1. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR 11.. FFIIAABBIILLIITTAATTEE,,
MMEENNTTEENNAABBIILLIITTAATTEE,, DDIISSPPOONNOOBBIILLIITTAATTEE
Dezvoltarea rapid a aparaturii electronice a condus la preocupri
susinute n domeniul fiabilitii produselor, de cteva zeci de ani
fiabilitatea reprezentnd o ramur separat a tiinei. Definirea
fiabilitii comport dou aspecte: unul cantitativ i unul calitativ.
Din punct de vedere cantitativ, fiabilitatea unui dispozitiv
(sistem) reprezint probabilitatea ca acesta s i ndeplineasc
funciunile pentru care a fost realizat, n mod corespunztor, pn la
momentul de timp ( )tP t , n condiii de utilizare specificate. n
mod normal, un produs este nsoit de un manual tehnic, n care sunt
specificate condiiile n care produsul poate lucra (temperatura,
umiditatea, ocuri, tensiune de alimentare, etc.). La studiul
fiabilitii unui produs trebuie respectate condiiile specificate de
fabricant. Din punct de vedere calitativ, fiabilitatea reprezint
proprietatea, aptitu- dinea unui produs de a-i ndeplini in mod
corespunztor funciunile pentru care a fost proiectat, o anumit
perioad de timp, n condiii de utilizare specificate. Dintre
obiectivele fiabilitii trebuie amintite: studiul defectelor
sistemelor (mecanisme de defectare, cauze, influena defectelor,
combaterea lor); aprecierea comportrii sistemelor n funcionare, n
raport de condiiile de exploatare; realizarea unor modele
fiabilistice ale produselor, pe baza crora se calculeaz
fiabilitatea lor, existnd astfel posibilitatea comparrii
diferitelor variante i structuri. Se observ c noiunea de baz cu
care opereaz fiabilitatea este defectul. Ca urmare a apariiei unui
defect, un sistem i poate pierde total capacitatea de funcionare
(de exemplu: defectarea microprocesorului central la un microcal-
culator), sau i nrutete performantele (de exemplu: defectarea unei
uniti de disc flexibil la un sistem cu mai multe uniti). Din punct
de vedere probabilistic, un defect reprezint un eveniment a crui
realizare conduce la modificarea performanelor sistemului, n sensul
nrutirii lor. Starea de defeciune a unui sistem poate fi prsit ca
urmare a unor aciuni de reparare, sau nu, cnd defectul nu mai poate
fi remediat (de exemplu: un circuit hibrid ncapsulat ermetic, la
care s-a defectat o component trebuie inlocuit integral). Dac
sistemul poate fi reparat, se spune c avem de-a face cu un proces
de restabilire, fiind implicat conceptul de mentenabilitate, care
reprezint aptitudinea sistemelor, exprimat calitativ sau
cantitativ, de a fi reparate, dup apariia unui defect, ca urmare a
unor aciuni de mentenan. - 1 -
2. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR n tehnica de calcul
mentenabilitatea se refer la module i sisteme i mai puin la
componente. Starea de funcionare sau defectare a unui sistem este
caracterizat la modul cel mai general, de conceptul de
disponibilitate, concept ce nglobeaz att fiabilitatea, ct i
mentenabilitatea. Prin definiie, din punct de vedere cantitativ,
disponibilitatea reprezint probabilitatea ca un sistem cu
restabilire s se afle n funciune la momentul de timp t , n condiii
de exploatare i de mentenan specificate. Calitativ disponibilitatea
reprezint aptitudinea unui sistem cu restabilire de a fi n funciune
la un moment de timp dat, n condiii de exploatare i de mentenan
date. 11..11 CCAATTEEGGOORRIIII DDEE FFIIAABBIILLIITTAATTEE n
funcie de modalitatea folosit pentru calculul fiabilitii
sistemelor, putem distinge mai multe categorii de fiabilitate:
Fiabilitatea estimat - este fiabilitatea unui sistem calculat cu
mijloace statistico-matematice. Utilizarea unui model matematic ct
mai apropiat de sistemul real, conduce la rezultate cu un grad de
ncredere ridicat. Fiabilitatea extrapolat - reprezint fiabilitatea
unui sistem determinat prin extinderea fiabilitii estimate la
durate i condiii de exploatare diferite de cele folosite pentru
obinerea fiabilitii estimate. Gradul de ncredere n rezultate
depinde de realismul mecanismului de exploatare. Fiabilitatea
precalculat (preliminar) - este fiabilitatea calculat pornind de la
concepia sistemului, a bazei de date despre structura acestuia i
despre condiiile de utilizare. Fiabilitatea tehnic (nominal) -
reprezint fiabilitatea determinat n urma ncercrilor, n condiii de
fabricaie, n conformitate cu regimurile de funcionare prevzute n
documentaia tehnic. Este, deci, fiabilitatea la productor.
Fiabilitatea operaional - este fiabilitatea determinat prin
prelucrarea datelor referitoare la un numr mare de produse, aflate
la diveri beneficiari, n condiii reale de exploatare. Se mai numete
fiabilitate real, sau fiabilitate la beneficiar. - 2 -
3. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR 11..22
CCLLAASSIIFFIICCAARREEAA SSIISSTTEEMMEELLOORR DDIINN PPUUNNCCTT
DDEE VVEEDDEERREE FFIIAABBIILLIISSTTIICC Sistemele pot fi
clasificate n mai multe categorii n funcie de comportarea n
exploatare i de utilizarea lor, de modul de exploatare, de influena
defeciunilor asupra comportrii sistemului. Funcie de comportarea n
exploatare i de utilizarea lor, distingem: a) sisteme fr
restabilire - capacitatea de funcionare b) nu se mai restabilete n
procesul exploatrii dup apariia defec- iunii (de exemplu:
componentele electronice); c) sisteme cu restabilire - funcionarea
poate fi reluat dup apariia unei defectiuni (de exemplu:prin
nlocuirea unor componente). Funcie de modul de exploatare,
deosebim: a) sisteme cu servire - au personal de supraveghere a
funcionrii (de exemplu: n centrele de calcul); b) sisteme fr
servire - nu exist personal pentru intervenii (de exemplu:
sistemele aflate pe satelii, sonde spaiale). Funcie de influena
defeciunilor asupra comportamentului sistemului, avem: a) sisteme
simple - la apariia unei defeciuni sau i pierd capacitatea de
funcionare, sau i continu funciile la parametri normali (n acest
caz existnd faciliti de tolerare a defectelor). Sunt sisteme cu dou
stri: funcionare,nefunctionare; b) sisteme complexe - la apariia
unei defectiuni sistemul continu s funcioneze, dar cu capacitate
redus (performane degradate). Aceast categorie de sisteme pot avea
mai mult de dou stri. 11..33 CCLLAASSIIFFIICCAARREEAA
DDEEFFEECCIIUUNNIILLOORR Pot fi puse n eviden mai multe categorii
de defectiuni, conform urmtoarelor criterii de clasificare: Durata
defeciunii: a) temporare: se datoreaz unor factori perturbatori,
sau unor regimuri anormale de lucru; dispar odat cu ndeprtarea
cauzelor (de exemplu: blocarea unui calculator datorit unor parazii
pe reea, ce au trecut prin sursa de alimentare); b) intermitente:
au un caracter temporar i sunt greu de depistat (de exemplu:
contacte imperfecte, lipituri reci); c) rateuri: au un caracter
temporar de scurt durat;sunt determinate de perturbaii scurte i se
nltur de la sine; - 3 -
4. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR d) stabile (definitive):
dispar numai n urma reparrii; sunt urmri ale modificrilor
ireversibile din componente. Legtura statistic ntre defeciuni: a)
independente: apariia defeciunii nu este provocat de apariia unei
alte defeciuni; b) dependente: apariia unei defeciuni face mai
probabil apariia altor defeciuni. Legtura cauzal ntre defeciuni: a)
primare: nu sunt provocate de alte defeciuni i pot cauza, ele
nsele, alte defeciuni; b) secundare: determinate de alte defeciuni.
Uurina de detectare: a) evidente: se descoper prin control vizual
sau la punerea sub tensiune (de exemplu: un modul ieit din
conector); b) ascunse: se depisteaz cu aparate speciale. Modul de
apariie: a) instantanee: nu pot fi prevzute n urma examinrii
caracteristicilor sistemului; b) progresive: rezultat al avariei
lente a parametrilor datorit uzurii i mbtrnirii. Se pot detecta la
verificrile periodice. Gradul de reducere a capacitii de
funcionare: a) pariale: nu conduc la dispariia total a funciei
cerute; se reduce calitatea serviciilor, dar produsul poate fi nc
folosit; b) totale: produsul nu mai satisface funcia cerut i este
scos din uz. Caracterul defeciunii: a) catastrofal: se pierde brusc
capacitatea de funcionare (e instantanee i total); b) parametric:
are loc o depire n timp a limitelor impuse parametrilor (e
progresiv i parial), conducnd n timp la o defectare catastrofal.
Volumul i caracterul restabilirii: a) dereglare: regimul normal de
lucru este alterat datorit ajustrii necorespunzatoare a unor
elemente de reglaj; b) deranjament (cdere): determinat de
modificrile ireversibile n structura unor componente; se poate
nltura numai prin nlocuirea elementului defect; c) avarie:
determinat de erori grave n exploatare sau de fabricaia incorect;
necesit timp ndelungat pentru restabilire. Multitudinea factorilor
ce pot provoca apariia unei defeciuni fac ca momentul de apariie al
defeciunii s poat fi considerat un eveniment aleator. Amploarea
defeciunii, ca i numeroasele aciuni implicate n restabilire, conduc
la modelarea timpului de reparare tot cu ajutorul evenimentelor
aleatoare. - 4 -
5. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR 22.. EELLEEMMEENNTTEE DDEE
FFIIAABBIILLIITTAATTEE nainte de a trece la prezentarea bazelor
matematice ale teoriei fiabilitii, se vor enumera mrimile
fundamentale de interes. Dup cum s-a afirmat anterior, noiunea de
baz cu care se lucreaz n fiabilitate este defeciunea. Momentele de
producere ale defeciunilor sunt distribuite aleator n timp.
