Jednostavni nosaci

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA)

Poprečna sila i moment savijanja u gredi

BA

a b c d e

P q M

x

y

l

BA x

P q M

A x

P

B

q M

q

Tx

Mx

Tx

Mx

a) Zadana greda s opterećenjem

b) Sile opterećenja na gredu

c) Određivanje sila presjeka grede u presjeku x

Tx

MxTx

Mx

a) Unutrašnje sile u presjeku (pozitivna poprečna sila i pozitivan moment savijanja)

b) Utjecaj poprečne sile

c) Utjecaj momenta savijanja

Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Jednostavni nosači 34

Sile u presjeku x dobivaju se analizom ravnoteže dijela grede lijevo ili desno od presjeka.

BA

P q MO

A x

P

B

Tx

Mx

Tx

Mx

a b c d e

l

A x

P q

Tx

Mx

A x Tx

Mx

x

MO

B

Tx

Mx

x

AP

Bq c.

T - dijagramx

−

+

MOMmax

+

M - dijagramx

ax0 << xAM;AT xx ⋅==

)ba(xa +<< PATx −=

)ax(PxAMx −⋅−⋅=

)cba(x)ba( ++<<+ )bax(qPATx −−⋅−−=

2)bax(q)ax(PxAM

2

x−−−−⋅−⋅=

)dcba(x)cba( +++<<++

BTx −=

Ox M)x(BM +−⋅= l

ll <<− x)e( BTx −=

)x(BMx −⋅= l


Dijagrami unutrašnjih sila za različite vrste opterećenja

Opterećenje simetričnom koncentriranom silom

P

L/2 L/2

M =PL/4max

A B

P

A =P/20 B =P/20

+

−

A0

B0

P

Nx

Tx

Mx

+

∑ = 0Fx : 0Ax =

∑ = 0MB : 02LPLAy =⋅+⋅−

2PAA 0

y ==

∑ = 0MA : 02LPLB =⋅−⋅

2PBB 0 ==

xx pdx

dT−= ; x

x TdxdM

=

x2x

2p

dxMd

−=

Opterećenje nesimetričnom koncentriranom silom

P

a b

M =Pab/Lmax

A B

+

−

A0

B0

P

Nx

Tx

Mx

+

A0 B0

L

∑ = 0Fx : 0Ax = ∑ = 0MB : 0bPLAy =⋅+⋅−

LbPAA 0

y⋅==

∑ = 0MA : 0aPLB =⋅−⋅

LaPBB 0 ⋅==


Opterećenje dvjema koncentriranim silama

P

a c

A BP

a

LA =P0 B =P0

M=Pa

+

−

A0

B0

P Tx

Mx

+

P

Poprečno opterećenje - simetrično

∑ = 0Fx : 0Ax =

∑ = 0MB : 0)aL(PaPLAy =−+⋅+⋅−

PAA 0y ==

∑ = 0MA : 0)aL(PaPLB =−−⋅−⋅ PBB 0 == Tx - antisimetričan dijagram Mx - simetričan dijagram

Opterećenje koncentriranim momentom

M

a b

A B

−

Tx

Mx

+

L

MM/L

M/L

M/LM/L

MMa/L

Mb/L

−


Jednoliko raspodijeljeno opterećenje

q

L

+

−

A =qL/20 B =qL/20

A0

B0

+

M =max qL /82

Tx

Mx

qL /82

∑ = 0MB : 02LLqLA0 =⋅⋅+⋅−

2LqA0 =

∑ = 0MA : 2LqB0 =

( )x2Lqxq2

LqxqAT 0x −=−=−=

Tx - antisimetričan

( )xL2xq

2xxqx2

Lq2xxqxAM 0

x −=−=−=

Mx - simetričan

Mjesto i veličina maksimalnog momenta:

0dxdMx = ; 0TTdx

dMxx

x =→=

2Lx0xq2

Lq =⇒=− → 8Lq

2)2L(q2

L2LqM

22

max =−=

Jednoliko antisimetrično raspodijeljeno opterećenje

q

+

A =qL/40

B =qL/40

A0 B0+

q(L/2) /82

Tx

Mx

A B

qL/2 L/2

q

q

−

+

−

q(L/2) /82

q(L/2) /82

q(L/2) /82

∑ = 0MB : 4LqA0 =

∑ = 0MA : 4LqB0 =

4LqT minmax/ ±=

Tx dijagram - simetričan

8)2L(qM2

minmax/ ±=

Mx dijagram - antisimetričan


Jednoliko nesimetrično opterećenje

p

A BL/2 L/2

p/2=

p/2

p/2+

L/43L/8

A0

B0

Tx

−

+

+

Mx

p(L/2) /82

p(L/2) /82

9pL

/128

2

pL /162

parabola 20

Superpozicija: Nesimetrično opterećenje =

simetrično + antisimetrično

∑ = 0MB : Lp83A0 =

∑ = 0MA : Lp81B0 =

xpLp83Tx −=

2xpxLp8

3M2

x −⋅=

maxM :

