38
Sveuˇ ciliˇ ste J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveuˇ ciliˇ sni nastavniˇ cki studij matematike i informatike Jasna Matijakovi´ c Znanstvene metode u nastavi matematike Diplomski rad Osijek, 2012.

Jasna Matijakovi c - mathos.unios.hr

  • Upload
    others

  • View
    5

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Jasna Matijakovi c - mathos.unios.hr

Sveuciliste J.J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike

Jasna Matijakovic

Znanstvene metode u nastavi matematike

Diplomski rad

Osijek, 2012.

Page 2: Jasna Matijakovi c - mathos.unios.hr

Sveuciliste J.J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike

Jasna Matijakovic

Znanstvene metode u nastavi matematike

Diplomski rad

Mentor: doc.dr.sc. Ivan MaticKomentor: dr.sc. Ljerka Jukic Matic

Osijek, 2012.

Page 3: Jasna Matijakovi c - mathos.unios.hr

Sadrzaj

1. Uvod 1

2. Sto znaci znanstvenost nastave matematike? 22.1. Nacela nastave matematike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2. Nacelo znanstvenosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3. Znanstvene metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.4. Nastava matematike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3. Osnovne znanstvene metode 53.1. Analiza i sinteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.1.1. Primjer analize i sinteze u nastavi matematike . . . . . . . . . . 53.2. Analogija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2.1. Primjer analogije u nastavi matematike . . . . . . . . . . . . . . 83.3. Konkretizacija i apstrakcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3.1. Primjer konkretizacije u nastavi matematike . . . . . . . . . . . 143.3.2. Primjer apstrakcije u nastavi matematike . . . . . . . . . . . . . 15

3.4. Indukcija i dedukcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4.1. Primjer indukcije u nastavi matematike . . . . . . . . . . . . . . 193.4.2. Potpuna indukcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4.3. Nepotpuna indukcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4.4. Primjer dedukcije u nastavi matematike . . . . . . . . . . . . . 243.4.5. Matematicka indukcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.5. Generalizacija i specijalizacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.5.1. Primjer generalizacije u nastavi matematike . . . . . . . . . . . 283.5.2. Primjer specijalizacije u nastavi matematike . . . . . . . . . . . 29

4. Sazetak 33

5. Summary 34

6. Zivotopis 35

Page 4: Jasna Matijakovi c - mathos.unios.hr

1

1. Uvod

U ovom diplomskom radu obradeno je nacelo znanstvenosti u nastavi matematike iosnovne znanstvene metode istrazivanja. Diplomski rad je podijeljen u dva poglavlja:sto znaci znanstvenost nastave matematike i osnovne znanstvene metode.

U prvom poglavlju dan je odgovor na pitanje sto znaci znanstvenost nastave mate-matike. Nabrojana su nacela nastave matematike, a detaljno je opisano nacelo znans-tvenosti. Nacelo znanstvenosti uspostavlja vezu izmedu matematike kao nastavnogpredmeta i matematike kao znanosti, pa su nabrojane osnovne znanstvene metode iopisana njihova vaznost za nastavu matematike.

U drugom poglavlju dan je opis i uporaba jedne ili para osnovnih znanstvenihmetoda. Takoder, bitno je napomenuti da je nemoguce u njima izbjeci spominjanje iuporabu i drugih osnovnih znanstvenih metoda, jer sve one ne dolaze pojedinacno, vecse ispreplicu i nadopunjuju.

Page 5: Jasna Matijakovi c - mathos.unios.hr

2

2. Sto znaci znanstvenost nastave matematike?

2.1. Nacela nastave matematike

Nacela nastave matematike temeljne su ideje na kojima se i uz pomocu kojih seodreduju uvjeti ucenja u nastavi matematike. To su smjernice kojih bi se trebaopridrzavati svatko tko organizira nastavu i provodi nastavu matematike. U osnovnoj isrednjoj skoli uspostavljaju se ova nacela: nacelo primjerenosti, nacelo zornosti, nacelointeresa, svjesnosti i aktivnosti, nacelo sistematicnosti i postupnosti, nacelo znanstve-nosti, nacelo trajnosti znanja, vjestina i navika, nacelo odgojnosti nastave, nacelo mo-tivacije, nacelo individualizacije, nacelo problemnosti. Sva ova nacela nisu medusobnoodvojena vec se uzajamno uvjetuju i istovremeno ostvaruju. Osnovna znacajka sva-kog nacela sadrazana je vec u samom nazivu nacela i ona je nastavnicima matematikeuglavnom jasna. Ipak, jedno nacelo cesto izaziva nedoumicu: nacelo znanstvenosti.Sto znaci znanstvenost nastave matematike?

2.2. Nacelo znanstvenosti

Nacelo znanstvenosti nastave matematike sastoji se od nuznog sklada nastavnihsadrzaja i nastavnih metoda s jedne strane i zahtjeva i zakonitosti matematike kaoznanosti s druge strane. To znaci da nastavnik matematike treba ucenike upoznavati sonim cinjenicama i u njihovu misljenju formirati one matematicke pojmove koji su da-nas znanstveno potvrdeni. Nastava matematike mora biti takva da omogucuje daljnjaprodubljivanja i prosirivanja gradiva i prirodan nastavak matematickog obrazovanja navisoj razini.

Nastavnik upotrebljava onaj matematicki jezik i simbole koji su uobicajeni u ma-tematici (tg, a ne tan kao oznaka za tangens; decimalnu tocku, a ne decimalni zarez islicno).

Iz ovog opisa vidimo da nacelo znanstvenosti uspostavlja vezu izmedu matematikekao nastavnog predmeta i matematike kao znanosti.

2.3. Znanstvene metode

U procesu spoznaje i upoznavanja zakona prirode znanstvenici primjenjuju posebnasredstva - znanstvene metode istrazivanja. Kod utvrdivanja metoda svake znanostitreba imati na umu da postoje zajednicka i posebna obiljezja istrazivanja u pojedinimznanostima. Osnovne metode znanstvenog misljenja i istrazivanja su:

analiza i sinteza,analogija,

apstrakcija i konkretizacija,indukcija i dedukcija,

generalizacija i specijalizacija.

Page 6: Jasna Matijakovi c - mathos.unios.hr

3

Sve navedene metode svojstvene su svim znanostima, pa tako i matematici. Te sumetode vazno sredstvo matematicara-znanstvenika u procesu dobivanja novih tvrdnji,njihova dokazivanja i dovodenja u vezu s vec poznatim cinjenicama i teorijama.

Rad nastavnika matematike s ucenicima u razredu i rad matematicara-znanstvenikase razlikuje u mnogocemu, ali postoje i neke zajednicke znacajke. Ucenici u nastavnomprocesu samostalno ili uz pomoc nastavnika matematike takoder otkrivaju i spoznajunove matematicke istine. Do tih spoznaja se moze doci na razlicite nacine. Cilj nastavematematike treba biti upoznavanje ucenika sa svim stranama matematicke djelatnostiprimjereno njihovim matematickim sposobnostima i predznanju. Od posebne vaznostije otkrivanje puta k samostalnom stvaralackom radu ucenika.

2.4. Nastava matematike

Iz dosada svega navedeno, lako zakljucujemo da su znanstvene metode vazne i za su-vremenu nastavu matematike. Takoder su predmet izucavanja u suvremenoj metodicinastave matematike. Kreativan nastavnik, birajuci pogodne probleme i primjenjujucite metode, moze ucenike osposobiti za rad koji je vrlo blizak istrazivackom radu, raduznanstvenika. Mnogo je nastavnih matematickih sadrzaja za takvu primjenu u kojimase u punoj mjeri moze ostvariti nacelo znanstvenosti. Nastavnik matematike trebaucenike upoznati s onim cinjenicama i u njihovom misljenju formirati one pojmovekoji su danas znanstveno potvrdeni.

Kako je u tom pogledu u nasoj nastavnoj praksi? Nastavnik matematike tijekomnastavnog sata cesto govori: ”analiza pokazuje”, ”pogledajmo nekoliko konkretnih pri-mjera”, ”analogno se dokazuje”, ”ovaj niz cinjenica inducira zakljucak”, ”rezultat ovihpromatranja je generalizacija”, ”specijalizacijom dobivamo formulu”, ”matematickipojmovi su apstraktni” i slicno. Razumiju li ucenici ove rijeci? Podrazumijeva seda ucenici imaju znanje o navedenim postupcima, pa objasnjenja izostaju.

Ucenike treba postupno i primjereno nauciti analizirati, sintetizirati, konkretizirati,apstrahirati, inducirati, deducirati, generalizirati, specijalizirati, uocavati analogiju,bez obzira hoce li se oni kasnije ozbiljnije baviti matematikom ili ne. Ovo je visa razinamatematickog obrazovanja za razliku od obicnog usvajanja gradiva. Matematicki nacinmisljenja posebno je cijenjena vrlina koja je primjenjiva i u mnogim drugim podrucjima.Ona se stjece postupno i primjereno. Moze se ocekivati da ce nastava matematike bitiuspjesnija ako se znanstveni postupci primjereno i pravilno primjenjuju, s osjecajemza tezinu matematickih sadrzaja i matematickog misljenja te uvazavajuci matematickesposobnosti pojedinog ucenika. U protivnom, ucenici ce imati znatnih poteskoca prisvladavanju nastavnog gradiva i oni s vremenom mogu steci pogresan dojam da jematematika tezi predmet nego sto to ona uistinu jest. Cesto se u udzbenicima mate-matike, a onda i u nastavnom procesu, ne poklanja dovoljno pozornosti na pravilnostprimjene znanstvenih postupaka. Moze se cak ustanoviti da su obrade nekih mate-matickih sadrzaja s tog gledista pogresne. Time je povrijedeno nacelo znanstvenosti.

