Interfitrence et modulation spectrale

CLAUDE DELISLE ET JEAN-MARIE ST-ARNAUD' Laboratoire d'optique et Hyperfrdquences, Ddparlement de Physique, UniversitP Laval, Qudbec, Qudbec

R e ~ u le 28 novembre 1969

Mandel a montre que la densitt spectrale subit une modulation cosinusoidale d'amplitude relative 2(iliz)11zYlz(0)/(il + i2) lorsque la difference de marche est de beaucoup suptrieure a la longueur de coherence dans une experience d'interference en lumiere quasi-monochromatique, polarisee et partielle- ment coherente. On montre que cette conclusion s'applique egalement pour des differences de marche plus petites ou du m&me ordre de grandeur que la longueur de coherence si I'on dtfinit de f a ~ o n appro- prite la visibilite de la modulation de la densite spectrale. L'on considere les deux aspects de la modula- tion de la densite spectrale, a savoir : en fonction de la difference de marche a une frequence fixe vo et en fonction de la frequence a une difference de marche determinee cTo.

It has been _shown by Mandel that the spectral density shows a cosine modulation with relative amplitude 2(i!I,)11ZylZ(0)/(il + i z ) when the optical path difference is much longer than the coherence length in a qulte general superposition experiment of two quasi-monochromatic, polarized, and partially coherent beams of light. It is shown here that this is equally true for path differences smaller or equal to the coherence length. This conclusion is reached by considering the properly defined visibility of the modulation of the spectral density. Both aspects of the modulation of the spectral density are considered: modulation as a function of path difference for a fixed frequency vo and modulation as a function of frequency for a fixed path difference cTo.

Canadian Journal o f Physics, 48, 1214 (1970)

1. Introduction

Le problkme de la modulation spectrale ob- tenue par superposition de deux signaux a t t t abordt par plusieurs auteurs (Alford et Gold 1958; Givens 1961 ; Mandel 1962; Baczynski et Oster 1965). Mandel (1962), en particulier, a consider6 une experience de superposition assez gentrale, qui consiste a superposer, avec une difference de marche variable cT, deux faisceaux lumineux quasi-monochromatiques, polarises et partiellement cohtrents. Mandel a trait6 le problkme dans le cadre de la thtorie de la coherence tel qu'tnoncte par Born et Wolf (1959). Les deux faisceaux qu'il reprtsente respectivement par Vl(t) et V,(t - T), ont mCme fonction d'autocorrtlation normaliste y, ,(T) et mCme densitt spectrale normaliste 4, ,(v). Le rtsultat de la superposition est donne par V3(t).

En formant la fonction d'autocorrtlation de V3(t), on obtient

oh f ,, f,, et f , sont respectivement les intensitts

lAdresse actuelle: Departement de Physique, Uni- versite du Quebec, Trois-Rivieres, P.Q., Canada.

moyennes des deux faisceaux incidents, et du faisceau resultant. y,,(7) est la fonction de corrtlation normaliste entre les deux faisceaux incidents et y 1 ( ~ ) la fonction d'autocorrtlation normaliste.

Si les deux faisceaux incidents posskdent la puretk spectrale mutuelle (Mandel 1961), on peut simplifier l'expression [2] en posant que

[3 I ~12(7) = ~12(0)~11(7)

On prend ensuite la transformte de Fourier de chacun des termes de l'expression [2] simplifite pour obtenir l'expression qui nous inttresse plus particulikrement,

[41 f3+33(v) = [fl + f, + 2(f ,f,) '/2~l,(0)

x cos (2nvT)l+11(v)

Mandel a montrt que lorsque la difftrence de marche cT entre les deux faisceaux est petite par rapport A la longueur de cohtrence, c'est-a-dire AvT << 1, on obtient la loi d'interftrence bien connue entre deux faisceaux partiellement co- herent~.

[5a] f 3 = f , + I, + 2(flf,)1~2yl,(0)

x cos (2nvcT)

[5bl +33(v) = +11(v)

oh v, est la frtquence optique sur laquelle est

Can

. J. P

hys.

Dow

nloa

ded

from

ww

w.n

rcre

sear

chpr

ess.

com

by

CO

NC

OR

DIA

UN

IV o

n 11

/11/

14Fo

r pe

rson

al u

se o

nly.

DELISLE ET ST-ARNAUD: INTERFERE

centrke la distribution spectrale +, ,(v) de largeur Av .

Par ailleurs, lorsque AvT >> 1, c'est-a-dire lorsque la diffkrence de marche cT est grande comparativement i la longueur de cohkrence c/Av, l'on obtient

Dans ce cas. l'intensitk rksultante ne varie Das en fonction de T, tandis que la densitk spectrale est modulke cosinusoi'dalement pour une diffkrence de marche cT arbitrairement longue.

Le but de cet article est de montrer au'il est avantageux de traiter le probl6me en termes de visibilitk de la modulation de la densitk spectrale puisqu'on peut ainsi mettre en kvidence le comportement de la densitk spectrale pour une diffkrence de marche quelconque, en particulier pour une diffkrence de marche cT plus petite ou de l'ordre de la longueur de cohkrence, c'est-i- dire AvT 5 1.

