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INTÉGRATION ET DÉRIVATION Les fonctions dont il est question dans ce chapitre sont définies sur un inter- valle I de R, à valeurs dans F , espace vectoriel normé de dimension finie sur R ou C. En général, F sera R ou C. 1 Intégrale et primitive 1.1 Symbole Z b a f (t)dt Définition : Soit f continue par morceaux sur l’intervalle I de R. Pour tout couple (a, b) d’éléments de I , le segment d’extrémités a et b (que l’on note indifféremment [a, b] ou [b, a]) est inclus dans I . On définit alors Z b a f (t)dt = Z [a,b] f si a<b, Z b a f (t)dt = - Z [b,a] f si a>b, Z b a f (t)dt =0 si a = b. Linéarité : Si f et g sont continues par morceaux sur I , si λ est un élément de K et si a et b sont deux éléments quelconques de I , alors Z b a (f + λg)(t)dt = Z b a f (t)dt + λ Z b a g(t)dt . Relation de Chasles : Si f est continue par morceaux sur I , si a, b, c sont trois points de I , alors Z b a f (t)dt + Z c b f (t)dt = Z c a f (t)dt . Inégalité de la moyenne Si f est continue par morceaux sur I , si a et b sont deux points de I , alors Z b a f (t)dt ≤|b - a| sup [a,b] ||f || . 1

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INTÉGRATION ET DÉRIVATION

Les fonctions dont il est question dans ce chapitre sont définies sur un inter-valle I de R, à valeurs dans F , espace vectoriel normé de dimension finie surR ou C. En général, F sera R ou C.

1 Intégrale et primitive

1.1 Symbole∫ b

af(t)dt

Définition : Soit f continue par morceaux sur l’intervalle I de R. Pour toutcouple (a, b) d’éléments de I, le segment d’extrémités a et b (que l’onnote indifféremment [a, b] ou [b, a]) est inclus dans I. On définit alors∫ b

af(t)dt =

∫[a,b]

f si a < b,∫ b

af(t)dt = −

∫[b,a]

f si a > b,∫ b

af(t)dt = 0

si a = b.

Linéarité : Si f et g sont continues par morceaux sur I, si λ est un élémentde K et si a et b sont deux éléments quelconques de I, alors∫ b

a(f + λg)(t)dt =

∫ b

af(t)dt+ λ

∫ b

ag(t)dt .

Relation de Chasles : Si f est continue par morceaux sur I, si a, b, c sonttrois points de I, alors∫ b

af(t)dt+

∫ c

bf(t)dt =

∫ c

af(t)dt .

Inégalité de la moyenne Si f est continue par morceaux sur I, si a et bsont deux points de I, alors∣∣∣∣∣∣∫ b

af(t)dt

∣∣∣∣∣∣ ≤ |b− a| sup[a,b]

||f || .

1

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En pratique, lorsque la fonction à intégrer se présente comme un produit defonctions, cette majoration est souvent trop grossière et on ne majore qu’unepartie de la fonction ; par exemple, si f et g sont à valeurs dans R ou C, onécrira (en supposant a < b) :∣∣∣∫ b

af(t)g(t)dt

∣∣∣ ≤ ∫ b

a|f(t)| |g(t)|dt ≤ sup

[a,b]|f |

∫ b

a|g(t)|dt

On peut écrire le même genre de résultat lorsque f est à valeurs dans K = R

ou C et g à valeurs dans un espace de dimension finie.

1.2 Primitive

Primitive d’une fonction continue : Soit f une application continue del’interval- le I de R dans un espace de dimension finie. On appelleprimitive de f sur I toute application dérivable sur I et dont la dérivéeest f (une telle application est alors nécessairement de classe C1). Deuxprimitives de f sur I diffèrent d’une constante.

Primitive d’une fonction continue par morceaux Si f est continue parmorceaux sur I, on appelle primitive de f sur I toute application g

continue sur I, de classe C1 par morceaux sur I, dérivable en toutpoint de continuité de f , et telle qu’en tout point de continuité de f :g′(x) = f(x).

Le fait que deux primitives sur un intervalle d’une même application diffèrentd’une constante reste valable pour une application continue par morceaux.

1.3 Intégrale et primitive

Théorème fondamental (lien entre intégration et dérivation) : Soit fune application continue sur I, a un point de I. Il existe une uniqueprimitive de f sur I qui s’annule en a. Cette primitive est l’application

x 7−→∫ x

af(t)dt .

Pour toute primitive h de f et tous points a et x de I, on a donc∫ x

af(t)dt = h(x)− h(a) .

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Corollaire : Si f est de classe C1 sur I, pour tous points a et x de I,

f(x) = f(a) +∫ x

af ′(t)dt .

Ecriture utile pour déduire de propriétés de f ′ des conclusions sur f .