Neuspjesi ucenika u matematici i neznanja nakon zavrsenog skolovanja dobrim sudijelom posljedica cinjenice da se nastava vecinom izvodi na nizoj razini, gdje se previse

Page 7: Jasna Matijakovi c - mathos.unios.hr

4

inzistira samo na usvajanju gradiva. Navedena visa razina je zapostavljena. Razlogtome mozemo pronaci u cinjenici da su za visu razinu nastave matematike potrebnezahtjevnije nastavne metode.

Potreba uporabe znanstvenih metoda u nastavi matematike moze se objasniticinjenicama da je matematika u nastajanju konkretna i induktivna znanost, a samamatematika je apstraktna i deduktivna znanost. To govori o vaznosti znanstvenih me-toda istrazivanja za nastavu matematike, posebno u ovom slucaju cetiri: konkretizacije,indukcije, apstrakcije i dedukcije.

Ako pogledamo nastavu u tom pogledu, vidimo da je nastava matematike u osnov-noj skoli pretezno konkretna i induktivna. Nastavnik dolazi do apstraktnih postavki,do generalizacija, razmatranjem konkretnih objekata i konkretnih primjera i induktiv-nim zakljucivanjem. Taj je nacin blizak i primjeren ucenicima tog uzrasta. Pocinje sekonkretnim objektima i specijalnim slucajevima, induktivni zakljucci nizu se analogi-jom, a promatrane cinjenice nastoje se generalizirati. Na temelju toga vidimo tijesnupovezanost indukcije s konkretizacijom, specijalizacijom, analogijom i generalizacijom.Nastavnik matematike ne mora biti znanstvenik da bi u nastavi pravilno i primjerenoprimjenjivao nacela znanstvenosti i znanstvene metode. Rjesenje svakog problema imanesto otkrivalacko i stvaralacko. Zato je samo potrebno da nastavnik svojim ucenicimarazvija radoznalost duha, sklonost za samostalan umni rad i da im ukazuje na putovenovih otkrica.

Page 8: Jasna Matijakovi c - mathos.unios.hr

5

3. Osnovne znanstvene metode

Osnovne znanstvene metode dolaze u parovima. Izuzetak je analogija. To su:

analiza i sinteza,analogija,

apstrakcija i konkretizacija,indukcija i dedukcija,

generalizacija i specijalizacija.

Svaku navedenu metodu zasnovanu na nacelu znanstvenosti cemo opisati, kao i njezinuprimjenu u nastavi matematike.

3.1. Analiza i sinteza

Pojam analiza u matematici ima razlicita znacenja. Razmatrat cemo analizu kao jednuod osnovnih znanstvenih metoda istrazivanja. Njezina suprotnost je sinteza. Iako seanaliza i sinteza bitno razlikuju po nacelu pristupa problemu, prakticki su nedjeljivejedna od druge, nadopunjuju se i cine jedinstvenu tzv. analiticko-sinteticku metodu.

Analiza je znanstvena metoda istrazivanja koja se zasniva na rasclanjivanju cjelinena dijelove, proucavanju dijelova i izvodenja zakljucka o cjelini na temelju dobivenihrezultata. Cjelina u matematici najcesce je neki problem cije rjesenje trazimo. Ana-lizom problem svodimo na jednostavnije probleme i tvrdnje koje su ili ocigledne ili sejednostavno dokazuju. U procesu rasclanjivanja pokusavaju se dovesti u vezu s pro-blemom ranije dokazane cinjenice i po potrebi izraduje crtez, sto sve moze ubrzatiotkrivanje puta njegova rjesavanja. Analiza obicno zavrsava u onom trenutku kada jeuspostavljena veza izmedu postavljenog problema i poznatih cinjenica.

Osim prethodnog opisa postoje razliciti opisi analize poput: analiza je metodaistrazivanja kod koje se od posljedica dolazi do uzroka, analiza je pronalazenje, analizaje stvaranje plana, analiza je metoda rjesavanja unatrag, analiza je izvodenje od krajak pocetku, analiza je regresivno zakljucivanje.

Sinteza je znanstvena metoda istrazivanja koja se zasniva na povezivanju proucavanihdijelova u cjelinu koje rjesava postavljeni problem.

3.1.1. Primjer analize i sinteze u nastavi matematike

Iako se analiza i sinteza primjenjuju u svim podrucjima skolske matematike, neka suizrazito prikladna za zoran prikaz ovih dviju vaznih metoda. U ovom radu posebnapaznja pridana je podrucju algebarskih nejednakosti. Ono je vrlo pogodno za uspjesnuprimjenu analize jer se ovdje istrazivanje moze odmah usmjeriti na pravi put koji uvecini slucajeva brzo daje pozitivne rezultate.

Postoje razliciti nacini dokazivanja algebarskih nejednakosti. U trima slucajevimaanaliza je kratka ili gotovo nepotrebna:

1. nacin dokazivanja ocigledan, lako uocljiv, prirodan i sam se namece,

Page 9: Jasna Matijakovi c - mathos.unios.hr

6

2. vidi se mogucnost primjene poznatih posebnih nejednakosti,

3. moguca je primjena metode matematicke indukcije.

Tada se odmah moze prijeci na sintezu, tj. dokazivanje. Posvetit cemo paznju onimalgebarskim nejednakostima kod kojih sve to nije vidljivo, pa je potrebna dublja analizada bi se doslo do nacina njihova dokazivanja. U tim slucajevima analiza se provodiovako:

Kao polazni korak sluzi zadana nejednakost (N0). Ta nejednakost se nastoji tran-sformacijama prevesti u sto jednostavnije nejednakosti (N1),(N2),...,(Nk−1),(Nk), a ciljje da krajnja nejednakost (Nk) bude ocigledna.

Transformacije koje se pritom najcesce primjenjuju su:

• supstitucija,

• potenciranje,

• izlucivanje zajednickih faktora,

• drukcije grupiranje clanova,

• mnozenje nejednakosti brojem razlicitim od 0,

• dodavanje i oduzimanje novih clanova,

• mnozenje zagrada,

• prenosenje clanova na istu stranu,

• mnozenje nejednakosti zajednickim nazivnikom.

Nece se uvijek primjenjivati sve navedene transformacije. Sve ovisi o slozenosti nejed-nakosti.

Ako smo nejednakost sveli na oblik > 0, ociglednost krajnje nejednakosti (Nk)postize se tako da se lijeva strana nejednakosti prikaze kao zbroj pozitivnih clanova.Na taj nacin dobiva se niz istinitih implikacija:

(N0) ⇒( N1) ⇒ . . . ⇒ (Nk−1) ⇒ (Nk).

Time nismo dokazali valjanost nejednakosti (N0), ali smo izvodenjem od kraja dopocetka otkrili pocetni korak dokaza, ociglednu nejednakost (Nk).

Sada se sinteza jednostavno provodi. Dovoljno je ispitati mogu li se sve promatraneimplikacije obrnuti. Ako mogu, sinteza odnosno dokaz nejednakosti provodi se ovako:

(Nk) ⇒( Nk−1) ⇒ . . . ⇒ (N1) ⇒ (N0).

Radi pojednostavljivanja i kraceg postupka, tijekom analize nakon svakog koraka od-mah se ispituje mogucnost obrtanja implikacije. To objedinjuje analizu i sintezu ujedinstvenu vec prije spomenutu analiticko-sinteticku metodu. Cijeli postupak tadaopisujemo ekvivalencijama:

Page 10: Jasna Matijakovi c - mathos.unios.hr

7

(N0) ⇔( N1) ⇔ . . . ⇔ (Nk−1) ⇔ (Nk).

Pogledajmo ovaj postupak na primjeru.

Primjer 3.1 Dokazimo da za pozitivne realne brojeve a,b,c vrijedi nejednakost

ab

c+bc

a+ca

b≥ a+ b+ c.

AnalizaNa nejednakost cemo najprije primjeniti sljedece transformacije: mnozenje za-

jednickim nazivnikom lijeve strane, prenosenje clanova na lijevu stranu, izlucivanjezajednickih faktora. Dobivamo redom:

a2b2 + b2c2 + c2a2 ≥ a2bc+ b2ca+ c2ab,

a2b2 + b2c2 + c2a2 − a2bc− b2ca− c2ab ≥ 0,

a2(b2 + c2 − bc) + b2(c2 − ca)− c2ab ≥ 0.

Ovo je kriticno mjesto jer izlucivanje izgleda beskorisno, ali nije. Kada bi u prvojzagradi stajalo −2bc, tada bi prvi pribrojnik bio nenegativan, a slican oblik pozeljanje i za druga dva pribrojnika, pogotovo sto slova a,b,c ulaze u nejednakost simetricno.Trebamo clanove −2a2bc, −2b2ac, −2c2ab itd. To mozemo dobiti mnozenjem prethodnedruge nejednakosti s 2. Tek nakon mnozenja treba izvrsavati izlucivanje. Dobivamo:

2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 − 2a2bc− 2b2ca− 2c2ab ≥ 0

Raspisemo do prepoznatljivog oblika i rezultat je nejednakost:

a2(b2 + c2 − 2bc) + b2(c2 + a2 − 2ca) + c2(a2 + b2 − 2ab) ≥ 0,

a ona odmah prelazi u ociglednu nejednakost:

a2(b− c)2 + b2(c− a)2 + c2(a− b)2 ≥ 0.

Analiza je gotova.

Sinteza (Dokaz)Posljednja nejednakost pocetni je korak dokaza. Dokaz izgleda ovako:

a2(b− c)2 + b2(c− a)2 + c2(a− b)2 ≥ 0⇒a2(b2 + c2 − 2bc) + b2(c2 + a2 − 2ca) + c2(a2 + b2 − 2ab) ≥ 0⇒

a2b2 + b2c2 + c2a2 − a2bc− b2ca− c2ab ≥ 0⇒a2b2 + b2c2 + c2a2 ≥ a2bc+ b2ca+ c2ab⇒

ab

c+bc

a+ca

b≥ a+ b+ c.

