51
Jednostavni kamatni racun doc.dr.sc. Nikola Kocei·c Bilan ASPIRA 2009. (Aspira) 2009. 1 / 21

Jednostavni kamatni račun

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Jednostavni kamatni račun

Citation preview

Page 1: Jednostavni kamatni račun

Jednostavni kamatni raµcun

doc.dr.sc. Nikola Koceic Bilan

ASPIRA

2009.

(Aspira) 2009. 1 / 21

Page 2: Jednostavni kamatni račun

Osnovni pojmovi

Kapital u �nancijskoj matematici oznaµcava neki iznos novca kojegaobiµcno zaokruµzujemo na dvije decimale (jer je jedna stotina osnovnejedinice valute najmanji njezin dio koji se koristi u platnom prometu)

U trenutku aktiviranja kapitala iznos kapitala nazivamo poµcetnimkapitalom ili glavnicom i oznaµcujemo sa C0 (kapital u poµcetnom,0-tom trenutku)

Od tog trenutka osoba ili institucija koja koristi kapital C0 moravlasniku kapitala placati kamate ili interes. Ukupne kamate zapoµcetni kapital C0 oznaµcujemo sa I .

(Aspira) 2009. 2 / 21

Page 3: Jednostavni kamatni račun

Osnovni pojmovi

Kapital u �nancijskoj matematici oznaµcava neki iznos novca kojegaobiµcno zaokruµzujemo na dvije decimale (jer je jedna stotina osnovnejedinice valute najmanji njezin dio koji se koristi u platnom prometu)

U trenutku aktiviranja kapitala iznos kapitala nazivamo poµcetnimkapitalom ili glavnicom i oznaµcujemo sa C0 (kapital u poµcetnom,0-tom trenutku)

Od tog trenutka osoba ili institucija koja koristi kapital C0 moravlasniku kapitala placati kamate ili interes. Ukupne kamate zapoµcetni kapital C0 oznaµcujemo sa I .

(Aspira) 2009. 2 / 21

Page 4: Jednostavni kamatni račun

Osnovni pojmovi

Kapital u �nancijskoj matematici oznaµcava neki iznos novca kojegaobiµcno zaokruµzujemo na dvije decimale (jer je jedna stotina osnovnejedinice valute najmanji njezin dio koji se koristi u platnom prometu)

U trenutku aktiviranja kapitala iznos kapitala nazivamo poµcetnimkapitalom ili glavnicom i oznaµcujemo sa C0 (kapital u poµcetnom,0-tom trenutku)

Od tog trenutka osoba ili institucija koja koristi kapital C0 moravlasniku kapitala placati kamate ili interes. Ukupne kamate zapoµcetni kapital C0 oznaµcujemo sa I .

(Aspira) 2009. 2 / 21

Page 5: Jednostavni kamatni račun

Kamate se uvijek obraµcunavaju za neki osnovni vremenski interval kojinazivamo razdoblje ukamacivanja ili razdoblje kapitalizacije ilijediniµcno obraµcunsko razdoblje �to se propisuje zakonom ili de�nirau ugovoru. Razdoblje kapitalizacije najµce�ce je jedna godina, ali tomoµze biti i mjesec, kvartal ili bilo koji drugi vremenski interval.

Po isteku jediniµcnog obraµcunskog razdoblja vrijednost kapitala je

C1 = C0 + I

i nazivat cemo je konaµcni kapitalPod pojmom kamatna stopa ili kamatnjak podrazumijeva se iznoskoji se placa za 100 novµcanih jedinica za neki osnovni vremenskiinterval. Odatle dolazi i najµce�ca oznaka za kamatnu stopu, p(percent).

(Aspira) 2009. 3 / 21

Page 6: Jednostavni kamatni račun

Kamate se uvijek obraµcunavaju za neki osnovni vremenski interval kojinazivamo razdoblje ukamacivanja ili razdoblje kapitalizacije ilijediniµcno obraµcunsko razdoblje �to se propisuje zakonom ili de�nirau ugovoru. Razdoblje kapitalizacije najµce�ce je jedna godina, ali tomoµze biti i mjesec, kvartal ili bilo koji drugi vremenski interval.

Po isteku jediniµcnog obraµcunskog razdoblja vrijednost kapitala je

C1 = C0 + I

i nazivat cemo je konaµcni kapital

Pod pojmom kamatna stopa ili kamatnjak podrazumijeva se iznoskoji se placa za 100 novµcanih jedinica za neki osnovni vremenskiinterval. Odatle dolazi i najµce�ca oznaka za kamatnu stopu, p(percent).

(Aspira) 2009. 3 / 21

Page 7: Jednostavni kamatni račun

Kamate se uvijek obraµcunavaju za neki osnovni vremenski interval kojinazivamo razdoblje ukamacivanja ili razdoblje kapitalizacije ilijediniµcno obraµcunsko razdoblje �to se propisuje zakonom ili de�nirau ugovoru. Razdoblje kapitalizacije najµce�ce je jedna godina, ali tomoµze biti i mjesec, kvartal ili bilo koji drugi vremenski interval.

Po isteku jediniµcnog obraµcunskog razdoblja vrijednost kapitala je

C1 = C0 + I

i nazivat cemo je konaµcni kapitalPod pojmom kamatna stopa ili kamatnjak podrazumijeva se iznoskoji se placa za 100 novµcanih jedinica za neki osnovni vremenskiinterval. Odatle dolazi i najµce�ca oznaka za kamatnu stopu, p(percent).