Notation : On note souvent [h]ba ou [h(t)]t=bt=a ou encore, lorsqu’il n’y a pasd’équivoque possible sur le nom de la variable, [h(t)]ba l’expression h(b)−h(a).

Extension à des fonctions continues par morceaux : Si f n’est que conti-nue par morceaux sur I, si a est un point de I, il existe une unique pri-mitive de f sur I qui s’annule en a. C’est l’application x 7−→

∫ x

af(t)dt .

Et, pour toute primitive h de f sur I,∫ x

af(t)dt = h(x)− h(a).

Corollaire : Si f est continue sur I et de classe C1 par morceaux sur I,alors, pour tous points a et x de I,

f(x) = f(a) +∫ x

af ′(t)dt .

2 Intégration par parties, changement de va-riables

2.1 Intégration par parties

Si f et g sont de classe C1 sur I à valeurs réelles ou complexes, si a et b sontdeux éléments de I,∫ b

af(t)g′(t)dt = [f(t)g(t)]ba −

∫ b

af ′(t)g(t)dt .

Si f et g sont continues et C1 par morceaux sur I, à valeurs dans E et Frespectivement, si B est bilinéaire de E×F dans G, si a et b sont deux pointsde I, ∫ b

aB(f(t), g′(t))dt = [B(f(t), g(t))]ba −

∫ b

aB(f ′(t), g(t))dt .

Cette formule peut être utilisée pour le calcul d’intégrales, la déterminationde relations de récurrence (intégrale dépendant d’un paramètre entier), ladétermina- tion d’une limite ou d’un équivalent pour une intégrale dépendantd’un paramètre, l’existence d’une intégrale “impropre”, etc. . .

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2.2 Changement de variable

Soit f une fonction continue sur un intervalle I de R, à valeurs dans unespace vectoriel de dimension finie E. Soit φ une fonction de classe C1 surun segment [α, β] de R, à valeurs dans I. Alors∫ φ(β)

φ(α)f(t)dt =

∫ β

αf(φ(u))φ′(u)du .

Si f est une fonction continue par morceaux sur un intervalle I de R, à valeursdans un espace vectoriel de dimension finie E, si φ est une fonction de classeC1 sur un segment [α, β] de R, à valeurs dans I, strictement monotone, alors∫ φ(β)

φ(α)f(t)dt =

∫ β

αf(φ(u))φ′(u)du .

On remarquera deux choses : le changement de variable, c’est t = φ(u), nonpas u = ψ(t). Si f est continue, il n’a pas besoin d’être bijectif, encore moinsd’être un difféomorphisme.Cette formule peut être utilisée pour le calcul d’intégrales, l’étude asympto-tique d’une intégrale dépendant d’un paramètre, les recherches d’intégrabilitéou d’existence d’une intégrale “impropre”, etc. . .Les changements de variablesles plus simples (changements de variables affines) sont aussi les plus utiles :ils permettent d’exploiter des propriétés de parité ou de périodicité de la fonc-tion intégrée, de ramener le segment d’intégration au segment [0, 1] et ainside permettre l’étude d’intégrales dépendant d’un paramètre,. . .

3 Inégalité des accroissements finis

3.1 Inégalité

Théorème : Soit f une application continue sur [a, b], de classe C1 sur ]a, b[.On suppose que, pour tout élément t de ]a, b[, ||f ′(t)|| ≤M . Alors

||f(b)− f(a)|| ≤M |b− a| .

Si f est une application continue sur [a, b], de classe C1 par morceaux sur]a, b[, et si, pour tout élément t de ]a, b[, ||f ′(t)|| ≤M . Alors

||f(b)− f(a)|| ≤M |b− a| .

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On peut donner le résultat plus général : si f et g sont des applicationscontinues sur [a, b], de classe C1 par morceaux sur ]a, b[, à valeurs dans Eet R respectivement, si ‖f‖ ≤ g sur ]a, b[, alors

‖f(b)− f(a)‖ ≤ g(b)− g(a) .

3.2 Théorème limite de la dérivée

Théorème : Soit f une application continue sur le segment [a, b], de classeC1 sur ]a, b]. On suppose que f ′ a une limite (finie) en a. Alors f estde classe C1 sur [a, b].

Extension : Si f est continue sur [a, b], de classe Ck sur ]a, b], et si, pourtout i entre 1 et k, Dif a une limite (finie) en a, alors f est de classeCk sur [a, b].

4 Formules de Taylor

4.1 Formule de Taylor avec reste sous forme intégrale

Notation : Soit f de classe Ck sur un intervalle I de R (à valeurs dans unespace de dimension finie), et soit a un point de I. Le polynôme deTaylor de f en a à l’ordre k est, au point x :

Tk(x) =k∑i=0

(x− a)i

i!Dif(a)

(il s’agit d’ailleurs plutôt d’une fonction polynôme).

