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Intervalos de confiança para rendas vitalícias: aplicação a fundos de pensões

CIDÁLIA TOMÁS – LOURDES AFONSO – PEDRO CORTE REAL

This presentation has been prepared for the V IBERIAN CONGRESS LISBOA 2016IAP wishes it to be understood that opinions put forward herein are not necessarily those of the IAP is not responsible, the author is the only responsible for those opinions.

Cidália Tomás – Lourdes Afonso – Pedro Corte Real V Congresso Ibérico de Actuários

OBJETIVO GERAL

Estabelecer intervalos de confiança para rendas vitalícias

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Identificar e apresentar uma nova ferramenta deanálise a utilizar para os cálculos atuariais;

• Aplicar esta ferramenta à avaliação das responsabilidades de um plano de pensões;


MORTALIDADETempo de vida futura𝑇 v.a. que representa o tempo de vida futura de um indivíduo de idade 𝑥

𝑥 + 𝑇 será a idade da morte de (𝑥)

Função de distribuição: 𝐺 𝑡 = Pr 𝑇 ≤ 𝑡 , 𝑡 ≥ 0

Probabilidade de 𝑥 morrer nos próximos t anos:

𝑡𝑞𝑥 = 𝐺 𝑡

Probabilidade de 𝑥 sobreviver aos próximos t anos:

𝑡𝑝𝑥 = 1 − 𝐺 𝑡


MORTALIDADETempo de vida futura em anos completos

variável aleatória 𝐾 = [𝑇]

função de distribuição:

Pr 𝐾 = 𝑘 = Pr 𝑘 ≤ 𝑇 < 𝑘 + 1 = 𝑘𝑝𝑥 𝑞𝑥+𝑘

para 𝑘 = 0,1,2…


RENDASRendas certas𝑖 – taxa de capitalização

𝑣 – taxa de atualização

Tem-se a relação 𝑖 =1

1+𝑖

Renda certa antecipada

ሷ𝑎𝑛| = 1 + 𝑣 + 𝑣2 +⋯+ 𝑣𝑛−1 =1 − 𝑣𝑛

1 − 𝑣

Renda certa postecipada

𝑎𝑛| = 𝑣 + 𝑣2 +⋯+ 𝑣𝑛 = ሷ𝑎𝑛 − 1 + 𝑣𝑛 =1 − 𝑣𝑛

𝑖


RENDASRendas vitalícias

Renda antecipada de termos constantesሷ𝑎𝑥 = 1 + 𝑣 𝑝𝑥 + 𝑣2 2𝑝𝑥 + 𝑣3 3𝑝𝑥 +⋯+ 𝑣𝜔−𝑥𝜔−𝑥𝑝𝑥

Renda postecipada de termos constantes

𝑎𝑥 = 𝑣 𝑝𝑥 + 𝑣2 2𝑝𝑥 + 𝑣3 3𝑝𝑥 +⋯+ 𝑣𝜔−𝑥𝜔−𝑥𝑝𝑥 =

𝑘=1

𝜔−𝑥

𝑣𝑘 𝑘𝑝𝑥


RENDASRendas vitalíciasRenda antecipada de termos em progressão geométrica

𝐺 ሷ𝑎 𝑥𝜃

= 1 + 1 + 𝜃 𝑣 𝑝𝑥 + 1 + 𝜃 2 𝑣2 2𝑝𝑥 +⋯+ 1 + 𝜃 𝜔−𝑥𝑣𝜔−𝑥𝜔−𝑥𝑝𝑥

=

𝑘=0

𝜔−𝑥

1 + 𝜃 𝑘𝑣𝑘 𝑘𝑝𝑥

Renda postecipada de termos em progressão geométrica

𝐺𝑎 𝑥𝜃

= 𝑣 𝑝𝑥 + 1 + 𝜃 𝑣2 2𝑝𝑥 + 1 + 𝜃 2𝑣3 3𝑝𝑥 +⋯

+ 1 + 𝜃 𝜔−𝑥−1𝑣𝜔−𝑥𝜔−𝑥𝑝𝑥 =

𝑘=1

𝜔−𝑥

1 + 𝜃 𝑘−1𝑣𝑘 𝑘𝑝𝑥


RELAÇÕES ENTRE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E RENDAS VITALÍCIAS

Seguro de vida inteira

Pagamento em caso de morte de (𝑥) Capital seguro de 1 u.m. pago no final do ano em que a morte ocorre.

