Kalkulus Diferensial: Turunan dan Penerapannyapeople.usd.ac.id/~ydkristanto/wp-content/uploads/Turunan-dan-Penerapannya.pdfTurunan Sebagai Suatu Fungsi DEFINISI Turunan f didefinisikan

Turunan dan Penerapannya

Yosep Dwi Kristanto

Universitas Sanata DharmaY o g y a k a r t a

Integrat ing academic ex c e l lence and humanist i c value

Definisi Turunan

DEFINISI Turunan suatu fungsi f pada bilangan a, dinotasikan dengan f’(a), adalah

𝑓𝑓𝑓 𝑎𝑎 = limℎ→0

𝑓𝑓 𝑎𝑎 + ℎ − 𝑓𝑓 𝑎𝑎ℎ


Turunan Sebagai Suatu Fungsi

DEFINISI Turunan f didefinisikan sebagai berikut.

𝑓𝑓𝑓 𝑥𝑥 = limℎ→0

𝑓𝑓 𝑥𝑥 + ℎ − 𝑓𝑓 𝑥𝑥ℎ

untuk sembarang nilai x yang membuat nilai limit tersebut ada.


Fungsi Terdiferensialkan

DEFINISI Fungsi f terdiferensialkan di a jika f’(a) ada. Fungsi tersebut terdiferensialkan di selang buka (a, b) [atau (a, ∞) atau (–∞, a) atau (–∞, ∞)] jika fungsi tersebut terdiferensialkan di semua titik dalam selang tersebut.


Terdiferensialkan dan Kontinuitas

TEOREMA Jika f terdiferensialkan di a, maka f kontinu di a.


Bagaimana Bisa Fungsi Tidak Terdiferensialkan?

0 a x

y

0 a x

y

0 a x

y

(a) Runcing (b) Tidak kontinu (c) Garis singgung vertikal


Aturan-Aturan Turunan

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑐𝑐 = 0 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛−1

𝑐𝑐𝑓𝑓 ′ = 𝑐𝑐𝑓𝑓𝑓 𝑓𝑓 + 𝑔𝑔 ′ = 𝑓𝑓′ + 𝑔𝑔𝑓 𝑓𝑓 − 𝑔𝑔 ′ = 𝑓𝑓′ − 𝑔𝑔𝑓

𝑓𝑓𝑔𝑔 ′ = 𝑓𝑓𝑔𝑔′ + 𝑔𝑔𝑓𝑓𝑓 𝑓𝑓𝑔𝑔

′= 𝑔𝑔𝑓𝑓′−𝑓𝑓𝑔𝑔′

𝑔𝑔2


Turunan Fungsi-Fungsi Trigonometri

TEOREMA Untuk semua x dalam domain fungsi,𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

sin 𝑥𝑥 = cos 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

cos 𝑥𝑥 = − sin 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

tan 𝑥𝑥 = sec2 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

cot 𝑥𝑥 = − csc2 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

sec 𝑥𝑥 = sec 𝑥𝑥 tan 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

csc 𝑥𝑥 = − csc 𝑥𝑥 cot 𝑥𝑥


Aturan Rantai

Aturan Rantai Jika f(u) terdiferensialkan di titik u = g(x) dan g(x) terdiferensialkan di x, maka fungsi komposit (f ∘ g)(x) = f(g(x)) terdiferensialkan di x, dan

𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔 𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓𝑓 𝑔𝑔 𝑥𝑥 ⋅ 𝑔𝑔𝑓 𝑥𝑥Dalam notasi Leibniz, jika y = f(u) dan u = g(x), maka

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

=𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

⋅𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

dengan dy/du ditentukan di u = g(x).


Maksimum dan Minimum Absolut

DEFINISI Misalkan c adalah bilangan dalam doman D fungsi f. Maka f(c) merupakan• Nilai maksimum absolut dari f di D jika f(c) ≥ f(x)

untuk semua x di D.• Nilai minimum absolut dari f di D jika f(c) ≤ f(x)

untuk semua x di D.