Théorème : Soit f de classe Ck+1 sur un intervalle I de R (k ≥ 0), à valeursdans un espace de dimension finie. Soit a un point de I. Alors, pourtout x de I,

f(x) = Tk(x) +Rk(x) où Rk(x) =∫ x

a

(x− t)k

k!Dk+1f(t)dt.

Autrement dit,

f(x) =k∑i=0

(x− a)i

i!Dif(a) +

∫ x

a

(x− t)k

k!Dk+1f(t)dt

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Utilisation : mjoration de la différence entre une fonction et son polynômede Taylor en un point donné (en majorant le reste-intégrale), développabilitéen série entière, etc. . .On transforme souvent le reste par changements devariables, par exemple pour ramener le segment d’intégration à [0, 1]

4.2 Inégalité de Taylor-Lagrange

Théorème : Soit f de classe Ck+1 sur un intervalle I de R (k ≥ 0), à valeursdans un espace de dimension finie. Soit a un point de I. Alors, pourtout x de I,

‖f(x)−k∑i=0

(x− a)i

i!Dif(a)‖ ≤ |x− a|

k+1

(k + 1)!sup[a,x]

‖Dk+1f‖

Remarquons que |x− a|n =o (n!) ; si les dérivées successives de f sont“bien contrôlées, on aura donc des résultats de convergence de la suitedes polynômes de Taylor vers f .

4.3 Développements limités, formule de Taylor-Young

4.3.1 Définition

Soit f une application d’un intervalle I de R dans un espace de dimensionfinie E. Soit a un point de I. On dit que f admet un développement limité àl’ordre n au voisinage de a lorsqu’il existe des éléments A0, A1, . . . , An dansE tels que

f(x)−n∑k=0

(x− a)kAk = ox→a

((x− a)n)

Les Ak sont alors uniques ; P (x − a) =n∑k=0

(x − a)kAk est la partie régulière

du développement limité.Remarquons que l’existence d’un développement limité à l’ordre 0 en un pointéquivaut à l’existence d’une limite en ce point. Si f admet un développementlimité en a, elle est donc prolongeable par continuité en a.

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4.3.2 Opérations sur les développements limités :

Si f et g admettent au voisinage de a des développements limités de parties

régulières respectivesn∑k=0

(x− a)kAk etn∑k=0

(x− a)kBk, alors f + λg admet un

développement limité au voisinage de a de partie régulièren∑k=0

(x− a)k(Ak +

λBk).Si f est une application de I dans J (I et J désignant deux intervalles deR) admettant un développement limité à l’ordre n au voisinage de a (a ∈ I),si g est une application de J dans E admettant un développement limité àl’ordre n en f(a), alors g ◦ f admet un développement limité à l’ordre n ena.

4.3.3 Développement limité d’une primitive

Théorème : Soit f une application d’un intervalle I de R à valeurs dansun espace de dimension finie E, continue sur I et admettant un déve-loppement limité à l’ordre n en a (a ∈ I) :

f(x) =n∑k=0

(x− a)kAk + ox→a

((x− a)n)

Soit F une primitive de f sur I. Alors F admet un développementlimité à l’ordre n+ 1 en a, obtenu en intégrant celui de f :

F (x) = F (a) +n∑k=0

(x− a)k+1

k + 1Ak + o

x→a((x− a)n+1)

4.3.4 Théorème de Taylor-Young :

Soit f une application de classe Ck d’un intervalle I de R dans un espace vec-toriel E de dimension finie. Soit a un point de I. Alors f admet au voisinagede a le développement limité à l’ordre k suivant :

f(x) =k∑i=0

(x− a)i

i!Dif(a) + o

x→a((x− a)k)

que l’on peut aussi écrire

f(a+ h) =k∑i=0

hi

i!Dif(a) + o

h→0(hk)

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4.3.5 Développement limité d’une dérivée

Remarque 1 : Soit f définie sur I, continue en un point a de I. L’existenced’un développement limité à l’ordre 1 en a équivaut à la dérivabilité def en a.

Remarque 2 : Il se peut qu’une fonction admette des développements limi-tés à tous ordres en a, qu’elle soit dérivable et que sa dérivée n’admettepas de développement limité en a. Il faut donc se méfier des dérivationsde développements limités.

Remarque 3 : Si f admet un développement limité à l’ordre n en a, sif ′ admet un développement limité à l’ordre n − 1 en a, alors la par-tie régulière du développement de f ′ est obtenue en dérivant celle dudéveloppement limité de f .

