İşaretler konu anlatım

8/16/2019 İşaretler konu anlatım

1/116

Bölüm 2

İşaretler ve DoğrusalSi s t em l er


2/116

2.1 TEMEL KAVRAMLAR

2.1.1 İşaret Üzerinde Temel İşlemler

2.1.2.

İşaretlerin Sınıflandırılması

2.1.3 Bazı Önemli İşaretler ve Özellikleri

2.1.4. Sistemlerin Sınıflandırılması2.1.5. DZD Sistemlerin Zaman Düzlemi Analizi


3/116

Zaman Öteleme: Bir x(t) işaretini verilen sabit bir t 0

zamanı kadar öteleme,veya geciktirme, x(t-t 0 ) şeklinde bir işaret üretir.

Şekil 2.2 İşaretin ötelenmesi

Zamanda Tersleme: Bir işaretin zamanda terslenmesi veya çevrilmesi,dikey eksene göre işaret gösteriminin ayna görüntüsünün alınması işlemidir .Matematiksel olarak bir x(t) işaretinin zamanda terslenmesi x(-t) şeklindeifade edilir.

2.1.1 İşaret Üzerinde Temel İşlemler

Şekil 2.3 Bir işaretin zamanda terslenmesi


4/116

Zaman Ölçekleme: Zaman ölçekleme işaretin genleşmiş versiyonu veyasıkıştırılmış versiyonunu üretir . Genel olarak x(at) şeklinde ifade edilir veburada a>0’dır .

Şekil 2.4. Bir işaretin zaman ölçeklemesi

1a 1a

2.1.2.İşaretlerin Sınıflandırılması Sürekli Zamanlı ve Ayrık Zamanlı İşaretler : Sürekli zamanlı işaret x(t)bağımsız değişkeni t tüm gerçel sayı değerlerini alabilen bir işarettir . X[n]

şeklinde gösterilen ayrık zamanlı işaret bağımsız değişkeni n ise değer olarak sadece belirli bir tamsayı setinden değer alabilir.


5/116

Şekil 2.5. Ayrık zamanlı ve sürekli zamanlı işaret örnekleri

Sürekli zamanlı x(t) işaretinin T 0 aralıklarında

örneklenmesi ile ayrık zamanlı 0[ ] ( ) x n x nT işareti elde edilir

Örnek 2.1.1

Şekil 2.6. Sinüzoidal İşaret

Örnek 2.1.2

n Z

Şekil 2.7. Ayrık zamanlı sinüzoidal işaret


6/116

Gerçel ve Karmaşık (Kompleks) İşaretler Haberleşmede, karmaşıkişaretler genellikle genlik ve faz bilgisini ileten işaretlerin modellemesindekullanılır .

Örnek 2.1.3

0(2 )( ) j f t

x t Ae

Sanal bileşeni

işareti karmaşık bir işarettir. Bu işaretin gerçel bileşeni

Bu işaretin gerçel bileşeni

şeklinde ifade edilir

Yukarıdaki bu sonuçlar cos sin j

e j olarak verilen Euler eşitliği yardımı

ile elde edilmiştir

Bu işareti alternatif bir şekilde işaretin modülü ve fazı cinsinden de ifade etmek mümkündür. x(t)’ın mutlak değeri;

ve fazı


7/116

Karmaşık bir işaretin gerçel ve sanal bileşenler ile, modül ve fazı aşağıda verilenilişkiler kullanılarak verilir.

Deterministik ve Rastgele İşaretler : Deterministik işaretlerde herhangibir t anında x(t) işaretinin değeri gerçel veya sanal bir sayıdır . Rastgele(olasılıksal) işaret için verilen bir t anında x(t) rastgele bir değişkendir (random variable); yani işaretin değeri bir olasılık yoğunluk fonksiyonu

tarafından belirlenir.


8/116

Periyodik veya Periyodik Olmayan İşaretler : Periyodik işaret, tüm t değerleri için;

T 0 pozitif gerçel bir sayıdır(bu sayı işaretin periyodu olarak isimlendirilir).

Ayrık zamanlı periyodik işaretler ise, tüm n tamsayıları için

N 0 pozitif tamsayıdır (ve işaretin periyodu olarak adlandırılır).

Şekil 2.9 Birim basamak işareti.


9/116

Nedensel ve Nedensel Olmayan İşaretler :

0t ( ) 0 x t Bir x(t) işareti tüm için oluyor ise nedensel işaret olarak tanımlanır.

Benzer şekilde ayrık zamanlı bir işaret tüm 0n için sıfır değerini alıyor ise nedensel bir işarettir.

Örnek 2.1.6.

Şekil 2.10 Nedensel bir işaret örneği

işareti nedensel bir işarettir ve Şekil 2.10’da gösterimi yapılmıştır .


10/116

Çift ve Tek İşaretler :

Çift işaret

Tek işaret

Şekil 2.11. Çift ve tek işaret örnekleri

Genel olarak herhangi bir x(t) işaretitek ve çift bileşenleri cinsindenaşağıda olduğu gibi yazılabilir .


11/116


12/116

Enerji ve Güç İşaretleri :


13/116

Örnek 2.1.9

şeklinde tanımlanmış olan işaretin enerjisini bulun

Çözüm

olarak bulunur. Dolayısı ile bu işaret enerji işaretidir.


14/116

Örnek 2.1.10

işaretinin enerjisi;

olarak bulunur. Dolayısı ile bu işaret bir enerji işareti değildir. Ancak, işaretin gücü

olduğundan x(t) bir güç işaretidir ve gücü2

2

A dir.


15/116

Örnek 2.1.11T 0 periyoduna sahip herhangi bir periyodik işaretin enerjisi;

Dolayısı ile periyodik işaretler enerji işareti değildir .

Periyodik işaretin güç içeriğiyandaki gibi verilir. Bu sonucun

anlamı herhangi bir periyodikişaretin güç içeriğinin, bir periyotiçindeki ortalama güce eşitolduğudur .


16/116

2.1.3 Bazı Önemli İşaretler ve Özellikleri

Sinüzoidal İşaret

0 01/T f periyodu ile periyodiktir.

Burada A, f0 ve sırası ile işaretin genlik, frekans ve faz bilgisidir. Bir sinüzoidalişaret

Karmaşık Üstel İşaret

0(2 )( ) j f t

x t Ae

Burada aynı şekilde A, f 0 ve sırası ile işaretin genlik, frekans ve faz bilgisidir.


17/116

Birim Basamak İşareti Birim basamak herhangi bir işaret ile çarpıldığındasonuç işaretin “nedensel versiyonu”dur . a pozitif olmak kaydı ile bu işaret için apozitif olmak kaydı ile bu işaret için yazılabilir .(yani zamanda

ölçekleme işlemi bu işareti değiştirmez)

1 1( ) ( )u at u t

Dikdörtgen Darbe

Şekil 2.9 Birim basamak işareti.

Şekil 2.13. Dikdörtgen darbe


18/116

Örnek 2.1.13

3 3

6 42 ( ) ( )t t

Üçgen İşaret

14 2

( ) ( )t

Örnek 2.1.14


19/116

Bu ifade iki işaretin evrişimini (konvolüsyonunu) temsil eder ve evrişim

Sinc İşareti:

Yandaki şekilden, sinc işaretinin

maksimumu olan 1 değerini t = 0‘daaldığı gözükmektedir . Bu işaretin sıfırlarıise noktalarında eldeedilmektedir.

