Ivp Euler Dll

8/17/2019 Ivp Euler Dll

1/15

PENYELESAIAN PERS. DIFERENSIAL (PD)

DENGAN CARA NUMERIS

1. PD BIASA (ORDINER)

2.

PD PARSIAL

1. PD ORDINER (PDO)

A. PDO KASUS INITIAL VALUE PROBLEM (IVP)

PDO TUNGGAL ORDE 1

Bila suatu PD berbentuk

dy/dx=f(x,y)

dan diketahui keadaan batas awal x=xo y=yo

ini disebut PD orde 1 tunggal dengan ini tial condition (IC)

PD yang ber-IC disebut dengan kasus IVP

maka dari PD tsb nilai y pada x yang lain dapat dicari secara

numeris:

CONTOH:

DARI FUNGSI BERIKUT:


2/15

y xdx

dy 2

diketahui y(0)=1 ini disebut IC

Tentukan y(1)=…… ?

Maka kasus diatas dapat diselesaikan dengan berbagai

metode seperti Metode EULER dan RUNGE KUTTA:

Metode Euler

Rumus Euler:yi+1 = yi + x. y’(xi)

Dalam hal ini harus dipilih berapa nilai x.

Rumus tersebut diturunkan dari ekspansi deret taylor

disekitar x=x0 dengan uraian sbb:


3/15

dengan nilai h=

x, sehingga menjadi bentuk

yi+1 = yi + x. y’(xi) seperti di atas

Misalkan untuk kasus soal di atas:

y xdx

dy 2

diketahui y(0)=1


misal diambil x= 0,1

f’(x)=y’(x)=dy/dx= x2y


4/15

sehingga bila disubstitusi ke rumus euler:

yi+1 = yi + x. y’(xi)

yi+1 = yi + x. (xi2yi)

y(0) = 1 IC

y(1) = ?

y xdx

dy 2

langkah-langkah:

y(0,1)= 1 + 0,1 * (02* 1)=1

y(0,2)= 1 + 0,1 * ((0,1)2* 1) =1,001

y(0,3)= 1,001 + 0,1 * ((0,2)2 *1,001)=1,005y(0,4)= 1,005 + 0,1* ((0,3)

2*1,005)=1,014

y(0,5)=1,014 + 0,1*((0,4)2 *1,014=1,03022 .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

y(1) = 1,2211+ 0,1*((0,9)2*1,2211)=1,3200

Bisakah di lakukan dengan excell?

Perbandingan pemilihan berbagai x

x x Nilai

analitis0,1 0,05 0,02 0,01

0 1 1 1 1 1

0,1 1 1,0001 1,0002 1,0003 1,0003

0,2 1,001 1,0018 1,0023 1,0025 1,0027

0,3 1,005 1,0069 1,0081 1,0086 1,0090


5/15

0,4 1,014 1,0176 1,0199 1,0207 1,0216

0,5 1,0303 1,0361 1,04 1,0412 1,0425

0,6 1,0560 1,065 1,0707 1,0727 1,0747

0,7 1,094 1,107 1,1154 1,1182 1,1211

0,8 1,1476 1,1661 1,1718 1,1819 1,1861

0,9 1,2211 1,2468 1,2635 1,2692 1,27511 1,32 1,3559 1,3792 1,3873 1,3956(Sumber: tabel 4.1 riggs hal 148)

Semakin kecil x maka hasil semakin mendekati nilai analitis


6/15

Latihan:

y x

dx

dy

Bila diketahui y(0)=1 IVP

BERAPA NILAI y(0,1)=......???? dgn delta x=0,01

yi+1 = yi + x. y’(xi)

Kerjakan pakai laptop masing-masing!

Penyelesaian bentuk tersebut dapat diselesaikan dengan

Rumus euler:

yi+1 = yi + x. y’(xi)

misal bila diambil incremen x=0,02

maka:


7/15

xi yi f’(xi) x. f’(xi) yi+1 = yi + x. f’(xi)

0 1 1 0,02 1,02

0,02 1,02 1,04 0,0208 1,0408

0,04 1,0408 1,0808 0,021616 1,062416

0,06 1,062416 1,122416 0,02244832 1,08486432

0,08 1,08486432 1,16486432 0,0232973 1,1081616

0,1 1,1081616

PR 1:

Selesaikan dengan metode euler

Tentukan y(1)=........?


8/15

Jawab:

Gunakan euler, misalkan t=h=0,1, HASILNYA:

Kalau secara analitis diperoleh penyelesaian

y(t) = t + 1 - 0,5et

sehingga kalau t=1, maka y(t) = 0,6408

Perbandingan hasil metode analitis dan numeris utk contoh ini:


9/15

PR:

x ydx

dysin

yi+1 = yi + x. y’(xi)

Bila diketahui y(3)=5 IVPBERAPA NILAI y(6)=......????

