Institut für Strömungstechnik und Thermodynamik ... · Institut für Strömungstechnik und Thermodynamik Vorlesungsskript Rheologie von Dr.-Ing. Róbert Bordás Prof. Dominique

Institut für Strömungstechnik und Thermodynamik

Vorlesungsskript Rheologie

vonDr.-Ing. Róbert Bordás

Prof. Dominique ThéveninM. Sc. Lisa-Maria Wagner

Inhaltsverzeichnis

1 Einführung 51.1 Rheologie und Rheometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Was bedeutet fließen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Zielgröße: die Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Maß für die Verformung des Fluids: Kinematik und Deformationsgeschwin-

digkeitstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Maß für die Beanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6 Zurück zur Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7 Bedarf der Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Newtonsche Fluide 112.1 Wozu braucht man überhaupt die Viskosität? . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Navier-Stokes-Gleichung für eine Newtonsche Flüssigkeit mit konstanter

Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3 Ein Wert für die Viskosität? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 Einführung zum Praktikum - Couette-Strömung . . . . . . . . . . . . . . . 162.5 Fließkurve oder Fließdiagramm für ein newtonsches Fluid . . . . . . . . . . 18

3 Nicht-Newtonsche Fluide mit zeitunabhängiger Viskosität - Teil I. 203.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2 Scherverdünnendes Fließverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2.2 Physikalische Erklärung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2.3 Modell für die Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3 Scherverdickendes Fließverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3.2 Physikalische Erklärung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3.3 Modell für die Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 Nicht-Newtonsche Fluide mit zeitunabhängiger Viskosität - Teil II. 274.1 Einleitung: zurück zum Potenzgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2 Viskositätsgrenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3 Komplexere Modelle für die Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3.1 Prandtl-Eyring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.3.2 Powell-Eyring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.3.3 Carreau-Yasuda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.4 Fluide mit Fließgrenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.5 Viskositätsmodelle für ein Bingham-Fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5 Thixotrope und rheopexe Substanzen 335.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.2 Thixotropes Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.2.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.2.2 Pseudo-Thixotropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Inhaltsverzeichnis

5.3 Rheopexes Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.3.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.3.2 Pseudo-Rheopexie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.4 Viskositätsmodelle für zeitabhängige Substanzen . . . . . . . . . . . . . . . 385.4.1 Einfacher Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.4.2 Beschreibung mit einem Strukturparameter ξ . . . . . . . . . . . . 38

5.5 Messungen für Thixotropie / Rheopexie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.5.1 Scherratengeregelt: Vorgabe von γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.5.2 Schubspannungsgeregelt: Vorgabe von τ . . . . . . . . . . . . . . . 40

6 Kanonische Strömungen Teil 1 426.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.2 Ausgangsgleichungen für inkompressible Strömungen . . . . . . . . . . . . 42

6.2.1 Allgemeine Lösung in achsensymmetrischen Koordinaten . . . . . . 426.2.2 Lösung für Potenzgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.2.3 Newtonsches Verhalten mit Fließgrenze τy . . . . . . . . . . . . . . 47

6.3 Allgemeine Beziehung zwischen dem Volumenstrom, dem Druckgradientund der Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.3.1 Allgemeine Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.3.2 Messprinzip für Kapillarviskosimetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7 Kanonische Strömungen Teil 3 537.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537.2 Rheometer mit konzentrischen Zylindern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537.3 Kegel-Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557.4 Platte-Platte Konfiguration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

8 Viskoelastische Substanzen und Feder-Dämpfer-Modell 608.1 Idealviskoses Verhalten (Newtonsches Fluid) . . . . . . . . . . . . . . . . . 608.2 Idealelastisches Deformationsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618.3 Viskoelastische Substanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

8.3.1 Mechanische Analogie von Maxwell (1831-1879) . . . . . . . . . . . 628.3.2 Mathematisches Modell: Verformungsgleichung . . . . . . . . . . . . 63

9 Oszillationsrheometrie 649.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649.2 Verhalten von idealviskosen Substanzen (Newton) . . . . . . . . . . . . . . 649.3 Verhalten von idealelastischen Substanzen (Hooke) . . . . . . . . . . . . . 659.4 Verhalten von VE-Substanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669.5 Darstellung und Analyse mit komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . 67

9.5.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679.5.2 Komplexer Schubmodul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689.5.3 Polardarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699.5.4 Zurück zur komplexen Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

9.6 Maxwell-Fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

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Inhaltsverzeichnis

10 Praktische Oszillationsmessungen 7610.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7610.2 Frequenztest („Frequency-Sweep“) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7710.3 Verallgemeinertes Maxwell-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

10.3.1 Grenzfall: Maxwell-Modell mit nur 2 Komponenten . . . . . . . . . 8010.3.2 Grenzfall: Maxwell-Modell mit vielen Komponenten . . . . . . . . . 8110.3.3 Grenzfall: Elastomere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

10.4 Zeit-Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8210.5 Amplituden-Test („amplitude sweep“) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

11 Allgemeine Beschreibung der Rheologie eines Fluids 8611.1 Reiner-Rivlin-Fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8611.2 Scherviskosität und Dehnviskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

11.2.1 Eindimensionale Scherströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8811.2.2 Eindimensionale Dehnströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

11.3 Dimensionslose Kennzahlen der Rheologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9111.4 Turbulenz für nicht-newtonsche Fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4

1 EINFÜHRUNG

1 Einführung, Grundbegriffe und Wiederholung der

Strömungsmechanik

1.1 Rheologie und Rheometrie

Rheologie︸︷︷︸Wissenschaft

& Rheometrie︸︷︷︸Messung

ρει (rhei) - Griechisch ≈ Fließen⇒ Verstehen/charakterisieren alle Stoffe, die fließen.

1.2 Was bedeutet fließen?

Def.: fließen ist eine leicht3 erreichbare Verformung2 eines Stoffes infolge einer Beanspruchung1.1(x) und 2(y): zwei Achsen (Koordinaten) im Fließdiagramm.3: keine starre Körper berücksichtigt.

Plastische Verformung (von z.B. Edelstahl) ist keine Rheologie für die Strömungsmecha-nik.⇒ Die Rheologie betrachtet nur Fluide (Gas,Flüssigkeit, o.ä.), aber keine Feststoffe.Der Unterschied zwischen Fluid und Feststoff ist klar, oder?!Beispiele:

• Stärkelösung http://www.youtube.com/watch?v=kUW9nI9GDJ0 (→ in Abhängig-keit der Beanspruchung ändert sich die Viskosität)

• Gletscher über geologische Zeiten

• Fensterglas

• Silikonpolymer

Die genannten Beispiele weisen alle Fließverhalten auf. ⇒ Unterschied ist nicht einfach,keine scharfe Grenze zwischen flüssig und fest und damit keine klare Grenze für die Rheo-logie.

1.3 Zielgröße: die Viskosität

Das Bindeglied zwischen Beanspruchung und resultierender Verformung wird Viskosität(Zähigkeit) genannt. Die Viskosität kann modelliert bzw. experimentell bestimmt werden.Um weiter zu kommen, zurück zur Strömungsmechanik!

5

http://www.youtube.com/watch?v=kUW9nI9GDJ0

1 EINFÜHRUNG

1.4 Maß für die Verformung des Fluids: Kinematik und

Deformationsgeschwindigkeitstensor

( Kap. 8 im Skript Strömungsmechanik 1)

y

x

A B

C D

A‘

B‘

C‘D‘

Zeit t

Zeit t+dt

Bahnlinie

Abbildung 1: Bewegung eines materiellen Systems (in 2D)

Das Kontrollvolumen (ABCD) enthält viele, aber immer gleiche Fluidelemente (Zeitpunktt und Zeitpunkt t+dt). Die Fluidelemente sind über die Bahnlinie verknüpft. FolgendeBewegungsarten sind möglich:

• Translation

• Dilatation (Dehnung)

• Deformation

• Rotation

Verformung und Bewegung kann man beschreiben. Voraussetzung dafür ist, dass die Ei-

6

1 EINFÜHRUNG

genschaften am Punkt A bekannt sind.

D → D′ =

∣∣∣∣∣∣∣∣xA + dx+ vxdt+

∂vxdxdxdt+ 1

2

(∂vx∂y

+ ∂vy∂xdydt

)+ 1

2

(∂vx∂y− ∂vy

∂xdydt

)yA + dy︸︷︷︸+ vydt︸︷︷︸+

∂vydy

dydt︸︷︷︸+1

2

(∂vx∂y

+∂vy∂x

dxdt

)︸︷︷︸+

1

2

(∂vy∂x− ∂vx

∂ydydt

)︸︷︷︸

∣∣∣∣∣∣∣∣Position D Translation Dilatation Winkeldeformation Rotation

(Konvektion) (Dehnung) (Scherung) (Drehung)

Die Deformation wird mit dem Deformationstensor d beschrieben. Es gilt

di,j = 12

(∂vi∂xj

+∂vj∂xi

)mit i, j = 1, 2, 3

d =

∂u∂x

12

(∂u∂y

+ ∂v∂x

)12

(∂u∂z

+ ∂w∂x

)12

(∂u∂y

+ ∂v∂x

)∂v∂y

12

(∂v∂z

+ ∂w∂y

)12

(∂u∂z

+ ∂w∂x

)12

(∂v∂z

+ ∂w∂y

)∂w∂z

• Räumliche Koordinaten: (x1, x2, x3)

• Geschwindigkeitskomponenten: (v1, v2, v3)

• Deformation ist die Überlagerung von Dehnung und Winkeldeformation

• Diagonalelemente sind die Dehnung/Dilation : spur(d) = ∇·v = ∂vx∂x

+ ∂vy∂y

+ ∂vz∂z

= 0

für inkompressible Medien

• Winkeldeformation/Scherdeformation ist der Rest.

• Tensor ist symmetrisch: di,j = dj,i

Deformation

• Dehnung → Dehnviskosität

• Scherung→ Scherviskosität︸︷︷︸: Messung bei der ersten Übung

Rheologie

1.5 Maß für die Beanspruchung

Aus Sicht der Strömungsmechanik ist ein Fluid lokal eine homogene Substanz. Von Be-deutung ist also nicht wirklich die lokale Kraft sondern eher die Spannung als Maß derBeanspruchung sinnvoll.

7

1 EINFÜHRUNG

Spannung

Spannung := KraftFläche , wobei als Fläche die gemeint ist, worauf die Kraft wirkt.

y

x

z

Fluid

Abbildung 2: Einheitsvektoren und Schubspannung

n für „normal": senkrechter Einheitsvektor zur Fläche, der nach außen zeigt.τxz: in der Fläche, die senkrecht zu ex verläuft und nach z zeigt.Spannungskomponente:

„Normalspannungen" τxx, τyy, τzz werden in der Strömungsmechanik als Druck p darge-stellt.[p] = [τxx] = N/m2 = Pa

Bilanz in x-Richtung: falls px 6= p′x

• resultierende Kraft ∝ d21

• Masse ∝ d3

• limd→0

(Beschleunigung)→∞.

1∝≡ proportionell

8

1 EINFÜHRUNG

⇒ Alle Druckwerte sind lokal identisch ⇒ Druck p ist auf Mikroskala isotrop: px = p′x =

py = p′y = pz = p′z

Für die Scherspannung:Bilanz über Drehimpuls: falls τxz 6= τzx

• Drehmoment ∝ d3

• Inertialmoment ∝ d5

• limd→0

(Drehbeschleunigung)→∞.

⇒ Scherspannungen müssen paarweise identisch sein: τi,j = τj,i ⇒ Scherspannungstensorτ ist symmetrisch.

σ = −pI+ τ

Spannungs- Normal- Scher-tensor spannungen spannung

(Druck) (symmetrisch)

1.6 Zurück zur Viskosität

Die Viskosität ist das Bindeglied zwischen Beanspruchung (Spannung) und Verformung(Scherung). Also:(scher)Viskosität := Scherspannung

Scherung

In der Rheologie: Viskosität η

[η] = [Spannung][Scherung]

=N/m2

[ ∂vx∂y

]=

N/m2

1/s= Pa

1/s= Pa · s = kg/m·s

alternativ: kinematische Viskosität:ν = η

ρ;

[ν] = m2/s

(eigentlich Diffusionskoeffizient für Momentum). Wird aber selten in der Rheologie be-trachtet.

1.7 Bedarf der Modellierung

Warum muss η gemessen werden?In den meisten Fällen gibt es kein direktes theoretisches Modell für η in der Strömungs-mechanik.Grund: Kontinuumsansatz der Strömungsmechanik.In Bild 3 ist das Kontinuumsvolumen VK typischerweise 1× 1× 1 µm = 10−18 m3.

• Volumen zu groß: Fluid nicht homogen

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1 EINFÜHRUNG

M/V„Dichte“

VVk

Nicht reproduzierbar

Strömungsmechanik

Abbildung 3: Größe des Kontrollvolumens für den Kontinuumsansatz der Strömungsmechanik

• Volumen zu klein: nur noch ganz wenige Teilchen sind drin.