1, 2, 3,....t

Şekil 2.17 Sinc işareti


20/116

Sign veya Signum İşareti

Dürtü veya Delta İşareti: Matematiksel anlamda, dürtü işareti bir fonksiyon(veya işaret) değildir.

Şekil 2.20. Dürtü İşareti


21/116

Bazen ’in bazı bilinen işaretlerin limit durumu olarak düşünülmesi faydalıolmaktadır. Bu amaçla en sık kullanılan form;

veya

Dürtü işaretinin tanımından hareket ile elde edilen özellikler;

1. Tüm 0t değerleri için ( ) 0t ve (0)

2.

0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) x t t t x t t t

3. ( )t fonksiyonu t0 noktasında sürekli ise


22/116

4. t0 noktasında sürekli olan herhangi ( )t fonksiyonu için

5. 0a için

6. Herhangi bir fonksiyon ile dürtü fonksiyonunun evrişimi fonksiyonun kendisidiryani;

7.

Ayrıca


23/116

8. Birim basamak işareti, dürtü işaretinin entegralidir ve dürtü işareti birim basamakişaretinin genelleştirilmiş türevi olarak verilebilir. Yani

Ve

9.

Herhangi bir x(t) işaretin ( )t ‘nin n.inci türevi ile evrişimi, işaretin n.inci türevineeşittir.

ve örneklendirilir ise

10. Herhangi bir x(t)

işaretinin birim basamak işareti ile entegrali x(t) işaretinin entegraline eşittir.


24/116

Örnek 2.1.15

(cos ) ( ),(cos ) (2 3)t t t t ifadelerinin değerlerini belirleyin

Çözüm. (cos ) ( )t t belirlemek için Özellik 2 kullanılır ise

(cos ) ( 2 3)t t belirlemek için Özellik 3 kullanılır ise

ve Özellik 1’den hareket ile

elde edilir.


25/116

2.1.4. Sistemlerin Sınıflandırılması

Sistem bir giriş işareti tarafından uyarıldığında, çıkışında bir çıkış işareti üreten yapıdır

Burada x(t) giriş, y(t) çıkış ve sistem tarafından gerçekleştirilen işlemdir.

Şekil 2.21. Giriş ve çıkışı gösterilmiş olan bir sistem


26/116

Ayrık zamanlı ve Sürekli Zamanlı Sistemler

Ayrık zamanlı sistemler ayrık zamanlı işaretleri giriş olarak kabul eder veçıkışlarında ayrık zamanlı işaretler üretirler . Sürekli zamanlı sistemler için ise hem

giriş ve hem çıkış işaretleri sürekli zamanlı işaretlerdir .

Örnek 2.1.18.

ayrık zamanlı

türev alıcı sistem

Doğrusal ve Doğrusal Olmayan Sistemler. Doğrusal sistemlersüperpozisyon özelliği taşıyan yani sistemin giriş işaretlerinin doğrusal

kombinasyonuna verdiği tepki (sistem çıkışı) herbir giriş işareti içinverilen tepkilerin doğrusal kombinasyonudur.


27/116

Özellik: Bir sistemi, ancak ve ancak x 1(t) ve x 2 (t) giriş işaretleri ve ve gibi iki skalar için ise doğrusaldır.

Bu özelliği karşılamayan herhangi bir sistem doğrusal olmayan sistem ola-rak adlandırılır. Sunum boyunca doğrusal sistemler göster imi yerine ile ifade edile-cektir.

Örnek 2.1.19

Yukarıda tanımlanmış olan türev alıcı doğrusal sistemlere bir örnektir.

x1(t) ve x2(t) türevi alınabilir ise ve değerleri için 1 2( ) ( ) x t x t de tü-

revi alınabilir olmalıdır ve

2( ) ( ) y t x t ifadesi ile tanımlanan sistem ise doğrusal olmayan sistemdir.

Çünkü bu sistemin 2 ( ) x t girişine yanıtı

şeklindedir.


28/116

Zamanla Değişmeyen ve Zamanla Değişen Sistemler

Bir sistem ancak ve ancak, tüm x(t) ve tüm t0 değerleri için, 0( ) x t t için

sistem yanıtı 0( ) y t t

ise zamanla değişmeyen bir sistemdir. Burada y(t), sis-temin x(t) için üretmiş olduğu yanıttır.

Şekil 2.23 Zamanla değişmeyen sistem


29/116

Örnek 2.1.21.

Türev alıcı zamanla değişmeyen bir sistemdir. Çünkü

olmaktadır.

Örnek 2.1.22.

şeklinde tanımlanmış olan bir modülatör za-manla değişen sisteme örnek olarak verilebilir. Bu sistemin

0( ) x t t girişi için vereceği yanıt: olur ki bu

0( ) y t t yanıtına eşit değildir.

NOT: Doğrusal Zamanla Değişmeyen (DZD) sistem kümesi bazı n

e-

denlerden dolayı özellikle önemlidir. Bu sistemlerin girişlerine göster-dikleri yanıt, basit bir şekilde giriş işareti ile sistemin birim dürtü yanı-tının evrişimi (konvolüsyonu) olarak elde edilebilir.


30/116

Nedensel ve Nedensel Olmayan Sistemler. Nedensellik sistemle-rin fiziksel olarak gerçekleştirilebilirliği ile ilgilidir. Hiçbir fiziksel sistem,

girişinin gelecek bir zaman diliminde ne olacağını bilemeyeceğinden,fiziksel olarak ger çekleştirilebilir sistem çıkışının sadece girişin öncekideğerlerine bağlı olması gerektiğini ve sistem çıkışının girişin gelecek-teki değerlerine bağlı olamayacağını kabul edebiliriz.

Bir sistemin herhangi bir t 0 anındaki çıkışı sistemin o ana kadarki giriş-lerine bağlı ise bu sistem nedensel sistemdir. Yani

Bir DZD sistemin nedensel olabilmesi için gerekli ve yeterli koşul birimdürtü yanıtı h(t)’in nedensel bir işaret olmasıdır . Yani 0t için h(t)=0olmalıdır . Nedensel olmayan sistemler için ise, t 0 anındaki sistem çıkışıgirişin t 0 ‘dan sonraki değerlerine de (yani gelecekteki değerlerine) bağ-lıdır.


31/116

2.1.5. DZD Sistemlerin Zaman Düzlemi Analizi

Bu tür sistemler için giriş-çıkış ilişkisi, evrişim (konvolusyon) entegrali ile ifade

edilebilir.

Bir sistemin birim dürtü yanıtı h(t) sistemin giriş işareti birim dürtü ol-duğunda verdiği yanıttır ve

olarak ifade edilir.

Bir sistemin anındaki birim dürtü işaretine yani ( )t verdiği yanıt ise ( , )h t olarak gösterilir. Açık olarak, zamanla-değişmeyen sistemler için ( , ) ( )h t h t olur.

Evrişim İntegrali y(t)’in giriş işareti x(t) ve sistemin dürtü yanıtı h(t) cinsindenifade edilebileceğini göstereceğiz.

