www.ulpgc.es/publicaciones

2016

INTRODUCCIÓN A LA MODELIZACIÓN DELA VOLATILIDAD FINANCIERA

JORGE V. PÉREZ RODRÍGUEZ

Reservados todos los derechos por la legislación española en materia de Propiedad Intelectual. Ni la totalidad ni parte deesta obra puede reproducirse, almacenarse o transmitirse en manera alguna por medio ya sea electrónico, químico, óptico,informático, de grabación o de fotocopia, sin permiso previo, por escrito de la editorial.

PÉREZ RODRÍGUEZ, Jorge V.Introducción a la modelización de la volatilidad financiera [Recurso electrónico] / Jorge V. Pérez

Rodríguez. — Las Palmas de Gran Canaria : Universidad de Las Palmas de Gran Canaria, Servicio dePublicaciones y Difusión Científica, 2016

1 archivo pdf (316 p.) ISBN 978-84-9042-253-31. Mercado financiero - Modelos matemáticos 2. Riesgo (Economía) I. Universidad de Las Palmas

de Gran Canaria, ed. II. Título 336.764.2

© de los textos: Jorge V. Pérez Rodríguez

© de la edición: Universidad de Las Palmas de Gran Canaria

Servicio de Publicaciones y Difusión Científicawww.ulpgc.es/publicaciones

serpubli@ulpgc.es

Primera edición, 2016

Maquetación y diseño: Servicio de Publi ca ciones y Difusión Científica de la ULPGC

ISBN: 978-84-9042-253-3Depósito Legal: GC 441-2016

IBIC: KFFM

INTRODUCCIÓN A LA MODELIZACIÓN DE

LA VOLATILIDAD FINANCIERA

JORGE V. PÉREZ RODRÍGUEZ

La publicación de esta obra ha sido aprobada, tras recibir dictamen favorable enun proceso de evaluación externo y, también, en un proceso de evaluación interno,

por el Consejo Editorial del Servicio de Publicaciones y Difusión Científica de la ULPGC

ÍNDICE Indice de materias Página Prólogo Parte I. Introducción Capítulo 1. Riesgo y volatilidad 1. Introducción ……………………………………………………………. 2. Algunas regularidades empíricas en las rentabilidades de los activos … 3. Detección de la existencia de heterocedasticidad condicionada ……….

3.1. Contraste de no autocorrelación serial de los residuos ………… 23 3.2. Contrastando la existencia de ARCH lineales. El multiplicador de Lagrange ……………………………………..........................

3.3. Contrastando la existencia de ARCH no lineales ………………. 27 3.4. Contraste de independencia versus no linealidad. El contraste BDS ……………………………………………………………

3.4.1. Un ejemplo ………………………………………………..

Parte II. Modelos estándar de volatilidad

Capítulo 2. El modelo ARCH. Especificación y estimación

1. Introducción ……………………………………………………………. 33 2. Especificación …………………………………………………............. 34

2.1. Características ………………………………………………….. 35 2.2. Propiedades …………………………………………………….. 37 2.3. Extensiones no lineales del ARCH(q) ………………………….. 42

3. Estimación …………………………………………………………….. 44 3.1. Máxima verosimilitud ……………………………………......... 45 3.1.1. Algunos tipos de funciones de verosimilitud ……………. 46 3.1.2. Algoritmos de optimización …………………. …………. 49 3.1.3. Expresiones del gradiente y hessiano en un ARCH(q) …………………………………………………..

3.1.4. Estimación robusta de los parámetros ……….. …………. 3.1.5. Un ejemplo ………………………………………………. 55 3.2. Métodos no paramétricos. Regresión por el método kernel ……. 57

4. Apéndice ………………………………………………………………..

4

141622

26

28 29

5053

59

……………………………………………………………….. … 10

Capítulo 3. El modelo ARCH. Contraste y predicción 1. Introducción …………………………………………………………… 63 2. Evaluación y diagnóstico del modelo estimado ……………………….. 63

2.1. Contrastes de especificación incorrecta ………………................ 63 2.1.1. Normalidad de los residuos estandarizados ……………… 2.1.2. Contraste de ausencia de correlación serial en los residuos estandarizados …………………………………………….

2.1.3. Contrastes de especificación incorrecta en ARCH lineales. Los contrastes de signo extendidos ……………………..

2.1.4. Contraste RBD para la varianza condicionada ………….. 68 2.1.5. Independencia e idéntica distribución de los residuos estandarizados. El contraste BDS ………………………..

