Kinematika M.M..docx

Embed Size (px)

Citation preview

  • 8/18/2019 Kinematika M.M..docx

    1/17

    Kinematika Prva i druga parcijala ( teorija i zadaci )

    Odgovori sa završnog ispita 15.07. 01!Prva parcijala

    1.) Kada se kretanje tačke smatra zadanim ?

    Kretanje tacke se smatra zadanim ako postoji mogu"nost odredjivanjapolo#aja ta$ke u svakom trenutku vremena u odnosu na dati (iza%rani) sistemre&erencije.

    .) Šta je vektor položaja ?

    'ektor polo#aja je usmjerena du#ina kojoj je po$etak u is odištu sustava akraj (strelica) prati to$ku dok se gi%a. Koordinate i vektor polo#aja $esto sepišu %ez eksplicitne oznake ovisnosti o vremenu* jer se ona kod gi%anja i takopodrazumijeva.

  • 8/18/2019 Kinematika M.M..docx

    2/17

    +.) Vektor brzine pokretne tačke u datom trenutku

    ,a slike vidimo da je * odakle je .

    .

    Prema tome* vektor srednje %rzinepremjestanja pokretne tacke za dati interval vremena -t* jednak je odnosuprirastaja radius vektora za taj interval i samog tog vremenskog intervala.

    ranicna vrijednost kojoj tezi srednja %rzina premjestanja pokretne tackekada -t/0 nazivamo vektorom %rzine tacke u datom trenutku i oznacavamosa v /.

    'ektor %rzine tacke u datom trenutku dat je izrazom .Prema tome vektor %rzine tacke u datom trenutku jednak je prvom izvoduradius vektora pokretne tacke po vremenu u tom trenutku.

    edinica je .

    !.) Šta je sektorska brzina ?

    2ko je interval vremena mali onda se prirastaj povrsine za taj interval mozenapisati u o%liku

    Odnos izmedu prirastaja povrsine koju pre%rise radijus vektor iodgovarajuceg intervala vremena * predstavlja srednju sektorsku %rzinu tj.

    rani$na vrijednost srednje sektorske %rzine za slu$aj da je sektorska%rzina ta$ke u datom trenutku vremena

    odnosnotj.dvostruka sektorska %rzina tacke u odnosu na neki centar* jednaka je

  • 8/18/2019 Kinematika M.M..docx

    3/17

    momentu %rzine te tacke u odnosu na isti centar.

    ,ektorska %rzina zavisi od iza%ranog centra z%og toga je pri zadavanjusektorske %rzine potre%no naglasiti u odnosu na koji centar je data tasektorska %rzina.

    5.) Translatorno kretanje tijela 3ranslatornim kretanjem tijela nazivamo takvo kretanje tijela kod kogaproizvoljna prava* kruto vezana za tijelo* ostaje* za cijelo vrijeme kretanja*paralelna svom po$etnom polo#aju.

    Predpostavimo da su nam poznate jedna$ine kretanja ta$ke u o%liku

    onda se projeciranjem jedna$ine (1) na ose nepomi$nog sistema do%ijaju jedna$ine kretanja

    gdje su kordinate vektoraPret odne jedna$ine se nazivaju zakonima ili jedna$inama translatornogkretanja tijela.

    ili

    ( )

    4ma dva rali$ita slu$aja

    1.) Kada su %rzine pojedini ta$aka me uso%no jednake u svakom trenutkuvremena t *takvo kretanje nazivamo permanentnim translatornim kretanjemtijela.

    Oso%ine permanentnog kretanja

    a) putanje svi tacaka tijela su konvergentne krive linije

    %)%rzina %ilo koje tacke tijela *u svakom trenutku vremena jednaka je %rzini

    is odista O pokretnog sistena tj. %rzine ta$aka tijela medjuso%no su jednake u%ilo kom trenutku vremena

    c)u%rzanje svi tacaka tijela medjuso%no su jednaka u %ilo kom trenutkuvremena

    .) Kada je jedna$ina ( ) zadovoljena samo u odre enom trenutku *takvo

  • 8/18/2019 Kinematika M.M..docx

    4/17

    kretanje nazivamo trenutnim translatornim kretanjem tijela.

    6ruga parcijala1. ) Šta su trenutni centri obrtanja i kako se određuju ?

    3renutni centar o%rtanja predstavlja ta$ku oko koje ako na$inimo rotaciju za%eskona$no mali ugao ravna gura "e pre"i iz datog u njemu %eskona$no%liski polo#aj.8rzina ta$aka 2*8 i 9 ravne gure %i"e*u datom trenutku*normalne na radiuso%rtanja*koji spajaju doti$ne ta$ke sa trenutnim centrom ( polom ) o%rtanja P.

