INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE GEOMETRIA E FUNÇÕES

5/12/2018 INTRODU ÃO AO ESTUDO DE GEOMETRIA E FUN ES - slidepdf.com

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ

CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE

GEOMETRIA E FUNÇÕES

Prof. Dnd. Emerson B. Gomes

Santa Bárbara

2012



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CAPÍTULO I

Um pretexto inicial...

Sabemos que a Geometria está presente em diferentes campos da vida

humana, seja nas construções, nos elementos da natureza ou nos objetos que

utilizamos. Por este motivo, os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL,

1997) e pesquisadores da área da Educação Matemática (GÁLVEZ, 1996;

SANTALÓ, 1996), de modo geral, recomendam que a escola proporcione às

crianças o acesso a esse conhecimento, visando à compreensão e à interação das

mesmas com o mundo em que vivem. (VASCONCELLOS, 2005: 1)

Que conclusões podemos tecer sobre esse discurso?

Questões estruturantes...



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O que é Geometria?

História e conceitos

A Matemática surgiu de necessidades básicas, em especial da

necessidade econômica de contabilizar diversos tipos de objetos. De forma

semelhante, a origem da geometria (do grego geo = terra + metria = medida, ou

seja, "medir terra") está intimamente ligada à necessidade de melhorar osistema de arrecadação de impostos de áreas rurais, e foram os antigos egípcios

que deram os primeiros passos para o desenvolvimento da disciplina.

Existe uma ou várias Geometrias?

Subdivisões da Geometria

Com o passar dos séculos a compreensão inicial sobre a Geometria foi

se modificando, surgindo assim diversas ramificações, das quais nos interessam,

a saber:

Geometria Euclidiana;

Geometria Descritiva;

Geometria Projetiva;

Geometria Analítica;

Geometria Topológica;

Geometria Fractal.



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Geometria Euclidiana

Geometria Euclidiana é a geometria sobre planos ou objetos em trêsdimensões baseados nos postulados de Euclides de Alexandria.

Em matemática, linhas retas ou planos que permanecem sempre a uma

distância fixa uns dos outros independentemente do seu comprimento. Este é um

princípio da geometria euclidiana. Algumas geometrias não euclidianas, como a

geometria elíptica e hiperbólica, no entanto, rejeitam o axioma do paralelismo de

Euclides. Os postulados de Euclides são: 1. Dados dois pontos, há um segmento de reta que os une;

2. Um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para

construir uma reta;

3. Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer pode-se construir um

círculo de centro naquele ponto e com raio igual à distância dada;

4. Todos os ângulos retos são iguais;

Em especial, o quinto postulado de Euclides:



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5.º Postulado de Euclides "Se uma linha reta cai em duas linhas retas de

forma a que os dois ângulos internos de um mesmo lado sejam (em

conjunto, ou soma) menores que dois ângulos retos, então as duas linhas

retas, se forem prolongadas indefinidamente, encontram-se num ponto no

mesmo lado em que os dois ângulos são menores que dois ângulos retos."

Algumas Consequências do 5º Postulado de Euclides são:

Paralelismo de Euclides - "Há um ponto P e uma reta r não incidentes tais

que no plano que definem não há mais do que uma reta incidente com P e

paralela a r."

Soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo -

"Existe um triângulo em que a soma das medidas dos ângulos é igual a dois

retos."

a + b + c = 2 retos (a º + b º + c º = 180º)

http://www.google.com.br/imgres?q=soma+dos+angulos+internos+de+um+triangulo&hl=pt-BR&sa=X&biw=1680&bih=851&tbm=isch&prmd=imvns&tbnid=deeAdRPH7AALVM:&imgrefurl=http://fatosmatematicos.blogspot.com/2009/07/soma-dos-angulos-internos-de-um.html&docid=Jfq648ko-HevRM&imgurl=http://2.bp.blogspot.com/_ssMz_adI0gA/Sls8nAS0pNI/AAAAAAAAAUQ/HlnUA7c-I44/s320/triangulo2.bmp&w=320&h=249&ei=wxnlTq7nB4eKgwe3m_XgBQ&zoom=1






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Os comentários que têm sido feitos a estes postulados ao longo dos

séculos encheriam um grosso volume, em particular no que respeita ao termo

"continuamente" no segundo postulado e em especial no que respeita ao último,

chamado o postulado de paralelismo (de Euclides).

