Click here to load reader

Izbrana poglavja iz matematike - Izbrana poglavja iz matematike BF – Biologija Matjaˇz Zeljkoˇ Zapiski ob predavanjih v ˇsolskem letu 2009/2010 Izpis: 19. januar 2010 KAZALO 2

  • View
    6

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Izbrana poglavja iz matematike - Izbrana poglavja iz matematike BF – Biologija Matjaˇz...

  • Izbrana poglavja iz matematike BF – Biologija

    Matjaž Željko

    Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2009/2010

    Izpis: 19. januar 2010

  • KAZALO 2

    Kazalo

    1 Števila 5 1.1 Naravna števila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Cela števila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Racionalna števila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Realna števila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Urejenost realnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6 Omejene množice realnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    2 Množice 13 2.1 Množice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Operacije z množicami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 Preslikave med množicami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4 Moč množic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    3 Kombinatorika 21 3.1 Preštevanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    4 Verjetnost 27 4.1 Osnovni pojmi in računanje z dogodki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.2 Osnovne lastnosti verjetnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.3 Algebra dogodkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.4 Lastnosti verjetnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.5 Pogojna verjetnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.6 Zaporedje neodvisnih dogodkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.7 Hardy-Weinbergov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    5 Matrike 38 5.1 Operacije z matrikami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5.2 Permutacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.3 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.4 Računanje determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.5 Razvoj po vrstici ali stolpcu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.6 Cramerjevo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.7 Gaussova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.8 Inverz matrike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.9 Vektorski prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.10 Lastne vrednosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5.11 Leslijev model populacijske rasti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    6 Zaporedja 75 6.1 Zaporedja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 6.2 Rekurzivno podana zaporedja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 6.3 Beverton–Holtov model populacijske rasti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

    7 Funkcije 93 7.1 Splošni pojem funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 7.2 Limita funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 7.3 Zveznost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 7.4 Lastnosti zveznih funkcij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

  • KAZALO 3

    7.5 Zveznost elementarnih funkcij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

    8 Diferencialni račun 114 8.1 Definicija odvoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 8.2 Geometrični pomen odvoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 8.3 Pravila za odvajanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 8.4 Odvodi elementarnih funkcij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 8.5 Diferencial funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 8.6 Lastnosti odvedljivih funkcij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 8.7 Konveksnost, konkavnost, prevoji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 8.8 Ekstremi funkcij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 8.9 Risanje grafov funkcij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 8.10 L’Hôpitalovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

    9 Integralski račun 151 9.1 Nedoločeni integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 9.2 Pravila za integriranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 9.3 Določeni integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 9.4 Geometrijski pomen integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 9.5 Lastnosti določenega integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 9.6 Zveza med določenim in nedoločenim integralom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 9.7 Računanje določenega integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 9.8 Posplošeni integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 9.9 Uporaba integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

    10 Vrste 182 10.1 Številske vrste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 10.2 Taylorjeva vrsta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

    11 Funkcije več spremenljivk 200 11.1 Splošni pojem funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 11.2 Odprte množice in okolice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 11.3 Zveznost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 11.4 Parcialni odvodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 11.5 Verižno pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 11.6 Lokalni ekstremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 11.7 Metoda najmanǰsih kvadratov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 11.8 Vezani ekstremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

    12 Diferencialne enačbe 227 12.1 Splošen pojem diferencialne enačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 12.2 Diferencialne enačbe prvega reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

    12.2.1 Enačba z ločljivima spremenljivkama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 12.3 Radioaktivni razpad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 12.4 Problem mešanja raztopin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 12.5 Linearna diferencialna enačba I. reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 12.6 Bernoullijeva enačba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 12.7 Diferencialne enačbe vǐsjih redov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 12.8 Homogene linearne diferencialne enačbe II. reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

    12.8.1 Enačbe s konstantnimi koeficienti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 12.9 Nehomogene linearne diferencialne enačbe II. reda . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

  • KAZALO 4

    12.10Nihanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 12.11Sistemi diferencialnih enačb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 12.12Sistem dveh diferencialnih enačb s konstantnimi koeficienti . . . . . . . . . . . . 246 12.13Naravna rast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 12.14Bartalanffyev model rasti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 12.15Verhulstov model rasti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

    13 Primeri vprašanj za teoretični del izpita 252

  • 1 ŠTEVILA 5

    1 Števila

    1.1 Naravna števila

    Naravna števila so števila, s katerimi štejemo:

    1, 2, 3, 4, . . .

    Množico naravnih števil {1, 2, 3, . . .} označimo z N. Naravna števila lahko med seboj seštevamo in množimo. Vrstni red pri seštevanju in množenju ni pomemben, člene (pri seštevanju) ali faktorje (pri množenju) lahko poljubno združujemo. Torej za vsaka tri naravna števila a, b in c velja

    a+ b = b+ a,

    ab = ba,

    (a+ b) + c = a+ (b+ c),

    (ab)c = a(bc).

    Prvi dve lastnosti imenujemo komutativnost seštevanja oz. množenja, drugi dve lastnosti pa imenujemo asociativnost seštevanja oz. množenja.

    Če naravna števila seštevamo in množimo, se moramo držati dogovora o vrstnem redu ope- racij. Ker ima množenje prednost pred seštevanjem, je

    a+ b · c = a+ (b · c), a · b+ c = (a · b) + c.

    Če želimo najprej izračunati a+b in nato rezultat pomnožiti s c, zapǐsemo (a+b) ·c. V splošnem velja pravilo o distributivnosti množenja:

    (a+ b)c = ac+ bc,

    a(b+ c) = ab+ ac.

    Nače