Kalkulus 2 - Grænseovergange, Følger og Kontinuitettalentcamp.dk/sites/default/files/materiale/slides.pdf · Kalkulus 2 - Grænseovergange, Følger og Kontinuitet Mads Friis, stud.scient

t a l e n t c a m p d k

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Følger og Kontinuitet

Mads Friis, stud.scient

14. januar 2015Slide 1/23

Kalkulus 2 -Grænseovergange,

Følger og Kontinuitet


Grundlæggendeuligheder

Grænseovergange

Kontinuitet

Følger

Perspektivering


Indhold

1 Grundlæggende uligheder

2 Grænseovergange

3 Kontinuitet

4 Følger

5 Perspektivering






Grænseovergange

Kontinuitet

Følger

Perspektivering


Grundlæggende ulighederCauchy-Schwarz (u)lighedLad x, y ∈ R. Da gælder

|x · y | = |x | · |y |

TrekantsulighedenLad x, y ∈ R. Da gælder

|x + y | ≤ |x |+ |y |

SætningLad x ∈ R og antag ∀ε > 0 : |x | < ε. Da er

x = 0

Bernoullis ulighedLad x ∈ R og n ∈ N. Da haves for x ≥ −1 at

(1 + x)n ≥ 1 + nx

AM-GM ulighedenLad x1, x2, . . . xn ∈ R+. Da haves

x1 + x2 + . . .+ xn

n≥

n√x1x2 . . . xn






Grænseovergange

Kontinuitet

Følger

Perspektivering


Intuition om GrænseovergangeDefinition (Intuitiv):Lad f : X → R, hvor X ⊂ R, være en funktion. Lad a ∈ R være et punkt, så f er defineretvilkårligt tæt ved a. Vi siger da at f konvergerer mod et tal b ∈ R, hvis f(x) nærmer sig b,når x nærmer sig a. Vi skriver

f(x)→ b , for x → a

Såfremt der ikke eksisterer et b ∈ R som herover, da siger vi f divergerer i a.






Grænseovergange

Kontinuitet

Følger

Perspektivering


Intuition om Grænseovergange - EksemeplBetragt funktionen f : [−1,∞) \ {0} → R givet ved

f(x) =√

x + 1 − 1x

x −0.1 −0.01 −0.001 0 0.001 0.01 0.1f(x) 0.5131 0.5012 0.5001 ? 0.4998 0.4987 0.4880






Grænseovergange

Kontinuitet

Følger

Perspektivering


Intuition om Grænseovergange - EksempelBetragt funktionen g : R \ {0} → R givet ved

g(x) =sin x

x

x −1 −0.1 −0.01 0 0.01 0.1 1g(x) 0.8415 0.9983 0.9999 ? 0.9999 0.9983 0.8415






Grænseovergange

Kontinuitet

Følger

Perspektivering


Intuition om Grænseovergange - EksempelBetragt funktionen h : R \ {0} → R givet ved

h(x) = sin(π

x

)

x −1 −0.1 −0.01 0 0.01 0.1 1h(x) 0 0 0 ? 0 0 0






Grænseovergange

Kontinuitet

Følger

Perspektivering


Definition af GrænseovergangeDefinition (Stringent)Lad f : X → R, hvor X ⊂ R, være en funktion og lad a ∈ R. Vi siger da, at f konvergerermod b ∈ R, hvis

∀ε > 0∃δ > 0∀x ∈ X : |x − a | < δ⇒ |f(x) − b | < ε

Vi noterer dette limx→a f(x) = b.






Grænseovergange

Kontinuitet

Følger

Perspektivering


Definition af GrænseovergangeDefinition (Stringent fortsat)Lad f : R→ R være en funktion og lad a, b ∈ R. Vi siger da f går mod uendeligt for xgående mod a, hvilket vi noterer limx→a f(x) = ∞, hvis

∀K > 0∃δ > 0∀x ∈ X : |x − a | < δ⇒ f(x) > K

Tilsvarende siger vi f konvergerer mod b for x gående mod uendeligt, hvilket vi notererlimx→∞ f(x) = b, hvis

∀ε > 0∃M > 0∀x ∈ X : x > M ⇒ |f(x) − b | < ε






Grænseovergange

Kontinuitet

Følger

Perspektivering


Resultater om GrænseovergangeEntydighed af grænseovergange Antag f : X → R har en grænseværdi for x gåendemod a ∈ X . Da er denne grænseværdi entydigt bestemt.

