Interpolación

Forma de Lagrange para interpolación

polinomial

Dra. Nélida Beatriz Brignole

Aproximación de Funciones

Interpolación

Cuadrados Mínimos

Dra. Nélida Beatriz Brignole 3Computación Científica

Ajuste de Datos

Dra. Nélida Beatriz Brignole 4Computación Científica

Cuadrados Mínimos

Dra. Nélida Beatriz Brignole 5Computación Científica

Interpolación

niyxp

xp

yxn

ii

ii

0)(

:que talposible mínimo grado de )( polinomioun es

datos los interpola que polinomioun

),(dato puntos1 de tablauna Dada

Dra. Nélida Beatriz Brignole 6Computación Científica

Teorema (existencia y unicidad)

niyxp

np

yyy

xxx

iin

n

n

n

0)(

:que tal sumo lo a grado de polinomio únicoun hay

,,,sarbitrario valorespara entonces

distintos, reales númerosson ,,, Si

10

10

Dra. Nélida Beatriz Brignole 7Computación Científica

Interpolación

Lagrange

Splines

Dra. Nélida Beatriz Brignole 8Computación Científica

Fórmula de Interpolación

nnnnnn

n

n

n

ii

nn

y

y

y

y

a

a

a

a

xxx

xxx

xxx

xxx

niyxp

xaxaxaaxp

2

1

0

2

1

0

2

2222

1211

0200

2210

1

1

1

1

0)(

...)(

Dra. Nélida Beatriz Brignole 9Computación Científica

Características

Matriz de coeficientes: Matriz de Vandermonde

Mal condicionada

Dra. Nélida Beatriz Brignole 10Computación Científica

Forma de Lagrange

0)(

1)(:nObservació

0)(

)()(

0

0

ji

ii

n

ijj ji

ji

n

kkkn

xl

xl

nixx

xxxl

xlyxp

Dra. Nélida Beatriz Brignole 11Computación Científica

Forma de Lagrange• polinomio de interpolación de grado n para una tabla

con (n+1) puntos (asumiendo abscisas xi distintas)

• n diferentes formas de construir este polinomio (s algoritmos). Una alternativa es Lagrange.

El polinomio de Lagrange se escribe como:

n

iiinn xyxyxyxyxp

01100 )()(...)()()(

Donde i(x) con 0 i n son polinomios de grado n con la propiedad:

ji

jix ijji 1

0)(

(1.a)

(1.b)Delta de Kronecker

Dra. Nélida Beatriz Brignole 12Computación Científica

Construcción del polinomio

La propiedad anterior asegura que se cumplan las condiciones de interpolación.

iii yx )( 0 i n

Derivemos la forma de los polinomios de Lagrange:• Para satisfacer (1.a) i(x) debe tomar la forma:

))...()()...(()( 110 niiii xxxxxxxxkx (2)

• Para satisfacer (1.b) debe ser:

))...()()...(()(1 110 niiiiiiiii xxxxxxxxkx

Dra. Nélida Beatriz Brignole 13Computación Científica

Construcción del polinomio

n

ik

kki

n

ik

kk

i

xx

xx

x

0

0

)(

)(

)(

Reemplazando (3) en (2):

))...()()...((

1

110 niiiiiii xxxxxxxx

k

(3)

Dra. Nélida Beatriz Brignole 14Computación Científica

Construcción del polinomio

Puede probarse que:

1)(0

n

ii x

Lo cual puede utilizarse como chequeo aritmético cuando calculamos a mano.

Dra. Nélida Beatriz Brignole 15Computación Científica

Representación para abscisas equidistantes

Suele haber tablas matemáticas en las que:

ihxxi 0

Se introduce una nueva variable s , que mide la distancia entre x y x0 en unidades de h:

i

Si tenemos en cuenta lo siguiente:

shxx 0

hkixx

hksxx

ki

k

)(

)(

Dra. Nélida Beatriz Brignole 16Computación Científica

Representación para abscisas equidistantes

n

ik

kn

ik

kki

n

ik

kk

i ki

ks

xx

xx

x0

0

0

)(

)(

)(

)(

)(

OBS: La representación es independiente de h

Dra. Nélida Beatriz Brignole 17Computación Científica

Existencia y unicidad del polinomio de interpolación

Teorema:

Si x0, x1,..., xn son números reales distintos, entonces para valores arbitrarios y0, y1,..., yn polinomio pn de grado n tal que:

iin yxp )( (0 i n)

Demostración:

a) UNICIDAD (por contradicción)

Supongamos que existen dos polinomios distintos pn(x) y qn(x).

Entonces, grado(pn(x)) n y

grado(qn(x)) n

Dra. Nélida Beatriz Brignole 18Computación Científica

Demostración

Si generamos el polinomio diferencia:

)()()( xqxpxd nnn

grado(dn(x)) n (*)

Como ambos polinomios interpolan a los mismos datos,

iin

iin

yxq

yxp

)(

)(0 i n

0)()()( iiininin yyxqxpxd

x0, x1,..., xn son (n+1) raíces del polinomio dn(x)

Dra. Nélida Beatriz Brignole 19Computación Científica

Demostración de unicidad

donde grado(dn(x)) = n +1 + grado(z(x)) (1)

ó bien

z(x) 0 (2)

Si se verifica (1)

Þ Como grado(z(x)) 0 grado(dn(x)) n+1 (**)

Si comparo (*) con (**) una contradicción

Y lo que ocurre es (2)

dn(x) = 0 pn(x) = qn(x) CQD

)())...()(()( 10 xzxxxxxxxd nn

Dra. Nélida Beatriz Brignole 20Computación Científica

Demostración de existencia

b) EXISTENCIA (por inducción sobre el grado del polinomio)• Base: n=0 (obvia)

(x0,y0) p0(x0) = cte (grado 0)

p0(x0) = y0 p0(x0) = y0 = cte• Hipótesis inductiva:

asumo que

pk-1(x) de grado a lo sumo (k-1) tal que

pk-1(xi)=yi 0 i k-1 qpq’

pk-1(x) , grado (pk-1(x)) k tal que

pk(x)=yi 0 i k-1

Dra. Nélida Beatriz Brignole 21Computación Científica

Demostración de existencia

Construyo:

))...()(()()( 1101 kkk xxxxxxcxpxpObs: pk(x) interpola los datos (xi, yi) 0 i k-1

determinemos el coeficiente c de modo tal que pk(xk)= yk

Reemplazando queda:))...()(()()( 1101 kkkkkkkkk xxxxxxcxpyxp

))...()((

)(

110

1

kkkk

kkk

xxxxxx

xpyc

Como por hipótesis xk yj k j el polinomio es 0 c

CQD