Katedra za matematiku, FSB · Matematika 1 Integral Katedra za matematiku, FSB Zagreb, 2015. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 29. oˇzujka 2016. 1 / 59. animation by

Matematika 1Integral

Katedra za matematiku, FSB

Zagreb, 2015.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 29. ozujka 2016. 1 / 59

Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:

Uvod u beskonacne sume brojeva

Fizikalni pristup integralu: relativni i apsolutni putGeometrijski pristup integralu: povrsina ispod grafa funkcijeDefinicija odredenog integralaNewton-Leibnitzova formulaNepravi integral


Ciljevi ucenja


Uvod u beskonacne sume brojevaFizikalni pristup integralu: relativni i apsolutni put

Geometrijski pristup integralu: povrsina ispod grafa funkcijeDefinicija odredenog integralaNewton-Leibnitzova formulaNepravi integral


Ciljevi ucenja


Uvod u beskonacne sume brojevaFizikalni pristup integralu: relativni i apsolutni putGeometrijski pristup integralu: povrsina ispod grafa funkcije

Definicija odredenog integralaNewton-Leibnitzova formulaNepravi integral


Ciljevi ucenja


Uvod u beskonacne sume brojevaFizikalni pristup integralu: relativni i apsolutni putGeometrijski pristup integralu: povrsina ispod grafa funkcijeDefinicija odredenog integrala

Newton-Leibnitzova formulaNepravi integral


Ciljevi ucenja


Uvod u beskonacne sume brojevaFizikalni pristup integralu: relativni i apsolutni putGeometrijski pristup integralu: povrsina ispod grafa funkcijeDefinicija odredenog integralaNewton-Leibnitzova formula

Nepravi integral


Ciljevi ucenja


Uvod u beskonacne sume brojevaFizikalni pristup integralu: relativni i apsolutni putGeometrijski pristup integralu: povrsina ispod grafa funkcijeDefinicija odredenog integralaNewton-Leibnitzova formulaNepravi integral


Sadrzaj

Sadrzaj:

1 Sume∗

2 IntegralPutovi i povrsineRelativni putDefinicija integrala i osnovni teoremOsnovni teorem infinitezimalnog racunaNeke osnovne primjene integralaNepravi integral


Sume∗

SUME∗

Sumu a1 + a2 + · · ·+ an−1 + an krace oznacavamo

n

∑i=1

ai

(citamo: ”suma od ai za i od 1 do n” )

Primjer 1.

a1 = 3, a2 = 5, a3 = 7, a4 = 6. Izracunajmo4

∑i=1

ai .

Rjesenje.4

∑i=1

ai = a1 + a2 + a3 + a4 = 21.


Sume∗

SUME∗


n

∑i=1

ai


Primjer 1.


∑i=1

ai .

Rjesenje.4

∑i=1

ai = a1 + a2 + a3 + a4 = 21.


Sume∗

SUME∗


n

∑i=1

ai


Primjer 1.


∑i=1

ai .

Rjesenje.4

∑i=1

ai = a1 + a2 + a3 + a4 = 21.


Sume∗

Primjer 2.Izracunajte

1

3

∑i=−1

i2

2

4

∑j=2

(j2 + j

)

Rjesenje.

1

3

∑i=−1

i2 = (−1)2 + 02 + 12 + 22 + 32 = 15

2

4

∑j=2

(j2 + j

)= (22 + 2) + (32 + 3) + (42 + 4) = 38.


Sume∗


1

3

∑i=−1

i2

2

4

∑j=2

(j2 + j

)

Rjesenje.

1

3

∑i=−1

i2 = (−1)2 + 02 + 12 + 22 + 32 = 15

2

4

∑j=2

(j2 + j

)= (22 + 2) + (32 + 3) + (42 + 4) = 38.


Sume∗

Primjer 3.

Izracunajten

∑i=1

i .

Rjesenje.Oznacimo trazenu sumu slovom S :

S = 1 + 2 + · · ·+ (n−1) + nS = n + (n−1) + · · ·+ 2 + 1

⇒ 2S = (n + 1) + (n + 1) + · · ·+ (n + 1) + (n + 1)

⇒ 2S = n(n + 1)

⇒ S =n(n + 1)

2.


Sume∗

Primjer 3.

Izracunajten

∑i=1

i .


S = 1 + 2 + · · ·+ (n−1) + nS = n + (n−1) + · · ·+ 2 + 1

⇒ 2S = (n + 1) + (n + 1) + · · ·+ (n + 1) + (n + 1)

⇒ 2S = n(n + 1)

⇒ S =n(n + 1)

2.


