DIBUJO TÉCNICO I

UNIVERSIDAD DE PIURA FACULTAD DE INGENIERÍA

TEMA Nº 13:

INTERSECCIONES DE SUPERFICIES POLIÉDRICAS Y DE REVOLUCIÓN CON RECTAS

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INTERSECCIONES DE RECTAS CON SUPERFICIES POLIÉDRICAS Y DE REVOLUCIÓN

1. Puntos contenidos en superficies poliédricas y de revolución 1.1. Puntos contenidos en superficies poliédricas

Para determinar los puntos contenidos en una superficie poliédrica: el polígono o cara a la que pertenece el punto se toma como si fuera un plano aislado, y se sigue el mismo procedimiento para hallar puntos contenidos en un plano.

La figura 1 nos muestra las proyecciones del punto X que pertenece a la cara ACGD de un poliedro, halladas con la ayuda de una recta arbitraria, tal como MN, contenida en dicho plano y que pasa por el punto X. Se traza primero MN en el plano frontal, luego en el plano horizontal, y sobre esa vista se halla la proyección respectiva del punto X.

Figura 1. Punto contenido en una superficie poliédrica.

La figura 2 nos presenta las proyecciones de una pirámide tetragonal trunca y la proyección de un punto, que no se sabe a qué cara del poliedro pertenece. Se traza MN en la vista frontal, que nos muestra dos posibles soluciones de P en la vista horizontal (P y P’), en las caras ADJE y DCIJ, respectivamente. Es decir, una misma proyección puede corresponder a dos o más puntos de la superficie de un poliedro.

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Figura 2. Punto contenido en una superficie poliédrica.

En la figura 3 se muestran las proyecciones de un prisma cuadrangular en posición oblicua y los puntos X e Y que pertenecen a las caras ADLI y BCKJ, respectivamente.

Figura 3. Punto contenido en una superficie poliédrica.

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1.2. Puntos contenidos en superficies cónicas y cilíndricas Para hallar un punto en este tipo de superficies en general, se usa una generatriz

de la superficie (cónica, o cilíndrica) que pase por el punto dado. En la figura 4 se muestran las proyecciones de una superficie cónica de vértice V

y dos puntos contenidos en su superficie: X en la parte visible e Y en la parte invisible del cono, de modo que en la vista horizontal (H) los presenta en una misma proyección. En la vista frontal (F) se han ubicado las proyecciones de estos puntos con la ayuda de las generatrices V1 y V2 que pasan por X e Y, respectivamente.

Figura 4. Puntos contenidos en una superficie cónica. La figura 5 presenta un cilindro en su forma general y dos puntos R y T contenidos en su superficie, el primero en su parte visible y el segundo en la parte invisible. En la vista frontal, estos puntos se hallan confundidos en una misma proyección, pero en la vista horizontal se encuentran gracias a la ayuda de las generatrices PQ y MN, respectivamente.

Figura 5. Puntos contenidos en un cilindro.

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2. Intersección de rectas con superficies poliédricas y de revolución. De acuerdo como se presente el problema, este puede resolverse de dos formas: - Por simple inspección. - con el auxilio de planos cortantes. 2.1. Por simple inspección

Analizamos el conjunto, identificando cuál es la posición de la recta respecto a la superficie poliédrica o de revolución.

Así en la figura 6(a) se muestra la recta vertical AB cuya intersección se encuentra con la ayuda de la recta V1, contenida en la cara VMN que pasa por el punto X, que es por donde la recta AB penetra la cara VMN; es decir X es la intersección de la recta AB con la superficie poliédrica.

En la figura 6(b), se trata de una recta horizontal PQ, en cuya vista horizontal observamos directamente que tiene intersección con la superficie cilíndrica en los puntos X e Y; que se proyectan sobre la vista frontal.

Figura 6. Intersección de rectas con poliedros. Método de simple inspección 2.2. Con el auxilio de planos cortantes

Se traza un plano auxiliar de corte que contenga a la recta dada, luego se encuentra la recta de intersección de este plano con la superficie dada. Los puntos de intersección de la recta dada con la línea de intersección del plano auxiliar y la superficie poliédrica o de revolución, serán los puntos de intersección que se buscan entre la recta y la superficie poliédrica o de revolución.

El plano cortante que debe seguir la dirección de la recta dada, se debe elegir de modo que se pueda obtener secciones de fácil interpretación. Es por ello que esos planos pueden ser:

(a) (b)

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a) Planos cortantes perpendiculares al plano principal de proyección (normal o vertical), que se ubica como para el caso de intersección de un plano y una recta.

b) Planos cortantes que pasando por el vértice del sólido y conteniendo la recta formen una traza con el plano de la base.

Comprobar ambos casos en las figuras siguientes:

- Plano cortante (normal) perpendicular al plano frontal y contiene a la recta dada:

Figura 7. Intersección de rectas con poliedros. Método del plano cortante - Plano cortante que pasa por el vértice del sólido, contiene a la recta dada y forma una traza con la base

Figura 8. Intersección de rectas con poliedros. Método del plano cortante

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3. Intersección de rectas con superficies piramidales (poliedros cónicos).