Principala variabil aleatoare, legat de defeciuni, este T, timpul
de funcionare fr defeciuni. Alte mrimi asociate sunt: - funcia
densitate de probabilitate a defeciunilor; considernd intervalul (
)tf ( ]iii tt,t + , reprezint raportul dintre viteza de variaie a
numrului de supravietuitori n intervalul specificat i numrul de
produse din lotul considerat n studiu, . ( )tf N ( ) ( ) ( ) ( ]iii
i iii tt,tt, N 1 t ttntn tf + + = (2.1) n care reprezint numrul de
produse n stare de funcionare la momentul ( )itn it ; ( )ii ttn +
reprezint numrul de produse n stare de funcio- nare la momentul ,
iarii tt + ( ) ( )iii ttntn + reprezint numrul de defecte (cderi) n
intervalul ( ]iii tt,t + . - funcia de repartiie, reprezentnd
probabilitatea ca sistemul s nu mai fie n stare de funcionare la
momentul ( )tF t . (2.2)( ) ( ) t 0 dxxf=tF - funcia de fiabilitate
a sistemului,( )tR ( ) tF1=tR ( ) , reprezentnd probabilitatea ca
sistemul s se afle n stare de funcionare la momentul t , el opernd
n condiii specificate. sau - rata cderilor (intensitatea
defeciunilor); reprezint raportul dintre numrul de cderi n
intervalul ( )tz ( )t ( ]iii tt,t + i numrul de specimene aflate n
stare de funcionare la nceputul intervalului, mprit la lungimea
intervalului. Caracterizeaz n mod dinamic viteza de producere a
defeciunilor. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ]iii ii iii t+t,tt, t 1 tn ttn-tn
=tz + (2.3) Sunt valabile relaiile: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t 0 t 0 dxxzdxxz etz=tf;e=tR; tR tf =tz (2.4) - 5 -
6. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR - timpul mediu de bun
funcionare, definit astfel:MTBF (2.5)( ) ( )dttR=dtttf=MTBF 00 MTTR
- timpul mediu de reparare. Reprezint media tuturor timpilor
necesari pentru repunerea n funcionare a unui sistem, dup apariia
unei defeciuni, considernd o perioad de observare infinit de lung.
- funcia de disponibilitate a sistemului. Reprezint probabilitatea
ca un sistem s fie funcional la momentul ( )tA t , avndu-se n
vedere i posibilitatea reparrii sistemului, n caz de defeciune. -
disponibilitatea pe interval. Este probabilitatea ca sistemul s
funcioneze corect n intervalul ( )tA ( )+t,t : ( ) A(x)dx 1 =A +t t
t (2.6) - coeficientul de disponibilitate:A MTTR+MTBF MTBF
=A(t)lim=A t (2.7) - 6 -
7. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR 33.. BBAAZZEELLEE
MMAATTEEMMAATTIICCEE AALLEE TTEEOORRIIEEII FFIIAABBIILLIITTIIII
33..11 VVAARRIIAABBIILLEE AALLEEAATTOOAARREE Fie o mulime finit sau
numrabil. Atunci, o variabil aleatoare poate fi descris ca fiind o
funcie , avnd ca domeniu de definiie mulimea prilor lui , cu valori
reale, astfel nct ( ) ( ) Px , este definit probabilitatea .( )xP (
) R P: (3.1) Pentru cazul mulimilor finite sau numrabile, este uor
de definit o funcie de probabilitate, specificnd valoarea pentru
fiecare element sau subset. Pentru cazul cnd mulimea nu mai este
numrabil, nu se mai poate specifica probabilitatea pentru fiecare
element. Ca urmare, se introduce funcia de repartiie pentru
variabila aleatoare , notat ( )xF . ( ) ( )xPxF = (3.2) Deoarece
pentru o variabil aleatoare continu , probabilitatea , faptul c
uneori apare semnul egal, iar uneori nu apare, este lipsit de
semnificaie. ( ) 0xP 0 == 33..22 FFUUNNCCIIAA DDEE
RREEPPAARRTTIIIIEE.. DDEENNSSIITTAATTEEAA DDEE
PPRROOBBAABBIILLIITTAATTEE Pentru orice , se definete funcia de
repartiie a variabilei aleatoare , reprezentnd probabilitatea ca
variabila aleatoare s ia valori mai mici sau egale cu x. Rx ( ) (
)xPxF = (3.3) Proprietile funciei de repartiie sunt: este monoton
cresctoare:( )xF ( ) ( ) ( )212121 xFxFx,x,xx R (3.4) Fiind o
probabilitate, ndeplinete urmtoarele condiii:( )xF ( ) ( )
1=xFlim0;=xFlim xx + (3.5) ( ) 1xF0 (3.6) Conform acestor
proprieti, rezult c graficul funciei de repartiie are, aproximativ,
forma reprezentat n figura 3.1. - 7 -
8. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR F(x) x 1 0 Figura 3.1 -
Graficul funciei de repartiie. n cadrul fiabilitii, de obicei pe
abscis se afl timpul de observare i atunci funcia este definit
numai pentru .( )xF 0x ( ) ( ) (aF-bF=b
9. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR n figurile 3.2 i 3.3 se
prezint densitatea de probabilitate i funcia de repartiie pentru o
variabil aleatoare ce poate lua patru valori. f(x) x 0 x1 x2 x3 x4
f(x) x 0 x1 x2 x3 x4 Figura 3.2 Figura 3.3 S-a remarcat anterior c,
dac funcia ( )xF este derivabil peste tot, atunci avem de-a face cu
o variabil aleatoare continu. Dac, ns, este derivabil exceptnd un
numr individual de puncte (figura 3.4), variabila aleatoare se
numete mixt. ( )xF Trebuie remarcat c funcia ( )xF este continu la
stnga pe ntreg domeniul de definiie. F(x) x 1 0x1 x2 x3 x4 Figura
3.4 - Graficul funciei de repartiei pentru o variabil aleatoare
mixt. - 9 -
10. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR 33..33 VVAALLOOAARREEAA
MMEEDDIIEE AA UUNNEEII VVAARRIIAABBIILLEE AALLEEAATTOOAARREE Fie o
variabil aleatoare discret, avnd distribuia urmtoare: 3.11) ( ) ( )
( ) LL LL n21 n21 xpxpxp xxx : ( Dac seria: (3.12)( ) + = + = = 1n
nn 1n nn xpxxp este convergent, atunci ea reprezint valoarea medie
a variabilei aleatoare i se noteaz cu m sau ( )M . Dac variabila
aleatoare este continu, cu densitatea de probabilitate ( )xf ,
atunci media ei este: (3.13)( ) ( )dxxxf=M=m + - Pentru o variabil
aleatoare mixt: ( ) ( ) ( ) C ' n nn dxxxF+xp=M=m (3.14) unde suma
se efectueaz n punctele de discontinuitate, iar integrala pe
intervalele de continuitate. Exemplu: fie suma punctelor feelor
celor dou zaruri obinut la o aruncare. { }12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2=
Variabila aleatoare , care ia ca valoare suma celor dou zaruri la o
aruncare, are urmtoarea distribuie: 36 1 36 2 36 3 36 4 36 5 36 6
36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 12111098765432 : Valoarea medie a acestei
variabile aleatoare este: 36 1 12+ 36 2 11+ 36 3 10+ 36 4 9+ 36 5
8+ 36 6 7+ 36 5 6+ 36 4 5+ 36 3 4+ 36 2 3+ 36 1 2=m 33..44
DDIISSPPEERRSSIIAA UUNNEEII VVAARRIIAABBIILLEE AALLEEAATTOOAARREE
Fie o variabil aleatoare discret ce poate lua valori cu
probabilitile , ix ip Ri . Se definete dispersia ei i se noteaz cu
(sau2 ( )D ) - 10 -
11. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR numrul ( )[ ]2 mM , adic
dispersia variabilei aleatoare ( )2 m . Pentru o variabil aleatoare
discret, rezult: ( ) n n 2 n 2 pmx= (3.15) Dac este o variabil
aleatoare continu, atunci: (3.16)( ) ( ) ( ) + dxxfmx=D= 22 unde
reprezint densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare, iar(
)xf (3.17)( )dxxxf=m + - este valoarea ei medie. Se arat uor c: ( )
( )[ ]222 M-M= (3.18) deoarece avem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+dxxxfm2dxxfx=dxxfm+2mxx=dxxfm-x= + - 2 + - 22 + - 2 + - 2 (3.19)(
) ( ) ( ) ( ) ( )[ 222222 + - 2 MM=mM=m+m2mM=dxxfm+ ] Pentru o
variabil aleatoare mixt: ( ) ( ) ( ) ( ) += C '22 nn 2 dxxFmxmxp
(3.20) 33..55 MMOOMMEENNTTUULL DDEE OORRDDIINN kk Dac este o
variabil aleatoare discret, se numete moment de ordin k , i se
noteaz cu sau , valoarea definit de:km ( )kM (3.21)( ) ( ) + = ===
1n n k n k kk pxMMm Dac este o variabil aleatoare continu, cu
densitatea de probabilitate , atunci: ( )xf (3.22)( ) ( ) + ==
dxxfxMm k kk Pentru o variabil aleatoare mixt, rezult: ( ) ( ) ( )
+== C 'k n n k nkk dxxFxpxMm (3.23) Momentul de ordinul nti
reprezint chiar valoarea medie a variabilei aleatoare. - 11 -
12. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR 33..66 MMOOMMEENNTTUULL
CCEENNTTRRAATT DDEE OORRDDIINNUULL kk Fie o variabil aleatoare
discret. Se definete momentul centrat de ordinul astfel: k (3.24)(
) + = = 1n n k nk pmx n care m reprezint valoarea medie a
variabilei aleatoare . Dac variabila aleatoare este continu,
atunci: (3.25)( ) ( )dx.xfmx k + - k = Dac variabila aleatoare este
mixt: ( ) ( ) ( ) ( ) += C k n n k nk dxxfmxpmx (3.26) Se observ c:
( ).m-mkk = (3.27) De asemenea: (3.28)2 2 = care a fost anterior
definit. n teoria fiabilitii sunt foarte importante mrimile i . Se
mai utilizeaz i abaterea medie patratic:m 2 .= 2 (3.29) 33..77
CCOOEEFFIICCIIEENNTTUULL DDEE VVAARRIIAAIIEE Fie o variabil
aleatoare cu media i abaterea medie ptratic . Se definete
coeficientul de variaie, ca fiind: m 2 .= (3.30) Vor fi enumerate n
continuare cteva propoziii mai importante din cadrul teoriei
probabilitilor, care vor fi utile n viitor. Dac n1i,Hi = sunt
evenimente care se exclud reciproc i dac evenimentul se poate
realiza numai dac unul dintre evenimentele n A n1i,Hi = , se
realizeaz, atunci: ( ) ( ) ([ = = n 1i ii HAPHPAP )] (3.31) - 12
-
13. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR unde ( iHAP ) reprezint
probabilitatea realizrii evenimentului , n ipoteza c s-a realizat A
n1i,Hi = , iar ( )iHP reprezint probabilitatea realizrii
evenimentului n1i,Hi = . Formula de mai sus poart numele de formula
probabilitii totale. Dac ( AHP i ) reprezint probabilitatea de
realizare a evenimentului n1i,Hi = , n ipoteza c A s-a realizat,
atunci: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )AP HAPHP HAPHP HAPHP AHP
ii n 1j jj ii i = = = (3.32) i aceasta reprezint formula lui Bayes.
