Inhalt der Vorlesung B2 - Experimentelle Physik 2€¦ · Inhalt der Vorlesung B2 3. Elektrizitätslehre, Elektrodynamik Einleitung ... vom atomaren Aufbau der Materie ausgehen. Sie

PHYSIK B2 SS13SS14Physik A/B1 SS 2017

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Inhalt der Vorlesung B23. Elektrizitätslehre, Elektrodynamik

EinleitungLadungen & Elektrostatische FelderElektrischer StromMagnetostatikZeitlich veränderliche Felder - ElektrodynamikWechselstromnetzwerkeDie Maxwell‘schen GleichungenElektromagnetische Wellen & StrahlungRelativität der Felder

4. OptikLicht als elektromagnetische WelleGeometrische OptikOptische AbbildungenWellenoptik


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Leiter und NichtleiterIn Leitern sind die Ladungsträger (Elektronen) frei beweglich, während sie in einem Isolator an festen Orten sitzen.Um dies zu verstehen, müssen wir vom atomaren Aufbau der Materie ausgehen. Sie werden später noch sehen, dass Elektronen nur bestimmte „Energieniveaus“ im Atom besetzen können ( Quantentheorie ). Für dieBesetzung dieser Energiezustände gelten bestimmte Regeln, etwa:

Pauli‘sches Ausschließungsprinzip:Jeder Zustand kann von höch-stens einem Elektron belegt werden.

Wegen des Spins („Drehimpuls“) desElektrons kann jedes Energieniveau dann zweifach besetzt werden. Die Elektronen bilden für Leiter einen „See“ frei beweglicher Ladungen.Dies soll nun erklärt werden.


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Ei

Ej

Ek

Pauli-Prinzip

Spektrallinien

Der (schematische) Aufbau eines Atoms


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E1 Niveau

2 Niveaus(aufgespalten)

E

1 Atom 2 AtomeEinzelatom

Zweiatomiges Molekül


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2 Atome „Viele“ AtomeZweiatomiges Molekül

N > 1020

Viele Atome: Festkörper

2 Niveaus(aufgespalten)

E

EN Niveaus „Band“


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Das Bändermodell eines Festkörpers

Im Festkörper liegen die Energie-niveus so dicht, dass sie quasi kontinuierliche „Energiebänder“bilden.

Innerhalb eines solchen „Bandes“können die Elektronen sich frei bewegen, sofern es noch „freiePlätze“ gibt, d.h. sofern noch nicht alle Zustände belegt sind.

Die Frage, wieviel Energie aufzu-wenden ist, um solche „freien Plätze“ einzunehmen, entscheidet darüber, ob ein Material ein Leiter,ein Halbleiter oder ein Isolator ist.

Leitungsband

E

Valenzbandletztes

komplett gefülltes

Band

nächstesleeresBand

Notation im Bändermodell:


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(i) Bändermodell: Isolator

Leitungsband

E

gefüllt

leer

e-e-

E >> kBT

z.B. Diamant

Beim Isolator ist zwischen dem ge-füllten Leitungsband und dem Valenz-band ein relativ großer Energieabstand

TkE BDie Elektronen können nicht durchthermische Anregung (E ~ kBT) in dasLeitungsband gelangen. Hier gibt es also keine frei beweglichen Ladungen. Im voll besetzten Valenzband können sich Elektronen nur in eine Richtung bewegen, wenn gleichzeitig genauso viele in die Gegenrichtung strömen. Im statistischen Mittel gibt es also keine Ladungsbewegung. Die La-dungen sind im Mittel an ihren Ort gebunden.


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Leitungsband

E

gefüllt

leer

e-E kBT

Valenzband

thermische Leitfähigkeit:z.B. Zinn, Si, Ge

(ii) Bändermodell: HalbleiterWenn das Valenz- und das Leitungs-band dicht beieinander liegen, wenn also

TkE Bgilt, dann gelangen Elektronen durch thermische Anregung leicht in das freie Leitungsband. Sie sind da beweglich, weil es freie Energie-zustände gibt, die sie dort einneh-men könnenBei einem solchen Material nimmt die elektrische Leitfähigkeit mit derTemperatur zu (bei Metallen und Isolatoren nimmt die Leitfähigkeit mit steigender Temperatur ab!).


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(iii) Bändermodell: Leiter II

Leitungsband

E

gefüllt

leer

e-

Valenzband

E = 0, Bänder überlappen

Halbmetallez.B. Antimon

Wenn das Valenz- und das Leitungsband überlappen, dann können Elektronen ohne großen Energieaufwand in das Leitungs-band gelangen und sich dort frei bewegen.