3.1. Intersección de una recta con una pirámide.

En la figura 9 se presenta un ejemplo de carácter general. Se trata de encontrar los puntos de intersección entre la superficie dada y la recta AB. En este ejemplo, la superficie dada es una pirámide de base hexagonal.

Figura 9. Intersección de una recta con una pirámide de base hexagonal. Procedimiento: 1. Se pasa un plano cortante por la recta dada AB, que para mayor comodidad lo

hacemos pasar también por el vértice V. 2. El plano cortante queda limitado por las rectas que pasan por el vértice V, tocan a

dos extremos de la recta AB en X e Y, y se prolongan hasta tocar la base en los puntos M y N.

3. El plano cortante corta a la base del poliedro según la traza MN1. Para efectos de resolver problemas el poliedro puede no tener base o la que tenga pueda prolongarse cuanto sea necesario para definir sin ambigüedades la intersección con el plano cortante oblicuo.

4. La traza entre la base y el plano cortante, toca al hexágono de la base en los puntos 1 y 2.

5. Si unimos estos puntos con el vértice tendremos 1V y 2V rectas que pertenecen a las caras RQV y STV respectivamente, y que intersectan en K y L a la recta AB.

6. Los puntos K y L pertenecen al poliedro y también a la recta, son los puntos de intersección entre la recta AB y el poliedro dado, llamados también puntos de entrada y salida indistintamente.

1 Algunos autores llaman traza a la intersección en sí. Así la traza entre un plano y una recta no contenida en él es un punto; la traza entre dos planos que se intersectan es una recta; la traza entre una esfera y un plano que la intersecta es una circunferencia; la traza entre un poliedro y un plano será un polígono cuyo número de lados será igual al número de lados del poliedro cortado por el plano.

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7. Se concluye analizando la visibilidad del conjunto.

3.2. Intersección de rectas con conos. Una superficie cónica es aquella generada por una línea recta llamada generatriz que se desplaza sobre una línea curva pasando por un punto fijo llamado vértice (no está en el mismo plano que la línea curva). En geometría descriptiva consideraremos que la línea curva está en un plano.

Figura 10. Intersección de una recta con un cono. Pasos:

1. Por uno de los puntos extremos de la recta dada AB (o por su prolongación) trazamos desde el vértice V una recta VX hasta tocar el plano de la base en el punto M.

2. Se repite este procedimiento con otro punto cualquiera tal como Y hasta definir la recta VN

3. La recta MN corta a la curva directriz según los puntos 1 y 2. 4. Los puntos de intersección buscados se encontrarán donde 1V y 2V cortan

a la recta dada AB según los puntos K y L. 5. Se concluye analizando la visibilidad del conjunto.

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4. Intersección de rectas con prismas y cilindros. Método

1. Por un punto X, o por uno de los extremos de la recta dada, se traza una paralela a las aristas laterales del prisma (o de las generatrices si se trata de cilindros), que se prolonga hasta el punto M de intersección con el plano de la base (plano O).

2. Repetimos este procedimiento por el otro extremo, obteniendo el punto Y sobre la recta y N sobre el plano O.

3. La traza MN corta al polígono de la base (o a la curva directriz) según los puntos 1 y 2.

4. Luego se traza 1P y 2Q paralelas a las aristas laterales del prisma (o a las generatrices del cilindro), obteniéndose K y L, puntos de intersección entre la recta y el prisma (o cilindro).

5. Se forma así el plano cortante XMYN que forma la traza MN con el plano O de la base del poliedro. Ver figuras siguientes:

Figura 11. Intersección de una recta con un prisma y un cilindro. 5. Intersección de rectas con superficies esféricas. 5.1. Localización de un punto sobre una esfera. Para localizar un punto sobre una esfera colocamos sobre su superficie una línea (circunferencia) que lo contenga. Para ello se pasa un plano cortante por el punto dado y que corta a la esfera según una circunferencia. En la figura siguiente se pasa por el punto A un plano vertical cortante (O) que corta a la esfera según una traza circular que

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se proyecta en verdadera magnitud en el plano frontal. Allí se observan las posibles ubicaciones de la proyección del punto A, en 1 o en 2.

Figura 12. Intersección de un punto sobre una esfera. 5.2. Intersección de una recta con una esfera. En la figura 13 se muestra una esfera de radio R intersectada por una recta AB. Los puntos de intersección se encuentran por el siguiente método: 1. Se dispone de un plano cortante vertical (Q), o normal, que pasa por la recta dada

AB, que corta a la esfera según una intersección mn de radio = r 2. En un plano paralelo a la recta dada (plano 1) se proyecta la recta dada y la

circunferencia de la traza, en verdadera magnitud; los puntos1 y 2 son los puntos de entrada y salida de la recta AB en la esfera.

3. Se trasladan a las demás vistas los puntos 1 y 2, y se analiza la visibilidad.

Figura 13. Intersección de una recta con una esfera.

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