%. nngew. Math. Yerh. 11d. 57 Nr. 9/10 Sent.iOkt.1957 Kleine Mitteilungen 401

I I . ~

Auch die Eigenvektoren von 91 nnd (l’ hangen eng zuiammen. Schreiben wir die Eigenwertaufgabe in der Form

mit den1 n,-fachen Eigenwert ?., und p , dazugehorigen linear unabhangigen Eigenvektoren F, n , so gilt wegen (10) such

nnd naeh Multiplikation rnit % von links

woraus neben der schon nachgewiesenen Gleichheit der Menge der Eigenwerte von ?4 und @ noch folgt, daB die Eigenvektoren ti,, von ?I’ gegeben sind durch

und in der gleiclien Anzalil wie die g, , linear unabhangig sind.

Unsere Aufgabe 1aBt sich mit einer allgemeinen Eigen- wertaufgabe in Verbindung bringen, indem wir (11) rnit p multiplizieren. R i r erlialten

rnit zwei Hermiteschen Matrizen !$??I und 8; denn es gilt

Da hierin die Matrix p offensiclitlich indefinit ist, lasseri sich weitere Aussagen uber Eigenwerte und Eigen- vektoren nur bei zusatzliclien Vorauesetzungen iiber die Matrix S@ ‘21 machen [3].

Eine Zuzatzforderung an &I, welche die Transformier- barkeit auf Diagonalgestalt zur Folge hat, ist nahe- licgend und soll nun betrachtet werden. Schreiben wir (10) in der Form

so ist wegen

‘2( F v n = A, F”, , CY = 1 , 2 , . . . , p , 5 12, (l l) ,

P a’ P F v a = T v n

%’(pF,,)=2.,(p&%,,) . . . . . ( W ,

-

I)”, = p . . . . . . . (13),

P ‘11 h , , = 4’ %? L a

- (Ua)? 7 3’ !p = (9 %) und p’ = $,

? I=(p3 / )p . . . . . . (14L - ~~

(y 97)’ = 2[ p = (b @); P’ = p die Matrix ‘11 dargestellt als Produkt zweier H e r m i t e - scher Matrizen und wird dann als symmetrisierbar bezeichnet, wenn eine dieser Matrizen positiv definit ist. Da im vorliegenden Falle !@ indefinit ist, soll fur das folgende die Matrix ’@ $: = ‘11 9 als positiv definit angenommen wcrden. Eine Ahnlichkeitstransformation auf Diagonalgestalt ist dann moglich [4].

Dazu bestimmen wir in bekannter Weise die positiven Eigenwerte der Matrix %’ = (11 !$ und ihre nor- mierten Eigenvektoren, die zu einer unitaren Matrix U eusammengefaBt werden, so daB gilt:

13 q[/ u 1 [; AL2\~,,. 1 = ’E . P n

bVir biltlen sodaiin eine neue positiv definite Hermite- sche Matrix

\ dcren Quadrat %’ liefert :

Bun formen wir die rechte Seite von (10) um 2 P = ( L z 2 c , l i ‘ ) (ua,lF) =u,x~iP-lzau~=g’2T.

?( = (‘V4L‘) p = 28 Y3 p Y> 28 1 , -

Die Matrix auf der rechten Heite ist nun eine zu 4 I ahnliche H e r m i t e sche Matrix, die durch eine unitare Transformation % ihrer normierten Eigenvektoren auf Diagonalgestalt gebracht werden kann, mit ihren reellen Eigenwerten, die eugleich die von ?I sind, in der Haupt- diagonalen.

Durch die Ahnlichkeitstransformation

- $i‘ 23 1 2% % =

laBt sich demnach ’21 auf Xormalform transformieren. Dami t haben wir folgendes Ergebnis gefnnden : 16ine Matrix ’11, fur die

- - ? (=ygVp; p5qy=p-1 gilt und daruberhinaus die Matrix

positiv definit ist, besitzt als syrnmetrisierbare Matrix reelle Eigenwerte und lineare Elementarteiler. Nebensymmetrische Matrizen rnit YL = a , b = B und ‘116 positiv definit, sowie nebenliermitesche Matri- Zen mit $ = B uiicl ‘!I 6 positiv definit, gehoren zn dieser Klasse.