(Aspira) 2009. 3 / 21

Page 8: Jednostavni kamatni račun

Obraµcun kamata za jediniµcno obraµcunsko razdoblje

Obraµcun kamata moµze se obavljati na kraju obraµcunskog razdoblja tj.po formuli

konacni kapital = pocetni kapital + kamate na pocetni kapital

U tom sluµcaju govorimo o dekurzivnom ukamacivanju, a kamteraµcunamo po formuli

I = C0 �p100

odnosno konaµcnu vrijednost po formuli

C1 = C0 + C0 �p100

= C0�1+

p100

Izraz r = 1+ p100 nazivamo dekurzivni kamatni faktor

(Aspira) 2009. 4 / 21

Page 9: Jednostavni kamatni račun

Obraµcun kamata za jediniµcno obraµcunsko razdoblje

Obraµcun kamata moµze se obavljati na kraju obraµcunskog razdoblja tj.po formuli

konacni kapital = pocetni kapital + kamate na pocetni kapital

U tom sluµcaju govorimo o dekurzivnom ukamacivanju, a kamteraµcunamo po formuli

I = C0 �p100

odnosno konaµcnu vrijednost po formuli

C1 = C0 + C0 �p100

= C0�1+

p100

�Izraz r = 1+ p

100 nazivamo dekurzivni kamatni faktor

(Aspira) 2009. 4 / 21

Page 10: Jednostavni kamatni račun

Obraµcun kamata moµze se obavljati na poµcetku obraµcunskog razdobljatj. po formuli

pocetni kapital = konacni kapital � kamate na konacni kapital

U tom sluµcaju govorimo o anticipativnom ukamacivanju.

Kod ovakve vrste ukamacivanja kamatnjak oznaµcujemo sa q i vrijedi

C0 = C1 � C1 �q100

�to povlaµci

C0 = C1

�100� q100

�i formulu za konaµcnu vrijednost

C1 = C0100

100� q

(Aspira) 2009. 5 / 21

Page 11: Jednostavni kamatni račun

Obraµcun kamata moµze se obavljati na poµcetku obraµcunskog razdobljatj. po formuli

pocetni kapital = konacni kapital � kamate na konacni kapital

U tom sluµcaju govorimo o anticipativnom ukamacivanju.Kod ovakve vrste ukamacivanja kamatnjak oznaµcujemo sa q i vrijedi

C0 = C1 � C1 �q100

�to povlaµci

C0 = C1

�100� q100

�i formulu za konaµcnu vrijednost

C1 = C0100

100� q

(Aspira) 2009. 5 / 21

Page 12: Jednostavni kamatni račun

Izraz ρ = 100100�q nazivamo anticipativni kamatni faktor

µZelimo li izraµcunati udio kamata u konaµcnoj vrijednosti C1 = C0 100100�q

iz izrazaC1 = C0 + C0

q100� q

je razvidno da su kamate kod anticipativnog ukamacivanja jednake

I = C0q

100� q

(Aspira) 2009. 6 / 21

Page 13: Jednostavni kamatni račun

Izraz ρ = 100100�q nazivamo anticipativni kamatni faktor

µZelimo li izraµcunati udio kamata u konaµcnoj vrijednosti C1 = C0 100100�q

iz izrazaC1 = C0 + C0

q100� q

je razvidno da su kamate kod anticipativnog ukamacivanja jednake

I = C0q

100� q

(Aspira) 2009. 6 / 21

Page 14: Jednostavni kamatni račun

Buduci je za p = q uvijek

q100� q >

p100

to izlazi da su kamate dobivene anticipativnim ukamacivanjem uvijekvece od kamata dobivenih dekurzivnim ukamacivanjem

ExampleIzraµcunajte konaµcnu vrijednost poµcetnog kapitala u iznosu 10000 novµcanihjedinica ako je posu�en duµzniku na godinu dana uz kamatnjak 8 i toposebno dekurzivnim a posebno anticipativnim ukamacivanjem.dekurzivno: C0 = 10000, p = 8,C1 = C0

�1+ p

100

�= 10000 � 1, 08 = 10800

anticipativno: q = 8,C1 = C0 100

100�q = 1000 �10092 = 10000 � 1, 086957 = 10869, 57

(Aspira) 2009. 7 / 21

Page 15: Jednostavni kamatni račun

Buduci je za p = q uvijek

q100� q >

p100

to izlazi da su kamate dobivene anticipativnim ukamacivanjem uvijekvece od kamata dobivenih dekurzivnim ukamacivanjem

ExampleIzraµcunajte konaµcnu vrijednost poµcetnog kapitala u iznosu 10000 novµcanihjedinica ako je posu�en duµzniku na godinu dana uz kamatnjak 8 i toposebno dekurzivnim a posebno anticipativnim ukamacivanjem.dekurzivno: C0 = 10000, p = 8,C1 = C0

�1+ p

100

�= 10000 � 1, 08 = 10800

anticipativno: q = 8,C1 = C0 100

100�q = 1000 �10092 = 10000 � 1, 086957 = 10869, 57

(Aspira) 2009. 7 / 21

Page 16: Jednostavni kamatni račun

ExerciseIzraµcunajte kamatnjak ako je pri dekurzivnom (odnosno anticipativnomukamacivanju) glavnica od 2500 narasla na 2750.

dekurzivno: C0 = 2500, C1 = 2750, p =?

2750 = 2500�1+ p

100

�) 2750

2500 = 1+p100 )

p100 =

27502500 � 1)

p100 =

0, 1) p = 10

anticipativno q =?

2750 = 2500 100100�q ) 100� q = 2500 � 1002750 ) 100� 25000

275 = q ) q =27500�25000

275 ) q = 2500275 ) q = 9, 09

Za dobiti jednaku konaµcnu vrijednost kapitala, uz identiµcnu uloµzenuglavnicu, kod dekurzivnog ukamacivanja je potreban veci kamatnjak.