Sume∗


1 Zbroj prvih 1000 prirodnih brojeva;2 8 + 9 + · · ·+ 38;

3

97

∑i=−2

(i + 2)

Rjesenje.

1 1 + 2 + · · ·+ 1000 = 1000·10012 = 500500;

2 8 + 9 + · · ·+ 38 = (1 + 2 + · · ·+ 38)− (1 + 2 + · · ·+ 7) = 38·392 − 7·8

2 =713;

3

97

∑i=−2

(i + 2) =99

∑j=0

j =99 ·100

2= 4950


Sume∗


1 Zbroj prvih 1000 prirodnih brojeva;2 8 + 9 + · · ·+ 38;

3

97

∑i=−2

(i + 2)

Rjesenje.

1 1 + 2 + · · ·+ 1000 = 1000·10012 = 500500;

2 8 + 9 + · · ·+ 38 = (1 + 2 + · · ·+ 38)− (1 + 2 + · · ·+ 7) = 38·392 − 7·8

2 =713;

3

97

∑i=−2

(i + 2) =99

∑j=0

j =99 ·100

2= 4950


Sume∗

Primjer 5.

Izracunajten−1

∑i=0

qi = 1 + q + · · ·qn−1.


S = 1 + q + · · ·+ qn−2 + qn−1

qS = q + · · ·+ qn−2 + qn−1 + qn

⇒ S−qS = 1−qn

⇒ (1−q)S = 1−qn

⇒ S =1−qn

1−q.


Sume∗

Primjer 5.

Izracunajten−1

∑i=0

qi = 1 + q + · · ·qn−1.


S = 1 + q + · · ·+ qn−2 + qn−1

qS = q + · · ·+ qn−2 + qn−1 + qn

⇒ S−qS = 1−qn

⇒ (1−q)S = 1−qn

⇒ S =1−qn

1−q.


Sume∗

Primjer 6.

Za |q|< 1 izracunajte∞

∑i=0

qi = 1 + q + · · ·qn + · · · .

Rjesenje.

1 + q + · · ·qn−1 =1−qn

1−q. Ako je |q|< 1, onda qn→ 0 kada n→ ∞, pa je

1 + q + q2 + q3 + · · ·= limn→∞

(1 + q + · · ·qn−1

)= lim

n→∞

1−qn

1−q=

11−q

.


Sume∗

Primjer 6.

Za |q|< 1 izracunajte∞

∑i=0

qi = 1 + q + · · ·qn + · · · .

Rjesenje.

1 + q + · · ·qn−1 =1−qn

1−q. Ako je |q|< 1, onda qn→ 0 kada n→ ∞, pa je

1 + q + q2 + q3 + · · ·= limn→∞

(1 + q + · · ·qn−1

)= lim

n→∞

1−qn

1−q=

11−q

.


Integral Putovi i povrsine

PUTOVI I POVRSINE

Ako se od trenutka t = a do trenutka t = b tijelo giba konstantnombrzinom v , onda ce u tom vremenskom intervalu proci put:

s(b)−s(a) = v(b−a)

∆s = v∆t

gdje je

s(b)−polozaj u trenutku bs(a)−polozaj u trenutku a∆s− razlika polozaja = prijedeni put



PUTOVI I POVRSINE

Ako se od trenutka t = a do trenutka t = b tijelo giba konstantnombrzinom v , onda ce u tom vremenskom intervalu proci put:

s(b)−s(a) = v(b−a)

∆s = v∆t

gdje je

s(b)−polozaj u trenutku bs(a)−polozaj u trenutku a∆s− razlika polozaja = prijedeni put



PUTOVI I POVRSINE

U v − t dijagramu to izgleda ovako:

v

t

∆s

a b

∆t

Prijedeni put u vremenskom intervalu [a,b] prikazan je povrsinomizmedu tog intervala i grafa od v .



Ako se brzina skokovito mjenja vrijedi slicno:v

t∆s1

t1 t2

∆s2

∆s3

∆s4

t3 t4 t5∆t1 ∆t2 ∆t3 ∆t4

v1

v2

v3

v4

s(b)−s(a) =4

∑i=1

vi∆ti ← povrsina ispod grafa nad segmentom [a,b]



Ako se brzina mjenja kontinuirano mozemo ju odozdo i odozgoaproksimirati skokovitim brzinama:

v

ta b

∑j

dj∆tj ≤ s(b)−s(a)≤∑i

gi∆ti

∑j

dj∆tj . . .donja suma

∑i

gi∆ti . . .gornja suma

s(b)−s(a) . . .prijedeni put



Primjer 7.Brzina auta u razdoblju od jednog sata izgledala je ovako (u km/h)

72≤ v ≤ 81 za 0≤ t ≤ 1/378≤ v ≤ 93 za 1/3≤ t ≤ 2/390≤ v ≤ 99 za 2/3≤ t ≤ 1

Procjenite prijedeni put.



