemploAs pessoas que gostam de todos os animais têm alguém que gosta delas.

x [y Animal(y) Gosta(x,y)] [y Gosta(y,x)]

x [y Animal(y) Gosta(x,y)] [y Gosta(y,x)]

x [y Animal(y) Gosta(x,y)] [y Gosta(y,x)]

x [y Animal(y) Gosta(x,y)] [y Gosta(y,x)]

x [y Animal(y) Gosta(x,y)] [y Gosta(y,x)]

x [y Animal(y) Gosta(x,y)] [z Gosta(z,x)]

x (Animal(F(x)) Gosta(x,F(x))) Gosta(G(x),x)

(Animal(F(x)) Gosta(x,F(x))) Gosta(G(x),x)

Animal(F(x)) Gosta(G(x),x)

Gosta(x,F(x)) Gosta(G(x),x)

Resolução em LPO: completude

• Resolução binária aplica-se exactamente a 2 literais; não é suficiente para garantir completude

• Factorização = remoção de literais redundantes– Em lógica proposicional = remoção de literais

repetidos

– Em lógica de primeira ordem = remoção de literais unificáveis!

• Resolução binária + factorização completude

Resolução: completude por refutação

• Se um conjunto de frases não tem solução, então tem de ser possível derivar uma contradição (cláusula vazia, ()) por resolução

• Ver prova no Livro

Igualdade

• Nenhum dos métodos de inferência anteriores lida com igualdade

• Possível solução adicionar axiomas de igualdade: reflexiva, simétrica, transitiva, substituição– x x=x– x,y x=y y=x– x,y,z x=y y=z x=z– x,y x=y (P(x)P(y))– …

• Outras técnicas: demodulação, paramodulação

Estratégias para Resolução (1)

• Preferência pela cláusula unitária– Aplicar resolução em que uma das cláusulas é

unitária nova cláusula com dimensão mais reduzida

• Conjunto de suporte– Conjunto de suporte = subconjunto de cláusulas– Cada resolução combina uma cláusula do conjunto

de suporte com outra cláusula e adiciona a cláusula resultante ao conjunto de suporte

– Se o conjunto de suporte é pequeno o espaço de procura pode ficar bastante reduzido

– Exº usar frase negada como conjunto de suporte resolução orientada ao objectivo

Estratégias para Resolução (2)

• Resolução pela entrada– Cada passo de resolução utiliza uma cláusula

acabada de gerar

– Estratégia completa para cláusulas de Horn mas não completa para o caso geral

• Eliminação de cláusulas– Cláusulas eliminadas devido à existência de

cláusulas mais genéricas

– Exº P(A) é redundante vs. P(x)

– Exº P(A)P(B) é redundante vs. P(A)

Resolução: prova Criminal(West)

Técnica aplicada? Resolução pela entrada

Provadores de Teoremas

• Usados para dar assistência num processo de prova

• Podem provar teoremas nunca antes provados

• Usados na verificação e síntese de hardware e software