2.1.6. Contrastes de estabilidad de la varianza ………………… 2.1.6.1. Contraste de estabilidad cuando se conoce el punto de ruptura …………………………………

2.1.6.2. Detección de cambios en la varianza en fecha desconocida. El algoritmo ICSS ….....................

2.1.6.3. Contrastando si los parámetros del modelo son constantes ............................................................

2.1. . Consistencia e insesgadez de la estimación ARCH………. 76 2.2. Selección de modelos …………………………………….......... 77 2.2.1. Modelos anidados ………………………………….......... 77 2.2.2. Modelos no anidados. Test de abarcamiento ……………. 79

3. Predicción ……………………………………………………………… 80 3.1. Predicción de la media condicional en presencia de volatilidad condicional ………………………………………………………

3.1.1. AR(1)-ARCH(q) ………………………………………… 823.2. Predicción de la varianza condicionada ………………………… 3.3. Evaluación de la capacidad predictiva de los modelos de varianza condicional …………………………………………….

3.3.1. Medidas de bondad de la predicción ……….……………. 84 3.3.2. Contrastes ……….……………………………………… 86

3.3.2.1. Contraste de abarcamiento de las predicciones … 86 3.3.2.2. Contraste de Diebold y Mariano ……………….. 87 3.3.2.3. Regresión de Mincer-Zarnowitz ……………….. 88

4. Apéndice ………………………………………………………………..

Capítulo 4. Generalización del modelo ARCH: El modelo GARCH 1. Introducción ……………………………………………………………. 92 2. La generalización ARCH. El modelo GARCH(p,q) …………………... 93

2.1. Especificación ……………………............................................... 93 2.1.1. Propiedades ……………………………………………… 94 2.1.2. Retardo medio y mediano ……………………………….. 103

2.2. Estimación …………………….................................................... 106

5

64

65

66

68 69

69

71

75

80

83

84

89

7

2.3. Predicción. ECM en un GARCH(p,q) ………………………...... 108 2.4. El modelo GARCH(1,1) como punto de partida para modelar la dinámica de la volatilidad de los rendimientos financieros ……..

3. GARCH con componentes de largo plazo …………………………….. 114 4. Funciones de respuesta al impulso para la varianza …………………… Capítulo 5. Asimetría en la respuesta de la volatilidad: Modelos GARCH asimétricos

1. Introducción …………………………………………............................ 2. Modelos asimétricos clásicos ………………………………………….. 120

2.1. Modelo EGARCH(p,q) o ARCH exponencial generalizado …… 120 2.2. Modelo de Glosten, Jagannathan y Runkle (GJR) ……………… 122 2.3. Curva de impacto de las noticias ……………………………….. 123 2.4. Modelo parcialmente no paramétrico o PNP …………………... 125 2.5. Asimetrías en el Ibex35 ………………………………………… 126

3. Extensiones de los modelos asimétricos ……………………………….. 129 3.1. Modelos GARCH asimétricos no lineales ……………………… 129 3.2. Modelo de componentes GARCH asimétrico ………………….. 130 3.3. El modelo APARCH. Un especificación que anida diversos modelos ARCH ……….…………………………………………

Capítulo 6. Cambios de régimen en la volatilidad condicional 1. Introducción ……………………………………………………………. 135 2. Parámetros cambiantes en la media pero no en la volatilidad condicional …………………………………………………………….

2.1. El modelo de espacio de estados con errores ARCH (STARCH) 2.2. Modelos STAR-GARCH ………………………………………..

3. Volatilidad siguiendo un proceso cambiante de Markov ……………… 3.1. Varianza ARCH cambiante según un proceso Markov (MSW- GARCH) ………………………………………………………...

3.2. Volatilidad markoviana pura …………………………………… 145 3.3. Modelos de cambio de régimen para la volatilidad de la peseta/US$ ………………………………………………………

4. Modelos GARCH de cambios de régimen …………………………….. 152 4.1. Modelos GARCH de transición suave o ST-GARCH …………. 152

4.1.1. LST-GARCH ……………………………………………… 4.1.2. EST-GARCH ……………………………………………… 153 4.1.3. Contraste de varianza condicional constante contra ST- GARCH ................................................................................