5 Suites de fonctions de classe Ck

Observons d’abord que, contrairement à la continuité, la classe Ck (k ≥ 1) nese transmet pas par convergence uniforme. D’ailleurs, le théorème de Weiers-trass dit que toute fonction continue sur un segment est limite uniforme surce segment d’une suite de fonctions polynômes, donc de classe C∞. Or unefonction continue n’est pas en général de classe Ck avec k ≥ 1. Il y a mêmedes fonctions continues qui ne sont dérivables en aucun point, tout en étantlimites uniformes d’une suite de fonctions de classe C∞. On retiendra que ladérivation est une opération déstabilisante : une fonction peut être bornéesans que sa dérivée le soit, admettre des développements limités à tous ordressans que sa dérivée en admette un même à l’ordre 0, et, si (fn) est une suitede fonctions de classe C1 qui converge uniformément, on ne peut rien direde la suite de fonctions (f ′n). En revanche, la primitivation est une opérationrégularisante.

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5.1 Convergence uniforme et intégration sur un seg-ment

Proposition Soit (fn)n∈N une suite de fonctions continues par morceaux surun segment [a, b], à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimensionfinie E. On suppose que la suite (fn) converge uniformément vers f , etque f est continue par morceaux. Alors la suite

(∫[a,b]

fn)n∈N

converge

vers∫[a,b]

f .

5.2 Convergence uniforme et primitivation

Proposition Soit (fn)n∈N une suite de fonctions continues par morceauxsur un intervalle I, à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimen-sion finie E. On suppose que la suite (fn) converge uniformémentsur tout segment inclus dans I vers f , et que f est continue parmorceaux. Soit a ∈ I, F la primitive de f qui s’annule en a, et, pourn ∈ N, Fn la primitive de fn qui s’annule en a. Alors la suite (Fn)

converge uniformément sur tout segment inclus dans I vers F .

Autrement dit, la convergence uniforme sur tout segment est conservée parprimitivation, à condition de prendre les primitives s’annulant toutes en unmême point donné.

5.3 Suite de fonctions de classe C1

Proposition Soit (fn)n∈N une suite de fonctions définies sur un intervalleI, à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie E. Onsuppose :

1. Les fonctions fn sont de classe C1 sur I

2. La suite (fn)n∈N converge simplement sur I

3. La suite (f ′n)n∈N converge uniformément sur tout segment inclusdans I

Alors f , limite de la suite (fn), est de classe C1 sur I. Sa dérivée estla limite de la suite (f ′n). Et la convergence de la suite (fn) vers f estuniforme sur tout segment.

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5.4 Suite de fonctions de classe Ck (k ≥ 1)

Proposition Soit (fn)n∈N une suite de fonctions définies sur un intervalleI, à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie E. Onsuppose :

1. Les fonctions fn sont de classe Ck sur I

2. Chaque suite (f (j)n )n∈N (0 ≤ j ≤ k − 1) converge simplement sur

I

3. La suite (f (k)n )n∈N converge uniformément sur tout segment inclus

dans I

Alors f , limite de la suite (fn), est de classe Ck sur I. Sa dérivée j-ièmeest, pour tout j entre 1 et k, la limite de la suite (f (j)

n ).

5.5 Suite de fonctions de classe C∞

Proposition Soit (fn)n∈N une suite de fonctions définies sur un intervalleI, à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie E. Onsuppose :

1. Les fonctions fn sont de classe C∞ sur I

2. La suite (fn)n∈N converge simplement sur I

3. Chaque suite (f (j)n )n∈N (j ≥ 1) converge uniformément sur tout

segment inclus dans I

Alors f , limite de la suite (fn), est de classe C∞ sur I. Sa dérivée j-ièmeest, pour tout j, la limite de la suite (f (j)

n ).

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Table des matières

1 Intégrale et primitive 1

1.1 Symbole∫ b

af(t)dt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Intégrale et primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Intégration par parties, changement de variables 32.1 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Inégalité des accroissements finis 43.1 Inégalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2 Théorème limite de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4 Formules de Taylor 54.1 Formule de Taylor avec reste sous forme intégrale . . . . . . . 54.2 Inégalité de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.3 Développements limités, formule de Taylor-Young . . . . . . . 6

4.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.3.2 Opérations sur les développements limités : . . . . . . . 74.3.3 Développement limité d’une primitive . . . . . . . . . . 74.3.4 Théorème de Taylor-Young : . . . . . . . . . . . . . . . 74.3.5 Développement limité d’une dérivée . . . . . . . . . . . 8

5 Suites de fonctions de classe Ck 85.1 Convergence uniforme et intégration sur un segment . . . . . . 95.2 Convergence uniforme et primitivation . . . . . . . . . . . . . 95.3 Suite de fonctions de classe C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95.4 Suite de fonctions de classe Ck (k ≥ 1) . . . . . . . . . . . . . 105.5 Suite de fonctions de classe C∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

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