Inferência para várias populações normais –análise de variância (ANOVA)

Capítulo 15, Estatística Básica(Bussab&Morettin, 8a Edição)

9a AULA – 11/05/2015

MAE229 - Ano letivo 2015Lígia Henriques-Rodrigues

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Motivação

Ideia chave: Construir um teste para comparar k (k > 2) populaçõesnormais com a mesma variância.

Exemplos:

Para curar uma certa doença existem quatro tratamentos possíveis: A, B,C e D. Pretende-se saber se existem diferenças significativas nostratamentos no que diz respeito ao tempo necessário para eliminar adoença.

Comparar três lojas quanto ao volume médio de vendas.

. . ..

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Seja Y a v.a. de interesse de uma determinada população (indivíduos,animais, empresas....), e admita-se que os elementos da população podemser classificados em níveis de um fator.

Exemplo: Consideremos:Y – altura dos indivíduos (variável de interesse)P – população constituída por todos os indivíduos,fator: sexo (com dois níveis F e M) (i = 1,2).

Extraímos uma amostra de dimensão n1 da população P1 : pessoas do sexomasculino (y11, y12, . . . , y1n1).

Extraímos uma amostra de dimensão n2 da população P2 : pessoas do sexofeminino (y21, y22, . . . , y2n2),

e suporemos que as amostras recolhidas são independentes

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Seja:

E(Y ) = µ – a média global da v.a. Y para a população P (média das alturasde todos os indivíduos)

E(Y |P1) = µ1 – a média da v.a. Y para a subpopulação P1 (média dasalturas do homens)

E(Y |P2) = µ2 – a média da v.a. Y para subpopulação P2 (média das alturasdas mulheres)

Neste exemplo, a hipótese a testar é,

H0 : µ1 = µ2 = µ versus H1 : µ1 6= µ2

A questão é saber se o factor exerce alguma influência na variação dacaracterística em estudo.

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No caso mais geral, admitimos que temos k amostras independentes, de ksubpopulações (populações) P1,P2, . . . ,Pk , e onde k representa o númerode níveis do fator,

subpopulação P1 =⇒ amostra y11, y12, . . . , y1n1

subpopulação P2 =⇒ amostra y21, y22, . . . , y2n2

· · · · · · · · ·subpopulação Pk =⇒ amostra yk1, yk2, . . . , yknk

onde

P1 ∼ N(µ1, σ2)

P2 ∼ N(µ2, σ2)

· · · · · · · · ·Pk ∼ N(µk , σ

2)

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Sejam:

Yij – v.a.’s que representam as observações (i = 1, . . . , k e j = 1, . . . ,ni )ni – dimensão da subpopulação Pi (i = 1, . . . , k )k – número de níveis do fatorµi – média da subpopulação Pi (i = 1, . . . , k )µ – média global (de todas as subpopulações)

τi = µ− µi – o efeito do nível i (∑k

i=1 τi = 0)eij – v.a’s que representam o erro aleatório de cada observação e quesupomos independentes entre si (E(eijeim) = 0 e E(e1je2m) = 0), e comvariância σ2.

Modelo

Yij = µi + eij , i = 1, . . . , k j = 1, . . . ,ni

= µ+ τi + eij , i = 1, . . . , k j = 1, . . . ,ni

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Objetivo

Admitindo que temos um fator com k níveis, o objetivo é estimar as médiasde cada uma das subpopulações µi (i = 1, . . . , k ) e testar a hipótese

{H0 : µ1 = µ2 = . . . = µk = µH1 : µi 6= µj , para algum par (i , j)

ou {H0 : τ1 = τ2 = . . . = τk = 0H1 : τi 6= 0, para algum i

Nota: O modelo anterior é designado de modelo de efeitos (níveis) fixos umavez que as subpopulações, determinadas pelos níveis do fator, sãopré-determinadas.

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Exemplo: Para curar uma certa doença existem quatro tratamentospossíveis: A, B, C e D.

Pretende-se saber se existem diferenças significativas nos tratamentos noque diz respeito ao tempo necessário para eliminar a doença.

Temos apenas um factor, Tratamento, que se apresenta em quatro níveis, A,B, C e D.

Através da aplicação da análise de variância com um factor ou one-wayANOVA, podemos saber se os tratamentos produzem os mesmos resultadosno que diz respeito à característica em estudo.

