Juan García Moreno. CEIP. Blas Infante. Lebrija

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Juan García Moreno.CEIP. Blas Infante. Lebrija (Sevilla)_1999.

DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO A LA DEL ESPACIO

TRIDIMENSIONAL.

Problema 1.- Se desea construir una caja abierta por arriba, como la de la figura, con sus

cinco caras cuadradas e iguales.

*La figura siguiente representa los doce ellos, ocho sirven como desarrollos planos

para diseñar la caja, doblándolos convenientemente. Rodea con un circulito los números correspondientes a los pentominós válidos como desarrollos de la caja y pinta de negro, en cada caso, la cara cuadrada que sería base de la caja, como en el ejemplo:

Problema 2.- Se desea construir una caja como la de la figura , abierta por arriba. Observa detenidamente cómo son cada una de las cinco caras de la

caja. Utiliza la cuadrícula de la figura siguiente para encontrar y dibujar otros cuatro desarrollos diferentes válidos para la caja:

Problema 3.-

Dibuja cuatro desarrollos planos diferentes que permitan construir la caja de la figura. (Estudia el ejemplo).

1


Problema 4.-

¿ Cuáles de los desarrollos planos permiten construir una de base cuadrada y caras laterales triangulares

equiláteras ? (Coloréalos)

Problema 5.-

Se desea construir una caja, abierta por arriba, como la de la figura. La base es un triángulo equilátero. Las tres caras

laterales son trapecios isósceles, resultantes de cortar triángulos equiláteros mediante una línea paralela a su base.

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La figura siguiente muestra, sobre una trama isométrica , un desarrollo plano válido para construir la caja. Dibuja tú otros tres desarrollos planos :

Problema 6.-

La figura a representa un hexominó que sirve como desarrollo plano de un cubo o hexaedro regular (poliedro con seis caras iguales, cuadradas en este caso). Las figuras b y c muestran cómo a partir del hexominó a) se ha girado 90º , primero, una parte del mismo para obtener el hexominó b). Luego se ha girado 90º una parte del b) para obtener el hexominó c). Todos estos hexominós son desarrollos válidos de un cubo. Transforma tú los hexominós a), b), c) así como los que vayas obteniendo para encontrar algunos de los 11 hexominós diferentes que son desarrollos planos de un cubo. (Hazlo sobre la cuadrícula)

Problema 7.-

La figura muestra un hexominó válido como desarrollo plano de un cubo. Imagina que es de cartulina y que se han señalado en él tanto las líneas de plegado como las "pestañas" (coloreadas), para su posterior pegado.

Halla tú, dibujándolas, otras cuatro formas diferentes de distribuir o colocar las pestañas para este mismo desarrollo.

Nombra con letras minúsculas iguales, como en el ejemplo, los pares de lados que coincidirían al formar el cubo.

3

A B

CD

EF

GH

HEXAEDRO REGULAR O CUBO

CARA

VÉRTICE

ARISTA


* La figura siguiente muestra un hexaedro regular o cubo. Completa:

HEXAEDRO REGULAR O CUBONº DE VÉRTICES Nº DE CARAS Nº DE ARISTAS

* El segmento AB es una de las 12 aristas del cubo. Escribe las 11 restantes:

1.- AB 2.- 3.- 4.- 5.- 6.- 7.- 8.- 9.- 10.- 11.- 12.-

* El cuadrado ABFE es una de las 6 caras del cubo. ¿ Cuáles son las otras ?

1.- ABFE 2.- 3.- 4.- 5.- 6.-* Los segmentos AF y BE son las diagonales de una cara del cubo. ¿

Cuáles son las otras diez diagonales ? 1.- AF 2.- BE 3.- 4.- 5.- 6.-7.- 8.- 9.- 10.- 11.- 12.-

* El segmento BH es una de las diagonales principales del cubo. Atraviesa el interior del cubo y pasa por el centro del mismo. Las cuatro diagonales principales del cubo se cortan justamente en el centro del cubo. ¿ Cuáles son las otras tres diagonales principales ?