0dxdMx = 8

L3x0Tx =→=→ 2

max 8L3

2p

8L3Lp8

3M ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−⋅=

2max Lp128

9M =


Linearno raspodijeljeno opterećenje

3Lx =

q

A B

a=2L/3

L

b=L/3

px

A2x/3 x/3

Q

x

Tx

Mx

Qx

3Lx =

L/2 L/2

A

BQ

+

−

αB

αA

Tx

Mx

βBβA

Qab

/L =

pL

/92Mmax

Zadano opterećenje: Lxqpx ⋅=

Ravnoteža cijelog sustava

ekvivalentno opterećenje: Lq21Q ⋅=

∑ = 0MB : Lq61Q3

1A ==

∑ = 0MA : Lq31Q3

2B ==

Kontrola: ∑ =−+= 0QBAFy

U presjeku na udaljenosti x

ekvivalentno opterećenje:

Lxq2

1xp21Q

2xx ⋅=⋅=

xxy QAT0F −=→=∑

[ ]2x )Lx(316

LqT −= T - dijagram - kvadratna parabola

ležaj A: AA tg0pdxdT α==−=

ležaj B: BB tgqpdxdT α=−=−=

x31QxAM0M xxx ⋅−⋅=→=∑

[ ]2x )Lx(1x6

LqM −= M - dijagram - kubna parabola

qL61

LbQATdx

dMtg xA =====β

qL31

LaQBTdx

dMtg xB −=−=−===β

za : maxM 0dxdMx =

0)Lx(310T 2x =−→=→

L577.03

Lx ==

)L577.0x(MM xmax == 2

max Lq39

1M =


Trokutno opterećenje

q

A B2/3

L

Q

L/2 L/2

A

B

+

−

Tx

Mx

Mmax

.L/2 1/3 .L/2 2/3.L/21/3 .L/2

Q

Zadano opterećenje: Lxq2px =

Ekvivalentno opterećenje: Lq41Q ⋅=

Reakcije: Lq41BA ==

[ ]2

x

0

2

0x

x

0xx

)Lx(414Lq

Lq41

2x

Lq2

TdxpT

−=

=+−=

=+−= =∫

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅−=

=+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅−=

=+= =∫

2

2

3

2

0x

x

0xx

Lx

341x4

Lq

03x

L4x4

Lq

MdxTM

Maksimalni moment:

2Lx0Tx =⇒=

2max Lq12

1M =



Konzola

L

P

A

M =P LA −

+

A

P

Tx

Mx

A=P

MA

L

M =MA −

A

T =0x

Mx

MAM

M

Desna konzola Lijeva konzola

q

L

M =qL /2A2

A=qL

MA

A

−

+

Tx

Mx

q

L

qL /22

A=qL

MA

A

Tx

Mx

qL /82

−

qL /82 −


Greda s prepustima

q

L

+

A B

M =max qL /82

Mx

qL /82

P

ba

Superpozicija:

q

q

A

P+

qa /22− P b.

=qa /22

−

P b.

+

−

−

+

−


Posredno opterećeni nosači

I I I

sekundarni uzdužni nosači

glavni nosačsekundarni poprečni nosač

Primjer:

L

p12

A B

λ3

A BI I

P1 P2 P3 p

Lp

1 2

λ2λ1

p11

p22

p21 p32

A B

−Q2l

−Q1d

−Q1l

−QA −QB−Q2d

P1 P2

P3

1 2

Q2lQ1

dQ1lQA QBQ2

d

A B1 2

Q1QA QBQ2

d222

d111

QQQ

QQQ

+=

+=

l

l

Momenti savijanja u točkama 1 i 2:

( ) 21A212d1121A212

A11A11

Q)QA()(QQ)(Q)(AM

)QA(QAM

λ⋅−−⋅λ+λ=λ⋅+−λ+λ⋅−λ+λ⋅=

−⋅λ=λ⋅−λ⋅=

l

ili

( )2

LppPpPpP)(AM

pPpPAM

23p

323222121212

21211111

λ−⋅−⋅−⋅−⋅−λ+λ⋅=

⋅−⋅−λ⋅=


-- Grafoanalitičko rješavanje posredno opterećenih nosača Primjer 1

A BI I

P p

1 2

M

T

−

++

+

+ Q1

Q2

Primjer 2

I I II IA B

L

l

M

+

+

+

+

+


Indirektno opterećena greda

P

a b

M =Pab/L0

A B

M+

L

P

M0

A BM

+

−

M na gornjem štapux −

M na gredi ABx +

x

P

M0

A B

M na gornjem štapux −

M na gredi ABx +

x

A=P b / L

M =Pab/L0

B=P a/ L

P

M0

A BM

+


Ravni nosači sastavljeni iz više diskova - Gerberovi nosači

Raspored zglobova u Gerberovom nosaču

PRAVILAN RASPORED ZGLOBOVA

PRAVILAN RASPORED ZGLOBOVA

NEPRAVILAN RASPORED ZGLOBOVA

NEPRAVILAN RASPORED ZGLOBOVA


Dobivanje Gerberovog nosača:

q

L2

+ qL /822

M

L1 L3

++

qL /812

qL /832

q

L2

+

qL /822 M

L1 L3

+ +

qL /812

qL /832

−−

NIZ PROSTIH GREDA

GERBEROV NOSAČ


Mjesto zglobova unutar pojedinog polja prilagođuje se dominantnom opterećenju. Primjer - Gerberov nosač preko dva polja -- ujednačenje momenata

L

q

DA B C

DA B C

La a 0.207 L=

TqL/2

M

−

+ +

− qL/2

0.707 qL

0.707 qL

qL2

8qL2

8

qL2

8

+ +

−


Gerberovi nosači - slijed oslanjanja:

3 2 1A B C DE F

2 21A B C DE F

21A B CE DF

1

21A B CE

3DF

21A B CD

2 1A B CD


Određivanje ležajnih veza - reakcija Primjer:

21A

B C D

P1

E3

P2q1 q2

AV BVBH CV DV EV

Ukupno ima 6 nepoznanica. Reakcije se određuju iz sljedećih 6 jednadžbi:

0M

0F0F

y

x

=∑

+=∑

=∑

0M

ili0M

0M

lijevo3

lijevo2

lijevo1

=∑

=∑

=∑

0M

0M

0M

desno3

desno2

desno1

=∑

=∑

=∑

Umjesto rješavanja 6 jednadžbi sa 6 nepoznanica, Gerberov nosač se rastavlja na diskove. Rješavanje Gerberovog nosača raščlanjenim postupkom:

B C

q1

P2

D

q2A

P1

E

1 2 3

B C

q1

P2

D

q2

A

P1

E

Q1

Q1

Q2 Q3

Q2 Q3

AV

BV CV DV EV

1. NIVO

2. NIVO

Za slučaj opterećenja kosom silom koristi se superpozicija.


Određivanje M i T dijagrama grafoanalitičkim postupkom

q1 q2P2P1

A B C D

A B C D

MA

+

−

−

−

−

++

−−

−−

+ + +

A

B

C

DMA M

AB

CD

+ + + +

−−−

T

P1

P1


Poligonalne grede Poluokvirna greda izložena uspravnom opterećenju

prečka

L

A

B

h

A0

B0

stup

g(x) Reakcije su istovjetne reakcijama odgovarajuće proste grede

Primjer:

L

A

B

h

A 1.5F0 =

B 1.5F0 =

q=2F/LC

F F

L/2L/4L/4

1.5F

N

M

−

+

T

−

1.5F 0.5F

F

0.5F 1.5F

q(L/2)2

8

3FL8 FL

2

+

Tp

Mp

Np

Ts Ms

Ns

Np = Ts = 0

Tp = N 1.5Fs =

Mp = Ms = 0

čvor C


Poluokvirna greda izložena horizontalnom opterećenju

L h=A

B

h

A 1.5FV =

B 1.5F =

w=F/h

CF

1.5F

N

M

T

−

F

1.5F

wh2

8

+

Tp

Mp

Np

Ts Ms

Ns

T Fs =

N 1.5Fs =

čvor C

A 2FH =

+

2F

+

+

1.5Fh

1.5F

h

ravnoteža čvora C:F

T 1.5Fp =


Poligonalna greda izložena uspravnom opterećenju

L

A

B

h L/2=

A 2F0 =

B 2F0 =

q=4F/L

C

F F

L/6

2Fsinα

N

M−

+

T

2F F

q(L/2)2

8

FL2

+

Tp

Mp

NpTk

MkNk Np = 0

Mp = M FL/2k =

čvor C

L/6 L/6

α2Fcosα

−

+

F

FL3

, Nk = 0

Tp = 0 , Tk = 0


Portalna greda

L

A B

h

A0 B0

g(x)

C D

Portalna greda izložena horizontalnom opterećenju

L h=A

B

h

A whV =

B wh =

w

C

wh

N

M

T

−

wh2

8

+

Tp

Mp

Np

Ts Ms

Ns Ts

Ns

čvor C

A 2whH =

+

2wh

+

+

Tp

w

D

+

wh

−

wh

wh

−

wh

whwh

wh2

8

+

3wh2

2

3wh2

2

wh2

2

wh2

2

Np

Tp

MpNp

Ts Ms

NsTs

Ns

čvor D

Tp

Np

wh


Documents

Jednostavni nosaci