Integral Rangkap TigaKoordinat Silindris dan Sferis

2

Pendahuluan Koordinat Polar

3

Area R mengandung semua titik yang terletak di antara lingkaran dalam (r1) dan lingkaran luar (r2) disebut sektor Polar

4

Berikut adalah beberapa kasus khusus dari sektor polar

R

R

5

Luas persegi panjang kecil pada gambar (1) dydx Luas area kecil pada gambar (2) panjang x lebar.

Panjang = drLebar = rdθ

Maka dydx rdrdθ

(1) (2)

6

Dalam tiga dimensi, koordinat silinder/polar terlihat sbb:

7

Perubahan Variabel ke Bentuk Polar

Mengingat kembali:• dy dx = r dr dθ

• Kartesius Polar: Polar Kartesius:x = r cos θ r2 = x2 + y2

y = r sin θ tan θ = y/xθ = tan-1 (y/x)

8

Pengunaan urutan dr dθ

Use the order dө dr

9

Koordinat Silindris dan SferisDalam geometri, sistem koordinat polar digunakan untuk menggambarkan kurva dan area tertentu.

Gambar 1 menunjukan hubungan

antara koordinat Kartesius dan Polar.

Jika P memiliki koordinat Kartesius (x, y),

dan koordinat Polar r, ), maka:

x = r cos y = r sin

r2 = x2 + y2 tan =

Gambar 1

10

Koordinat Silindris dan Sferis

Dalam tiga dimensi, terdapat 2 sistem koordinat yang mirip dengan

koordinat Polar. Sistem koordinat ini memberikan gambaran yang baik

untuk perhitungan ‘permukaan’ dan benda padat.

Sistem ini sangat berguna untuk menghitung volume dan integral

rangkap tiga. Kedua sistem tsb adalah;

1. Koordinat Silindris

2. Koordinat Sferis.

11

Koordinat Silindris

12

Koordinat SilindrisDalam sistem koordinat Silindris:

P titik dalam ruang tiga dimensi dengan koordinat (r, , z)

r dan koordinat Polar dari P yang diproyeksikan ke bidang xy,

z jarak dari bidang xy ke P

Gambar 2

The cylindrical coordinates of a point

13

Koordinat SilindrisMengubah dari sistem koordinat Silindris ke Kartesius:

Mengubah dari sistem koordinat Kartesius ke Silindris :

14

Contoh 1

(a) Plot titik dengan koordinat silinder (2, 2/3, 1) dan tentukan koordinat persegi panjangnya.

(b) Cari koordinat silinder dari titik dengan koordinat persegi panjang (3, -3, -7).

Solusi:

(a) Titik dengan koordinat silinder (2, 2/3, 1) diplot pada Gambar 3.

Gambar 3

15

Dari persamaan 1, didapatkan koordinat persegi panjang:

Maka titik dengan koordinat persegi panjang adalah (–1, , 1).

16

(b) Dari persamaan 2:

sehingga

Maka koordinat polarnya: ( ,, 7/4, –7).

Koordinat lainnya: ( , –/4, –7).

17

Koordinat silinder berguna dalam masalah yang melibatkan simetri terhadap sumbu, dan sumbu z sering dipilih sebagai sumbu simetri.

Contoh:

Sumbu dari tabung silinder dengan persamaan Kartesian

x2 + y2 = c2 adalah sumbu z.

Dalam koordinat silindris,

tabung silinder ini memiliki

persamaan sederhana r = c.

Inilah alasan disebut koordinat Silinder.

Gambar 4

r = c silinder

18

Contoh 2

Sketsa-lah benda yang volume-nya ditunjukkan oleh integral berikut ini.

19

Jawab:

20

Koordinat Sferis

21

Spherical CoordinatesKoordinat Sferis/bola (, , ) dari titik P dalam ruang yang ditunjukkan pada Gambar 6, di mana = | OP | adalah jarak dari titik asal ke P, sudut dalam koordinat silinder, dan adalah sudut antara sumbu-z positif dan segmen garis OP.

Perhatikan bahwa

          0 0

Figure 6

The spherical coordinates of a point

22

Spherical CoordinatesMisalnya, bola berpusat di titik asal dan jari-jari c memiliki

persamaan sederhana = c (lihat Gambar 7) maka disebut koordinat bola/sferis

Figure 7

= c, a sphere

23

Spherical CoordinatesGrafik dari persamaan = c adalah setengah bidang vertikal (lihat

Gambar 8), dan persamaan = c mewakili setengah kerucut dengan sumbu z sebagai porosnya (lihat Gambar 9).

Figure 8 Figure 9

= c, a half-plane = c, a half-cone

24

Spherical CoordinatesHubungan antara koordinat persegi panjang dan sferis dapat dilihat dari Gambar 10.

Dari segitiga OPQ dan OPP :

z = cos

r = sin

Figure 10

25

Spherical CoordinatesKonversi dari koordinat sferis ke koordinat persegi panjang

karena x = r cos and y = r sin , maka:

Juga, rumus jarak menunjukkan bahwa:

Persamaaan ini digunakan untuk konversi dari koordinat persegi panjang ke koordinat bola.

26

Contoh 4:

Titik (2, / 4, / 3) diberikan dalam koordinat bola. Plot titik dan tentukan koordinat persegi panjangnya.

Jawab:

• Plot titik seperti pada Gambar 11.

Figure 11

27

Dari persamaan 3:

• x = sin cos

• y = sin sin

• z = cos

Maka titik (2, /4, /3) pada koordinat persegi panjang adalah:

2828

Carilah koordinat sferis untuk titik:

Jawab:

dimana

θ ≠ 3π/2 karena

Maka koordinat sferis: (4, π/2 , 2π/3)

0,2 3, 2

Contoh 2

2 2 2

0 12 4

4

x y z

2 1 2cos

4 2 3

cos 0sin 2

z

x

2 3 0y

2929

Dimana batas wilayah E :

atau secara umum

dimana:

x = ρ sin Φ cos θ y = ρ sin Φ sin θ

z = ρ cos Φ

2

, ,

sin cos , sin sin , cos sin

E

d b

c a

f x y z dV

f d d d

, , , ,E a b c d

Formula 3 INTEGRAL TRIPLE SFERIS

1 2, , , , , ,

E

c d g g

3030

Carilah volume dari fungsi bola berikut ini:

dimana

Jawab:• Gunakan koordinat sferis:

• Diketahui juga: x2 + y2 + z2 = ρ2

3 / 22 2 2x y z

B

e dV

2 2 2, , 1B x y z x y z

Contoh 3

, , 0 1,0 2 ,0B

3131

• Maka volumenya:

3 / 22 2 2

3 / 22

3

3

2 1 2

0 0 0

2 1 2

0 0 0

11 43 30 0

sin

sin

cos 2 1

x y z

B

e dV

e d d d

d d e d

e e