Dokaz je gotov.

Mozemo zakljuciti da osim otkrivanja ocigledne nejednakosti kao prvog koraka sin-teze, od analize u podrucju nejednakosti moze se izvuci jos jedna korist: ako se nastav-niku ucini da je polazna nejednakost tezak zadatak, moze se za dokazivanje odabratineka nejednakost iz niza transformiranih nejednakosti, jer je svaka od njih laksa odprethodne. Sve receno o primjeni analize u podrucju nejednakosti moze se uz nekepreinake iskoristiti pri rjesavanju problema u podrucju jednakosti.

Page 11: Jasna Matijakovi c - mathos.unios.hr

8

3.2. Analogija

Zakljucivanje kod kojeg se iz dvaju ili vise sudova odredenog stupnja opcenitosti dobivanovi sud istog stupnja opcenitosti naziva se traduktivno zakljucivanje. To je jedno odvaznijih oblika zakljucivanja, a poseban oblik traduktivnog zakljucivanja je analogija.

Analogija je jedna vrsta slicnosti, ali nije svaka slicnost analogija. Za analogiju jeosim slicnosti potrebna i podudarnost objekata u odredenim odnosima.

Zakljucivanje po analogiji je misaoni postupak pri kojem se iz opazanja da sedva objekta podudaraju u odredenom broju svojstava ili odnosa izvodi zakljucak dase oni podudaraju i u drugim svojstvima ili odnosima koji se kod jednog objekta nisuizravno opazali.

Radi boljeg razumjevanja prikazat cemo to shematski:Objekt A ima svojstva s1, s2, s3, . . . , sk−1, sk, objekt B ima svojstva s∗1, s

∗2, s

∗3, . . . , s

∗k−1.

Svojstva s∗1, s∗2, s

∗3, . . . , s

∗k−1 analogna su svojstvima s1, s2, s3, . . . , sk−1. Tada B ima svoj-

stvo s∗k.

Zakljucivanje po analogiji ne mora uvijek vrijediti, jer podudaranje objekata u dijelusvojstava ne mora nuzno povlaciti njihovo podudaranje i u drugim svojstvima. Zatoono moze dovesti i do sasvim krivih zakljucaka. Ipak, ovim se ne umanjuje vaznostproucavanja analogije. Analogija je prisutna u svakidasnjem govoru, umjetnickomstvaralastvu i u znanstvenom istrazivanju. Pri tome, ona moze poprimiti razliciteoblike medu kojima je najdublji oblik analogije izomorfizam koji dovodi do potpunih ipouzdanih zakljucaka.

3.2.1. Primjer analogije u nastavi matematike

Analogija je vrlo korisna i u nastavi matematike. Nastavnik matematike tijekom nas-tavnog sata cesto puta govori ili pita: ”slicno se izvodi”, ”analogno se dobiva”, ”naisti nacin se dokazuje”, ”trokuti se podudaraju”, ”ovo je srodan zadatak”, ”u kojemsu odnosu promatrani likovi?”, ”ovdje mozemo ponoviti opisani postupak” i slicno.

Upravo te recenice imaju dubok smisao i vazan cilj, jer ponavljanjem takvog nacinagovora nastavnik matematike u svom predavanju svjesno ukazuje na analogiju. Natakav nacin analogija postaje sredstvo povezivanja i lakseg svladavanja nastavnog gra-diva te sredstvo razvijanja stvaralackog misljenja i kreativnosti ucenika. Pri rjesavanjunekog problema ucenicima se skrene paznja na promatranje nekog bliskog, srodnog pro-blema i oponasanje postupka njegova rjesavanja. Ponekad, u nekim tezim slucajevimaanalogija nece biti od neke pomoci, ali moze ukazati na smjer u kojemu treba nas-taviti rjesavanje. Geometrija je podrucje matematike u kojemu se mogu naci mnogeanalogije. Postoje tri smjera primjene zakljucivanja po analogiji:

1. uocavanje analognih objekata

2. otkrivanje analognih svojstava

3. provodenje analognih postupaka

Page 12: Jasna Matijakovi c - mathos.unios.hr

9

Opisimo ih.

1. Analogni objekti. Matematika proucava veliki broj objekata. Ti su objektiprema odredenoj srodnosti i unutarnjoj strukturi same znanosti razvrstani u skupove:brojevi, relacije, funkcije, jednadzbe, grupe, mnogokuti, poliedri, obla tijela, plohe,determinante, matrice i dr. Najjednostavniji primjer analognih objekata su duzina itrokut. Ali, analogija ne mora uvijek biti jednoznacna pa, tako neki objekti mogu imativise analogona.

Primjer 3.2 Likovi i tijela

1. Trokut i tetraedar. Zasto su to analogni objekti? Trokut je najjednostavniji mno-gokut odreden s tri nekolinearne tocke u ravnini, i omeden s trima duzinama.Tetraedar je najjednostavniji poliedar, odreden s cetiri nekomplanarne tocke uprostoru, i omeden je s cetirima trokutima.

Slika 3.1. Trokut i tetraedar

2. Jednakostranicni trokut i pravilni tetraedar

Slika 3.2. Jednakostranicni trokut i pravilni tetraedar

Page 13: Jasna Matijakovi c - mathos.unios.hr

10

3. Pravokutnik i kvadar

Slika 3.3. Pravokutnik i kvadar

Pravokutnik: nasuprotne stranice su paralelne, nasuprotne stranice su sukladne,susjedne stranice su okomite, dijagonale se raspolavljaju.

Kvadar: nasuprotne strane su paralelne, nasuprotne strane su sukladne, susjednestrane su okomite, dijagonale se raspolavljaju.

Sa svim ovim objektima se ucenici upoznaju rano i pozeljno je da sami uocavaju njihovusrodnost.

2. Analogna svojstva. Osim najjednostavnijih svojstava na temelju kojih sezakljucuje da su odredeni objekti analogni, objekti mogu imati slicna i druga svojstva.Ukoliko jedan jednostavniji objekt ima neko takvo svojstvo, analogija nam pomaze danaslutimo kakvo slicno svojstvo bi mogao imati njegov slozeniji analogon.

Primjer 3.3 Povrsina i obujam

Povrsina skupa tocaka u ravnini jedan je od najpoznatijih matematickih pojmova.Ucenici uspjesno racunaju povrsine razlicitih likova primjenom poznatih formula. Alisto je to povrsina? Na ovo pitanje malo ucenika bi znalo odgovoriti.

Ljudi su jos od davnina mjerili povrsine, rade to neprestano i danas. Pri mje-renju povrsine dosli su do razlicitih svojstava povrsine. Prirodno se izdvajaju cetirijednostavna svojstva povrsine iz kojih se mogu izvesti sva ostala svojstva:

Povrsina je uvijek nenegativan broj.

Ako je neki lik sastavljen od dijelova, onda je njegova povrsina jednaka zbrojupovrsina tih dijelova.

Sukladni likovi imaju jednake povrsine.

Kvadrat sa stranicom duljine 1 ima povrsinu jednaku 1.

Ove cinjenice ucenici intuitivno znaju, ali potrebno je to znanje primijeniti. Tako sena jednostavan nacin dolazi do motivacije kako da se uvede pojam povrsina mnogokutakoji ucenici s lakocom prihvacaju.

Page 14: Jasna Matijakovi c - mathos.unios.hr

11

Definicija 3.1 Neka je P skup svih mnogokuta u ravnini, ukljucujuci i prazan skup.Povrsina na skupu P je preslikavanje p:P→ R koje ima sljedeca svojstva:

1. p(P)≥0 za svaki mnogokut P.

2. Ako je mnogokut P zbroj mnogokuta P1 i P2, onda je:

p(P1 + P2) = p(P1) + p(P2).

3. Ako su mnogokutii P1 i P2 sukladni, onda su brojevi p(P1) i p(P2) jednaki, od-nosno:

P1∼= P2 ⇒ p(P1) = p(P2).

4. Postoji bar jedan kvadrat K s duljinom stranice 1 takav da je p(K)=1

Broj p(P) naziva se povrsina mnogokuta P.

Teorija mjerenja obujma skupova tocaka u prostoru slicna je teoriji mjerenja povrsineskupova tocaka u ravnini. Posebno su mnogokuti i poliedri vrlo srodni. Zato definicijuobujma poliedara uvodimo na analogan nacin:

Definicija 3.2 Neka je P skup svih poliedara u prostoru, ukljucujuci i prazan skup.Obujam na skupu P je preslikavanje v:P → R koje ima sljedeca svojstva:

1. v(P)≥0 za svaki poliedar P.

2. Ako je poliedar P zbroj poliedara P1 i P2, onda je:

v(P1 + P2) = v(P1) + v(P2).

3. Ako su poliedri P1 i P2 sukladni, onda su brojevi v(P1) i v(P2) jednaki, odnosno:

P1∼= P2 ⇒ v(P1) = v(P2).

4. Postoji bar jedna kocka K duljine brida 1 takva da je v(K)=1.

Broj v(P) naziva se obujam poliedra P.

3. Analogni postupci. Osim uocavanja slicnih objekata i postavljanja pretpos-tavki prenosenjem svojstava s jednog objekta na drugi, vazan je i treci smjer istrazivanjau vezi s analogijom. Prenesena svojstva treba dokazati. Medutim, cesto se medu pos-tupcima prenosenja i dokazivanja moze uociti slicnost. Upravo se to treba iskoristitiu nastavi matematike za jos cvrsce povezivanje gradiva. Analogiju treba njegovati vecod nizih razreda osnovne skole jer omogucuje aktivnije sudjelovanje ucenika.