Rjesenje.Donja suma predstavlja procjenu donje mede za prijedeni put:

72 · 13

+ 78 · 13

+ 90 · 13

= 80km.

Gornja suma predstavlja procjenu gornje mede za prijedeni put:

81 · 13

+ 93 · 13

+ 99 · 13

= 91km.

Dakle,80km≤ s(1)−s(0)≤ 81km.


Integral Relativni put

Relativni put

Do sada smo proucavali samo slucajeve za koje je v > 0.Sto kada je v < 0?

Tada je smjer gibanja suprotan. Udaljenost od pocetnog polozaja rasteza v > 0 i pada za v < 0.Formula

s(b)−s(a) =4

∑i=1

vi∆ti

i dalje odreduje razliku polozaja u trenutku b i trenutku a, ali to sadanije ukupni prijedeni put nego relativni put.



Relativni put

Do sada smo proucavali samo slucajeve za koje je v > 0.Sto kada je v < 0?Tada je smjer gibanja suprotan. Udaljenost od pocetnog polozaja rasteza v > 0 i pada za v < 0.Formula

s(b)−s(a) =4

∑i=1

vi∆ti

i dalje odreduje razliku polozaja u trenutku b i trenutku a, ali to sadanije ukupni prijedeni put nego relativni put.



Relativni put

∆s = relativni put

s

U v − t dijagramu: relativni put=relativna povrsina

v

t

v1

v2

v3

+

−

+



I puteve i povrsine aproksimativno racunamo pomocu donjih i gornjihsuma.

Tocna vrijednost je ona koja je tocno izmedu svih donjih i svih gornjihsuma.


Integral Definicija integrala i osnovni teorem

DEFINICIJA INTEGRALA I OSNOVNI TEOREM

Integral funkcije f (x) na intervalu [a,b]

b∫a

f (x)dx

je jedinstven broj (ako takav postoji) koji je smjesten izmedu svihdonjih i svih gornjih suma za funkciju f nad [a,b].

Dakle, povrsine i putovi su primjeri integrala.



DEFINICIJA INTEGRALA I OSNOVNI TEOREM

Integral funkcije f (x) na intervalu [a,b]

b∫a

f (x)dx

je jedinstven broj (ako takav postoji) koji je smjesten izmedu svihdonjih i svih gornjih suma za funkciju f nad [a,b].

Dakle, povrsine i putovi su primjeri integrala.



Primjer 8.Zapisimo sljedece relativne povrsine kao integrale:

y

x−1 2

y = x2

y

x0 2

2

Rjesenje.2∫−1

x2dx ,2∫

0

2dx




y

x−1 2

y = x2

y

x0 2

2

Rjesenje.2∫−1

x2dx ,2∫

0

2dx




y

x

y = x3

−0.51

y

x

y = cosx

π2

π 3π2

1

Rjesenje.

1∫−0.5

x3dx ,

3π

2∫0

cosxdx




y

x

y = x3

−0.51

y

x

y = cosx

π2

π 3π2

1

Rjesenje.

1∫−0.5

x3dx ,

3π

2∫0

cosxdx



Zadatak 1.Zapisite sljedece relativne povrsine kao integrale:

y

x−2 2

y = −x2 + 4

4

y

x−4 −2

y = 12x+ 1

1



Zadatak 2.Zapisite sljedece relativne povrsine kao integrale:

y

x

2

1

y = (x− 1)(x− 2)

2

y

xπ2

π

y = sinx

3π2



Primjer 10.

Procjenite integral2∫

1

1x

dx gornjom i donjom sumom.



Rjesenje.

y

x1 6

575

85

95

2

y =1

x

Gornja suma:

55· 15

+56· 15

+57· 15

+58· 15

+59· 15

=15

+16

+17

+18

+19

= 0.745634921



Rjesenje.

y

x1 6

575

85

95

2

y =1

x

1

5/6

5/7

5/85/9

1/2

Donja suma:

56· 15

+57· 15

+58· 15

+59· 15

+5

10· 15

=16

+17

+18

+19

+1

10= 0.645635



Rjesenje.Dakle

0.645635 <

2∫1

1x

dx < 0.745634921.