Considerando a v.a. 𝐾 o tempo de vida futura em anos completos, o seu valor atual será então

𝑍 = 𝑣𝐾+1

e

Pr 𝑍 = 𝑣𝑘+1 = Pr 𝐾 = 𝑘 = 𝑘𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑘



Seguro de vida inteiraAssim, o prémio desta modalidade de seguro denotado por 𝐴𝑥, será

𝐴𝑥 = 𝐸 𝑍 = 𝐸 𝑣𝐾+1 =

𝑘=0

∞

𝑣𝑘+1 𝑘𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑘

e,

𝐸 𝑍2 =

𝑘=0

∞

(𝑣2)𝑘+1 𝑘𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑘

𝑉𝑎𝑟 𝑍 = 𝐸 𝑍2 − 𝐴𝑥2


RELAÇÕES ENTRE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E RENDAS VITALÍCIASConsiderando a v.a. 𝐾 definida como o tempo de vida futura em anos completos

𝑌 = 1 + 𝑣 + 𝑣2 + 𝑣3 +⋯+ 𝑣𝐾 = ሷ𝑎𝐾+1| =1 − 𝑣𝐾+1

1 − 𝑣=1 − 𝑍1 − 𝑣

Então ሷ𝑎𝑥 será o valor esperado de 𝑌

𝐸 𝑌 = 𝐸1 − 𝑍

1 − 𝑣=1 − 𝐸(𝑍)

1 − 𝑣=1 − 𝐴𝑥1 − 𝑣

= ሷ𝑎𝑥



Basta redefinir a v.a. 𝑌 para que chegar a outros resultados

𝑌 = 1 + 𝑟𝑣 + 𝑟2𝑣2 +⋯+ 𝑟𝐾𝑣𝐾 = (𝐺 ሷ𝑎)𝐾+1|𝑟

𝑌 = 1 + 𝑣1 + 𝑣12 +⋯+ 𝑣1

𝐾 = ሷ𝑎𝐾+1| =1 − 𝑣1

𝐾+1

1 − 𝑣1=1 − 𝑟𝐾+1𝑣𝐾+1

1 − 𝑟𝑣

𝐸 𝑌 = 𝐸1 − (𝑟𝑣)𝐾+1

1 − 𝑟𝑣=1 − σ𝑘=0

∞ (𝑟𝑣)𝑘+1 𝑘𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑘1 − 𝑟𝑣


Teorema Limite Central de LyapunovSeja 𝑋1, … , 𝑋𝑛 uma sucessão de variáveis aleatórias independentes e que 𝐸 𝑋𝑖 = 𝜇𝑖e

𝑉 𝑋𝑖 = 𝜎𝑖2 < ∞ e pelo menos um com dos 𝜎𝑖

2 maior que zero.

Sejam 𝑆𝑛 = 𝑋1 + 𝑋2 +⋯+ 𝑋𝑛 e 𝑠𝑛2 = σ𝑖=1

𝑛 𝜎𝑖2. Se a condição de Lyapunov se

verificar, isto é, se

existir um 𝛿 > 0 tal que,

1

𝑠𝑛2+𝛿

𝑖=1

𝑛

𝐸( 𝑋𝑖 − 𝜇𝑖2+𝛿) → 0 quando 𝑛 → ∞

então garante-se que,

σ𝑖=1𝑛 𝑋𝑖 − σ𝑖=1

𝑛 𝜇𝑖

σ𝑖=1𝑛 𝜎𝑖

2

𝑎∼ 𝑁 0, 1


Intervalos de confiança para uma faixa etária

𝑇𝑥 - valor atual das pensões em pagamento para um grupo de 𝑛 indivíduos com idade𝑥 e pensão 𝑃𝑖

