INTERSECCIN ENTRE UNA RECTA Y UN PLANOLa interseccin entre una recta (r) y un plano () es un punto ()

DETERMINACIN DE LA INTERSECCIN ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO (recta tapada)Para definir el punto de interseccin () entre una recta (r) y un plano(), se aplica un procedimiento denominadorecta tapada, el cual consiste en:\ fig.2:a)Definir en el plano()una recta (t), cuya proyeccin horizontal (th) coincide (se tapa) con la proyeccin horizontal (rh) de la recta (r); por esta razn la recta (t) se denominarecta tapada. Las rectas (ryt) se cortan en el punto de interseccin () buscado.

b)La proyeccin vertical (v) del punto () queda definida por el corte de las proyecciones verticales (rvytv) de las rectas (ryt).

c)La proyeccin horizontal (h) del punto (), se obtiene proyectivamente, sobre la proyeccin horizontal (rh=th) de las rectas (ryt).

Tambin es posible definir la interseccin () entre una recta (r) y un plano()tapandolas proyecciones verticales (rvytv) de las rectas (ryt) y siguiendo un procedimiento anlogo al anterior\ fig.3.

Ejemplo 1:Definir la interseccin (), de la recta (r), con elplano (), definido por sus trazas

Solucin: En lafig.4b, se muestra la solucin tapando las proyecciones horizontales (rh=th) de las rectas (ryt) y en lafig.4c, tapando sus proyecciones verticales (rv=tv).

Ejemplo 2:Definir la interseccin (), de la recta (r), con elplano (), definido por sus rectas (f y h) caractersticasSolucin:En lafig.5b, se muestra la solucin tapando las proyecciones horizontales (rh=th) de las rectas (ryt) y en lafig.5c, tapando sus proyecciones verticales (rv=tv).

Ejemplo 3:Definir la interseccin (), de la recta (r),de perfil,conelplano (), definido por sus sus trazas.Solucin:El punto de interseccin (), puede definirse en una proyeccin lateral del sistema\fig.6b.

Ejemplo 4:Definir la interseccin (), de la recta (r),con los planos bisectores

Solucin:

interseccin de la recta con el primer bisector:En lafig.7b, se muestra como definir la interseccin () de la recta (r) con el primer bisector, en el cual las proyecciones de la recta (t) son simtricas.interseccin de la recta con el segundo bisector:En lafig.7c, se muestra como definir la interseccin () de la recta (r) con el segundo bisector, en el cual las proyecciones de la recta (t) coinciden.

Anlisis de la Visibilidad, en la Interseccin de una Recta con un PlanoLa representacin de la interseccin de una recta (r) con un plano(), siempre presenta dos posibilidades de visibilidad, como se muestra en las fig.8ay fig.8b, en las cuales puede observarse que un segmento de la recta (r), definido por el punto de interseccin () y un punto del contorno del plano(), permanece invisible al observador, siendo tapado por el plano.

En Doble Proyeccin Ortogonal, debe analizarse la visibilidad en las proyecciones horizontal y vertical en forma independiente, debido a que los segmentos visibles en una de las proyecciones no son necesariamente visibles en la otra proyeccin.Por medio del siguiente ejemplo se describe la forma de analizar la visibilidad en la interseccin de una recta (r) con un plano().

Ejemplo:Definir la interseccin () y visibilidad entre la recta (r) y el tringulo de vrtices (A;B; y C)Solucin:a)Se determina el punto de interseccin () entre la recta (r) y el tringulo (A;B;C)\ fig.9b.

