Karnaugh & @2012,Eko Didik Peta Karnaugh Rangkaian …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/TSK205-Kuliah4-PetaKarnaugh-v3.pdf · Boolean I Aljabar Boolean: aksioma, teorema, ... I penyederhanaan

Rangkaian LogikaOptimal: PetaKarnaugh &Rangkaian

Multi-Keluaran

@2012,Eko DidikWidianto

Peta Karnaugh

RangkaianMulti-Keluaran

Lisensi

Rangkaian Logika Optimal: PetaKarnaugh & Rangkaian Multi-Keluaran

Kuliah#4 TSK205 Sistem Digital - TA 2011/2012

Eko Didik Widianto

Teknik Sistem Komputer - Universitas Diponegoro


Multi-Keluaran


Peta Karnaugh


Lisensi

Umpan Balik

I Sebelumnya dibahas tentang implementasi fungsi logikamenjadi suatu rangkaian logika (disebut proses sintesis),baik menggunakan tabel kebenaran, maupun aljabarBoolean

I Aljabar Boolean: aksioma, teorema, dan hukumI Diagram VennI Manipulasi aljabarI Sintesis ekspresi logika dari tabel kebenaranI Bentuk kanonik: minterm/SOP dan maxterm/POS beserta

notasinyaI Konversi SOP <-> POSI Rangkaian AND-OR, OR-ANDI Rangkaian NAND-NAND, NOR-NOR

I Rangkaian optimal diperoleh dengan penyederhanaanekspresi logika secara Aljabar


Multi-Keluaran


Peta Karnaugh


Lisensi

Tentang Kuliah

I Dalam kuliah ini, akan dibahas tentang rangkaian logikaoptimal, meliputi:

I penyederhanaan fungsi logika menggunakan petaKarnaugh

I strategi minimalisasi SOP/POSI fungsi dengan don’t careI rangkaian dengan banyak keluaran


Multi-Keluaran


Peta Karnaugh


Lisensi

Kompetensi Dasar

I Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa akan mampu:1. [C3] Mahasiswa akan mampu menggunakan don’t care

dalam peta Karnaugh2. [C6] Mahasiswa akan mampu mendesain rangkaian logika

optimal dengan menyederhanakan persamaan logikamenggunakan peta Karnaugh

3. [C6] Mahasiswa akan mampu mendesain rangkaian logikaoptimal dengan menggabungkan beberapa fungsi dalamsatu rangkaian multi-keluaran

I LinkI Website: http://didik.blog.undip.ac.id/2012/02/24/

kuliah-sistem-digital-tsk-205-2011/I Email: [email protected]

http://didik.blog.undip.ac.id/2012/02/24/kuliah-sistem-digital-tsk-205-2011/

http://didik.blog.undip.ac.id/2012/02/24/kuliah-sistem-digital-tsk-205-2011/

mailto:[email protected]


Multi-Keluaran


Peta Karnaugh


Lisensi

Bahasan

Peta KarnaughKarnaugh MapGrouping K-MapLiteral, Implicant, Cover dan CostRangkaian POS OptimalFungsi Tidak Lengkap

Rangkaian Multi-Keluaran

Lisensi


Multi-Keluaran


Peta KarnaughKarnaugh Map

Grouping K-Map

Literal, Implicant, Cover danCost

Rangkaian POS Optimal

Fungsi Tidak Lengkap


Lisensi

Rangkaian Optimal

I Rangkaian optimalI Cost rangkaian minimal: jumlah gerbang (dan transistor),

jumlah jalurI Fungsional terpenuhiI Constraint terpenuhi: delay, fanout (driving), area

I Rangkaian optimal bisa diperoleh dengan teknik:1. Penyederhanaan fungsi logika

I Menggunakan prinsip-prinsip Aljabar BooleanI Menggunakan Karnaugh Map

2. Penggunaan gerbang secara bersama untuk beberapafungsi sekaligus, membentuk rangkaian multi-keluaran


Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Lisensi

Bahasan



Lisensi


Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Lisensi

Prinsip Penyederhanaan

I Operasi penyederhanaan adalah mengurangi minterm atau maxterm diekspresi

I SOP: menggunakan hukum 14a (x · y + x · y = x)I POS: menggunakan hukum 14b ((x + y) · (x + y) = x)