Beispiel 1 :

y Tv = ?[

1 --i 1

- % ist nebenhermitesch wegen G ‘21 6 = Yi’. ’11 G ist indefinit. Die charakteristische Gleichung besitzt zwar reelle Koeffizienten, jedoch ist die Matrix nicht symme- trisierbar.

Beispiel 2:

; 81G==G?I‘=

‘11 ist reel1 iiebensymmetriacli wegen G 41 6 = ?l‘ und ?I B ist positiv definit. Daher ist 4( symmetrisierbar, besitzt reelle Eigenwerte rnit linearen Elementar- teilern und es gilt

Hannover. I<. Jaeckel . L i t e r a t 11 r

[I] W’. S e h m e i d l e r , Determinnnten nnd Matrizen. Akademie-

[ Z ] I,. M n n n , dber zyklisclie Sginnietrie in der Statik ... Jg. I1 (1911).

[ 31 L. Colla t z , Eigen~~ertnufgRhm. Akailernisrlir Vrrlngsgesell-

Verlag Berlin. S. 26.

8.18.

schaft. Leipzig. 19.19. S. 264. [4] 8. [l] s. 58.

Integraltransformationen mit Differenzkern, bei denen Kern-, Objekt- und Bildfunktion zum gleichen Typus gehoren

Die G a u B transformation -w

Y(.) = j K , - ~ - E Y 1/(4 (l,t --w

hat die Eigenschaft, daB eine G a u B funktion

wieder in eine GI a u 13 funktion y(x) = 1k - I & ; ( ? - @ ) A

G - P f F .

v,. uberfuhrt wird, wobei gllt

1 1 1 -

Dime beiden Funktionen und die Kernfunktion besitzen den Flacheninhalt 1. Obige Transformation hat fnr die praktisch wichtige Frage der Zerlegung einer

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Z. angew. Math. Meclr. Bd. 37 Nr. 9/10 Sept./Okt 1957 Kleine Mitteilungen

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gegebenen Haufigkeitsverteilung in eine Summe von Einzelverteilungen Bedeutung.

1st namlich

so folgt n, 11, Y - h; t , ( .G - .,)Z Y ( x ) = 2 ( I , c

y = l Vh- wobei die Maximumabszissen ay der Einzelverteilungen gleich und die Streuungszahlen h,, 5 h,, sind.

Gelingt es demnach, die Integraltransformation um- zukehren, so wird damit eine Aufsteilung der GauB- funktionen erreicht und in geeigneten Fallen eine Auf- spaltung der Mischverteilung in Einzelverteilungen er- moglicht [I].

Die numerische Durchfuhrung der Umkehrung ist indessen auBerordentlich schwierig und fehlerempfind- lich, so daR es naheliegt, nach anderen Integraltrans- formationen zu suchen, die fur eine Aufsteilung in Betracht komnien und unter Umstanden numerisch einfacher zu behandeln sind. Hier sol1 nur der erste Teil der Aufgabe dargestellt werden. Wir fragen all- gemeiner nach denjenigen nicht negativen Funktionen K ( z ) , die irn Interval1 (- co, + 00) quadratisch inte- grabel sind mit dem Flacheninhalt 1, so daR rnit end- lichen positiven Parametern h,, h, und H gilt:

03

h, K(hz(x - M)) = J” H K(H(z - 8). hiK(hi(6 - a) ) a t (1). -m

Zur Bestimmung solcher Funktionen multiplizieren

und wir die vorangehende Gleichung mit ~ ei ’(‘- ’)

integrieren uber x von - 00 bis + 00 [2]. Auf der linken Seite erhalten wir

1

yzi

M

oder mit h,(n-a) = p

--cu

und auf der rechten Seite nach erlaubter Vertauschung der Integrationsfolge

m

- m

H K(H(z---[)) e ’ 2 ‘ ( T - f ’ d.c .J . -m

oder nach Einfuhrung der neuen Integrationsvariablen

scblielllich hl(t -a) = a; H ( x - E ) = t

- -a3

Mit Hilfe der F o u r i e r transformierten yon K ( z )

konnen wir das Ergebnis in der folgenden Form schrei- ben

und gewinnen mit

zunachst ln (VG K * ( 4 ) = P ( 4

Setzen wir darin

so erhalten wir schlieRlich die folgende Funktional- gleichung

BUS der zu entnehmen ist, dall p von jl abhiingen mu8. Aus dieser Gleichung sind zwei Funktionen zu bestim- men, namlich q(w) und p(A), die wir als zweimal stetig differentiierbar voraussetzen.

