Jürgen Roth Didaktik der Linearen Algebra und … · Jürgen Roth • Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie Kapitel 5: Skalarprodukt • 5.2 ... Aspekte des Skalarprodukts

Kapitel 5: Skalarprodukt • 5.1Jürgen Roth • Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie

Didaktik der Linearen Algebra

und Analytischen Geometrie

Modul 12a: Fachdidaktische Bereiche

Jürgen Roth

juergen-roth.de/lehre/did_linalg_anageo/

http://www.juergen-roth.de/lehre/did_linalg_anageo/


Inhalte

Didaktik der Linearen Algebra

und Analytischen Geometrie

0 Organisatorisches

1 Ziele und Inhalte

2 Algebraisieren des Anschauungsraums

3 Modellieren und Angewandte Mathematik

4 Kegelschnitte

5 Skalarprodukt – Längen und Winkel messen


Kapitel 5: Skalarprodukt – Längen

und Winkel messen

Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie


Inhalte

Kapitel 5: Skalarprodukt

5.1 Aspekte des Skalarprodukts im MU

5.2 Skalarprodukt und Messen

5.3 Arithmetischer Zugang zum Skalarprodukt

5.4 Geometrische Deutung des Skalarprodukts

5.5 Produktive Übungen und systematische Variation

5.6 Geometrische Eigenschaften des Skalarprodukts

5.7 Skalarprodukt im Kontext


Inhalte










Aspekte des Skalarprodukts

im Mathematikunterricht

Skalar-produkt

Arithmetischer Zugang

Geometrische Deutung

Idee:Längen und

Winkel messen

Zahlen und Vektoren

vermessen

Kontext und produktive Übungen

Schacht, F. (2014): Ganz schön verMESSEN! – Das Skalarprodukt aus der Perspektive des Messens. Praxis der Mathematik in der

Schule 56(55), S. 32-38


Skalarprodukt

Skalarprodukt: Weitere Struktur in einem Vektorraum

Um in einem Vektorraum Längen und Winkel messen zu können,

muss eine weitere Struktur, das Skalarprodukt, hinzugefügt werde.

⇒ Euklidischer Vektorraum

Anwendungen des Skalarprodukts

AbstandsbestimmungPunkt ↔ Gerade, Ebene ↔ Gerade

paralleler Geraden (z. B. zur Flächenberechnung)

Windschiefer Geraden

Berechnung von Schnittwinkeln Gerade ↔ Gerade, Ebene ↔ Ebene

Prüfen auf OrthogonalitätGerade ↔ Gerade, Ebene ↔ Ebene

BestimmungNormalenvektor, Normalengleichung einer Ebene


Inhalte










Skalarprodukt und Messen

Schmidt et al. (2010). Mathematik Neue Wege. Arbeitsbuch für Gymnasien – Lineare Algebra – Analytische Geometrie.

Braunschweig: Schroedel, S. 140-142






















Inhalte










Arithmetischer Zugang:

Bsp. ModelleisenbahnbauFiller, A. (2011). Elementare Lineare Algebra. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S. 100

Preis

2,40 €

2,70 €

6,29 €

17,98 €

17,98 €

12,98 €



Bsp. ModelleisenbahnbauFiller, A. (2011). Elementare Lineare Algebra. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S. 100/122

Preis

2,40 €

2,70 €

6,29 €

17,98 €

17,98 €

12,98 €

TeilevektorStückliste Erg.-

sortiment 2:

𝑒2 =

1581224

Preisvektor

Ԧ𝑝 =

2,402,706,2917,9817,9812,98

Gesamtpreis eines SortimentsSumme der Produkte einander entspre-

chender Komponenten des Teile- und

des Preisvektors

15 ⋅ 2,40 + 8 ⋅ 2,40 + 1 ⋅ 6,29+ 2 ⋅ 17,98 + 2 ⋅ 17,98 + 5 ⋅ 12,98= 187,73 (in €)

Die Produktsumme, die den Gesamtpreis ergibt,

nennen wir Skalarprodukt der Vektoren 𝒆𝟐 und 𝒑.