4.2. Modelo de volatilidad cambiante o VS-GARCH …………….... 4.3. Modelo asimétrico no lineal de transición suave o ANST- GARCH …………………………………………………………

4.4. Un ejemplo ……………………………………………………..

6

110

116

119

132

136 136 140 142

143

146

152

154 155

156 157

Capítulo 7. Volatilidad no estacionaria y memoria larga: Modelos IGARCH y FIGARCH

1. Introducción ……………………………………………………………. 162 2. Modelo integrado GARCH (IGARCH) ……………………………….. 163

2.1. RiskMetricsTM …………………………………………….. 2.2. ECM en el IGARCH(p,q) ………………………………………. 167

3. Modelo fraccionalmente integrado GARCH: FIGARCH(p,d,q) y extensiones ……………………………………………………………..

4. Heterogeneidad ARCH (HARCH): Volatilidad en diferentes horizontes temporales ................................................................................................

Capítulo 8. Causas y consecuencias de la volatilidad financiera: Modelos ARCH en media y con variables exógenas

1. Introducción …………………………………………………………… 176 2. Causas de la volatilidad financiera: ARCH con variables exógenas ….. 177 2.1. Riesgo y volumen de negociación ………………………………... 177 2.2. Shocks de otros mercados: Spillovers …………………………….. 179 3. Consecuencias de la volatilidad financiera: Modelos ARCH con media condicionada no nula …………………………………………………..

3.1. Modelo ARCH(q)-M ……………..…………………………........ 182

3.2. Modelo GARCH(p,q)-M ……………………………………........ 184

3.2.1. Primas de riesgo y volatilidad condicionada ……………… 184

4. Modelando conjuntamente causas y consecuencias …………………… 188

Capítulo 9. Modelizando la volatilidad y las correlaciones: Los modelos ARCH multiecuacionales

1. Introducción ……………………………………………………………. 191 2. Modelos vectoriales ………………………………….. ……………….. 193

2.1. Modelo GARCH multiecuacional estándar. El modelo VECH- GARCH …………………………………………………………

2.1.1. Restricciones sobre los parámetros ………………………... 195 2.2. Modelo BEKK-GARCH ……………………………………….. 196

2.2.1. Covarianza estacionaria …………………………………… 197 2.2.2. Estructuras observacionalmente equivalentes …………….. 198

2.3. Modelos ARCH factoriales ……………………………………. 201 2.3.1. El modelo de cartera formada por factores ……………….. 202 2.3.2. El modelo O-GARCH ……………………………………. 203

2.4. Modelos de correlaciones condicionales constantes y dinámicas ………………………………….…………………….

2.4.1. El modelo CCC ……………………………………………. 206 2.4.2. El modelo DCC ……………………………………………. 209

2.5. El modelo de regresión multiecuacional con errores GARCH .... 214

7

166

167

173

181

193

206

2.5.1. Estimación del modelo multiecuacional …………………. 215 3. Comprobación y diagnóstico de los modelos multiecuacionales ……… 219

3.1. Estadísticos de portmanteau ……………………………………. 220 3.2. Contraste de correlaciones constantes frente a correlaciones

variables …………………………………………………………

4. Funciones de respuesta al impulso multiecuacionales ………………… Capítulo 10. Volatilidad estocástica 1. Introducción ………………………………………………………….... 233 2. Modelo SV ………………………………….………............................. 3. Modelo MSV…………………………………………............................ 238 Parte III. Modelos de volatilidad de alta frecuencia Capítulo 11. Periodicidad intradiaria y volatilidad condicional 1. Introducción …………………………………………………………… 245 2. Detección de la periodicidad intradiaria ……………………………..... 3. Tratamiento de la periodicidad en los modelos GARCH……………….

3.1. Modelo GARCH con estacionalidad determinista. La inclusión de variables ficticias estacionales ……………………………….

3.2. Modelos GARCH con rentabilidades intradía desestacionalizadas ……………………………………………...

3.2.1. Modelización de los patrones periódicos intradía ………… 3.2.2. El efecto de la periodicidad en la interdependencia entre las

rentabilidades y volatilidades intradía ……………………..

3.3. Modelo GARCH periódico o P-GARCH …………………….… 260

Capítulo 12. El agrupamiento de las operaciones: El modelo de duración condicional autorregresiva

1. Introducción ……………………………………………………………. 263 2. Tiempos de transacción y variables de la negociación ………………... 264

2.1. Patrón intradiario y asimetría de las duraciones ………………... 265 2.1.1. Duraciones ajustadas ……………………………………… 267 2.1.2. Distribuciones asimétricas ………………………………… 269

3. Modelo ACD …………………………………………………………... 270 3.1. Estacionariedad de la varianza de las duraciones en un EACD(1,1) ………………………………………………………….

3.2. Estimación máximo verosímil. Distribuciones …………………….. 3.3. Una ilustración……………………………………………………… 275

. Apéndice ………………………………………………………………..