Altbölüm 2.1.3’de herhangi bir x(t) işareti için

olduğu gösterilmişti. Eğer DZD sistemin sistem x(t) girişine yanıtını y(t) olarak ifa-de eder isek


32/116

yazılabilir. Yukarıda (a) ifadesi sistemin doğrusal olmasından (entegralin toplamın

limit hali olduğunu hatırlayın) (b) ifadesi ise zamanla-değişmeme özelliklerindenhareket ile elde edilmiştir. Elde edilen bu sonuç sistemin x(t) girişine cevabının x(t)ile h(t)’in evrişimi olduğunu göstermektedir.


33/116

Örnek 2.1.25

Bir doğrusal zamanla-değişmeyen sistemin dürtü yanıtı h(t) olsun. Bu sisteme kompleks üstel

fonksiyon giriş olarak verilsin. Yani 0(2 2 )( ) j f

x t Ae

. Bu giriş için sistem

şeklinde bir çıkışa sahip olur. Burada

şeklindedir.


34/116

Bu sonuç DZD bir sisteme f 0 frekansında bir kompleks üstel verildiği zaman çıkışın aynı fr ekansta

kompleks üstel olduğunu göstermektedir. Cevabın genliği giriş işaretinin genliğinin0( ) H f ile

çarpımından, faz büyüklüğü ise giriş işaretinin fazına0

( ) H f fazının eklenmesi ile elde edi-

lir. Burada 0( ) H f ’in dürtü yanıtının ve giriş frekansının bir fonksiyonu olduğuna dikkat edin.

Bu özellikten dolayı, kompleks üstel fonksiyonlar doğrusal zamanla-değişmeyen sistemlerin

özfonksiyonları (eigenfunctions) olarak isimlendirilirler. Bir sistemin özfonksiyonları sistemin çı-

kışının sistem girişinin ölçeklendirilmesi ile elde edilebildiği giriş işaret setlerini ifade eder.

Bundan dolayı tüm işaretlerin kompleks üstel işaretler cinsinden ifade edilmesi arzu edilir.


35/116

2.2. FOURİER SERİLERİ

Bizim temel amacımız doğrusal zamanla-değişmeyen sistemleri ana-

liz edebilmek için gerekli yöntem ve araçların geliştirilmesidir. Bir DZDsistemin giriş çıkışının

ifadesi ile verilen evrişim entegrali ile ilişkilendirilmiş olduğunu gös-

termiştik. Evrişim entegralinin doğrudan kullanımında bir takım mah-surlar vardır.Aşağıda izleyen iki altbölümde DZD sistemlerin analizinde kullanı-

labilecek farklı bir yaklaşım geliştirilecektir. Bu yaklaşımda temel fikir gi-riş işaretini, çıkışı kolaylıkla bulunabilecek bazı temel işaretlerin doğrusal kombi-nasyonu olarak ifade etmek ve sistemin doğrusallık özelliğinin kullanılması ile

sistem çıkışını elde etmek şeklindedir. Bu yaklaşım evrişim entegralinindoğrudan uygulanmasına nazaran daha kolaydır; aynı zamanda DZD sis-temin davranışı hakkında daha iyi bilgi sunar.


36/116

2.2.1. Fourier Serileri ve Özellikleri

Bir DZD sistemin kompleks üstel girişe yanıtı genlik ve fazı değiştirilmiş bir kompleksüsteldir. Öyle ise hangi işaretler kompleks üsteller cinsinden ifade edilebilir?

x(t) işareti T 0 periyoduna sahip periyodik bir işaret olsun. İlk olarak, aşağıdakiDirichlet şartlarının sağlanıp sağlanmadığı belirlenmelidir.

1. x(t) bir periyot boyunca mutlak olarak entegrali alınabilir olmalıdır. Yani

2.

x(t)’in bir periyot içerisinde maximum ve minimum noktaları sınırlı sayı-da olmalı

3. Bir periyot içerisinde x(t) işaretinin süreksizlikleri sınırlı sayıda olmalıdır.

Eğer bu koşullar sağlanır ise bu durumda x(t)‘in şeklinde verilenkompleks üstel fonksiyonlar cinsinden açılımı aşağıdaki gibi yapılabilir.

Burada

şeklindedir ve herhangi bir sayıdır.


37/116

Bu teorem ile ilgili bazı gözlemler şu şekilde sıralanabilir: xn katsayıları x(t) işaretinin Fourier seri katsayıları olarak isimlendiri-

lir. Bunlar genellikle kompleks sayılardır (x(t) işaretinin kendisi

gerçel bir işaret olsa da) parametresi herhangi bir sayıdır. Entegral işlemini kolaylaştıracak

şekilde seçilebilir. Genellikle = 0 veya = T 0/2 olarak seçilmesiuygundur.

Dirichlet şartları Fourier seri açılımının varlığı için sadece yeterli şart-lardır. Bazı işaretler için bu şartlar sağlanmasa dahi Fourier seri açı-

lımı mevcut olabilir. f0=1/T0 büyüklüğü temel frekans olarak isimlendirilir. Kompleks üstel

işaretlerin frekansları bu frekansın katları şeklindedir. f 0 frekansınınn.inci katı n.inci harmonik olarak adlandırılır

Fourier seri açılımı açısal frekans0 0

2 / f ile aşağıdaki gibi ifade edi-

lebilir.

ve


38/116

Genel olarak n j xn n

x x e

şeklindedir. Dolayısı ilen

x n.inci

harmoniğin genliğini ven

x faz büyüklüğünü vermektedir. Şekil2.24. x(t) işaretindeki farklı harmoniklerin genlik ve faz grafiklerini

vermektedir. Bu tip grafik x(t) periyodik işaretinin ayrık tayf (spekt-rum) olarak adlandırılır.

Şekil 2.24 x(t)’in ayrık tayfı (spektrumu)


39/116

Örnek 2.2.1.

x(t) işareti Şekil 2.25’de verilen periyodik bir işaret olsun ve ana-litik olarak

şeklinde verilsin. Burada τ pozitif bir sabittir (darbe uzunluğu).Bu işaret için Fourier seri açılımını belirleyin.

Şekil 2.25 Denklem (2.2.6) da verilen periyodik x(t) işareti


40/116

Çözüm İlk olarak işaretin periyodunun T 0 olduğu görmekteyizve

olur. Burada sin 2

j je e

j

ilişkisi kullanılmıştır. n=0 için entegral

işlemi oldukça basittir ve sonuç olarak0

0 T x

bulunur. Dolayısı

ile

Bu Fouirer seri katsayılarının grafiği Şekil 2.26’da gösterilmekte-dir.


41/116

Şekil 2.26. Dikdörtgen darbe katarının ayrık tayfı (spektrumu)


42/116

Örnek 2.2.2.

Şekil 2.27’de verilmiş olan ve

şeklinde tanımlanmış olan x(t) işareti için Fourier seri açılımını belir-leyin.

Şekil 2.27 2.2.9 denkleminde verilmiş olan x(t) işareti


43/116

Çözüm. T 0=2 olduğu için 12 seçmek uygundur. İlk olarak 0n için entegra-lin sıfır olduğu kolaylıkla gösterilebilir; dolayısı ile

0 0 x olacaktır. 0n için ise

bulunur. Bu xn değerlerinden hareket ile aşağıdaki Fourier seri açılımı elde edi-lir.