Geometria Descritiva

A geometria descritiva (também

chamada de geometria mongeana ou métodomonge) é um ramo da geometria que tem como

objetivo representar objetos de três dimensões

em um plano bidimensional. Esse método foi

desenvolvido por Gaspard Monge e teve grande

impacto no desenvolvimento tecnológico desde

sua sistematização. Percebida sua importância, ageometria descritiva foi tratada com atenção e

considerada, no início, uma espécie de segredo de

estado. O Ensino de Geometria Descritiva têm o intuito de desenvolver a

habilidade de visão espacial em ambientes tridimensionais. No entanto têm sido

severamente questionada, pois sua aplicação é voltada a aspectos técnicos comoem engenharia e arquitetura, e não existe função de uso dos conceitos

aprendidos no dia-a-dia.

Por este fato as redes de ensino têm eliminado de suas grades a

Geometria Descritiva, tendo-a substituído por disciplinas mais condizentes com o

nosso cotidiano, como o desenho artístico e ensino de softwares de modelagem

tridimensional.



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Geometria Projetiva

A geometria projetiva surge com as dificuldades dos artistas do

Renascimento, para dar aos quadros que pintavam uma forma real dos objetos

inspirados de modo que as pessoas ao olharem os identificassem sem

dificuldades.

Geometria Fractal

A geometria fractal é o ramo da matemática que estuda as

propriedades e comportamento dos fractais. O termo fractal vem do latim

fractus , fração, quebrado e diz respeito a figuras da geometria não-Euclidiana.

Descreve muitas situações que não podem ser explicadas facilmente

pela geometria clássica, e foram aplicadas em ciência, tecnologia e arte gerada

por computador. As raízes conceituais dos fractais remontam a tentativas de



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medir o tamanho de objetos para os quais as definições tradicionais baseadas na

geometria euclidiana falham.

Geometria Analítica

A Geometria Analítica foi concebida

por René Descartes. Aliando a Álgebra à

Geometria, ela possibilita o estudo das figuras

geométricas, associando-as a um sistema de

coordenadas. Desse modo, as figuras podem

ser representadas por pares ordenados,

equações ou inequações.

Topologia

Topologia (do grego topos , "lugar", e logos , "estudo") é o ramo da

matemática que estuda os espaços topológicos, sendo considerado uma extensão

da geometria.



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A palavra topologia é usada tanto para descrever essa área de estudos

quanto para designar uma família de conjuntos (conjuntos abertos), que são

utilizados para definir o conceito básico da teoria, o espaço topológico. Uma

classe de funções particurlamente importante no estudo dos espaços topológicos

são funções conhecidas como homeomorfismos. Elas são as funções que

preservam a "estrutura topológica" do seus espaços, assim se entre dois espaços

existe um homeomorfismo então eles são topologicamente indistinguíveis.

Os elementos básicos que nos dizem respeito na disciplinarização da

topologia nas séries iniciais são as noções de: Vizinhança;

Contorno;

Ordem;

Separação;

Continuidade.

O que é necessário ensinar sobre Geometria?

O que dizem os referenciais...

As Matrizes de Referência de Matemática, que têm por diretriz os

Parâmetros Curriculares Nacionais, devem ser apresentadas em duas dimensões.

Em uma dimensão devem ser expressos os temas relacionados a cada área do

conhecimento e, em outra, devem ser descritas as habilidades a serem



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desenvolvidas ao longo de cada ciclo, e que resultam nos descritores avaliativos

dos testes nacionais. Dentre os quatro temas da Matriz de Matemática nos

interessa nesse curso o de nome “Espaço e Forma”.

E o que são os descritores?...

Os descritores constituem os objetivos e metas a serem alcançados

em nível de desenvolvimento de competências e habilidades. Para o tema Espaço e

Forma nas séries iniciais, temos:

D1 – Identificar a localização/movimento de objetos em mapas, croquis e outrasrepresentações gráficas;

D2 – Identificar propriedades comuns e diferenças entre poliedros e corpos

redondos, relacionando figuras tridimensionais com suas planificações;

D3 – Identificar propriedades comuns e diferenças entre figuras bidimensionais

pelo número de lados e pelos tipos de ângulos;

D4 – Identificar quadriláteros observando as posições relativas entre seus lados

(paralelos, concorrentes, perpendiculares);

D5 – Reconhecer a conservação ou modificação de medidas dos lados do

perímetro, da área em ampliação e/ou redução de figuras poligonais usando

malhas quadriculadas.