Primjer 3.4 Primjena Pitagorina poucka na visine i dijagonale

Pitagorin poucak je korisno sredstvo za izvodenje mnogih formula za objekte u pla-nimetriji i stereometriji u kojima okomitost i pravokutni trokut igraju vaznu ulogu.Prisjetimo se kako glasi Pitagorin poucak.

Page 15: Jasna Matijakovi c - mathos.unios.hr

12

Teorem 3.1 Povrsina kvadrata nad hipotenuzom pravokutnog trokuta jednaka je zbrojupovrsina kvadrata nad katetama tog trokuta, tj.

c2 = a2 + b2.

Formule v = 12a√

3 i v = 12

√4b2 − a2 za duljine visina jednakostranicnog i jednako-

kracnog trokuta analogno se izvode koristenjem Pitagorinog poucka.

Slika 3.4. Jednakostranicni i jednakokracni trokut

Formule d = a√

2 i d =√a2 + b2 za duljine dijagonala kvadrata i pravokutnika

analogno se izvode koristenjem Pitagorinog poucka.

Slika 3.5. Kvadrat i pravokutnik

Formule d = a√

3 i d =√a2 + b2 + c2 za duljine dijagonala kocke i kvadra analogno

se izvode koristenjem Pitagorinog poucka.

Page 16: Jasna Matijakovi c - mathos.unios.hr

13

Slika 3.6. Kocka i kvadar

Mnogo je ovakvih primjera u nastavi matematike. Svi oni pokazuju koliko je vaznaprimjena analogije u nastavnom procesu. Nastavno gradivo se povezuje, predavanjepojednostavljuje, usvojeno gradivo se obnavlja i utvrduje, a novo gradivo brze svladava.Izmedu ostalog, jos je vaznije sto analogija nastavniku matematike daje mogucnostneprestane izmjene nastavnih oblika i metoda. Ipak, treba paziti jer zakljucivanjepo analogiji nije strogo. Zbog toga nastavnik u svome poucavanju, posebno kada je upitanju analogija, treba stalno upozoravati ucenike na dvije stvari: prvo, da je analogijasnazno sredstvo istrazivackog rada i bez veceg truda nam pomaze da se brzo dode donovih matematickih pojmova, a drugo, da moze dovesti do pogresnih zakljucaka. Evonekih od tih pogresaka:

1. a+cb+c

= ab, analogija s ac

bc= a

b

2.√a2 + b2 = a+ b, analogija s

√a2b2 = ab

3. Danom tockom u ravnini moze se poloziti samo jedan pravac okomit na danipravac. (tocno)

Danom tockom u prostoru moze se poloziti samo jedan pravac okomit na danipravac. (netocno)

Danom tockom u prostoru moze se poloziti samo jedna ravnina okomita na danipravac. (tocno)

3.3. Konkretizacija i apstrakcija

U svakodnevnom govoru cesto cujemo pojmove konkretan i konkretizacija cije nam jeznacenje odmah jasno. Slicno je i s pojmovima apstraktan i apstrakcija.

Rijec konkretizacija potjece od latinske rijeci concretus sto znaci stvaran, predme-tan, pa i njezino znacenje ostvarenje, popredmecenje.

Rijec apstrakcija potjece od latinske rijeci abstractio sto znaci izdvajanje, izvlacenje,odvajanje.

Page 17: Jasna Matijakovi c - mathos.unios.hr

14

Konkretizacija je u znanosti jedna od osnovnih metoda misljenja. Njezina suprot-nost je apstrakcija. Kako je matematika apstraktna znanost, tako su objekti, velicinei odnosi medu njima koji se pojavljuju i promatraju u matematici uzeti iz stvarnogsvijeta, ali su im razna obiljezja apstrahirana. Iz toga lako zakljucujemo da znans-tvena metoda konkretizacija i njezina suprotnost apstrakcija, imaju vaznu ulogu umatematickim istrazivanjima i u nastavi matematike.

Konkretizacija je misaona aktivnost pri kojoj se jednostrano pogled usredotocujena jednu stranu promatranog objekta izvan veze s njegovim drugim stranama.

Kako bi opisali apstrakciju? Postoje razni opisi ovog pojma vec prema tome ukojoj se znanosti ili podrucju ljudske djelatnosti on susrece. Apstrakcija je jedna odtemeljnih misaonih procesa.

Apstrakcija je misaono odvlacenje opceg bitnog svojstva promatranog objektaili pojave od ostalih svojstava, nebitnih za odredeno proucavanje, i odbacivanje tihnebitnih svojstava.

3.3.1. Primjer konkretizacije u nastavi matematike

Nastava matematike u osnovnoj skoli je pretezno konkretna i induktivna. Ranije jereceno da nastavnik matematike dolazi do apstraktnih postavki, generalizacija pomocurazmatranja konkretnih objekata i konkretnih primjera te induktivnim zakljucivanjem.Takav nacin je primjeren i blizak ucenicima tog uzrasta. Induktivni postupak se sas-toji od niza induktivnih koraka kojima se dolazi do shvacanja opceg. Pocinje se skonkretnim objektima i specijalnim slucajevima, induktivni zakljucci nizu se analo-gijom, a promatrane cinjenice nastoje se generalizirati. Obzirom da se opca bitnasvojstva nekog objekta izdvajaju primjenom generalizacije, dolazimo do zakljucka daje apstrahiranje u uskoj vezi s poopcavanjem. Oni se stalno primjenjuju u procesuformiranja pojmova pri prijelazu od predodzbi k pojmovima. Iz svega do sada receno,lako zakljucujemo da je konkretizacija tijesno povezana sa svim osnovnim znanstvenimmetodama.

Mnogo je sadrzaja u skolskoj matematici za ciju su obradu potrebni konkretizacijai induktivni postupak. U to se posebno ubrajaju razna pravila, svojstva, formule iteoremi, pogotovo ako se oni strogo ne izvode ili ne dokazuju. U primjeru je naglasakna primjenu konkretizacije iako ne treba zaboraviti ni druge metode.

Primjer 3.5 Asocijativnost mnozenja racionalnih brojeva

Izgradimo induktivni niz jednakosti:(17 · 2

3

)· 1

5=

34

3· 1

5=

34

15,

17 ·(

2

3· 1

5

)= 17 · 2

15=

34

15,

Page 18: Jasna Matijakovi c - mathos.unios.hr

15

(17 · 2

3

)· 1

5= 17 ·

(2

3· 1

5

);(

14

33· 13

20

)· 11

7=

91

330· 11

7=

13

30,

14

33·(

13

20· 11

7

)=

14

33· 141

140=

13

30,(

14

33· 13

20

)· 11

7=

14

33·(

13

20· 11

7

);(

1

2·(− 3

10

))·(−5

9

)=

(− 3

20

)·(−5

9

)=

1

12,

1

2·((− 3

10

)·(−5

9

))=

1

2· 1

6=

1

12,(

1

2·(− 3

10

))·(−5

9

)=

1

2·((− 3

10

)·(−5

9

)).

Prijelazom od konkretnih racionalnih brojeva k promjenjivim velicinama izvodi segeneralizacija gornjih konkretnih jednakosti. Ako uklonimo te konkretne racionalnebrojeve i umjesto njih uvedemo promjenjive velicine, npr. a, b i c, dobivamo jednakost:

(a · b) · c = a · (b · c) za sve a, b, c ∈ Q

Na taj nacin primjenom induktivnog niza konkretnih jednakosti, poopcavanja i ap-strahiranja vodimo ucenike do otkrica svojstva asocijativnosti za mnozenje racionalnihbrojeva.

U konkretnoj nastavi matematike potreban je primjeren broj konkretnih slucajeva.U nastavi se koristi premali broj takvih slucajeva sto za posljedicu daje slabo zna-nje ucenika. Cesto nastavnik matematike ne pruza priliku ucenicima da sudjeluju uizgradnji induktivnog niza konkretnih slucajeva.

Takoder treba obratiti paznju da je prijelaz s konkretnog na apstraktno, te s kon-kretnog i pojedinacnog k opcem za neke ucenike dosta tezak. Zato nastavnik matema-tike treba svojim metodickim pristupom i umijecem ucenicima uciniti taj prijelaz stolaksim.

3.3.2. Primjer apstrakcije u nastavi matematike

Ucenici se s apstrakcijom, jednim za matematiku vaznim misaonim procesom, upoznajuvrlo rano.

Page 19: Jasna Matijakovi c - mathos.unios.hr

16

Primjer 3.6 Klasifikacije trokuta

Postoje dvije prirodne klasifikacije trokuta: klasifikacija u ovisnosti o duljinamastranica i klasifikacija u ovisnosti o velicinama kutova.

1. Ako vrsimo klasifikaciju trokuta u ovisnosti o duljinama stranica, onda se pritomudaljavamo od svojstva medu velicinama kutova i drugih svojstava. To je prvaapstrakcija.

Rezultat klasifikacije su sljedeci pojmovi: raznostranican trokut, jednakokracantrokut, jednakostranican trokut.

Slika 3.7. Raznostranican, jednakokracan i jednakostranican trokut

2. Ako vrsimo klasifikaciju trokuta u ovisnosti o velicinama kutova, onda se pritomudaljavamo od svojstava medu duljinama stranica i drugih svojstava. To je drugaapstrakcija.

Rezultat klasifikacije su sljedeci pojmovi: siljastokutan trokut, pravokutan trokut,tupokutan trokut.

Slika 3.8. Siljastokutan, pravokutan i tupokutan trokut

Slijedi slozeniji primjer iz skolske matematike u kojem se ispreplicu i nadopunjujunekoliko znanstvenih metoda, a posebno obratimo pozornost na apstrahiranje.