Definition Skalarprodukt

Definition

Als Skalarprodukt zweier Vektoren 𝑢, Ԧ𝑣 ∈ ℝ𝑛 mit

𝑢 =

𝑢1𝑢2⋮𝑢𝑛

und Ԧ𝑣 =

𝑣1𝑣2⋮𝑣𝑛

wird die Summe der Produkte der einander entsprechenden

Komponenten von 𝑢 und Ԧ𝑣 bezeichnet:

𝑢 ⋅ Ԧ𝑣 = 𝑢1 ⋅ 𝑣1 + 𝑢2 ⋅ 𝑣2 +⋯+ 𝑢𝑛 ⋅ 𝑣𝑛 =

𝑖=1

𝑛

𝑢𝑖 ⋅ 𝑣𝑖

Filler, A. (2011). Elementare Lineare Algebra. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S. 122



Definition Skalarprodukt

Bemerkungen

Der Name Skalarprodukt kommt daher, dass zwei Vektoren

ein Skalar, d. h. eine reelle Zahl zugeordnet wird.

Beim Rechnen mit Vektoren treten damit nun drei Arten von

Produkten auf, für die jeweils das Zeichen „⋅“ verwendet wird:

das Produkt zweier reeller Zahlen,

das Produkt eines Vektors mit einer reellen Zahl,

das Skalarprodukt zweier Vektoren.

Was das Zeichen „⋅“ jeweils bedeutet, ergibt sich aus der Art von

Objekten (Vektoren oder reelle Zahlen), zwischen denen es steht.



Inhalte











des Skalarprodukts

Abstand zweier Punkte der Ebene

Für den Abstand zweier Punkte

𝑃1 𝑥1; 𝑦1 und 𝑃2 𝑥2; 𝑦2 der Ebene

ergibt sich mit dem Satz des

Pythagoras:

𝑃1𝑃2 = 𝑥2 − 𝑥12 + 𝑦2 − 𝑦1

2




des Skalarprodukts

Abstand zweier

Punkte des Raums

Für den Abstand zweier

Punkte 𝑃1 𝑥1; 𝑦1; 𝑧1 und

𝑃2 𝑥2; 𝑦2; 𝑧2 des Raums

ergibt sich

(zweimaliges Anwenden

des Satzes des Pythagoras):

𝑃1𝑃2 = 𝑥2 − 𝑥12 + 𝑦2 − 𝑦1

2 + 𝑧2 − 𝑧12




des Skalarprodukts

Darstellung von Vektoren

Der Abstand zweier

Punkte 𝑃1 𝑥1; 𝑦1; 𝑧1 und

𝑃2 𝑥2; 𝑦2; 𝑧2 des Raums

entspricht der Länge des

Pfeils 𝑃1𝑃2.

Wird ein Vektor Ԧ𝑝 durch

den Pfeil 𝑃1𝑃2 repräsentiert,

dann kann man diesen

Vektor auch so darstellen:

Ԧ𝑝 = 𝑃1𝑃2 =

𝑥𝑝𝑦𝑝𝑧𝑝

=

𝑥2 − 𝑥1𝑦2 − 𝑦1𝑧2 − 𝑧1




des Skalarprodukts

Betrag (Länge) eines Vektors

Bildet man das Skalarprodukt

eines Vektors

Ԧ𝑝 = 𝑃1𝑃2 =

𝑥𝑝𝑦𝑝𝑧𝑝

=

𝑥2 − 𝑥1𝑦2 − 𝑦1𝑧2 − 𝑧1

mit sich selbst, so erhält man

Ԧ𝑝 ⋅ Ԧ𝑝 = 𝑥𝑝 ⋅ 𝑥𝑝 + 𝑦𝑝 ⋅ 𝑦𝑝 + 𝑧𝑝 ⋅ 𝑧𝑝

= 𝑥2 − 𝑥12 + 𝑦2 − 𝑦1

2 + 𝑧2 − 𝑧12

= 𝑥2 − 𝑥12 + 𝑦2 − 𝑦1

2 + 𝑧2 − 𝑧12

2= 𝑃1𝑃2

2

Definition

Als Betrag eines Vektors Ԧ𝑣 bezeichnet man die Wurzel aus

dem Skalarprodukt dieses Vektors mit sich selbst:

Ԧ𝑣 = Ԧ𝑣 ⋅ Ԧ𝑣 = Ԧ𝑣2



Inhalte










Produktive Übungen nutzen

die systematische VariationSchacht, F. (2014): Ganz schön verMESSEN! – Das Skalarprodukt aus der Perspektive des Messens. In: Praxis der Mathematik in

der Schule, Heft 55, 56. Jahrgang, S. 32-38


Produktive Übungen nutzen

die systematische VariationSchacht, F. (2014): Ganz schön verMESSEN! – Das Skalarprodukt aus der Perspektive des Messens. Praxis der Mathematik in der

Schule 56(55), S. 32-38


Inhalte










Geometrische Eigenschaften

des Skalarprodukts

Satz über die Orthogonalität von Vektoren

Zwei Vektoren 𝑢 und Ԧ𝑣 sind genau dann

orthogonal, wenn 𝑢 ⋅ Ԧ𝑣 = 0 gilt.

Beweis

Von zwei Vektoren

𝑢 =

𝑥𝑢𝑦𝑢𝑧𝑢

und Ԧ𝑣 =

𝑥𝑣𝑦𝑣𝑧𝑣

ist keiner der Nullvektor.

(Wenn 𝑢 = Ԧ𝑜 oder Ԧ𝑣 = Ԧ𝑜, dann folgt 𝑢 ⋅ Ԧ𝑣 = 0 direkt

aus der Definition des Skalarprodukts.)

Betrachte die Pfeile 𝑂𝑈 und 𝑂𝑉 die Repräsentanten von 𝑢 bzw. Ԧ𝑣sind und deren Anfangspunkt der Koordinatenursprung ist.

Die Vektoren 𝑢 und Ԧ𝑣 sind genau dann orthogonal, wenn das

Dreieck ∆𝑈𝑉𝑂 bei 𝑂 rechtwinklig ist.

Nach dem Satz des Pythagoras und seiner Umkehrung ist das

genau dann der Fall, wenn 𝑂𝑈 2 + 𝑂𝑉 2 = 𝑈𝑉 2 gilt.

Filler, A. (2011). Elementare Lineare Algebra. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S. 126f



des Skalarprodukts

Satz über die Orthogonalität von Vektoren

Zwei Vektoren 𝑢 und Ԧ𝑣 sind genau dann

orthogonal, wenn 𝑢 ⋅ Ԧ𝑣 = 0 gilt.

Beweis (Fortsetzung)

Zu zeigen: 𝑂𝑈 2 + 𝑂𝑉 2 = 𝑈𝑉 2

𝑂𝑈 2 = 𝑢 2

𝑂𝑉 2 = Ԧ𝑣 2

𝑈𝑉 2 = Ԧ𝑣 − 𝑢 2 = 𝑥𝑣 − 𝑥𝑢2 + 𝑦𝑣 − 𝑦𝑢

2 + 𝑧𝑣 − 𝑧𝑢2

= 𝑥𝑣2 − 2𝑥𝑢𝑥𝑣 + 𝑥𝑢

2 + 𝑦𝑣2 − 2𝑦𝑢𝑦𝑣 + 𝑦𝑢

2 + 𝑧𝑣2 − 2𝑧𝑢𝑧𝑣 + 𝑧𝑢

2

= 𝑥𝑢2 + 𝑦𝑢

2 + 𝑧𝑢2 + 𝑥𝑣

2 + 𝑦𝑣2 + 𝑧𝑣

2 − 2 ⋅ (𝑥𝑢𝑥𝑣 + 𝑦𝑢𝑦𝑣 + 𝑧𝑢𝑧𝑣)