I Beberapa minterm atau maxterm dapat digabungkan menggunakanhukum 14a atau 14b jika berbeda hanya di satu variabel sajaf(x1, x2, x3

)= x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3

m1 dan m5 berbeda di x1, dan m4 dan m6 berbeda di x2

f = x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3

=(x1 + x1

)x2x3 + x1(x2 + x2)x3

= x2x3 + x1x3

f(x, x, x

)=

(x + x + x

) (x + x + x

) (x + x + x

) (x + x + x

)M0 dan M2 berbeda di x2, dan M4 dan M7 berbeda di x1

f =((

x1 + x3)+ x2x2

) (x1x1 +

(x2 + x3

))=

(x1 + x3

) (x2 + x3

)


Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Lisensi

Peta Karnaugh

I Peta Karnaugh (K-map) menyediakan cara sistematik dan grafisuntuk mencari rangkaian SOP minimum (dan POS)

I Mencari minterm yang berbeda di satu variabelI Menggabungkan minterm sesuai hukum 14a untuk SOP

dan 14b untuk POSI K-map juga merupakan alternatif untuk menyatakan suatu

fungsi logika selain tabel kebenaran dan ekspresi logikaI K-map disusun atas sel-sel. Satu sel, satu minterm


Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Lisensi

Bahasan



Lisensi


Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Lisensi

Grouping K-Map

I Minterm-minterm yang berdekatan dapat dikombinasikankarena mereka hanya berbeda di satu variabel saja, disebutGrouping

I Grouping dilakukan dengan melingkari nilai ’1’ yang berdekatanI Melingkari dua nilai ’1’ bersama, berarti mengeliminasi satu

term dan satu variabel dari ekspresi outputI Variabel yang dieliminasi adalah yang mempunyai

perbedaan nilai di group, vertikal/horizontalI Group merah: x1 dieliminasi, Grup biru: x2 dieliminasi


Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Lisensi

Ketentuan dan Tips Grouping

I Hanya dapat mengkombinasikan nilai 1 yang berdekatanI Hanya dapat menggabungkan 2n minterm (1,2,4,8,16, dst)I Bentuk group sebesar mungkinI Group yang sudah dicover oleh group lain tidak perlu

digabungkan lagi


Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Lisensi

Contoh Grouping Fungsi 2 Variabel

I Sederhanakan: f =∑

m(0,3) dan f =∑

m(1,2)

I f =∑

m(0,3) = x1x2 + x1x2–> fungsi SOP tidak dapatdisederhanakan

I f =∑



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Lisensi



m(0,3) dan f =∑

m(1,2)

I f =∑


I f =∑



Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Lisensi



m(0,1) dan f =∑

m(1,3)

I f =∑

m(0,1) = x1x2 + x1x2 = x1, x2dieliminisi

I f =∑

m(1,3) = x1x2 + x1x2 = x2, x1dieliminasi


Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Lisensi



m(0,1) dan f =∑

m(1,3)

I f =∑

m(0,1) = x1x2 + x1x2 = x1, x2dieliminisi

I f =∑

m(1,3) = x1x2 + x1x2 = x2, x1dieliminasi


Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Lisensi



m(0,1,2) dan f =∑

m(1,2,3)

I f =∑

m(0,1,2) = x1x2 + x1x2 + x1x2 = x1 + x2

I f =∑

m(1,2,3) = x1x2 + x1x2 + x1x2 = x1 + x2


Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Lisensi



m(0,1,2) dan f =∑

m(1,2,3)

I f =∑

m(0,1,2) = x1x2 + x1x2 + x1x2 = x1 + x2

I f =∑

m(1,2,3) = x1x2 + x1x2 + x1x2 = x1 + x2


Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Lisensi

K-Map 3 Variabel

I K-map disusun sehingga minterm yang berdekatan hanyamempunyai perbedaan 1 variabel

x1 x2 x3 minterm mj

0 0 0 m0 = x1x2x3

0 0 1 m1 = x1x2x3

0 1 0 m2 = x1x2x3

0 1 1 m3 = x1x2x3

1 0 0 m4 = x1x2x3

1 0 1 m5 = x1x2x3

1 1 0 m6 = x1x2x3

1 1 1 m7 = x1x2x3


Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Lisensi

Contoh K-Map 3 Variabel

I Sederhanakan f =∑

m(0,1,2,5)


Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Lisensi



m(1,3,5,7), f =∑

m(0,2,3,6,7)


Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Lisensi



m(1,3,5,7), f =∑

m(0,2,3,6,7)


Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Lisensi



m(0,1,3,4,5,7) danf =

∑m(0,1,3,4,5,6)


Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Lisensi



m(0,1,3,4,5,7) danf =

∑m(0,1,3,4,5,6)


Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Lisensi

K-Map 4 Variabel

Bentuk K-map 4 variabel:


Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Lisensi

Contoh: Grouping K-Map 4 Variabel


m(2,3,8− 11,13)


Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Lisensi

Contoh: Grouping K-Map 4 Variabel


m(2,3,8− 11,13)


Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Lisensi

Umpan Balik: Grouping K-Map 4 Variabel

Sederhanakan:I f =

∑m(3− 7,9,11,12− 15)

I f =∑

m(0− 4,6,9,11,12,14)I f =

∑m(0,2,5,7,8,10,13,15)


Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Lisensi

K-Map 5 Variabel

I Bagaimana K-Map 6 Variabel? Tidak berguna dari sudutpandang praktis

I Akan membutuhkan perangkat CAD


Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Lisensi

Bahasan



Lisensi


Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Lisensi

Terminologi

I Literal = variabel di suatu termI Contoh: x1x2x3x4(term dg 4 literal), x2x3(term dg 2 literal)

I Implicant : sebarang term bernilai ’1’ atau grup termbernilai ’1’ yang dapat digabungkan di K-map

I minterm adalah implicant dasar. Untuk fungsi n-variabel,minterm adalah implicant dengan n literal

I Prime Implicant : implicant yang tidak bisa digabungkandengan implicant lain untuk menghilangkan sebuahvariabel

I Literal dalam prime implicant tidak dapat dihapus untukmendapatkan implicant valid

I Cover : suatu himpunan implicant yang menghasilkan nilaifungsi ’1’

I Cost : jumlah gerbang ditambah jumlah total masukan kesemua gerbang dalam rangkaian logika


Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Lisensi

Implicant dan Prime Implicant

I Terdapat 10 implicant validI 7 buah mintermI 1 term 3-literal (grup 2 minterm)I 2 term 2-literal (grup 4 minterm)

I Terdapat 3 prime implicantI x1x2, x2x3, x1x3x4I Tidak bisa disederhanakan lagi?

I Untuk x1x2, jika sebuah literaldihapus menyisakan x1 ataux2, padahal x1bukan implicantvalid karena {1,1,0,0}menghasilkan f = 0


Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Lisensi

Cover dan Cost

I Cover untuk f =∑

m(2, 3, 8, 9, 10, 11, 13)

1. Persamaan dengan semua minterm2. f = x1x2 + x1x2x3 + x1x3x4 merupakan cover valid3. f = x1x2 + x2x3 + x1x3x4 merupakan cover valid yang berisi

prime implicantI Cost untuk setiap cover: (asumsi input utama baik terinvers atau

tidak mempunyai cost 0)

1. jumlah gerbang=7+1, jumlah input semuagerbang=7*4+7*1, total=8+28+7=43

2. jumlah gerbang=3+1, jumlah input semua gerbang=8+3,total=4+11=15

3. jumlah gerbang=3+1, jumlah input semua gerbang=7+3,total=4+10=14

I Cover yang berisi prime implicant cenderung menghasilkanimplementasi dengan cost terendah


Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Lisensi

Prime Implicant Esensial dan Non-Esensial

SOP minimum hanya mengandung prime implicant (namuntidak semua prime implicant)

I Essential: diperlukan untuk membentuk SOP minimumI Nonessensial: tidak diperlukan untuk SOP minimum, sehingga

dapat dihilangkan

I Prime implicant: x1x2, x2x3, x1x3x4

dan x2x3x4I Esensial: x1x2, x2x3, dan x2x3x4I non-esensial: x1x3x4

I fmin = x1x2 + x2x3 + x2x3x4 , x1x3x4

dihilangkan


Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Lisensi

Contoh

I Prime implicant: x1x2, x2x3, x1x2x3,x1x2x4 dan x1x3x4

I Esensial: x1x2, x2x3, dan x1x2x3I non-esensial: x1x2x4 , x1x3x4 (harus

dipilih salah satu)