Zuniichst stellen wir fest, daR q(0) = 0 sein mull, und konnen fur die weitere Rechnung ‘u # 0 annehmen. Die Funktionalgleichung (3) differentiieren wir nach v und nach A:

P(V) = d n v ) + P(P(4 w) * * * * * (3),

a’W = 1 v) + P ( 4 q’(P v) 7

0 = ‘u q’@ 8) + ?)’(A) 9) . ,

I n der zweiten Gleichung konnen wir durch v kurzen und p’(d) # 0 annehmen. Denn wlre p’(lvo) = 0 fur irgend eine Stelle 1, > 0, so ware nach der zweiten Gleichung @(Lo v) = 0, also uberall q = const, so da13 diese Moglichkeit wegen q(0) = 0 nur die triviale Losung lieferte. Daher konnen wir aus den vorangehenden Gleichungen q’(p w) eliminieren und erhalten :

Hierin durfen wir 3, p‘ - p auf Werte ungleich Null be- schriinken; denn ware fur eine bestimmte Stelle 1, > 0 die rechte Seite der vorangehenden Gleichung Null, YO

lage wegen ~’(1,) = 2 # 0 mit q’(w) = 0 ein Fall

vor, der wieder nur auf die triviale Losung fuhrte. Differentiieren wir die Gleichung (4) nach w und

nach 1

Pya) qyw) = (np7-P) q’(a v) . . . . (4).

P@ ) 1,

p’(& P”(V) = P‘ -PI q”(A v) 9

= a P’/ qy. v) + q n P’ - P) q ” ( ~ b v), so la& sich aus den letzten beiden Gleichungen q”(1 w) eliminieren mit dem Ergebnis

aus dem unter Heranziehung der Gleichung (4) nun auch q’(1 w) entfernt werden kann. Wir erhaltcn dann

Diese Gleichung 1LBt sich so umformen, daR die linke Seite nur von w, die rechte nur v o n l abhlngt, wobei wir fur nichttriviale Losungen q’(v) # 0 fur jede Stelle v # 0 voraussetzen konnen:

P/(n) qyW) -a Pya) = -12 P y n ) n’(n v) ( 5 ) ,

(1 p‘ - P) P’ q” + a I, P r t q’ = o .

Hieraus ergeben sich wegen der Unabhangigkeit der beiden Variablen die Differentialgleicliungen

mit den Losungen q ( w ) = A 2.c + u; iLC = a p + /?gC(lr)

Damit fur v = 0 der Grenzwert von y(v) mit dern Funktionswert y(0) = 0 ubereinstimmt, muR B = 0 und c > 0 gewiihlt werden, womit aus (3) auch a und /I bestimmt sind. Wir finden schlielllich

q(v) = A aC; pC(i3,) + I? = 1 , c > 0 ,

Z. angew. Math. Nech. Bd. 37 Nr. 9/10 Sept./Okt.t957 ______

und damit nach G1. ( 2 ) die Fouriertransformierten

Kleine Mitteilungen ~ _ _ _ 403

und durch das Umkehrintegral die gesuchten Funktio- nen

M

--M

In der letzten Darstellung werden nur solche Werte A und c zugelassen, fur die das Integral existiert und eine quadratisch integrable Funktion K(x) liefert. Diese Bedingungen sind erfullt, wenn eA " selbst eine quadratisch integrable Funktion ist.

Wegen q(0) = 0 und damit VGK,(O) = 1 gilt, da5 fur jede dieser Funktionen der Blacheninhalt von selbst gleich 1 wird. Beschranken wir uns auf die folgen- den symmetrischen Verteilungen

l.qx) = 1 i e-a14c. ,--is' dv . . (7), 2n --M

1 4

bo finden wir mit a = - und c = 2 die GauBfunktion

und fur a = 1 ; c = 1 die Funktion

die aus der Potentialfunktion 1 Y x x2+ y2 - ~ _ _ _ _

rnit y == 1 entsteht. Durch diesen Zusammenhang er- geben sich Moglichkeiten, die erwahnte Zerlegungs- aufgabe potential- oder atromungstheoretisch aufzu- fassen.