Ein Punkt in der Strömungsmechanik (das Fluidelement) hat ein endliches Volumen: VK >

0!Ideales Gas (standard Bedingungen)1 Mol = 6, 02 · 1023 Teilchen. ⇔ V = 22, 3 dm3. Da VK = 10−18 m3 ⇒ 27 MillionenTeilchen in VK .Problem: Die Viskosität η ist ein Ergebnis von Wechselwirkungskräfte auf Teilchenebene.Dies ist die Ursache für die Viskosität. In der Strömungsmechanik werden keine Teilchenberücksichtigt /, also muss die Viskosität modelliert bzw. gemessen werden.Trotzdem eine gute Nachricht dabei:

• η resultiert von Wechselwirkungskräfte zwischen Molekülen

• in einem (dilutierten) Gas gibt es nur wenige und einfache Wechselwirkungen.

• im Sinne der Rheologie (η) ist ein Gas daher sehr einfach.

→ in der Vorlesung wird mit Flüssigkeiten u.ä. gearbeitet.

10

2 NEWTONSCHE FLUIDE

2 Newtonsche Fluide

2.1 Wozu braucht man überhaupt die Viskosität?

Für die Beschreibung der Bewegungen: ImpulsgleichungWiederholung des Kapitels Navier-Stokes: SMI, Kapitel 9

Herleitung der Impulserhaltung

Fluidelemente (∙)

Fläche

Abbildung 4: V - Materielles Kontrolvolumen im Fluid.

Gesamtimpuls: P =t

V

ρv dV

dP

dt=?

Mathematiker: Physiker: 2. Gesetz von Newtonddt

t

V

ρv dV „Änderung des Impulses =

=Wirkung der Außenkräfte"→ Transporttheorem Kräfte?→ Reynolds-Theorem

„Volumenkräfte" „Kräfte auf derddt

t

V

ρDv

DtdV (long-range forces) Oberfläche"

↑ ↓ (contact forces)materielle Schwerkraft

(substanzielle) Druck- Reibungs-Ableitung

t

V

ρg dV kraft kraft

Da Druck- und Reibungskraft auf der Außenfläche wirken (und nur dort) ist es besser

11

2 NEWTONSCHE FLUIDE

diese Kräfte durch eine Spannung zu ersetzen.

n: senkrechter Einheitsvektor, zeigt nach außen.Kraft dF, [dF ] =N

Spannungsvektor t :=dF

dA[t] = N/m2 = Pa.

Am einfachsten ist es, wenn dieser Spannungsvektor anhand eines Spannungstensors Tbeschrieben wird.Spannungstensor TSpannungsvektor t = T · nKraft: dF = (T · n)dA

In der Strömungsmechanik wird statt T meistens σ verwendet.Druckkraft: Tp = −pI.

mit I =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

tp = −pI · n = −pndFp = (−pdA)n ,

Tensor: σ = −pI︸︷︷︸+ τ︸︷︷︸↑ ↑

Beitrag der Beitrag derDruckkraft Reibungskraft

Mathematik Physik

∫ ∫ ∫VρDVDtdV =

∫ ∫ ∫VρgdV+

∫ ∫A

(σ · n)dA

Schwerkraft Druckkraft & Reibungskraft

Integrale Form der Navier-Stokes Gleichung (Impulserhaltung)∫ ∫ ∫VρDv

DtdV =

∫ ∫ ∫VρgdV −

∫ ∫ApndA+

∫ ∫Aτ · ndA

Integralsatz von Gauss∫ ∫→∫ ∫ ∫

∇

(lokale Form) der ImpulserhaltungρDv

Dt= ρg −∇p+∇ · τ

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2 NEWTONSCHE FLUIDE

Navier-Stokes Gleichung: universell gültig, ohne weitere Annahmen, sowohl für Newton-sche als auch für nicht-Newtonsche Fluide.Frage: was ist τ (der Reibungstensor) und wie kann es beschrieben werden?

Vorschlag von Newton für τ :Newton ist sehr erfahren mit Reibungskräften! Er kennt außerdem einige experimentelleErgebnisse (Wasserexperimente)

• ohne Bewegung: keine Reibung

• ohne Gradiente auf lokaler Ebene: keine Reibung.

Abbildung 5: Beispiel: homogene Strömung; keine Reibung

Analyse von Newton: die Reibung in einem Fluid ist direkt abhängig von Geschwindig-keitsunterschieden. Diese Unterschiede werden durch Gradienten der Strömungsgeschwin-digkeit quantifiziert. Alle mögliche Gradiente erscheinen im Deformationstensor d (sieheBlatt).

Der einfachste mögliche Ansatz (der von Newton) ist daherτ ∝ d

↑ ↑gesucht Deformationstensor

Mit der jetzt standardisierten Schreibweise für eine Flüssigkeit gilt damit

τ = 2ηd (2.1)

η: die (Scher)viskosität [η] = Pa · s[d] = 1/s

[τ ] = Pa

τ =

2η ∂vx

∂x2η 1

2

(∂vx∂y

+ ∂vy∂x

)2η 1

2

(∂vx∂z

+ ∂vz∂x

)2η 1

2

(∂vx∂y

+ ∂vy∂x

)2η ∂vy

∂y2η 1

2

(∂vy∂z

+ ∂vz∂y

)2η 1

2

(∂vx∂z

+ ∂vz∂x

)2η 1

2

(∂vy∂z

+ ∂vz∂y

)2η ∂vz

∂z

13

2 NEWTONSCHE FLUIDE

τ ist (wie erforderlich) symmetrisch, also τi,j = τj,i.

Der Ansatz von Newton ist perfekt für viele Fluide: Wasser, Luft, ideale Gase...Alle Stoffe, die Gl. 2.1 erfüllen, werden Newtonsche Fluide (eigentlich Newtonsche Flüs-sigkeiten) genannt.Aus Gl. 2.1 ist klar, dass solche Fluide nur einen Wert für die Viskosität, solange sich dieProzessparameter (T, p) nicht verändert, besitzen: ηEs gibt viele newtonsche Flüssigkeiten! Einziger Unterschied: Wert von η.

Stoff (20C) η in [mPa · s](0.001 Pa · s)

nur GrößenordnungenGase 0,01Aceton 0,3Benzin 0,6Wasser 1 (Zufall!)Ethanol 1,2Fruchtsäfte 2 . . . 5

Milch 5Leichtöl 10Blut (37C) 15Glykol 20Olivenöl 100Motoröl bis 1000Glyzerin 1500Flüssighonig 104

Bitumen 106

Glasschmelze (500C) 1014

Tabelle 1: Viskosität unterschiedlicher Flüssigkeiten

16 Dekaden zwischen kleinsten und größten Wert!

Kombiniert mit Navier-Stokes:

ρDv

Dt= ρg −∇p+∇τ (2.2)

Gl. 2.1 → Gl. 2.2 einsetzen.

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2 NEWTONSCHE FLUIDE

Navier-Stokes als Komponentgleichung (skalare Gleichung)ρDviDt

= ρgi − ∂p∂xi

+∂τi,j∂xj

→ Einsteinsche Summenkonvention (bei doppelt auftretenden Indizes in einem Term wirddie Summe über alle Indexwerte gebildet) führt zu:ρDviDt

= ρgi − ∂p∂xi

+(∂τi,1∂x1

+∂τi,2∂x2

+∂τi,3∂x3

)2.2 Navier-Stokes-Gleichung für eine Newtonsche Flüssigkeit mit

konstanter Viskosität

Newton: τi,j = η(∂vi∂xj

+∂vj∂xi

)↑ konstant

∂τij∂xj

= η ∂∂xj

(∂vi∂vj∂xi

)= η

∂2vi∂x2

j︸︷︷︸1

+∂2vj∂xj∂xi︸︷︷︸

2

Einsteinsche Summenkonvention führt zu:

1. ∂2vi∂x2j

= ∂2vi∂xj∂xj

= ∂2v1∂x21

+ ∂2v2∂x22

+ ∂2v3∂x23

= ∇2vi = Laplace(vi)

2. ∂2vj∂xj∂xi

=∂2vj∂xi∂xj

= ∂∂xi

(∂vj∂xj

)= ∂

∂xi

(∂v1∂x1

+ ∂v2∂x2

+ ∂v3∂x3

)= ∂

∂xi(7

0

∇ · v) (∇ = 0 da inkom-pressible Strömung)

Es kommt also:ρDv

Dt= ρg −∇p+ η∇2v (2.3)

Navier-Stokes-Gleichung für newtonsche Flüssigkeiten mit einer konstanten Viskosität.

2.3 Ein Wert für die Viskosität?

Wie zuletzt diskutiert, ist die Viskostät das Ergebnis von Wechselwirkungskräften aufMolekülebene. → Als Ergebnis dieser Tatsache muss notwendigerweise η abhängig sein:

• von der Molekülstruktur („vom Stoff")

• von der Stärke der Wechselwirkungskräfte und damit

• von der Temperatur T ! (siehe Praktikum)

• vom Druck p? (für unsere Flüssigkeiten irrelevant (inkompressibel))

15

2 NEWTONSCHE FLUIDE

Fazit: Scherviskosität η=Funktion(Stoff, Temperatur)

Einfluß der Temperatur

• Gas: Wechselwirkungskräfte = Stöße

T ↑ → stärkere Bewegungsschwankungen → mehr Stöße → η ↑

• Flüssigkeit: im Grundzustand ist die Molekülstruktur viel Stabiler als in einem Gas,da weitere Kräfte (van der Waals, Wasserstoff-Bindung. . .) existieren.

T ↑ → stärkere Bewegungsschwankungen→ mehr Stöße aber gleichzeitig reduzier-ter Einfluß der anderen, lokalen Wechselwirkungskräfte → insgesamt, i.A. η ↓

Ist T nicht konstant, wird alles viel komplizierter. Es erscheinen zusätzlich Ableitungen∂η∂xj

, was zu einer längeren Gleichung ohne analytische Lösung führt. Zur Lösung bleibennur Experimente oder numerische Strömungssimulation.Für die Messungen werden immer konstante Temperaturen erzwungen.

2.4 Einführung zum Praktikum - Couette-Strömung

x

vx(y)

u

Flüssigkeit

y

Spalthöhe hSpalt h

Technische Realisierung

Abbildung 6: Konfiguration, Couette-Strömung.

Geschwindigkeit: v, festgelegt durch Messung.Erhaltungsgleichungen der Strömungsmechanik:

• Massenerhaltung: ∂ρ∂t

+∇(ρv) = 0

• Impulserhaltung: ρDvDt

= ρg −∇p+∇ · τ

• Flüssigkeit: ρ =Konst. →

– Masse: ∇ · v = 0

– Impuls: DvDt

= g − 1ρ∇p+ 1

ρ∇ · τ

16

2 NEWTONSCHE FLUIDE

Stationäre Strömung:Dv

Dt=7

0∂v

∂t+ (v · ∇)v

Ebene Strömung:v = (vx, vy,>

0vz)

Die Strömung ist unendlich (bzw. periodisch) in der x-Richtung, es kann keinen Druck-gradient in x-Richtung geben!∂p∂x

= 0

Schwerkraft ist vernachlässigbar, da:

• h klein, dünner Film

• Messung in einer horizontalen Ebene

Massenerhaltung:

∇ · v = 0 =

0∂vx∂x

+ ∂vy∂y

= 0→ ∂vy∂y

= 0

Randbedingung? - Haftrandbedingungd.h. die Geschwindigkeit des Fluids an der Wand entspricht der Wandgeschwindigkeitvy(y = 0) = 0; untere Plattevy(y = h) = 0; obere Platte∂vy∂y

= 0

vy = 0 immer und überall! → gesucht wird nur noch vx(y)

Impulserhaltung:Dv

Dt→ (v · ∇)v

vx

0dvxdx

+>0

vydvxdy

= −1ρ7

0∂p∂x

+ 1ρ(∇ · τ)x

vxdvydx

+>0

vydvydy

= −1ρ∂p∂y

+ 1ρ(∇ · τ)y

vom Impuls in x-Richtung:(∇ · τ)x = 0

Hier (2D):

(∇ · τ)x =>

0∂τxx∂x

+ ∂τxy∂y

daher∂τxy∂y

= 0 oder τxy = Konst. in dem gesamten Fluid - die Scherspannung ist überall gleich

17

2 NEWTONSCHE FLUIDE

τxy ist nur abhängig von dem Fluid

Für ein Newtonsches Fluid (Flüssigkeit):τ = 2ηd (mit dem Deformationstensor)

τxy = 2ηdxy = 2η 12

(∂vx∂y

+ ∂vy∂x

)= η ∂vx

∂y

Impulsgleichung:

η∇2vx = 0 oder >

0∂2vx∂x2

+ ∂2vx∂y2

= 0 (Laplace)

Es folgt: ∂2vx∂y2

= 0

2.5 Fließkurve oder Fließdiagramm für ein newtonsches Fluid

Scherspannung

xy= Konst.

Scherung

𝜂 = Anstieg

𝛾 =𝜕𝑣𝑥

𝜕𝑦 = Konst.

Abbildung 7: Graphische Darstellung der Viskosität

Randbedingung:vx(y = 0) = 0

vx(y = h) = U

Integration: ∂vx∂y

= a

vx = ay + b

vx(y) = U yh

18

2 NEWTONSCHE FLUIDE

lineares Geschwindigkeitsprofil∂vx∂y

= Uh=Konst.: Scherung

Für eine Newtonsche Flüssigkeit: τxy = η ∂vx∂y

(linear)

Ebene, stationäre Strömung, ohne Einfluss von Druckkraft und Schwerkraft:

Reibungsstensor τ : nur noch τxy = τyx, überall gleich.Deformationstensor d: nur noch ∂vx

∂y;

γ := ∂vx∂y

ist die Scherrate; [γ] = 1/s - überall gleich.

Für eine Newtonsche Flüssigkeit: τxy = η ∂vx∂y

Scherviskosität = Anstieg

=

Sehr hohe Viskosität:

→ +∞

Verschwindend

geringe Viskosität:

→ 0

Abbildung 8: Fließkurve eines Newtonschen Fluids mit den Grenzfällen (links) und die darausabgeleitete Viskositätskurve (rechts).

Aus der Fließkurve wird durch Ableitung die Viskositätskurve gezeichnet (s. Abbildung 8).

Woher kommt dann die Komplexität der „echten“ Flüssigkeiten?

→ Wegen extrem hoher Unterschiede im Wert der Viskosität

→ Weil bei weitem nicht alle Flüssigkeiten newtonsche Fluide sind! Unser nächstesThema...

19

3 NICHT-NEWTONSCHE FLUIDE MIT ZEITUNABHÄNGIGER VISKOSITÄT -TEIL I.

3 Nicht-Newtonsche Fluide mit zeitunabhängiger

Viskosität - Teil I.

• zeitunhabhängige Viskosität

• ohne Fließgrenze

3.1 Einführung

Vorerst betrachten wir zwar komplexere, nicht-newtonsche Fluide, aber „einfache“:

• η (Viskosität) ändert sich nicht mit der Vorgeschichte des Fluids, η ändert sich nichtmit der Zeit

• die Fliesskurve startet immer noch am Punkt (0,0): bei der kleinsten Beanspruchungbeginnt sofort die Fluidbewegung (keine Fließgrenze)

Es bleiben dann 2 relevante Stofffamilien:

• scherverdünnende

• scherverdickende

Flüssigkeiten

Die Viskosität solcher Fluide ist abhängig von der Scherrate γ: η = η(γ) .Bei newtonschen Flüssigkeiten gilt: η =konst.

3.2 Scherverdünnendes Fließverhalten

3.2.1 Allgemeines

In diesem Fall zeigt die Fließkurve eine abnehmende Kurvensteigung: η nimmt mit wach-sender Scherbelastung γ ab.

Abbildung 9: Fließ- und Viskositätskurven scherverdünnender Flüssigkeiten

20


Scherverdünnend ≡

• shear thinning (Eng.)

• pseudoplastisch

• strukturviskos

nicht empfohlen

In der Industrie und im Haushalt sind scherverdünnende Stoffe sehr verbreitet und beliebt.,

Beispiele sind:

• Polymerlösungen und -schmelzen

• Kleister

• Lacke / Farben

• Schampoo

• Blut

In der Praxis wird oft beobachtet, dass scherverdünnende Flüssigkeiten für sehr kleineund auch sehr große Werte von γ ein newtonsches Verhalten aufweisen (s. Abbildung 10).

Abbildung 10: Fließ- und Viskositätskurven scherverdünnender Flüssigkeiten, praxisnah

3.2.2 Physikalische Erklärung

Die Abnahme der Viskosität entsteht durch eine Strukturänderung im Fluid, die dafürsorgt, dass die einzelnen Fluidelemente „leichter aneinander vorbeigleiten“ können.

21


≅ 0

Tabelle 2 zeigt typische Werte für Scherraten, die der Beanspruchung bei praktischenProzessen entsprechen. Diese Werte reichen über acht Größenordnungen, weshalb übli-cherweise eine logarithmische Teilung verwendet wird.

Vorgang Scherrate γ in 1/s

Größenordnung in etwaSedimentation / Schwerkrafteinwirkung 0,01Oberflächenfilm/Abtropfen 0,1Extrudieren 10Pressen (kauen) 100Rühren 1000Streichen, gießen, bürsten 10 000Mahlen, einreiben 105

Schmieren 106

Tabelle 2: Typische Scherraten bei unterschiedlichen Prozessen

22


Anwendung scherverdünnender Fluide: Wandfarbe lässt sich durch Scherverdünnung leichtauf die Wand auftragen (bei γ ), tropft aber nicht von der Rolle (bei γ ≈ 0).

3.2.3 Modell für die Viskosität

In der Literatur gibt es sehr viele Modelle für die Beschreibung der Viskosität. Das Wich-tigste ist das von Ostwald-de Waele (häufig als „Potenzgesetz“ bzw. auf Englisch als„power-law“ bezeichnet).

τ = K · γn

K: Fließkoeffizient (Konsistenz) [K] = Pa · s für eine Newtonsche Flüssigkeitn: Index [n] = [−]

Für n = 1: τ ∝ γ newtonsches FluidIn Analogie zum newtoschen Fluid (τ = ηγ, d.h. η := τ

γ) kommt jetzt für die Viskosität

nach dem Potenzgesetz:

η = K · γn−1

Für ein scherverdünnendes Fluid gilt: n < 1

n = 1 → η = konst → newtonsches Fluidn < 1 → η nimmt mit γ ab → scherverdünnend

Beispiel: n = 0, 5

τ = K ·√γ; η = K√

γ

2 Probleme des Modells:limγ→0

η = +∞

limγ→∞

η = 0

beide nicht realistisch, physikalisch falsch

⇒ Lösung: Potenzgesetz wird meistens nur für γmin ≤ γ ≤ γmax verwendet, davor unddanach wird η als konstant angenommen:Für γ ≤ γmin : η = η0

Für γ ≥ γmax : η = η∞

23


Konst.

Abbildung 11: Scherverdünnendes Fließverhalten: Polymer, Suspensionen, Aggregate

3.3 Scherverdickendes Fließverhalten

3.3.1 Einführung

Die Fließkurve zeigt eine zunehmende Kurvensteigung: η nimmt mit wachsender Scherbe-lastung γ zu!

Abbildung 12: Fließ- und Viskositätskurven scherverdickender Flüssigkeiten

Scherverdickend ≡

• shear thickening (Eng.)

• dilatant

• scherverfestigend

nicht empfohlen

24


Scherverdickendes Stoffverhalten ist relativ selten (und sehr selten erwüscht).

Beispiele:

• nasser Sand

• einige sehr stark beladene Suspensionen (Stärke, Plastisol, Beton, Keramik)

• Sportbereich

• Polizei, Militär

Schutzbekleidung

3.3.2 Physikalische Erklärung

Für die Zunahme der Viskosität bei zunehmender Belastung wird, analog zu scherverdün-nenden Fluiden, eine Strukturveränderung im angenommen. Man vermutet eine „Verkan-tung“ der Partikel in einer Suspension.

• γ ∼= 0: hohe Ordnung in der Flüssigkeit (Van der Waals-Kraft, Wasserstoffbindung),geringe Viskosität

• γ : Struktur ändert sich, Flockung/Koagulation setzt ein. Eine erhöhte Scher-rate führt zur Bildung neuer Strukturen: Partikel berühren sich mehr, verkantensich

Bekannt ist aus der Praxis, dass hierfür Partikelform, -konzentration und -größenverteilungausschlaggebend sind: ein sehr komplexer Vorgang!

3.3.3 Modell für die Viskosität

Erneut das Potenzgesetz:τ = K · γn , mit n > 1

da τ = ηγ giltη = K · γn−1

Beispiel: n = 3 → η = K · γ2

Problem:lim

γ→+∞η = +∞

limγ→0

η = 0

beide nicht realistisch, physikalisch falsch

25


Das Potenzmodell kann eigentlich alle 3 Verhalten gleich beschreiben: sehr praktisch!

Abbildung 13: Fließ- und Viksositätskurven des Potenzmodells für newtonsche (grün), scherver-dünnende (blau) und scherverdickende (rot) Fluide

• scherverdickend: n > 1

• scherverdünnend: n < 1

• Newtonsches Verhalten: n = 1

26

4 NICHT-NEWTONSCHE FLUIDE MIT ZEITUNABHÄNGIGER VISKOSITÄT -TEIL II.

4 Nicht-Newtonsche Fluide mit zeitunabhängiger

Viskosität - Teil II.

• zeitunhabhängige Viskosität

• mit Fließgrenze

4.1 Einleitung: zurück zum Potenzgesetz

Potenzgesetz (Ostwald-de Waele):

τ = Kγn n = 1: Newton

η = Kγn−1 K = 1

Vorteile:

• sehr verbreitet

• sehr einfach

• kann newtonsches (n = 1), scherverdünnendes (n < 1) undscherverdickendes (n > 1) Verhalten beschreiben

Hauptproblem:• Für n < 1 (scherverdünnend)

• limγ→0

η = +∞

• limγ→+∞

η = 0

• Für n > 1 (scherverdickend)

• limγ→0

η = 0

• limγ→+∞

η = +∞

irrealistisch

Wie kann eine realistischere Darstellung abgeleitet werden?

4.2 Viskositätsgrenze

Unter realistischen Bedingungen wird für Fließvorgänge weder η = 0 noch η = +∞ er-reicht. Stattdessen wird in diesen Bereichen lokal ein newtonsches Verhalten beobachtet.

27


Die Grenzwerte für γ → 0 und γ → +∞ haben eine besondere Bedeutung/Bezeichnung.

limγ→0

η = η0: Nullviskosität

mit 0 < η0 < +∞Nebenbemerkung: Über η0 kann oft indirekt die Molmasse bestimmt werden (insbesonderefür Polymere).

limγ→+∞

η = η∞: Endviskosität

mit 0 < η∞ < +∞

0,0 0,0

Abbildung 14: Beispiel einer Fließ- und Viskositätskurve mit Null- und Endviskosität für einscherverdünnendes Fluid

Solch ein Verhalten kann mit dem Potenzgesetz nicht beschrieben werden!

→ Eine Lösung: Potenzgesetz nur für γ0 ≤ γ ≤ γ∞

→ Alternative?

4.3 Komplexere Modelle für die Viskosität

Es gibt eine sehr hohe Anzahl davon! Hier nur die Wesentlichen...

4.3.1 Prandtl-Eyring

(für scherverdünnende Fluide)

η = η0sinh−1(Kγ)

Kγ

mit sinh−1: Invers eines Sinus Hyperbolicus (asinh), K: Konsistenz o. Fließkoeffizient,

28


η0: Nullviskosität

Vorteil: limγ→0

= η0

Nachteil: limγ→+∞

η = 0

4.3.2 Powell-Eyring

Ursprünglich für scherverdünnende Stoffe entworfen ist das Modell auch für scherverdi-ckende Fluide erweiterbar.

η−η∞η0−η∞ = sinh−1(Kγ)

Kγ

mit K: Konsistenz, η0: Nullviskosität, η∞: Endviskosität

für scherverdünnend: η0 > η∞

für scherverdickend: η0 < η∞

limγ→0

η = η0 ⇔ OK

limγ→+∞

η = η∞ ⇔ OK

Nur eine Modellkonstante (K) für den Kurvenverlauf: einfach, aber weniger flexibel

4.3.3 Carreau-Yasuda

Ein weit verbreitetes Modell, das sehr häufig eingesetzt wird!η−η∞η0−η∞ = [1 + (Kγ)a]

n−1a

mit K: Konsistenz, n: Exponent, a: quantifiziert, wie schnell der Übergang zwischen η0

und η∞ erfolgt (Steifigkeit)Gültig für

• n = 1, η = η0 =konst. ⇔ Newton

• n < 1, η0 > η∞ ⇔ scherverdünnend (dafür ist das Modell entwickelt worden)

• n > 1, η0 < η∞ ⇔ scherverdickend

limγ→0

η = η0 ⇔ OK

limγ→+∞

η = η∞ ⇔ OK

1K

- Größenordnung, ab welchem Wert fü r γ der Übergang zwischen η0 und η∞ spürbarist.

29


4.4 Fluide mit Fließgrenze

In der Praxis wird oft beobachtet, dass unterhalb einer gewissen Beanspruchung (Span-nung) keinerlei Fluidbewegung (d.h. Fluidverformung) erfolgt: es fließt nicht!

Erste wissenschaftliche Untersuchungen dazu unternahm Bingham (1916)→ Solche Stoffewerden Bingham Fluide oder Fluide mit Fließgrenze genannt.Fast alle Stoffe haben eine Fließgrenze, diese ist aber oft so klein, dass sie irrelevant ist.Bingham-Fluide beginnen jedoch erst zu fließen, wenn die externen Kräfte (Spannung)größer als die internen Strukturkräfte sind. Darunter verhält sich der Stoff wie ein Fest-stoff (elastische Verformung, siehe später: visko-elastische Substanzen).Dieser Schwellwert in der Spannung wird τy (yield stress) genannt.

Das Verhalten newtonscher Fluide mit Fließgrenze ist in Abbildung 15 dargestellt.

∞

ohne Fließgrenze

mit Fließgrenze

0,0 0,0

Abbildung 15: Newtonsches Fluid mit Fließgrenze: Fließ- und Viskositätskurve

Das Konzept „Fließgrenze" lässt sich aber problemlos mit allen bereits bekannten Visko-sitätsmodellen kombinieren ,.

wenn τ ≤ τy ⇒ γ = 0; η = +∞wenn τ ≥ τy ⇒ τ = τy + ηγ; η = η(γ) (dafür ein beliebiges Viskositätsmodell)

Beispiel: Kombination mit Potenzgesetz, ähnlich wie vorher für das Newtonsche Fluid. Dasresultierende Modell (Potenzgesetz mit Fließgrenze) wird dann Herschel-Bulkley-Modellgenannt.