1.- BH 2.- 3.- 4.-

* Existen muchos " caminos " diferentes para ir, por ejemplo, desde el vértice A hasta el vértice G desplazándose siempre por las aristas y sin repetir arista. Escribe, codificados al igual que el ejemplo, al menos cinco de estos caminos:

1.- A - B - F - G . 2.- 3.-4.- 5.- 6.-

* ¿ Cuántos "caminos" diferentes, de tres aristas de longitud cada uno, permiten ir desde el vértice A hasta el vértice G ? Escríbelos todos:

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* ¿ Cuántas aristas de longitud mide el " camino más largo" que se puede encontrar para ir desde A hasta G ? Escribe, codificados, dos "caminos más largos " diferentes:

* Escribe " > ", " < " o " = ", según corresponda, al comparar las longitudes que tendrían los siguientes pares de segmentos no en el dibujo del cubo anterior, sino en el cubo " real " que se representa:

AC ...... BD; BE ...... EF ; AG ...... HB; HB ...... BG ;AF ...... FC; DF ...... FC; HB ...... AC; AH ...... HC ;

* ¿ Qué ángulo forma la cara ABFE con la cara BCGH ?

* ¿ Qué ángulo forman las aristas HG y GF en el vértice G ? * ¿ Cómo son entre sí las aristas EH y AD ?* Escribe seis ejemplos de dos caras del cubo que sean

perpendiculares entre sí: 1.- ABFE y EFGH 2.- 3.-4.- 5.- 6.-

* Pon seis ejemplos de dos aristas del cubo que sean paralelas entre sí:

1.- AD y BC 2.- 3.- 4.- 5.- 6.-

* Escribe las tres aristas que se cortan en el vértice D :

1.- 2.- 3.-* Escribe las dos caras que se cortan en la arista DC :

* Escribe las cuatro caras del cubo que son perpendiculares a la cara ABCD :

* Uniendo los vértices A, C y H mediante segmentos rectilíneos obtendríamos un triángulo equilátero ya que las diagonales AC, CH y HA tienen la misma longitud. ¿ Qué otros triángulos equiláteros idénticos al anterior podrían obtenerse uniendo tres vértices del cubo ? ( Hay 16 diferentes, dos por cada diagonal de una cara del cubo ):

1.- ACH 2.- ACF 3.- 4.- 5.- 6.- 7.- 8.-

5


9.- 10.- 11.- 12.- 13.- 14.- 15.- 16.-

* ¿Qué clase de polígono se obtiene al unir entre sí, mediante segmentos rectilíneos, los vértices que se dan en cada caso ?:

1.- A - C - G - E :2.- B - D - H - F :3.- A - B - E :4.- A - E - D :5.- A - D - H - E : 6.- A - C - E : Triángulo rectángulo escaleno.7.- B - G - E : 8.- D - C - H :

Como un cubo es un poliedro, es decir, un sólido tridimensional, al dibujarlo sobre el papel (que es plano) forzosamente hay que deformarlo, esto es, dibujarlo de manera ligeramente diferente a como lo veríamos en la realidad.

Las figuras siguientes muestran la forma correcta de representar un cubo sobre una trama cuadrada de puntos (o sobre una cuadrícula) y sobre una trama isométrica de puntos ( o sobre una malla isométrica ).

* En cada caso, dibuja al lado del cubo dos cubos de mayor tamaño, de doble y triple arista que el dibujado :

6


La figura siguiente muestra, sobre una trama cuadrada, cómo se puede hacer corresponder a un pentominó plano ( que es un polígono ) un pentominó sólido o tridimensional ( que es un poliedro ) . Completa la figura y pinta de un mismo color todas las caras que " miren " hacia arriba, como en el ejemplo :

*Convierte los poliminós planos de la figura siguiente en poliminós sólidos (policubos).