I fmin = x1x2+x2x3+x1x2x3+

{x1x2x4

x1x3x4

}


Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Lisensi

Ringkasan

I SOP minimum berisi semua prime implicant esensial danbeberapa prime implicant non-esensial

I Langkah menemukan rangkaian dengan cost minimum:

1. Cari semua prime implicant dari f2. Cari set prime implicant esensial3. Jika set tersebut telah meng-cover semua valuation dimana

f = 1, maka set ini adalah cover dari f yang diinginkan. Jikatidak, tentukan prime implicant non-esensial yang harusditambahkan agar minimum

I Menentukan prime implicant non-esensial? heuristik (mencobasemua kemungkinan untuk mendapatkan cover dengan costminimum)


Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Lisensi

Latihan

I Cari semua prime implicant dari fI Cari set prime implicant esensialI Cari cover dengan cost terendah

dari semua kombinasi primeimplicant non-esensial


Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Lisensi

Bahasan



Lisensi


Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Lisensi

Minimisasi Ekspresi POS

I Menggunakan prinsip dualitasI K-map dapat langsung dibentuk baik dari ekspresi

∑m

maupun∏

MI Shortcut:

I Maxterm mempunyai valuasi fungsi ’0’I Grouping Maxterm sebesar mungkinI Bentuk persamaan POS dari set Maxterm minimum

I Prinsip prime implicant esensial berlaku? bisa, denganpengertian implicant adalah Maxterm atau group Maxterm


Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Lisensi

POS Minimal dari∑

m atau∏

M

Diberikan: f =∑

m(0, 1, 2, 5)

f =∑

m(0, 1, 2, 5)

= (x1 + x3) (x2 + x3) ; POS

= x1x3 + x2x3; SOP

=∏

M(3, 4, 6, 7)

Diberikan: f =∏

M(1, 4, 5)

f =∏

M(1, 4, 5)

= (x1 + x2) (x2 + x3) ; POS

= x2 + x1x3; SOP

=∑

m(0, 2, 3, 6, 7)


Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Lisensi

POS 4-Variabel Minimal

f =∑

m(2, 3, 8, 9, 10, 11, 13)

=∏

M(0, 1, 4, 5, 6, 7, 12, 14, 15)

I Prime implicant: x1 + x3, x2 + x3,x2 + x4 dan x1 + x2

I Esensial: x1 + x3, x2 + x3, dan x2 + x4I non-esensial: x1 + x2 (biru)I fmin = (x1 + x3) (x2 + x3) (x2 + x4)


Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Lisensi

Latihan di Rumah

I Persamaan POSI Cari semua prime implicant dari fI Cari set prime implicant esensialI Cari cover dengan cost terendah

dari semua kombinasi primeimplicant non-esensial


Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Lisensi

Bahasan



Lisensi


Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Lisensi


I Dalam sistem digital, sering terjadi beberapa kondisi inputyang tidak akan pernah terjadi

I Kombinasi input seperti itu disebut kondisi don’t careI Dalam desain rangkaian, kondisi don’t care dapat

diabaikan (keluaran untuk kondisi tersebut dapat diberikan0 atau 1 di tabel kebenaran)

I Fungsi yang mengandung kondisi don’t care disebutfungsi yang dispesifikasikan tidak lengkap (incompletelyspecified)


Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Lisensi

Contoh Don’t CareI Di K-Map, masukan don’t care bisa diberi nilai 0 atau 1

sedemikian sehingga diperoleh fungsi yang optimal

x1 x2 x3 f

0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0 d

0 1 1 d

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 0

I Asumsi fungsi 3 variabel. Kombinasimasukan {x2x1} = 10 |11 tidakpernah terjadi, selebihnyaf =

∑m(1,4,5,6)

f =∑

m(1,4,5,6) + D(2,3); atauf =

∏M(0,7) · D(2,3)


Multi-Keluaran



Grouping K-Map





Lisensi

Contoh Don’t Care 4 variabel

I SOP: f =∑

m(2, 4, 5, 6, 10) + D(12, 13, 14, 15)I POS: f =

∏M(0, 1, 3, 7, 8, 9, 11) · D(12, 13, 14, 15)