Fur andere ganzzahlige Werte c ist die Integration v011 (7) nicht mehr elementar durchzufiihren, es ist aber moglich, fur die gesuchten Funktionen Differential- gleichungen anzugeben.

Fur nichtganzzahlige Werte c > 0 ist auch dieser Weg nicht mehr gangbar, die Funktionen K ( x ) lassen sich dann durch Reihen mit Hilfe der Hermiteschen Polynome darstellen.

Hannover. K. Jaeckel . L i t e r a t u r

111 G . Uoetsch, Die Eliiiiination des Dopplereffekts. Z. f. Phys. 40

[ Z ] 1%'. Schmeidler, Integralgleichungen 1. Leipzig 1950. 8. 79. (192S), S. 705-730.

$kadernische Vrrlagsgesellschaft.

Hauptachsentransformation der quadratischen Form fur die Streuung

Die wichtigsten statistischen Kennzahlen einer Reihe von stochastisch unabhangigen MeBwerten xi (i = I , 2 , .... n) sind Mittelwert 5 und Btreuung s, die nach folgender Vorschrift gebildet werden:

n n ? / Z = 2' x i ; ( n - l ) s 2 = 2 (xz - .)2. . (I).

1. - 1 i=l

Niuimt man an, daB die xi aus der gleichen normal verteilten Grundgesamtheit stammen, so la& sich nachweisen, daB 2 und a2 selbst wieder stochastisch unabhlngig sind und einer Normalverteilung bzw. einer X2-Verteilung genugen. Dieser Zusammenhang 1aBt sich durch Wahrscheinlichkeitsbetrachtungen un- mittelbar im Merkmalsraum der zi [I] oder auf ganz anderem Wege durch Transformation der quadra- tischen Form fur s2 auffinden [ 2 ] . Hier wollen wir die Hauptachsentransformation dieser Form in den Vor-

dergrund stellen und sie mit Mat>rizen e x p l i z i t durch- fukren.

Wir betrachten die quadratische Form

und schreiben sie mit

% = ' 1 - n I . . . 1

1 1 - n . . . ........................

$ 1 1 . . . 1 - n

in der Gestalt

Die Matrix I ist reel1 symmetrisch, so daB sie durch eine reelle orthogonale Matrix D auf Diagonalform gebracht werden kann, mit den Eigenwerten I , der Matrix 2I in der Hauptdiagonalen.

-nQ = F 'YlE ' . . . . . . . (4).

Infolge der Variablentransformation b - D \ , . . . . . . . . ( 5 )

mit

und

ergibt sich fur die quadratische Form

t)' = (y,, y2, . . .) yn), D' D = D 0' = E

g' g = t)' $3' D t) = t)' h)

-n&= q ' D ' % G q = q 's t )=n,y: + j l , y ; + ~ " $ I n ? / ; (8).

Die Eigenwerte I , der Matrix 2l und die normierten Eigenvektoren xy, aus denen die orthogonale Trans- formationsmatrix aufgebaut wird, lassen sich aus dem folgenden homogenen Gleichungssystem bestimmen

~ - .

1-n-I 1 ... 1 1 1-n-jl . . . 1

......................... (Qf-atqr =

dessen n-reihige Determinante verschwinden muB. Nach Zeilenvertauschungen erkennt man die vor-

liegende Determinante als eine zyklische [ 5 ] , fur die sich die Eigenwerte leicht berechnen lassen:

. . (8). i I , = 0 , einfach, A t , . . . . = - n , (n-1)fach

E ^ ; = c1 ( 1 , 1 , .. ., l ) ,

Fur 1,=0 finden wir aus dem Gleichungssystem (7) den zugehorigen Losungsvektor zu

wiihrend wir fur 12, . , ., 9% = - n nur entnehmen konnen, daB die Komponentensummen Null ergeben mussen. Jeder Vektor von der Form

n-1

i=l .... x,-,, - x .)

ist Losungsvektor. Die Eigenvektoren, die wir durch Orthogonalisierung finden, bilden die Spalten der orthogonalen Matrix

1 1 1 1 ... 1

1-1 1 ] . . . I

1 0--2 1 ... 1

1 0 0- 3 . . . 1 ....................

1 0 0 0 . . . 1

1 0 0 0 ...-( n-1)

(91, 26 *