30


FG/Newton FG/scherverdünnend FG/scherverdickenddickflüssige Farben Blut typischerweise inZahnpasta Ketschup Verbindung mit

Mayonnaise oberflächenaktivenSchokoladenschmelze Substanzen

selten sehr häufig sehr selten

Typische Fließgrenzen:

Stoff - 20C τy (Pa)

Blut (37C) 0, 015 ∼= 0

Ketchup 20 . . . 40

Joghurt, Salatdressing 50 . . . 60

Mayonnaise 90

Handcreme 100

Haargel 140 . . . 150

Selbst wenn diese Werte klein und relativ ähnlich sind, spielt die Fließgrenze eine spürbareRolle für die Struktur der Strömung. Sie führt zu komplexen Geschwindigkeitsfeldern:

• ein Teil des Fluides strömt, ein anderer bleibt bewegungslos

• Bildung einer Propfenströmung

Newtonsch Pfropfen‐Strömung

Abbildung 16: Vergleich der Strömungsprofile eines newtonschen Fluids und eines Fluids mitFließgrenze

4.5 Viskositätsmodelle für ein Bingham-Fluid

Eine einfache Kombination z.B. mit dem Potenz-Gesetz führt zu η = +∞ für τ ≤ τy, wasjedoch unrealistisch ist.

31


Somit ist eine komplexere Modellierung erforderlich.

modifiziertes Bingham-Modell nach Papanastasiougilt für newtonsche oder scherverdünnende Bingham-Fluide

τ =[η∞ + τy(1−e−aγ)

γ

]γ

η = η∞ + τy(1−e−aγ)

γ

η∞ (Endviskosität) und τy (Fließgrenze) sind messbar, a ist ein Modellparameter undcharakterisiert die Steifigkeit des Modells.Für a→ +∞ konvergiert das Modell zum klassischen Bingham-Verhalten.

Die Gleichung liefert für jeden Wert von τ kontinuierliche Werte und Ableitungen.

32

5 THIXOTROPE UND RHEOPEXE SUBSTANZEN

5 Thixotrope und rheopexe Substanzen

Fließverhalten ist zeitabhängig, genauer gesagt ist die Viskosität η zum Zeitpunkt t = t1

von der Vorgeschichte t ≤ t1 abhängig:

η(t) = F (τ ≤ t)

5.1 Einführung

In der Theorie geht man immer davon aus, dass sich die physikalische Struktur der Probewährend der Messung nicht ändert. Daher werden chemische Reaktion, Aushärtungs- oderGelierprozesse etc. ausgeschlossen.

Allerdings gilt für die Praxis:

• diese Prozesse sind von großer Bedeutung und müssen charakterisiert werden

• solche Effekte können meist nicht vermieden werden

• die Viskosität kann von der Messung (Beanspruchung im Rheometer) abhängig sein

Wir bleiben also ab jetzt pragmatisch:

• was sich vermeiden lässt, wird natürlich vermieden;

• was niemanden interessiert, wird nicht betrachtet;

• wenn ein Prozess interessant ist und/oder unvermeidbar ist, werden rheometrischeMessungen in Anwesenheit dieses Prozesses durchgeführt

5.2 Thixotropes Verhalten

5.2.1 Einführung

Thixotropie ist mit Scherverdünnung direkt verwandt und dementsprechend auch weitverbreitet.

Thixotropes Verhalten bedeutet die Verringerung der Viskosität während einer Scher-belastungsphase und der vollständigen Wiederaufbau während der nachfolgenden Ruhe-phase

“Vollständig” bedeutet dabei, dass Thixotropie reversibel ist.

33


Man könnte „scherverdünnend“ auch als „thixotrop mit schlagartiger Wirkung und Rela-xation“ bezeichnen (ta = tr = 0).

Wirkungszeit Relaxationszeit

Konst ≫ 0 0

Abbildung 17: Thixotropes Verhalten, mit Definition der Wirkungszeit bzw. Aktivationszeit taund der Relaxationszeit tr

Kommentare:

• meistens ist die Relaxationszeit deutlich länger als die Wirkungszeit

• das Ergebnis der Messung hängt von γ ab

• mit zunehmender Belastung γ nimmt die Wirkungszeit ta ab

Es gibt sehr viele Beispiele für thixotrope Substanzen: (noch mehr, wenn alle scherverdün-nende Stoffe dazu gezählt werden)

• An der Grenze zwischen scherverdünnend und thixotrop (Wirkungszeit ta < tr <

1 s): Zahnpasta, Handcreme, Rasiercreme, Schlagsahne aus Druckflaschen. . .

• Eine Mehrheit aller Pasten, Cremes, Druckfarben, Gele. . .

• Ketchup: bei gleichmäßigem Schütteln oder Rühren wird Ketchup dünnflüssiger.Relaxationszeit je nach Marke etwa 1-10Min bei 20C (Gelierungsprozess).

34


• schweres Paraffinöl: wird beim Schütteln schlagartig dünnflüssig. Relaxationszeit ca.8 Stunden bei 20C

• Tonerde, Knetmasse, Keramikschlicker, Schlämme

• Hyaluronsäure (Gelenkflüssigkeit) ⇒ Aufwärmphase vor dem Sport!

• Thixotropes Öl: um zu schmieren, wo es nicht tropfen darf (z.B. bei der Schmierungvon Standuhren).

Thixotropie in der Bodenkunde:Tonerde, Schlamm, Quickerde, Quickton, Treibsand sind alle stark thixotrop. In tonartigenSedimenten kann durch mechanische Beanspruchung (z.B. durch Erdbeben, Druck wegeneindringendem Wasser) ein Wechsel von fest zu fließfähig auftreten→ Ursache für Damm-oder Deichbrüche, Schlammlawinen.

5.2.2 Pseudo-Thixotropie

Eine Substanz, die in der Scherphase Strukturabbau zeigt, aber die ursprüngliche Struk-turstärke nach einer „unendlich“ langen Ruhezeit nicht aufweist, ist pseudo-thixotrop.

𝑡

𝜂

Wirkungszeit − 𝑡𝑎 Relaxationszeit − 𝑡𝑟

=Konst ≫ 0

= 0

Abbildung 18: Pseudo-thixotropes Verhalten

35


In diesem Fall findet eine irreversible, bleibende Strukturveränderung statt. Hier sollteman von einer partiellen Regenerierung sprechen, z.B. „Nach einer Scherbelastung bei1000 s−1 während 30 s erfolgte in 120 s die Regeneration der Viskosität auf 70% des Ruhe-wertes“.

⇒ noch mehr Parameter/Einflußgröße⇒ noch schwieriger, sauber zu charakterisieren.

Nicht-thixotrop: z.B. Joghurt. Selbst nach einer längeren Zeit bleibt Joghurt nach einemkräftigen Rühren deutlich dünnflüssiger als vor dem Rühren.

5.3 Rheopexes Verhalten

5.3.1 Einführung

Rheopexie ist mit Scherverdickung verwandt (und dementsprechend weniger verbreitet).

Rheopexes Verhalten bedeutet die Erhöhung der Viskosität während einer Scherbelas-tungsphase und der vollständige Wiederabbau während der nachfolgenden Ruhephase

“Vollständig” bedeutet dabei, dass Rheopexie reversibel ist.

Scherverdickung ist „Rheopexie mit schlagartiger Wirkung und Relaxation“.

36


Wirkungszeit Relaxationszeit

Konst ≫ 0 0

Abbildung 19: Rheopexes Verhalten, mit Definition der Wirkungszeit bzw. Aktivationszeit ta undder Relaxationszeit tr

Achtung!

• Der Vorgang ist abhängig von γ während der Belastungsphase

• Manche Stoffe gelten sowohl als thixotrop wie auch als rheopex: häufig wegen ober-flächenaktiven Substanzen in komplexen Suspensionen (z.B. Keramikschlicker).

Beispiele für rheopexe Substanzen: relativ selten, meist unerwünscht, da rheopexe Sub-stanzen inhomogen fließen(Wandgleiteffekte, Entmischung, Pfropfenbildung)

• Keramikschlicker

• Latex-Dispersion

• hochkonzentrierte Proteinsuspension

• Kohlesuspension

• Plastisolen

• Neu: Sportanwendungen, Schuhsohlen von Sportschuhen

37


5.3.2 Pseudo-Rheopexie

Für reversible Vorgänge, ähnlich der Pseudo-Thixotropie, mit partieller Regeneration derViskosität, die höher liegt als der Anfangswert.

5.4 Viskositätsmodelle für zeitabhängige Substanzen

5.4.1 Einfacher Ansatz

In bereits bekannten Modellen werden die relevanten Parameter zeitabhängig definiert.

τy(t), η(t) Funktionen der Zeit

Dies ist ein offensichtlich „primitiver"Ansatz: alle Details der Strukturänderung werdenignoriert und nur nachträglich per Modellanpassung näherungsweise beschrieben.

5.4.2 Beschreibung mit einem Strukturparameter ξ

In komplexeren aber weiterhin vorwiegend qualitativen Modellen wird die Strukturände-rung mit einem dimensionslosen Strukturparameter ξ quantifiziert:

• ξ = 1: Das Fluid is „perfekt“ strukturiert (Ruhezustand vor/nach der Beanspru-chung)

• ξ = 0: maximale Strukturänderung wurde erreicht (am Ende der Beanspruchungs-phase)

• 1 > ξ > 0: während der Beanspruchung bzw. Relaxation.

Zur Beschreibung des Fließverhaltens werden zwei gekoppelte Gleichungen benötigt:

• (klassisch) Beziehung τ ↔ γ liefert die Viskosität für einen bestimmten Wert von ξ

• Beziehung ξ(t) (kinetische Gleichung) liefert die Werte von ξ. Diese Beschreibungverläuft ähnlich wie eine reversible chemische Reaktion.

Meistens wird am Ende das Modell von Houska verwendet (Erweiterung von Herschel-Bulkley):τ ↔ γ τ = (τy + τy1ξ) + (K0 +K1ξ)γ

n

Für ξ = 0 wird τ = τy +Koγn und damit Herschell-Bulkley

ξ(t) ξ = dξdt

= a(1− ξ)− bξγε

38


wobei τy, K0, n: Standard-Parameter, ohne Strukturänderung (n < 1 thixotrop, n > 1

rheopex)und τy1, K1: Parameterwerte die die Zeitabhängigkeit der Strukturveränderung beschrei-ben, mit der Annahme einer linearen Abhängigkeit von ξ

Die zweite Gleichung ist die kinetische Gleichung mit zwei Komponenten:

• a(1 − ξ) > 0: Strukturaufbauterm (Relaxation/Regenerierung), ξ nimmt zu (fürγ = 0)

• bξγε: Strukturabbauterm (Belastungsphase), ξ nimmt ab (γ =Konst. - 1. Phase, d.h.Beanspruchung); Funktion von γ.

Insgesamt 8 Modellparameter (komplex!) müssen experimentell bestimmt werden:

• Modell-, Stoffparameter: τy, K0, n bzw. τy1, K1

• kinetische Parameter: a, b, ε

• /: viele Messungen sind notwendig

• ,: sehr viele Fluide können hiermit gut beschrieben werden

5.5 Messungen für Thixotropie / Rheopexie

Natürlich zeitabhängige Messungen, also Messung von Wirkungszeit und Relaxationszeit!

5.5.1 Scherratengeregelt: Vorgabe von γ

Das ist aktueller Stand der Technik. Hiermit können akkurat:

• Aktivations- und Relaxationszeit z.B. auf Basis der Tangenten-Methode ermitteltwerden (Bild 20),

• die Neigung zur Thixotropie oder Rheopexie auf Basis der Hysterefläche (Flächen-differenz zwischen 2 Kurven) (Bild 21),

quantifiziert werden.

39


Ruhe

Belastung

Relaxation

10

10 Zeit bis 50% Regeneration

~60 s ~60 s ~180 s

Abbildung 20: Scherratenregelung: Messung der Aktivations- und Relaxationszeit

Rheopex

Thixotrop

Abbildung 21: Scherratenregelung: Messung der Hysteresefläche

5.5.2 Schubspannungsgeregelt: Vorgabe von τ

Vor allem für Rheometer, die keine γ-Regelung ermöglichen. Damit können auch:

• Aktivations- und Relaxationszeit z.B. auf Basis der Tangenten-Methode ermitteltwerden (Bild 22),

• die Neigung zur Thixotropie oder Rheopexie auf Basis der Hysterefläche (Flächen-differenz zwischen 2 Kurven) (Bild 23),

quantifiziert werden.

40


[Pa]

Ruhe

Belastung

Relaxation

10

10 Zeit bis 50% Regeneration

~60 s ~60 s ~180 s

Abbildung 22: Schubspannungsregelung: Messung der Aktivations- und Relaxationszeit

Rheopex

Thixotrop

Abbildung 23: Schubspannungsregelung: Messung der Hysteresefläche

41

6 KANONISCHE STRÖMUNGEN TEIL 1

6 Kanonische Strömungen nicht-newtonscher Fluide:

Konsequenzen für die Rheometrie - Teil 1,

Geschwindigkeitsprofile

6.1 Einleitung

Um Konsequenzen nicht-newtonscher Eigenschaften für die Praxis zu diskutieren undum Messergebnisse der Rheometrie besser verstehen zu können, sind vorher bekannteanalytische Lösungen erforderlich.Damit ist es möglich, für „einfache" Viskositätsmodelle alle Parameter messtechnisch zubestimmen. Für komplexere Modelle ist oft eine zusätzliche Computersimulation erforder-lich.Fast alle relevante Anwendungen können am besten mit einer achsensymmetrischen Dar-stellung beschrieben werden.