Primjer 3.7 Komutativnost zbrajanja prirodnih brojeva

S ovim svojstvom ucenici se rano upoznavaju. Na pocetku istrazivanja kao osnovasluzi induktivni postupak koji se sastoji od niza induktivnih zakljucaka o konkretnimobjektima i specijalnim slucajevima. Konkretni objekti su najcesce skupovi predmeta izstvarnog svijeta: olovke, kockice, stapici i dr. Na primjer, zbroj 4 kockice i 5 kockica

Page 20: Jasna Matijakovi c - mathos.unios.hr

17

jednak je 9 kockica, a toliko kockica dobiva se zbrajanjem 5 kockica i 4 kockice. Vidimoda vrijedi jednakost 4+5 = 5+4. Mjenjanjem broja elemenata navedenog skupa odnosnokockica, zbrajanjem i provjeravanjem dobiva se za tu razinu nastave niz apstraktnihjednakosti:

3 + 6 = 6 + 3, 9 + 4 = 4 + 9, 7 + 12 = 12 + 7, 10 + 3 = 3 + 10

Jednakost pokazuje da je nebitno sto zbrajamo, kockice, novcice ili nesto trece, a bitanje odnos medu brojevima predmeta koji one opisuju. Izdvajanjem toga opceg, bitnog,izvedena je prva apstrakcija.

Dobivene jednakosti u daljnjim razmatranjima mozemo uzeti kao polazne mate-maticke objekte i njih poopciti i apstrahirati. Ako dobro pogledamo te jednakosti, vi-dimo da nije tesko otkriti u njima ono opce i odvojiti od konkretnog sadrzaja. Na lijevojstrani svake jednakosti je zbroj dvaju prirodnih brojeva, a na desnoj strani zbroj tih bro-jeva u obrnutom poretku. Ako odbacimo te konkretne brojeve i umjesto njih uvedemopromjenjive velicine, npr. a i b, dobivamo jednakost:

a+ b = b+ a za sve a, b ∈ N

Prijelazom od konkretnih prirodnih brojeva prema promjenjivim velicinama izve-dena je generalizacija gornjih konkretnih vrijednosti, a misaonim odvlacenjem opcegod posebnog izvedena je druga apstrakcija.

Tim nacinom poopcavanja i apstrahiranja vodimo ucenike do otkrica svojstva ko-mutativnosti za zbrajanje prirodnih brojeva, ali i do pojma promjenjive velicine.

Opisani nacin konstrukcije apstraktnih modela konkretnih objekata dobar je me-todicki nacin uvodenja ucenika u stvaranje ideja koji predstavljaju predmet proucavanjamatematike.

Pri primjeni apstrakcije u drugim podrucjima ljudske djelatnosti treba paziti kolikodaleko smiju ici pojednostavljivanje i apstrahiranje, koji detalji se mogu zanemariti i nakoje manje vazne rezultate ne treba obracati pozornost. Apstraktni matematicki modelna koji se svodi konkretan problem ne smije biti previse slozen, a njegova konkretnastrana ne smije biti prejednostavna. Tu granicu nije uvijek lako naci.

Takoder treba pripaziti da se u apstrakciji udaljujemo od nekih svojstava objekta,nevaznih za odredeno podrucje. Time se moze izgubiti cjelovita slika objekta.

3.4. Indukcija i dedukcija

Posebno mjesto medu nacinima zakljucivanja i metodama znanstvene spoznaje zauzi-maju indukcija i njezina suprotnost dedukcija. To posebno vrijedi za matematiku jerje matematika deduktivna znanost, a matematika u nastajanju je eksperimentalna in-duktivna znanost. Te dvije metode se razlikuju po ciljevima. Cilj indukcije je opce, acilj dedukcije je pojedinacno i posebno.

Rijec indukcija potjece od latinske rijeci inductio sto znaci uvodenje, navodenje,pobudivanje. Indukciju mozemo opisati na sljedeca tri nacina:

Page 21: Jasna Matijakovi c - mathos.unios.hr

18

1. Indukcija je jedan od nacina zakljucivanja kojim se iz dvaju ili vise pojedinacnihili posebnih sudova dobiva novi opci sud. Krace receno, indukcija je rasudivanjeod pojedinacnog k opcem. To je misaoni proces kojim se stvaraju generalizacije.

2. Indukcija je jedna od osnovnih znanstvenih metoda istrazivanja kojom se priproucavanju nekog skupa objekata promatraju posebni objekti iz tog skupa iutvrduju kod njih zajednicka svojstva koja se zatim pripisuju citavom skupu.

Za primjenu ove metode potrebno je dobro poznavanje induktivnog nacina za-kljucivanja. Induktivni postupak se sastoji od niza induktivnih zakljucaka kojimase dolazi do shvacanja opceg. Metoda indukcije temelji se na analiticko-sintetickojmetodi, a usko je povezana s konkretizacijom, specijalizacijom, analogijom i ge-neralizacijom.

3. Indukcija je nacin izlaganja u literarnom izvoru, u razgovoru, u nastavnomprocesu kada se od manje opcih tvrdnji dolazi do opcih tvrdnji.

Induktivno zakljucivanje u shematskom prikazu:Neka je S = {a1, a2, a3, . . .} skup svih mogucih posebnih slucajeva takvih da za

svaki od njih neko svojstvo s moze biti istinito ili neistinito. Pretpostavimo da je u kslucajeva svojstvo s istinito, tj. da vrijedi s(a1), s(a2), . . . , s(ak). Tada se induktivnozakljucivanje provodi po shemi:

s(a1), s(a2), . . . , s(ak)⇒ (∀x)s(x).

Obrnuti postupak od indukcije je dedukcija. Rijec dedukcija dolazi od latinske rijecideducatio, sto znaci izvodenje.

Dedukcija je oblik zakljucivanja pri kojemu se od jednog opcega suda i jednogposebnog ili pojedinacnog suda dobiva novi, manje opcenit, poseban ili pojedinacansud.

Deduktivno zakljucivanje ima tri oblika:

1. Zakljucivanje od opcenite tvrdnje na manje opcenitu ili pojedinacnu tvrdnju.

Primjer 3.8 Ako su a i b relativno prosti brojevi, onda je najveci zajednickidjelitelj tih brojeva 1, tj. vrijedi D(a, b) = 1 (opca tvrdnja).

D(29, 2012) = 1 (pojedinacna tvrdnja).

Iz ovih dvaju sudova izvodi se pojedinacna tvrdnja: 29 i 2012 su relativno prostibrojevi.

2. Zakljucivanje od pojedinacnog ka posebnom.

Page 22: Jasna Matijakovi c - mathos.unios.hr

19

Primjer 3.9 Broj 3 je prost broj (pojedinacna tvrdnja).

Broj 3 je prirodan broj (pojedinacna tvrdnja).

Neki prirodni brojevi su prosti brojevi (posebna tvrdnja).

3. Zakljucivanje od opce tvrdnje ka opcoj tvrdnji.

Primjer 3.10 Svi parni brojevi djeljivi su s 2 (opca tvrdnja).

Ni jedan neparni broj nije djeljiv s 2 (opca tvrdnja).

Ni jedan parni broj nije istovremeno i neparan broj (opca tvrdnja).

Dedukcija je u matematici, logicki zasnovana metoda dokazivanja. Deduktivnumetodu nazivamo jos i aksiomatskom metodom jer se u danasnje vrijeme deduktivnodokazivanje zasniva na nekom sustavu aksioma. Tako je Giuseppe Peano proveo iaksiomatizirao aritmetiku, pa su tako poznati Peanovi aksiomi prirodnih brojeva zadefiniciju prirodnog broja. U njegovom deduktivnom sustavu artimetika se temelji natrima osnovnim pojmovima: prirodnom broju, prirodnom broju 1 i sljedbeniku.Prirodnim brojevima nazivaju se elementi svakog nepraznog skupa N u kojemu postojirelacija slijedi za koja zadovoljava sljedece aksiome:

(P1) 1 je prirodni broj

(P2) Sljedbenik svakog prirodnog broja je prirodan broj.

(P3) Nikoja dva prirodna broja nemaju istog sljedbenika.

(P4) 1 nije sljedbenik nijednog prirodnog broja

(P5) Neka je M bilo koji podskup skupa prirodnih brojeva koji ima svojstvo da mupripada broj 1 i sljedbenik svakog njegova elementa. Tada je M=N.

3.4.1. Primjer indukcije u nastavi matematike

Prvi oblik indukcije objasnit cemo primjerom.

Primjer 3.11 Graf linearne jednadzbe s dvjema nepoznanicama

Promatramo i crtamo grafove konacnog broja linearnih jednadzbi s dvjema nepoz-nanicama. Primjerice:

2x− y + 6 = 0, x+ 2y + 4 = 0, x+ y − 5 = 0.

Page 23: Jasna Matijakovi c - mathos.unios.hr

20

Slika 3.9. Graf linearnih jednadzbi 2x− y + 6 = 0, x+ 2y + 4 = 0, x+ y − 5 = 0

Vidimo da su grafovi tih jednadzbi u pravokutnom Kartezijevu koordinatnom sustavupravci. To su tri pojedinacna slucaja.

Zakljucak. Graf svake jednadzbe oblika ax+ by + c = 0 u pravokutnom Kartezijevukoordinatnom sustavu je pravac. Opci sud.

Primjer drugog oblika indukcije.

Primjer 3.12 Zbroj kubova prvih n prirodnih brojeva

Medu brojevima se nalaze cesto neobicni odnosi. Jedan od takvih su i sljedeci prikazikvadrata nekih prirodnih brojeva:

32 = 1 + 3 + 5, 32 = 13 + 23, 52 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9,

52 = 1 · 2 · 3 · 4 + 1, 62 = 13 + 23 + 33, 192 = 3 · 4 · 5 · 6 + 1.