Integral Osnovni teorem infinitezimalnog racuna

OSNOVNI TEOREM INFINITEZIMALNOG RACUNA(NEWTON-LEIBNITZOVA FORMULA)

Odredivanje integrala funkcije f na intervalu [a,b] radimo u dva koraka:

1 Nademo antiderivaciju F funkcije f (F ′ = f )

2 Izracunamo F (x)∣∣∣ba

b∫a

f (x)dx = F (x)∣∣∣ba

= F (b)−F (a)



OSNOVNI TEOREM INFINITEZIMALNOG RACUNA(NEWTON-LEIBNITZOVA FORMULA)

Odredivanje integrala funkcije f na intervalu [a,b] radimo u dva koraka:

1 Nademo antiderivaciju F funkcije f (F ′ = f )

2 Izracunamo F (x)∣∣∣ba

b∫a

f (x)dx = F (x)∣∣∣ba

= F (b)−F (a)



Primjer 11.Izracunati integral

2∫0

(2u2 + 3√

u)du


π∫0

sinxdx




2∫0

(2u2 + 3√

u)du


π∫0

sinxdx



Zadatak 3.Izracunajte sljedece neodredene integrale:

1

∫ (3x2− 1

x

)(x + 1)dx

2

∫ x2−x + 2√x

dx

3

∫cos(2x + 1)dx

4

∫ (3sinx− 2

sin2 x

)dx

5

∫ (ex +

2x−x2

)dx



Zadatak 3.Izracunajte sljedece neodredene integrale:

1

∫ (3x2− 1

x

)(x + 1)dx R. 3

4x4−x + x3− ln |x |+ C

2

∫ x2−x + 2√x

dx R. 25x5/2− 2

3x3/2 + 4x1/2 + C

3

∫cos(2x + 1)dx R. 1

2 sin(2x + 1) + C

4

∫ (3sinx− 2

sin2 x

)dx R. −3cosx + 2ctgx + C

5

∫ (ex +

2x−x2

)dx R. ex + 2ln |x |− x3

3 + C



Zadatak 4.Izracunajte sljedece odredene integrale:

1

0∫−1

(4x3− 3

√x)

dx

2

4∫1

3x−1√x

dx

3

π

2∫0

(cosx + sinx)dx

4

2∫− 1

2

e2x+1dx



Zadatak 4.Izracunajte sljedece odredene integrale:

1

0∫−1

(4x3− 3

√x)

dx R. − 14

2

4∫1

3x−1√x

dx R. 12

3

π

2∫0

(cosx + sinx)dx R. 2

4

2∫− 1

2

e2x+1dx R. 12(e5−1)



Vazno je uociti da vrijedi

b∫a

f (x)dx =−a∫

b

f (x)dx

a∫a

f (x)dx = 0

Npr.0∫

2

f (x)dx =−2∫

0

f (x)dx


Integral Neke osnovne primjene integrala

Neke osnovne primjene integrala

Primjer 13.Kolika je povrsina zelenog podrucja?

y

x−1 1

y = −x2 + 2

y = x2



Povrsina nad intervalom [a,b] smjestena izmedu grafova y = f (x) iy = g(x) je

b∫a

(f (x)−g(x))dx

y

x

f(x)−

g(x)

xa b

dx

y = f(x)

y = g(x)



Zadatak 5.Izracunaj povrsinu podrucja omedenog grafovima funkcija:

y = x2 i y =√

x .

Rjesenje.

y

x1

1∫0

(√x−x2

)dx =

13.




y = x2 i y =√

x .

Rjesenje.

y

x1

1∫0

(√x−x2

)dx =

13.




y = sinx , y = cosx , 0≤ x ≤ π

4.

Rjesenje.

y

xπ4

π

4∫0

(cosx−sinx)dx =√

2−1.




y = sinx , y = cosx , 0≤ x ≤ π

4.

Rjesenje.

y

xπ4

π

4∫0

(cosx−sinx)dx =√

2−1.




x = y2, x = 1 +12

y2.

Rjesenje.

y

x

√2

−√2

√2∫

−√

2

(1 +

12

y2−y2)

dy =43

√2.




x = y2, x = 1 +12

y2.

Rjesenje.

y

x

√2

−√2

√2∫

−√

2

(1 +

12

y2−y2)

dy =43

√2.