Agora você!

Com base no que foi apresentado e em suas experiências, desenvolva uma

atividade que cumpra um dos Descritores do tema Espaço e Forma. Descreva a

atividade, seu objetivo, recursos necessários e faixa etária do público a ser

atendido.



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CAPÍTULO II

Introduzindo conceitos básicos de formasgeométricas por meio do Tangram

A lenda do Tangram

Diz a lenda que um sábio chinês deveria levar ao Imperador uma placa

de jade, mas, no meio do caminho, o sábio tropeçou e deixou cair a placa que se

partiu em sete pedaços geometricamente perfeitos. Eis que o sábio tentou

remendar e, a cada tentativa, surgia uma nova figura. Depois de muito tentar,

ele, finalmente, conseguiu formar novamente o quadrado e levou ao seu

Imperador. Os sete pedaços representariam as sete virtudes chinesas, onde uma

delas, com certeza seria a paciência. O sábio mostrou a seus amigos as figuras

que havia conseguido montar e cada um construiu o seu tangram.

Agora você!

A lenda do tangram certamente é uma estória fantasiosa, mas o jogo é sem

dúvida uma grande descoberta. Segundo pesquisadores se podem construir até



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1700 figuras com as sete peças do Tangram. Para conhecermos um pouco mais as

potencialidades desse instrumento, vamos confeccionar o nosso?

1º Passo - Construir o molde

O molde deverá ser construído em papel A4 utilizando-se dobraduras paratransformá-lo em um quadrado perfeito considerando que o Tangram em suaforma de origem constitui-se num quadrado. As dobraduras serão efetuadasdurante todo o processo de construção do molde como vemos nas fotos a seguir:

i. Sobrepomos um dos lados menores sobre um dos lados maiores (fig. 1) do

papel A4 visto que ele é um retângulo e depois o vincamos (fig. 2)

(fig. 1) (fig. 2)

ii. Cortamos o excedente do papel com

tesoura ou estilete, ou ainda, fazemos

uma dobradura e a rasgamos na falta de

um instrumento cortante (fig. 3).

(fig. 3)

iii. Utilizamos a marca da dobradura para

traçar uma linha com régua e caneta ou

lápis (fig. 4).

(fig. 4).



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iv. Dobramos o lado oposto da primeira dobradura de forma que as duas

marcas formem uma cruz perfeita (fig. 5). Em seguida, traçamos uma linha

– também na marca da dobradura – de uma das pontas até o centro

(encontro das dobraduras) surgindo assim, os dois triângulos maiores (fig.

6).

(fig. 5) (fig. 6)

v. Em seguida, colocamos o vértice oposto ao da ultima linha traçada (fig. 7)

exatamente no centro do molde dando origem a uma reta paralela a

primeira (fig. 8), construindo desta forma, o triângulo médio do nosso

tangram sem deixar de desenhá-lo (fig. 9).

(fig. 7) (fig. 8) (fig. 9)

vi. Aproveitando a segunda linha

desenhada (do vértice ao centro),

damos sequência do centro até a

paralela menor, desta forma:

(fig. 10)



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vii. Para criar o quadrado pequeno contido no tangram, dobramos uma das

pontas que contêm a primeira reta até ao centro e marcamos a dobradura

no espaço entre as duas linhas paralelas – sempre desenhando a reta na

marca da dobradura. Com esse procedimento conseguimos o quadrado e um

triângulo pequeno (fig. 11 e 12). Veja:

(fig. 11) (fig. 12)

viii. Enfim, a última dobradura com a qual conseguiremos as duas últimas peças.

Vale ressaltar que quando a reta paralela à reta central foi traçada, ela

incidiu justamente no ponto médio de dois lados do quadrado. Então,

podemos levar esse ponto médio exatamente ao centro e traçar umsegmento de reta paralelo ao lado do quadrado (tangram) dentro do espaço

entre a linha central e a paralela à ela conseguindo assim, um segundo

triângulo pequeno congruente ao terceiro e um paralelogramo. Neste

momento surgem todas as peças do tangram (fig. 13, 14 e 15).

(fig. 13) (fig. 14) (fig. 15)



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ix. Enfim, o molde do tangram está

pronto para ser colado em outro

material. Nossa sugestão é papel

cartão ou papelão. (fig. 16)

(fig. 16)

2º Passo - Construir o tangram usando o molde

i. Colamos o molde no verso do papel (se for colorido).

ii. Em seguida cortamos o tangram de acordo com as linhas desenhadas.