Nilai maksimum dan minimum disebut sebagai nilai ekstrem.


Teorema Nilai Ekstrem

TEOREMA Jika f kontinu pada selang tutup [a, b], maka f memiliki nilai maksimum absolut f(c) dan nilai minimum absolut f(d) untuk beberapa bilangan c dan d di [a, b].


Maksimum dan Minimum Lokal

DEFINISI Misalkan c adalah bilangan dalam domain D fungsi f. Maka f(c) merupakan• Nilai maksimum lokal dari f jika f(c) ≥ f(x)

untuk semua x dalam beberapa selang buka yang memuat c.

• Nilai minimum lokal dari f jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x dalam beberapa selang buka yang memuat c.

c2c1 c3 x

yMaks lokal

Min lokal Min

lokal


Teorema Turunan Pertama untuk Nilai-Nilai Ekstrim LokalTEOREMA Jika f memiliki nilai maksimum atau minimum lokal di c dan f’(c) ada, maka f’(c) = 0.


Calon Titik Ekstrim Lokal

a bc d e

f’(d) = 0

f’(e) tidak ada

f’(c) tidak ada

x


Titik Kritis

DEFINISI Titik kritis suatu fungsi f adalah c dalam domain f sedemikian sehingga f’(c) = 0 atau f’(c) tidak ada.


Menentukan Maksimum dan Minimum AbsolutMETODE SELANG TUTUP Penentuan nilai maksimum dan minimum absolut fungsi kontinu pada selang tutup [a, b] dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut.1. Tentukan nilai f di titik-titik kritis pada (a, b).2. Tentukan nilai f di titik-titik ujung selang [a, b].3. Nilai terbesar dari nilai-nilai pada Langkah 1 dan 2 merupakan nilai

maksimum absolut; nilai terkecil dari nilai-nilai tersebut merupakan nilai minimum absolut.


Fungsi Naik dan Fungsi Turun

DEFINISI Suatu fungsi f dikatakan naik pada selang I jika

𝑓𝑓 𝑥𝑥1 < 𝑓𝑓 𝑥𝑥2 ketika 𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥2 dalam ISuatu fungsi f dikatakan turun pada selang Ijika

𝑓𝑓 𝑥𝑥1 > 𝑓𝑓 𝑥𝑥2 ketika 𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥2 dalam I

f turun: f(x1) > f(x2) ketika x1 < x2

x1 x20 x

yy = f(x)

x1 x20 x

yy = f(x)

f naik: f(x1) < f(x2) ketika x1 < x2


Uji Naik/Turun

TEOREMA(a) Jika f’(x) > 0 pada suatu selang, maka f naik pada selang tersebut.(b) Jika f’(x) < 0 pada suatu selang, maka f turun pada selang tersebut.


Nilai-Nilai Ekstrem Lokal

TEOREMA UJI TURUNAN PERTAMAMisalkan c adalah titik kritis fungsi kontinu f.(a) Jika f’ berubah dari positif ke negatif di c, maka f memiliki

maksimum lokal di c.(b) Jika f’ berubah dari negatif ke positif di c, maka f memiliki

minimum lokal di c.(c) Jika f’ positif di kiri dan kanan c, atau negatif di kiri dan kanan c,

maka f tidak memiliki maksimum lokal atau minimum lokal di c.


Kecekungan

DEFINISI Grafik fungsi terdiferensialkan y= f(x)(a) cekung ke atas pada selang I jika f’

naik pada I;(b) cekung ke bawah pada selang I jika

f’ turun pada I.0 x

y

y = x3

f’ turun

f’ naik


Uji Kecekungan

TEOREMA(a) Jika f”(x) > 0 untuk semua x dalam

I, maka grafik f terbuka ke atas pada I.

(b) Jika f”(x) < 0 untuk semua x dalam I, maka grafik f terbuka ke bawah pada I.