Formulele de mai sus au i un echivalent pentru cazul continuu.
Asfel, dac un eveniment depinde de valorile unei variabile
aleatoare , ce are densitatea de probabilitate , atunci este
valabil formula integral pentru probabilitatea total: A ( )xf ( ) (
) ( )[ + = dxxfxAPAP ] (3.33) unde ( xAP ) reprezint probabilitatea
realizrii evenimentului , n condiia . A x= Teorema lui Bayes
devine: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = = dxxfxAP xAPxf AP
xAPxf xfA (3.34) unde reprezint densitatea de probabilitate pentru
variabila aleatoare ce denot realizarea evenimentului . Acest
eveniment, rezultat al unei experiene, depinde de valorile unei
variabile aleatoare ( )xfA A ce are densitatea de probabilitate (
)xf . n continuare se prezint diferite repartiii probabilistice, cu
aplicaii n fiabilitate i n controlul de calitate. - 13 -
14. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR 33..88 RREEPPAARRTTIIIIII
DDIISSCCRREETTEE 33..88..11 RREEPPAARRTTIIIIAA BBIINNOOMMIIAALL Se
consider o serie lung de evenimente care se repet n condiii
identice. Repartiia binomial furnizeaz probabilitatea apariiei unui
eveniment, de un anumit numr de ori, n seria de experiene. S
presupunem c au avut loc experiene independente, n fiecare din ele
evenimentul urmrit avnd aceeai probabilitate de apariie, . Numrul
de apariii al acestui eveniment este o variabil aleatoare, n p , ce
poate lua valorile . Probabilitatea ca n cele experiene,
evenimentul dorit s se produc de ori, , este: n,,2,1,0 K n k nk ( )
( ) ( ) knkk nn p1pkpkP C === (3.35) Se observ c aceste probabiliti
reprezint tocmai termenii dezvoltrii binomului .( )[ ]n p1p +
Distribuia variabilei aleatoare este atunci: (3.36) n1n1 n n pqpq
n10 : C L L unde , reprezint probabilitatea ca evenimentul s nu se
produc.p1q = Funcia de repartiie este: (3.37)( ) [ ] > < = =
0xndaca,qp 0xdaca,0 xF x 0i inii nC Valoarea medie este: (3.38)( )
( ) = == n 0i inii n p1piMm C Pentru calculul ei, se consider
egalitatea: (3.39)( ) = =+ n 0i iniii n n qxpqpx C care se
deriveaz. Se obine: (3.40)( ) = =+ n 0i in1iii n 1n qxpiqpxnp C
Pentru i se obine:1x = p1q = (3.41)( ) pnmpnp1pi n 0i inii nC == =
Pentru calcularea dispersiei se folosete relaia: - 14 -
15. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR ( ) ( )[ ] ( ) ( ) = == n 0i
inii n 22222 p1piM;MM C (3.42) Din relaia (3.40), prin nmulire cu ,
rezult:x (3.43)( ) = =+ n 0i iniii n 1n qxpiqpxnpx C Derivnd aceast
egalitate se obine: (3.44)( ) ( )( ) = =+++ n 1i in1iii n 22n21n
qxpiqpx1nxnpqpxnp C Pentru n aceast ultim expresie se obine:1x = (
) ( ) = ==+ n 1i 21nii n 22 Mqpip1nnnp C (3.45) Deci: ( ) ( )[ ] (
) npqp1nppnnppnnpMM 22222222 ==+== (3.46) Coeficientul de variaie
rezult: np p1 np q np npq m === = (3.47) Exemplu: ntr-un lot de
tranzistoare sunt 5% tranzistoare care au factorul n afara
intervalului specificat n catalog. Care este probabilitatea de a
gsi 4 tranzistoare din 20, cu n afara intervalului din catalog? Dar
probabilitatea ca toate tranzistoarele s corespund catalogului,
pentru 0 0 0 ? Probabilitatea ca, la o extragere, s obinem un
trazistor cu n afara intervalului este p = 0,05. Se aplic repartiia
binomial. 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0246,095,005,0p1p4p 1644 20 1644 2020
CC === ( ) ( ) ( ) 3585,095,0p1p0p 202000 2020 C === 33..88..22
RREEPPAARRTTIIIIAA MMUULLTTIINNOOMMIIAALL Aceast repartiie
reprezint o generalizare a repartiiei binomiale. Modelul (exemplul)
cel mai frecvent este al unei urne cu bile de mai multe culori, s
presupunem r culori i bile din culoarea ,jn j rj1 . Notnd: (3.48) =
= r 1j jnN Probabilitatea ca la o extragere s se obin o bil de
culoarea este:j - 15 -
16. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR N n n n cazuridetotalnumarul
favorabilecazurilornumarul p j r 1j j j j === = (3.49) S presupunem
c au avut loc extrageri, dup fiecare extragere punndu-se bila
extras napoi n urn, asigurndu-se astfel independena extragerilor. n
Se pune problema de a afla care este probabilitatea ca, n urma
acestor extrageri, s se obin bile de culoarea 1, bile de culoarea ,
... , bile de culoarea 1k 2k 2 rk r . Bineneles c: n (3.50)k r 1i i
= = Ordinea de apariie a bilelor nu intereseaz. Se poate demonstra
c probabilitatea acestui eveniment este: ( ) r21 k r k 2 k 1 r21
r21n ppp !k!k!k !n k,,k,kP = K K K (3.51) Aceste probabiliti
determin repartiia multinomial, expresia de mai sus reprezentnd
termenul general din dezvoltarea polinomului: (3.52)( n r21 xxx +++
K ) Pentru 2r = se obine repartiia binomial. 33..88..33
RREEPPAARRTTIIIIAA GGEEOOMMEETTRRIICC Considerm repetarea unei
experiene de ori, n condiii identice. Probabilitatea ca un anumit
eveniment, a crui probabilitate de realizare n cursul unei
experiene este , s apar exact o dat n cursul celor n experiene este
dat de repartiia geometric: n p ( ) 1n p1pP = (3.53) Notnd p1q = ,
avem urmtoarea distribuie: 3.54) LL LL 1n2 pqpqpqp n321 : ( Funcia
de repartiie este: ( ) ( ) ( ) ( ) ( n nn 1i 1i n 1i 1i p11 p11 p11
pp1pp1pxF = + === = = ) (3.55) Media rezult: ( ) ( ) ( ) p 1
kqpp1kpp1kpMm 1k 1k 1k 1k 1k 1k ===== = = = (3.56) - 16 -
17. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR Dispersia rezult: ( )[ ] ( ) (
)[ ] 2 2222 p p1 MMmM === (3.57) iar coeficientul de variaie: p1 m
= = (3.58) Exemplu: Considerm c avem nevoie de un tranzistor bun pe
care l lum dint-un lot de tranzistoare. Pentru aceasta folosim un
aparat de ncercat tranzistoare, care indic dac tranzistorul este
bun sau defect. Probabilitatea ca un tranzistor s fie defect este .
Notnd cu n p variabila aleatoare care indic numrul de tranzistoare
ncercate, pn a fost gsit unul funcional, s i se construiasc tabloul
de distribuie i s i se calculeze media i dispersia. Solutie: Avem
urmtorul tablou de distribuie: 1n2 pqpqpqp n321 : L L unde .p1q =
33..88..44 RREEPPAARRTTIIIIAA HHIIPPEERRGGEEOOMMEETTRRIICC Se
consider o mulime de elemente, dintre care sunt grupate ntr-o clas,
pe anumite considerente. Repartiia hipergeometric furnizeaz
probabilitatea ca, dintr-un eantion de elemente, s fie din acea
clas: N 1N n k ( ) C CC n N kn NN k N 11 kP == (3.59) Media i
dispersia acestei repartiii sunt: 1N nN N N 1 N nN N nN m 112 1 = =
(3.60) Exemplu: Se consider un lot de de rezistene, dintre care
sunt defecte. Fie variabila aleatoare reprezentnd numrul de
rezistene defecte dintr-un lot de 50 de buci. S se identifice legea
de repartiie. 200 %5 Soluie: Sunt n total rezistene, dintre
care:200N = 10200 100 5 N%5N1 === - 17 -
18. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR sunt defecte i 19010200NN 1 ==
sunt bune. Un eantion de rezistene conine50 k defecte i k50 bune.