Pronto, podemos brincar!

Atividades

1) Com as peças do tangram monte figuras livres.

2) Reproduza as figuras abaixo com seu tangram;



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3) Tente descobrir com que peças foram montadas as figuras abaixo:

4) Depois de discutir sobre as formas das figuras da atividade anterior,

classifique-as em convexas e não-convexas.

5) Depois de discutir sobre as formas das peças que constituem o tangram,

classifique-as em Triláteros e quadriláteros.

6) Desafiamos que você monte um quadrado usando:

a) Duas peças;

b) Três peças;

c) Sete peças.

7) Desafiamos que você monte um triângulo usando:a) Duas peças;

b) Três peças;

c) Cinco peças;

d) Sete peças.



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CAPÍTULO III

Introduzindo conceitos básicos de formasgeométricas por meio de dobraduras

O Origami

Origami (do japonês: 折り紙, de oru ,"dobrar", e kami , "papel") é a arte tradicional esecular japonesa de dobrar o papel, criandorepresentações de determinados seres ou objetos com as dobras geométricas deuma peça de papel, sem cortá-la ou colá-la.

A origem exata do origami é desconhecida, mas acredita-se que tenhasurgido como uma decorrência natural da invenção e divulgação do papel, e aindasegundo alguns pesquisadores está relacionada com um costume ou crençareligiosa de épocas passadas.

Os origamis de origem ocidental apresentavam as formas geométricascomo característica predominante, enquanto que as do Japão sempre foram maisfigurativas, ou seja, imitando formas de animais, pessoas, flores, etc. Por estemotivo em uma determinada época o origami foi bastante criticado, pois seacreditava que era uma arte imitativa, mas só com o tempo que se provou ocontrário.

Acreditamos que utilizar desta arte milenar na sala de aula poderáfazer grande diferença, enriquecendo a aula e tornando a aprendizagem maisinteressante e mais divertida.

http://en.wikipedia.org/wiki/wikt:%E6%8A%98%E3%82%8A%E7%B4%99





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Agora você!

Recorte dezenas de fichas quadradas de papel lustroso ou de revistas

ou de panfletos com medidas de 12 centímetros de lado. Observe que ainda nãotrabalhamos medida, assim, com os alunos é recomendável que já leve as fichasrecortadas para a sala de aula ou recomende que façam do mesmo tamanho deuma ficha tomada por referência. Depois de confeccionadas suas fichas, siga os12 encaminhamentos a seguir:

1) Tome uma ficha de 12cm x12 cm. 2) Dobre horizontalmente ao meio.

3) Dobre cada metade ao meiohorizontalmente...

4) ...obtendo a seguinte forma.

5) Dobre a peça da ponta inferiordireita trazendo-a ao centrosuperior.

6) Gire a peça 180º e faça o mesmona outra ponta.



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7) Dobre a aba interna para dentro... 8) ... e introduza a ponteira nadobradura.

9) Faça o mesmo do outro lado. 10) Dobre a ponta para a costa dapeça.

11) Faça o mesmo na outra ponta eterá uma peça pronta. Obs: É extremamente importante que

em cada etapa se discuta com os alunosque figura geométrica estão sendoformadas, recapitulando o aprendidocom o tangram. Com outras dezenas depeças iguais a esta podemos formardiversas figuras espaciais, tais como ocubo, prismas, icosaedro estrelado e oque mais a imaginação permitir.



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Em resumo:

Outra técnica utiliza as seguintes dobraduras:



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Exemplos:

Obs: Dobre os excessos paradentro, isso permitirá que vocêutilize a peça como face de vários

poliedros que poderá construircom várias peças como essa.

IcosaedroEstrelado

Hexaedroou Cubo



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CAPÍTULO IV

O problema da Medida

Medir é uma operação com que nosdeparamos todos os dias: o engen heiro aoconstruir uma casa, uma dona de casa aofazer suas compras, o agricultor ao limitar

seu terreno, a costureira ao fazer um vestido etc.

Como vemos, nas mais variadas circunstâncias temos a necessidade deefetuar medições.