7

ALTO

LARGO

ANCHO


* La figura siguiente muestra un pentominó sólido. Dos de sus caras, paralelas entre sí, son pentominós planos. Se ha representado una de estas caras en diferentes posiciones. Completa los dibujos para obtener el pentominó sólido en diferentes posiciones en el espacio:

Dibuja el pentominó sólido de la figura siguiente en otras seis posiciones y orientaciones diferentes :

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Alto

Largo

Ancho

4

3

5

Area exterior =Volumen =




La figura muestra un cubo cuyo volumen ( medida del espacio que ocupa ) es, justamente, de un centímetro cúbico ( 1 cm3 ). Puedes imaginarte un volumen de un centímetro cúbico como el volumen de un cubito en el que todas sus aristas midan un centímetro de longitud. Cada una de sus seis caras tendrá, por tanto, un centímetro cuadrado ( 1 cm2 ) de área.

* Es fácil hallar el volumen de barras, placas y bloques policúbicos, como los de la figura siguiente. Imagina que están formados por cubitos de 1 cm3 de volumen y que no presentan huecos ocultos. Halla el volumen ( en cm3 ) y el área visible o exterior ( en cm2 ) de la barra, placa y bloque de la figura y explica el procedimiento general para hallar el volumen de barras, placas y bloques policúbicos cualesquiera:

Explicación del procedimiento para calcular el volumen de barras, placas y bloques policúbicos:

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¿Se puede utilizar ( en barras, placas y bloques ) una fórmula para hallar el volumen que consista en multiplicar tres números ? ¿ Cuál es esta fórmula ?

* Existe una fórmula o procedimiento general para calcular el área exterior de una barra, placa o bloque policúbico cuando sabemos sus dimensiones. Así, si un bloque policúbico tiene a cm. de alto, b cm. de largo y c cm. de ancho, su área exterior ( expresada en cm2) vendrá dada por la fórmula :

Aplica esta fórmula para comprobar que da el área exterior de los policubos de la figura anterior:

1.- Área exterior de la barra = 2x1x5 + 2x1x1 + 2x5x1 = 10 + 2 + 10 = 22 cm2

2.- Área exterior de la placa =3.- Área exterior del bloque =

¿ Sabrías explicar el significado que tiene la fórmula anterior ?

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Área exterior = 2xaxb + 2xaxc +

BARRAS

PLACAS

BLOQUES

1º 2º 3º 4º 5º

1º 2º 3º 4º


* Halla el volumen ( en cm3 ) y el área exterior ( en cm2) de cada una de las configuraciones policúbicas de la figura siguiente. (Supón que cada uno de los cubitos unitarios tiene sus aristas de 1 cm. de longitud ). Completa la tabla:

A B C D E F G H I J

Volumen ( en cm3)

Área exterior ( en cm2)

11

A B

CD

E

F

G

HI J


* ¿ Qué configuraciones policúbicas tienen el mismo volumen ?

* ¿ Qué configuraciones policúbicas tienen la misma área ?

* ¿Corresponde siempre a mayor volumen mayor área ?Pon un ejemplo que lo demuestre:

* Supón que los cubitos de la figura tienen un centímetro de arista. Se va aumentando, en cada paso el tamaño de la barra, placa o bloque. Completa, en las tablas, el área, el volumen y el número de cortes necesario para obtener, de nuevo, los cubitos unitarios separados. Las series de números que obtendrás en la tabla te ayudarán a adivinar otros casos más complicados que no están dibujados en la figura :

VOLUMEN SEGÚN EL TAMAÑO O LUGAR QUE OCUPA1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º

BARRAS 3PLACAS 9

BLOQUES 27 125AREA EXTERIOR SEGÚN EL TAMAÑO O LUGAR QUE OCUPA

1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10ºBARRAS 6PLACAS 16

BLOQUES 54NÚMERO DE CORTES NECESARIOS PARA OBTENER LOS CUBITOS UNITARIOS SUELTOS, SEGÚN EL TAMAÑO O LUGAR QUE OCUPA.

1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10ºBARRAS 0PLACAS 2

BLOQUES 6

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La figura muestra dos formas diferentes de codificar un policubo. Estudia detenidamente el policubo que se muestra así como sus códigos.