Cu cele rezistene n stare valid se pot forma grupe de1NN CC k50 190
k50 NN 1 = k50 rezistene. Cu cele defecte se pot forma grupe de1N
CC k 10 k N1 = k rezistene. Numrul posibil de cazuri care s conin k
rezistene defecte este: CCCC k 10 k50 190 k N k50 NN 11 = Numrul
total de cazuri este: CC 50 200 50 N = Probabilitatea de a avea k
rezistene defecte n grupul de selectate este:n ( ) C CC C CC 50 200
k50 190 k 10 n N kn NN k N 11 kP = == deci se obine repartiia
hipergeometric. 33..88..55 RREEPPAARRTTIIIIAA PPOOIISSSSOONN O
variabil aleatoare discret are o repartiie Poisson, dac: ( ) ( ) 0;
!k ek kPkf > === (3.61) unde .{ }K,2,1,0k Aceast repartiie
rezult din repartiia binomial, cnd: , astfel nct: 0p,n ttanconspn
== (legea numerelor rare). Funcia de repartiie este: ( ) ( ]
0n,n,1nx; !k e xF 1n 0k k >= = (3.62) Media acestei variabile
aleatoare rezult: ( ) == == = = ee !1k e !k e km 1k 1k 1k k (3.63)
deci =m . Dispersia este: ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) =+==== = = 0k k22
0k k2222 !k e k2k !k e kMmM ( ) ( ) = ++= + = = = = = 1k k 22 0k k
2 0k k 0k k 2 !1k 11ke2ee !k k !k k2 !k e ( ) ( ) ( ) =++= + + += =
= eeee !2k!1k ee 22 2k 2k 2 1k 1k 2 (3.64) - 18 -
19. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR Repartiia Poisson are o
importan deosebit n cadrul fluxurilor de evenimente, care vor fi
tratate ulterior. 33..99 RREEPPAARRTTIIIIII CCOONNTTIINNUUEE
33..99..11 RREEPPAARRTTIIIIAA UUNNIIFFOORRMM O variabil aleatoare
are o repartiie uniform pe intervalul [ , dac densitatea de
repartiie este: ]b,a ( ) ( ] ( ] = b,axdaca0 b,axdaca ab 1 xf
(3.65) Expresia funciei de repartiie este: ( ) ( ) ( ) ( ) >= =
< = == = bxdaca1du ab 1 duuf bxadaca ab ax duuf axdaca0du0duuf
xF b a b a x z xx (3.66) F(x) f(x) x x 1 b-a 0 1 a a b b Figura 3.5
- Densitatea de probabilitate i funcia de repartiie pentru
repartiia uniform. Media este: ( ) 2 ba 2 x ab 1 dx ab x dxxxfm b a
2b a + = = == + (3.67) - 19 -
20. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR Dispersia este: ( ) ( ) ( ) 12
ab dx ab 2 ba x dxxfmx 2b a 2 22 = + == + (3.68) Distibuia uniform
este inerent n msurtorile fcute cu instrumente cu diviziuni mari,
cnd msurtoarea trebuie rotunjit, de exemplu la cel mai apropiat
ntreg sau la numrul corespunztor diviziunii celei mai apropia- te.
n acest caz exist o distribuie uniform a erorii de rotunjire n
intervalul ( )2 l, 2 l + , unde reprezint valoarea unei diviziuni.l
Exemplu: S considerm un sistem de calcul funcionnd dup un ceas avnd
forma din figura 3.6. t t1 t2 Clock Figura 3.6 - Forma de und a
semnalului de ceas Atunci cnd semnalul de ceas are nivelul "0"
(intervalul ), sunt luate n consideraie eventualele cereri de
ntrerupere. S se gseasc probabilitatea ca o cerere de ntrerupere s
fie luat n eviden imediat. De asemenea, s determinam
caracteristicile variabilei aleatoare , reprezentnd timpul de
ateptare pn la luarea n eviden. 2t T Soluie: Momentul n care apare
o cerere de ntrerupere este uniform distribuit n intervalul ( )21
tt,0 + , ca n figura 3.7. f(t) t 1 t +t __________ 1 2 t +t1 2
Figura 3.7 - Densitatea de probabilitate pentru momentul sosirii
unei ntreruperi. Se presupune c nu exist nici o sincronizare ntre
emiterea unei cereri de ntrerupere i ceasul sistemului. - 20 -
21. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR Probabilitatea ca o ntrerupere
s fie luat imediat n eviden este 21 1 tt t + . Variabila aleatoare
T, timp de ateptare, este o variabil aleatoare mixt. Ea poate lua
valoarea cu probabilitatea0 21 2 tt t + sau poate lua orice valoare
n intervalul ( , distribuit uniform, cu probabilitatea)1t,0 21 1 tt
t + . Graficul funciei este reprezentat n figura 3.8.( )xF F(t) t
t10 1 t t +t 2 1 2 __________ Figura 3.8 - Graficul funciei ( )xF .
Rezult: ( ) ( ) ( ) + = 1 21 1 t,0t, tt 1 t,0t,0 t'F Media rezult
ca: ( ) ( )21 2 1 t 0 2121 2 tt2 t tdt tt 1 tt t 0Mm 1 + = + + + ==
iar dispersia: ( ) ( ) + + + + + = 1t 0 21 2 21 2 1 21 2 2 21 2 12
tdt tt 1 tt2 t t tt t tt2 t 0 33..99..22 RREEPPAARRTTIIIIAA
NNOORRMMAALL O variabil aleatoare este distribuit normal, cu
parametrii im 2 , dac densitatea de probabilitate este: ( ) ( ) 2 2
2 mx e 2 1 xf = (3.69) - 21 -
22. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR n figura 3.9 este reprezentat
grafic ( )xf . f(x) X 0 m m+m- Figura 3.9 - Densitatea de
probabilitate pentru repartiia normal. Funcia de repartiie este: (
) ( ) = x 2 mx dte 2 1 xF 2 2 (3.70) Valoarea medie: ( ) ( ) ( ) +
+ == dxex 2 1 dxxxfM 2 2 2 mx (3.71) Efectund substituia: ( ) ( ) (
) ( ) +=+==+== ,,t'mttx rezult: ( ) ( ) + + + + =+ = dte 2 m dtet 2
dtemt 2 1 M 2 t 2 t 2 t 22 2 22 (3.72) 0dtet 2 t2 = + , fiind
integrala pe un interval simetric dintr-o funcie impar, iar = +
2dte 2 t2 (integrala lui Poisson). Deci, .( ) mM = Dispersia
rezult: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + == dxe 2 1 mxdxxfmxD 2 2 2 mx 22
(3.73) Folosind aceeai substituie obinem: - 22 -
23. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR ( ) 22 t2 2 t2 ' 2 t2 2 t 2 2
dte 2 dtet 2 dtet 2 dtet 2 D 2222 = + = = = + + + + Se poate arta
c: ( ) ( ) + + = dxxf 100 73,99 dxxf 3m 3m (3.74) adic aria limitat
de grafic, axa i drepteleOx = 3mx i += 3mx reprezint aproximativ
din ntrega arie limitat de graficul lui i axa . %73,99 ( )xf Ox O
proprietate interesant asociat cu repartiia normal este urmtoarea:
dac sunt variabile aleatoare independente repartizate normal, avnd
mediile i dispersiile i dac sunt constante, atunci variabila
aleatoare n1 ,, K n1 m,,m K 2 n 2 1 ,, K n1 a,,a K (3.75) = = n 1k
kka este, de asemenea, repartizat normal, avnd media i dispersia .m
2 (3.76) = = = = n 1k 2 k 2 k 2 n 1k kk a mam Dac este o variabil
aleatoare repartizat normal, atunci probabilitatea ca ea s aib
valorile cuprinse ntr-un interval ( )b,a este: ( ){ } ( ) = = =
mamb dte 2 1 dxe 2 1 b,aP mb ma 2 tb a 2 mx 2 2 2 (3.77) unde
funcia ( ) = x 0 2 t dte 2 1 x 2 (3.78) se numete funcie eroare i
are valorile tabelate. Aceast funcie are urmtoarele proprieti: ( )
( ) ( ) ( ) 5,0xx00 =+== Dac intervalul ( )b,a este centrat n
punctul m , adic este de forma , atunci:( )dm,dm + ( ) ( ) = = t0,
depinde numai de starea prezent (la momentul t0) i nu depinde de
modul n care sistemul a ajuns n aceast stare. Deci, pentru un model
Markov, viitorul depinde numai de prezent i nu de istoria anterioar
prezentului. 33..1122..11 LLAANNUURRII MMAARRKKOOVV Dac starea
sistemului i timpul de observare sunt variabile aleatoare discrete,
atunci se obine un lan Markov. Un exemplu tipic de lan Markov este
drumul unei particule de-a lungul unei axe. La momente stabilite de
timp acest particul se poate deplasa un pas n dreapta, cu
probabilitatea p sau un pas n stnga, cu probabilitatea 1 p. Dac
notm cu X variabila aleatoare discret ce reprezint poziia pe ax,
atunci ea poate fi reprezentat grafic ca n figura 3.13. t x(t) 0
Figura 3.13 - Drumul aleator al unei particule. 1 Andrei Andreevici
Markov (1856-1892), matematician rus care a avut contribuii
importante n domeniul teoriei numerelor, analizei matematice i
teoriei probabilitilor. - 35 -
36. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR n cazul unui lan Markov,
procesul stohastic poate fi descris prin secvena de stri pe care o
parcurge sistemul: ( ) ( ) ( ),...kX,...,2X,1X (3.141) unde X(k)
reprezint starea sistemului dup k pai (variabil aleatoare discret),
iar argumentul reprezint momentele discrete de timp la care pot
avea loc tranziii. Se consider un sistem care poate avea numai un
numr finit de stri Si, i = 1n. Deci, ( ) { } ( ) N= k,n1iSkX i
(3.142) Se noteaz cu pi(k) probabilitatea ca sistemul s se afle n
starea Si, dup exact k pai, adic: ( ) ( )( )ii SkXPkp == (3.143)
Rezult imediat relaia: (3.144)( ) 1kp n 1i i = = adic, dup k pai,
sistemul se afl n mod sigur ntr-una din strile Si, i = 1n.