Dadurch wird eine gewisse Leit-fähigkeit gewährleistet. Je nach Größe des Überlapps ist die elek-trische Leitfähigkeit relativ gutoder schlecht. Solche Substanzen heißen „Halbmetalle“, weil dieLeitfähigkeit zwar „gut“, aber noch nicht „sehr gut“ ist.


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(iv) Bändermodell: Leiter III

E

e-

aüßerstes Band

unvoll-ständiggefüllt

Metallez.B. Natrium, Gold

Bei Metallen ist das äußersteBand nur halb gefüllt. Dann gibt es genügend freie Zustände,die quasi ohne Energieaufwand durch Anlegen einer kleinen Potentialdifferenz (Spannung) erreicht werden können. In Metallen können sich die Elek-tronen (fast) völlig frei bewegen, was auch mit dem genauen atomaren Aufbau zusammenhängt. Die Leitfähigkeit von Metallen nimmt in der Regel mit steigender Temperatur ab.


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In Metallenkönnen sichdie Elektronen(blaue Punkte)quasi frei durch das Gitter ausden Metall-ionenrümpfen bewegen.Man spricht von einem „Elektro-nensee“ oder„Elektro-nengas“.


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(v) Bändermodell: Halbleiter Ip-Dotierung

Leitungsband

E

gefüllt

leer

e-

E kBT

Valenzband

leeresAkzeptor-

niveau

e+

„Löcher“

Bor dotiertes p-Silizium

Reine „Halbleiter“ wie etwa Silizium oder Germanium sindim Prinzip Isolatoren. Durchdas gezielte Einbringen von geeigneten Fremdatomen („Dotierung“) werden zusätz-liche Energieniveaus sehr nahe an den Bändern erzeugt.


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(vi) Bändermodell: Halbleiter II n-Dotierung

Leitungsband

E

gefüllt

leer

e-E kBT

Valenzband

gefülltesDonator-niveau

Phosphor dotiertesn-Silizium


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Inhalt der Vorlesung B14. Elektrizitätslehre, Elektrodynamik

EinleitungLadungen & Elektrostatische FelderElektrischer StromMagnetostatikZeitlich veränderliche Felder - ElektrodynamikWechselstromnetzwerkeDie Maxwell‘schen GleichungenElektromagnetische Wellen & StrahlungRelativität der Felder

5. OptikLicht als elektromagnetische WelleGeometrische OptikOptische AbbildungenWellenoptik


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Von elektrisch ungeladenem Eisen kann trotzdem eine Kraft auf ein anderes Stück Eisen ausgeübt werden.

MagnetostatikMagnetische Kraftwirkung

Eisenmagnet

Kompaß-nadel

F

Versuch 1: Eisenmagnet und Kompaßnadel

Kompaßnadel

Magnet-stab


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1F

2F

Anziehung

Von dem Eisen geht ein „Magnetfeld“aus, in dem sich die Kompaßnadel ausrichtet. Je nach Ausrichtung des Magneten wirkt die Kraft anziehend oder abstoßend. 1F

2F

Abstoßung

Es gibt also 2 Pole, die mitNordpol und Südpolbezeichnet werden.

Magnetpole lassen sich nicht tren-nen. Zerbricht man einen Stab-magneten, dann ergeben sich zwei kürzere Magnete mit beiden Polen.


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Im Gegensatz zu elektrischen Ladun-gen, die einzeln erzeugt werden können, sind einzelne Magnetpole (sog. „magnetische Monopole“) bisher nicht beobachtet worden.Daher kann das Magnetfeld auchnicht über die Kraftwirkung vonMagnetpolen definiert werden.

Teilung einesStabmagneten:

Feldlinienin der Nähe eines Pols.

Dipol

Feldlinien eines mag-netischenDipols


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Leiter

PlexiglasscheibeEisenfeilspäne

Nach Einschalten des Stromes orien-tieren sich die Eisenfeilspäne kreis-förmig um den Leiter.

Versuch 2: Feldlinien eines strom-durchflossenen Leiters

Hans Christian Ørsted entdeckt 1820 den Zusammenhang zwischenStrom und Magnetfeld:

Hans Christian Ørsted (1777-1851)


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StromI

LeiterMagnetfeld B

Ein Ausmessen des Magnetfeldes mit einer Kompaßnadel ergibt, dassein stromdurchflossener Leiter von einem kreisförmigen Magnetfeld umgeben ist.

j

B

Im Gegensatz zum elektrostatischen Feld gibt es geschlossene Magnetfeld-linien. Die Feldlinien geben wieder die Kraftwirkung (Richtung und Stärke)des Magnetfeldes an.


