Interseccion de funciones

Araceli Arjona Muñoz

INTERSECCIÓN DE FUNCIONES

INTERSECCIÓN DE DOS RECTAS

y= m1x+n1

y= m2x+n2

INTERSECCIÓN DE UNA RECTA Y UNA PARÁBOLA

INTERSECCIÓN DE DOS PARÁBOLAS

y= mx+ny= ax2+bx+c

y= a1x+b1+c1

y= a2x+b2+c2

INTERSECCIÓN DE DOS RECTASLa intersección de dos rectas la podemos calcular gráfica y

analíticamente:

GRÁFICAMENTE:a) Representamos la recta

correspondiente a la 1ª ecuación

b) Representamos la recta correspondiente a la 2ª ecuación

c) La solución es el punto de corte de ambas rectas (que puede tener o no)

ANALÍTICAMENTE:a) Resolvemos el sistema de

ecuaciones por uno de los siguientes métodos:

• Sustitución• Igualación• Reducciónb) La solución es el par de

valores (x,y) que verifica las dos ecuaciones del sistema

GRÁFICAMENTENos podemos encontrar 3

casos:

Rectas que se cortan en un punto

Rectas coincidentes Rectas paralelas

La solución es el punto (4,2)

Tiene infinitas soluciones

No tiene solución

ANALÍTICAMENTEPodemos resolver el sistema de ecuaciones por cualquiera de

los 3 métodos:

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

a) En la ecuación más sencilla se despeja la incógnita más fácil de despejar

b) Se sustituye su valor en la otra ecuación

c) Se resuelve la ecuación resultante

d) El valor obtenido se sustituye en la ecuación donde estaba despejada la 1ª incógnita

EJEMPLO

a) y=8-2xb) 5x-4(8-2x)=7

5x-32+8x=7c) 13x=39

x=3d) x=3 en y=8-2x

y=8-2·3y=8-6y=2

2x+y=85x-4y=7

Solución:x=3, y=2


los 3 métodos:

MÉTODO DE IGUALACIÓN

a) Se despeja la misma incógnita, la que resulte más fácil, en las dos ecuaciones

b) Se igualan los valores obtenidos

c) Se resuelve la ecuación resultante

d) El valor obtenido se sustituye en la ecuación más sencilla donde estaba despejada la otra incógnita

EJEMPLO

a) y=5-3xy=4x-9

b) 5-3x=4x-9-7x=-14

c) 7x=14x=2

d) x=2 en y=5-3xy=5-3·2y=5-6y=-1

3x+y=5-4x+y=-9

Solución:x=2, y=-1


los 3 métodos:

MÉTODO DE REDUCCIÓNa) Mediante multiplicaciones

apropiadas se obtiene un sistema equivalente con los coeficientes de una misma incógnita opuestos

b) Se suman las dos ecuacionesc) Se resuelve la ecuación

resultanted) El valor obtenido se

sustituye en la ecuación más sencilla y se halla el valor de la otra incógnita

EJEMPLO

a) 7x-6y=-11 ·(-1)10x+6y=28 ·(2)

b) 17x=17c) x=1d) x=1 en 5x+3y=14

5·1+3y=145+3y=143y=9y=3

-7x+6y=115x+3y=14

Solución:x=1, y=3

EJEMPLOSIntersección de dos rectas que se cortan en un punto

y=2x-1-2x-2y=-1

Resolvemos por el método de sustitución:

a) y=2x-1b)-2x-2(2x-1)=-1

-2x-4x+2=-1c)-6x=-3

x=1/2d) x=1/2 en y=2x-1

y=2·(1/2)-1y=1-1y=0

Solución:Se cortan en el punto

(1/2,0)