Probabilitile pi, i = 1n, reprezint probabilitile strilor i, n
general se cunosc valorile lor, pi(0), la momentul nceperii
procesului. Astfel, de exemplu, dac sistemul se afl n starea S2 la
nceputul procesului, atunci: p2(0) = 1 i p1(0) = p3(0) = ... =
pn(0) = 0. Pentru un lan Markov sunt caracterizante probabilitile
de tranziie din- tr-o stare alta. Notm cu pij probabilitatea ca
sistemul s treac din starea i n starea j. Dac aceste probabiliti nu
depind de numrul de pai efectuai anterior (sunt constante n timp) i
depind numai de starea iniial i de starea final, atunci lanul se
numete omogen. ( ) ( ){ }ijij S1kXSkXPP === (3.145) Aceste
probabiliti formeaz o matrice n n, numit matrice de tranziie:
(3.146) nn2n1n n22221 n12111 ppp ppp ppp L MOMM L L Aceast matrice
are urmtoarea proprietate: (3.147)( ) ( ) n1i;P1kpkp n 1j ijji == =
Probabilitatea ca sistemul s parcurg un anumit ir de stri ik1i0i
S,...,S,S este: - 36 -
37. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR ( ) ( ) ( ){ } ( )
ik1ik2i1i1i0i0iik1i0i p...pp0pSkX,...,S1X,S0XP ==== (3.148) Un lan
Markov este convenabil s fie reprezentat sub forma unui graf
orientat, n care nodurile reprezint strile sistemului, iar arcele
reprezint tranziiile posibile de la o stare la alta (figura 3.14).
Exemplu: Un calculator, ce are cuplate o imprimant i un plotter,
poate fi privit ca un sistem care se poate afla ntr-una din
urmtoarele stri: S1 calculatorul, imprimanta i plotter-ul sunt
funcionale; S2 imprimanta este defect i pot fi rulate numai
programe utiliznd plotter-ul; S1 S2 S3 S4 0,4 0,4 0,8 0,8 0,3 0,3
0,2 0,2 0,6 Figura 3.14 - Reprezentarea unui lan Markov sub forma
unui graf orientat. Numerele reprezint probabilitile de tranziie. -
37 -
38. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR S1 S2 S3 S4 0,1 0,2 0,2 0,3
0,1 Figura 3.15 - Graful asociat lanului Markov. S3 plotter-ul este
defect i pot fi rulate numai programe utiliznd imprimanta; S4
calculatorul este defect sau imprimanta i plotter-ul sunt defecte,
sistemul nemaiputnd fi utilizat. n momentul iniial sistemul se afl
n starea S1 i el este controlat la momente fixate de timp, t1, t2,
t3. Sistemul poate fi modelat cu un lan Markov cu trei pai
(momentele de timp dup cele trei controale). Graful asociat este
reprezentat n figura 3.15. Se cer probabilitile strilor sistemului
dup cele trei controale. Nu se iau n considerare eventuale aciuni
de reparare. Soluie: Avem urmtoarele probabiliti de tranziie: p12 =
0,1; p13 = 0,2; p14 = 0,3; p11= 1 p12 p13 p14 = 1 0,1 0,2 0,3 =
0,4; p21 = 0; p23 = 0; p24 = 0,2; p22 = 1 p21 p23 p24 = 1 0,2 =
0,8; p31 = 0; p32 = 0; - 38 -
39. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR p34 = 0,1; p33 = 1 p31 p32 p34
= 1 0,1 = 0,9; p41 = 0; p42 = 0; p43 = 0; p44 = 1 p41 p42 p43 = 1.
Probabilitile iniiale ale strilor sunt: p1(0) = 1, p2(0) = p3(0) =
p4(0) = 0. Aplicm formula recurent: ( ) ( ) = = n 1j ijji P1kpkp
Obinem: p1(1) = p1(0)P11 + p2(0)P21 + p3(0)P31 + p4(0)P41 = 10,4 =
0,4; p2(1) = p1(0)P12 = 10,1 = 0,1; p3(1) = p1(0)P13 = 10,2 = 0,2;
p4(1) = p1(0)P14 = 10,3 = 0,3. Verificare: p1(1) + p2(1) + p3(1) +
p4(1) = 1. p1(2) = p1(1)P11 = 0,40,4 = 0,16; p2(2) = p1(1)P12 +
p2(1)P22 = 0,40,1 + 0,10,8 = 0,12; p3(2) = p1(1)P13 + p3(1)P33 =
0,40,2 + 0,20,9 = 0,26; p4(2) = p1(1)P14 + p2(1)P24 + p3(1)P34 +
p4(1)P44 = 0,40,3 + 0,10,2 + 0,20,1 + 0,31 = 0,3. Verificare: p1(2)
+ p2(2) + p3(2) + p4(2) = 1. p1(3) = p1(2)P11 = 0,160,4 = 0,064;
p2(3) = p1(2)P12 + p2(2)P22 = 0,160,1 + 0,120,8 = 0,112; p3(3) =
p1(2)P13 + p3(2)P33 = 0,160,2 + 0,260,9 = 0,226; p4(3) = p1(2)P14 +
p2(2)P24 + p3(2)P34 + p4(2)P44 = 0,160,3 + 0,120,2 + 0,260,1 +
0,461 = 0,558. Verificare: p1(3) + p2(3) + p3(3) + p4(3) = 1.
33..1122..22 PPRROOCCEESSEE MMAARRKKOOVV n cazul n care sistemul
analizat are un numr finit sau numrabil de stri, iar timpul de
observare este continuu, se obine un proces Markov. n acest
situaie, probabilitatea tranziiei dintr-o stare n alta, la un
anumit moment de timp este ntodeauna nul. Deoarece variabila
aleatoare timp este continu, nu mai putem vorbi de probabilitate de
tranziie, ci de densiti ale probabilitii de tranziie, :ij - 39
-
40. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR ( ) ( ){ } t StX;SttXP lim ij
0t ij ==+ = (3.149) Dac densitile sunt constante n timp, procesul
Markov se numete omogen. ij Procesul Markov poate fi reprezentat,la
fel ca i un lan Markov, printr-un graf orientat avnd strile
sistemului ca noduri. Arcele grafului reprezint n acest caz
densitile probabilitilor de tranziie ij , din starea Si n starea
Sj. Sistemul este caracterizat de probabilitile strilor. Considernd
un sistem cu n stri Si, i = 1n; probabilitile strilor sunt pi(t), i
= 1n, n care pi(t) reprezint probabilitatea ca la momentul t
sistemul s se afle n starea Si. Vom deduce aceste probabiliti ca un
caz limit al unui lan Markov, cnd intervalul de observare t tinde
la zero. Probabilitatea ca sistemul s treac din starea Si n starea
Sj, n intervalul infinit mic t, este, cu o foarte bun aproximaie,
ij t. Considerm urmtoarele evenimente: E1 - sistemul face o
tranziie n starea Si la momentul t + t; E2 - sistemul face o
tranziie din starea Si la momentul t + t; (3.150)( ) ( ) ( ) ( ) ==
== n 1j iji2 n 1j ijj1 ttpEP;ttpEP i reprezint probabilitatea ca
sistemul s se afle n starea i la momentul t, pi(t), nmulit cu
probabilitatea ca sistemul s fac o tranziie din starea Si. 2E -
evenimentul ca sistemul s fie n starea Si la momentul t i s fac o
tranziie la momentul t + t. ( ) ( ) = = n 1j iji2 t1tpEP (3.151)
Atunci evenimentul E, reprezentnd faptul c sistemul se afl n starea
Si la momentul t + t, rezult reuniunea evenimentelor disjuncte E1 i
2E . Avem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +===+ == n 1j iji n 1j ijj21i
t1tpttpEEPEPttp (3.152) (3.153)( ) ( ) ( ) ( ) == =+ n 1j iji n 1j
jijii ttptpttpttp ( ) ( ) ( ) ( ) == = + n 1j iji n 1j jij ii tptp
t tpttp (3.154) Trecnd la limit n ultima egalitate, pentru t tinde
la zero i obinem: - 40 -
41. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR ( ) ( ) ( ) ( ) = + == n 1j
iji n 1j jij 0t ii 0t tptplim t tpttp lim (3.155) adic: ( ) ( ) ( )
n1i;tptp dt tdp n 1j iji n 1j jij i == == (3.156) Acest sistem de
ecuaii difereniale poart numele de ecuaiile Chapman- Kolmogorov2 .
Acestui sistem de ecuaii i se adaug i setul de condiii iniiale
pi(0), i = 1n. Ecuaiile Chapman-Kolmogorov pot fi uor scrise
pornind de la graful asociat sistemului, folosind urmtoarea regul:
derivata probabilitii unei stri este egal cu suma tuturor
probabilitilor care conduc de la orice stare n starea considerat
din care se scade suma tuturor probabilitilor care conduc din
starea considerat n alte stri. Ghilimelele au fost puse deoarece
termenul a fost impropriu folosit, avnd de fapt derivatele unor
probabiliti (densiti de probabilitate). n general, este convenabil
s se presupun c tranziiile sistemului sunt provocate de nite
fluxuri de evenimente. n acest caz, densitile probabilitilor de
tranziie , provin de la fluxurile de evenimente.ij Dac procesul
dureaz un timp ndelungat, este interesant de cunoscut
comportamentul probabilitilor strilor, pi(t), pentru t tinznd ctre
infinit, adic ( ) n1i;ptplim ii t == (3.157) Dac aceste limite
exist, nseamn c dup un anumit timp suficient de mare, procesul se
stabilizeaz. Sistemul trece dintr-o stare n alta, ns probabilitile
strilor nu se mai modific. Aceste limite reprezint n mod relativ
timpul mediu pe care l petrece sistemul n fiecare stare. Un sistem
pentru care exist limitele probabilitilor strilor pentru t tinznd
ctre infinit se numete sistem ergodic, iar procesul stocastic
respectiv se numete proces ergodic. Pentru un sistem ergodic rezult
c probabilitatea de a se afla ntr-o anumit stare, dup un timp
suficient de lung, nu depinde de starea din care se pleac. Nu este
suficient ca un sistem s fie omogen pentru ca s fie i ergodic.
