http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_l'Hôpital

• La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy que se da sólo en el caso de las indeterminación del tipo        o          .

Demostración 

• Sean f y g dos funciones definidas en el intervalo [a,b], y sean f(a)=g(a)=0 y g(x)≠0 para a<x<b.

• Si f y g son derivables en a y g'(a)≠0, entonces existe el límite de f/g en a y es igual a f'(a)/g'(a). Por lo tanto,

• Dado que f(a)=g(a)=0 el cociente f(x)/g(x) para a<x<b se puede escribir de la siguiente manera:

• Sabemos que f y g son diferenciables en a, por lo tanto, utilizando la definición de derivada: 

• La regla de l'Hôpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valor numérico al llevar al límite las funciones dadas. La regla dice que, se deriva el numerador y el denominador , por separado; es decir: sean las funciones originales f(x)/g(x), al aplicar la regla se obtendrá: f'(x)/g'(x).

Ejemplo:

Ejemplo 2:Aplicación consecutiva:Mientras la función sea n veces continua y derivable, la regla puede aplicarse n veces: