Embed Size (px)
Citation preview
1
Metode Numerice
Curs 7
Integrarea numerică
Gigel Măceșanu
Universitatea Transilvania din Braşov
Laboratorul de Vedere Artificială Robustă şi Control
2
Cuprins
Introducere
Metoda trapezului și eroarea de trunchiere
Metoda lui Richardson
Metoda lui Simpson
Metoda lui Gauss
3
Integrarea numerică
Calculul are drept scop determinarea numerică a valorii integralei
𝒂𝒃𝒇(𝒙) ∙ ⅆ𝒙, unde 𝒇 𝒙 este continuă pe [𝒂, 𝒃], iar 𝒂 și 𝒃 sunt finite
Două grupe de metode:
Metode ce împart intervalul de integrare în subintervale de aceeași
lungime, numărul subintervalelor fiind impus de operator, de ex:
𝒙𝒊 𝒙𝒊+𝟏𝒂 𝒃
𝒇(𝒙𝒊)
𝒇(𝒙𝒊+𝟏)𝒚
𝒙
• metoda dreptunghiului, metoda
trapezului, metoda lui
Richardson și metoda lui
Simpson;
Metode ce împart intervalul de
integrare în așa fel încât eroarea de
calcul să fie minimă, de ex:
• metoda cuadraturii a lui Gauss
𝒔𝒊𝑰
4
Metoda trapezului
Intervalul [𝒂, 𝒃] se împarte în 𝒏 subintervale de lungime egale
∆𝒙𝒊 = 𝒙𝒊+𝟏 − 𝒙𝒊 =𝒃−𝒂
𝒏= 𝒉, 𝒊 = 𝟎, 𝒏 − 𝟏, 𝒙𝟎 = 𝒂, 𝒙𝒏 = 𝒃
Pentru simplificare notăm 𝒚𝒊 = 𝒇 𝒙𝒊 și 𝒚𝒊+𝟏 = 𝒇(𝒙𝒊+𝟏)
Integrala 𝑰𝒊 poate fi aproximată cu aria trapezului (𝒙𝒊, 𝒚𝒊, 𝒚𝒊+𝟏, 𝒙𝒊+𝟏)
Această aproximare permite determinarea
valorii integralei prin relația:
relația de calcul a integralei definite, prin
metoda trapezelor, va fi următoarea: 𝒙𝒊 𝒙𝒊+𝟏𝒂 𝒃
𝒇(𝒙𝒊) 𝒇(𝒙𝒊+𝟏)𝒚
𝒙
𝒔𝒊𝑰
12
d1
ii
x
x
i yyh
xxfIi
i
nnn
n
ii yyyyyyyy
hII
11221100
2
nnn yyyyyyyh
I 123210 222222
5
Eroarea de trunchiere pentru metoda trapezului
Pentru a putea evalua eroarea de trunchiere se va utiliza relația de
dezvoltare în serie Taylor a funcției 𝑓(𝑥) în jurul punctelor 𝒙𝒊 și 𝒙𝒊+𝟏
Vom păstra termenii până la derivata de ordinul 2
Pentru simplificare se vor introduce notațiile amintite anterior
ii
iii xfxx
xfxxxfxf ''2
'1
2
1''
21
1'
1122
ii
iii xfxx
xfxxxfxf
''
2'
12
ii
iii yxx
yxxyxf
''
1
2'
1122
ii
iii yhxx
yhxxyxf
6
Eroarea de trunchiere pentru metoda trapezului
Vom construi o nouă funcție care aproximează cel mai bine funcția
în intervalul (𝒙𝒊, 𝒙𝒊+𝟏), ca media acestor două funcții:
Prin integrarea acestei funcții de la 𝒙𝒊 la 𝒙𝒊+𝟏 și reducerea
termenilor asemenea vom obține:
2
21 xfxfxf
''
1
2''
1''''
1
2'
1
'1
'1
424222
iii
iii
iii
iii y
hy
hxxyy
xxy
hyyxx
yyxf
''
2'
12
ii
iii yxx
yxxyxf
''
1
2'
1122
ii
iii yhxx
yhxxyxf
''''
1
3''
1
2
11242
d)(1
iiiiii
x
x
i yyh
yyh
yyh
xxfIi
i
7
Eroarea de trunchiere pentru metoda trapezului
Pornind de la rezultatele anterioare
Eroarea de trunchiere produsă la această metodă poate fi apreciată ca
fiind egală cu:
Pentru valori mici ale lui ℎ primul termen are valoarea dominantă.
Vom presupune că eroarea de trunchiere are expresia:
Presupunând derivatele de ordinul unu ca fiind aproximativ constante pe
intervalul de integrare, eroarea de trunchiere poate fi aproximată prin:
unde 𝑐 este o constantă
''''
1
3''
1
2
11242
iiiiiii yyh
yyh
yyh
I 1
2d
1
ii
x
x
i yyh
xxfIi
i
'''
1
3''
1
2
124iiiiTi yy
hyy
he
''1
2iiTi yyhKe
2hceT
8
Metoda lui Richardson
Se pleacă de la eroarea de trunchiere a metodei trapezului pentru o
diviziune ℎ:
O altă diviziune 𝒌 =𝒃−𝒂
𝒎conduce la eroarea de trunchiere 𝒆𝑻 = 𝒄 ∙ 𝒌
𝟐
Astfel, următoarele relații pot fi scrise:
Prin scădere se obține:
Valoarea integralei se poate scrie sub forma:
expresie ce poartă denumirea de formula lui Richardson și are o precizie
mai mare decât metoda trapezului.
2hceT n
abh
2hcII h 2kcII k
22 hk
IIc kh
2
22h
hk
IIII kh
h
12
2
h
k
IIII kh
h
9
Metoda lui Simpson
Metoda este similară metodei trapezelor deoarece presupune divizarea
intervalului de integrare în subintervale iar funcția de integrat trebuie
evaluată la capetele acestor subintervale
În metoda Simpson este utilizată o parabolă (polinom de gradul 2) pentru
aproximarea ariei corespunzătoare la două intervale adiacente
Se pornește de la formula lui Richardson pentru două diviziuni între care
avem relațiile: 𝒌 = 𝟐𝒉, 𝒌 =𝒃−𝒂
𝒎, 𝒉 =
𝒃−𝒂
𝒏
Scriem formula metodei trapezului pentru fiecare diviziune în parte:
543210 222222
yyyyyyh
Ih
6420 222 yyyyhIk
10
Metoda lui Simpson
Pentru 𝒌 = 𝟐𝒉 relația devine
Având în vedere relațiile inițiale:
Obținem:
Relația anterioară reprezintă formula de calcul a metodei lui Simpson.
Precizia algoritmului este legată de numărul de puncte în care se
evaluează funcția (pasul de integrare este mai mic)
12
2
h
k
IIII kh
h khkh
h IIII
II
4
3
1
14
543210 222222
yyyyyyh
Ih
6420 222 yyyyhIk
6543210 2424243
yyyyyyyh
I
11
Metoda lui Gauss
Metoda lui Gauss permite reducerea numărului de puncte în care trebuie
să se evalueze funcția la două
Metoda presupune efectuarea unei schimbări de variabilă astfel încât
intervalul [𝒂, 𝒃] să fie reprezentat pe intervalul: [−𝟏, 𝟏]
Avem următoarea formulă de substituție:
iar derivata:
Prin substituție avem: 𝒙 =𝟏
𝟐𝒃 − 𝒂 𝒖 +
𝟏
𝟐𝒃 + 𝒂 și ⅆ𝒙 =
𝟏
𝟐𝒃 − 𝒂 ⅆ𝒖
Ca urmare, 𝑰 = 𝒂𝒃𝒇(𝒙)ⅆ𝒙 se transformă astfel:
𝑰 = 𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 ⅆ𝒙 = −𝟏
𝟏
𝒇𝟏
𝟐𝒃 − 𝒂 𝒖 +
𝟏
𝟐𝒃 + 𝒂 ∙
𝟏
𝟐𝒃 − 𝒂 ⅆ𝒖 =
−𝟏
𝟏
ψ(u) ⅆ𝒖
ab
abx
abu
2x
abu d
2d
12
Metoda lui Gauss
Formula de integrare trebuie să țină cont de următoarele:
Sunt utilizate două puncte din interiorul intervalului de integrare
Trebuie să returneze eroare zero pentru polinoame de grad maxim trei
Metoda constă în determinarea unei drepte: 𝒚 = 𝜶𝟎 + 𝜶𝟏 ∙ 𝒖
Din punct de vedere grafic condiția revine la egalitatea dintre aria 𝑨𝟏
cuprinsă între graficul funcției și dreapta aflată deasupra dreptei și aria 𝑨𝟐
cuprinsă între graficul funcției și dreapta aflată sub dreaptă (𝑨𝟏 = 𝑨𝟐 + 𝑨𝟑)
y
-1 u1
uu0 1
A1
A2
A3
y = (u)
y = + u0 1
0
uuuuI dd
1
1
10
1
1
13
Metoda lui Gauss
Pentru a calcula integrala utilizând numai două evaluări ale funcției se mai
pune condiția:
unde, 𝒖𝟎 și 𝒖𝟏 sunt puncte de divizare a intervalului, 𝑨𝟏 și 𝑨𝟐 sunt ponderi
Pentru a determina valorile reale ale mărimilor 𝜶𝟎, 𝜶𝟏, 𝑨𝟏, 𝑨𝟐, 𝒖𝟎, 𝒖𝟏 se pune
condiția de a se obține un rezultat exact în cazul unui polinom de ordinul
al treilea
Considerăm un polinom de grad trei, de forma particulară:
Integrala polinomului trebuie să fie zero
)()(dd 1201
1
1
10
1
1
uAuAuuuuI
uuuuuuu 101010
14
Metoda lui Gauss
Valorile 𝒖𝟎 și 𝒖𝟏 se obţin punând condiţia de a fi îndeplinită egalitatea:
După reducerea termenilor asemenea se obține:
În continuare se pune condiția ca această egalitate să fie îndeplinită
oricare ar fi valorile coeficienților 𝜷𝟎 și 𝜷𝟏
Pentru perechea de valori: 𝜷𝟎 = 𝟏 și 𝜷𝟏 = 𝟎 se obține egalitatea:
Expresie care devine:
uuuuuuuuuI dd
1
1
10
1
1
101010
0d
1
1
1010
uuuuuu
0d
1
1
10
uuuuu
0ddd
1
1
10
1
1
10
1
1
2
uuuuuuuuu
15
Metoda lui Gauss
După rezolvarea integralelor obținem: 𝟐
𝟑+ 𝟐𝒖𝟎 ∙ 𝒖𝟏 = 𝟎 → 𝒖𝟎 ∙ 𝒖𝟏 = −
𝟏
𝟑
Pentru perechea de valori: 𝜷𝟎 = 𝟎 și 𝜷𝟏 = 𝟏 se obține egalitatea:
Expresia devine:
După rezolvarea integralelor obținem: −𝟐
𝟑𝒖𝟎 + 𝒖𝟏 = 𝟎, adică 𝒖𝟎 + 𝒖𝟏 = 𝟎
Astfel, avem un sistem de forma următoare, cu soluțiile aferente:
0d
1
1
10
uuuuuu
0ddd
1
1
10
1
1
210
1
1
3
uuuuuuuuuu
3
1
0
10
10
uu
uu
3
10 u
3
11 u
16
Metoda lui Gauss
Coeficienții 𝑨𝟏 și 𝑨𝟐 se obţin punând condiţia de a fi îndeplinită egalitatea:
Expresia poate fi scrisă și astfel:
Întrucât: și
După rezolvarea integralelor, înlocuirea lui 𝒖𝟎 și 𝒖𝟏, gruparea termenilor,
integrala devine:
)()(d 1201
1
1
10 uAuAuuI
)()(dd 1201
1
1
1
1
1
0 uAuAuuu
0100 uu 1101 uu
1102010102 uAuA 3
10 u
3
11 u
0211210 23
1 AAAA
17
Metoda lui Gauss
Se pune condiția ca această egalitate să fie îndeplinită oricare ar fi valorile
coeficienților 𝜶𝟎 și 𝜶𝟏. Avem astfel:
Pentru 𝜶𝟎 = 𝟏 și 𝜶𝟏 = 𝟎: 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 = 𝟐
Pentru 𝜶𝟎 = 𝟎 și 𝜶𝟏 = 𝟏: −𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 = 𝟎
Se obține un sistem, care după rezolvare conduce la: 𝑨𝟏 = 𝟏 și 𝑨𝟐 = 𝟏
În consecință, formula de integrare prin metoda Gauss va avea expresia,
după înlocuirea în formula inițială, astfel:
0211210 23
1 AAAA
)()(dd 1201
1
1
10
1
1
uAuAuuuuI
3
1
3
1I