b)Para determinar la visibilidad en proyeccin vertical\ fig.9c:1) Se define el segmento de punta (1-2) cuya proyeccin vertical (1v=2v) es el punto de corte entre las proyecciones verticales de la recta (r) y del lado (A-B). Estando los puntos (1y2) contenidos en:punto 1: En el lado (A-B).punto 2: En la recta (r).2) De estos dos puntos, solo uno es visible en proyeccin vertical, y ser aquel de los dos que posea mayor vuelo. Por lo tanto se define la proyeccin horizontal del segmento de punta (1-2), y se determina en ella cual de estos dos puntos tiene mayor vuelo; resultando ser el punto (2).Se define entonces, que el segmento (2-) de la recta (r) es visible en proyeccin vertical, porque el punto (2) que esta contenido en el es visible en esta proyeccin.c)Para determinar la visibilidad en proyeccin horizontal\ fig.9d:1) Se define el segmento vertical (3-4) cuya proyeccin horizontal (3h=4h) es el punto de corte entre las proyecciones horizontales de la recta (r) y del lado (B-C). Estando los puntos (3y4) contenidos en:punto 3: En el lado (B-C).punto 4: En la recta (r).2) De estos dos puntos, solo uno es visible en proyeccin horizontal, y ser aquel de los dos que posea mayor cota. Por lo tanto se define la proyeccin vertical del segmento vertical (3-4), y se determina en ella cual de estos dos puntos tiene mayor cota; resultando ser el punto (4).Se define entonces, que el segmento (4-) de la recta (r) es visible en proyeccin horizontal, porque el punto (4) que esta contenido en el es visible en esta proyeccin.

Interseccin entre dos PlanosLa interseccin entre dos planos (y) es una recta (i), para determinarla\ fig.10a:a)Se elige, cualquier recta (a) en el plano (), y se determina su interseccin () con el plano ().b)Se repite el paso anterior eligiendo una segunda recta, (b) en el plano (), y determinando su interseccin (J) con el plano ().

c)Los puntos de interseccin (y J) definen la recta de interseccin (i) entre los planos (y).Las rectas (ayb) tambin pueden ser elegidas en el plano()y ser interceptadas con el plano()\ fig.10b.

Ejemplo 1:Definir la interseccin (i) entre los planos (y), definidos por sus trazasSolucin: Se definen dos rectas (ayb) frontales del plano(), y se determinan sus intersecciones (yJ) con el plano(). La recta de interseccin (i) entre los planos (y) queda definida por los puntos (yJ)\ fig.11b.

Ejemplo 2:Definir la interseccin (i) entreel plano (), definido por sus trazas y el plano (), definido por las rectas (a y b) paralelasSolucin: La interseccin () entre los planos (y), queda definida por los puntos de interseccin (yJ) de las rectas (ayb) con el plano()\ fig.12b.

Ejemplo 3:Definir la interseccin (i) entreel plano (), definido por sus rectas (fyh), caractersticasy el plano (), definido por las rectas (a y b), paralelasSolucin: La interseccin () entre los planos (y), queda definida por los puntos de interseccin (yJ) de las rectas (ayb) con el plano()\ fig.13b.

Ejemplo 4:Definir la interseccin (i) entreel plano (), definido por sus trazas y el plano (),que pasa por la lnea de tierra y contiene al punto (A)Solucin:1) Se traza, por el punto (A), una recta (r) cualquiera del plano(); es decir, cualquier recta (r) que pase por el punto (A) y se corte con la lnea de tierra\ fig.14b.2) Se define la interseccin () de la recta (r) con el plano().3) Se define la interseccin (J) del plano()con la lnea de tierra.4) Los puntos (yJ) estn contenidos simultneamente en los planos (y), por lo tanto definen a la recta de interseccin () entre ambos planos.

Anlisis de la Visibilidad en la Interseccin de dos Planos

Ejemplo:Definir la interseccin y visibilidad entre el tringulo (A;B;C) y el cuadriltero (1;2;3;4) contenido en el plano (1;2;3)Solucin:a)Se define la proyeccin horizontal (1h) del vrtice (1), hacindolo pertenecer al plano (1;2;3)\ fig.15b.

b)Se definen las intersecciones: () de la recta (A-B) con el cuadriltero (1;2;3;4); y (J) de la recta (2-3) con el tringulo (A;B;C). El segmento (-J) pertenece a los dos planos, y si est contenido en el primer cuadrante siempre es visible en ambas proyecciones\ fig.15c.

c)Se define la visibilidad de la interseccin entre las dos figuras planas, por medio del anlisis de visibilidad de la interseccin de las rectas: (A-B) con el cuadriltero (1;2;3;4); y (2-3) con el tringulo (A;B;C)\ fig.15d.