44/116

Örnek 2.2.3. Şekil 2.28’de gösterilen ve Darbe katarı olarak ifade edilen aşağı-daki işaretin Fourier seri gösterimini belirleyin.

Şekil 2.28 Darbe katarı


45/116

Çözüm.

Bu katsayılar ile aşağıdaki açılım elde edilir.


46/116

Gerçel İşaretler için Fourier Serileri Gerçel bir x(t) işareti için

Bu eşitliğin anlamı gerçel işaret x(t)’in pozitif ve negatif katsayılarının eş-lenik olduğudur. Dolayısı ile n=0 eksenine göre

n x çift simetriye

( nn x x

) ve

n x tek simetriye (

n n x x

) sahiptir. Gerçel bir işaret için

ayrık tayf (spektrum) Şekil 2.30’da gösterilmektedir.

n n x x

eşitliğinden, hareket ile

ise bu durumda

olur. Dolayısı ile 1n için


47/116

x0 gerçel olduğundan ve 00 2a

x şeklinde verildiğinden

elde edilir.

Şekil 2.30 Gerçel değerli işaretin ayrık tayfı (spektrumu)


48/116

Sadece gerçel periyodik işaretler için geçerli olan bu ilişki trigonometrik

Fourier seri açılımı olarak isimlendirilir. an ve bn katsayılarını elde et-mek için

dolayısı ile

sonuç olarak


49/116

Gerçel bir işaretin Fourier açılımını ifade etmek için üçüncü bir yoldaha mevcuttur.

olduğu gözönüne alınır ve (2.2.19) (2.2.2) ifadesinde yerine konulurise


50/116

Özet olarak gerçel periyodik bir işaret x(t) için Fourier seri açılımını ifade etmeninüç alternatif yolu mevcuttur.

Burada ilgili katsayılar

ifadelerinden elde edilir.


51/116

Örnek 2.2.4

Örnek 2.2.1 için sinüs ve cosinüs katsayılarını belirleyin.

Çözüm Daha önceden gösterildiği gibi

Bundan dolayı

ve

bulunur.


52/116

Tek ve Çift İşaretler için Fourier Seri Açılımı.

Çift bir x(t) işareti için

olur. Dolayısı ile çift işaretler için Fourier seri açılımında sadececosinus’lu terimler bulunacaktır, yani

olur.

Tek simetriye sahip işaretler için ise, benzer bir şekilde, tüm an te-rimlerinin sıfır olacağını; bundan dolayı da Fourier seri açılımınınsadece sinus’lü terimleri ihtiva edeceğini veya tüm xn’lerin sanal ola-cağını söyleyebiliriz. Bu durumda

elde edilir.


53/116

2.2.2. DZD Sistemlerin Periyodik İşaretlere Yanıtları

Eğer sistemin dürtü yanıtı h(t) ise 2.1.25 örneğinden hareket ile sistem yanıtının üstel işaret0

2 j f t e için yanıtının 02

0( ) j t

H f e olacağını biliyoruz. Burada

olarak verilir.

Bu noktada DZD sisteme giriş olarak verilen x(t) işaretinin T 0 periyoduna sahip periyodik birişaret olduğunu ve aşağıdaki Fourier seri açılımına sahip varsayalım.

Bu durumda

bulunur. Burada


54/116

Bu ilişkiden hareket ile aşağıdaki sonuçlar elde edilebilir.

Eğer DZD sisteme T 0 periyoduna sahip bir giriş işareti uygulanır ise, çı-kış da periyodik olur (Çıkışın periyodu ne olur?). Çıkış

Fourier seri açılımına sahiptir ve burada

Bu sonuçtan hareket ile

ve

elde edilir.

Sadece girişte mevcut olan frekans bileşenleri çıkışta gözükür. Bununanlamı DZD sistemlerin çıkışlarında, sistem girişinde mevcut olmayan yeni frekans bileşenleri türetmedikleridir. Diğer bir deyiş ile çıkışında girişindenfarklı yeni frekans bileşenleri oluşturan tüm sistemler doğrusal olma-yan ve/veya zamanla değişen sistemlerdir.


55/116

Örnek 2.2.6.

x(t) Şekil 2.27’de verilmiş olan işaret olsun. Ancak işaretin periyodu T0=10-5 alınsın. Bu işaret frekans yanıtı Şekil 2.32’de verilmiş olan bir süzgeçten geç-mektedir. Bu durumda süzgeç çıkışını belirleyin.

Şekil 2.32 Süzgecin frekans yanıtı


56/116

Çözüm. İlk olarak giriş işaretinin Fourier seri açılımını tespit edelim. Bu

olarak kolayca bulunabilir. Her bir frekans bileşenine karşılık gelecek çıkışıbelirlemek için her bir frekans bileşeninin katsayısını H(f) katsayıları ileçarpmamız gerekir. Bu katsayılar

olarak bulunur


57/116

Daha yüksek frekanslar için H(f)=0 olacaktır. Dolayısı ile

elde edilir. Bu sonuç düzenlenir ise

olarak bulunur.

İ


58/116

2.2.3. Parseval İlişkisi

Parseval ilişkisi bir periyodik işaretinin güç içeriğinin, bu işaretin Fourier seri açılımındakibileşenlerinin güç içeriklerinin toplamına eşit olduğunu ifade eder. Bu ilişki Fourier seri açı-lımında kullanılan temel işaretin, yani kompleks üstel işaretin, dikgen oluşunun(orthogonality) bir sonucudur.

Bir periyodik x(t) işaretinin Fourier seri açılımının

olarak verildiğini kabul edelim. Bu durumda ifadenin her iki yanındaki terimlerin komplekseşlenikleri

şekinde olur. Elde edilen her iki ifadeyi birbiri ile çarpar isek

bulunur. Burada ifadenin bir periyot boyunca entegrali alınır ise ve

ilişkisi kullanılır ise

sonucu elde edilir.


59/116

Düzenleme yapılır ise

bulunur. Bu Parseval ilişkisinin formal ifadesidir. (2.1.14) denklemigereği yukarıdaki ifadenin sol tarafı x(t) işaretinin güç içeriği Px’tir ve

2

n x n.inci harmonik olan 0

2 n

T j

n x e

’in güç içeriğine karşılık gelmektedir.

Bundan dolayı Parseval ilişkisi periyodik bir işaretin güç içeriğininbu işaretin harmoniklerinin güç içeriklerinin toplamı eşit olduğunubildirir.

Eğer Parseval ilişkisinde2

n na jb

n x

kullanılır ise

elde edilir. 0

cos 2 n

n T a ve

0sin 2 nn T b güç içerikleri sırası ile

2

2

na ve

2

2

nb ol-

duğundan, x(t) işaretinin güç içeriği harmoniklerinin güç içeriğinintoplamıdır.


60/116

Örnek 2.2.7

Örnek 2.2.6’da verilen giriş ve çıkış işaretlerinin güç içeriğini belirle-yin.

Çözüm İşaretin gücü olarak bulunur.

Aynı sonuç Parseval ilişkisi kullanılarak da bulunabilir.

her iki eşitlikten hareket ile

elde edilir. Çıkışın gücü

olarak bulunur.