Uocavamo slicnosti prve i trece jednakosti, cetvrte i seste, te druge i pete. Jedna-kosti 32 = 13 + 23, 62 = 13 + 23 + 33 nas navode na razmatranje veze izmedu kubovai kvadrata prirodnih brojeva. Postoji li tu neka pravilnost? Razmotrit cemo na viseslucajeva:

13 = 1 = 12

13 + 23 = 9 = 32

Page 24: Jasna Matijakovi c - mathos.unios.hr

21

13 + 23 + 33 = 36 = 62

13 + 23 + 33 + 43 = 100 = 102

13 + 23 + 33 + 43 + 53 = 225 = 152

13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 = 441 = 212

Prvi opci sud lako se iskazuje:Zbroj kubova prvih n prirodnih brojeva kvadrat je prirodnog broja.Vidimo da se lijeve strane jednakosti pravilno grade. No, sto je s desnom stranom?

Veza medu bazama potencija na lijevoj i desnoj strani je vrlo uocljiva:

1 = 1, 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 3 = 6, 1 + 2 + 3 + 4 = 10,

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21.

Sada kada smo otkrili pravilnost desne strane, mozemo izvesti zakljucak.Drugi opci sud:Za svaki prirodni broj n vrijedi jednakost:

13 + 23 + 33 + ...+ n3 = (1 + 2 + 3 + ...+ n)2

.

3.4.2. Potpuna indukcija

Zakljucak je ispravan ako je S konacan skup koji sadrzi k posebnih slucajeva a1, a2, . . . , aki za sve njih je ispitana valjanost svojstva s. Ovakav nacin zakljucivanja koji se zasnivana razmatranju svih pojedinacnih i posebnih sudova ili slucajeva naziva se potpunaindukcija.

Zakljucak dobiven potpunom indukcijom moze se smatrati istinitim. Ali, potpunaindukcija kao metoda strogog dokazivanja rijetko se primjenjuje jer je cesto rijec o ve-likom broju pojedinacnih ili posebnih slucajeva. Osim toga, njezina slabost je i u tomesto ona ne razvija nove ideje i ne doprinosi obogacivanju znanja. Moguce je ponekadaskup od beskonacno mnogo slucajeva rastaviti na konacno mnogo podskupova istovrs-nih slucajeva. Nakon toga se provode razmatranja i izvode zakljucivanja u svakom odtih podskupova.

Primjer 3.13 Kvadrati prirodnih brojeva

Moze li kvadrat prirodnog broja zavrsavati s 3?Znamo da prirodnih brojeva ima beskonacno mnogo, pa ne mozemo ispitati sve

pojedinacne slucajeve. Odgovor na pitanje cemo naci tako da prvo sve prirodne brojeverazvrstamo u podskupove prema posljednjim znamenkama brojeva. Tako dobivamo desetpodskupova. Ispitujemo posljednje znamenke kvadrata brojeva: ako broj zavrsava s 0, injegov kvadrat zavrsava s 0; ako broj zavrsava s 1, i njegov kvadrat zavrsava s 1 itd.Svi zakljucci su prikazani u tablici:

zavrsetak broja 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9zavrsetak kvadrata 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1

Page 25: Jasna Matijakovi c - mathos.unios.hr

22

Vidimo da kvadrat prirodnog broja ne moze zavrsavati s 3. Osim toga, tablica namotkriva opcenitiju izreku:

Kvadrat prirodnog broja ne moze zavrsavati s 2, 3, 7 i 8.

3.4.3. Nepotpuna indukcija

Ako skup S ima vise elemenata od k posebnih slucajeva a1, a2, . . . , ak za koje je ispitanavaljanost svojstva s, onda zakljucak prema induktivnom zakljucivanju

s(a1), s(a2), . . . , s(ak)⇒ (∀x)s(x)

nije pouzdano istinit vec samo vjerojatno istinit. Oblik zakljucivanja koji se zasnivana razmatranju jednog ili vise, ali ne svih, pojedinacnih i posebnih sudova ili slucajevanaziva se nepotpuna indukcija.

Nepotpuna indukcija kao metoda istrazivanja treba se primjenjivati vrlo opreznojer su njeni zakljucci vrlo cesto istiniti, ali mogu biti i neistiniti. Njezino znacenje jeu tome da se razmatranjem posebnih slucajeva navodi na pomisao o postojanju nekezakonitosti i ona pomaze da se postavi hipoteza o prirodi te zakonitosti.

Treba biti oprezan pri primjeni takvog oblika zakljucivanja u nastavi matematike.Ipak ovakva vrsta zakljucivanja ima i neke prednosti: ostvarivanje nacela od lakseg katezem, od jednostavnog ka slozenom, proucavanje novih apstraktnih pojmova i izrekapreko promatranja i provjeravanja, navodenje ucenika na nove pojmove, iskazivanjenovih tvrdnji i dr.

Primjer 3.14 Zbroj Kn svih unutarnjih kutova mnogokuta

Ova nastavna jedinica se obraduje u sedmom razredu osnovne skole. Temelji se nanizu induktivnih zakljucivanja. Krece se od ranije poznatih cinjenica. Prvo krecemo odtrokuta.

Slika 3.10. Trokut

Koristimo poznato svojstvo o zbroju svih unutarnjih kutova trokuta. Za taj zbroj K3

vrijedi jednakost:K3 = α + β + γ = 180◦.

Zatim nastavljamo s cetverokutom.

Page 26: Jasna Matijakovi c - mathos.unios.hr

23

Slika 3.11. Cetverokut

Poznato nam je da zbroj svih unutarnjih kutova cetverokuta iznosi 360◦. Izvodformule bi glasio ovako: Neka je ABCD cetverokut kojemu su α, β, γ i δ unutarnjikutovi. Povucimo dijagonalu AC. Ta dijagonala dijeli kutove α i γ na dijelove α1 i α2,odnosno γ1 i γ2, a cetverokut ABCD na dva trokuta ABC i ACD. Zbrojevi unutarnjihkutova u tim trokutima jednaki su:

α1 + β + γ1 = 180◦, α2 + γ2 + δ = 180◦.

Zbrajanje ovih jednakosti dobivamo:

(α1 + α2) + β + (γ1 + γ2) + δ = 180◦ + 180◦,

α + β + γ + δ = 360◦,

pa je:K4 = α + β + γ + δ = 360◦ = 2 · 180◦.

Sada nije tesko nastaviti induktivni postupak. Sljedeci mnogokut je peterokut ABCDEs unutarnjim kutovima α, β, γ, δ i ε.

Slika 3.12. Peterokut

Page 27: Jasna Matijakovi c - mathos.unios.hr

24

Njegove dijagonale AC i AD iz vrha A dijele kut α na tri dijela α1, α2 i α3, kut γna dva dijela γ1 i γ2, kut δ na dva dijela δ1 i δ2, a peterokut ABCDE na tri trokutaABC, ACD i ADE. Zbrojevi unutarnjih kutova u tim trokutima jednaki su redom:

α1 + β + γ1 = 180◦, α2 + γ2 + δ1 = 180◦, α3 + δ2 + ε = 180◦.

Zbrajanjem ovih jednakosti dobivamo:

(α1 + α2 + α3) + β + (γ1 + γ2) + (δ1 + δ2) + ε = 180◦ + 180◦ + 180◦,

α + β + γ + δ + ε = 540◦,

pa je:K5 = α + β + γ + δ + ε = 540◦ = 3 · 180◦.

Na analogan nacin zakljucujemo da je sesterokut s trima dijagonalama iz jednogvrha podijeljen na cetiri trokuta, pa je K6 = 4 · 180◦, za sedmerokut je K7 = 5 · 180◦

itd. Ovo razmatranje niza induktivnih zakljucaka nas vodi do generalizacije:

Zbroj Kn svih unutarnjih kutova mnogokuta s n stranica dan je formulom:

Kn = (n− 2) · 180◦.

Odnosno, prethodno razmatrani primjer nas vodi do teorema:

Teorem 3.2 Zbroj unutarnjih kutova mnogokuta (n-terokuta) jednak je (n− 2) · 180◦.

Dokaz : Dijagonala n-terokuta iz jednog vrha dijeli n-terokut na n − 2 trokuta.Zbroj kutova dobivenih trokuta jednak je zbroju kutova n-terokuta. Slijedi, zbrojkutova n-terokuta jednak je (n− 2) · 180◦. 2

3.4.4. Primjer dedukcije u nastavi matematike

Vec ranije u radu naglasili smo da je nastava matematike u nizim razredima osnovneskole pretezno induktivna. Vise se koriste konkretniji i ocigledniji dokazi, koji se nedokazuju toliko, koliko uvjeravaju u istinitost tvrdnji. Dedukcija i deduktivni nacinmisljenja i dokazivanja provode se poslije konkretizacije i indukcije na visoj razini nas-tave matematike. Tada se dedukcija oblikuje u poseban nacin izlaganja matematickihsadrzaja.

Deduktini nacin dokazivanja u nastavi matematike ne znaci da se aksiomi ne upo-trebljavaju. Oni imaju u nastavnom procesu vaznu ulogu, ali se koriste samo toliko,koliko je potrebno da nastava matematike bude u skladu s nacelom znanstvenosti iprimjerena uzrastu i matematickim sposobnostima ucenika.

Page 28: Jasna Matijakovi c - mathos.unios.hr

25

Primjer 3.15 Zbroj kutova u trokutu

Teorem 3.3 Zbroj unutarnjih kutova u svakome trokutu jednak je 180◦.

Koristimo iduce cinjenice:

1◦ Stranicu AC produzimo do polupravca AD. To produzavanje nam omogucuje Euk-lidov II. postulat - ograniceni pravac moze se neprekidno produzavati po pravcu.

2◦ Vrhom C trokuta ABC povucemo paralelu EF s pravcem AB. To nam omogucujeaksiom o paralelama euklidske geometrije koji kaze da se tockom izvan danogpravca moze povuci jedinstven pravac paralelan s danim pravcem.

3◦ Kutovi s paralelnim kracima jednaki su ili zajedno daju 180◦. To nam omogucujetvrdnja da su kutovi uz presjecnicu paralelnih pravaca ili jednaki ili im je zbroj180◦.