Pentru determinarea ergodicitii strile sistemului sunt mprite n
stri eseniale i stri neeseniale. Acest clasificare a strilor a fost
descris, 2 Sydney Chapman (1888-1970), matematician englez cu
cercetri de matematic aplicat. Andrei Nicolaevici Kolmogorov,
matematician rus cu lucrri importante n domeniul teoriei
probabilitilor. - 41 -
42. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR aproximativ n acelai timp, de
A.N. Kolmogorov pentru lanurile Markov avnd o mulime numrabil de
stri i de W. Doeblin pentru lanurile Markov cu numr finit de stri.
Se noteaz cu Pij(n) probabilitatea ca sistemul s treac din starea
Si n starea Sj, n exact n pai. O stare Si se numete neesenial sau
de tranziie dac exist o stare Sj i un numr n astfel nct Pij(n) >
0, dar Pji(m) = 0, pentru orice m. Pentru un proces Markov, cnd
timpul este continuu, n locul numrului de pai, n, se poate
considera un interval de timp , n care s aib loc tranziia din
starea Si n starea Sj. Din definiie, rezult c o stare neesenial
poate fi atins de sistem, ns odat prsit, nu se mai revine n ea.
Strile S1 i S2 din figura 3.16 reprezint exemple de stri
neeseniale. Toate strile care nu sunt neeseniale se numesc
eseniale.Rezult deci c o stare Si este esenial dac nu exist nici o
alt stare Sj, n care s se ajung pe un drum oarecare din Si, fr ca
sistemul s mai poat reveni n Si. Strile S3 i S4 din figura 3.16
sunt exemple de stri eseniale. Dac Si i Sj sunt dou stri eseniale
i, pentru cazul discret, exist dou numere naturale m i n, astfel
nct Pij(n) > 0, Pji(m) > 0,atunci strile Si i Sj se numesc
comunicante. Aceast relaie este tranzitiv. Strile S3 i S4 din
figura 3.16 sunt stri comunicante, n timp ce strile S3 i S4 din
figura 3.17, dei sunt eseniale, nu sunt stri comunicante. S1 S2 S3
S4 21 24 23 13 34 43 41 12 Figura 3.16 - Reprezentarea unui proces
Markov. - 42 -
43. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR S1 S2 S3 S4 Figura 3.17 -
Diagrama de tranziii asociat. Se poate demonstra c, pentru un
sistem cu numr finit de stri, condiia necesar i suficient pentru
ergodicitate este ca toate strile eseniale s fie comunicante.
Pentru strile neeseniale limitele probabilitilor strilor sunt zero,
deoarece odat prsit o stare neesenial nu se mai revine n ea. n
cazul n care un sistem este ergodic, limitele probabilitilor
strilor se pot obine din ecuaiile Chapman-Kolmogorov, n care se
anuleaz toate derivatele. Se obine astfel un sistem liniar de n
ecuaii cu n necunoscute. Mai trebuie considerat i ecuaia (3.158)1p
n 1j j = = care trebuie ntotdeauna verificat. Sistemul caracterizat
prin graful din figura 3.16 este ergodic, n timp ce sistemul avnd
graful din figura 3.17 nu este ergodic. Dac sistemul are un numr
infinit de stri, atunci condiia enunat anterior nu mai este
suficient i mai trebuie adugate restricii suplimentare. Cnd
coeficienii sunt funcii de timp, deci procesul nu mai este omogen,
ecuaiile Chapman-Kolmogorov sunt dificil de rezolvat. Vom prezenta
n continuare un caz de rezolvare a unor ecuaii diferniale de
ordinuk nti, cu coeficieni variabili n timp. ij - 43 -
44. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR 33..1122..33 EECCUUAAIIII
DDIIFFEERREENNIIAALLEE CCUU CCOOEEFFIICCIIEENNII VVAARRIIAABBIILLII
NN TTIIMMPP n general sunt greu de rezolvat deoarece necesit
substituii, punerea soluiilor sub form de serie. n acest caz
particular avem doar ecuaii diferniale de ordinul nti, iar soluia
poate fi obinut utiliznd metoda factorilor integrani. O ecuaie de
ordinul nti: ( ) ( )tfyta dt dy =+ (3.159) poate fi rescris sub
urmtoarea form: ( )tfy dt dp p 1 dt dy = + (3.160) unde p este o
nou variabil ce va fi legat de a(t). Ecuaia (3.160) poate fi acum
pus acum sub forma: ( ) (tfpy dt d p 1 = ) (3.161) deoarece: ( ) dt
dy y dt dp p 1 p dt dy y dt dp p 1 py dt d p 1 += += (3.162) sau: (
) ( ) ( ) ( )dttpfpyd,tpfpy dt d == (3.163) relaie ce poate fi
integrat: ( ) ( ) ( ) cdttpfpydttpfpyd +== (3.164) n care c este
constanta de integrare, sau: ( ) p c dttpf p 1 y += (3.165) Pentru
a-l elimina pe p, se utilizeaz substituia fcut: ( )ta dt dp p 1 =
(3.166) i rezult: ( ) ( ) ( ) ( ) ==== dtta epdttaplndtta p dp dtta
p dp (3.167) Ecuaiile (3.165) i (3.167) reduc soluia oricrei ecuaii
de ordin nti la dou integrri succesive: - 44 -
45. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR ( ) ( ) ( ) ( ) p c dttpf p 1
yeptfyta dt dy dxxa +===+ (3.168) 33..1122..44 PPRROOCCEESSEE DDEE
NNAATTEERREE II DDEE MMOOAARRTTEE Se consider un sistem care poate
avea un numr finit sau numrabil de stri: . n intervalul de timp
unic,,...S,S 10 t , sistemul aflat n starea poate trece n starea ,
cu probabilitatea kS 1kS + tk , poate trece n starea , cu
probabilitatea , sau poate rmne n starea , cu probabilitatea .
Probabilitatea ca sistemul aflat n starea s treac n alte stri dect
cele specificate este neglijabil. Avem de-a face cu un proces
Markov care, pentru cazul unui numr finit de stri, are graful
reprezentat n figura 3.18. 1kS tk kS ( t1 kk + ) 0n kS S-a presupus
c ,00 = = i nici nu au mai fost reprezentate. Coeficienii k i se
presupune c sunt dependeni dek k , dar independeni de t , ceea ce
conduce la un proces Markov omogen. Procesul stocastic descris mai
sus poart numele de proces de natere i de moarte. Dac starea denot
o populaie dekS k elemente, atunci o tranziie n starea reprezint o
natere, iar o tranziie n starea reprezint o moarte.1kS + 1kS Un
exemplu l constituie mulimea calculatoarelor aflate n funciune n-
tr-o instituie. Atunci cnd unul se defecteaz nseamn c are loc o
moarte, iar cnd unul este reparat are loc o natere. S1 S2S3 S5S4
Figura 3.18 - Exemplu de proces Markov. - 45 -
46. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR Dac ( ) 0i,0i = , atunci vom
avea de-a face cu un proces de natere pur. Dac ( ) 0i,0i = , atunci
avem de-a face numai cu un proces de moarte. Grafului din figura
3.18, care descrie un proces ergodic, i corespund urmtorul sistem
de ecuaii difereniale (Chapman-Kolmogorov): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 1nk1,tptptp dt tdp tptp dt tdp kkk1k1k1k1k k 0011 0 ++=
= ++ M (3.169) Rezolvarea acestui sistem, adaugnd ecuaia de
normalitate: (3.170)( ) 1tp n 0i i = = i setul de condiii iniiale (
) ( ) ( )0p0p0p n10 L (3.171) conduce la probabilitile strilor, (
)tpk . Procesul fiind ergodic, exist limitele probabilitilor pentru
t tinznd ctre infinit. Aceste limite se pot afla din ecuaiile
Chapman-Kolmogorov, n care se anuleaz derivatele. Se obine: 0n 1i i
1n 0i i n 0 21 10 2 0 1 0 1 pp pp pp = = = = = M (3.172) nlocuind
aceste expresii n ecuaia: 1 (3.173)p n 0i i = = rezult: = = ++ + +
= n 1i i 1n 0i i 21 10 1 0 0 1 1 p L (3.174) - 46 -
47. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR 44.. CCAALLCCUULLUULL
FFIIAABBIILLIITTIIII SSIISSTTEEMMEELLOORR n general, sistemele
electronice sunt foarte complexe i pentru calculul fiabilitii ele
trebuie descompuse n entiti funcionale mai simple. Vom prezenta dou
metode de calcul a fiabilitii sistemelor: o metod bazat pe modelul
structural i o metod care folosete procesele Markov. 44..11
CCAALLCCUULLUULL FFIIAABBIILLIITTIIII SSIISSTTEEMMEELLOORR PPEE
BBAAZZAA MMOODDEELLUULLUUII SSTTRRUUCCTTUURRAALL Sistemul se
descompune n uniti a cror funcionare este independent de celelalte.
Legtura dintre uniti (blocuri) nu depinde de modul n care ele sunt
conectate, ci de modul n care concur la buna funcionare a
sistemului. Astfel, dac pentru buna funcionare a unui sistem
descompus n n blocuri, trebuie ca toate s funcioneze, atunci
blocurile se conecteaz n serie din punct de vedere fiabilistic
(figura 4.1). 1 2 3 n Figura 4.1 - Structura serie. Exemplu:
Considerm circuitul din figura 4.2: a b c x y P2 P3 P1 R1 R2 +VCC
+VCC Figura 4.2 - Schema circuitului exemplificat. Pentru buna lui
funcionare, trebuie s funcioneze: poarta i poarta i poarta i
rezistena i rezistena i sursa de alimentare 1P 2P 3P 1R 2R CCV . -
47 -
48. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR Atunci n modelul fiabilistic,
acestea reprezint blocuri legate n serie (figura 4.3). P1 R1 P2 R2
VCC P3 Figura 4.3 - Modelul fiabilistic pentru circuitul din figura
4.2. n cazul n care un sistem (subsistem) compus din n uniti este
funcional dac cel puin o unitate funcioneaz, atunci cele uniti se
consider legate n paralel din punct de vedere fiabilistic (figura
4.4). n 1 2 n Figura 4.4 - Structura paralel. n cadrul sistemelor
complexe pot apare att structuri serie ct i structuri paralel. De
asemenea, pot apare structuri care nu pot fi asimilate nici ca
serie, nici ca paralel, numite structuri nedecompozabile. Cteva
exemple sunt prezentate n figura 4.5. Exemplu: Considerm circuitul
din figura 4.6. Rezistenele i sunt astfel alese nct este suficient
s funcioneze corect una dintre ele pentru ca poarta s funcioneze.