61/116

2.3.1. Fourier Serilerinden Fourier Dönüşümüne

Bu bölümde Fourier seri gösterimini periyodik olmayan işaretlere

uygulayacağız. Periyodik olmayan bir işaretin de kompleks üstellercinsinden açılımının mümkün olduğu gösterilecektir. Ancak elde edi-len tayf (spektrum) artık ayrık bir tayf değildir. Diğer bir deyiş ile pe-riyodik olmayan işaretlerin tayfı bir sürekli frekans aralığını kapsar.Sonuç olarak yaygın olarak bilinen Fourier dönüşümü elde edilir.

Fourier dönüşümü için bir x(t) işaretinin Dirichlet koşullarını

sağlaması gerekir.Bu durumda

şeklinde tanımlanan Fourier dönüşümü (veya Fourier entegrali) mev-

cuttur ve orijinal işaret kendi Fourier dönüşümünden aşağıdaki eşitlikkullanılarak elde edilebilir.


62/116

Fourier dönüşümü için aşağıdaki gözlemler yapılabilir.

X(f) genellikle kompleks bir fonksiyondur. Dönüşümün genliği ve

fazı x(t) işaretinin farklı frekans bileşenlerinin genlik ve fazınıtemsil eder. X(f) fonksiyonu bazen x(t) işaretinin tayfı (spektru-mu) olarak adlandırılır.

X(f), x(t) işaretinin Fourier dönüşümünü gösterir ve genellikleaşağıdaki notasyonu kullanırız

X(f)‘in ters Fourier dönüşümünü göstermek için ise aşağıdakinotasyon kullanılacaktır.

Bazen her iki notasyonu aynı anda göstermek için

kısa gösterimi kullanılacaktır.


63/116

Eğer Fourier dönüşümünde f yerine kullanılır ise bu durumdadönüşüm ifadeleri

ve

olur.

ve


64/116

Örnek 2.3.1 (2.1.15) denkleminde verilen ve Şekil 2.33’de gösterilen t işare-

tinin Fourier dönüşümünü belirleyin. Çözüm.

elde edilir. Dolayısı ile

olur. Şekil 2.33 bu işaretin Fourier dönüşümünü göstermektedir.


65/116

Şekil 2.33

( )t ve Fourier dönüşümü


66/116

Örnek 2.3.2 ( ) ( ) x t t dürtü işaretinin Fourier dönüşümünü belirleyin.

Çözüm. Fourier dönüşümü

olarak elde edilir. Burada ( )t fonksiyonunun eleme özelliği kul-lanılmıştır. Bu sonuç ( )t tayfında birim genlik ve sıfır faz büyük-

lüğü ile tüm frekansların mevcut olduğunu göstermektedir. x(t)grafiği ve Fourier dönüşümü Şekil 2.34’ de verilmiştir. Benzer birşekilde

ilişkisinden

sonucu elde edilir.


67/116

Şekil 2.34 Dürtü işareti ve işaretin tayfı


68/116

İşaret Bandgenişliği Bir işaretin bandgenişliği işarette mevcutfrekans aralığını temsil eder. Eğer bandgenişliği büyük ise bu du-rumda mevcut frekanslardaki değişim büyük olacaktır. Genel olarakbir gerçel işaretin bandgenişliği işarette mevcut pozitif frekans aralığıolarak tanımlanır. x(t) işaretinin bandgenişliğini bulabilmek için ön-celik ile X(f) bulunur ve daha sonra X(f) tarafından işgal edilen pozitif

frekans aralığı bulunur. Bandgenişliği BW =W max -W min. şeklinde veri-lir ve burada W max X(f)’de mevcut en yüksek pozitif frekans iken W min ise X(f)’de mevcut en küçük pozitif frekanstır.


69/116

2.3.2. Fourier Dönüşümünün Temel Özellikleri

Doğrusallık Fourier dönüşümü doğrusal bir işlemdir. Yani eğer

x1(t) ve x2(t) işaretlerinin Fourier dönüşümü sırası ile X 1(f) ve X 2(f) ise,1 2( ) ( ) x t x t işaretinin Fourier dönüşümü 1 2( ) ( ) X f X f olur.

Örnek 2.3.4.

1( )u t birim adım işaretinin Fourier dönüşümünü belirleyin

Çözüm

ilişkisini ve doğrusallık özelliğini kullanarak

elde edilir.


70/116

Çifteşlik (Duality). Eğer

ise bu durumda

ve

olur.

Örnek 2.3.5

sinc(f) işaretinin Fourier Dönüşümünü elde edinizÇözüm ( )t çift fonksiyon olduğundan ( ) ( ) f f olur veçifteşlik teorisini kullanarak

elde edilir.

Ö


71/116

Zamanda Öteleme Zamanda orijinden0

t kadar bir öteleme fre-kans düzleminde fazda

02 ft büyüklüğünde bir kaymaya neden olur.

Diğer bir deyiş ile

Bu ilişkiyi ispatlamak için0( ) x t t ’ın Fourier dönüşümü ele alınsın

yani

0u t t değişken dönüşümü yapılır ise

elde edilir.

Zamanda öteleme yapılması dönüşümün genliğinde bir değişimoluşturmadığına dikkat edin. Bu öteleme sadece zaman ötelemesioranında fazda bir öteleme oluşturur.


72/116

Örnek 2.3.7

Şekil 2.37’de gösterilen işaretinin Fourier dönüşümünü belirle-yin.

Çözüm

olduğundan öteleme teorisini kullanarak

elde edilir.

Şekil 2.37

x(t) işareti


73/116

Örnek 2.38.

Darbe katarı işaretinin Fourier dönüşümünü belirleyin.

Çözüm Öteleme teorisini kullanarak


olur. (2.2.14) denklemi kullanılarak

ve t yerine f, T 0 yerine0

1

T yazılarak


74/116

ve

elde edilir. Bu ilişki kullanılarak

yazılabilir.0

1T için elde edilecek sonuç ilginçtir. Bu durum için

Yani t yerine f yazıldıktan sonra( )

n

t n

Fourier dönüşümükendisine eşittir.


75/116

Ölçekleme. a gerçel sayı olmak üzere 0a için

olur. Bu eşitliği elde etmek için

olduğuna dikkat edilmeli ve u at değişimi yapılmalıdır. Sonra

elde edilir. Yukarıda hem 0a ve hem de 0a durumları ayrı ayrı elealınmıştır.


76/116

Örnek 2.3.9

İşaretinin Fourier dönüşümünü belirleyin Çözüm x(t) işareti, 3 kat kuvvetlendirilmiş, 4 faktörü ile genleşti-rilmiş ve 2 birim sağa ötelenmiş bir dikdörtgen darbe işaretidir.Yani 2

4( ) 3 ( )t x t doğrusallık, zamanda öteleme ve ölçekleme

özelliklerinden faydalanarak

elde edilir.


77/116

Evrişim (Konvolüsyon) Eğer x(t) ve y(t) Fourier dönüşümüne sahip ise

olur.

Örnek 2.3.10

Şekil 2.15’de gösterilen ( )t fonksiyonunun Fourier dönüşümünü

bulunuz.

Çözüm. Cevabın bulunabilmesi için bu fonksiyonun( ) ( ) ( )t t t olduğunu görebilmek ve evrişim teorisini kullan-

mak yeterlidir. Dolayısı ile

elde edilir.