–1

y = x2

x

y

2

0

y” > 0 y” > 0


Titik Belok

DEFINISI Titik P pada kurva y = f(x) disebut titik belok jika f kontinu di titik tersebut, dan kecekungan kurvanya berubah (dari terbuka ke atas menjadi terbuka ke bawah, atau sebaliknya).


Uji Turunan Kedua

TEOREMA Misalkan f” kontinu di dekat c.(a) Jika f’(c) = 0 dan f”(c) > 0, maka f memiliki minimum lokal di c.(b) Jika f’(c) = 0 dan f”(c) < 0, maka f memiliki maksimum lokal di c.


Aturan L’Hôpital

Misalkan f dan g terdiferensialkan pada selang buka I yang memuat adengan g’(x) ≠ 0 pada I ketika x ≠ a. Jika lim

𝑑𝑑→𝑎𝑎𝑔𝑔 𝑥𝑥 = lim

𝑑𝑑→𝑎𝑎𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 0

maka

lim𝑑𝑑→𝑎𝑎

𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑔𝑔 𝑥𝑥

= lim𝑑𝑑→𝑎𝑎

𝑓𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑔𝑔𝑓 𝑥𝑥

dengan syarat limit bentuk yang di ruas kanan ada.


Latihan

1. Tentukan persamaan garis singgung kurva 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 6 𝑥𝑥 + 33 𝑥𝑥 di titik (1, 9).

2. Volume. Luas permukaan kubus dengan panjang rusuk l diberikan oleh rumus 6l2. Tentukan kecepatan perubahan luas permukaan kubus tersebut ketika l = 3.

3. Gerak Jatuh Bebas. Posisi objek yang jatuh bebas dengan kecepatan awal v0 dan ketinggian awal h0 adalah s(t) = –5t2 + v0t + s0. Sebuah bola dilempar ke bawah pada ketinggian 200 m dan kecepatan awal 8 m/s. Tentukan kecepatan bola tersebut saat menyentuh tanah.


Latihan

4. Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut.

(a) 𝑓𝑓 𝑠𝑠 = 3𝑠𝑠+14𝑠𝑠−3

(b) 𝑑𝑑 = sec7 𝑑𝑑7

− sec5 𝑑𝑑5

5. Diberikan fungsi 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 − 1 2 𝑥𝑥 − 3 . Tentukan selang buka ketika fungsi f tersebut naik atau turun.

6. Tentukan nilai ekstrem lokal fungsi-fungsi berikut.

(a) 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑑𝑑+4𝑑𝑑2

(b) ℎ 𝑡𝑡 = 𝑡𝑡 − 4 𝑡𝑡 + 1


Latihan

7. Luas Maksimum. Sebuah persegi panjang dibatasi oleh sumbu-x, sumbu-y, dan grafik 𝑑𝑑 = 3 − 1

2𝑥𝑥. Tentukan panjang dan lebar

persegi panjang tersebut agar luasnya maksimum.8. Seutas kawat dengan panjang 10 meter dipotong menjadi dua

bagian. Bagian pertama digunakan untuk membuat persegi sedangkan yang lain digunakan untuk membuat segitiga sama sisi. Bagaimana kawat tersebut dipotong agar menghasilkan luas total yang (a) maksimum? (b) minimum?


Daftar Pustaka

Briggs, W., Cochran, L., Gillett, B. (2015). Calculus: Early Transcendentals (2nd ed.). Boston, MA: Pearson.

Larson, R., Edwards, B. (2014). Calculus (10th ed.). Boston, MA: Brooks/Cole.

Stewart, J. (2016). Calculus (8th ed.). Boston, MA: Cengage Learning.Varberg, D., Purcell, E., Rogdon, S. (2007). Calculus (9th ed.). Upper

Saddle River, NJ: Pearson.

Documents

Kalkulus Diferensial: Turunan dan Penerapannyapeople.usd.ac.id/~ydkristanto/wp-content/uploads/Turunan-dan-Penerapannya.pdfTurunan Sebagai Suatu Fungsi DEFINISI Turunan f didefinisikan