Klemme-Lemma’et Lad f , g, h : X → R være funktioner med X ⊂ R. Antag at de opfylderrelationen

f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), for alle x ∈ X

For et a ∈ X , antag limx→a f(x) = limx→a h(x) = b. Da gælder

limx→a

g(x) = b

Eksempel: Vi ser tilbage på grænseovergangen

limx→0

sin xx

som vi nu har tilstrækkelige redskaber til at beregne.






Grænseovergange

Kontinuitet

Følger

Perspektivering


Konstruktion af grænseovergangeDet viser sig, at konvergerende grænseovergange respekterer de sædvanligeregneregler.

Sætning Lad f , g være defineret i nærheden af a ∈ R. Antag limx→a f(x) = F oglimx→a g(x) = G. Da gælder

a) limx→a f(x) + g(x) = F + G.

b) limx→a c · f(x) = cF for et c ∈ R.

c) limx→a f(x) · g(x) = F · G.

d) limx→af(x)g(x) = F

G , forudsat G , 0.

e) Lad f : X → Y og g : Y → Z med X ,Y ,Z ⊂ R. Antag limx→a f(x) = b oglimy→b g(y) = G. Da gælder

limx→a

g(f(x)) = G






Grænseovergange

Kontinuitet

Følger

Perspektivering


Intuition om KontinuitetDefinition (Intuitiv)Begrebet kontinuitet dækker over en formalisering af den intuitive egenskab at enfunktion kan være sammenhængende - vi kan med andre ord tegne grafen for en funktionuden at løfte blyanten, såfremt funktionen er kontinuert!






Grænseovergange

Kontinuitet

Følger

Perspektivering


Definition af KontinuitetDefinition (Stringent) Lad f : X → R være en reel funktion, hvor X ⊂ R. Vi siger da f erkontinuert i a ∈ X hvis

∀ε > 0∃δ > 0∀x ∈ X : |x − a | < δ⇒ |f(x) − f(a)| < ε

I termer af grænseovergange kan vi formulere dette

limx→a

f(x) = f(a)

Hvis f er kontinuert i alle punkter x ∈ X , da siger vi f er kontinuert.






Grænseovergange

Kontinuitet

Følger

Perspektivering


Konstruktion af kontinuerte funktionerDet viser sig, at kontinuerte funktioner respekterer de sædvanlige regneoperationer.

Sætning Lad f , g : X → R være kontinuerte i a ∈ X . Da gælder

a) Funktionen x 7→ f(x) + g(x) er kontinuert i a.

b) Funktionen x 7→ f(x) · g(x) er kontinuert i a.

c) Funktionen x 7→ f(x)g(x) er kontinuert i a, hvis g(a) , 0.

d) Sæt Y = f(X) og definer h : Y → R og antag h er kontinuert i f(a). Da er h ◦ fkontinuert i a.






Grænseovergange

Kontinuitet

Følger

Perspektivering


Intuition om FølgerEn talfølge er en uendelig følge af tal

a1, a2, a3, a4, . . . ai ∈ R

som vi noterer (an)n∈N eller blot (an).

Følgende er mere eller mindre eksotiske eksempler på følger:

(an), hvor ai = i2

(bn), hvor bi =1i

(cn), hvor c1 = 1, c2 = 1 og ci = ci−2 + ci−1 for i ≥ 3

(dn), hvor di =i − 1

i






Grænseovergange

Kontinuitet

Følger

Perspektivering


Definition af FølgerDefinition (Stringent)En følge (xn) kan formuleres i termer af en funktion f : N→ R givet ved forskriften

f(n) = xn

Definition Lad (xn) være en følge. Vi siger at (xn) er konvergent med grænseværdix ∈ R såfremt

∀ε > 0∃N ∈ N∀n ∈ N : n ≥ N ⇒ |xn − x | < ε

Hvis ikke der findes et sådant x siger vi (xn) er divergent.