Zadatak 8.Izracunaj povrsinu podrucja omedenog krivuljama:

x = y2 i y = x−2.

Rjesenje.

y

x

−1

2

2∫−1

(y + 2−y2

)dy =

92.



Zadatak 8.Izracunaj povrsinu podrucja omedenog krivuljama:

x = y2 i y = x−2.

Rjesenje.

y

x

−1

2

2∫−1

(y + 2−y2

)dy =

92.



Zadatak 9.Izracunaj povrsinu podrucja omedenog:

y =1x2 i 14x + 9y = 43.

Rjesenje.y

x

12

3

3∫12

(43−14x

9− 1

x2

)dx =

12536

.



Zadatak 9.Izracunaj povrsinu podrucja omedenog:

y =1x2 i 14x + 9y = 43.

Rjesenje.y

x

12

3

3∫12

(43−14x

9− 1

x2

)dx =

12536

.



Zadatak 10.Izracunaj povrsinu podrucja izmedu krivulja:

y = x i y = x2, za x ∈ [−1,1].

Rjesenje.y

x−1 1

0∫−1

(x2−x

)dx +

1∫0

(x−x2

)dx = 1.



Zadatak 10.Izracunaj povrsinu podrucja izmedu krivulja:

y = x i y = x2, za x ∈ [−1,1].

Rjesenje.y

x−1 1

0∫−1

(x2−x

)dx +

1∫0

(x−x2

)dx = 1.



Sjetimo se veze puta s i brzine v :

∆s = s(b)−s(a) =

b∫a

v(t)dt

Isto vrijedi za bilo koju velicinu V (x) i njezinu brzinu promjenedVdx

:

∆V = V (b)−V (a) =

b∫a

V ′(x)dx

∆V . . . . . . ukupna promjena od x = a do x = bV ′(x) . . . . . . brzina promjene u odnosu na x



Primjer 14.Bazen se puni vodom od pocetnog trenutka t = 0 brzinom12(t2 + t)`/min. Dakle, brzina punjenja raste, ali samo dok ne dostignebrzinu od 1320`/min. Od tog momenta brzina ostaje konstantna.

1 S koliko vode se bazen napuni do tog trenutka?2 Koliko vremena treba da se napuni bazen od 783400`?

Rjesenje.Maksimalna brzina se postize u trenutku t za koji vrijedi:

12(t2 + t) = 1320⇒ t = 10min

Dakle brzina punjenja je:



Primjer 14.Bazen se puni vodom od pocetnog trenutka t = 0 brzinom12(t2 + t)`/min. Dakle, brzina punjenja raste, ali samo dok ne dostignebrzinu od 1320`/min. Od tog momenta brzina ostaje konstantna.

1 S koliko vode se bazen napuni do tog trenutka?2 Koliko vremena treba da se napuni bazen od 783400`?

Rjesenje.Maksimalna brzina se postize u trenutku t za koji vrijedi:

12(t2 + t) = 1320⇒ t = 10min

Dakle brzina punjenja je:



Rjesenje-nastavak.

f (t) =

{12(t2 + t), 0≤ t ≤ 10;

1320, t > 10.

f(t)

t10 x

1320



Rjesenje-nastavak.

1

10∫0

12(t2 + t)dt = (4t3 + 6t2)∣∣∣10

0= 4600`

2 Trenutak x u kojem se napuni 783400` :

783400 =

x∫0

f (t)dt =

10∫0

12(t2 + t)dt +

x∫10

1320dt = 4600 + 1320(x−10)

⇒ x = 600min = 10h.



Zadatak 11.Brzina gibanja cestice u trenutku t iznosi

v(t) = 3t2 + 2t + 1m/s.

Odredite put koji je cestica prosla:1 u prvih 10s2 izmedu cetvrte i pete sekunde?

Rjesenje.1 ∆s = s(10)−s(0) = 1110m2 ∆s = s(5)−s(4) = 71m.




v(t) = 3t2 + 2t + 1m/s.

Odredite put koji je cestica prosla:1 u prvih 10s2 izmedu cetvrte i pete sekunde?





v(t) = 12t−3t2m/s.

1 Odredite put koji je cestica prosla od pocetka gibanja dozaustavljanja

2 koliki je relativni put izmedu druge i pete sekunde?





v(t) = 12t−3t2m/s.

1 Odredite put koji je cestica prosla od pocetka gibanja dozaustavljanja

2 koliki je relativni put izmedu druge i pete sekunde?