    8rzina ta$ke ravne gure*koja se poklapa sa trenutnim polom o%rtanja*udatom trenutku*jednaka je nuli.3a se onda ta$ka naziva i trenutnim polom(centrom ) %rzina.Poznavanjem polo#aja trenutnog pola o%rtanja P*mo#emo*u datomtrenutku*odrediti i pravac %rzine %ilo koje ta$ke ravne gure.

    :a odre ivanje polo#aja trenutnog centra o%rtanja dovoljno je poznavatipravac %rzine dviju ta$aka ravne gure*jer se u u prosjeku normala na pravac%rzina u odgovaraju"im ta$kama nalazi trenutni centar o%rtanja.

    .) Kako se određuje trenutni pol ubrzanja ?2ko ravna gura vrši netranslatorno kretanje u svojoj ravni onda uvijek postoji

    jedna ta$ka*u ravni kretanja*$ije je u%rzanje jednako nuli.3u ta$ku nazivamotrenutnim polom u%rzanja ravne gure.

    3renutni pol u%rzanja se odre uje na sledeci na$in

    1.) 4z ta$ke 2 povucimo polupravu pod uglom *prema u%rzanju *koji jede nisan izrazom

    ;gao nanosimo od vektora u smjeru o%rtanja ravne gure ako su istogsmjera i u suprotnom ako su su rali$itog smjera.

    .)

  • 8/18/2019 Kinematika M.M..docx

    5/17

    +.) Kako se određuje trenutna ugaona brzina kod sfernog kretanja ? 3renutna o%rtna osa je geometrijsko mjesto ta$aka tijela*$ije su %rzine udatom trenutku jednake nuli.

    ;gaona %rzinakojom se vrši rotacija oko trenutne o%rtne ose predstavlja trenutnu ugaonu%rzinu tijela.Pri ovome tre%a imati u vidu da veli$ina ne predstavlja izvog ugla povremenu *jer pri kretanju tijela oko nepomi$ne ta$ke takav ugao nepostoji.Odavde slijedi da pri ovakvom kretanju tijela nije mogu"e njegovuugaonu %rzinu odrediti kao izvod nekog ( jednog ) ugla po vremenu.Prema tome trenutna ugaona %rzina mora %iti neposredno zadana u &unkcijiod vremena.

    3renutnu ugaonu %rzinu mo#emo predstaviti u o%liku vektora koji je usmjeren

    du# trenutne o%rtne ose *a ima takav smjer da gledmo iz vr a vektora vidimoo%rtanje oko trenutne o%rtne ose u suprotnom smjeru od o%rtanja kazaljke nasatu.

    4 ! "loženo kretanjetijela "laganje obrtni# kretanja tijela oko paralelni# osa"lučaj kada su trenutne ugaone brzine komponentalni# kretanjausmjere u istu stranu

    2ko tijelo istovremeno u$estvuje u dvije rotacije*oko paralelni osa u istomsmjeru*ugaonim %rzinama *apsolutno kretanje tijela je trenutno o%rtanjeugaonom %rzinom *

    u smislu komponentni ugaoni %rzina du# trenutne ose paralelne osamakomponentalni ugaoni %rzina i sa njima le#i u istoj ravni.

    $ !%edinica za ugaono ubrzanje ?;gaono u%rzanje je promjena ugaone %rzine po jedinici vremena.

    Pitanja sa zavr šnog ispita 17.0?. 01!

  • 8/18/2019 Kinematika M.M..docx

    6/17

  • 8/18/2019 Kinematika M.M..docx

    7/17

    6o Koriolisovog u%rzanja do"i "e ako su ispunjena slijede"a dva uslova 1.) 2ko usljed relativnog kretanja ta$ke*u odnosu na pokretni sistemre&erencije *do e do promjene prenosne %rzine ta$ke.

    .)2ko usljed o%rtnog prenosnog kretanja do e do dopunske promjene pravcavektora relativne %rzine u odnosu na nepomi$ni sistem re&erencije.

    Pravac Koriolisovog u%rzanja odre uje se po pravilu vektorskog proizvoda.

    6a %i našli smjer i pravac Koriolisovog u%rzanja*potre%no je projektovativector relativne %rzina na ravan*koja je upravna na osu prenosne rotacije izarotirati tu projekciju*u toj ravni *za C0 D0 u stranu prenosne rotacije.