I SOP: fmin = x2x3 + x3x4, POS: fmin = (x2 + x3) (x3 + x4)I Jika don’t care tidak disertakan: misalnya menganggap nilainya

selalu 0I SOP: f = x1x2x3 + x1x3x4 + x2x3x4I POS: f = (x2 + x3) (x3 + x4) (x1 + x2)I Cost mungkin lebih tinggi


Multi-Keluaran


Peta Karnaugh


Lisensi

Rangkaian dengan Banyak Keluaran

I Sebelumnya dibahas fungsi dengan keluaran tunggalberikut dengan implementasi rangkaiannya

I Dalam prakteknya, beberapa fungsi tunggal tersebutmerupakan bagian dari rangkaian logika yang lebih besar

I Rangkaian-rangkaian dari fungsi tersebut mungkin dapatdikombinasikan ke dalam rangkaian tunggal dengancost lebih murah dengan keluaran multiple

I Pemakaian bersama blok gerbang oleh beberapa rangkaianfungsi tunggal


Multi-Keluaran


Peta Karnaugh


Lisensi

Contoh Rangkaian Multi-Keluaran

I f1 = x1x3 + x1x3 + x2x3x4, Cost=4 gerbang + 10 input(=14)I f2 = x1x3 + x1x3 + x2x3x4, Cost=4 gerbang + 10 input (=14)I Cost total jika kedua fungsi diimplementasikan terpisah: 8

gerbang + 20 input (=28)


Multi-Keluaran


Peta Karnaugh


Lisensi


I Mengkombinasikan (prime) implicant yang sama dari dua/lebihfungsi mungkin bisa mengurangi cost

I Rangkaian multi-keluaran:{

f1f2

}= x1x3 + x1x3 +

{x2x3x4

x2x3x4

}

I Cost=6 gerbang + 16 input(=22)


Multi-Keluaran


Peta Karnaugh


Lisensi


I Di contoh sebelumnya, terdapat prime implicant yang shared.Kalau tidak ada yang shared?

I f1 = x1x4 + x2x4 + x1x2x3, Cost=4 gerbang + 10 input(=14)I f2 = x1x4 + x2x4 + x1x2x3x4, Cost=4 gerbang + 11 input (=15)I Tidak ada gerbang prime implicant yang dapat dishared,

sehingga cost total dari kombinasi 2 rangkaian adalah 8 gerbang+ 21 input (=29)


Multi-Keluaran


Peta Karnaugh


Lisensi

Contoh Rangkaian Multi-KeluaranI Tapi ada alternatif realisasi lainnya: menggunakan implicant

bersama antara 2 fungsi

I f1 = x1x2x4 + x1x2x3x4 + x1x4I f2 = x1x2x4 + x1x2x3x4 + x2x4I Rangkaian multikeluaran:{

f1f2

}= x1x2x4 + x1x2x3x4 +

{x1x4

x2x4

}I Cost gabungan total= 6 gerbang + 17 input (=23)


Multi-Keluaran


Peta Karnaugh


Lisensi

Latihan

I Cari cost terendah untuk POSnya!


Multi-Keluaran


Peta Karnaugh


Lisensi

Lisensi

Creative Common Attribution-ShareAlike 3.0 Unported (CCBY-SA 3.0)

I Anda bebas:I untuk Membagikan — untuk menyalin, mendistribusikan,

dan menyebarkan karya, danI untuk Remix — untuk mengadaptasikan karya

I Di bawah persyaratan berikut:I Atribusi — Anda harus memberikan atribusi karya sesuai

dengan cara-cara yang diminta oleh pembuat karyatersebut atau pihak yang mengeluarkan lisensi.

I Pembagian Serupa — Jika Anda mengubah, menambah,atau membuat karya lain menggunakan karya ini, Andahanya boleh menyebarkan karya tersebut hanya denganlisensi yang sama, serupa, atau kompatibel.

I Lihat: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0Unported License

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/

Documents

Karnaugh & @2012,Eko Didik Peta Karnaugh Rangkaian …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/TSK205-Kuliah4-PetaKarnaugh-v3.pdf · Boolean I Aljabar Boolean: aksioma, teorema, ... I penyederhanaan