6.2 Ausgangsgleichungen für inkompressible Strömungen

6.2.1 Allgemeine Lösung in achsensymmetrischen Koordinaten

Typische Anwendung: Rohr-Strömung

(Zylinder)Koordinaten: Strömungsgeschwindigkeit:

Massenerhaltung: ρ=konst. (inkompressibel) ∇ · v = 0

1

r

∂(rvr)

∂r+

1

r

∂vφ∂φ

+∂vz∂z

= 0 (6.1)

Impulserhaltung:

42


ρ

(∂vr∂t

+ vr∂vr∂r

+vφr

∂vr∂φ

+ vz∂vr∂z−v2φ

r

)= ρgr −

∂p

∂r+∂τrr∂r

+1

r

∂τrφ∂φ

+∂τrz∂z

+τrr − τφφ

r

ρ

(∂vφ∂t

+ vr∂vφ∂r

+vφr

∂vφ∂φ

+ vz∂vφ∂z

+vrvφr

)= ρgφ −

1

r

∂p

∂φ+∂τrφ∂r

+1

r

∂τφφ∂φ

+∂τφz∂z

+ 2τφrr

ρ

(∂vz∂t

+ vr∂vz∂r

+vφr

∂vz∂φ

+ vz∂vz∂z

)= ρgz −

∂p

∂z+∂τrz∂r

+1

r

∂τφz∂φ

+∂τzz∂z

+τzrr

(6.2)

mögliche Vereinfachungen?Wir betrachten nur:

• stationäre Strömungen: ∂∂t

= 0

• Strömungen ohne Einfluss der Schwerkraft (g = 0)

• einfache eindimensionale Strömungen in der Form

vr = 0

vφ = 0

vz = vz(r)

⇒ nicht z-abhängig, „unendliche“ Strömung

• Strömungen getrieben durch einen konstanten Druckgradient.

Π = −∂p∂z

= konst. > 0

Mit diesen Annahmen:

1. ist die Massenerhaltung automatisch erfüllt (vr = 0; vφ = 0; ∂vz∂z

= 0) und

2. vereinfacht sich die Impulserhaltung gewaltig:

∂p

∂r=∂τrr∂r

+1

r

∂τrφ∂φ

+∂τrz∂z

+τrr − τφφ

r1

r

∂p

∂φ=∂τrφ∂r

+1

r

∂τφφ∂φ

+∂τφz∂z

+ 2τφrr

∂p

∂z=∂τrz∂r

+1

r

∂τφz∂φ

+∂τzz∂z

+τzrr

(6.3)

Im Analogie zum Newtonschen Fluid definieren wir die (Scher-)Viskosität η mit η :=τ

2d

oderτ = 2ηd

43


In Zylinderkoordinaten ist der Deformationstensor:

d =

∂vr∂r

12

(1r∂vr∂φ− vφ

r+

∂vφ∂r

)12

(∂vr∂z

+ ∂vz∂r

)12

(1r∂vr∂φ− vφ

r+

∂vφ∂r

)1r

∂vφ∂φ

+ vrr

12

(∂vφ∂z

+ 1r∂vz∂φ

)12

(∂vr∂z

+ ∂vz∂r

)12

(∂vφ∂z

+ 1r∂vz∂φ

)∂vz∂z

d: symmetrisch.Hier: vr = 0; vφ = 0; vz = vz(r).Es bleibt nur:

d =

0 0 12∂vz∂r

0 0 012∂vz∂r

0 0

Daher

τ =

0 0 η ∂vz∂r

0 0 0

η ∂vz∂r

0 0

Nur τrz = τzr = η ∂vz∂r

ist nicht null, sondern 6 0!Die Geschwindigkeit nimmt von der Achse zur Wand hin ab, da vz,Wand = 0 (Haftrandbe-dingung).

Daher

τrz = τzr = −ηγ (6.4)

mit

γ = −∂vz∂r

= −dvzdr

(6.5)

wobei γ (ein positiver Wert) die Scherrate ist (in dieser Strömung nicht uniform).

44


Aus Gl. 6.3 ⇒

• ∂p∂r

= 0

• ∂p∂φ

= 0

• ∂p∂z

= −Π = ∂τrz∂r

+ τzrr

= 1r∂(rτrz)∂r

Druckgradient: Π = Konst. = −∂p∂z

Daher integriert als: p(r, φ, z) = p(z) = −Πz + c

Der Druck im Rohr nimmt linear mit z ab!

Also:∂∂r

(rτrz) = −Πr

Kann sofort integriert werden zu:rτrz = −Π r2

2+ Konst.

τrz = −Π r2

+ Konst.r

Ein unendlicher Wert von τrz auf der Achse (r = 0) wäre unphysikalisch → Konst.=0:

τrz = τzr = −Πr2

oder

ηγ =Πr

2(6.6)

Um weiter zu kommen, gibt es zwei Möglichkeiten:

1. Viskositätsmodell ist gegeben, dann Ergebnisse ableiten (η → vz)

2. Viskosität ist unbekannt, die Messung liefert η

45


6.2.2 Lösung für Potenzgesetz

Annahme: Fluidverhalten kann mit Potenzgesetz beschrieben werden.Ab jetzt: η = Kγn−1

Also für Gl. 6.6:Kγn = Πr

2

γ =(

Π2K

)1/n

r1/n = −dvzdr

Integration:

vz = vz(r) = Konst.− 11+ 1

n

(Π

2K

) 1nr

1n

+1

Randbedingung:Wand → vz(r = R) = 0 Haftrandbedingung

Dadurch:vz(r) = 1

1+ 1n

(Π

2K

) 1n[R1+ 1

n − r1+ 1n

]oder:

vz(r) =R

1 + 1n

(ΠR

2K

) 1n[1−

( rR

)1+ 1n

](6.7)

Ergebnisse als Funktion von n:

• N = 1: Newton → parabolisches Profil

• N < 1: scherverdünnend → abgeflachtes Profil vz(r = 0)

• N > 1: scherverdickend → Dreieckprofil vz(r = 0)

Der Volumenstrom q im Rohr lautet:

q =

r=R∫r=0

2πrvz(r)dr

(über einen beliebigen Querschnitt)

46


Mit Gleichung (6.7) für vz folgt:

q =

(ΠR

2K

) 1n πR3

3 + 1n

(6.8)

Kombination von (6.7) und (6.8) führt zu:

vz(r) =q

πR2

3 + 1n

1 + 1n

[1−

( rR

)1+ 1n

](6.9)

Klassische Lösung für ein Fluid mit Potenzgesetz.

Wandscherrate: γw = −dvzdr|r=R

Es kommt aus Gl. 6.9γw = q

πR2

(3 + 1

n

)r1n

R1+ 1n|r=R

γw =q

πR3

(3 +

1

n

)(6.10)

6.2.3 Newtonsches Verhalten mit Fließgrenze τy

Wir wissen aus Gleichung (6.6): τrz = τzr = −Πr2≤ 0

Mit Π := −dpdz

= konst > 0

Für ein Bingham-Fluid: So lange |τ | < τy gilt, gibt es keine Verformung (d = 0 bzw.γ = 0), es fließt nichts

|τrz| = 0 auf der Achse (r = 0)|τrz| = τmax = ΠR

2an der Rohrwand

So lange +ΠR2< τy (d.h. Π < 2τy

R): keine Verformung (d = 0) überall

wegen der Haftrandbedingung an der Rohrwand: (rz(r = R) = 0)

es kommt v = 0 : keine Fluidbewegung

Sobald +ΠR2> τy bzw. Π > 2τy

R(weil R oder eher Π) setzt die Fließbewegung ein

Da |τrz| > τy an der Wand, aber τ = 0 auf der Achse, existiert ein kritischer Radiusry = r(τ = τy) mit Πry

2:= τy ⇒ ry = 2τy

Π

47


Lösung:

• für 0 ≤ r ≤ ry: |τ | ≤ τy ⇒ d = 0

• für ry ≤ r ≤ R: |τ | ≥ τy: es fließt

da nur (τzr = τrz) 6= 0 ⇒ τzr = τrz = −τy + 2ηdrz

(Bemerkung: τrz ≤ 0, τy ≥ 0, drz ≤ 0)

also drz = dzr = τy2η

+ τzr2η

= τy2η− Πr

4η

In dieser Strömung:drz = dzr = 1

2∂vz∂r

= 12dvzdr

• Für 0 ≤ r ≤ ry:dvzdr

= 0 ⇒ vz =Konst.

• Für ry ≤ r ≤ R:12dvzdr

= τy2η− Πr

4η

also vz(r) = τyr

η− Πr2

4η+Konst.

Randbedingungen:

• Haftrandbedingung Rohrwand: vz(r = R) = 0

• Die Geschwindigkeit vz(r = ry) muss kontinuierlich sein (kein Sprung)

Es folgt für den Wandbereich ry ≤ r ≤ R

vz(r) = ΠR2

4η

(1− r2

R2

)− τyR

η

(1− r

R

)In Nähe der Achse 0 ≤ r ≤ ry

vz =Konst.= ΠR2

4η

(1− ry

R

)2 da τy = Πry2

48


6.3 Allgemeine Beziehung zwischen dem Volumenstrom, dem

Druckgradient und der Viskosität

6.3.1 Allgemeine Gleichungen

Für komplexe, beliebige Viskositätsmodelle ist es irgendwann nicht mehr möglich, analy-tische Lösungen für vz(r) zu erhalten ⇒

1. numerische Strömungssimulation, CFD (s. später).

2. wir brauchen diese eigentlich nicht, wenn es nur darum geht, η zu bestimmen.

Welche Beziehungen brauchen wir dann?

• Volumenstrom q = 2πr=R∫r=0

rvz(r)dr (universell gültig)

• dass die Scherrate γ ausschließlich durch γ = −dvzdr

gegeben ist (keine Zeitabhängig-keit).

Für den Volumenstrom wird eine partielle Integration (integration by part) gemacht:

q

2π=

R∫0

rvz dr =>

0[r2

2vz

]R0

−R∫

0

r2

2

dvzdr

dr

q = π

R∫0

r2γ dr (6.11)

Mit einer erneuten partiellen Integration kommt:

q

π=

[r3

3γ

]R0

−R∫

0

r3

3

dγ

drdr =

R3γw3−

R∫0

r3

3

dγ

drdr

q =π

3

R3γw −γ=γw∫γ=0

r3 dγ

(6.12)

wobei γW die Wandscherrate ist.

Wir wissen: τrz = −ΠR2

Πr

2= ηγ (6.13)

49


so dassr = r(γ) =

2ηγ

Π

Eingesetzt in Gleichung (6.12) ergibt sich:

q =π

3

R3γw −8

Π3

γw∫0

η3γ3 dγ

(6.14)

Aus (6.13)ΠR

2= ηγw (6.15)

Um das System komplett zu beschreiben, muss es umgeformt werden, auf Basis:

• der Wandschubspannung τW = τ(r = R)

• der charakteristischen Wandscherrate γn (n steht für newtonsch), die für ein new-tonsches Fluid unter gleichen Messbedingungen (q, Π, R) herrschen würde

Letzteres bekommen wir aus Gl. (6.10):γw = q

πR3

(3 + 1

n

), mit n = 1

γn =4q

πR3(6.16)

γn kann sofort nach Messung von q bestimmt werden! ,

Aus Gl. (6.11) (q = πR∫0

r2γ dr) und (6.16):

γn =4q

πR3=

4

R3

R∫0

r2γ dr (6.17)

Da τrz = −Πr2, die Wandschubspannung:

τW = τrz(r = R) = −ΠR

2(6.18)

τW kann also sofort nach der Messung des Druckgradientes Π bestimmt werden. ,

τrz = −Πr2

= τWrR

(linearer Zusammehang zwischen r und τrz)also r = R τrz

τw

50


Variablenänderung in Gl. (6.17): r → τrz(r)

γn =4

R3

R∫0

r2γ dr mit r = Rτrzτw

und dr = Rdτrzτw

γn =4

R3

τ=τw∫τ=0

R2 τ2rz

τ 2w

γRdτrzτw

γn =4

τ 3w

τW∫0

τ 2rzγ dτrz (6.19)

Ableitung von Gleichung (6.19) nach τW :

dγndτW

= − 12

τ 4W

τW∫0

τ 2rzγ dτrz +

4

τ 3W

τ 2W γW (6.20)

Vergleich zwischen den Gleichungen (6.19) und (6.20)):dγndτW

= −3 γnτW

+ 4 γWτW

wir teilen durch γnτW

dγndτWγnτW

= −3 + 4 γWγn

Also4 γWγn

= 3 + d ln γnd ln |τW |

Wir definieren jetzt die Variable n′:

n′ :=d ln |τW |d ln γn

(6.21)

es kommt:4γWγn

= 3 + 1n′

γW = 34γn + γn

4n′

Dies ist letztendlich die Weissenberg-Mooney-Rabinowitsch(WMR)-Gleichung:

γW = γn(3n′ + 1)

4n′(6.22)

Sie ist die Grundgleichung der Kapillarviskosimetrie.