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Pressupostos:

A aplicação da análise de variância pressupõe a verificação das seguintescondições:

As amostras devem ser aleatórias e independentes.

As amostras devem ser extraídas de populações normais.

As populações devem ter variâncias iguais σ21 = σ2

2 = . . . = σ2k , ou seja, o

modelo é homocedástico.

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Temos então duas situações possíveis:

H0 é verdadeiro: As diferenças observadas entre as médias amostrais sãodevidas a flutuações amostrais e portanto todas as amostras provêm depopulações com médias iguais. Como se supôs que todas as populações sãonormais e têm variâncias iguais, isto é o mesmo que extrair todas asamostras de uma única população.

H0 é falso: As diferenças observadas entre as médias amostrais sãodemasiado grandes para serem devidas unicamente a flutuações amostrais.As médias das populações não são iguais e as amostras recolhidas provêmde populações diferentes.

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Análise Variância - ANOVAA análise de variância vai estimar a variância por dois métodos diferentes, umsob a validade da hipótese nula e o outro não.

As duas estimativas obtidas são depois comparadas para tomarmos umadecisão: se os grupos tiverem todos a mesma média (isto é, se H0 éverdadeiro), as duas estimativas devem estar próximas uma da outra, casocontrário (isto é, se H1 é verdadeiro) devem diferir significativamente.

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Decomposição da soma de quadradosSeja

N =k∑

i=1

ni , y i =

∑nij=1 yij

ni, y =

∑ki=1∑ni

j=1 yij

N=

∑ki=1 niy i

N.

k∑i=1

ni∑j=1

(yij − y)2

︸ ︷︷ ︸SQTot

=k∑

i=1

ni(y i − y)2

︸ ︷︷ ︸SQEnt

+k∑

i=1

ni∑j=1

(yij − y i)2

︸ ︷︷ ︸SQDen

SQTot = SQEnt + SQDen

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• SQTot –> é a soma de quadrados total e mede a variação total nos dados;

• SQEnt –> é a soma de quadrados entre os níveis, ou grupos, do factor emede a variação entre grupos (populações); é por vezes designada porvariação explicada, pois ela é explicada pelo facto de as amostras poderemprovir de populações diferentes;

• SQDen –> é a soma de quadrados dentro dos níveis, ou grupos, do factor emede a variação dentro dos grupos (populações); é por vezes designada porvariação não explicada ou residual, pois é atribuída a flutuações dentro domesma população, portanto não pode ser explicada pelas possíveisdiferenças entre os grupos (populações).

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Estimativa entre da variância:Mostra-se que:

SQEntσ2 =

∑ki=1 ni(y i − y)2

σ2 ∼H0

χ2(k−1)

e que a estimativa da variância σ2 é dada por:

QMEnt =SQEntk − 1

.

Estimativa dentro da variância:Mostra-se que:

SQDenσ2 =

∑ki=1∑ni

j=1(yij − y i)2

σ2 ∼H0

χ2(N−k)

e que a estimativa da variância σ2 é dada por:

QMDen =SQDenN − k

.

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Estatística de TesteA estimativa dentro da variância, QMDen , não é afectada pela veracidade oufalsidade de H0.

Ao contrário, a estimativa entre da variância, QMEnt, já o é, sendoaproximadamente igual a QMDen quando H0 é verdadeira e maior do queesta se H0 é falsa.

F =QMEntQMDen

∼H0

F(k−1,N−k)

• Se H0 é verdadeira, σ2 pode ser estimada pelos dois processos e como asduas estimativas serão aproximadamente iguais, a razão F será próxima de 1.

• Se H0 for falsa, as diferenças nas médias populacionais vão provocar maiorvariabilidade nas médias amostrais e portanto QMEnt será também grandecomparativamente com QMDen. A razão F tomará um valor maior que 1.

Região CríticaRC=(c,+∞), onde P(F(k−1,N−k) > c) = α

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Tabela de Análise de Variância

Fonte da graus de SQ QM FVariação (F.V.) liberdade (g.l.)