8

220 221

233

246 249

249

253 253

258

272 273

2804. El modelo ACM-ACD ………………………………………………… 2785

Capítulo 13. Volatilidad integrada y realizada 1. Introducción ………………………………………………………….... 282 2. Procesos de difusión y volatilidad integrada ………………………….. 3. Volatilidad realizada ………………………………………………….. 286 Parte IV. Práctica financiera Capítulo 14. Valor-en-Riesgo (VaR) 1. Introducción ……………………………………………………………. 291 2. Valor-en-Riesgo (Value-at-Risk, VaR) ………………………………… 291

2.1. Definición ………………………………………………………. 291 2.2. Posiciones largas y cortas en la negociación …………………… 294 2.3. Estimación ……………………………………………………… 295 2.4. Evaluación de las predicciones del VaR ………………………... 299

2.4.1. Evaluación intramuestral ………………………………… 299 2.4.2. Evaluación extramuestral ……………………………….. 302

Referencias bibliográficas ……………………………………………….

9

283

304

Prólogo

La rápida expansión de los mercados financieros y la creciente variedad y

complejidad de algunos de sus productos ha producido un creciente interés por la evaluación de dichos mercados, permitiendo incrementar el uso de nuevas y sofisticadas técnicas estadísticas y econométricas para medir, por ejemplo, el riesgo financiero.1

Este libro responde de forma general y extensa a cómo medir la volatilidad o riesgo en Finanzas usando métodos econométricos.

Cuatro son las grandes motivaciones del mismo. La primera, es la necesidad de estructurar una buena parte de los métodos

econométricos basados en la modelización dinámica del riesgo o volatilidad de los activos financieros, puesto que este ámbito de análisis ha resultado ser una prolífica rama de investigación en Economía y Finanzas desde 1982, a partir del trabajo seminal de Engle (1982), quien extendió el análisis de series temporales popularizado por Box y Jenkins (1976) para modelizar la varianza condicionada heterocedástica autorregresiva (ARCH).

La segunda es que, aunque la primera aplicación de los modelos ARCH fue realizada para las tasas de inflación en el ámbito macroeconómico,2 el modelo se ha hecho muy popular en la Econometría Financiera. Refieriéndose al artículo de Engle (1982), Franses y McAleer (2002) escriben que: “el artículo sobre ARCH ha tenido una enorme influencia tanto en la econometría teórica como aplicada, y fue influyente en el origen de la disciplina de la Econometría Financiera” (página 419). Así pues, la obtención del riesgo asociado con un activo o un índice bursátil así como su predicción futura, hace muy atractivo el uso de los modelos de series temporales para los económetras financieros.

La tercera motivación es que este libro pretende responder a esa demanda de aprendizaje creciente en métodos cuantitativos aplicados a las Finanzas, que cada vez más usuarios reclaman, aun cuando algunas de las más avanzadas metodologías son difíciles de comprender y consumen bastante tiempo en su implementación.

Y, la cuarta motivación es que este libro trata de contribuir a llenar un espacio aún escaso en la literatura en castellano sobre la modelización del riesgo de los activos financieros. En este sentido, este manual constituye un programa extenso de los modelos ARCH uniecuacionales y multiecuacionales que son aplicados por un amplio espectro de economistas, tanto en el campo de la econometría aplicada en general, como en el de las finanzas empíricas en particular.

1 Véase Campbell, Lo y MacKinlay (1997), Gourieroux y Jasiak (2001), Engle (2001a) y Bollerslev (2001), entre otros. 2 Usando datos del Reino Unido, Engle (1982) demostró que el modelo ARCH soporta la hipótesis de Friedman (1977) por la cual una inflación elevada es más volátil.