Zadatak 13.Akceleracija cestice u trenutku t iznosi

a(t) = 3t2−1m/s2.

Kolika je ukupna promjena brzine izmedu trece i pete sekunde.

Rjesenje.∆v = 96m/s.



Zadatak 13.Akceleracija cestice u trenutku t iznosi

a(t) = 3t2−1m/s2.

Kolika je ukupna promjena brzine izmedu trece i pete sekunde.

Rjesenje.∆v = 96m/s.



Zadatak 14.Balon u obliku kugle, napuhuje se brzinom od

v(t) = 5t−0.5`/s.

Koliko se ukupno promjeni volumen izmedu prve i cetvrte sekunde?

Rjesenje.∆V = 36`.



Zadatak 14.Balon u obliku kugle, napuhuje se brzinom od

v(t) = 5t−0.5`/s.

Koliko se ukupno promjeni volumen izmedu prve i cetvrte sekunde?

Rjesenje.∆V = 36`.


Integral Nepravi integral

Nepravi integral

(A) Nad neomedenim intervalom:y

xa b→

y = f(x)

∞∫a

f (x)dx = (def ) = limb→∞

b∫a

f (x)dx



Primjer 15.Izracunajte:

(a)∞∫

1

1x2 dx

(b)∞∫

1

1√x

dx

(c)∞∫

1

1x

dx



Rjesenje.(a)

y

x

1 b→

y = 1x2

∞∫1

1x2 dx = lim

b→∞

b∫1

1x2 dx = lim

b→∞

(−1

x

)∣∣∣b1

= limb→∞

(−1

b+ 1)

= 1



Rjesenje.(b)

y

x

1 b→

y = 1√x

∞∫1

1√x

dx = limb→∞

b∫1

1√x

dx = limb→∞

(2√

x)∣∣∣b

1= lim

b→∞

(2√

b−2)

= ∞



Rjesenje.(c)

y

x1

1

y = 1√x

y = 1x

y = 1x2

∞∫1

1x

dx = limb→∞

b∫1

1x

dx = limb→∞

(lnx)∣∣∣b1

= limb→∞

(lnb− ln1)) = ∞



Zadatak 15.Izracunaj:

1

∞∫2

1x5 dx

2

−3∫−∞

1x4 dx

3

∞∫1

15√

xdx




1

∞∫2

1x5 dx R : 1/64

2

−3∫−∞

1x4 dx R : 1/81

3

∞∫1

15√

xdx R : ∞



(B) Funkcija beskonacna(neomedena) unutar intervala integracije:y

xa bβ

b∫a

f (x)dx = (def ) = limβ→b−

β∫a

f (x)dx



Primjer 16.

Izracunajte1∫

0

1√x

dx .

Rjesenje.y

x

1α

y = 1√x

1∫0

1√x

dx = limα→0+

1∫α

1√x

dx

= limα→0+

(2−2

√α)

= 2.



Primjer 16.

Izracunajte1∫

0

1√x

dx .

Rjesenje.y

x

1α

y = 1√x

1∫0

1√x

dx = limα→0+

1∫α

1√x

dx

= limα→0+

(2−2

√α)

= 2.



Primjer 17.

Izracunajte1∫

0

1x2 dx .

Rjesenje.

1∫0

1x2 dx = lim

α→0+

1∫α

1x2 dx = lim

α→0+

(−1 +

1α

)= ∞.



Primjer 17.

Izracunajte1∫

0

1x2 dx .

Rjesenje.

1∫0

1x2 dx = lim

α→0+

1∫α

1x2 dx = lim

α→0+

(−1 +

1α

)= ∞.



Primjer 18.

Izracunajte1∫

0

1x

dx .

Rjesenje.

1∫0

1x

dx = limα→0+

1∫α

1x

dx = limα→0+

(0− lnα) = 0− (−∞) = ∞.



Primjer 18.

Izracunajte1∫

0

1x

dx .

Rjesenje.

1∫0

1x

dx = limα→0+

1∫α

1x

dx = limα→0+

(0− lnα) = 0− (−∞) = ∞.




1

2∫0

1x4 dx

2

0∫−1

1x7 dx

3

8∫0

13√

xdx




1

2∫0

1x4 dx R : ∞

2

0∫−1

1x7 dx R : −∞

3

8∫0

13√

xdx R : 6


Documents

Katedra za matematiku, FSB · Matematika 1 Integral Katedra za matematiku, FSB Zagreb, 2015. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 29. oˇzujka 2016. 1 / 59. animation by