Entre k − 1 SQEnt QMEnt=SQEntk − 1

QMEntQMDen

grupos

Dentro N − k SQDen QMDen=SQDenN − k

dos gruposTotal N − 1 SQTot QMTot

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Fórmulas para cálculo das somas de quadrados

• SQTot =∑k

i=1∑ni

j=1 y2ij − Ny2;

• SQDen =∑k

i=1(ni − 1)S2i =

∑ki=1

(∑nij=1 y2

ij − niy2i

)• SQEnt =

∑ki=1 ni(y i − y)2 =

∑ki=1 niy

2i − Ny2

Dados balanceadosSe n1 = n2 = . . . = nk = n então N = nk .

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Exemplo (pág. 431): Uma escola analisa seu curso por meio de umquestionário com 50 questões sobre diversos aspectos de interesse. Cadapergunta tem uma resposta, numa escala de 1 a 5 (a v.a. Y ), em que a maiornota significa melhor desempenho. Na última avaliação, usou-se umaamostra de alunos de cada período, e os resultados estão na tabela abaixo.Existem as indicações estatísticas para dizer que o desempenho no cursotem uma influencia de período de aplicação do curso?

PeríodoManhã Tarde Noite

4,2 2,7 4,64,0 2,4 3,93,1 2,4 3,82,7 2,2 3,72,3 1,9 3,63,3 1,8 3,54,1 3,4

2,8

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Fator: período com 3 níveis

i = 1 – manhã (n1 = 7)i = 2 – tarde (n2 = 6)i = 3 – noite (n2 = 8)

N = 7 + 6 + 8 = 21

Hipóteses: H0 : µ1 = µ2 = µ3 versus H1 : µi 6= µj , para algum par (i , j)

Estatística de Teste: F =QMEntQMDen

∼H0

F(2,18)

TABELA ANOVA

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Teste de HomocedasticidadeUma das suposições para a aplicação da técnica da ANOVA é que avariância é igual em todos os níveis, mas nem sempre é possível garantir queeste pressuposto é válido. Este teste tem como pressuposto que aspopulações tenham distribuição normal. Além disso, só é aplicável quando asdiferentes amostras envolvidas têm dimensões ni ≥ 4 (∀i).

Teste de Bartlett• Hipótese Nula: H0 : σ2

1 = σ22 = . . . = σ2

k

• Calcular a variância comum

S2 =

∑ki=1(ni − 1)S2

iN − k

=SQDenN − k

= QMDEn

• Calcular

M = (N − k) ln S2 −k∑

i=1

(ni − 1) ln S2i

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• Calcular

C = 1 +1

3(k − 1)

[k∑

i=1

( 1ni − 1

)−( 1

N − k

)]

• Estatística de Teste (distribuição aproximada válida para amostras grandes):

MC∼H0

χ2(k−1)

• Região Crítica: RC=(c,+∞), com α = P(χ2(k−1) > c).

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Exemplo: Suponha que é director de marketing de uma empresa quepretende relançar um produto no mercado. Você estudou três campanhas demarketing diferentes, cada uma deles combina de modo diferente factorescomo o preço do produto, a apresentação do produto, promoçõesassociadas, etc. Qualquer uma destas campanhas é levada a cabo no pontode venda, não havendo qualquer publicidade nos meios de comunicação.Para saber se há diferença entre as três campanhas relativamente à suaeficácia, cada uma delas é feita num conjunto de lojas seleccionadasaleatoriamente, durante um período de duração limitada. Note que as lojassão seleccionadas de modo a que as três amostras sejam aleatórias eindependentes entre si. As vendas (em unidades monetárias) registradasdurante este período constam da tabela seguinte.

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Campanha 1 Campanha 2 Campanha 38 10 76 8 55 12 86 7 67 9 7

10 511

Total 32 67 38

Seja Yi a v.a. que representa o volume de vendas da loja sujeita à campanhai (i = 1,2,3).

Estatísticasy1 = 6.4; y2 = 9.5714; y3 = 6.3333; y = 7.611SQEnt = 44.04; QMEnt = 22.015; SQDen = 30.2476; QMDen = 2.0165

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• H0 : σ21 = σ2

2 = σ23 versus H1 : σ2

i 6= σ2j , para algum par (i , j)

• QMDen = 22.015

• M = 1.065

• C = 1.09167

• MC∼H0

χ2(2)

• RC = (9.21,+∞)

• M/C = 0.976 /∈ RC

Ao nível de significância de 0.01, não se pode rejeitar a hipótese de que astrês variáveis populacionais tenham iguais variâncias.

TABELA ANOVA

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