EJEMPLOSIntersección de dos rectas coincidentes

y=x+22y=2x+4

Resolvemos por el método de igualación:

a) y=x+2y=2x/2+4/2y=x+2

b) x+2=x+20=0

Esto se verifica para todo valor de x, luego tiene infinitas soluciones

Solución:Se cortan en infinitos

puntos

EJEMPLOSIntersección de dos rectas paralelas

y=x+2y=x+1

Resolvemos por el método de reducción:

a) y=x+2 ·(-1)y=x+1-y=-x-2y=x+1

b) Sumamos y nos queda:0=0-10=-1

Lo que es imposible, luego este sistema no tiene solución

Solución:No se cortan en

ningún punto

INTERSECCIÓN DE DOS PARÁBOLASLa intersección de dos parábolas la podemos calcular gráfica

y analíticamente:

GRÁFICAMENTE:a) Representamos la parábola


b) Representamos la parábola correspondiente a la 2ª ecuación

c) La solución son los puntos de corte de ambas parábolas, que pueden ser 2, 1 o ninguno


ecuaciones b) La solución serán los pares

(x1,y1) y (x2,y2) si se cortan en dos puntos, el par (x,y) si se cortan en un punto y no tendrá solución si no se cortan


casos:

Parábolas que se cortan en dos puntos

Parábolas que se cortan en un punto

Parábolas que no se cortan

Tiene dos soluciones:(1,3) y (-1,3)

Tiene una solución (0,0)

No tiene solución

ANALÍTICAMENTE

Para resolver este sistema debes hacer los siguientes pasos:

a) Despejar la variable y enambas ecuaciones

b) Aplicar el método de reducción(multiplicas la primeraecuación por (-1) y le sumas lasegunda), de esta manera se tevan las “y” y te queda unaecuación de 2º grado.

c) Hallas las soluciones x1 y x2 dela ecuación de 2º grado.

d) Sustituyes los valores de x1 yx2 en la ecuación inicial quesea más fácil y obtienes dosvalores de “y”, y1 e y2.

EJEMPLOa) y=x2-3x+2

y=2x2-3x+1b) –y=-x2+3x-2

y=2x2-3x+1Las sumamos y tenemos:

0=x2-1c) x2=1

x1=1, x2=-1d) x1=1 en y=x2-3x+2

Luego y1=12-3·1+2=0x2=-1 en y=x2-3x+2Luego y2= (-1)2-3·(-1)+2=6

Tenemos las soluciones (1,0) y (-1,6)

INTERSECCIÓN DE RECTA Y PARÁBOLALa intersección de recta y parábola la podemos calcular

gráfica y analíticamente:

GRÁFICAMENTE:a) Representamos la parábola


b) Representamos la recta correspondiente a la 2ª ecuación

c) La solución son los puntos de corte de ambas funciones, que pueden ser 2, 1 o ninguno


ecuaciones b) La solución serán los pares

(x1,y1) y (x2,y2) si se cortan en dos puntos, el par (x,y) si se cortan en un punto y no tendrá solución si no se cortan


casos:

Se cortan en dos puntos: SECANTES

Se cortan en un punto: TANGENTES

No se cortan: EXTERIORES

Tiene dos soluciones

Tiene una solución No tiene solución

ANALÍTICAMENTEPara resolver este sistema debes

hacer los siguientes pasos:a) Despejar la variable y en

ambas ecuacionesb) Aplicar el método de reducción

(multiplicas la primeraecuación por (-1) y le sumas lasegunda), de esta manera se tevan las “y” y te queda unaecuación de 2º grado.

c) Hallas las soluciones x1 y x2 dela ecuación de 2º grado.

d) Sustituyes los valores de x1 yx2 en la ecuación inicial quesea más fácil y obtienes dosvalores de “y”, y1 e y2.

EJEMPLOa) y=-x+1

y=x2+2x+1b) –y=x-1

y=x2+2x+1Las sumamos y tenemos:

0=x2+3xc) x2+3x=0

x(x+3)=0x1=0 y x2=-3

d) x1=0 en y=-x+1Luego y1=-0+1=1x2=-3 en y=-x+1Luego y2=-(-3)+1=4

Tenemos las soluciones (0,1) y(-3,4)

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