ExerciseAko se anticipativnim ukamacivanjem uz kamatnjak q = 6 dobije konaµcnavrijednost C1 = 10000 izraµcunajte poµcetni kapital C0.10000 = C0 100

100�6 ) C0 = 10000 � 94100 ) C0 = 9400

(Aspira) 2009. 8 / 21

Page 17: Jednostavni kamatni račun

ExerciseIzraµcunajte kamatnjak ako je pri dekurzivnom (odnosno anticipativnomukamacivanju) glavnica od 2500 narasla na 2750.

dekurzivno: C0 = 2500, C1 = 2750, p =?

2750 = 2500�1+ p

100

�) 2750

2500 = 1+p100 )

p100 =

27502500 � 1)

p100 =

0, 1) p = 10

anticipativno q =?

2750 = 2500 100100�q ) 100� q = 2500 � 1002750 ) 100� 25000

275 = q ) q =27500�25000

275 ) q = 2500275 ) q = 9, 09

Za dobiti jednaku konaµcnu vrijednost kapitala, uz identiµcnu uloµzenuglavnicu, kod dekurzivnog ukamacivanja je potreban veci kamatnjak.

ExerciseAko se anticipativnim ukamacivanjem uz kamatnjak q = 6 dobije konaµcnavrijednost C1 = 10000 izraµcunajte poµcetni kapital C0.10000 = C0 100

100�6 ) C0 = 10000 � 94100 ) C0 = 9400

(Aspira) 2009. 8 / 21

Page 18: Jednostavni kamatni račun

ExerciseIzraµcunajte kamatnjak ako je pri dekurzivnom (odnosno anticipativnomukamacivanju) glavnica od 2500 narasla na 2750.

dekurzivno: C0 = 2500, C1 = 2750, p =?

2750 = 2500�1+ p

100

�) 2750

2500 = 1+p100 )

p100 =

27502500 � 1)

p100 =

0, 1) p = 10

anticipativno q =?

2750 = 2500 100100�q ) 100� q = 2500 � 1002750 ) 100� 25000

275 = q ) q =27500�25000

275 ) q = 2500275 ) q = 9, 09

Za dobiti jednaku konaµcnu vrijednost kapitala, uz identiµcnu uloµzenuglavnicu, kod dekurzivnog ukamacivanja je potreban veci kamatnjak.

ExerciseAko se anticipativnim ukamacivanjem uz kamatnjak q = 6 dobije konaµcnavrijednost C1 = 10000 izraµcunajte poµcetni kapital C0.10000 = C0 100

100�6 ) C0 = 10000 � 94100 ) C0 = 9400

(Aspira) 2009. 8 / 21

Page 19: Jednostavni kamatni račun

ExerciseIzraµcunajte kamatnjak ako je pri dekurzivnom (odnosno anticipativnomukamacivanju) glavnica od 2500 narasla na 2750.

dekurzivno: C0 = 2500, C1 = 2750, p =?

2750 = 2500�1+ p

100

�) 2750

2500 = 1+p100 )

p100 =

27502500 � 1)

p100 =

0, 1) p = 10

anticipativno q =?

2750 = 2500 100100�q ) 100� q = 2500 � 1002750 ) 100� 25000

275 = q ) q =27500�25000

275 ) q = 2500275 ) q = 9, 09

Za dobiti jednaku konaµcnu vrijednost kapitala, uz identiµcnu uloµzenuglavnicu, kod dekurzivnog ukamacivanja je potreban veci kamatnjak.

ExerciseAko se anticipativnim ukamacivanjem uz kamatnjak q = 6 dobije konaµcnavrijednost C1 = 10000 izraµcunajte poµcetni kapital C0.10000 = C0 100

100�6 ) C0 = 10000 � 94100 ) C0 = 9400

(Aspira) 2009. 8 / 21

Page 20: Jednostavni kamatni račun

ExerciseIzraµcunajte kamatnjak ako je pri dekurzivnom (odnosno anticipativnomukamacivanju) glavnica od 2500 narasla na 2750.

dekurzivno: C0 = 2500, C1 = 2750, p =?

2750 = 2500�1+ p

100

�) 2750

2500 = 1+p100 )

p100 =

27502500 � 1)

p100 =

0, 1) p = 10

anticipativno q =?

2750 = 2500 100100�q ) 100� q = 2500 � 1002750 ) 100� 25000

275 = q ) q =27500�25000

275 ) q = 2500275 ) q = 9, 09

Za dobiti jednaku konaµcnu vrijednost kapitala, uz identiµcnu uloµzenuglavnicu, kod dekurzivnog ukamacivanja je potreban veci kamatnjak.

ExerciseAko se anticipativnim ukamacivanjem uz kamatnjak q = 6 dobije konaµcnavrijednost C1 = 10000 izraµcunajte poµcetni kapital C0.10000 = C0 100

100�6 ) C0 = 10000 � 94100 ) C0 = 9400

(Aspira) 2009. 8 / 21

Page 21: Jednostavni kamatni račun

ExerciseIzraµcunajte kamatnjak ako je pri dekurzivnom (odnosno anticipativnomukamacivanju) glavnica od 2500 narasla na 2750.

dekurzivno: C0 = 2500, C1 = 2750, p =?

2750 = 2500�1+ p

100

�) 2750

2500 = 1+p100 )

p100 =

27502500 � 1)

p100 =

0, 1) p = 10

anticipativno q =?

