INTEGRALI. Pendahuluan

I.1 Pokok bahasan Poligon Dalam Poligon Luar Jumlah Riemann

I.2 Tujuan Mengetahui luas daerah di bawah kurva menurut poligon-poligon dalam. Mengetahui luas daerah di bawah kurva menurut poligon-poligon luar. Mengetahui definisi dari integral tentu

II. Landasan Teori

Definisi:

catatan : definite integral sering disebut sebagai Integral Riemann.

Untuk menentukan nilai definite integral secara langsung dengan definisi di atas

maka kita harus menggunkan jumlah Riemann (jumlah Riemann akan dijelaskan dalam

contoh). Hal ini kurang efisien, terkadang dalam perhitungannya menemui kesalahan. Oleh

karena itu, nilai definite integral ditentukan dengan menggunakan teorema dasar integral

kalkulus berikut ini :

Sifat- Sifat Umum Definite Integral :

Misalkan f(x) dan g(x) merupakan fungsi-fungsi kontinu dalam interval tertutup

[a,b], maka definite integral memenuhi sifat-sifat umum sebagai berikut :

Menentukan Luas dengan Proses Limit Luasan Di Bawah Suatu Kurva

Bila digambarkan suatu persegi panjang pada suatu koordinat cartesius,luas persegi

panjang tersebut dengan mudah dapat dicari. Perhatikan gambar 5.1 Luas persegi

panjang adalah A=f(x)∆x.

Gambar 5.1

Bila jumlah persegi panjang kita perbanyak menjadi 4 dengan lebar yang sama namun

tinggi f(x)-nya berbeda-beda maka keadaannya akan terlihat seperti gambar 5.2.

Gambar 5.2

Luas keseluruhan persegi panjang adalah :

A=A1+A2+A3+A4=f1(X) Δx + f2(x) Δx +f3(x) Δx +f4(x) Δx

Δx

Jika jumlah persegi panjangnya kita perbanyak lagi menjadi 10 dengan tinggi f(x)-nya

yang berbeda-beda dan dengan Δx –nya kita perkecil. Hasilnya akan menjadi seperti

ditunjukkan pada gambar 5.3.

Gambar 5.3

Luas totalnya dirumuskan sebagai :

Jika jumlah persegi panjangnya kita perbanyak lagi menjadi 100 dengan tinggi f(x)-nya

yang berbeda-beda dan dengan Δx –nya kita perkecil lagi. Hasilnya akan menjadi seperti

ditunjukkan pada gambar 5.4.

Gambar 5.4

Pada gambar 5.1 sampai gambar 5.4 secara tidak disadari kita telah membuat tinggi persegi

panjang berubah memenuhi keteraturan mendekati pola persamaan :

. Bila jumlah persegi panjang kita tambah lagi menjadi , dan seiring

dengan itu membuat , maka tinggi f(x) untuk setiap Δx berubah secara kontinu

mengikuti persamaan : . Sehingga luas keseluruhan persegi panjangnya

dinyatakan sebagai :

Jika kita membuat Δx mendekati 0, maka penulisan berubah menjadi ∫dan Δx

berubah menjadi dx. Sehingga selengkapnya ditulis menjadi :

Karena batas-batas pembuatan persegi panjang tadi kita sebar dari 0 sampai 1, maka batas-

batas tersebut kita letakkan pada tanda ∫dan ditulis seperti : . Tanda ∫ disebut sebagai

integral atau lambang integral. Bila integralnya tidak dibatasi, maka integral itu disebut

integral taktenu. Bila kita memberikan batasannya, seperti contoh di ∫10∫atas di mana batas-batas integralnya adalah dari 0 sampai 1, maka tanda integralnya ditulis

sebagai ∫dan disebut sebagai integral tentu. 10

Fungsi f(x) pada contoh di atas adalah fungsi satu variable bebas, yaitu : variable x. Jika

fungsi yang diintegralkan adalah fungsi satu variable bebas maka hasilnya adalah

merupakan luasan (A) yang dibatasi oleh fungsi tersebut dengan sumbu-x. Maka untuk

mencari suatu luasan yang berada di bawah kurva suatu fungsi dapat dilakukan dengan

cara integral.s

Misalkan kurva y = f(x) kontinu dalam interval a < x < b. Luas daerah yang dibatasi

oleh kurva y = f(x), sumbu x, dan garis-garis x = a dan x = b, dapat ditentukan dengan

menggunakan proses limit sebagai berikut :

