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interseccion
Araceli Arjona Muñoz
INTERSECCIÓN DE FUNCIONES
INTERSECCIÓN DE DOS RECTAS
y= m1x+n1
y= m2x+n2
INTERSECCIÓN DE UNA RECTA Y UNA PARÁBOLA
INTERSECCIÓN DE DOS PARÁBOLAS
y= mx+ny= ax2+bx+c
y= a1x+b1+c1
y= a2x+b2+c2
INTERSECCIÓN DE DOS RECTASLa intersección de dos rectas la podemos calcular gráfica y
analíticamente:
GRÁFICAMENTE:a) Representamos la recta
correspondiente a la 1ª ecuación
b) Representamos la recta correspondiente a la 2ª ecuación
c) La solución es el punto de corte de ambas rectas (que puede tener o no)
ANALÍTICAMENTE:a) Resolvemos el sistema de
ecuaciones por uno de los siguientes métodos:
• Sustitución• Igualación• Reducciónb) La solución es el par de
valores (x,y) que verifica las dos ecuaciones del sistema
GRÁFICAMENTENos podemos encontrar 3
casos:
Rectas que se cortan en un punto
Rectas coincidentes Rectas paralelas
La solución es el punto (4,2)
Tiene infinitas soluciones
No tiene solución
ANALÍTICAMENTEPodemos resolver el sistema de ecuaciones por cualquiera de
los 3 métodos:
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
a) En la ecuación más sencilla se despeja la incógnita más fácil de despejar
b) Se sustituye su valor en la otra ecuación
c) Se resuelve la ecuación resultante
d) El valor obtenido se sustituye en la ecuación donde estaba despejada la 1ª incógnita
EJEMPLO
a) y=8-2xb) 5x-4(8-2x)=7
5x-32+8x=7c) 13x=39
x=3d) x=3 en y=8-2x
y=8-2·3y=8-6y=2
2x+y=85x-4y=7
Solución:x=3, y=2
ANALÍTICAMENTEPodemos resolver el sistema de ecuaciones por cualquiera de
los 3 métodos:
MÉTODO DE IGUALACIÓN
a) Se despeja la misma incógnita, la que resulte más fácil, en las dos ecuaciones
b) Se igualan los valores obtenidos
c) Se resuelve la ecuación resultante
d) El valor obtenido se sustituye en la ecuación más sencilla donde estaba despejada la otra incógnita
EJEMPLO
a) y=5-3xy=4x-9
b) 5-3x=4x-9-7x=-14
c) 7x=14x=2
d) x=2 en y=5-3xy=5-3·2y=5-6y=-1
3x+y=5-4x+y=-9
Solución:x=2, y=-1
ANALÍTICAMENTEPodemos resolver el sistema de ecuaciones por cualquiera de
los 3 métodos:
MÉTODO DE REDUCCIÓNa) Mediante multiplicaciones
apropiadas se obtiene un sistema equivalente con los coeficientes de una misma incógnita opuestos
b) Se suman las dos ecuacionesc) Se resuelve la ecuación
resultanted) El valor obtenido se
sustituye en la ecuación más sencilla y se halla el valor de la otra incógnita
EJEMPLO
a) 7x-6y=-11 ·(-1)10x+6y=28 ·(2)
b) 17x=17c) x=1d) x=1 en 5x+3y=14
5·1+3y=145+3y=143y=9y=3
-7x+6y=115x+3y=14
Solución:x=1, y=3
EJEMPLOSIntersección de dos rectas que se cortan en un punto
y=2x-1-2x-2y=-1
Resolvemos por el método de sustitución:
a) y=2x-1b)-2x-2(2x-1)=-1
-2x-4x+2=-1c)-6x=-3
x=1/2d) x=1/2 en y=2x-1
y=2·(1/2)-1y=1-1y=0
Solución:Se cortan en el punto
(1/2,0)
EJEMPLOSIntersección de dos rectas coincidentes
y=x+22y=2x+4
Resolvemos por el método de igualación:
a) y=x+2y=2x/2+4/2y=x+2
b) x+2=x+20=0
Esto se verifica para todo valor de x, luego tiene infinitas soluciones
Solución:Se cortan en infinitos
puntos
EJEMPLOSIntersección de dos rectas paralelas