Se presupune c defectarea unei rezistene se face prin ntreruperea
ei, acesta fiind cazul cel mai frecvent. n felul acesta, defectarea
unei rezistene nu duce la cderea sistemului. Pentru ca acest
circuit s funcioneze corect, trebuie s funcioneze poarta i poarta i
sursa i rezistena , sau s funcioneze poarta i poarta i sursa i
rezistena 1R 2R 2P 1P 2P CCV 1R 1P 2P CCV 2R . - 48 -
49. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR Rezult atunci modelul
structural al sistemului din figura 4.6, prezentat n figura 4.7: 1
2 3 1 2 3 1 2 3 4 5 Figura 4.5 - Structuri nedecompozabile. a b xP2
P1 R1 R2 +VCC Figura 4.6 - Exemplu de circuit. P1 R1 P2 R2 VCC
Figura 4.7 - Modelul structural al sistemului din figura 4.6.
Exemplu: Un sistem este compus din opt blocuri i funcioneaz corect
dac urmtoarele blocuri sunt funcionale: (1 2 3 4 5) (1 2 6 4 5) (1
2 7 8) - 49 -
50. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR S se deseneze modelul
structural echivalent. Soluie: Modelul rezultat n urma descrierii
anterioare este cel prezentat n figura 4.8: 1 2 3 4 5 6 7 8 Figura
4.8 - Modelul structural pentru sistemul descompus n opt blocuri. n
continuare vom calcula fiabilitatea structurilor serie, paralel, r
din n i nedecompozabile. Vor fi utilizate urmtoarele notaii: ii pR
= - fiabilitatea blocului funcional (probabilitatea de bun
funcionare pentru blocul funcional i); i iii p1qQ == -
probabilitatea de defectare a blocului funcional ;i R -
fiabilitatea sistemului; Q - probabilitatea ca sistemul s se
defecteze. 44..11..11 FFIIAABBIILLIITTAATTEEAA SSTTRRUUCCTTUURRIIII
SSEERRIIEE Pentru un sistem serie, compus din n blocuri funcionale,
s funcioneze corect, trebuie ca toate blocurile s funcioneze: ( )
n21S pppn21PR == KK blocurile fiind independente. Deci: (4.1) == ==
n 1i i n 1i iS RpR (4.2)( == === n 1i i n 1i iSS q11p1R1Q ) (4.3)(
) ( ) ( ) KKK +++++++= = n1n3121n21 n 1i i qqqqqqqqq1q1 Dac
blocurile au o fiabilitate ridicat, atunci se apropie de 1 i 1ip iq
sunt numere mici, apropiate de zero. Putem deci neglija termenii
care conin produse de dou sau mai multe . Obinem deci:iq - 50
-
51. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR (4.4)( )[ = =+++= n 1i in21S
qqqq11Q K ] n cazul n care blocurile componente ale sistemului au
timpi de defectare repartizai exponenial, acesta fiind cazul cel
mai frecvent, rezult: (4.5)t i i eR = (4.6)t ttn 1i t S n 1i i n 1i
i i eeeeR = ==== == Deci sistemul, pe ansamblu, urmeaz tot o
repartiie exponenial, avnd intensitatea defeciunilor (4.7) = = n 1i
iS 44..11..22 FFIIAABBIILLIITTAATTEEAA SSTTRRUUCCTTUURRIIII
PPAARRAALLEELL O structur paralel, compus din n blocuri, funcioneaz
n cazul n care cel puin un bloc este funcional. Vom calcula
probabilitatea , ca sistemul s se defecteze. Pentru ca acesta s se
defecteze trebuie s se defecteze blocul 1 i blocul i ... i blocul .
PQ 2 n ( ) = == n 1i iP qn21PQ K (4.8) blocurile fiind presupuse
independente n funcionare i n defectare, iar n1i,qi = reprezint
probabilitile de defectare ale blocurilor. Atunci fiabilitatea
sistemului este: (4.9)( ) ( === ==== n 1i i n 1i i n 1i iPP
R11p11q1Q1R ) Exemplu: Considerm un sistem compus din dou blocuri
funcionale identice, conectate n paralel, ca n figura 4.9, fiecare
avnd fiabilitatea R. 1 2 Figura 4.9 Structura paralel compus din
dou blocuri identice. - 51 -
52. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR Soluie: Fiabilitatea acestei
structuri este: ( )( ) 212121P ppppp1p11R +== deoarece n cazul
nostru 1R0;RRR2RRpp 2 P21 === 44..11..33 FFIIAABBIILLIITTAATTEEAA
SSTTRRUUCCTTUURRIIII rr DDIINN nn O structur simpl i destul de
rspndit se obine n cazul n care un sistem format din blocuri
(componente) necesit pentru buna funcionare cel puin n r componente
valide. Evident nr . n continuare vom analiza cazul n care cele
blocuri sunt identice i independente, avnd aceeai probabilitate de
bun funcionare, . Probabilitatea ca, din cele blocuri, s funcioneze
exact n p n r este: ( ) ( ) rnrr nn p1prP C = (4.10) fiind dat de
repartiia binomial. Sistemul funcioneaz dac sunt valide r blocuri,
sau 1r + blocuri, sau ..., sau n blocuri. Deci: (4.11)( ) = = n rk
knkk n p1pR C n cazul n care nr = nseamn c toate cele blocuri
trebuie s fie funcionale i se obine structura serie. Dac 1 n r = ,
adic este suficient s funcioneze un singur bloc, se obine structura
paralel. 44..11..44 FFIIAABBIILLIITTAATTEEAA
SSTTRRUUCCTTUURRIILLOORR NNEEDDEECCOOMMPPOOZZAABBIILLEE Structurile
nedecompozabile se reduc tot la structuri serie i paralel, prin
utilizarea formulei probabilitii totale: dac n1i,Hi = sunt
evenimente care se exclud reciproc i dac evenimentul A se poate
realiza numai dac unul dintre evenimentele n n1i,Hi = , se
realizeaz, atunci: ( ) ( ) ([ = = n 1i ii HAPHPAP )] (4.12) unde (
iHAP ) reprezint probabilitatea realizrii evenimentului , n ipoteza
c s-a realizat A n1i,Hi = , iar ( )iHP reprezint probabilitatea
realizrii evenimentului n1i,Hi = . - 52 -
53. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR n cazul nostru, reprezint
evenimentul ca sistemul S s funcioneze. Pentru nceput, ca
evenimente independente considerm doar dou evenimente: A - blocul i
funcioneaz sigur;1H - blocul i este defect sigur.2H Atunci
probabilitatea ca sistemul s funcioneze este: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
) ( ) ( )iSPR1iSPRHSPHPHSPHPSPR ii2211 +=+== (4.13) Trebuie
menionat c, n modelul structural un bloc care funcioneaz sigur se
nlocuiete cu un scurtcircuit, iar un bloc care este defect sigur se
nlocuiete cu o ntrerupere. Exemplu: S se calculeze fiabilitatea
sistemului al crui model structural este reprezentat n figura 4.10.
R1 R2 R3 R4 R5 Figura 4.10 - Exemplu de sistem cu structur
nedecompozabil. Soluie: Vom considera urmtorul sistem de
evenimente: - blocul 5 funcioneaz sigur,1H ( ) 51 RHP = ; - blocul
5 este defect sigur,2H ( ) 52 R1HP = . Probabilitatea ca sistemul s
funcioneze, adic fiabilitatea sistemului, va fi: ( ) ( ) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( )5SPR15SPRHSPHPHSPHPSPR 552211 +=+== (4.14) ( 5SP ) se
calculeaz pe modelul reprezentat n figura 4.11, n care blocul 5 a
fost nlocuit cu un scurtcircuit. R1 R2 R3 R4 Figura 4.11 - Modelul
structural pentru calculul ( )5SP . - 53 -
54. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR Blocurile 1 i sunt conectate n
paralel. Idem, blocurile 2 i .3 4 424224 313113 RRRRR RRRRR += +=
(4.15) n continuare, cele dou blocuri sunt conectate n serie, aa
cum rezult din analiza figurii 4.12. ( ) ( )( )424231312413
RRRRRRRRRR5SP ++== (4.16) R13 R24 Figura 4.12 - ( )5SP .