2750 = 2500 100100�q ) 100� q = 2500 � 1002750 ) 100� 25000

275 = q ) q =27500�25000

275 ) q = 2500275 ) q = 9, 09

Za dobiti jednaku konaµcnu vrijednost kapitala, uz identiµcnu uloµzenuglavnicu, kod dekurzivnog ukamacivanja je potreban veci kamatnjak.

ExerciseAko se anticipativnim ukamacivanjem uz kamatnjak q = 6 dobije konaµcnavrijednost C1 = 10000 izraµcunajte poµcetni kapital C0.10000 = C0 100

100�6 ) C0 = 10000 � 94100 ) C0 = 9400

(Aspira) 2009. 8 / 21

Page 22: Jednostavni kamatni račun

ExerciseIzraµcunajte kamatnjak ako je pri dekurzivnom (odnosno anticipativnomukamacivanju) glavnica od 2500 narasla na 2750.

dekurzivno: C0 = 2500, C1 = 2750, p =?

2750 = 2500�1+ p

100

�) 2750

2500 = 1+p100 )

p100 =

27502500 � 1)

p100 =

0, 1) p = 10

anticipativno q =?

2750 = 2500 100100�q ) 100� q = 2500 � 1002750 ) 100� 25000

275 = q ) q =27500�25000

275 ) q = 2500275 ) q = 9, 09

Za dobiti jednaku konaµcnu vrijednost kapitala, uz identiµcnu uloµzenuglavnicu, kod dekurzivnog ukamacivanja je potreban veci kamatnjak.

ExerciseAko se anticipativnim ukamacivanjem uz kamatnjak q = 6 dobije konaµcnavrijednost C1 = 10000 izraµcunajte poµcetni kapital C0.10000 = C0 100

100�6 ) C0 = 10000 � 94100 ) C0 = 9400

(Aspira) 2009. 8 / 21

Page 23: Jednostavni kamatni račun

Obraµcun kamata za vi�e jediniµcnih obraµcunskih razdoblja

Ukoliko se glavnica C0 posudi na n jediniµcnih obraµcunskih razdobljauz odre�eni kamatnjak koji se odnosi na jedno obraµcunsko razdobljetada uvodimo sljedece oznake

C1 je konaµcni kapital po isteku prvog razdoblja, a I1 su kamate zaprvo razdoblje. Oµcito je C1 = C0 + I1.

Ci je konaµcni kapital po isteku i-tog jediniµcnog razdoblja, a Ii sukamate za i-to razdoblje. Vrijedi Ci = Ci�1 + Ii , i = 1, ..., n

Cn je konaµcna vrijednost kapitala po isteku svih n razdoblja, a I suukupne kamate u svih n razdoblja. Oµcito vrijedi

Cn = Cn�1 + In,

I = I1 + � � �+ In,Cn = C0 + I

(Aspira) 2009. 9 / 21

Page 24: Jednostavni kamatni račun

Obraµcun kamata za vi�e jediniµcnih obraµcunskih razdoblja

Ukoliko se glavnica C0 posudi na n jediniµcnih obraµcunskih razdobljauz odre�eni kamatnjak koji se odnosi na jedno obraµcunsko razdobljetada uvodimo sljedece oznake

C1 je konaµcni kapital po isteku prvog razdoblja, a I1 su kamate zaprvo razdoblje. Oµcito je C1 = C0 + I1.

Ci je konaµcni kapital po isteku i-tog jediniµcnog razdoblja, a Ii sukamate za i-to razdoblje. Vrijedi Ci = Ci�1 + Ii , i = 1, ..., n

Cn je konaµcna vrijednost kapitala po isteku svih n razdoblja, a I suukupne kamate u svih n razdoblja. Oµcito vrijedi

Cn = Cn�1 + In,

I = I1 + � � �+ In,Cn = C0 + I

(Aspira) 2009. 9 / 21

Page 25: Jednostavni kamatni račun

Obraµcun kamata za vi�e jediniµcnih obraµcunskih razdoblja

Ukoliko se glavnica C0 posudi na n jediniµcnih obraµcunskih razdobljauz odre�eni kamatnjak koji se odnosi na jedno obraµcunsko razdobljetada uvodimo sljedece oznake

C1 je konaµcni kapital po isteku prvog razdoblja, a I1 su kamate zaprvo razdoblje. Oµcito je C1 = C0 + I1.

Ci je konaµcni kapital po isteku i-tog jediniµcnog razdoblja, a Ii sukamate za i-to razdoblje. Vrijedi Ci = Ci�1 + Ii , i = 1, ..., n

Cn je konaµcna vrijednost kapitala po isteku svih n razdoblja, a I suukupne kamate u svih n razdoblja. Oµcito vrijedi

Cn = Cn�1 + In,

I = I1 + � � �+ In,Cn = C0 + I

(Aspira) 2009. 9 / 21

Page 26: Jednostavni kamatni račun

Obraµcun kamata za vi�e jediniµcnih obraµcunskih razdoblja

Ukoliko se glavnica C0 posudi na n jediniµcnih obraµcunskih razdobljauz odre�eni kamatnjak koji se odnosi na jedno obraµcunsko razdobljetada uvodimo sljedece oznake

C1 je konaµcni kapital po isteku prvog razdoblja, a I1 su kamate zaprvo razdoblje. Oµcito je C1 = C0 + I1.