Grænseovergange

Kontinuitet

Følger

Perspektivering


Følgekonvergens og KontinuitetSætning Lad f : X → R med X ⊂ R være en funktion. Da er f kontinuert hvis og kun hvisder om enhver følge (xn) med limn→∞ xn = a gælder limn→∞ f(xn) = f(a).

Eksempel: Vi viser at funktionen f : R \ {0} → R givet ved

f(x) = sin(π

x

)ikke kan plomberes, så den bliver kontinuert.






Grænseovergange

Kontinuitet

Følger

Perspektivering


Resultat om konvergens af FølgerDefinition Lad (xn) være en begrænset følge, det vil sige der finde M ∈ R, så

|xn | < M, for alle n ∈ N

Da findes et tal x, som er det mindste tal, der er større end xn for alle n ∈ N. Vi notererdette

x = sup{xn | n ∈ N}

Sætning Lad (xn) være en voksende, begrænset følge. Da er (xn) konvergent med

limn→∞

xn = sup{xi | i ∈ N}






Grænseovergange

Kontinuitet

Følger

Perspektivering


Definition af eBetragt følgen (xn) bestemt ved

xn =

(1 +

1n

)n

Vi viser (xn) er strengt voksende.Betragt følgen (yn) bestemt ved

yn =

(1 +

1n

)n+1

Vi viser (yn) er strengt aftagende.






Grænseovergange

Kontinuitet

Følger

Perspektivering


Definition af eDefinition Det naturlige tal e defineres ved

e := limn→∞

(1 +

1n

)n

og kan approksimeres til e ' 2, 7183.

Sætning For alle x ∈ R gælder følgende ulighed

ex ≥ x + 1

Sætning Funktionen f : R→ R+ givet ved forskriften f(x) = ex er bijektiv.






Grænseovergange

Kontinuitet

Følger

Perspektivering


Definition af lnDefinition Lad stadig f : R→ R+ være givet ved f(x) = ex . vi definerer nu funktioneng : R+ → R som den entydigt bestemte funktion, der opylder

∀x ∈ R : g ◦ f(x) = x og ∀y ∈ R+ : f ◦ g(y) = y

Vi vil fremover angive betegne g som ln (læs: den naturlige logaritme).

Sætning For alle x ∈ R+ gælder følgende ulighed

ln(x) ≤ x − 1






Grænseovergange

Kontinuitet

Følger

Perspektivering


Definition af MetrikDefinition Lad M være en ikke-tom mængde. En funktion d : M ×M → R kaldes enmetrik, hvis d opfylder følgende betingelser for vilkårlige x, y, z ∈ M.

M1) d(x, y) ≥ 0 og d(x, y) = 0⇔ x = y

M2) d(x, y) = d(y, x)

M3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)

Eksempel: Lad os betragte funktionen d : R × R→ R defineret ved

d(x, y) =

1, hvis x , y0, hvis x = y

EksempelBetragt en funktion f : (R, | · |)→ (R, d). Antag f er kontinuert. Vi viser, at f er konstant.

Betragt en funktion f : (R, d)→ (R, | · |). Vi viser, at f er kontinuert.






Grænseovergange

Kontinuitet

Følger

Perspektivering


Riemann CirklenDefinition Definer χ : R∗ × R∗ → R ved

χ(x, y) =

|x−y |√(1+x2)(1+y2)

, for x, y ∈ R

1√1+x2

, for x ∈ R, y = ∞

1√1+y2

, for x = ∞, y ∈ R

0, for x, y = ∞

Sætning Enhver funktion f : (R, | · |)→ (R, d) er kontinuert under d = | · | hvis og kunhvis f ligeledes er kontinuert under d = χ.

Eksempel Vi viser slutteligt, at funktionen f : (R, | · |)→ (R∗, χ) givet ved

f(x) =

1x , for x , 0∞, for x = 0

er kontinuert i 0.


Documents

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Følger og Kontinuitettalentcamp.dk/sites/default/files/materiale/slides.pdf · Kalkulus 2 - Grænseovergange, Følger og Kontinuitet Mads Friis, stud.scient