A continuación se muestran policubos para que tú los codifiques, y al contrario: dado el código de un policubo has de dibujar el policubo correspondiente. Completa, pues, las figuras:

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1ª CAPA

2ª CAPA

POLICUBO COMPLETO

1 1 1

10 0

10 0

0 0 0

1 2 1

10 0


La figura siguiente muestra los 12 pentominós sólidos diferentes. Puesto que son poliedros, tienen caras, aristas y vértices. Busca un

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1ª CAPA 2ª CAPA 1ª CAPA 2ª CAPA 3ª CAPA

111111111 110110000 100000000 321221111

1ª CAPA 3ª CAPA2ª CAPA

0 2

00

0

1

0 0

A

B C

D

EF

G

HI

JK

L

10 CARAS 16 VÉRTICES 24 ARISTAS.


procedimiento adecuado para imaginarte las caras, aristasy vértices ocultos de cada pentominó sólido y completa la tabla:

A B C D E F G H I J K L

Número de caras(C). 10

Número de vértices

(V)16

Número de aristas (A) 24

C + V 26

A + 2 26

¿Has observado alguna regularidad, algo que se cumpla en todos los casos?

Expresa por escrito, con rigor y precisión, la regularidad que se da :

Expresa mediante una fórmula matemática (utilizando C,V,A,...) la ley o regularidad anterior:

Ahora comprueba si esa fórmula se cumple, también, para estos poliedros.

¡Ten cuidado!, así, por ejemplo, el poliedro F sigue siendo un cubo y, por tanto tiene 6 caras, 8 vértices y 12 aristas... aunque cada cara esté formada por la unión de 9 caras más pequeñas pertenecientes a los cubos unitarios...

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AB

C

D

E F

G

H

I

J


Completa la tabla:

A B C D E F G H I J

Número de caras(C).

Número de vértices (V)

Número de aristas (A)

C + V

A + 2

Si has realizado correctamente el ejercicio habrás observado que se cumple siempre que C + V = A + 2 ó, lo que es lo mismo, C + V - 2 = A. Pero esto no es cierto sólo para poliedros policúbicos sino para cualquier poliedro que pueda realizarse o imaginarse. Compruébalo para los prismas y pirámides de la figura siguiente. ( Para facilitarte la visualización de estos poliedros aparecen dibujadas, con trazo más fino, las aristas ocultas, es decir, las que no se verían ):

PRISMAS PIRÁMIDESA B C D E F G H

Número de caras (C).Número de vértices (V).Número de aristas (A).

C + VA + 2

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A.- PRI SMA B.- PRI SMA C.- PRI SMA D.- PRI SMATRI ANGULAR CUADRANGULAR PENTAGONAL EXAGONAL

E.- PI RÁMI DE F.- PI RÁMI DEE.- PI RÁMI DE F.- PI RÁMI DE G.- PI RÁMI DE H.- PI RÁMI DETRI ANGULAR CUADRANGULAR PENTAGONAL EXAGONAL


En un poliedro, se llama orden de un vértice cualquiera al número de aristas que concurren en el mismo. Así, por ejemplo, en un cubo todos y cada uno de los ocho vértices son de orden tres. Estudia los órdenes de los vértices de los prismas y pirámides de la figura anterior y expresa por escrito la regularidad o ley que se cumple:

a.-) Para cualquier prisma:

b.-) Para cualquier pirámide:

¿ Una pirámide siempre tiene un vértice, opuesto a la base, de orden igual al número de lados de la base ?

Estudia detenidamente los poliedros de la figura siguiente ( troncos de pirámide y bipirámides ). Las líneas ocultas aparecen con trazo más fino para favorecer la visualización de cada poliedro. Deduce, para cada uno de ellos, el número de caras (C), vértices (V) y aristas (A), así como los tipos de vértices de cada poliedro, según su orden .

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Completa la siguiente tabla:

TRONCOS DE PIRÁMIDE

BIPIRÁMIDES

A B C D E F G HNúmero de caras (C).

Número de vértices (V).Número de aristas (A). 15

¿ Se cumple C + V = A + 2 ?