Ci je konaµcni kapital po isteku i-tog jediniµcnog razdoblja, a Ii sukamate za i-to razdoblje. Vrijedi Ci = Ci�1 + Ii , i = 1, ..., n

Cn je konaµcna vrijednost kapitala po isteku svih n razdoblja, a I suukupne kamate u svih n razdoblja. Oµcito vrijedi

Cn = Cn�1 + In,

I = I1 + � � �+ In,Cn = C0 + I

(Aspira) 2009. 9 / 21

Page 27: Jednostavni kamatni račun

kamate za pojedino razdoblje moµzemo raµcunati na dva naµcina i to:

jednostavnim kamatnim raµcunomsloµzenim kamatnim raµcunomKod jednostavnog ukamacivanja kamate za sva razdoblja su isteI1 = � � � In i bez obzira na razdoblje na koje se odnose raµcunaju se napoµcetni kapital, odnosno ukupne kamate su I = nI1 i vrijedi

C1 = C0 + I1,

C2 = C1 + I1 = C0 + I1 + I1 = C0 + 2I1C3 = C2 + I1 = C0 + 2I1 + I1 = C0 + 3I1

...

Cn = Cn�1 + I1 = C0 + nI1

(Aspira) 2009. 10 / 21

Page 28: Jednostavni kamatni račun

kamate za pojedino razdoblje moµzemo raµcunati na dva naµcina i to:

jednostavnim kamatnim raµcunom

sloµzenim kamatnim raµcunomKod jednostavnog ukamacivanja kamate za sva razdoblja su isteI1 = � � � In i bez obzira na razdoblje na koje se odnose raµcunaju se napoµcetni kapital, odnosno ukupne kamate su I = nI1 i vrijedi

C1 = C0 + I1,

C2 = C1 + I1 = C0 + I1 + I1 = C0 + 2I1C3 = C2 + I1 = C0 + 2I1 + I1 = C0 + 3I1

...

Cn = Cn�1 + I1 = C0 + nI1

(Aspira) 2009. 10 / 21

Page 29: Jednostavni kamatni račun

kamate za pojedino razdoblje moµzemo raµcunati na dva naµcina i to:

jednostavnim kamatnim raµcunomsloµzenim kamatnim raµcunom

Kod jednostavnog ukamacivanja kamate za sva razdoblja su isteI1 = � � � In i bez obzira na razdoblje na koje se odnose raµcunaju se napoµcetni kapital, odnosno ukupne kamate su I = nI1 i vrijedi

C1 = C0 + I1,

C2 = C1 + I1 = C0 + I1 + I1 = C0 + 2I1C3 = C2 + I1 = C0 + 2I1 + I1 = C0 + 3I1

...

Cn = Cn�1 + I1 = C0 + nI1

(Aspira) 2009. 10 / 21

Page 30: Jednostavni kamatni račun

kamate za pojedino razdoblje moµzemo raµcunati na dva naµcina i to:

jednostavnim kamatnim raµcunomsloµzenim kamatnim raµcunomKod jednostavnog ukamacivanja kamate za sva razdoblja su isteI1 = � � � In i bez obzira na razdoblje na koje se odnose raµcunaju se napoµcetni kapital, odnosno ukupne kamate su I = nI1 i vrijedi

C1 = C0 + I1,

C2 = C1 + I1 = C0 + I1 + I1 = C0 + 2I1C3 = C2 + I1 = C0 + 2I1 + I1 = C0 + 3I1

...

Cn = Cn�1 + I1 = C0 + nI1

(Aspira) 2009. 10 / 21

Page 31: Jednostavni kamatni račun

kod sloµzenog kamatnog raµcuna kamate za i-to obraµcunsko razdobljese raµcunaju na Ci�1 konaµcnu vrijednost kapitala po isteku i � 1-vogobraµcunskog razdoblja.

Moµzemo reci da se kod sloµzenog ukamacivanja kamata za i-torazdoblje Ii pripisuje vrijednosti Ci�1 da bismo dobili konaµcnuvrijednost Ci po isteku i-tog razdoblja, ali kamatu Ii+1 za iduce,i + 1-vo, razdoblje, raµcunamo na vrijednost Ci , a ne stalno napoµcetnu vrijednost C0 kao kod jednostavnog ukamacivanja

Jednostavno ukamacivanje se u praksi primjenjuje kod �tednih uloga,µziro raµcuna, zateznih kamata, mjenica i sliµcno

(Aspira) 2009. 11 / 21

Page 32: Jednostavni kamatni račun

kod sloµzenog kamatnog raµcuna kamate za i-to obraµcunsko razdobljese raµcunaju na Ci�1 konaµcnu vrijednost kapitala po isteku i � 1-vogobraµcunskog razdoblja.

Moµzemo reci da se kod sloµzenog ukamacivanja kamata za i-torazdoblje Ii pripisuje vrijednosti Ci�1 da bismo dobili konaµcnuvrijednost Ci po isteku i-tog razdoblja, ali kamatu Ii+1 za iduce,i + 1-vo, razdoblje, raµcunamo na vrijednost Ci , a ne stalno napoµcetnu vrijednost C0 kao kod jednostavnog ukamacivanja

Jednostavno ukamacivanje se u praksi primjenjuje kod �tednih uloga,µziro raµcuna, zateznih kamata, mjenica i sliµcno

(Aspira) 2009. 11 / 21

Page 33: Jednostavni kamatni račun

kod sloµzenog kamatnog raµcuna kamate za i-to obraµcunsko razdobljese raµcunaju na Ci�1 konaµcnu vrijednost kapitala po isteku i � 1-vogobraµcunskog razdoblja.