(1) Mula-mula interval [a,b] dibagi menjadi n buah sub-interval (panjang tiap sub

interval tidak perlu sama) dengan cara menyisipkan (n-1) buah titik. Misalkan titik-titik

itu adalah Ditetapkan pula bahwa dan , sehingga

. Dengan demikian, panjang setiap sub-0 1 2 ninterval adalah

. Dalam

setiap sub-interval , kita tentukan titik dengan absis dan koordinatnya

. Kemudian dibuat persegi panjang - persegi panjang dengan lebar dan tinggi

, seperti diperlihatkan pada gambar dibawah ini. Perhatikan bahwa banyaknya

persegi panjang yang dibuat dengan cara seperti itu ada n buah, dan luas masing-masing

persegi

panjang itu adalah:

(2) Luas daerah L didekati dengan jumlah semua luas persegi panjang tadi,

Jadi,

Dengan menggunakan notasi sigma bagian ruas kanan dari bentuk di atas dapat

dituliskan menjadi :

Untuk menunjukkan bahwa penjumlahan tersebut mencakup ujung-ujung interval a dan

b, maka hubungan di atas dapat ditulis sebagai berikut :

Bentuk penjumlahan disebut sebagai jumlah Reimann.

(3) Luas daerah L yang sebenarnya diperoleh dengan mengambil nilai n yang Cukup besar . Ini berarti baha nilai menjadi kecil sekali . Dengan demikian, luas daerah L ditentukan dengan :

atau

Untuk menyederhanakan cara penulisan, bentuk-bentuk limit di atas dapat dituliskan menjadi :

Jadi, luas daerah L ditentukan oleh rumus :

Menentukan Luas Daerah Antara Dua Kurva Misalkan dua kurva masing-masing dengan persamaan y = f(x) dan y = g(x), merupakan kurva-kurva yang kontinu dan f(x) > g(x) dalam interval a < x < b. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), kurva y = g(x), garis x = a dan garis x = b diperlihatkan pada gambar di bawah. Kita dapat menentukan luas daerah yang diarsir (ABCD) dengan cara sebagai berikut :

Luas ABCD = Luas EFCD – Luas EFBA

=

=

Jadi, luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) dan y = g(x), garis x = a dan garis x = b, ditentukan dengan rumus :

Dengan catatan bahwa f(x) > g(x) dalam interval a < x < b

PENGGUNAAN INTEGRAL TERTENTU1. Luas Daerah Bidang Rataa. Daerah Antara Kurva dan Sumbu Koordinat.

Perhatikan gambar daerah rata dibawah ini Daerah R dibatasi oleh grafik-grafik y = f(x), x = a, x = b dan y = 0, luasnya A(R) ditentukan oleh :

II.1A(R) =

Jika gambar terletak dibawah sumbu X maka integral diatas bernilai negatif,

karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan. Perhatikan pula gambar daerah rata berikut ini :

Daerah R dibatasi oleh grafik-grafik x = f(y), y = c, y = d dan x = 0, luasnya A(R)

ditentukan oleh : A(R) =

Jika gambar terletak disebelah kiri sumbu Y maka integral diatas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan.

Contoh :

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh fungsi :

Untuk menghitung luas daerah rata ikuti pola berfikir sebagai berikut :1. Gambar daerah yang bersangkutan 2. Potong daerah menjadi jalur-jalur dan beri nomor pada satu jalur tertentu3. Hampiri luas jalur tertentu tersebut dengan luas persegi panjang4. Jumlahkan luas jalur-jalur pada daerah tersebut5. Ambil limit dari jumlah diatas dengan lebar jalur menuju 0, maka diperoleh integral

tertentu.

b. Daerah antara 2 KurvaPerhatikan kurva-kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan g(x) f(x) pada selang [a,b], sebagai gambar berikut :

A =

Kita gunakan cara : potong, aproksimasikan, dan integralkan.

PENERAPAN DENGAN MAPLE Luas Menurut Poligon Dalam

Luas Menurut Poligon Luar

Jumlah Riemann

DAFTAR PUSTAKA

Anonim. Fungsi Invers. http://bebas.vlsm.org/v12/sponsor/Sponsor Pendamping/Praweda/Matematika/0375%20Mat%201-4e.htm

Anonim. Matriks. http://id.wikipedia.org/wiki/Matriks_(matematika)

Anonim. Invers dan Matriks. http://grid.ui.ac.id/files/manual-portal/node10.html

Anonim. Mencari Fungsi Invers dan Matriks dengan Maple. http://ns1.cic.ac.id/~ebook/ebook/adm/myebook/0011.pdf

Dale Varberg, Edwin J.Purcell, I Nyoman Susila ; 2001; Kalkulus jilid 1; Batam; Penerbit Interaksara.