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Die Richtung der Magnetfeldlinienkann einfach mit der rechten Handdemonstriert werden.

j

B


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A

Da es keine magnetischen Monopolegibt, sind die Feldlinien immer ge-schlossen. Es gibt keine „Quellen“ der magnetischen Feldlinien:

B

Die 2. Maxwell‘sche GleichungDer magnetische Fluß B eines Feldes

ist ein Maß für die „Anzahl“ der Feldlinien, die durch eine Fläche Atreten („Feldliniendichte“).

B

Wenn die Feldlinien senkrecht auf der Fläche A stehen, dann ist der magnetische Fluß durch diese Fläche definiert durch:

B B A BA Analog zum elektrischen Fluß wird

der magnetische Fluß B definiert.

B


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A

A

Der magnetische Fluß B durch die Fläche A ist nun:

B

B

cosB A B A

B A

Alle bisherigen Betrachtungen geltennur, wenn das durch die Fläche A tre-tende Feld konstant ist. Ist dies nicht der Fall, dann muß der Fluß durch Summation bestimmt werden.

Für eine beliebig geformte Fläche Agilt im Fall eines inhomogenen Feldes:

Ad

A

Der magnetische Fluß dB, der durch die Fläche dA tritt, ist dann:

B ( )d B r dA

B

B

( )B r


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Ad

A

( )B r

Der gesamte magnetische Fluß Bdurch die Fläche A ist dann durch Integration über alle Einzelflüsse dB durch die Flächen dA gegeben:

B ( )A

B r dA

B

dA

O

Wie im Fall des elektrischen Feldessoll nun wieder der Fluß durch ge-schlossene Flächen betrachtet werden.1.Fall: Magnet außerhalb der

geschlossenen Oberfläche


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2.Fall: Magnet innerhalb der geschlossenen Oberfläche

B

dA

Befindet sich der Magnet außerhalbder geschlossenen Oberfläche, dannliegen dieselben Verhältnisse vor, wie beim statischen elektrischen Feld. Es gilt daher:

B 0O

B dA

Da die Feldlinien immer geschlossensind, fließen aus einem Pol genauso viele Feldlinien heraus, wie in den anderen Pol hineinfließen. Daher gilt auch hier:

B 0O

B dA

B 0

O

B dA

Für das statische magnetische Feldgilt also immer der folgende Zusamm-enhang:


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0O

B dA

Bemerkungen:• Dies ist die 2. Maxwell‘sche-Gleichung in integraler Form. • Die obige Gleichung bedeutet anschaulich, dass es keine Quellen

(und Senken) des statischen magnetischen Feldes gibt. Die Feldlinien sind immer geschlossen.

• Die 2. Maxwell‘sche Gleichung beschreibt den experimentellen Befund, dass es keine magnetischen Monopole gibt.

• Es ist zu beachten, dass die Gleichung für jede beliebig geformteOberfläche O gültig ist !!

• Die obige Gleichung gilt ganz allgemein in der Elektrodynamik.


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Das Magnetfeld eines geraden stromdurchflossenen Leiters

I

r

( )B B r e

Wir wollen jetzt das Magnetfeld einesgeraden Leiters, durch den der Strom I fließt, aus Symmetrieüberlegungen herleiten.

Das Feld kann nur vom Abstand rvom Leiter abhängen. Die Feldlinien müssen konzentrische Kreise wegen der 2. Maxwell-Gleichung sein.

( ) ( )B r B r e

Es gilt also

mit dem Einheitsvektor in Polarkoor-dinaten .e

Experimentell findet man für den Betrag des Magnetfeldes B(r):

( ) IB rr

Die Proportionalitätskonstante wird mit 0/2 bezeichnet. Für das mag-netische Feld eines stromdurchflos-senen Leiters ergibt sich daher:

0( )2

IB r er

.|| constB


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Bemerkungen:

07

0

2

(1) ist die magnetische Permeabilität des Vakuums. Sie wird auch als Vs magnetische Feldkonstante bezeichnet. Ihr Wert ist: 4 10Am

VsDie Einheit des Magnetfeldes ist damit: [ ] 1 1T m

B

(Tesla)

00 0

(2) In Materie muß die Formel für das Magnetfeld eines Leiters abgeändert werden. Mit der Permeabilität des Mediums gilt:

( ) d.h. muß durch das Produkt ersetzt werden2

IB r er

.

Beispielsweise ist für Eisen 5000. (3) Der Leiter ist hier als „unendlich ausgedehnt“ angenommen worden.

Deswegen fällt das Feld nur wie 1/r ab und nicht gemäß 1/r2 wie im Falle von elektrischen Punktladungen.

(4) Es ist zu beachten, dass es keine magnetischen Monopole gibt. Das Magnetfeld läßt sich daher nicht über die Kraftwirkung auf „magne-tische Ladungen“ definieren, sondern nur über Ströme.