Moµzemo reci da se kod sloµzenog ukamacivanja kamata za i-torazdoblje Ii pripisuje vrijednosti Ci�1 da bismo dobili konaµcnuvrijednost Ci po isteku i-tog razdoblja, ali kamatu Ii+1 za iduce,i + 1-vo, razdoblje, raµcunamo na vrijednost Ci , a ne stalno napoµcetnu vrijednost C0 kao kod jednostavnog ukamacivanja

Jednostavno ukamacivanje se u praksi primjenjuje kod �tednih uloga,µziro raµcuna, zateznih kamata, mjenica i sliµcno

(Aspira) 2009. 11 / 21

Page 34: Jednostavni kamatni račun

Jednostavni dekurzivni obraµcun kamata

Kod jednostavnog dekurzivnog ukamacivanja kamate za sva razdoblja suiste i iznose

I1 = I2 = � � � In = C0 �p100

Odmah se vidi da je ukupna kamata nakon n razdoblja jednaka

I = n � C0 �p100

a konaµcna vrijednost kapitala je

Cn = C0 + n � C0 �p100

= C0�1+ n � p

100

�.

Tako�er vrijedi da je konaµcna vrijednost kapitala po isteku i-tog razdobljajednaka

Ci = C0 + i � C0 �p100

.

(Aspira) 2009. 12 / 21

Page 35: Jednostavni kamatni račun

Jednostavni anticipativni obraµcun kamata

Kod jednostavnog anticipativnog ukamacivanja kamate za sva razdoblja suiste (raµcunaju se na konaµcnu vrijednost Cn) i iznose

I1 = I2 = � � � In = Cnq100

Odmah se vidi da je ukupna kamata nakon n razdoblja jednaka

I = n � Cnq100

a konaµcna vrijednost kapitala je Cn = C0 + I = C0 + n � Cn q100 )

Cn � n � Cn q100 = C0 ) Cn

�100�n�q100

�) Cn = 100

100�nqC0.

Kamata za i-to razdoblje iznosi I1 = � � � = In = q100�n�qC0 a ukupna

kamataI = n � q

100� n � qC0

(Aspira) 2009. 13 / 21

Page 36: Jednostavni kamatni račun

ExerciseKolika je konaµcna vrijednost glavnice od 12000 kn na kraju µcetvrte godineuz 7 posto jednostavnih dekurzivnih (a posebno anticipativnih ) kamata?dekurzivno: C4 = 12000 �

�1+ 4 � 7

100

�= 15360

anticipativno C4 = 12000 100100�4�7 = 16666, 67

ExerciseKoliko iznose ukupne jednostavne kamate na iznos od 15000 kn zarazdoblje od 5 godina ako je godi�nji kamatnjak u prve 2 godine p=10, a upreostale 3 godine smanjen je za 5%?Kamate za prvije dvije godine su I1 + I2 = 2 � 15000 � 10100 = 3000Kamatnjak za preostale 3 godine je p = 10� 10 � 5

100 = 9, 5 pa su kamateza preostale tri godine jednake I3 + I4 + I5 = 3 � 15000 � 9,5100 = 4275.Ukupne kamate su I = 3000+ 4275 = 7275

Buduci je u praksi rijetko jednostavno anticipativno ukamacivanje tocemo se na dalje baviti iskljuµcivo jednostavnim dekurzivnimukamacivanjem.

(Aspira) 2009. 14 / 21

Page 37: Jednostavni kamatni račun

ExerciseKolika je konaµcna vrijednost glavnice od 12000 kn na kraju µcetvrte godineuz 7 posto jednostavnih dekurzivnih (a posebno anticipativnih ) kamata?dekurzivno: C4 = 12000 �

�1+ 4 � 7

100

�= 15360

anticipativno C4 = 12000 100100�4�7 = 16666, 67

ExerciseKoliko iznose ukupne jednostavne kamate na iznos od 15000 kn zarazdoblje od 5 godina ako je godi�nji kamatnjak u prve 2 godine p=10, a upreostale 3 godine smanjen je za 5%?Kamate za prvije dvije godine su I1 + I2 = 2 � 15000 � 10100 = 3000Kamatnjak za preostale 3 godine je p = 10� 10 � 5

100 = 9, 5 pa su kamateza preostale tri godine jednake I3 + I4 + I5 = 3 � 15000 � 9,5100 = 4275.Ukupne kamate su I = 3000+ 4275 = 7275

Buduci je u praksi rijetko jednostavno anticipativno ukamacivanje tocemo se na dalje baviti iskljuµcivo jednostavnim dekurzivnimukamacivanjem.

(Aspira) 2009. 14 / 21

Page 38: Jednostavni kamatni račun

ExerciseKolika je konaµcna vrijednost glavnice od 12000 kn na kraju µcetvrte godineuz 7 posto jednostavnih dekurzivnih (a posebno anticipativnih ) kamata?dekurzivno: C4 = 12000 �

�1+ 4 � 7

100

�= 15360

anticipativno C4 = 12000 100100�4�7 = 16666, 67

ExerciseKoliko iznose ukupne jednostavne kamate na iznos od 15000 kn zarazdoblje od 5 godina ako je godi�nji kamatnjak u prve 2 godine p=10, a upreostale 3 godine smanjen je za 5%?Kamate za prvije dvije godine su I1 + I2 = 2 � 15000 � 10100 = 3000Kamatnjak za preostale 3 godine je p = 10� 10 � 5

100 = 9, 5 pa su kamateza preostale tri godine jednake I3 + I4 + I5 = 3 � 15000 � 9,5100 = 4275.Ukupne kamate su I = 3000+ 4275 = 7275

Buduci je u praksi rijetko jednostavno anticipativno ukamacivanje tocemo se na dalje baviti iskljuµcivo jednostavnim dekurzivnimukamacivanjem.