51


6.3.2 Messprinzip für Kapillarviskosimetrie

(nicht für zeitabhängige Stoffe!)

R der Kapillare: Konstant und bekannt (laminare Strömung)Gemessen wird

• q, der Volumenstrom

• Π, der Druckgradient

wobei Π (und dadurch auch q) üblicherweise variiert wird.

• q liefert direkt γn aus (6.16) γn = 4qπR3

• Π liefert direkt τW aus (6.18) τw = − ΠR2

Durch Variation der Druckdifferenz wird im Experiment die Änderung von γn (oder eherln γn) gegen τW (eher ln |τW |) verfolgt.

𝑛′

ln 𝜏𝑊 𝑓 Π

ln 𝛾 𝑛 𝑓 𝑞

Sobald n′ dadurch grafisch bestimmt wurde, wird die Wandscherrate γW auf Basis vonGleichung (6.22) bestimmt.

Daraus folgt letztendlich die Viskosität an der Wand für verschiedene Werte der Bean-spruchung.η := |τW |

γW

→ Grundlage der Kapillarviskosimetrie, sehr und immer mehr verbreitet.Kein Ansatz über η hierfür notwendig! Es dürfen lediglich keine Zeiteffekte auftreten.

52


7 Lösungen für kanonische Strömungen

nicht-newtonscher Fluide - Teil 3, Rotationsversuche

7.1 Einführung

Es existieren 3 Konfigurationen, die interessant und praktisch einsetzbar sind

• konzentrische Zylinder

• Kegel-Platte

• Platte-Platte

häufig für das gleiche Rotationsrheometerverfügbar

7.2 Rheometer mit konzentrischen Zylindern

geht zurück auf Couette (1890)

Ansätze:

• stationär (zeitunabhängig)

• laminar, isotherm

• Schwerkraft vernachlässigbar

• kein Einfluss der freien Oberfläche

Lösung mit Zylinderkoordinaten unter der Annahme

vr = 0

vz = 0

vφ = vφ(r)

Nur der innere Zylinder befindet sich in Rotation

• Radius Ri,

• benetzte Höhe L,

• Rotationsgeschwindigkeit Ωi.

Einzige Spannung, die im Tensor nicht null ist:

(τrφ)i =Mi

2πR2iL

(7.1)

53


mit Mi :=Drehmoment am inneren Zylinder

Für einen sehr engen Spalt, d.h. per Konvention: RiRo≥ 0, 99 (i: inner; o: outer)

γ = Konst. = Ωi

Ri+Ro2

Ro−Rida Ri ≈ R0

γ ≈ Ωi

1− RiRo

(7.2)

⇒ η =(τrφ)iγ

,

Für einen breiten Spalt: 0, 5 ≤ RiRo< 0, 99

gilt die Beziehung

γi ≈2Ωi

n[1− Ri

Ro

] 2n

(7.3)

mit n := d lnMi

d ln Ωi

Die Größe ”n” wird über die Änderung der Winkelgeschwindigkeit Ωi gemessen.Für ein newtonsches Fluid gilt n = 1 → Damit sind (7.2) und (7.3) gleich, (τrφ)i istbekannt und γi ist bekannt über n. Damit kann eta mittels η =

(τrφ)iγi

berechnet werdenund das Problem ist gelöst.

54


7.3 Kegel-Platte

Dies ist in der Praxis die meist verwendete Lösung in der Rheometrie und in Bild 24dargestellt.

Ω

Fluid

O R

Winkel

O

r

Abbildung 24: Messung mit Kegel-Platte-Konfiguration

Ansätze:

• stationär, laminar, isotherm


• In der Praxis wird verwendet: β < 0, 1 . . . 6

• sphärische Fluidgrenze

Wir nutzen sphärische Koordinaten (r, ϑ, φ), mit dem Ansatz:

vr = 0

vφ = 0

vϑ = vϑ(r, φ)⇒ v = vϑ(r, φ)eϑ (7.4)

Randbedingungen:

55


• v(φ = π

2

)= 0 (an der Platte)

• v(φ = π

2− β

)= Ωr(cos β)eϑ (Festkörperrotation)

Im Spannungstensor (für ein allgemeines Fluid in sphärischen Koordinaten) ist τϑφ dieeinzige Komponente, die 6= 0 ist.

Da das System rotationssymmetrisch und in sich geschlossen ist, gilt ∂∂ϑ

= 0 .

Aus der allgemeinen Navier-Stokes-Gleichung ergibt sich:

−ρv2ϑ

r= −∂p

∂r

−ρv2ϑ cotφ

r= −1

r∂p∂φ

+ 1r sinφ

∂τφϑ∂φ

ρ vϑr sinφ

∂vϑ∂ϑ

= − 1r sinφ

∂p∂ϑ

+ 1r

∂τφϑ∂φ

+2τφϑ cotφ

r

Vereinfachen auf :ρv2ϑr

= ∂p∂r

ρv2ϑ cotφ = ∂p

∂φ

0 =: 0

− 1r sinφ

∂p∂ϑ

+ 1r

∂τφϑ∂φ

+2τφϑ cotφ

r

(7.5)

Die Randbedingung lädt gerade dazu ein, vϑ in linearer Abhängigkeit von r zu wählen:

v = vϑ = rω(φ)eϑ (7.6)

Dadurch:

• getrennte Abhängigkeit von r und ϑ

• vϑ ist proportional zu r

Es folgt für den Deformationstensor:

d =

0 0 −ω + ω = 0

0 0 12

(−ω cotφ+ dω

dφ

)0 1

2

(−ω cotφ+ dω

dφ

)0

mit der Scherrateγ = −ω cotφ+ dω

dφ(Funktion nur von φ)

und τφϑ = τϑφ = ηγ (Definition von η)

56


Aus der dritten Gleichung von Gl. 7.5:

0 =∂τφϑ∂φ

+ 2τϑφ cotφ

= 1sin2 φ

ddφ

[τφϑ sin2 φ

]= d

dφ

(τφϑ sin2 φ

) (7.7)

Daher:τφϑ = Konst.

sin2 φ(7.8)

Durch Messung des Drehmomentes M auf der Kegeloberfläche kann die Spannung be-stimmt werden:

τφϑ = 3M2πR3

0 sin2 φ(7.9)

Da der Winkel β sehr klein ist (β < 0, 1 (6)) und damit φ ≈ π2kommt als Näherung

erster Ordnung:

γ = Ωβ

= Konst.τ = τφϑ = 3M

2πR3o

= Konst.(7.10)

R

ΩRR

R0 und β sind bekannt, Ω wird festgelegt → γ = Ωβ; M wird gemessen → τ = 3M

2πR30

⇒ η = τγ

,

Wenn das qualitative Fluidverhalten (z.B. scherverdünnend mit τy = 0) bekannt ist, kanneine Korrektur eingeführt werden, um β > 0 zu berücksichtigen. Für alle klassische Sub-stanzen kann aber gezeigt werden, dass der Fehler im %-Bereich liegt, so lange β < 0, 1 .

57


7.4 Platte-Platte Konfiguration

Das Platte-Platte-System ist vorwiegend für hochviskose Systeme von Interesse.

Ω

Fluid

O

2R

Höhe

O

r

Abbildung 25: Messung mit Platte-Platte-Konfiguration

Konfiguration ähnlich zur Kegel-Platte Konfiguration (siehe Abbildung 25), zylindrischeKoordinaten (r, ϑ, z)

Nachteil: Die Strömung und daher die Beanspruchung ist weniger homogen. Wenn mög-lich, wird daher die Kegel-Platte-Konfiguration empfohlen.

Trotzdem gibt es einige Vorteile:

• Platte-Platte Konfiguration ist handlich für sehr hohe Viskosität (z.B. Gummi).

• Die Spalthöhe h (h R0) ist prinzipiell veränderlich (größere Flexibilität z.B. beiSuspensionen)

Ansätze:

• stationär, laminar, isotherm

58



• zylindrische Fluidgrenze

Annahmen:

• vr = 0

• vz = 0

• vϑ 6= 0, vϑ = vϑ(r, z)

• ∂∂ϑ

= 0 → rotationssymmetrisch

Die Gleichungen lassen sich „einfach“ für einen kleinen Spalt h R0 ( hR0 1) integrie-

ren:

vϑ = Ωrzh

γ = rΩh

(7.11)

Es ergeben sich lineare Verhältnisse, wie für die klassische Couette-Strömung!

Aus dem Drehmoment M der oberen Platte kann die Spannung berechnet werden:

τϑz = M2πR3

0

[3 + d lnM

d ln γR0

](7.12)

γ = γ(r = R0) = ΩR0

h

Für ein newtonsches Fluid: d lnMd ln γR0

= 1

dann τϑz = τn = 2MπR3

0

59

8 VISKOELASTISCHE SUBSTANZEN UND FEDER-DÄMPFER-MODELL

8 Viskoelastische Substanzen und

Feder-Dämpfer-Modell

8.1 Idealviskoses Verhalten (Newtonsches Fluid)

Wir kennen bereits die lineare Verbindung zwischen Spannung τ und Scherrate γ über dieViskosität η:

τ = ηγ (8.1)

Mechanische Analogie: dieses Verhalten kann mit einem Dämpfer-Modell dargestellt wer-den:

Solange die konstant wirkende Schubkraft F auf den Dämpferkolben wirkt, vergrößertsich der Kolbenweg stetig und proportional dazu:

F = CNv = CN x (8.2)

CN - Proportionalitätskonstante, N -Newton

Wenn keine Schubkraft mehr wirkt, bleibt der Kolben stehen: irreversible „Deformation“.

Dies ist also eine gültige Modellierung für ein newtonsches Fluid, mit:

Dämpfer Analogie FluidF ⇔ τ

CN ⇔ η

x ⇔ γ

60


8.2 Idealelastisches Deformationsverhalten

Wurde ursprünglich für Festkörper entwickelt (Bild 26).

Fläche

Abbildung 26: Deformation eines Festkörpers

Deformation in der Kraftrichtung (Scherung):γ := s

h

Für kleine Deformationen: h ≈ Konst.Damit γ := s

h

Für idealelastische Festkörper (vollkommen reversible Deformation) wird dann das Schub-modul G definiert:G := τ

γ, mit τ := F

A

Dies führt zum Gesetz von Hooke τ = Gγ

Dieses Verhalten kann dann mit einer Feder modelliert werden (mechanische Analogie):

Bei Krafteinwirkung sofortige Verformung. Verformung ist vollkommen reversibel. Kraftund Auslenkung der Feder sind proportional zueinander.

F = CHx (8.3)

CH - Federkonstante, H - Hooke

61


Feder Analogie KörperF ⇔ τ

CH ⇔ G

x ⇔ γDie in einem idealistischen Körper gespeicherte Energie wird bei Entlastung verlustfreizurückgewonnen: Reversibilität.

8.3 Viskoelastische Substanzen

Bei einer viskoelastischen (VE) Substanz treten das viskose und das elastische Verhaltengleichzeitig auf:

• Viskoser Anteil → Newton,

• Elastischer Anteil → Hooke (z.B. für eine Flüssigkeit unterhalb einer Fließgrenzeτ < τy).

8.3.1 Mechanische Analogie von Maxwell (1831-1879)

Maxwell schlägt vor, Feder und Dämpfer in Hintereinanderschaltung zu kombinieren, mitzwei unabhängigen konstanten (CN , CH):

Eigenschaften:

• bei einer Be- bzw. Entlastung reagiert die Feder sofort, der Dämpfer aber insgesamtzeitverzögert.

• die Federbewegung erfolgt vollkommen reversibel, die Dämpferbewegung vollkom-men irreversibel.

→ eine solche Substanz bleibt also nach einem Belastungs- / Entlastungszyklus teilwei-se deformiert.

62


8.3.2 Mathematisches Modell: Verformungsgleichung

Die Gesamtdeformation des Systems (∆x) bei einer Belastung ist die Summe der Defor-mation beider Komponenten:

γ = γN + γH

↓ ↓ ↓∆x Dämpfer Feder

Durch zeitliche Ableitung:γ = γN + γH

Auf jede der beiden Komponenten wirkt die gleiche Kraft (bzw. Spannung): erstes Gesetzvon Newton, „Kraft = Gegenkraft“.→ τ = τN = τH

Für den Dämpfer gilt das Gesetz von Newton:γN = τN

η= τ

η

Für die Feder gilt das Gesetz von Hooke:τ = Gγ

⇓ zeitliche Ableitung mit G=Konst.

τ = Gγ oder γH = τG

⇒ die Differentialgleichung nach Maxwell:γ = ˙γN + ˙γH

liefert dann direkt:

γ = τη

+ τG

(8.4)

Die Gleichung beschreibt das Verhalten von VE-Substanzen mit zwei (konstanten) Mo-dellparametern (η, G).Je nach Problem und Randbedinungen kann diese Gleichung analytisch oder rein nume-risch gelöst werden (z.B. mit dem Programm Simulink).

63

9 OSZILLATIONSRHEOMETRIE

9 Oszillationsrheometrie

9.1 Einleitung

Oszillationstests (Bild 27) sind insbesondere (aber nicht nur) für die Charakterisierungvon VE-Substanzen von großer Bedeutung.Bei fast allen Rheometertypen werden die Schwingungen vom Messkörper ausgeführt(„Searle“-Methode).