78/116

Örnek 2.3.11

Şekil 2.16 da verilen ve Örnek 2.1.14’de incelenen4 2

( ) ( ) ( )t t x t

işaretinin Fourier dönüşümünü belirleyin

Çözüm. Ölçekleme ve doğrusallık özelliklerini kullanarak

elde ederiz.


79/116

MODÜLASYON ifadesinin Fourier dönüşümüdir. Bu ilişkiyi şu şekilde gösterilebilir.

Modulasyon teoremi ise zaman düzleminde bir kompleks üstel ileçarpımın, frekans düzleminde bir ötelemeye neden olduğunu ifadeeder. Frekans düzleminde yapılan öteleme genellikle modülasyon

olarak adlandırılır.


80/116

Örnek 2.3.12. 02( )

j f t x t e

işaretinin Fourier dönüşümünü bulunuz. Çözüm. Modulasyon teoreminin kullanılması ile

elde edilir.

Örnek 2.3.13.

0cos(2 ) f t işaretinin Fourier dönüşümünü bulun Çözüm. Euler eşitliğini kullanarak 0 02 21 1

0 2 2cos(2 )

j t j f t f t e e

yazılabilir. Bu durumda doğrusallık özelliğini ve Örnek2.3.12’nin sonucunu kullanarak

elde edilir.


81/116

Örnek 2.3.14.

0( ) cos(2 ) x t f t

işaretinin Fourier dönüşümünü elde ediniz. Çözüm. Yukarıdaki örneklerden elde edilen sonuçlardan hareket

ile

bulunur. Şekil 2.38 bu ilişkiyi grafiksel olarak göstermektedir. Bö-lüm 3’de bu ilişkinin genlik modülasyonlu sistemlerin temelinioluşturduğunu göreceğiz.


82/116

Şekil 2.38. Modülasyon işleminin zaman ve frekans düzlemindeki

etkisi


83/116

Örnek 2.3.15 Şekil 2.39’da gösterilen

işaretinin Fourier dönüşümünü bulunuz.

Şekil 2.39 x(t) işareti


84/116

Çözüm. x(t) işaretinin

şeklinde ifade edilebileceğine dikkat edin. Bundan dolayı

olur. Bu ifadenin elde edilmesinde Örnek 2.3.14’ün sonucu 10 2

f

alınarak kullanılmıştır.


85/116

Parseval İlişkisi. Eğer x(t) ve y(t) işaretlerinin Fourier dönüşümü sı-

rası ile X(f) ve Y(f) ise bu durumda

olur. Ayrıca

sonucu elde edilir.

Ö


86/116

Örnek 2.3.16

Parseval teoremini kullanarak,

entegrallerinin sonucunu bulunuz.

Çözüm. olduğunu biliyoruz. Dolayısı ile

bulunur.


87/116

Özilişki. Bir x(t) işaretin (zaman) özilişki fonksiyonu ( ) x

R ile gösterilir ve

şeklinde tanımlanır. Özilişki teoremi

olduğunu ifade eder. Burada ( ) ( ) *( ) x

R x x olduğuna dikkat edi-

niz. Evrişim teoremini kullanarak özilişki teoremi kolaylıkla göstere-bilir.

Türev Bir işaretin türevinin Fourier dönüşümü aşağıdaki ilişkiden hareketile bulunabilir.

Frekans düzleminde türev


88/116

Örnek 2.3.17

Şekil 2.41’de gösterilen işaretin Fourier dönüşümünü belirleyin.

Şekil 2.41. x(t) işareti

Çözüm Bu işaret ( ) ( )d dt

x t t olarak ifade edilebilir. Dolayısı ile türev teo-remini uygulayarak

sonucu elde edilir.


89/116

Örnek 2.3.21

( ) t

x t e

işaretinin Fourier dönüşümünü 0 için bulunuz (Şekil 2.43’e

bakınız)

Şekil 2.43 t e işareti veFourier dönüşümü


90/116

Çözüm.

ilişkisinden ve

olmasından hareket ile 1 alarak, ölçekleme teoremi uygula-nır ise

sonucu elde edilir. Dolayısı ile doğrusallık özelliğinden

elde ederiz.

TABLO 2.1 FOURİER DÖNÜŞÜM ÇİFTLERİ


91/116

Tablo 2.1 çok sık kullanılan bazı işaretlerin Fourier dönüşüm çiftlerini vermek-tedir. Tablo 2.2 ise Fourier dönüşümün temel özelliklerini sıralamaktadır.


92/116

TABLO. 2.2. FOURİER DÖNÜŞÜM ÖZELLİKLERİ


93/116

2.3.4. DZD Sistemler Üzerinden İletim

Evrişim teoremi DZD sistemlerin frekans düzleminde incelenmesindekullanılan temel ilişkidir. X(f), Y(f) ve H(f) sırası ile girişin, çıkışın vedürtü tepkisinin Fourier dönüşümleri olmak üzere

yazılabilir.

Örnek. 2.3.23

Bir DZD sistem girişinin

ve sistem dürtü tepkisinin

olduğunu kabul edersek sistem çıkışı belirleyin.

Çözüm İlk olarak işaretleri frekans düzlemine taşıyalım Sonuç olarak


94/116

Çözüm. İlk olarak, işaretleri frekans düzlemine taşıyalım. Sonuç olarak

ve

elde edilir. Şekil 2.44. X(f) ve H(f)’i göstermektedir.

Şekil 2.44 Alçak geçiren işaret ve alçakgeçiren süzgeç


95/116

Frekans düzleminde çıkışı elde etmek için,

bu sonuçtan hareket ile

elde edilir.

Yukarıdaki örnekte ele alınan x(t) işareti gibi işaretler alçak geçiren(l )


96/116

(lowpass) işaret olarak adlandırılır. Bu tür işaretler, frekans düzlemi gös-terimlerinde sadece sıfır frekansı etrafındaki frekansları içeren ve W 1 de-ğerinin üzerinde frekans içermeyen işaretlerdir. Bir ideal alçak geçiren

süzgeç W f W frekans aralığı için 1 olan bir frekans tepkisine sahip iken, bu aralığın dı-şındaki frekanslar için frekans tepkisi 0 olur. W süzgecin bandgenişliğiolarak isimlendirilir. Benzer bir şekilde ideal yüksek geçiren süzgeç tanım-lanabilir. Yüksek geçiren süzgeç için, H(f) W f W aralığında sıfır ikenbu aralığın dışında bir değerine sahiptir. İdeal bandgeçiren süzgeç ise

1 2W f W aralığında bir değerine sahip iken bu aralığın dışında sıfırdır.Bu durumda süzgecin bandgenişliği

2 1W W olarak verilir. Şekil 2.45. fark-

lı süzgeç tiplerinin frekans tepkilerini göstermektedir.İdeal olmayan alçak geçiren ve bandgeçiren süzgeçler için band geniş-

liği süzgeç güç iletim oranı, maksimum güç iletim oranının en azından ya-

rısı olduğu frekans bandı olarak tanımlanmaktadır. Bu bandgenişliği genel-likle 3 dB bandgenişliği olarak adlandırılır. Çünkü gücün yarıya düşürül-mesi logaritmik skalada 3 dB düşüşe karşılık gelmektedir. Şekil 2.46 süzgeç-ler için 3 dB bandgenişliğini göstermektedir.