(Aspira) 2009. 14 / 21

Page 39: Jednostavni kamatni račun

Jednostavno ukamacivanje za period kraci od jediniµcnogobraµcunskog razdoblja

Ukoliko vrijednost kapitala treba izraµcunati za period kraci odjediniµcnog obraµcunskog razdoblja ili opcenito za period µcije se trajanjene moµze iskazati kao n � jedini cno razdoblje gdje je n 2 N tadajediniµcno obraµcunsko razdoblje dijelimo na m jednakih podrazdoblja.Kamatnjak koji se odnosi na takvo krace razdoblje nazivamo relativnii on iznosi

pr =pm.

Ako je vrijeme ukamacivanja izraµzeno u mjesecima, a kamatnjak p jegodi�nji onda treba uvaµziti da jedna godina ima 12 mjeseci, pa jepr =

p12 . Stoga formula za konaµcne kamate nakon n mjeseci uz

godi�nji kamatnjak p je

I = n � C0 �p12

100= nC0

p1200

(Aspira) 2009. 15 / 21

Page 40: Jednostavni kamatni račun

Jednostavno ukamacivanje za period kraci od jediniµcnogobraµcunskog razdoblja

Ukoliko vrijednost kapitala treba izraµcunati za period kraci odjediniµcnog obraµcunskog razdoblja ili opcenito za period µcije se trajanjene moµze iskazati kao n � jedini cno razdoblje gdje je n 2 N tadajediniµcno obraµcunsko razdoblje dijelimo na m jednakih podrazdoblja.Kamatnjak koji se odnosi na takvo krace razdoblje nazivamo relativnii on iznosi

pr =pm.

Ako je vrijeme ukamacivanja izraµzeno u mjesecima, a kamatnjak p jegodi�nji onda treba uvaµziti da jedna godina ima 12 mjeseci, pa jepr =

p12 . Stoga formula za konaµcne kamate nakon n mjeseci uz

godi�nji kamatnjak p je

I = n � C0 �p12

100= nC0

p1200

(Aspira) 2009. 15 / 21

Page 41: Jednostavni kamatni račun

ExampleVrijednost poµcetnog kapitala C0 = 15250 uz godi�nji kamatnjak p = 12 iuz primjenu jednostavnog dekurzivnog ukamacivanja nakon 20 mjeseci je:

C20 = C0 + 20 � C0121200

= 18300.

Ako je vrijeme ukamacivanja izraµzeno u danima, a kamatnjak p jegodi�nji onda u praksi postoje 3 metode obraµcuna:

(Aspira) 2009. 16 / 21

Page 42: Jednostavni kamatni račun

ExampleVrijednost poµcetnog kapitala C0 = 15250 uz godi�nji kamatnjak p = 12 iuz primjenu jednostavnog dekurzivnog ukamacivanja nakon 20 mjeseci je:

C20 = C0 + 20 � C0121200

= 18300.

Ako je vrijeme ukamacivanja izraµzeno u danima, a kamatnjak p jegodi�nji onda u praksi postoje 3 metode obraµcuna:

(Aspira) 2009. 16 / 21

Page 43: Jednostavni kamatni račun

1 engleska metoda (ili metoda prema kalendaru) uzima se dagodina ima 365 dana (prijestupna 366), n raµcunamo tako da se dani umjesecu raµcunaju prema kalendaru, dan sklapanja ugovora se neraµcuna, dok se dan kada istjeµce ugovor i kad se dug treba vratiti uzimau raµcun, za izraµcunavanje jednostavnih kamata koristi se formula

I = n � C0 �p

36500

2 njemaµcka metoda: uzima se da godina ima 360 dana, n raµcunamotako da svaki mjesec 30 dana, dan sklapanja ugovora se ne raµcuna,dok se dan kada istjeµce ugovor i kad se dug treba vratiti uzima uraµcun, a za izraµcunavanje jednostavnih kamata koristi se formula

I = n � C0 �p

360003 francuska metoda: uzima se da godina ima 360 dana, n raµcunamotako da se dani u mjesecima raµcunaju prema kalendaru, dan sklapanjaugovora se ne raµcuna, dok se dan kada istjeµce ugovor i kad se dugtreba vratiti uzima u raµcun,a za izraµcunavanje jednostavnih kamatakoristi se formula: I = n � C0 � p

36000

(Aspira) 2009. 17 / 21

Page 44: Jednostavni kamatni račun

1 engleska metoda (ili metoda prema kalendaru) uzima se dagodina ima 365 dana (prijestupna 366), n raµcunamo tako da se dani umjesecu raµcunaju prema kalendaru, dan sklapanja ugovora se neraµcuna, dok se dan kada istjeµce ugovor i kad se dug treba vratiti uzimau raµcun, za izraµcunavanje jednostavnih kamata koristi se formula

I = n � C0 �p

365002 njemaµcka metoda: uzima se da godina ima 360 dana, n raµcunamotako da svaki mjesec 30 dana, dan sklapanja ugovora se ne raµcuna,dok se dan kada istjeµce ugovor i kad se dug treba vratiti uzima uraµcun, a za izraµcunavanje jednostavnih kamata koristi se formula

I = n � C0 �p

36000

3 francuska metoda: uzima se da godina ima 360 dana, n raµcunamotako da se dani u mjesecima raµcunaju prema kalendaru, dan sklapanjaugovora se ne raµcuna, dok se dan kada istjeµce ugovor i kad se dugtreba vratiti uzima u raµcun,a za izraµcunavanje jednostavnih kamatakoristi se formula: I = n � C0 � p