Sendo 𝑌𝑖 a v.a. definida anteriormente, tem-se

𝑇𝑥 =

𝑖=1

𝑛

𝑋𝑖 =

𝑖=1

𝑛

𝑃𝑖 𝑌𝑖

Assim, pelo Teorema Limite Central de Lyapunov

𝑇𝑥 − 𝐸(𝑇𝑥)

𝑉(𝑇𝑥)

𝑎∼ 𝑁(0, 1)


Intervalos de confiança para uma faixa etária

Desta forma pode obter-se o seguinte intervalo de confiança

1 −∝ × 100% para 𝑇𝑥:

𝐸 𝑇𝑥 − 𝑧 ൗ∝ 2𝑉 𝑇𝑥 ≤ 𝑇𝑥 ≤ 𝐸 𝑇𝑥 + 𝑧 ൗ∝ 2

𝑉 𝑇𝑥

⟺

𝑖=1

𝑛

𝑃𝑖 ሷ𝑎𝑥 − 𝑧 ൗ∝ 2

𝑖=1

𝑛

𝑃𝑖2 1

(1 − 𝑣)2𝑉 𝑍 ≤ 𝑇𝑥

≤

𝑖=1

𝑛

𝑃𝑖 ሷ𝑎𝑥 + 𝑧 ൗ∝ 2

𝑖=1

𝑛

𝑃𝑖2 1

(1 − 𝑣)2𝑉 𝑍


Intervalos de confiança para toda a população

𝑇total - valor atual das pensões em pagamento para uma população formada por 𝑘subgrupos, cada um correspondente à faixa etária 𝑘, com 𝑛𝑥𝑘 indivíduos de idade 𝑥𝑘e pensão 𝑃𝑖,𝑥𝑘

Assim,

𝑇 =

𝑘=0

𝑤

𝑖=1

𝑛𝑥𝑘

𝑃𝑖,𝑥𝑘𝑌𝑖,𝑥𝑘 =

𝑘=0

𝑤

𝑇𝑥𝑘

Pelo Teorema Limite Central de Lyapunov, tem-se

𝑇 − 𝐸(𝑇)

𝑉(T)

𝑎∼ 𝑁(0, 1)


Pode-se então, construir um intervalo de confiança 1 −∝ × 100% para 𝑇𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 :

𝐸 𝑇𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝑧 ൗ∝ 2𝑉 𝑇𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 ≤ 𝑇𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 ≤ 𝐸 𝑇𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 + 𝑧 ൗ∝ 2

𝑉 𝑇𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

⟺

Intervalos de confiança para toda a população

Caso Prático


IC faixa etáriaFaixa etária de 65 anos com 52 indivíduos e pensão média

17 473€


IC faixa etáriaFaixa etária de 65 anos com 52 indivíduos e pensão média

17 473€

Intervalo com coeficiente de confiança 95%


IC VAPPPopulação de pensionistas dos 60 a 102 anos com 827indivíduos.





Intervalo com coeficiente de confiança 95%

Outras Aplicações


Responsabilidade Actuarial

2.676.221

28.076.877

2.890.055

30.023.055

3.103.890

31.969.233

0

5.000.000

10.000.000

15.000.000

20.000.000

25.000.000

30.000.000

35.000.000

2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021

Intervalo Predição 95%Responsabilidade Actuarial

Limite Inferior Responsabilidade Actuarial

Responsabilidade Actuarial

Limite Superior Responsabilidade Actuarial


Contribuição Normal

593.292

2.052.622

632.404

2.190.206

671.515

2.327.790

500.000

700.000

900.000

1.100.000

1.300.000

1.500.000

1.700.000

1.900.000

2.100.000

2.300.000

2.500.000

2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021

Intervalo Predição 95%Contribuição Normal

Limite Inferior Contribuição Normal

Contribuição Normal

Limite Superior Contribuição Normal


Referências

Documents

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