Burada bandgenişliğinin bir süzgecin ilettiği pozitif frekans kümesiolduğunu hatırlatmakta fayda vardır.


97/116

Şekil 2.45 Farklı süzgeç tipleri


98/116

Şekil 2.46 Örnek 2.3.24’de ele alınan süzgecin 3 dB bandgenişliği

Ö


99/116

Örnek 2.3.24

Bir süzgecin genlik transfer fonksiyonu

olarak verilmiştir. Süzgeç tipini ve 3 dB bandgenişliğini belirle-yin.

Çözüm. f = 0 da ( ) 1 H f olmakta ve ( ) H f f 0’dan sonsuza gider

iken azalmaktadır.

Dolayısı ile bu bir alçak geçiren süzgeçtir. Güç, genliğin karesi ileorantılı olacağından

yazılabilir. Buradan0

10,000 f elde edilir. Dolayısı ile bu bir al-çak geçiren süzgeçtir ve 3 dB bandgenişliği 10 kHz’dir. Şekil 2.47

( ) H f grafiğini göstermektedir.


100/116

Şekil 2.47 Örnek 2.3.24’de incelenen süzgecin 3 dB ba

2 5 GÜÇ VE ENERJİ


101/116

2.5 GÜÇ VE ENERJİ

Bu altbölümde, Güç ve enerji kavramını bu tanımları hem zaman ve hem de frekansdüzlemine taşıyacağız.

Bir işaretin enerjisi veya gücü, bu işaret 1-ohm’luk bir direnç üzerinde gerilim ve-ya akım kaynağı gibi yorumlandığında işaret tarafından verilen enerji veya gücü tem-sil eder. (Genellikle kompleks değerli) bir işaretin enerji içeriği

şeklinde tanımlanmıştır. Güç içeriği ise

olarak verilir. Eğer ise işaret enerji tipli işaret ve eğer 0 x

P ise işaret güçtipli işarettir. Bir işaret aynı zamanda hem enerji tipli ve hem de güç tipli işaret ola-maz. Çünkü enerji tipli işaretler için Px = 0 iken güç tipli işaretler için olur.Ancak bir işaret ne enerji tipli işaret ve ne de güç tipli işaret olmayabilir. Ancak ilgile-neceğimiz işaretlerin büyük bir çoğunluğu ya enerji tipli işaret veya güç tipli işarettir.Pratikte tüm periyodik işaretler güç tipli işaretleridir ve güçleri

olarak verilir. Burada T 0 periyot ve herhangi gerçel bir sayıdır.

2.5.1 Enerji Tipli İşaretler


102/116

2.5.1 Enerji Tipli İşaretler

Bir enerji tipli işaret x(t) için özilişki fonksiyonu

olarak tanımlanmıştır. X(t) işaretinin özilişki fonksiyonunda 0 yapılırise işaretin enerji içeriği elde edilir. Yani

olur. Fourier dönüşümünün özilişki özelliği kullanılarak (Altbölüm 2.3.2’ ebakın) ( ) x R ’in Fourier dönüşümü

2( ) X f olarak elde edilir. Bu sonucu veya

Rayleigh teoremini kullanarak

yazılabilir.

Eğer x(t) işaretini, dürtü tepkisi (genellikle kompleks) h(t) ve frekans tepki-


103/116

Eğer x(t) işaretini, dürtü tepkisi (genellikle kompleks) h(t) ve frekans tepkisi H(f) olan bir süzgeçten geçirir isek, çıkış ( ) ( ) y t x t h(t) veya frekans düz-leminde ( ) ( ) ( )Y f X f H f olur. Çıkış işaret y(t)’in enerji içeriğini belirlemek

için

eşitlikleri kullanılabilir. Burada ( ) ( ) * ( ) y R y y çıkışın özilişki fonksi-

yonudur.2

( )Y f için Ters Fourier dönüşümü

olarak verilir. Burada (a) evrişim teoreminden hareket ile (b) ise özilişki fonk-siyonunun özelliğinden hareket ile elde edilmiştir.

Şimdi


104/116

olduğunu varsayalım. Bu durumda

ve

olur. Bu süzgeç frekans bileşenlerini sadece f=W gibi küçük bir aralıkta geçirir iken diğertüm bileşenleri sönümlendirmektedir. Bundan dolayı çıkış enerjisi giriş işaretinin f=frekansı etrafında bulunan toplam enerjisine eşittir. Bunun anlamı [ , ]W W W bandındax(t) işaretindeki enerjinin 2( ) H W W olduğudur. Yani

Bundan dolayı2

( ) X f bir x(t) işaretinin enerji spektral yoğunluğu olarak isimlendirilir vefarklı frekanslarda işaretin her birim bandgenişliği için toplam enerjisini temsil eder. Do-layısı ile bir x(t) işaretinin enerji spektral yoğunluğu (veya enerji tayfı)

olarak tanımlanır.

Özetler isek;


105/116

1. Herhangi bir enerji tipli x(t) işareti için özilişki fonksiyonu( )

x R ( ) *( ) x x olarak tanımlanır.

2. x(t) işaretinin olarak gösterilen enerji spektral yoğunluğu( )

x R ‘in Fourier dönüşümüdür. Ve 2( ) X f ’e eşittir.

3. x(t)’in enerji içeriği işaretin özilişki fonksiyonunun 0 ’dakideğerine eşittir. Veya farklı bir deyiş ile enerji spektral yoğun-luğunun tüm frekanslar üzerinde entegraline eşittir. Yani

4. Eğer x(t) dürtü tepkisi h(t) olan ve çıkışı y(t) olarak gösterilen birsüzgeçten geçirilir ise

elde edilir.


106/116

Örnek 2.5.1

işaretinin özilişki fonksiyonunu, enerji spekt-

ral yoğunluğunu ve enerji içeriğini belirleyin. Çözüm. İlk olarak x(t) işaretinin Fourier dönüşümünü

belirleyelim. Tablo 2.1’den


ve

olur. İşaretin enerji içeriğini basit bir şekilde özilişki fonksiyonu-nun sıfırdaki değerinden hareket ile bulunabilir.

Örnek 2.5.2

k k l kl d b


107/116

Bir önceki örnekte verilen işaret şeklinde birdürtü tepkisine sahip bir süzgeçten geçirilir ise çıkıştaki işaretin özilişkifonksiyonunu, güç spektral yoğunluğunu ve işaretin enerji içeriğini be-

lirleyin.Çözüm. Süzgecin frekans tepkisi

Dolayısı ile

olur. Burada en son adımda kısmi çarpanlara ayırma yaklaşımının kulla-nıldığına dikkat edin. Bu sonuçtan ve Tablo 2.1’den hareket ile

ve

bulunur.