On peut envisager la visibilitk de la modulation de la densitk spectrale sous deux aspects: d'une part, la visibilitk de la modulation de la densitk spectrale, a une frkquence fixe v,, en foilction de la diffkrence de marche cT, d'autre part la visibilitk de la modulation de la densitk s~ectrale. a une difference de marche fixe cT,, en fonction de la frkquence v. On ne trouve pas cette dualitk en ce qui concerne la visibilitk des franges d'interfkrence laquelle, est uniquement fonction de la diffkrence de marche cT. On abordera dans ce qui suit, ces deux aspects de la visibilitk de la modulation de la densitk spectrale.

2. VisibilitC de la modulation de la densit6 spectrale

On dkfinit la visibilitk a la mani6re de Michelson,

Ainsi dkfinie, la visibilitk de la modulation de la densitk spectrale, aussi bien en fonction de la frkquence qu'en fonction de la diffkrence de

LNCE ET MODULATION SPECTRALE 1215

marche, prend une forme simple. En effet, on dkmontre facilement que la visibilitk, a la frkquence fixe v,, en fonction de la diffkrence de marche cT, devient

A la frkquence fixe v,, la visibilitk de la densitk spectrale est donc indkpendante de la diffkrence de marche, que celle-ci soit plus petite, plus grande ou du m&me ordre de grandeur que la longueur de cohkrence.

Des expressions [5] et [6], lesquelles sont respectivement valides pour AvT << 1 et AvT >> 1, on comprend aiskment que pour des diffkrences de marche petites par rapport i la longueur de cohkrence, f , seul varie cosinusoPdalement dans l'expression [4] tandis que $,,(v,) demeure constant en fonctioil de T. Par contre, pour des diffkrences de marche grandes par rapport a la longueur de cohkrence, f , est constant en fonction de T tandis que +,,(v,) varie cosinusoi'dalement. Dans la rkgion intermkdiaire, soit AvT z 1, c'est-a-dire Dour des diffkrences de marche de l'ordre de laLlongueur de cohkrence, f , et $,,(v,) varient tous deux. Cependant, que f , varie en fonction de T tandis que $,(v,) est constant ou vice-versa, ou encore que I, et $,,(v,) varient simultankment en fonction de T, toujours la visibilitk demeure constante d'apr6s l'expression ~91.

En ce aui concerne la visibilitk 5 une diffkrence de marche fixe cT,, en fonction de la frkquence, on dkmontre sans difficult6 que

Comme pour l'expression [9] on dkduit que la visibilitk est indkpendante de la variable, soit la frkquence.

I1 est kvident que l'on peut difficilement parler de visibilitk de la densitk spectrale en fonction de la frkquence lorsque la diffkrence de marche cT, est infkrieure a la longueur de coherence. En fait l'expression [lo] prend un sens lorsque, a l'intkrieur du domaine couvert par $,,(v), il existe deux frkquences v,,, et v,,, auxquelles correspondent deux valeurs de [f,$,,(v)]/[$, ,(v)] qui soient respectivement maximum et minimum. Toutefois, on peut imaginer un spectre de raies couvrant tout le domaine du visible, oh l'expres-

Can

. J. P

hys.

Dow

nloa

ded

from

ww

w.n

rcre

sear

chpr

ess.

com

by

CO

NC

OR

DIA

UN

IV o

n 11

/11/

14Fo

r pe

rson

al u

se o

nly.

1216 CANADIAN JOURNAL O F PHYSICS. VOL. 48, 1970

sion [lo] s'applique, m&me si To est tel que pour toute raie de largeur Av, AvT, << 1. Dans ces conditions, pour une diffkrence de chemin optique tris infkrieure la longueur de cohkrence propre a chacune des raies, l'une ou plusieurs de ces derniires correspondent a des valeurs maximum et minimum de [i3$33(~)]/[$11(~)]. I1 est ai~lsi possible d'kliminer une ou plusieurs raies d'un spectre de raies au moyen d'un interfiromitre dans lequel on ktablit la diffkrence de marche approprike.

Comme d'apris les expressions [9] et [lo], V(T) = V(v), on peut reprksenter la visibilitk de la modulation de la densitk spectrale tant en fonction de la diffkrence de marche que de la frequence, par une seule expression, soit

I1 est intkressant de noter que la visibilitk de la densitk spectrale a m&me valeur que la visi- bilitk maximum des franges d'interfirence, laquelle correspond B une diffkrence de marche de beaucoup infkrieure B la longueur de cohirence.

Remerciements

Ce travail a kt6 rendu possible gr2ce B des subventions du Conseil National de Recherches du Canada.

ALFORD, W. P. et GOLD, A. 1958. Arner. J. Phys. 26,481. BACZYNSKI, A. et OSTER, G. 1965. J. Opt. Soc. Arner. 55, , "?<

1 J L J .

BORN, M. et WOLF, E. 1959. Principles of optics (The Pergamon Press, Ltd., London).

GIVENS, M. P. 1961. J. Opt. Soc. Amer. 51, 1030. MANDEL, L. 1961. J. Opt. Soc. Arner. 51, 1342.

1962. J. Opt. Soc. Amer. 52, 1335.

Can

. J. P

hys.

Dow

nloa

ded

from

ww

w.n

rcre

sear

chpr

ess.

com

by

CO

NC

OR

DIA

UN

IV o

n 11

/11/

14Fo

r pe

rson

al u

se o

nly.