10

El contenido de este libro está formado por catorce capítulos los cuales están estructurados en cuatro partes. En la Parte I, se hace una introducción general de las volatilidades dinámicas. El Capítulo 1 hace una introducción general al riesgo y volatilidad ilustrando la características que permiten diseñar una teoría de volatilidades dinámicas basadas en regularidades empíricas observadas en los rendimientos financieros. También se considera cómo detectar los efectos denominados de varianza condicional heterocedástica autorregresiva, ARCH. En la Parte II, se explican los diferentes modelos estándar de volatilidad. El Capítulo 2 se dedica a describir las características del modelo ARCH: especificación, estimación, evaluación/contraste y predicción. El Capítulo 3 analiza la generalización ARCH, denominada GARCH, así como sus características. El Capítulo 4 hace referencia a los modelos GARCH asimétricos, quienes permiten modelar la respuesta asimétrica de la volatilidad. El Capítulo 5 trata los modelos ARCH en media como marco para evaluar las consecuencias de la volatilidad financiera, pero también los modelos ARCH con variables exógenas, como expresión de las causas de la volatilidad. El Capítulo 6 hace referencia a la modelización de la persistencia en forma de no estacionaried en la volatilidad así como la memoria largo, analizando los modelos GARCH integrados y fraccionalmente integrados, respectivamente. El Capítulo 7 considera los modelos para los cambios de régimen en la volatilidad condicional, como forma alternativa de modelar la asimetría y la no linealidad de la volatilidad. El Capítulo 8 introduce algunas nociones sobre los modelos no paramétricos y semiparamétricos de los modelos ARCH, los cuales permiten modelar de forma directa la curva de impacto de las noticias y evitar hacer supuestos distribucionales sobres los rendimientos. El Capítulo 9 analiza varios tipos de modelos multiecuacionales ARCH y algunas de sus principales características, los cuales sirven para modelar conjuntamente volatilidades y correlaciones de los rendimientos. Y el Capítulo 10 considera otros modelos como los de volatilidad estocástica, que aunque muy relacionados con los modelos ARCH, poseen características distintas desde el punto de vista econométrico. En la Parte III, se consideran los modelos de volatilidad para alta frecuencia. El Capítulo 11 versa sobre los modelos que consideran y tratan la estacionalidad intradiaria en el marco de la volatilidad condicional. El Capítulo 12 hace referencia a los modelos de duración condicional autorregresiva, basados en la idea de que el momento en que ocurre una operación o negocación es aleatorio. Estos modelos guardan similitudes con los modelos ARCH en cuanto a que son parecidos por detectar el agrupamiento de las operaciones. El Capítulo 13 hace referencia a la volatilidad integrada y su estimador, la volatilidad realizada, muy utilizados recientemente dada la existencia de información intradiaria de elevada frecuencia de observación. Finalmente, en la Parte IV, se consideran algunas aplicaciones propias de la práctica financiera. Así, el Capítulo 14 considera la aplicación de la metodología Value-at-Risk (VaR). En casi todos los capítulos se incluyen algunos ejemplos que son realizados en diferentes programas: E-Views 7, G@RCHTM 5 (OxMetrics), WinRATS 7 y GAUSS.

Este libro está dirigido no sólo a los estudiantes de cursos de series temporales en las Facultades de Economía y Empresa, alumnos de doctorado sino que también a todos aquellas personas que deseen tener una visión más extensa y estructurada

11

de los conocimientos sobre los modelos de varianza condicional heterocedástica que son aplicados en la Economía y en las Finanzas, y como no, también a aquellos estudiantes y profesionales de las Finanzas que desean adquirir cierto manejo en las técnicas econométricas de series temporales avanzadas orientadas a la predicción del riesgo.

Finalmente, desearía agradecer al Department of Statistics y al Centre for Research in Statistical Methodology (CRiSM) de la University of Warwick (Reino Unido), el especial apoyo que me proporcionaron al permitirme usar sus instalaciones (despacho incluido), durante la estancia de investigación que realicé en dicho Departamento desde finales de abril hasta mitad de noviembre de 2013, gracias a lo cual pude, entre otras tareas de investigación, dedicarme a revisar el contenido de cada capítulo de este libro.3 Asimismo, deseo agradecer el apoyo incondicional de algunos compañeros de mi Departamento, y amigos, que me han ayudado a perfilar el contenido final, fruto de amigables discusiones metodológicas, incluso a través de la colaboración en algún trabajo citado en este manual. Especialmente es el caso del profesor Eduardo Acosta-González, pero también desearía agradecer a los profesores Fernando Fernández-Rodríguez y Julián Andrada-Félix su inestimable apoyo. Por último, también deseo agradecer a Julio Afonso-Rodríguez las lecturas de versiones muy preliminares de este texto, así como a Francisco Ledesma-Rodríguez que siempre me ha animado a terminarlo, ambos profesores de la Universidad de La Laguna.

3 Adicionalmente, desearía resaltar que el origen de este libro, que comenzó a escribirse en 1995, es especialmente deudor de los trabajos de Novales y Gracia-Díez (1993), Sáez y Pérez-Rodríguez (1994, 1995), Pérez-Rodríguez (1995a,b) y Pérez-Rodríguez y Murillo (1997), de la colección de temas variados de Bollerslev, Chou y Kroner (1992), así como de los libros monográficos sobre modelos ARCH de Droesbeke, Fichet y Tassi (1994) y Engle (1995).

12