y=x+2y=x+1
Resolvemos por el método de reducción:
a) y=x+2 ·(-1)y=x+1-y=-x-2y=x+1
b) Sumamos y nos queda:0=0-10=-1
Lo que es imposible, luego este sistema no tiene solución
Solución:No se cortan en
ningún punto
INTERSECCIÓN DE DOS PARÁBOLASLa intersección de dos parábolas la podemos calcular gráfica
y analíticamente:
GRÁFICAMENTE:a) Representamos la parábola
correspondiente a la 1ª ecuación
b) Representamos la parábola correspondiente a la 2ª ecuación
c) La solución son los puntos de corte de ambas parábolas, que pueden ser 2, 1 o ninguno
ANALÍTICAMENTE:a) Resolvemos el sistema de
ecuaciones b) La solución serán los pares
(x1,y1) y (x2,y2) si se cortan en dos puntos, el par (x,y) si se cortan en un punto y no tendrá solución si no se cortan
GRÁFICAMENTENos podemos encontrar 3
casos:
Parábolas que se cortan en dos puntos
Parábolas que se cortan en un punto
Parábolas que no se cortan
Tiene dos soluciones:(1,3) y (-1,3)
Tiene una solución (0,0)
No tiene solución
ANALÍTICAMENTE
Para resolver este sistema debes hacer los siguientes pasos:
a) Despejar la variable y enambas ecuaciones
b) Aplicar el método de reducción(multiplicas la primeraecuación por (-1) y le sumas lasegunda), de esta manera se tevan las “y” y te queda unaecuación de 2º grado.
c) Hallas las soluciones x1 y x2 dela ecuación de 2º grado.
d) Sustituyes los valores de x1 yx2 en la ecuación inicial quesea más fácil y obtienes dosvalores de “y”, y1 e y2.
EJEMPLOa) y=x2-3x+2
y=2x2-3x+1b) –y=-x2+3x-2
y=2x2-3x+1Las sumamos y tenemos:
0=x2-1c) x2=1
x1=1, x2=-1d) x1=1 en y=x2-3x+2
Luego y1=12-3·1+2=0x2=-1 en y=x2-3x+2Luego y2= (-1)2-3·(-1)+2=6
Tenemos las soluciones (1,0) y (-1,6)
INTERSECCIÓN DE RECTA Y PARÁBOLALa intersección de recta y parábola la podemos calcular
gráfica y analíticamente:
GRÁFICAMENTE:a) Representamos la parábola
correspondiente a la 1ª ecuación
b) Representamos la recta correspondiente a la 2ª ecuación
c) La solución son los puntos de corte de ambas funciones, que pueden ser 2, 1 o ninguno
ANALÍTICAMENTE:a) Resolvemos el sistema de
ecuaciones b) La solución serán los pares
(x1,y1) y (x2,y2) si se cortan en dos puntos, el par (x,y) si se cortan en un punto y no tendrá solución si no se cortan
GRÁFICAMENTENos podemos encontrar 3
casos:
Se cortan en dos puntos: SECANTES
Se cortan en un punto: TANGENTES
No se cortan: EXTERIORES
Tiene dos soluciones
Tiene una solución No tiene solución
ANALÍTICAMENTEPara resolver este sistema debes
hacer los siguientes pasos:a) Despejar la variable y en
ambas ecuacionesb) Aplicar el método de reducción
(multiplicas la primeraecuación por (-1) y le sumas lasegunda), de esta manera se tevan las “y” y te queda unaecuación de 2º grado.
c) Hallas las soluciones x1 y x2 dela ecuación de 2º grado.
d) Sustituyes los valores de x1 yx2 en la ecuación inicial quesea más fácil y obtienes dosvalores de “y”, y1 e y2.
EJEMPLOa) y=-x+1
y=x2+2x+1b) –y=x-1
y=x2+2x+1Las sumamos y tenemos:
0=x2+3xc) x2+3x=0
x(x+3)=0x1=0 y x2=-3
d) x1=0 en y=-x+1Luego y1=-0+1=1x2=-3 en y=-x+1Luego y2=-(-3)+1=4
Tenemos las soluciones (0,1) y(-3,4)
