Introduksi MATRIKS (pertemuan1)

  • View
    84

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Introduksi MATRIKS (pertemuan1)

Introduksi : Matriks

JURUSAN TEKNIK MESIN UNIVERSITAS TARUMANAGARA1

Outline Pengertian dasar matriks Operasi matriks Tranpose dari matriks Jenis-jenis matriks

2

Learning ObjectivePemahaman dasar akan matriks. Mampu melakukan operasi-operasi pada matriks. Mampu melakukan transpose terhadap matriks. Mampu mengenal jenis-jenis matriks khusus.

3

PengertianDEFINISI: Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun/dijajarkan secara empat persegi panjang (menurut barisbaris dan kolom-kolom). Skalar-skalar itu disebut elemen matriks. Untuk batasannya diberikan: ( ) atau [ ] atau CONTOH:

2 3 5 6 7 0 1 4 3 1 2 6 kolom 1 2 3 4

baris 1 2 3

4

Pengertian (contd)NOTASI MATRIKSMatriks dapat diberi nama dengan huruf besar A, B, C, dsb.. Secara lengkap ditulis matriks A = (aij) artinya suatu matriks A yang elemen-elemennya aij, dimana indeks i menyatakan baris ke-i dan indeks j menyatakan kolom ke-j dari elemen tersebut. Ordinary form: Sebuah matriks A = (aij), i = 1,2,,m dan j = 1,2,,n; yang mana berarti bahwa banyaknya baris adalah m serta banyaknya kolom adalah n.

a11 a1n A= a amn m1

Dapat juga dinyatakan matriks Amxn = (aij), dimana (mxn) disebut ukuran (ordo) dari matriks.

5

Pengertian (contd)KESAMAAN MATRIKS 2 buah matriks A = (aij) dan B = (bij) dikatakan sama, A = B, bila: ukurannya sama (mxn) dan berlaku aij = bij untuk setiap i dan j (i = 1,2,,m; j = 1,2,,n).

1. 2.

6

Operasi Matriks Penjumlahan matriks Perkalian skalar terhadap matriks Perkalian antarmatriks

7

Penjumlahan MatriksDua matriks dapat dijumlah jika mempunyai ordo yang sama. Jika A = (aij) dan B = (bij), maka A + B adalah suatu matriks C = (cij), dimana: cij = aij + bij, untuk setiap i dan j. Mengurangi matriks A dengan B, yaitu A B, adalah menjumlahkan matriks A dengan matriks B. Contoh: 5 6 7 6 7 4

A23 = 8 3 4

B23 = 1 9 2

Maka:

C23 = A23 + B23

C23

5 6 7 6 7 4 5 + 6 6 + 7 7 + 4 = + = 8 3 4 1 9 2 8 +1 3 + 9 4 + 2 11 13 11 = 9 12 6

8

Perkalian skalar terhadap matriks Kalau k suatu skalar (bilangan) dan A = (aij) maka matriks kA = (kaij). D.k.l. matriks kA diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k. Contoh:Misalkan, bilangan skalar k = 3

2 3 1 A23 = 4 5 6 maka:

B23 = kA23 9 3 2 3 1 6 = 3 = 4 5 6 12 15 18 9

Perkalian antarmatriksPada umumnya operasi perkalian matriks tidak bersifat komutatif. Pada perkalian matriks AB, matriks A kita sebut matriks pertama dan B matriks kedua. Syarat perkalian matriks: jumlah banyaknya kolom matriks pertama = jumlah banyaknya baris matriks kedua. Definisi: Jika A = (aij) berordo (pxq) dan B = (bij) berordo (qxr). Maka, perkalian AB adalah suatu matriks C = (cij) berordo (pxr), dimana: cij = ai1 b1j + ai2 b2j + + aiq bqj untuk setiap i = 1,2,,p dan j = 1,2,,r.10

Perkalian antarmatriks (contd) Contoh:Jika diketahui:

A23maka:

1 3 2 = 4 0 5

B32

7 2 = 1 4 6 3

C22 = A23 B32 7 2 1 3 2 = 1 7 + 3 1 + 2 6 1 2 + 3 4 + 2 3 = 1 4 4 0 5 4 7 + 0 1 + 5 6 4 2 + 0 4 + 5 3 6 3 22 20 = 58 23

11

Operasi: sifat-sifat aritmatikaa. b. c. d. e. f. g. h. i.