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Das Ampère‘sche Gesetz

I

r

( )B B r e

.|| constB

Das Resultat für das Magnetfeld einesgeraden Leiters, durch den der Strom I fließt, läßt sich stark verallgemeinern.

dr

0( )2

IB r er

Das Resultat

läßt sich „rückwärts“ umformen zu:

0

0

0Kreis

( ) 2

( ) 2

( )

B r r I e e

B r e r I

B r dr I

Das geschlossene Wegintegral über das Magnetfeld , welches den Strom I umfaßt, ergibt also 0I.

( )B r

Es stellt sich heraus, dass diesesResultat stark verallgemeinert werden kann.

Hierbei handelt es sich auf der linkenSeite um ein Wegintegral über das Vektorfeld entlang eines Kreisesmit dem Radius r.

( )B r


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Bemerkungen:• Dies ist das sog. Ampère‘sche Gesetz. Hierbei handelt es sich bereits um

den ersten Teil der 4. Maxwell‘schen Gleichung in integraler Form. • Die obige Gleichung bedeutet anschaulich, dass (stationäre) Ströme

(statische) magnetische Felder hervorrufen. • Statische Magnetfelder werden generell durch das Fließen von Strömen

erklärt. Das bedeutet beispielsweise, dass in einem magnetischen Stück Eisen mikroskopische Ströme fließen müssen.

• Es ist zu beachten, dass das Wegintegral in der obigen Gleichung entlang jeder beliebig geformten geschlossenen Kurve, die den Strom I umschließt,

berechnet werden darf. • Die obige Gleichung wird in der Elektrodynamik noch vervollständigt. • Mit dem Ampère‘schen Gesetz können Magnetfelder berechnet werden.

0B dr I

Ein Strom I ruft ein Magnetfeld hervor, welches die folgende Gleichung erfüllt:

André MarieAmpère

(1775-1836)


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Beispiel 1: Das magnetsiche Feld einer sehr langen stromdurchflossenen Spule


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I

BFeldlinien

l

N Windungen

Das Magnetfeld im Inneren der Spule der Länge l soll jetzt mit dem Ampère‘schen Gesetz und einigen vereinfachenden Annahmen berech-net werden. Wir betrachten die folgende Zeichnung:

0

B

Näherungsweise gilt:

0Innerhalb der Spule: .

Im Außenraum: 0

B B const

B

0 xB B e

xe


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Mit dem Ampèschen Gesetz ergibtsich nun:

inner- außer-halb halb

0

0 00B

x

B dr B dr B dr

B le N I

Das homogene Magnetfeld im Inneren einer Spule der Länge l mit N Windun-gen, durch die ein Strom der Stäke I fließt, ist damit also:

0N IBl

Feldlinien einesstromdurchflossenen Torus

Diese Formel ist für dicht gewickelteSpulen mit großer WindungszahldichteN/l sehr genau.


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Wird die Hallsonde („Magnetfeldmesser“ ) im Innern der Spule parallelzur Achse bewegt, dann wird ein nahezu konstantes Feld gemessen. Erst im Randbereich nimmt es ab.

Versuch 4: Magnetfeldstärke in einer Spule

Hallsonde

Lange Spule


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Nach dem Einschalten des Stromes wird der Eisenkern in die Spule hineingezogen.

Eisenkern

Spule

Versuch 5: Spule mit Eisenkern

Federwaage

Spule

Eisenkern

Stromver-sorgung


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Mit Eisenkern= starkes Feld

Versuch 6: Magnetfeld einer Spule ohne und mit Eisenkern

Spule Hallsonde Eisenkern

Ohne Eisenkern= schwaches Feld


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Hallsonde

SpuleEisenkern

I

Das an einer Spule mit einer Hall-sonde gemessene Magnetfeld isterheblich größer, wenn ein Eisen-kern in die Spule geschoben wird. Kerne aus z.B. Kupfer oder Alu-minium zeigen keinen größerenEffekt.

0N IBl

Die Formel für das Magnetfeld im Inneren einer langen Spule war:

Dabei wurde angenommen, dass sich keine Materie im Inneren befindet. MitMaterie gilt (0 0):

0N IBl

Da für Eisen 5000 gilt ergibt sich die große Verstärkung mit dem Eisen-kern.Dies kann allerdings erst später genauerverstanden werden ( Kapitel 4.7).


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Spulen

Eisenjoch

Luftspalt

Beispiel eines Experimentiermagnetenzur Erzeugung von Magnetfeldern bisetwa Bmax 1 Tesla:

Hallsonde

Eisenjoch

Spule

Noch effektiver ist eine Anord-nung mit einem geschlossenen Eisenjoch, in dessen Spalt Felder bis ca. 1 Tesla erzeugt werden können. Hier werdendie Feldlinien geschlossen im Eisen geführt ( Trafo).


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Beispiel 2: Das magnetische Feld der Erde

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