Spalt

SchwingungFläche

Auslenkung

Abbildung 27: Prinzip der Oszillationsrheometrie

Die Oszillation der oberen Platte wird durch die Drehung des Rades angeregt. Bei vollerUmdrehung überstreicht das Rad einen Drehwinkel von 360 = 2π. Dies entspricht derDauer einer vollen Schwingungsperiode für die Verformung γ(t), die Spannung τ(t) unddaher auch die Scherung γ(t).

9.2 Verhalten von idealviskosen Substanzen (Newton)

Es gilt dann τ = ηγ, bzw. hier: τ(t) = ηγ(t)

mit η = τ(t)γ(t)

=konst.

Während der Rotationsbewegung kann die Deformation (⇔ Scherung, da h=konst.) alsSinusfunktion dargestellt werden:

γ = γ(t) = γA sin(ωt) (9.1)

Scherung: γ = sh

γA: Amplitude der Scherung; [γ] = [γA] = 1

ω: Kreisfrequenz [ω] = rad/s

f : Frequenz [f ] = 1/s = Hz

ω = 2πf (z.B. f = 10 Hz↔ ω ≈ 63 rad/s)

64


In (9.1) sind vorerst γA und ω konstant. Später können beide ebenfalls zeitlich verändertwerden.

Zeitliche Ableitung von (9.1):

γ = γAω cos(ωt) (9.2)

τ = ηγ ∝ cos(ωt) (9.3)

γ

π

2

3π

2 π 2π

γ

Zeit/ Winkel

τ

Hier ist die τ -Kurve in Phase mit der γ-Kurve: synchrone Cosinuskurven. Also wird beiidealviskosen Substanzen (Fluiden) eine Verzögerung der τ -Kurve gegenüber der γ-Kurvebeobachtet, mit einem konstanten Phasenverschiebungswinkel δ = π

2= 90 .

9.3 Verhalten von idealelastischen Substanzen (Hooke)

Es gilt dann τ = Gγ

Oder hier

τ(t) = Gγ(t) ∝ sin(ωt) (9.4)

65


mit G = τ(t)γt

= Konst.(9.1) gilt weiter (γ = γA sin(ωt)). Also τ = GγA sin(ωt)

τ

γ

π

2

3π

2 π 2π

γ

Zeit/ Winkel

Hier ist die τ(t)-Kurve stets in Phase mit der γ(t)-Kurve: der Phasenverschiebungswinkelist δ = 0 .

9.4 Verhalten von VE-Substanzen

Viskoelastische Substanzen bestehen aus einem viskosen und einem elastischen Anteil.Es ist dann logisch, die Spannung τ als Überlagerung eines Sinus- und eines Cosinus-Anteils darzustellen:

τ = τ(t) = G′γA sin(ωt) +G′′γA cos(ωt) (9.5)

für γ = γ(t) = γA sin(ωt)

G′ wird Speichermodul (storage modulus) genannt.G′′ wird Verlustmodul (loss modulus) genannt.[G′] = [G′′] = Pa

Grenzfall idealelastisch: (s. 9.4)τ ∝ γ ∝ sin(ωt)

66


⇒ G′′ = 0 (9.6a)

Daher beschreibt G′ das elastische Verhalten der Messprobe.

Grenzfall idealviskos: (s. 9.3)τ ∝ γ ∝ cos(ωt)

⇒ G′ = 0 (9.6b)

Daher beschreibt G′′ das viskose Verhalten der Messprobe.

Fazit:

(9.5)⇒ τ(t) = G′ γA sin(ωt) + G′′ γA cos(ωt)

↓ ↓Speichermodul Verlustmodul

↓ ↓elastisches viskosesVerhalten Verhalten↓ ↓

gespeicherte verloreneDeformationsenergie Deformationsenergie

↓ ↓reversibel irreversibel

9.5 Darstellung und Analyse mit komplexen Zahlen

9.5.1 Einführung

Komplexe Zahlenz = a + ib

↓ ↓<(z) =(z)

mit i2 = −1

67


Alternativ: die Exponentialdarstellung:

z = reiφ = r(cosφ+ i sinφ) (9.7)

Vergleich:a = r cosφ

b = r sinφ

zwei Unbekannte, zwei Gleichungen ⇒ gleichwertige Darstellung.

Im

Re

b

a

z

r

ϕ

9.5.2 Komplexer Schubmodul

Der komplexe Schubmodul G∗ wird eingeführt:

τ = G∗γ oder G∗ := τγ

(9.8)

Die Gleichung 9.5 (τ = τ(t) = G′γA sin(ωt)+G′′γA cos(ωt)) kann alternativ auch mit demPhasenverschiebungswinkel δ geschrieben werden (δ zwischen γ und τ):

τ = τA sin (ωt+ δ) (9.9)

Bekannt ist:sin(a+ b) = (sin a)(cos b) + (sin b)(cos a)

68


τ = (τA cos δ)(sinωt) + (τA sin δ)(cosωt) (9.10)

Grenzfall idealelastisch: δ = 0

τ = τA sin(ωt)

G′′ = 0

Grenzfall idealviskos: δ = 90

τA cos(ωt)

G′ = 0

Vergleich 9.5 ⇔ 9.10

G′γA = τA cos δ

Speichermodul: G′ = τAγA

cos δ (9.11a)

G′′γA = τA sin δ

Verlustmodul: G′′ = τAγA

sin δ (9.11b)

Das Verhältnis G′′

G′liefert den Verlustfaktor (oder Dämpfungsfaktor):

viskoselastisch = G′′

G′= tan δ (9.12)

Grenzfall idealelastisch δ = 0, tan δ = 0, G′′ = 0 → Verlustfrei, reversibelGrenzfall idealviskos δ = 90, tan δ = +∞, G′ = 0 → Totalverlust, irreversibel

Gleichgewicht/Grenze zwischen elastisch und viskos: G′ = G′′ ⇒ tan δ = 1⇒ δ = 45

9.5.3 Polardarstellung

G∗ kann als Vektor dargestellt werden, mit den Komponenten (G′, G′′)

G∗ = G′ + iG′′ (9.13)

69


G‘‘= Im(G*)

G‘‘

G‘

G*

r

δ

G‘= Re(G*)

Bei zeitabhängigen Eigenschaften wird z.B. oft das Erreichen von (tan δ = 1)=Gleichgewichtals Auswertekriterium verwendet: z.B. Sol-Gel-Übergangspunkt beim Aushärte- oder Ge-lierprozess.

Als Betrag: |G∗| =√G′2 +G′′2

Für zeitabhängige Stoffe:G∗ → G∗(t)

Ein Aushärteprozess kann wie folgt dargestellt werden:

idealviskos VE-Flüssigkeit Gleichgewicht VE-Festkörper idealelastischδ = 90 Übergang δ = 0

G′ = 0 G′′ > G′ G′′ = G′ G′ > G′′ G′′ = 0

70


G‘‘

G‘

tan δ=1

Zeit t

45°

Flüssigkeit (idealviskos)

Feststoff (idealelastisch)

9.5.4 Zurück zur komplexen Darstellung

Wir betrachten die Verformung in komplexer Darstellung:γ = γAe

iwt = γA cos(ωt) + iγA sin(ωt)

δ liegt zwischen γ und τ , d.h. τ = τAei(ωt+δ)

Wir wissen:G∗ := τ

γ

G∗ :=τAe

i(ωt+δ)

γAeiωt=τAγAeif (9.14)

Es gelten (9.11a) und (9.11b):G′ = τA

γAcos δ

G′′ = τAγA

sin δ

Grenzfall idealelastisch:δ = 0 G′′ = 0

71


⇒ G∗ = G′ Realteil (9.15a)

Grenzfall idealviskos:δ = 90C = π

2G′ = 0

⇒ G∗ = iG′′ Imaginärteil (9.15b)

Die (komplexe) Viskosität η∗ wird jetzt „wie immer“ definiert:

η∗ := τγ

Wir wissen: γ = γAeiωt

dann: γ = iωγAeiωt

Grenzfall idealviskos:δ = 90C = π

2

τ = τAei(ωt+π

2) = iτae

iωt

Alsoη∗ =

iτAeiωt

iωγAeiωt=

τAωγA

(9.16)

Hier G∗ = iG∗ = i τAγA

Es kommt also:G∗ = iωη∗ (9.17a)

Als Modul:

|G∗| = ω|η∗| (9.17b)

mit G∗-(komplexer) Schubmodul und η∗-(komplexe) Viskosität

VE-Substanz

72


G∗ := τγ

η∗ := τγ

Daher: η∗

G∗= γ

γ= 1

iω

(9.17a) und (9.17b) sind immer gültig:

G∗ = iωη∗

Darstellung als komplexe Zahl:G∗ = G′ + iG′′ (klassisch)η∗ = η′ − iη′′ (damit η′ ≥ 0, η′′ ≥ 0)

Da G∗ = iωη∗

η′ = Re(η∗) = G′′

ωfür den viskosen Anteil

η′′ = −Im(η∗) = G′

ωfür den elastischen Anteil

|η∗| =√η′2 + η′′2 = |G∗|

ω

Der Verlustfaktor ist also auch:

tan δ =G′′

G′=η′

η′′(9.18)

9.6 Maxwell-Fluid

γ =τ

η+τ

G

Wir definieren jetzt die Relaxationszeit

λ :=η

G

mit [λ] = [η][G]

= Pa·sPa

= s

Es kommt:γ = τ

η+ λ

ητ

ηγ = τ + λ · τ (9.19)

73


λ charakterisiert das zeitliche Verhalten der hintereinander geschalteten Feder und Dämp-fer:

• λ sehr groß: Grenzfall elastisch

• λ sehr klein: Grenzfall viskos

Beispiel: Wasser bei Raumbedingung λ ≈ 10−12 s

Die Differentialgleichung (9.19) lässt sich integrieren:

τ = γGe−tλ (9.20)

G∗ für ein Maxwell-Fluid: G∗ := τγ

in (9.19): η · γ = τ + λτ = G∗γ + λG∗γ

Ich weiß:γ = γAe

iωt

γ = iωγAeiωt

ηiωγAeiωt = G∗γA

eiωt + λG∗iωγAeiωt

iωη = G∗ + iωλG∗

Re(iωη) = Re(G∗) +Re(iωλG∗)

0 = G′ − ωλG′′

G′′ =G′

ωλ

Im(iωη) = Im(G∗) + Im(iωλG∗)

ωη = G′′ + ωλG′

ωη = G′

ωλ+ ωλG′

ωη = G′(

1+ω2λ2

ω2λ2

)G′ =

ηω2λ

1 + ω2λ2(9.21a)

74


und:

G′′ =ηω

1 + ω2λ2(9.21b)

Grenzfall niedrige Frenquenz: ⇒ ω ist klein(9.21a) G′ ∝ ω2

(9.21b) G′′ ∝ ω

Verlustfaktor = viskoselastisch

= tan δ

= G′′

G′∝∝ωω2

∝ 1ω

Der Verlustfaktor ist sehr groß bei niedrigen Frequenzen. Hier sind die viskosen Eigen-schaften ausschlaggebend.

Grenzfall hohe Frenquenz: ⇒ ω ist sehr groß(9.21a) lim

ω→∞G′ = η

λ

(9.21b) limω→∞

G′′ ∝ 1ω→ 0

Verlustfaktor G′′

G′∝ 1

ω→ 0

Der Verlustfaktor ist sehr klein bei hohen Frequenzen. Hier sind die elastischen Eigen-schaften ausschlaggebend.

Gleichgewicht elastisch-viskos:tan δ = 1 = G′′

G′, d.h. G′ = G′′

Jetzt wissen wir G′′ = G′

ωλ

Gleichgewicht ⇔ ωλ = 1

oder

ω =1

λ(9.22)

mit ω =Grenzfrequenz viskos-elastisch und λ =Relaxationszeit für Maxwell-Fluid

75

10 PRAKTISCHE OSZILLATIONSMESSUNGEN

10 Praktische Oszillationsmessungen

10.1 Allgemeines

Es wurden bis jetzt 8 unterschiedliche Stoffparameter eingeführt:G∗, G′, G′′,η∗, η′, η′′,δ, λ

Die meisten sind aber voneinander abhängig.Wie bei der Rotationsrheometrie ist es prinzipiell möglich, entweder die Deformation γ

(CSD: controlled shear deformation) oder die Spannung τ (CSS: controlled shear stress)zu regeln.In beiden Fällen kann normalerweise die Amplitude (γA, τA) oder die Kreisfrequenz ωvariiert werden.

CSD: Steuerung MessungγA vorgegeben γA(t) vorgegeben↓ ergibt ↓ Messungγ(t) Drehmoment M bzw. M(t)

↓ ableiten ↓ ergibtγ(t) Spannung τ(t)+Phasenverschiebungswinkel δ

CSS: Steuerung MessungM(T ) vorgegeben M(t) vorgegeben↓ ergibt ↓ MessungSpannung τ(t) Auslenkwinkel φ(t) bzw. Deformation γ(t)

↓ ableitenγ(t)+Phasenverschiebungswinkel δ

Alle weiteren Größen (G∗, G′, G′′, η∗, η′, η′′, δ, λ) können daraus abgeleitet werden.Die Ergebnisse solcher Messungen werden immer in log-log-Diagrammen dargestellt (meh-rere Dekaden).