A+ B = B+ AA + ( B + C ) = ( A + B) + C

Hukum komutatif penjumlahan Hukum asosiatif penjumlahan Hukum asosiatif perkalian Hukum distribusi kiri Hukum distribusi kanan

A ( BC ) = ( AB ) CA ( B C ) = AB AC

( B C ) A = BA CAk ( B C ) = kB kC

( k l ) A = kA lAk ( lB ) = ( kl ) Bk ( AB ) = ( kA) B = A ( kB )

dengan k dan l adalah skalar sebarang

12

Transpose : matriksSuatu matriks A = (aij) berordo (mxn) maka transpose dari A adalah matriks AT berordo (nxm) yang didapatkan dari A dengan menuliskan baris ke-i dari A, i = 1,2,,m, sebagai kolom ke-i dari AT. D.k.l. setiap elemen baris dijadikan kolom, AT = (aji). Contoh:

1 2 3 A= 4 5 6

1 4 T A = 2 5 3 6 13

Transpose : matriks (contd)SIFAT-SIFAT:

1. 2. 3. 4.

(A )( kA)

T T

=AT

( A B)T

= AT BT

= kAT

( AB ) = BT ATT

14

Transpose : matriks (contd) Contoh (1): Jika diketahui matriks A dan B sbb: 2 3 3 1 A= dan B = 1 4 4 2 Selidikilah apakah berlaku: a. b. c. d.

(A )( kA)T

T TT

=A= AT + BTjika k = 3

( A + B)

= kATT

( AB )

= BT AT15

Transpose : matriks (contd) Contoh (2):Buktikan bahwa setiap matriks bujur sangkar A dapat dinyatakan sebagai setengah dari jumlah matriks simetrik dan matriks simetrik miring (skew symmetric). Petunjuk: rumus identitas A =1 2

(A+ A )+ (A A )T 1 2 T

16

Jenis-jenis matriks khusus1. MATRIKS BUJUR SANGKARSuatu matriks dengan banyak baris = banyak kolom = n disebut matriks bujur sangkar berordo n. Barisan elemen a11,a22,,ann disebut diagonal utama dari matriks bujur sangkar A tersebut.

Contoh:

A22

4 3 = 2 1

A33

5 3 2 = 1 4 5 7 2 6 17

Jenis matriks (contd)2. MATRIKS BARIS (KOLOM) Matriks yang terdiri dari satu baris (kolom) atau matriks berordo 1 x n (n x 1), dengan n A. CONTOH:

A 13 = ( 2 1 3)matriks baris

2 B31 = 2 1 matriks kolom18

Jenis matriks (contd)3. MATRIKS DIAGONAL Matriks bujur sangkar, dimana elemen-elemen pada diagonal utama atau pada diagonal yang lain tidak nol, sedangkan elemen-elemen yang lain adalah nol. CONTOH:

5 0 0 4 0 , 0 4 0 0 1 0 0 6 19

Jenis matriks (contd)4. MATRIKS IDENTITAS (SATUAN) Matriks bujur sangkar, dimana elemen-elemen pada diagonal utama masing-masing adalah satu, sedangkan elemen-elemen yang lain adalah nol. CONTOH:

1 1 0 0 1 0 0 I2 = , I3 = 0 1 0 , I 4 = 0 0 1 0 0 1 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 120

Jenis matriks (contd)5. MATRIKS NOL Suatu matriks, dimana semua elemennya adalah nol. Jika matriks A = (aij) dan 0 adalah matriks nol, maka: A+0=0+A=A A0 = 0A = 0 Contoh:

022

0 0 = 0 0

023

0 0 0 = 0 0 021

Jenis matriks (contd)6. MATRIKS SINGULAR & NON-SINGULARMatriks singular adalah matriks bujur sangkar yang tidak mempunyai invers (berarti: determinannya sama dengan nol). Matriks non-singular adalah matriks bujur sangkar yang mempunyai invers (berarti: determinannya tidak sama dengan nol). Contoh: 1 5 3 Matriks singular : A = 2 7 2 A = 0 0 0 0

1 5 3 Matriks non-singular : B = 0 7 2 B = 63 0 0 9 22

Jenis matriks (contd)7. MATRIKS SIMETRIS Matriks yang transposenya sama dengan dirinya sendiri, A = AT atau aij = aji untuk semua i dan j. D.k.l. matriks bujur sangkar yang mana diagonal utamanya berfungsi sebagai cermin. CONTOH:

A33

5 1 6 = 1 4 3 6 3 6

23

Jenis matriks (contd)8. MATRIKS ANTISIMETRISMatriks yang transposenya adalah negatif, AT = -A atau aji = -aij untuk semua i dan j D.k.l. mudah dipahami bahwa semua elemen diagonal utama matriks antisimetris adalah nol. Contoh:

0 1 1 2 0 1 1 2 1 0 3 4 1 0 3 4 , BT = B= 1 3 0 1 1 3 0 1 2 4 1 0 2 4 1 0 24

Jenis matriks (contd)9. MATRIKS SEGITIGAMatriks bujur sangkar yang semua elemen di atas diagonal utamanya adalah nol disebut matriks segitiga bawah (lower triangular). Sedangkan, matriks bujur sangkar yang semua elemen di bawah diagonal utamanya adalah nol disebut matriks segitiga atas (upper triangular). 1 3 2 1 Contoh: 1 0 0

2 7 0 3 5 9

0 1 2 3 0 0 4 0 0 0 0 1

Matriks segitiga bawah

Matriks segitiga atas

25

Jenis matriks (contd)10. MATRIKS INVERS (KEBALIKAN)Kalau A dan B matriks-matriks bujur sangkar berordo n dan berlaku AB = BA = I maka dikatakan B invers dari A dan ditulis B = A-1, dan begitu pula sebaliknya.

Contoh:

1 2 3 C = 1 3 3 1 2 4

6 2 3 mempunyai invers C 1 = 1 1 0 1 0 1

1 0 0 karena CC 1 = C 1C = 0 1 0 = I 0 0 1

(coba selidiki!)26

Jenis matriks (contd)11. MATRIKS KOMUTATIFKalau A dan B matriks-matriks bujur sangkar dan berlaku AB = BA, maka A dan B dikatakan berkomutatif satu sama lain. Jelas bahwa setiap matriks bujur sangkar berkomutatif dengan I (yang ordonya sama) dan dengan inversnya (bila ada). Contoh:

2 1 3 1 A= dan B = 1 1 1 3

berkomutatif karena

7 5 AB = BA = 5 7

(coba selidiki!)27

Jenis matriks (contd)12. MATRIKS IDEMPOTEN, PERIODIK, NILPOTENBila berlaku AA = A2 = A, dikatakan matriks bujur sangkar A adalah matriks yang idempoten. Secara umum bila p bilangan asli (bulat positif) terkecil sehingga berlaku AAAA = Ap = A, maka dikatakan A matriks periodik dengan periode p-1. Kalau Ar = 0, dikatakan A nilpoten dengan indeks r (dimana r adalah bilangan bulat positif terkecil). Contoh: 2 2 4 2 2 4 idempoten

nilpoten

A33 = 1 3 4 A2 = 1 3 4 1 2 3 1 2 3 1 1 3 A33 = 5 2 6 A3 = 0 (coba selidiki!) 28 2 1 3