= 𝑢 2 + Ԧ𝑣 2 − 2 ⋅ 𝑢 ⋅ Ԧ𝑣 = 𝑂𝑈 2 + 𝑂𝑉 2 − 2 ⋅ 𝑢 ⋅ Ԧ𝑣

Damit gilt 𝑂𝑈 2 + 𝑂𝑉 2 = 𝑈𝑉 2 genau dann, wenn 𝑢 ⋅ Ԧ𝑣 = 0.

Genau in diesem Fall sind die Vektoren 𝑢 und Ԧ𝑣 orthogonal.




des Skalarprodukts

Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

Für beliebige Vektoren 𝑢 und Ԧ𝑣 gilt:

𝑢 ⋅ Ԧ𝑣 ≤ 𝑢 ⋅ Ԧ𝑣

Satz über das Skalarprodukt kollinearer Vektoren

Für zwei kollineare und gleichorientierte Vektoren 𝑢 und Ԧ𝑣 gilt:

𝑢 ⋅ Ԧ𝑣 = 𝑢 ⋅ Ԧ𝑣

Für zwei kollineare und entgegengesetzt orientierte Vektoren

𝑢 und Ԧ𝑣 gilt:

𝑢 ⋅ Ԧ𝑣 = − 𝑢 ⋅ Ԧ𝑣

Filler, A. (2011). Elementare Lineare Algebra. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S. 124ff



des Skalarprodukts

Skalarprodukt und Winkel zwischen Vektoren

Der Betrag des Skalarprodukts zweier Vektoren ist also

maximal, wenn die Vektoren kollinear und

minimal (nämlich Null), wenn die Vektoren orthogonal sind.

Damit liegt nahe, dass das Skalarprodukt von den Beträgen

und dem Zwischenwinkel der Vektoren anhängt.

Der Winkel zwischen zwei Vektoren 𝑢 und Ԧ𝑣 ist der Winkel

zwischen zwei repräsentierenden Pfeilen 𝑃𝑈 und 𝑃𝑉 mit

demselben Anfangspunkt 𝑃.




des Skalarprodukts


Lot von 𝑉 auf die Gerade 𝑈𝑃 fällen. 𝑉1 ist der Lotfußpunkt.

Ԧ𝑣 = Ԧ𝑣1 + Ԧ𝑣2 (vgl. Abbildungen)

𝑢 ⋅ Ԧ𝑣 = 𝑢 ⋅ Ԧ𝑣1 + Ԧ𝑣2 = 𝑢 ⋅ Ԧ𝑣1 + 𝑢 ⋅ Ԧ𝑣2=0

wegen 𝑢⊥𝑣2

= 𝑢 ⋅ Ԧ𝑣1 #

𝑢 und Ԧ𝑣1 können abhängig von ihrem Zwischenwinkel 𝜑 (mit 0 ≤𝜑 ≤ 180°) gleich (𝜑 < 90°) oder entgegengesetzt (90° < 𝜑 < 180°) orientiert sein.




des Skalarprodukts


Seien 𝑢 und Ԧ𝑣1 gleichorientiert, dann gilt nach dem Satz über

das Skalarprodukt gleichorientierter, kollinearer Vektoren:

𝑢 ⋅ Ԧ𝑣1 = 𝑢 ⋅ Ԧ𝑣1 ∗

Im rechtwinkligen Dreieck Δ𝑃𝑉1𝑉 gilt

cos 𝜑 =|𝑣1|

𝑣bzw. Ԧ𝑣1 = Ԧ𝑣 ⋅ cos 𝜑 ∗∗

Damit folgt: 𝑢 ⋅ Ԧ𝑣 ฎ=#

𝑢 ⋅ Ԧ𝑣1 ฎ=∗

𝑢 ⋅ Ԧ𝑣1 ฎ=∗∗

𝑢 ⋅ Ԧ𝑣 ⋅ cos 𝜑




des Skalarprodukts

Satz

Für das Skalarprodukt zweier Vektoren 𝑢 und Ԧ𝑣, ihre Beträge

𝑢 , Ԧ𝑣 und den Winkel 𝜑 = ∠ 𝑢, Ԧ𝑣 gilt:

𝑢 ⋅ Ԧ𝑣 = 𝑢 ⋅ Ԧ𝑣 ⋅ cos 𝜑 ∗




des Skalarprodukts

Winkel zwischen zwei Vektoren

Wenn 𝑢 =

𝑥𝑢𝑦𝑢𝑧𝑢

und Ԧ𝑣 =

𝑥𝑣𝑦𝑣𝑧𝑣

zwei Vektoren des Raumes sind,

dann ergibt sich:

cos ∠ 𝑢, Ԧ𝑣 =𝑢 ⋅ Ԧ𝑣

𝑢 ⋅ Ԧ𝑣=

𝑥𝑢 ⋅ 𝑥𝑣 + 𝑦𝑢 ⋅ 𝑦𝑣 + 𝑧𝑢 ⋅ 𝑧𝑣

𝑥𝑢2 + 𝑦𝑢

2 + 𝑧𝑢2 ⋅ 𝑥𝑢

2 + 𝑦𝑢2 + 𝑧𝑢

2



Präsenzübung

Winkelbestimmung

Bestimmen Sie den Winkel

zwischen der Seite 𝐴𝐵und der Raumdiagonalen

[𝐴𝐺].

Lösungshinweis

𝐴𝐵 =400

, 𝐴𝐵 =432

cos ∠ 𝐴𝐵, 𝐴𝐺 =𝐴𝐵 ⋅ 𝐴𝐺

𝐴𝐵 ⋅ 𝐴𝐺=

4 ⋅ 4 + 0 ⋅ 3 + 0 ⋅ 2

42 + 02 + 02 ⋅ 42 + 32 + 22=

16

4 ⋅ 29

⇒ ∠ 𝐴𝐵, 𝐴𝐺 ≈ 42°


Inhalte










Skalarprodukt im Kontext

Nägel und Schrauben

Eine Firma produziert Nägel und Schrauben, die im Verkauf jeweils

1 € (Nägel) bzw. 2 € (Schrauben) kosten. Du kaufst 10 Nägel und 10Schrauben – es entsteht ein Gesamtbetrag von 30 €. Solche

Rechnungen lassen sich mit Kostenvektoren und Stückzahlvektoren

darstellen, die sich miteinander verknüpfen lassen:

10

10⋅1

2= 10 ⋅ 1 + 10 ⋅ 2 = 30

a) Angenommen, du möchtest für 30 € Schrauben & Nägel kaufen.

Welche Möglichkeiten hast du jeweils, Schrauben für 2 € und

Nägel für 1 € zu kaufen? Stelle unterschiedliche Stückzahl-

vektoren auf und zeichne sie in der Ebene ein.

b) Begründe inwiefern die verschiedenen Stückzahlvektoren

zusammenhängen. Was fällt dir auf?

c) Zeichne den Kostenvektor 12

im Koordinatensystem ein.

Wie hängt dieser mit den Stückzahlvektoren zusammen?

Schacht, F. (2014): Ganz schön verMESSEN! – Das Skalarprodukt aus der Perspektive des Messens. Praxis der Mathematik in der

Schule 56(55), S. 32-38


Skalarprodukt im Kontext

geogebra/Skalarprodukt_Naegel_Schrauben.ggb

geogebra/Skalarprodukt_Naegel_Schrauben.ggb

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