Probabilitatea ( )5SP se calculeaz pe modelul din figura 4.13, n
care blocul 5 a fost nlocuit cu o ntrerupere. R1 R2 R3 R4 Figura
4.13 - Modelul structural pentru calculul ( )5SP . Blocurile 1 i
sunt conectate n serie:2 2112 RRR = . Idem blocurile i : . Cele dou
blocuri rezultate sunt conectate n paralel, conform figurii 4.14. 3
4 4334 RRR = R12 R34 Figura 4.14 - ( )5SP . Deci: - 54 -
55. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR ( ) 4321432134123412
RRRRRRRRRRRR5SP +=+= (4.17) Rezult: ( ) ( )( )+++== 424231315
RRRRRRRRRSPR ( )( 432143215 RRRRRRRRR1 )++ (4.18) Dac blocurile
funcionale sunt identice i deci: rRRRR 4321 ==== (4.19) atunci
rezult: ( ) ( )( ) ( )2r2r5r2rrr2r1rr2rR 2324222 ++=+= (4.20) n
cazul unui sistem mai complex se pot considera dou sau mai multe
blocuri pentru sistemul de evenimente . Pentru cazul a dou blocuri,
i , avem: iH i j ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+++=
j,iSPR1Rj,iSPRR1j,iSPRRSP jijiji ( )( ) ( )j,iSPR1R1 ji + (4.21)
Analog se procedeaz pentru mai multe blocuri. 44..22
CCAALLCCUULLUULL FFIIAABBIILLIITTIIII SSIISSTTEEMMEELLOORR
UUTTIILLIIZZNNDD MMOODDEELLEE MMAARRKKOOVV Calculul fiabilitii
sistemelor pe baza modelelor Markov comport urmtoarele etape:
definirea strilor sistemului; desemnarea grafului orientat asociat
sistemului; scrierea i rezolvarea sistemului de ecuaii difereniale
Chapman - Kolmogorov. La modul cel mai general, unui sistem cu
blocuri i se pot asocia stri, reprezentnd toate combinaiile
posibile de funcionare / nefuncionare pentru cele n blocuri. Nu
toate strile au ns semnificaie fizic pentru un sistem particular. n
funcie de structura sistemului numrul de stri poate fi sensibil
redus. Astfel, pentru o configuraie paralel, este util ca starea s
reprezinte starea n care sunt n n 2 kS k blocuri defecte, deci un
sistem cu blocuri va avea stri: . Probabilitile de tranziie rezult
din particularitile sistemului analizat. n 1n + nk10 S,,S,,S,S KK
Pentru o structur serie, cnd defectarea unui bloc determin cderea
ntregului sistem, se pot defini strile astfel: reprezint starea n
care bloculkS k este defect. Pentru un sistem cu componente rezult
stri. n funcie de configuraia sistemului pot rezulta i alte moduri
de definire a strilor. Ultimele dou etape au fost deja studiate
detaliat n capitolul referitor la modelele n n - 55 -
56. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR Markov. 44..33
CCOONNSSIIDDEERRAAIIII AASSUUPPRRAA TTIIMMPPUULLUUII MMEEDDIIUU
DDEE BBUUNN FFUUNNCCIIOONNAARREE Vom ncerca s apreciem modul n care
structurile anterior amintite influeneaz timpul mediu de bun
funcionare (MTBF). Conform definiiei: (4.22)( ) ( ) ( ) + ++ === 0
dxxz 00 dtedttRdtttfMTBF t 0 n care reprezint intensitatea
defeciunilor.( )tz Pentru structura serie: 4.23)( ) ( ) ( ) ( ) =
== === t 0 n 1i i n 1i t 0 i dxxzdxxzn 1i i eetRtR ( Rezult atunci:
(4.24) ( ) + = = 0 dxxz dteMTBF t 0 n 1i i Pentru cazul: ( ) = ====
= + = = n 1i i 0 n 1i i t ii MTBF 1 11 dteMTBF.cttz n 1i i (4.25)
adic .( ) n,,2,1i,MTBFMTBF i K=< Dac sunt funcii care difer mult
ntre ele, atunci este mai dificil de evaluat. ( )tzi MTBF n cazul
structurii paralel, expresia fiabilitii este: (4.26)( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) = + === ++== n 1k k 1n n ji 1j,i ji n 1i i n 1i i
tR1tRtRtRtR11tR L Folosind intensitile defeciunilor, rezult:
(4.27)( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) = + = + = ++= t 0 n 1i i t 0 ji t
0 i dxxz 1n n ji 1j,i dxxzxzn 1i dxxz e1dtedtetR L Dac , atunci:( )
.cttz ii == ( ) = + == ++ + = n 1i i 1n n ji 1j,i ji n 1i i 1 1 11
MTBF L (4.28) - 56 -
57. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR Dac n plus, n1i,i == , se
obine: ( ) = + = n 1k k n1k k 1 1 MTBF C (4.29) Se demonstreaz c
aceast expresie este echivalent cu urmtoarea: ( ) ( ) L+ + ++= = ==
1nn12 1 n2 1 nln557,0 k 1 , k 11 MTBF n 1k n 1k (4.30) Pentru
structura r din n, formula fiabilitii este: ( ) ( ) ( )( ) === = =
n rk kn kk k n n rk knkk ntotal tR1tRp1pR CC (4.31) ( ) ( ) ( ) = =
= = n rk knttkk n n rk kn dxxzdxxzk k n e1ee1e CC t 0 t 0 dac .( )
constanttz == Pentru un caz concret, se desfac parantezele, se
ordoneaz expresia, iar apoi MTBF se calculeaz integrnd termen cu
termen. Pentru alte cazuri, MTBF este dificil de calculat, chiar
dac toate intensitile defeciunilor sunt constante. O metod const n
exprimarea formulei fiabilitii, folosind grupri serie sau paralel i
integrarea termen cu termen a acestei expresii. - 57 -
58. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR - 58 -
59. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR 55.. MMOODDAALLIITTII DDEE
CCRREETTEERREE AA DDIISSPPOONNIIBBIILLIITTIIII SSIISSTTEEMMEELLOORR
Fiabilitatea i mentenabilitatea unui produs trebuie avute n vedere
nc din faza de concepie a unui produs i urmrite de-a lungul
procesului de fabricaie i mai departe, la beneficiar. Procesul de
cretere a fiabilitii presupune luarea n considerare a testelor
hardware, a defectelor ce apar, a corectrii proiectrii urmat din
nou de testare. Elementele distincte ce trebuie urmrite sunt:
detecia erorilor hardware; analiza cauzelor producerii lor;
reconsiderarea proiectrii avndu-se n vedere problemele aprute;
implementarea aciunilor corective pentru nlturarea producerii
defectelor. Creterea disponibilitii sistemelor de calcul se poate
realiza prin asigurarea unei fiabiliti ridicate a produsului la
ieirea din fabric i prin proiectarea pentru uurarea mentenabilitii,
ceea ce conduce att la micorarea timpului de punere n funciune a
sistemului, ct i la micorarea timpului de reparare la apariia unui
defect. Dintre metodele utilizate menionm: realizarea unor scheme
ct mai simple, cu un numr redus de componente i, implicit, cu o
fiabilitate ridicat; crearea de scheme care admit tolerane mari ale
parametrilor elementelor i ale aciunii factorilor externi;
eliminarea componentelor ce prezint mortalitate infantil; alegerea
unor componente de calitate superioar, cu valori sczute ale
intensitii defeciunilor i folosirea unui regim de funcionare
adecvat (uurarea regimului de funcionare conduce la scderea
intensitii defeciunilor; utilizarea unor sisteme cu rezervare
(redondante). n esen const din folosirea unor blocuri de rezerv ce
nlocuiesc, n caz de defectare, blocul de baz; proiectarea
sistemelor n vederea testrii, asigurndu-se un grad nalt de
mentenabilitate. - 59 -
60. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR 55..11 SSEELLEECCIIAA,,
CCOONNTTRROOLLUULL II MMBBTTRRNNIIRREEAA CCOOMMPPOONNEENNTTEELLOORR
Un sistem electronic se compune dintr-o diversitate de componente
care, n general, pot fi alese dintr-un sortiment destul de larg.
Fiabilitatea global a sistemului este strns legat de fiabilitatea
componentelor folosite. Selecia i controlul componentelor reprezint
o sarcin complex la care particip inginerii specialiti n
componente, analitii defectrilor, inginerii de fiabilitate i
inginerii proiectani. Exist numeroase recomandri pentru selecia i
controlul componentelor. cteva legi de baz au n vedere urmtoarele:
determinarea tipului componentelor ce trbuie s ndeplineasc animite
funcii ntr-un mediu de operare specificat. Astfel, se folosete o
anumit component n mediu marin i o alta pentru condiii de
laborator, chiar dac, din punct de vedere electric, au aceeai
funcie; se determin seciunile critice, n care defectarea unor
componente are implicaii majore n sigurana n funcionare i n
fiabilitate; se studiaz modul de procurare a componentelor i timpul
de obinere. Se prefer componente standardizate, furnizate de mai
muli fabricani; se estimeaz stresul la care vor fi supuse
componentele n aplicaie; se determin nivelul de fiabilitate necesar
pentru componente n aplicaie; se determin modul cel mai eficient de
mbtrnire a componentelor. mbtrnirea componentelor ine seama de
modul n care variaz n timp intensitatea defeciunilor. S-a constatat
c intensitatea defeciunilor variaz n timp, pentru cele mai multe
cazuri, dup aa numit curb cad de baie, reprezentat n figura 5.1. Pe
grafic se pot distinge trei zone. Prima, denumit perioada de
mortalitate infantil sau de tineree, se caracterizeaz prin valori
mari ale intensitii defeciunilor, datorate n general unor defecte
ascunse din materiale, unor deficiene de fabricaie, etc. Urmeaz
perioada de maturitate, n care intensitatea defeciunilor este
aproximativ constant i, n final, perioada de btrnee cnd, datorit
uzurii, intensitatea defeciunilor crete foarte mult. Productorul
poate aciona n dou moduri pentru a minimiza efectul primei zone:
folosind teste pentru ridicarea calitii produsului i teste pentru
mbtrnirea accelerat a produsului. Testele de calitate se refer la
reducerea numrului de echipamente care se pot defecta infantil,
printr-o inspecie atent a fabricaiei i prin testarea convenional. -
60 -
61. INGINERIA CALCULATOARELOR O ABORDARE DIN PUNCT DE VEDERE
FIABILISTIC A TIINEI CALCULATOARELOR z(t) timp I II III Figura 5.1
- Curba cad de baie pentru intensitatea defeciunilor. mbtrnirea are
ca scop descoperirea componentelor, blocurilor predispuse la
defeciune i parcurgerea accelerat a primei zone din graficul
intensitii defeciunilor. Aceast aciune const din aplicarea unor
teste cu grad ridicat de stres, care conduc la cderea componentelor
cu defecte incipiente, fr a afecta integritatea echipamentului.
Stresul poate consta ntr-o temperatur ridicat, n vibraii, etc. n
figura 5.2 se poate observa modul n care stresul, temperatura n
acest caz, influeneaz variaia intensitii defeciunilor. z(t) timp
100 C O 125 C O 225 C O Figura 5.2 - Influena stresului asupra
intensitii defeciunilor. Ideea aciunii de mbtrnire este c piesele
inferioare se vor defecta, iar cele superioare vor rezista, nivelul
stresului fiind ales n mod corespunztor pentru a nu degrada
componentele bune. Piesele care nu se defecteaz nseamn - 61 -