Slika 3.13. Trokut i kutovi s paralelnim kracima

Sada uocavamo da kutovi ]BAC i ]FCD, odnosno ]CBA i ]BCF imaju para-lelne krakove. Dakle, vrijedi:

]FCD = ]BAC = α, ]BCF = ]CBA = β.

Kutovi ]FCD, ]BCF i ]ACB zajedno tvore ispruzeni kut, pa je konacno:

]FCD + ]BCF + ]ACB = α + β + γ = 180◦.

Page 29: Jasna Matijakovi c - mathos.unios.hr

26

3.4.5. Matematicka indukcija

Svaka dedukcija ukljucuje u sebi element indukcije. Primjer dedukcije je upravo mate-maticka indukcija.

Imamo tvrdnju koja je valjana u nekoliko posebnih slucajeva. Sve posebne slucajevenije moguce istraziti. Kako ustanoviti da je tvrdnja ispravna?

Ustanovit cemo primjenom matematicke indukcije. Osnova za taj nacin zakljucivanjanalazi se u Peanovim aksiomima prirodnih brojeva. Prisjetimo se na aksiom (P5) ko-jeg smo naveli u poglavlju ”Indukcija i dedukcija”, koji se danas naziva aksiom mate-maticke indukcije.

Aksiom matematicke indukcije glasi:”Ako je neka tvrdnja istinita za n = 1 i ako iz pretpostavke da je ona istinita za

neki prirodni broj n = k slijedi da je ona istinita za sljedeci prirodni broj n = k + 1,tada ona vrijedi za svaki prirodni broj n.”

Metoda dokazivanja koja se zasniva na aksiomu matematicke indukcije naziva semetoda matematicke indukcije.

Metoda matematicke indukcije ima sljedece korake:

1◦ Baza indukcije. Provjera da tvrdnja vrijedi za prirodni broj 1.

2◦ Pretpostavka indukcije. Pretpostavlja se da tvrdnja vrijedi za prirodni broj n.

3◦ Korak indukcije. Dokaz da iz pretpostavke da tvrdnja vrijedi za prirodni broj nslijedi da tvrdnja vrijedi i za sljedeci prirodni broj n+ 1.

4◦ Zakljucak. Tvrdnja vrijedi za svaki prirodni broj n.

Na primjenu metode matematicke indukcije treba pomisliti kad god neka tvrdnjaovisi samo o prirodnom broju n. Neki od podrucja primjene su nejednakosti, jednakosti,djeljivost brojeva, nizovi, funkcije, mnogokuti, geometrijske konstrukcije i dr.

Srednjoskolci prodobnije upoznaju metodu matematicke indukcije i rjesavaju velikbroj problema primjenom ove metode.

Primjer 3.16 Zbroj kubova prvih n prirodnih brojeva

U poglavlju ”Primjena indukcije u nastavi matematike”, konkretizacijom i indukci-jom izveli smo tvrdnje:

Zbroj kubova prvih n prirodnih brojeva kvadrat je prirodnog broja.Za svaki prirodni broj n vrijedi jednakost:

13 + 23 + 33 + ...+ n3 = (1 + 2 + 3 + ...+ n)2

.Dokaz druge tvrdnje je potvrda valjanosti i prve tvrdnje. Pa dokazimo drugu tvrdnju.

Page 30: Jasna Matijakovi c - mathos.unios.hr

27

1◦ Baza indukcije. Tvrdnja vrijedi za n = 1, jer zbroj na lijevoj strani jednakostiima samo clan 13, a na desnoj strani je samo kvadrat 12 i vrijedi 13 = 12.

2◦ Pretpostavka indukcije. Pretpostavimo da jednakost vrijedi za broj n, tj. vrijedi13 + 23 + 33 + ...+ n3 = (1 + 2 + 3 + ...+ n)2.

3◦ Korak indukcije. Dokazimo da iz pretpostavke slijedi valjanost jednakosti za brojn+ 1, tj. da vrijedi jednakost 13 + 23 + 33 + ...+n3 + (n+ 1)3 = (1 + 2 + 3 + ...+n+ n+ 1)2. Nalazimo redom:

13 + 23 + 33 + ...+ n3 + (n+ 1)3 =

(1 + 2 + 3 + ...+ n)2 + (n+ 1)3

=

[n(n+ 1)

2

]2+ (n+ 1)3 =

(n+ 1)2

4(n2 + 4n+ 4)

=(n+ 1)2(n+ 2)2

4=

[(n+ 1)(n+ 2)

2

]2= (1 + 2 + 3 + ...+ n+ n+ 1)2.

4◦ Zakljucak. Polazna jednakost vrijedi za svaki prirodni broj n.

3.5. Generalizacija i specijalizacija

Jedna od osnovnih znanstvenih metoda istrazivanja je generalizacija. Specijalizacija jenjezina suprotnost.

Rijec generalizacija potjece od latinske rijeci generalisatio, ciji prijevod bi znaciopoopcavanje, uopcavanje, uopcenost.

Generalizacija ili poopcavanje je prijelaz s razmatranja danog skupa objekata naodgovarajuce razmatranje njegova nadskupa.

Krece se od nekog pojma kojemu je pridruzen odredeni skup objekata, njegov op-seg1 i uspostavlja neko svojstvo svih elemenata zadanog skupa. Nakon toga se pro-matra opcenitiji pojam i svojstvo prenosi na sve elemente dobivenog nadskupa ili seizraduje opcenitije svojstvo. Svi elementi nadskupa moraju se dokazati kako bi pri tomprenosenju, svojstvo ostalo sacuvano. Ovom metodom se izgraduju opcenitiji pojmovii opcenitije tvrdnje.

Generalizacija je povezana s analogijom. Analogija joj prethodi, a osnova joj jezakljucivanje od pojedinacnog k opcem.

Specijalizacija je suprotnost generalizaciji.

1Opseg pojma je skup svih pojedinacnih objekata ili relacija na koje se pojam odnosi. Sadrzajpojma je skup svih bitnih obiljezja koja imaju svi objekti ili relacije iz opsega pojma.

Page 31: Jasna Matijakovi c - mathos.unios.hr

28

Specijalizacija je prijelaz s razmatranja danog skupa objekata na odgovarajucerazmatranje njegova podskupa.

Najcesce se specijalizacija primjenjuje kad je neko opcenitije svojstvo, dobivenogeneralizacijom vec dokazano. Tada, to svojstvo ne treba vise dokazivati jer je dokaz togsvojstva vec u opcem dokazu. Ovakav nacin primjene susrecemo u skolskoj matematici.

Specijalizacija se moze primjenjivati i kao metoda istrazivanja, ali tada je situacijanesto slozenija. Usporedujuci ova dva opisa mozemo reci da je generalizacija metodakojom se prelazi granica danog skupa objekta i izraduju opcenitiji pojmovi i opcenitijetvrdnje, a specijalizacija metoda kojom se ucvrscuje unutrasnja struktura danog skupaobjekata.

3.5.1. Primjer generalizacije u nastavi matematike

U skolskoj matematici najcesci prijelazi iz skupa u nadskup su: N → Z, N → Q+,Z → Q, Q → R, R → C, R → skup kvadratnih matrica, jednakostranicni trokuti→ jednakokracni trokuti, pravokutni trokuti → trokuti, kvadrati → pravokutnici, kva-drati → rombovi, pravokutnici → paralelogrami, paralelogrami → trapezi, trapezi →cetverokuti, trokuti → mnogokuti, pravilni mnogokuti → mnogokuti, kocke → kvadri,kvadri → paralelopipedi, tetraedri → n-terostrane piramide, trigonometrijske funkcijeostrog kuta → trigonometrijske funkcije bilo kojeg kuta.

Vidimo da do prijelaza dolazi najcesce u ”najblizi ” nadskup. Takoder vidimo daneki pojmovi mogu imati vise poopcenja. Tako su pojam pravokutnika i pojam rombapoopcenje pojma kvadrat, a pojam kompleksnog broja i pojam kvadratne matricepoopcenje realnog broja.

Generalizacija ima siroku primjenu u nastavi matematike. U nizim razredima os-novne skole izvode se jednostavnije generalizacije, dok kasnije generalizacije postaju sveslozenije. Taj prijelaz s konkretnog i pojedinacnog na opce slozen je misaoni proces,kojeg pojedini ucenici tesko svladavaju.

Jednu znanstvenu metodu nemoguce je odvojiti od druge, pa smo generalizacijuzbog potpunosti obrade i jasnoce nekih postupaka ranije upotrebljavali kod drugihmetoda. Generalizacije se u nastavi matematike primjenjuje kod djeljivosti zbroja ku-bova triju uzastopnih prirodnih brojeva, djeljivosti prirodnih brojeva s 9, pravila zamnozenje potencija jednakih baza, jednakosti polinoma, zbroja kubova, zakona komu-tacije, asocijacije i distribucije, zbroja kutova mnogokuta (n-terokuta) itd. Sljedecimprimjerom cemo pokazati kako se otkriva generalizacija. Ovakvih primjera u nastavimatematike je pozeljno imati sto vise jer usmjerava misljenje ucenika na onaj vazanznanstveni postupak.

Primjer 3.17 Izraz n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3) + 1.

Sto se moze reci o zbroju umnoska cetiriju uzastopnih prirodnih brojeva i jedinice?Analizirajmo taj izraz:

1 · 2 · 3 · 4 + 1 = 25 = 52,

Page 32: Jasna Matijakovi c - mathos.unios.hr

29

2 · 3 · 4 · 5 + 1 = 121 = 112,

6 · 7 · 8 · 9 + 1 = 3025 = 552,

10 · 11 · 12 · 13 + 1 = 17161 = 1312,

14 · 15 · 16 · 17 + 1 = 57121 = 2392...