O problema de medir é bem antigo, segundo nos relata o historiadorHeródoto (considerado o pai da história): “o rei Sesótris repartiu o Egito em

(cerca de 4000 mil anos atrás) em porções retangulares da terra entre apopulação egípcia, com a obrigação de cada indivíduo pagar um certo tributo porano. Se algum terreno fosse diminuído pelas águas do Nilo, que o dono reclamasseao rei, este mandaria medidores ao local saber de quanto tinha diminuído, e,conseqüentemente, o tributo seria diminuído”.

Mas o que significa medir?

Medir, podemos dizer, é comparar duas grandezas de mesma espécie – área com área, volume com volume, comprimento com comprimento, velocidadecom velocidade, etc.

http://www.google.com.br/imgres?q=medida&hl=pt-BR&sa=X&biw=782&bih=756&tbm=isch&prmd=imvns&tbnid=QxmjpMJVGZw6dM:&imgrefurl=http://odiarioeducacional.blogspot.com/2011/08/unidades-de-medida-e-o-si.html&docid=2th1ctjz2jasbM&imgurl=http://2.bp.blogspot.com/-OquaXs1r-fQ/TkgceLOm4FI/AAAAAAAAAgc/oxGm6oFQRQY/s1600/Unidad+de+medida.jpg&w=555&h=391&ei=rmLlTovYF4vtgge66p2wBA&zoom=1

http://www.google.com.br/imgres?q=medida&hl=pt-BR&sa=X&biw=782&bih=756&tbm=isch&prmd=imvns&tbnid=QxmjpMJVGZw6dM:&imgrefurl=http://odiarioeducacional.blogspot.com/2011/08/unidades-de-medida-e-o-si.html&docid=2th1ctjz2jasbM&imgurl=http://2.bp.blogspot.com/-OquaXs1r-fQ/TkgceLOm4FI/AAAAAAAAAgc/oxGm6oFQRQY/s1600/Unidad+de+medida.jpg&w=555&h=391&ei=rmLlTovYF4vtgge66p2wBA&zoom=1



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Atividade: Suponha que você tem que medir a área do hexágono abaixo.

O problema consiste em comparar a área da figura dada com a área deuma outra figura qualquer, que o leitor escolher. Essa figura pode ser qualqueruma (a que resolve melhor o problema); suponhamos que o leitor escolheu otriângulo eqüilátero cujo lado tem o mesmo comprimento do lado do hexágono. Emseguida o leitor deverá ver quantas vezes o triângulo se acha contido no

hexágono, resultando um número (que neste caso é 6)

É esse número que chamamos de medida da grandeza (hexágono).

Sendo o triângulo a grandeza tomada como termo de comparação,temos:

Onde:

6.

A A

A Área do hexágono

A Área do triângulo

A grandeza que serve de termo de comparação é chamada de unidade.

Em resumo, para se efetuara operação de medição é necessário:

1) Estabelecer um único termo de comparação para todas as grandezas demesma espécie – a unidade.

2) Procurar responder a pergunta – quantas vezes? – a fim de obter um

número, que é a medida da grandeza dada, na unidade adotada.



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Qual a influência da unidade na medida?

Para responder a esta pergunta, observemos a relação abaixo:Grandeza = medida . unidade , ou em símbolos, G = m . u

Se diminuirmos u , teremos que aumentar m , a fim de conservar oproduto m . u constante e igual a G , e vice-versa.

No caso da medida do hexágono, tomando-se o triângulo eqüilátero demesmo lado que o hexágono resultou m = 6. Se, porém, tomarmos como unidade

um triângulo menor, como mostra a figura abaixo, m aumentará.

No exemplo acima, tomamos um triângulo de área quatro vezes menor,e m que era 6 passou a ser 4 vezes maior (m = 24). Então tanto faz dizer que aárea do hexágono é 6u ou 24u’ .

De uma maneira geral, se uma grandeza, medida com uma unidade u ,mede m , e sendo u subdividida em n partes iguais (u’ = u /n ), a medida m será dada

por .m n

n(no caso anterior m.n = 24 e n = 4).

Geralmente medimos áreas em metros quadrados. Tal procedimento sedeve a adotar para unidade a área de um quadrado e não triângulos com fizemosanteriormente. Esse hábito nos foi legado pelos povos da antiguidade, a citar, osegípcios que plantavam arroz e cevada em terrenos retangulares por teremverificado que o ladrilho levava vantagem como unidade de medida emsubstituição às espigas de arroz e de cevadas. Assim a medida do terrenoretangular seria um número de ladrilhos. Nasce deste modo a fórmula base x

altura.