Übliche Darstellungen:

• G′ und G′′ als Funktion von ω

• δ oder tan(δ) als Funktion von ω

76


• η′, η′′ oder |η∗| als Funktion von ω

• G′′ gegen G′ (Cole-Diagramm)

• Spannung τ gegen Deformation γ (Lissajous-Diagramm)

10.2 Frequenztest („Frequency-Sweep“)

z. B. für CSD: γ(t) = γA sin[ω(t)t] (mit γA = konst.)

t

γ γ 𝐴

ω wächst kontinuierlich

typische Antwort für eine Maxwell-Flüssigkeit:

log ω

η

λ

log G‘ log G‘‘

1

2

η

λ

VE-Übergang

log G‘

ω =1

λ

log G‘‘

elastisch>viskos viskos>elastisch

G‘>G‘‘

G‘‘>G‘

1 1

1

1

1

2 ~ω2

~ω

~1ω

Speicher-modul

Verlust-modul

77


bereits bekannt:Grenzfälle

(9.21a) G′ = ηω2λ1+ω2λ2

ω → 0 (viskos) δ′ ∝ ω2

δ′′ ∝ ω

(9.21b) G′′ = ηω1+ω2λ2

ω →∞ (elastisch) lim δ′ = ηλ

G′′ ∝ 1ω

Mit λ=Relaxationszeit:= ηG

VE-Übergang: G′ = G′′

ωλ = 1 ⇒ ω = 1λ

(9.21a) G′ = ηω1+1

= ηω2

= η2λ

(am VE-Übergang)

Gmax = max(|G|) = max(G′) = limω→∞

G′ = ηλ

Wir definieren

G′max :=η

λ(10.1)

(9.21a) G′ = Gmaxω2λ2

1+ω2λ2

(9.21b) G′′ = Gmaxωλ

1+ω2λ2

Beispiel: log |η∗| − logω

78


log ω

log |η∗|

VE-Übergang

viskos

elastisch

Null-viskosität

Beziehung G∗ ↔ η∗

(9.17a) G∗ = iωη∗

⇒ |G∗| = ω|η∗|

|η∗| = |G∗|ω

log |η∗| = log |G∗| − logω allgemein gültig

Grenzfall idealviskos:log |G∗| = log(G′′) ∝ ω

⇒ log |η∗| ⇒ konstanter Grenzwert, die Nullviskosität

Grenzfall idealelastisch:log |G∗| = log(G′) → log

(ηλ

)= konst.

⇒ log |η∗| ∝ − log(ω)

10.3 Verallgemeinertes Maxwell-Modell

wird sehr häufig für Polymere eingesetzt

79


…

η0

η1 η2 η3 η𝑛

𝐺1 𝐺2 𝐺3 𝐺𝑛

𝐺0

Die Anzahl n ist abhängig von der Komplexität der Polymerfraktionen bzw. der Mischun-gen unterschiedlicher Polymere.

Die Gleichungen lassen sich erweitern:G′ =

∑ni=0

Giω2λ2i

1+ω2λ2i

G′′ =∑n

i=0Giωλi

1+ω2λ2i

10.3.1 Grenzfall: Maxwell-Modell mit nur 2 Komponenten

(z. B. Polymer aus 2 Fraktionen mit ähnlicher Molmassenverteilung)

80


log ω


log G‘

log G‘‘

Anfangsbereich Gummielastischer

Bereich Glasbereich

VE-Übergang

10.3.2 Grenzfall: Maxwell-Modell mit vielen Komponenten

(komplexe Polymermischung, unterschiedliche Molmassenverteilungen)

log ω


log G‘

log G‘‘

81


10.3.3 Grenzfall: Elastomere

Die elastischen Eigenschaften sind immer dominierend

log ω


log G‘

log G‘‘

10.4 Zeit-Tests

Während Zeit-Tests findet keine kontinuierliche Änderung der Steuerparameter (z. B. Fre-quenz) statt.Ziel ist die Bestimmung zeitabhängiger Stoffeigenschaften:

• Thixotropie

• Rheopexie

Vorgabe CSD:

82


𝑡1 𝑡2 𝑡3 𝑡

Ruhephase Belastungsphase Relaxationsphase

γ

Beispiel: Thixotrop


𝑡1 𝑡2 𝑡3 𝑡

log G‘

log G‘‘

G‘𝑚𝑎𝑥

G‘𝑚𝑖𝑛

83


Typisch für die Auswertung:

• Änderungen von G′ größer als die von G′′

• „Thixotropiestärke“ wird oft mit der Differenz G′max − g′min quatifiziert

• Relaxationszeit kann als charakteristische Zeit der Thixotropie ermittelt werden

• Partielle Thixotropie ersichtlich aus der Differenz zwischen Endwert und Startwert,also bei nicht vollständig reversiblen Vorgängen

10.5 Amplituden-Test („amplitude sweep“)

z. B. für CSD: γ(t) = γA(t) sin[ωt] (mit ω = konst.)

Erfahrungswert: ω = 10 rad/s, ist in den meisten Messgeräten als Standardwert vorpro-grammiert.ω bleibt konstant, die Amplitude wird varriert.

𝑡

γ

84


Grenzfall: viskose Effekte dominieren

log γ


log G‘

log G‘‘

γ𝐿

Grenzfall: elastische Effekte dominieren

log γ


γ𝐿

log G‘

log G‘‘

γL: Grenze des linearen VE-Bereichs

Für γ > γL treten irreversible Veränderungen in der Substanz auf. Alle Messungen solltenalso unterhalb von γL erfolgen.Klassisches Vorgehen:

1. Amplitudentest: γL bestimmen

2. Frequenztest: mit einer Amplitude γ < γL, um die Zerstörung der Probenstrukturzu vermeiden

85

11 ALLGEMEINE BESCHREIBUNG DER RHEOLOGIE EINES FLUIDS

11 Allgemeine Beschreibung der Rheologie eines

Fluids

11.1 Reiner-Rivlin-Fluid

Die allgemeinste Darstellung für das Fließverhalten eines Fluids, das praktisch verwendetwird.Allerdings ist die Grundvariante nur für zeitunabhängige Eigenschaften einsetzbar (Erwei-terungen existieren).Grundidee von Reiner und Rivlin: „back to the roots“.

Einzige Annahme: Der Spannungstensor (oder Reibungstensor) τ hängt nur vom Defor-mationstensor d ab.

τ = f(d) (11.1)

Ohne weitere Annahme, aber unter Beachtung der

• Inkompressibilität (Flüssigkeit)

• Isotropie

• Translationsinvarianz

• Symmetrie beider Tensoren (τ , d)

• Hauptsätze der Thermodynamik

wird bewiesen, dass die einzige mögliche funktionelle Abhängigkeit wird:

τ = φ1d+ φ2d2 (11.2)

Außerdem gilt:

• φ1 ≥ 0

• φ2 ≥ 0

86


• φ1 und φ2 sind nur abhängig vom zweiten und dritten Invarianten des Tensors d

Für eine beliebige (3x3)-Matrix existieren drei Invarianten:

1. Id = tr(d) → Spur der Matrix

hier: tr(d) = ∂vx∂x

+ ∂vy∂y

+ ∂vz∂z

= 0 → inkompressibel

2. IId = 12

[(tr(d)

)2 − tr(d2)]

hier: IId = −12tr(d2) da tr(d) = 0

3. IIId = det(d) → Determinante

Zurück zu den Bedingungen:

φ1 = φ1(IId, IIId) ≥ 0

φ2 = φ2(IId, IIId) ≥ 0

(11.3)

Jedes Fluid, das mit (11.2) und (11.3) beschrieben werden kann, ist ein Reiner-Rivlin-Fluid.Alle Fluide ohne Rheopexie/Thixotropie (also ohne Zeitabhängigkeit) gehören dazu.

Wenn (11.2) und (11.3) mit tatsächlichem Fluidverhalten abgeglichen werden, kommtheraus, dass für eine große Vielzahl aller Fluide gilt:

φ2 = 0

φ1 = φ1(IId) ≥ 0(11.4)

τ = φ1(IId)d (11.5)

Alle Fluide, die diese Beziehung erfüllen, werden verallgemeinerte newtonsche Fluide ge-nannt.Erkennbar ist damit, dass es eine Verbindung zwischen φ1, IId und η geben muss.

87


11.2 Scherviskosität und Dehnviskosität

11.2.1 Eindimensionale Scherströmung

Ebene Couette-Strömung

𝑣1(𝑥2)

u

Flüssigkeit

𝑥2

𝑥1

v1 ist die einzige relevante Geschwindigkeit (v2 = v3 = 0).Außerdem gilt v1 = v − y(x2).

Dehnung (Dilatation)

gemessen mit

∂v1∂x1∂v2∂x2∂v3∂x3

hier: ∂v1∂x1

= ∂v2∂x2

= ∂v3∂x3

= 0

es gibt überhaupt keine Dehnung, nur Scherung → (Scher-)Viskosität

Scherung (Winkeldeformation)

In d bleibt nur noch:d12 = d21 = 1

2∂v1∂x2

= 12γ

alle anderen dij = 0

88


d =

0 γ2

0γ2

0 0

0 0 0

Daher:

Id = 0

IId = − γ2

4

IIId = 0

(11.6)

11.2.2 Eindimensionale Dehnströmung

analog zum Zugversuch in der Strukturmechanik:

𝑥2

𝑥3

𝑥1

Fluid

Gedankenexperiment:

• Das Fluid strömt horizontal aus allen Richtungen entlang der Ebene (x2, x3) Rich-tung 0 ein

• Das Fluid kommt entlang der x1-Achse oben und unten heraus

Die Konfiguration ist ähnlich zu einer ebenen Staupunktströmung.

89


Die exakte Lösung der eindimensionalen Strömung lautet:

v1 = εx1

v2 = − ε2x2

v3 = − ε2x3

(11.7)

mit ε = konst. = Streckrate in 1/s

∇ · v = ∂v1∂x1

+ ∂v2∂x2

+ ∂v3∂x3

= ε− ε2− ε

2

= 0

⇒ Strömung ist inkompressibel!

Es kommt für d:

d =

ε 0 0

0 − ε2

0

0 0 − ε2

d = ε

1 0 0

0 −0, 5 0

0 0 −0, 5

In dieser Strömung gibt es nur Dehnung, keine Scherung.

Id = tr(d) = ∇ · v = 0

IId = −12tr(d2) = −3

4ε2

IIId = det(d) = ε3

4

(11.8)

Vergleich:(11.6) ↔ (11.8)

eindimensionale eindimensionaleScherströmung Dehnströmung

ε ist für die Dehnströmung wie γ (Scherrate) für die Scherströmung.

90


Aus (11.6): IId = − γ2

4

Zwischen (11.6) und (11.8) besteht ein Faktor 3 als Unterschied.

Die Viskosität kann prinzipiell in einem Scherexperiment oder in einem Dehnexperimentbestimmt werden:

Scherexperiment → (Scher-)Viskosität ηDehnexperiment → Dehnviskosität ηe

Für alle newtonschen Fluide und für alle Fluide wo φ1(IId) linear ist, ist automatisch diein einem Dehnexperiment gemessene Viskosität ηe dreimal größer als die Scherviskositätη.

ηe = 3η (11.9)

Gleichung (11.9) wird Beziehung von Trouton genannt.

Für komplexere Fließverhalten gilt nur noch: ηe ≥ 3η .

Dehnrheometrie: analog zum Zugversuch⇒ nur für „sehr feste“ Fluide realisierbar!

11.3 Dimensionslose Kennzahlen der Rheologie

ReynoldszahlDie Reynoldszahl bleibt weiterhin sehr wichtig

Re := ρvdη

Sie zeigt den Übergang zwischen laminarer und turbulenter Strömung.Vergleich dynamische Kräfte

viskose Kräfte

Deborah-ZahlFür Thixotropie und Rheopexie wird die Deborah-Zahl genutzt:

De := tctp

=Relaxationszeit bei Beanspruchung/Belastung

Prozessdauer

Ist De sehr klein, so ist die zeitabhängige Viskosität (Thixotropie/Rheopexie) ohne Be-deutung für diese Anwendung.

91


Bingham-ZahlDie Bingham-Zahl wird zur Beschreibung der Fließgrenze genutzt

Mb := τyτ

=Fließgrenze

mittlere Spannung im Prozess

Ist Bm sehr klein, so spielt die Fließgrenze für diese Anwendung keine Rolle.

11.4 Turbulenz für nicht-newtonsche Fluide

Turbulenz: sehr kompliziertnicht-newtonsche Fluide: sehr kompliziert⇒ beides in Kombination: noch komplizierter

Eine gute Nachricht: nicht-newtonsche Fluide weisen meistens eine hohe Viskosität auf,woraus folgt:

• Re meistens klein

• eher laminare Strömung

Insgesamt wird angenommen, dass der Übergang laminar→turbulent in etwa weiterhinfür Re ≈ 2300 (für Rohrströmungen) stattfindet.

Für komplexere Fälle:

• Experimente

• numerische Simulation

92

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Institut für Strömungstechnik und Thermodynamik ... · Institut für Strömungstechnik und Thermodynamik Vorlesungsskript Rheologie von Dr.-Ing. Róbert Bordás Prof. Dominique