Tiene vértices de órdenes...3 4 y

6¿ Todos los vértices son del

mismo orden ?SI NO

¿ Qué ley se cumple tanto para prismas como para troncos de pirámide en relación con el orden de sus vértices ?

* Completa las siguientes frases relativas a propiedades de los poliedros de las figuras anteriores:

a.- Un prisma pentagonal tiene dos caras opuestas paralelas de forma ........................... llamadas bases y ................. caras laterales con forma de ................................ ..

b.- Las caras laterales, en cualquier prisma, tienen forma ..................................... .

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H

A B C D

E F G

TRONCOS DE PIRÁMIDE

BIPIRÁMIDES


c.- Todos los vértices de un prisma son de orden ............. .

d.- Un prisma tendrá todas sus caras rectangulares sólo si sus basestienen ..................................................................... .

e.- Las caras laterales de una pirámide tienen, siempre, forma ...............................

f.- Una pirámide tiene tantas caras laterales como .......................... tiene la ..........................................

g.-Una pirámide siempre tiene un vértice de orden igual al ........................... .................................................................................................... .

h.- Una pirámide siempre tiene un vértice por encima de la ....................................

i.- En un tronco de pirámide las caras laterales tienen siempre forma de ..................................................

j.- En un tronco de pirámide las bases tienen la misama forma pero ................................................................................................................................... .

k.- Todos los ........................... de un prisma y de un tronco de pirámide son de igual orden.

l.- En una bipirámide todas las ............................ tienen forma .............................................................

m.- Una bipirámide siempre tiene un número par de .......................................... .

* Define las siguientes clases de poliedros:

PRISMAS :

PIRÁMIDES :

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TRONCOS DE PIRÁMIDE :

BIPIRÁMIDES :

En cada caso se quita al cubo el poliedro resaltado. Dibuja debajo, para cada caso, el poliedro resultante y resáltalo.

El poliedro resultante en C, ¿qué fracción de cubo es?

El poliedro resultante en D, ¿qué fracción de cubo es?

El poliedro resultante en G, ¿qué fracción de cubo es?

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A B C D E

F G H I J


El poliedro resultante en D, ¿qué fracción de cubo es?

Los poliedros de la figura siguiente se han formado componiendo poliedros de los obtenidos por tí en la figura anterior. Algunos de ellos también tienen cubitos enteros. Así, por ejemplo,

POLIEDRO 10 = 19 CUBITOS ENTEROS + 8 POLIEDROS B(correspondientes a la figura anterior ). Estúdialos detenidamente y halla la composición de cada uno de ellos:

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POLIEDRO 1 =

POLIEDRO 2 =

POLIEDRO 3 =POLIEDRO 4 =

POLIEDRO 5 =

22

POLIEDRO 1 POLIEDRO 2 POLIEDRO 3





POLIEDRO 6 =

POLIEDRO 7 =

POLIEDRO 8 =

POLIEDRO 9 =

POLIEDRO 10 =

POLIEDRO 11 =

POLIEDRO 12 =

Hay cuerpos tridimensionales que no son poliedros porque no están delimitados por caras. Así, por ejemplo, no se puede decir cuántas caras

tiene una esfera. Nos referimos a los cuerpos de revolución, que se obtienen al girar polígonos alrededor de un eje...

La esfera, el cilindro y el cono son ejemplos de cuerpos que se obtienen haciendo girar polígonos alrededor de un eje:

un semicírculo, en el caso de la esfera; un , en el caso del cilindro; un , en el caso del cono.La figura siguiente ilustra, en varias fases, lo que pasaría si hiciéramos

girar un triángulo rectángulo alrededor de un eje paralelo a uno de sus lados y separado del mismo.

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Describe el cuerpo de revolución que se obtiene:

Una “rosquilla” es, también, un cuerpo de revolución. Explica cómo se puede obtener:

¿Qué cuerpos de revolución aparecerán al hacer girar las siguientes figuras con respecto a los ejes que se indican? Une, mediante flechas, las superficies de revolución (1, 2, 3 Y 4) con los sólidos de revolución (A, B, C y D) correspondientes:

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1 2 3 4

A B C D


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