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Ex: 4 x 3 = 12 ladrilhos ou 12 metros quadrados.

Ladrilhos

Surge uma dificuldade!

Nos casos anteriores, as unidades foram escolhidas de tal maneira quese achassem contidas um certo número (inteiro) de vezes dentro da figura que sequeria medir. Isto, na prática, só por um acaso acontece, sendo que na maioriados casos a unidade não se contém um número inteiro de vezes na grandeza a

medir.

É o que acontece no caso abaixo, onde desejamos medir o seguimentoCD adotando para unidade o segmento AB u .

Na figura notamos que AB não cabe um número inteiro de vezes emCD (sobra um “pedaço” ED ). Para resolver isso, podemos lançar mão de umasubdivisão de AB em três partes iguais.

A nova unidadeu’

se achou contida em CD 10 vezes, isto é,10. 'CD u

Assim como,

3. ' AB u

Logo,

10. ' 10

3. ' 3

CD u

u AB



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ou seja

10

3CD AB

Mas, 10 não é divisível por 3, isto é, a razão 10

3não resulta um número

inteiro. Isso nos sugere uma nova classe de números, isto por reconhecermos ainsuficiência dos inteiros para resolver o problema.

Esta nova classe é o conjunto dos números racionais, que são definidos

como o conjunto de todos os números da forma a

bcom a e b inteiros e b

diferente de zero.

Números Racionais e Medidas de Área

Se você tomar um quadrado de lado igual a um como unidade de área,estará afirmando que sua área é um, e, portanto, se dividir esse quadrado em

partes iguais, cada uma dessas partes terá 1/n da unidade da área. Assim, porexemplo, quando você divide em 3 partes iguais, cada parte mede um terço deunidade de área.

Conclusão: 1 = 3 . (1/3) ou 1 : 1/3 = 3, ou seja, 1/3 está contido 3 vezes naunidade.

Se dividirmos um lado de um quadrado unitário em 3 partes iguais e o

lado adjacente em 4 partes iguais, obteremos 12 retângulos de área 1/12, comomostra o desenho a seguir:



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Observe que 1/12 = (1/3).(1/4) representa a medida de área doretângulo de dimensões 1/3 e 1/4. Além disso, 1 : (1/12) = 12, ou seja, o quadradounitário contém 12 retângulos de área 1/12 e, isto quer dizer que a medida da

área do quadrado unitário é 12 (1/12).

Generalizando:

Se o retângulo de área 1/p está contido exatamente p vezes no

quadrado unitário, ou seja, p(1/p) = 1, então 1 : (1/p) = p, e o número p é

dito a medida do quadrado unitário em relação à unidade 1/p.

Agora você!

1) Usando uma folha de papel A4 ou jornal, construa um quadrado unitário

dividido em:

a) 3 linhas e 5 colunas;

b) 2 linhas e 4 colunas;

c) 5 linhas e 2 colunas;

d) 4 linhas e 7 colunas.

2) Tomam-se folhas de papel A4 contendo figuras geométricas e recortes de figuras

menores feitas em cartolina ou papel cartão.

Fase 1 – mede-se o retângulo maior tomando-se por unidade a figura recortada

do retângulo;



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Fase 2 – mede-se o retângulo menor tomando-se por unidade a figura recortada

do retângulo;

Fase 3 – mede-se o hexágono com o triângulo recortado maior;

Fase 4 – mede-se o hexágono com triângulo recortado.

Ao final de cada medição realizar um debate sobre o observado, procurando

construir a noção de medida , unidade de medida , grandeza e comensurabilidade .

3) De posse de uma folha de papel comum ou jornal, recortar duas faixas, uma

grande e outra pequena. Cada pessoa deve medir o colega primeiro com a faixa

grande, depois com a faixa pequena. Deve-se deixar com que os alunos meçam da

maneira que quiserem depois se pode discutir seus resultados e como os

obtiveram. O objetivo da tarefa é mostrar o que vem a ser incomensurabilidade .

4) Escolhem-se dois colegas quaisquer da sala. Pede-se a cada um que dê um

salto à distância. Depois se pede para um colega baixinho e outro mais alto

medirem com seus passos as distâncias dos saltos dos colegas (se o espaço for

pequeno pede-se que meçam com o comprimento de seus pés).

O objetivo da tarefa é criar uma situação para discussão da necessidade de

estabelecimento de um padrão de medida para indicar o vencedor da brincadeira.

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