2.5.2 Güç Tipli İşaretler


108/116

ç p ş

Güç tipi işaret sınıfları için de yukarıda geliştirdiğimiz benzer bir süreç kullanı-labilir. Bu durumda güç tipli işaret x(t) için zaman-ortalama özilişki fonksiyonu ta-

nımı

şeklinde yapılır. Açıkça görülebileceği gibi işaretin güç içeriği

olarak elde edilebilir. ( ) xS f x(t) işaretinin güç spektral yoğunluğu olarak veya güç

spektrumu, zaman-ortalama özilişki fonksiyonunun Fourier dönüşümü olaraktanımlanabilir

Bu tanım gerekçelendirilecektir. Şimdi x(t) işaretinin güç içeriğini2

0(0) ( ) ( ) j

x x x R S f e df S f df

olduğu göz önüne alınarak ( ) xS f işareti cinsin-

den ifade edersek; yani

Eğer güç tipli x(t) işareti dürtü tepkisi h(t) olan bir süzgeçten geçirilir ise


109/116

ve zaman ortalama özilişki fonksiyonu çıkış işareti için

şeklinde olur. y(t) yerine yukarıdaki ifade yerleştirilir ise

elde edilir. w=t-u değişken dönüşümü yapılır ise ve entegrasyonun sırası değiştiri-lir ise

sonucu elde edilir.

Burada (a) denkleminde (2 5 9) denkleminde verilen Rx tanımını kulla-


110/116

Burada (a) denkleminde (2.5.9) denkleminde verilen Rx tanımını kullanıldı (b) ve (c) denklemleri evrişim entegrali tanımını kullanmaktadır.Elde edilen denklemin her iki tarafının da Fourier dönüşümü alınır ise

elde edilir. Giriş-çıkış güç spektral yoğunlukları arasındaki bu ilişki birsüzgecin giriş ve çıkışlarının enerji spektral yoğunlukları arasındaki

ilişkinin aynısıdır.

Elde edilen bu sonuç, güç spektral yoğunluğunun, zaman-ortalamaözilişki fonksiyonunun Fourier dönüşümü olarak tanımlanmasını ge-rekçelendirmektedir.

Periyodik işaretlerin güç-tipli işaretler olduğunu görmüştük. Peri-yodik işaretler için zaman-ortalama özilişki fonksiyonu ve güç spektralyoğunluk ifadesi önemli ölçüde basitleştirilebilir. x(t) işaretinin T 0 pe-riyoduna sahip periyodik bir işaret olduğunu ve {xn} Fourier seri kat-sayılarına sahip olduğunu varsayalım.

Böylece periyodik bir işaretin güç spektral yoğunluğu


111/116

y y g y ğ ğ

şeklinde verilir. Periyodik bir işaretin güç içeriğini belirlemek için ise, yuka-rıdaki ifade tüm frekans spektrumunda entegre edilir. Böyle yapıldığında

sonucu elde edilir. Eğer periyodik bir işaret, frekans tepkisi H(f) olan birDZD sistemden geçer ise, çıkış periyodik olacaktır ve çıkışın güç spektral

yoğunluğu süzgeç çıkışı ile giriş işaretinin güç spektral yoğunluğu arasın-daki ilişki kullanılarak elde edilebilir.

ve çıkış işaretinin güç içeriği

olur.

2.7 ALÇAK GEÇİREN VE BANDGEÇİREN İŞARETLER


112/116

Ç Ç Ç Ş

Alçakgeçiren işaret, işaret tayfının (frekans içeriğinin) sıfır frekans etrafında yerleştiğiişarettir. Bandgeçiren işaret ise tayfı sıfır frekansından çok ötede olan işarettir.Bandgeçiren işaretin frekans tayfı genellikle işaret bandgenişliğinden çok yüksek olanbir f c frekansı etrafında yoğunlaşmıştır (Bandgenişliğinin bir işarette mevcut olan tümpozitif frekanslar kümesi olduğunu hatırlayın). Bundan dolayı bandgeçiren işaretinbandgenişliği, frekans içeriğinin yerleştiği f c frekansından çok daha küçüktür.

Bandgeçiren bir işaret için uç bir örnek, frekansı f c olan tek frekanslı bir işarettir.Bu işaretin bandgenişliği sıfırdır ve genellikle

şeklinde ifade edilir. Bu bir sinüzoidal işarettir ve

şeklinde fazör ile ifade edilebilir. Şekil 2.50’de gösterildiği gibi bu arada A pozitif ka-bul edilmiştir ve açısı ile + aralığındadır.

Şekil 2.50. Bir sinüzoidal işarete karşılık gelen fazör

Bu fazör A genlik büyüklüğüne ve faz açısına sahiptir. Eğer bu fazör0 0

2 f açısal


113/116

hızı ile saat yönünün tersine döner ise (ki bu durum işaretin 02 j f t e ile çarpımı anlamınagelir) . Bu durumda sonuç 02 j f t Ae olur. Bu fazörün gerçel eksen üzerindeki izdüşümü(yani gerçel kısmı) 0( ) cos(2 ) x t A f t dir.

x(t) işaretini

şeklinde açabiliriz. Ayrıca

yazılabileceği görülebilir. Şimdi Şekil 2.50’de verilen fazör yerine genlik büyüklü-ğü yavaşça değişen bir fazöre sahip olduğumuzu varsayalım. Bu fazör

şeklinde gösterilir. Burada A(t) ve ( )t

( f c ye göre) zamanla yavaş değişiyor olsun.Bu durumda (2.7.3) denklemine benzer şekilde

yazılabilir.

Yukarıda ele aldığımız tek frekanslı işaretten farklı olarak, bu işaret


114/116

ğ ş , şbir frekans aralığını kapsar; bundan dolayı bu işaretin bandgenişliğisıfır değildir. Ancak, genlik (aynı zamanda zarf (envelope) olarak ad-landırılır) ve faz zamanla yavaş değişim gösterdiğinden bu işaretinfrekans bileşenleri fc etrafında küçük bir bandı işgal eder. Şekil2.51’de üç bandgeçiren işaretin tayfları gösterilmektedir.

Şekil 2.51 Üç bangeçiren işaretin tayfı

Bu durumda aynı-faz ve dik bileşenler


115/116

olur ve

yazılabilir. Burada bandgeçiren işaretin aynı-faz ve dik bileşenlerinin zaman-la yavaş değişim gösterdiğini ve dolayısı ile bu işaretlerin a lçak geçiren işa-retler olduğuna dikkat edin.

(2.7.11) denklemi oldukça faydalı ilişkileri vermektedir; Bu ilişki temel

olarak, bir bandgeçrien işaretin iki alçakgeçiren işaret cinsinden, yanibangeçiren işaretin aynı-faz ve dik bileşenlerini cinsinden, ifade edilebilece-ğini söylemektedir.

Bu durumda kompleks alçak geçiren işaret

bangeçiren işaret x(t)’in alçakgeçiren eşdeğeridir. Eğer ( )l x t polar koordinattagösterilir ise

yazılabilir.

Bu durumda bandgeçiren işaretin zarf ve fazı


116/116

şeklinde tanımlanır ise ( )l x t işareti

şeklinde gösterilir. (2.7.14) ve (2.7.11) denklemleri kullanılarak

elde edilir.

(2.7.17) ve (2.7.11) bandgeçiren işareti alçakgeçiren işaretler cinsinden

temsil etmek için kullanılabilecek iki yöntem sunmaktadır. İşaret ay-nı-fazda ve dik bileşenler cinsinden ifade edilebileceği gibibandgeçiren işaretin faz ve genliği cinsinden de ifade edilebilir.

Documents

İşaretler konu anlatım