Generalizacija:Zbroj umnoska cetiriju uzastopnih brojeva i jednice kvadrat je nekog prirodnog broja.Valjanost tvrdnje osniva se na identitetu n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = (n2 +3n+1)2.

Poopcavanjem se dolazi do tvrdnji koje nisu samim time i dokazane. Ne moraju bitini istinite kao sto ce pokazati sljedeca promatrana generalizacija. U svrhu opovrgavanjaneke takve tvrdnje obicno se pronalazi barem jedan protuprimjer.

Primjer 3.18 Funkcija f : N→ N, f(n) = n2 − n+ 41.

Promatrajmo pocetne vrijednosti funkcije:f(1) = 1− 1 + 41 = 41, f(2) = 4− 2 + 41 = 43, f(3) = 9− 3 + 41 = 47,f(4) = 16− 4 + 41 = 53, f(5) = 25− 5 + 41 = 61 ,...Sve dobivene vrijednosti su prosti brojevi.

Generalizacija: Vrijednost funkcije f(x) prost je broj za svaki prirodni broj.Zakljucak je neistinit.Protuprimjer: Za n = 41 vrijednost f(41) = 412− 41 + 41 = 412, pa nije prost broj.

3.5.2. Primjer specijalizacije u nastavi matematike

U skolskoj matematici najcesci prijelazi iz skupa u podskup su: Z → N, Q+ → N,Q → Z, R → Q, C → R, jednakokracni trokuti → jednakostranicni trokuti, trokuti→ pravokutni trokuti, pravokutnici → kvadrati, rombovi → kvadrati, paralelogrami →pravokutnici, trapezi → paralelogrami, cetverokuti → trapezi, mnogokuti → trokuti,mnogokuti → cetverokuti, mnogokuti → pravilni mnogokuti, kvadri → kocke, paralele-pipedi → kvadri, n-terostrane piramide → tetraedri, trigonometrijske funkcije bilo kojegkuta → trigonometrijske funkcije ostrog kuta.

Specijalizacija kao i generalizacija ima siroku primjenu u nastavi matematike. Spe-cijalizacija je u nastavnom procesu puno bolje svladana nego sto je generalizacija.Ucenici prijelaz s konkretnog i pojedinacnog k opcem teze svladavaju nego prijelaz kojise vrsi u specijalizaciji koji vodi do jednostavnijih matematickih cinjenica i omogucujeucenicima bolje razumijevanje nastavnih sadrzaja. Razmotrimo primjer specijalizacijeu nastavi matematike.

Page 33: Jasna Matijakovi c - mathos.unios.hr

30

Primjer 3.19 Povrsine specijalnih trokuta

Ako su zadane duljine stranica trokuta a, b i c, njegova povrsina P izracunava sepomocu Heronove formule:

P =√s(s− a)(s− b)(s− c), s =

a+ b+ c

2.

Ova formula vrijedi za svaki trokut, pa mora vrijediti i za specijalne trokute. Dobropoznajemo tri specijalna trokuta: jednakostranicni trokut, jednakokracni trokut i pra-vokutni trokut. Formule njihovih povrsina puno su jednostavnija od gornje formule.Do njih cemo doci primjenom specijalizacije. Prije toga potrebno je Heronovu formulumalo raspisati. Pa imamo:

P =

√a+ b+ c

2· b+ c− a

2· a+ b− c

2· a+ c− b

2

=

√((a+ b)2 − c2)(c2 − (a− b)2)

16

=1

4

√(2ab+ a2 + b2 − c2)(2ab− a2 − b2 + c2)

=1

4

√4a2b2 − (c2 − a2 − b2)2.

Raspisani oblik Heronove formule posebno je primjeren u slucaju kad se duljinestranica trokuta izrazavaju pomocu drugih korijena.

Pogledajmo specijalizacije.

1. Povrsina jednakostranicnog trokuta. U ovom slucaju je c = b = a. Ta specijali-zacija za povrsinu P jednakostranicnog trokuta daje:

P =1

4

√4a2a2 − (a2 − a2 − a2)2

=1

4

√4a4 − a4 =

1

4

√3a4 =

a2√

3

4.

2. Povrsina jednakokracnog trokuta. Neka je a duljina osnovice, za duljine ostalihdviju stranica vrijedi c = b. Ta specijalizacija za povrsinu P jednakokracnogtrokuta daje:

P =1

4

√4a2b2 − (b2 − a2 − b2)

=1

4

√4a2b2 − a4 =

1

4a√

4b2 − a2 =1

2a

√4b2 − a2

2.

3. Povrsina pravokutnog trokuta. U ovom slucaju vrijedi Pitagorin poucak c2 =a2 + b2, pa ta specijalizacija uvrstena u raspisanu Heronovu formulu za povrsinupravokutnog trokuta odmah daje:

P =1

4

√4a2b2 − (a2 + b2 − a2 − b2)2

=1

4

√4a2b2 =

2ab

4=ab

2.

Page 34: Jasna Matijakovi c - mathos.unios.hr

31

U skolskoj matematici postoje brojna mjesta u kojima se izvode analize, sinteze,analogije, indukcije, dedukcije, konkretizacije, apstrakcije, pa tako i generalizacije ispecijalizacije. Kako generalizacija nije uvijek jednostavan postupak, korisno je u tak-vim slucajevima primjeniti specijalizaciju. Tako se razmatranja svode na jednostavnijeobjekte i jednostavnije cinjenice koje su u vecini slucajeva vec obradene. Time, uceniciponavljaju i utvrduju gradivo sto je korist u njihovom obrazovanju.

Page 35: Jasna Matijakovi c - mathos.unios.hr

32

Literatura

[1] Zdravko Kurnik, Znanstveni okviri nastave matematike, Zagreb, 2009.

[2] Zdravko Kurnik, Analiza, Mis, 2(1999/2000), 54-64

[3] Zdravko Kurnik, Analogija, Mis, 3(1999/2000), 101-109

[4] Zdravko Kurnik, Generalizacija, Mis, 4(1999/2000), 147-154

[5] Zdravko Kurnik, Indukcija, Mis, 5(1999/2000), 197-203

[6] Zdravko Kurnik, Apstrakcija, Mis, 6(2000/2001), 11-15

[7] Zdravko Kurnik, Nacelo znanstvenosti, Mis, 13(2001/2002), 102-106

[8] Zdravko Kurnik, Specijalizacija, Mis, 27(2004/2005), 52-58

[9] Zdravko Kurnik, Konkretizacija, Mis, 39(2006/2007), 148-154

[10] Zdravko Kurnik, Dedukcija, Mis, 51(2009/20010), 5-11

[11] Zdravko Kurnik, Znanstvenost u nastavi matematike, Metodika, 2(2008), 318-327

[12] http://os-btadijanovic-sb.skole.hr/razmjena/pripravnici/nacela u

nastavi matematike.doc, 16.11.2011.

Page 36: Jasna Matijakovi c - mathos.unios.hr

33

4. Sazetak

Ovaj diplomski rad sastoji se od dvaju poglavlja: sto znaci znanstvenost nastave ma-tematike i osnovne znanstvene metode.

Na pocetku diplomskog rada objasnjeno je sto su nacela nastave matematike i kojase sva nacela uspostavljaju. Od svih nacela u ovom diplomskom radu, naglasak je nanacelu znanstvenosti te je prodobnije opisano. Nadalje, u radu su opisane osnovneznanstvene metode i njihova vaznost u nastavi matematike.

U drugom se poglavlju daje opis jedne ili para osnovnih znanstvenih metoda. Uzsvaku metodu je dan primjer uz naglasak na sto treba obratiti paznju ali isto takokako samu obradu nastavnog gradiva poboljsati uz pravilno i primjereno izmjenjivanjenacela znanstvenosti i znanstvenih metoda. Sve opisane metode u ovom radu ne dolazepojedinacno nego se ispreplicu i nadopunjuju.

Na kraju mozemo zakljuciti da nastavnik matematike ne mora biti znanstvenikda bi u nastavi pravilno i primjereno primjenjivao nacelo znanstvenosti i znanstvenemetode. Rjesavanje svakog problema ima nesto otkrivalacko i stvaralacko. Iz tograzloga potrebno je da nastavnik u svojim ucenicima razvija radoznalost duha, sklonostza samostalan umni rad i da im ukazuje na putove prema novim otkricima jer samokreativan nastavnik u kreativnoj nastavi ima velike izglede da kod svojih ucenika razvijekreativne osobine.

Page 37: Jasna Matijakovi c - mathos.unios.hr

34

5. Summary

This thesis is divided into two chapters. The first chapter deals with the scientific partof teaching mathematics and the second deals with the basics of the scientific method.

The first chapter of this thesis explains the principles of teaching mathematics anddescribes the established ones. This thesis puts emphasis on the principle of scienceand describes it in great detail. Furthermore, the basics of the scientific method andtheir importance are explained.

The second chapter deals with the basics of the scientific method. Examples areprovided and emphasis is put on matters one should pay attention to. It is describedhow to improve teaching with the help of the principle of science and scientific methods.The described methods complement each other.

To conclude, a teacher does not have to be a scientist to be able to use the principleof science and scientific methods while teaching. A teacher needs to inspire his pupilsto be curious and keen on working independent. A teacher needs to guide his pupilsto find new solutions. Only a creative teacher and his creatiive methods can inspirepupils to be creative themselves.

Page 38: Jasna Matijakovi c - mathos.unios.hr

35

6. Zivotopis

Jasna Matijakovic rodena je 20. listopada 1987. god u Dakovu.

Osnovnu skolu Vladimira Nazora u Dakovu zavrsava 2001. g. i upisuje Opcu gimna-ziju A. G. Matosa, takoder u Dakovu. Nakon zavrsene srednje skole, 2006. g. upisujesveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike na Odjelu za matematiku uOsijeku.