Ambil delta x =0.1

Keadaan seperti ini tetap disebut keadaan IVP, karena nilai

yang diketahui adalah hanya nilai di awal (initial) meskipun

diawali x=3


10/15

METODE IMPLISIT EULER

Metode euler merupakan metode yang telah lama dikenal,

namun akurasinya relatif kurang baik, spt terlihat dr gbr diatas

pada awal-awal interval terlihat cukup baik akurasinya, namun

kemudian akurasinya menurun.

Untuk mengatasi hal ini, kemudian metode euler dimodifikasi

menjadi:

rumus euler yi+1 = yi + x. y’(xi)

modifikasi rumus euleryi+1 = yi + x .[y’(xi) + y’(xi+1)]/2

rumus modifikasi ini disebut metode implisit euler

catt: terlihat y’ yang diambil merupakan nilai rata-rata

dari y’(xi) dan y’(xi+1)

contoh:

selesaikan kasus soal sebelumnya dengan implicit euler:

y xdx

dy 2

diketahui y(0)=1 .......IVP


Dgn mengambil x= 0,1

jawab:


11/15

implisit euler:

yi+1 = yi + x .[y’(xi) + y’(xi+1)]/2

utk masing-masing soal scr spesifik dgn menguraikan fungsi y’

masing-masing:

yi+1 = yi + x .[xi2yi + (xi+1)

2( yi+1)]/2

yi+1 = yi + x .xi2yi /2 + x.(xi+1)2( yi+1)/2

yi+1 - x.(xi+1)2( yi+1)/2 = yi + x .xi

2yi /2

yi+1 (1- x.(xi+1)2/2) = yi + x .xi

2yi /2

yi+1 = (yi + x .xi2yi /2) / (1- x.(xi+1)

2/2)

apa bisa selesaikan dengan excel l?

0 1

0,1 1,00050025

0,2 1,00300651

0,3 1,00955553

0,4 1,02227674

0,5 1,04349869

0,6 1,07590878

0,7 1,12278333

0,8 1,18831769

0,9 1,27810719

1 1,39986372

Bandingkan dgn yg mengunakan metode euler (explicit euler)

Metode mana yg lebih baik diantara keduanya?


12/15

PR. KERJAKAN DGN IMPLISIT EULER

y x

dx

dy

Bila diketahui y(0)=1 IVP

BERAPA NILAI y(0,1)=......???? dgn delta x=0,01

Metode Runge KuttaMetode ini memperbaiki akurasi dari metode implisit euler.

Rumus Runge Kutta mempunyai variasi yang luas, salah satu

rumus yang paling terkenal adalah rumus runge kutta orde-4:


13/15

yi+1 = yi + (k 1 + 2.k 2 + 2.k 3 + k 4). ( x/6)

dengan k 1= f(xi, yi)

k 2= f( xi + x/2 , yi + k 1. x/2 )

k 3= f( xi + x/2 , yi + k 2. x/2 )

k 4= f( xi + x , yi + k 3. x )

Tugas di rumah (tdk dikumpul): cari pembuktikan rumus ini

dengan menelusuri literatur/internet

Contoh selesaikan soal berikut dengan Runge Kutta

dy/dx = x2y

diketahui y(0)=1 ini IC


Jawab:

dengan k 1= f(xi, yi)

k 2= f( xi + x/2 , yi + k 1.

x/2 )k 3= f( xi + x/2 , yi + k 2. x/2 )

k 4= f( xi + x , yi + k 3. x )

yi+1 = yi + (k 1 + 2.k 2 + 2.k 3 + k 4). ( x/6)

misal digunakan x=0,1

k 1= 02. 1 = 0

k 2= (0+0,1/2)2

. (1 + 0*0,1/2) = 0,0025k 3= (0+0,1/2)

2. (1 + 0,0025*0,1/2) = 0,0025003125

k 4= (0+0,1)2. (1 + 0,0025003125*0,1) = 0,01

sehingga y(0,1)= 1 + (0 + 2* 0,0025 + 2*0,0025 + 0,01)*(0,1)/6

= 1,000333


14/15

dengan menerapkan hasil dari y(0,1) = 1,000333 ke rumus runge

kutta maka secara analog diperoleh nilai y(0,2)

dengan urutan

k 1= (0,1)2 * 1,000333= 0,01k 2= (0,15)

2. (1,000834) = 0,02252

k 3= (0,15)2. (1,001459) = 0,02252

k 4= (0,2)2. (1,002587) = 0,04010

sehingga y(0,2)= 1,000333 + (0,01+ 2*0,02252+2*0,02252+

0,0401)*(0,1)/6

= 1,002670

Bisakah dengan excel?

Kalau diperhatikan, ternyata hasil perhitungan dengan rungekutta lebih mendekati nilai analitis dari pada dengan euler

maupun implisit euler

PR

kerjakan dengan runge kuta (manual dan EXCEL):

y xdx

dy


15/15

diketahui y(0)=1

BERAPA NILAI y(0,1)=......????

Documents

Ivp Euler Dll