Institut za nuklearne nauke Vinča

M. D. Petrović, G. Gligorić, A. Maluckov, Lj. Hadžievski i B.A. Malomed

Šematski prikaz dve identične 2D rešetke, linearno spregnute preko centralnog čvora (n,m=0) sa konstantom sprezanja ε

.042

,042

,

2

,0,0,,,1,1,,1,1,

,

2

,0,0,,,1,1,,1,1,

mnmnmnmnmnmnmnmnmnmn

mnmnmnmnmnmnmnmnmnmn

C

dt

di

C

dt

di

timn

timnmn eveu ,mn,,,

Stacionarne jednačine:

.04

,04

,

2

,0,0,,,1,1,,1,1,

,

2

,0,0,,,1,1,,1,1,

mnmnmnmnmnmnmnmnmnmn

mnmnmnmnmnmnmnmnmnmn

vvuvvvvvv

uuvuuuuuu

n mmnmnmnmnmnv

n mmnmnmnmnmnu

vu

vvvvvL

uuuuuL

vuLLL

.22

14

,22

14

.2

1,,1,4,

2,

1,,1,4,

2,

0,00,0

Varijacioni račun:

.expexp

,expexp

,

,

manaBv

manaAu

mn

mn

.1

1

2

112

,1

1

2

112

.2

24

244

22

24

244

22

s

sB

s

sBL

s

sA

s

sAL

ABLLL

effv

effu

effveffueff

Euler-Lagrange jednačine za amplitude A i B:

.01

112

,01

112

324

242

324

242

ABs

sB

s

s

BAs

sA

s

s

s

se

212

s

sc

21

Postojanje tri različita kompleksa lokalizovanih modova:

1.Simetrični , čija oblast postojanja je limitirana sa kritičnom

vrednošću parametra sprezanja

2. Antisimetrični , koji postoje u celom parametarskom prostoru

3.Asimetrični , čija oblast postojanja je ograničena

kritičnom vrednošću parametra sprezanja

22 BA

BA

BA

0ddP

n m

mnn m

mn vuP2

,

2

,

3

422

4

1112

s

ss

s

s

s

s

s

ss 2

3

42 12

4

11

Stabilnost solitona predviđenih varijacionim računom smo

procenili pomoću Vakhitov-Kolokolov-og kriterijuma: ,

gde smo snagu računali kao

Za stabilna simetrična rešenja:

Za stabilna antisimetrična rešenja:

Za asimetrična rešenja dobijamo da snaga P ne zavisi od parametra sprezanja ε

Zavisnost amplituda A i B simetričnih, antisimetričnih i asimetričnih solitona (crna, plava i crvena boja, respektivno)

Dijagram oblasti postojanja i stabilnosti simetričnih, antisimetričnih i asimetričnih solitonskih kompleksa u parametarskom prostoru

numerički je rešavana stacionarna jednačina primenom algoritma zasnovanog na metodi Povela.

stabilnost stacionarnih modova je određivana linearnom analizom stabilnosti

svojstvene vrednosti malih perturbacija su numerički računate primenjujući Runge-Kutta algoritam šestog reda na vremenski zavisnu jednačinu.

1. Simetrična rešenja (SyS):

linearna analiza je pokazala da stabilni SyS kompleksi nastaju na ε=εe i menjaju stabilnost na kritičnoj vrednosti εc kada se pojavljuju nestabilni SyS kompleksi.

nestabilni SyS kompleksi sa malim snagama u prisustvu

malih perturbacija ponašaju se kao simetrični brideri sa malim maksimalni amplitudama i velikom širinom.

Symetrični kompleksi visoke snage su veoma robusni sistemi.

-4-2

02

4

0.0

0.1

0.2

0.3

-4-2

02

4

t=0

|n,

m|

m

n

-4-2

02

4

0.0

0.1

0.2

0.3

-4-2

02

4

t=100

|n,

m|

m

n

Evolucija eksponencijalno perturbovanih nestabilnih SyS kompleksa male snage

2. Asimetrična rešenja (AS):

dve grane AS rešenja se formiraju destabilizacijom SyS grana, i ona su stabilna po linearnoj analizi stabilnosti

malo perturbovani AS kompleksi ostaju jako lokalizovani i

“dišu”.

nastanak stabilnih AS modova je povezan sa bifurkacijom spontanog narušavanja simetrije i pokazuje se da je u pitanju viljuškasta bifurkacija superkritičnog tipa.

“disanje” AS kompleksa u različitim trenucima vremena. Grafici u prvom i drugom redu odgovaraju različitim komponentama posmatranih kompleksa

3. Antisimetrična rešenja (AnS):

linearna analiza stabilnosti pokazuje oscilatornu nestabilnost AnS kompleksa za male vrednosti ε i proizvoljno μ, i eksponencijalnu nestabilnost za velike vrednosti parametra sprezanja

AnS kompleksi nisu značajno pogođeni malim

perturbacijama, a glavni razlog njihove robusnosti je snažna lokalizacija energije u centralnom čvoru i to se dešava u celoj oblasti postojanja AnS kompleksa.

Dinamika perturbovanih eksponencijalno nestabilnih AnS solitona u različitim trenucima vremena

simetrični kompleksi u sistemu sa dve nespregnute rešetke su generalno stabilani – sprezanje menja stabilnost

izrazita robusnost simetričnih kompleksa podseća na robusnost on-site solitona koji su jako ustrmljeni – ‘pinovani’ na jednom

elementu uniformne 2D rešetke sa kubnom nelinearnošću. Ovakvo ponašanje je povezano sa kvazi-kolapsom kod 2D rešetke sa kubnom nelinearnošću

viljuškasta bifurkacija superkritičnog tipa je slična superkritičnoj bifurkaciji nađenoj kod dve on-site spregnute uniformne 1D

rešetke

varijacioni račun i numerički proračuni su korišćeni da bi se pronašle oblasti postojanja u parametarskom prostoru (µ,ε), kao i stabilnost za simetrične, antisimetrične i asimetrične solitonske komplekse

oba prilaza su pokazala da antisimetrični kompleksi solitona postoje u celom parametarskom prostoru, dok se simetirčni i asimetrični modovi mogu naći samo ispod određene kritične vrednosti parametra

stabilnost solitonskih kompleksa je procenjena numerički (kriterijum spektralne stabilnosti)

numeričke simulacije pokazuju da su nestabilni simetrični i antisimetrični kompleksi solitona sa velikom snagom jako robusni u prisustvu malih perturbacija