36000

(Aspira) 2009. 17 / 21

Page 45: Jednostavni kamatni račun

1 engleska metoda (ili metoda prema kalendaru) uzima se dagodina ima 365 dana (prijestupna 366), n raµcunamo tako da se dani umjesecu raµcunaju prema kalendaru, dan sklapanja ugovora se neraµcuna, dok se dan kada istjeµce ugovor i kad se dug treba vratiti uzimau raµcun, za izraµcunavanje jednostavnih kamata koristi se formula

I = n � C0 �p

365002 njemaµcka metoda: uzima se da godina ima 360 dana, n raµcunamotako da svaki mjesec 30 dana, dan sklapanja ugovora se ne raµcuna,dok se dan kada istjeµce ugovor i kad se dug treba vratiti uzima uraµcun, a za izraµcunavanje jednostavnih kamata koristi se formula

I = n � C0 �p

360003 francuska metoda: uzima se da godina ima 360 dana, n raµcunamotako da se dani u mjesecima raµcunaju prema kalendaru, dan sklapanjaugovora se ne raµcuna, dok se dan kada istjeµce ugovor i kad se dugtreba vratiti uzima u raµcun,a za izraµcunavanje jednostavnih kamatakoristi se formula: I = n � C0 � p

36000

(Aspira) 2009. 17 / 21

Page 46: Jednostavni kamatni račun

ExampleKupac je morao podmiriti fakturu 19. oµzujka 2006. godine iznosom od30000 kn. No, zbog nesolventnosti on je to uµcinio tek 15. lipnja 2006.Ako je dogovoreno s prodavateljem da zbog ka�njenja placa 8% zateznihkamata, kolikim iznosom je podmirio fakturu 15. lipnja 2006? Obraµcunkamata je po jednostavnom kamatnom raµcunu.Izraµcunat cemo traµzene jednostavne kamate prema francuskoj, njemaµckoj iengleskoj metodi. U tu svrhu nuµzno je najprije odrediti broj danazaka�njenja placanja fakture po svakoj metodi. Bez obzira koja metoda zaobraµcun dana se koristi, prvi dan (19. oµzujka) se ne uzima dok seposljednji dan (15. lipnja) uraµcunava u obraµcunu dana.

(Aspira) 2009. 18 / 21

Page 47: Jednostavni kamatni račun

engleska metoda njemaµcka metoda francuska metoda

oµzujak 12 11 12travanj 30 30 30svibanj 31 30 31lipanj 15 15 15

broj dana n 88 86 88

kamate po engleskoj metodiI = n � C0 � p

36500 = 88 � 30000 �8

36500 = 578, 63

kamate po njemaµckoj metodiI = n � C0 � p

36000 = 86 � 30000 �8

36000 = 573, 33

kamate po francuskoj metodiI = n � C0 � p

36000 = 88 � 30000 �8

36000 = 586, 67

(Aspira) 2009. 19 / 21

Page 48: Jednostavni kamatni račun

engleska metoda njemaµcka metoda francuska metoda

oµzujak 12 11 12travanj 30 30 30svibanj 31 30 31lipanj 15 15 15

broj dana n 88 86 88

kamate po engleskoj metodiI = n � C0 � p

36500 = 88 � 30000 �8

36500 = 578, 63

kamate po njemaµckoj metodiI = n � C0 � p

36000 = 86 � 30000 �8

36000 = 573, 33

kamate po francuskoj metodiI = n � C0 � p

36000 = 88 � 30000 �8

36000 = 586, 67

(Aspira) 2009. 19 / 21

Page 49: Jednostavni kamatni račun

engleska metoda njemaµcka metoda francuska metoda

oµzujak 12 11 12travanj 30 30 30svibanj 31 30 31lipanj 15 15 15

broj dana n 88 86 88

kamate po engleskoj metodiI = n � C0 � p

36500 = 88 � 30000 �8

36500 = 578, 63

kamate po njemaµckoj metodiI = n � C0 � p

36000 = 86 � 30000 �8

36000 = 573, 33

kamate po francuskoj metodiI = n � C0 � p

36000 = 88 � 30000 �8

36000 = 586, 67

(Aspira) 2009. 19 / 21

Page 50: Jednostavni kamatni račun

Primjena engleske metode odgovara stvarnom kalendaru i stoga jenajkorektnija.Primijetimo da je primjena francuskog naµcina obraµcuna daje efekt kao dase u engleskoj metodi tj. za stvarni broj dana (n = 88), i uzimajuci dagodina ima stvarni broj dana (m = 365 ili 366), primjenjivala vi�a kamatnastopa koju nazivamo efektivna kamatna stopa, oznaµcimo je sa pe .Dakle za kamate dobivene primjenom francuske metode traµzimo efektivnukamatnu stopu iz jednakosti

88 � 30000 � pe36500

= 586, 67

odakle izlazi da je pe = 586, 67 3650088�30000 = 8, 11.

Sliµcno za kamate dobivene primjenom njemaµcke metode efektivnukamatnu stopu raµcunamo iz jednakosti

88 � 30000 � pe36500

= 573, 33,

odakle slijedipe = 7, 9267

(Aspira) 2009. 20 / 21

Page 51: Jednostavni kamatni račun

ExampleKoliko dana moµze biti nepodmiren minus od 15000 prije nego �to raµcunu�e u nedopu�teni minus od 20000 ako banka zaruµcunava zateznu(dekurzivnu) kamatu od 12% uz jednostavno ukamacivanje primjenomengleske metode.Cn = C0 + n � C0 � p

36500 ) 20000 = 15000+ n � 15000 � 1236500 )

15000 � 1236500 � n = 5000

n = 5000�3650015000�12 = 1013, 88

Dakle, nakon 1014 dana raµcun ce uci u nedopu�teni minus.

(Aspira) 2009. 21 / 21