    6odatna pitanja 1.) "ta je kinematika ? to je dio me anike koji proucava me anicka

    kretanja ne uzimajuci u o%zir nji ove uzroke *to jest sile ni masu predmetakoji se krecu .proucava dakle kretanja geometrijski tvorevina tacke(materijalne tacke)*duzine(duzi*stapa)*ravni i zapremine (tijela) metodamamatematike uz uvodjenje vremena.6ijeli se na kinematiku (materijlne ) tackei kinematiku krutog tijela.

    .) "ta je sistem referencije ? u kinematici se izucavaju me anickakretanja to jest uz neprekidnu promjenu vremena izucavamo promjenupolozaja tijela (ili tacke) u odnosu na neko drugo tijelo .to drugo tijelonazivamo tijelom re&erencije a koordinatni sistem koji je za njega kruto vezansistemom re&erencije .

    + !,snovne jedinice "i sistema ? duzina Bl (metar)masa @m (kilogram)vrijemeBt (sekunda)elektricna strujaB4 (amper)termodinamicka temparaturaB3 (kelvin )kolicina materijeBn (mol)svjetlosna jacina (candela)

    4 !-acini de'nisanja krivolinijskog kretanja tacke . Postoje tri *najviserasprostranjena nacina de nisanja krivolinijskog kretanja tacke i to su /!vektorski 0! koordinatni ili analiticki +! prirodni.

    $ ! 1odograf vektora brzine2 predstavlja geometrijsko mjesto vr ovavektora %rzine pokretne tacke naneseni iz jedne prizvoljne tacke prostora.

    3 !%ednačina #odografa brzine

  • 8/18/2019 Kinematika M.M..docx

    8/17

    Ove jednacine mozemo posmatrati kao parametarski o%lik* da %i se do%ioanaliticki o%lik dovoljno je da se iz ti jednacina eliminise parametar t.

    !Vektor ubrzanja tacke u datom trenutku vremena2

    6ijeljenje vektora -v / sa odgovarajucimintervalom vremena -t do%ijemo vektor kojeg nazivamo vektoromsrednjeg u%rzanja tacke za dati interval vremena. B vektoru%rzanja tacke u datom trenutku vremena jednak je prvom izvodu vektora%rzine tacke po vremenu ili drugom izvodu radius vektora tacke po vremenu.'ektor u%rzanja tacke u datom trenutku vremena lezi u ravni trajektorije iusmjerene je u stranu zakrivljenosti krivolinijske trajektorije.

    Osnovna jedinica za u%rzanje je 1mEs . kod kretanja gdje su u%rzanja velikakao osnovna mjera se uzima 1kmEs .

    5 !%edinica za brzinu . mEs

    6 !%edinica za ubrzanje . mE

    /7 ! 8etod 9ekartovi# pravougli# kordinata %ednacina trajektorijepokretne tacke . 'rijeme t smatra se parametrom onda te jednacine predstavljaju iparametarske jednacine trajektorije pokretne tacke.Fliminacijom parametra tiz ovi jednacina do%ijamo jednacinu trajektorije tacke u koordinatnom(analitickom ) o%liku 3ako npr eliminaciijom parametra t iz jednacina 1.10do%ijamo jedan od sljedeci sistema od po dvije jednacine :

    G,vaki od ovi sistema po dvije jednacine predstavlja trajektoriju tacke kaopresjek dvije cilindricne povrsine.trajektoriju tacke mozemo naci igeometrijski*na taj nacin sto koristenjem jednacina kretanja nanesemo nizuzastopni polozaja poketne tacke u odnosu na usvojeni sistem re&erencije pate polozaje spojimo.

    // ! ,dredjivanje brzine tacke u datom trenutku vremena udekartovim pravouglim koordinatama

    Pretpostavimo da su nam date jednacine kretanja preko pravougli6ekartovi koordinata.2ko sa i*j*k oznacimo jedinicne vektore duz osausvojenog sistema tada se radius vektor pokretne tacke A moze napisati uo%liku *gdje su H* I* z projekcij radius vektora na odgovarajuce ose usvojenogsistema. edinicni vektori su konstanog pravca i smjera jer pretpostavljamo dasu ose OH*OI*Oz nepomicne.'ektor %rzine u datom trenutku vremena dat jeizvodom njenog radius vektora po vremenu to jest .

    Projekcije vektora %rzine na nepomicne ose 6ekartovog sistema jednake suprvim izvodima odgovarajuci koordinata pokretne tacke po vremenu .

  • 8/18/2019 Kinematika M.M..docx

    9/17

    Poznavanje projekcije vektora %rzine na ose 6ekartovog sistema moemo nacii intenzitet vektora %rzine po &ormuliv> JJ > .6a %ismo odredili pravac vektora potre%no je naci i uglove koje vektorgradi s pozitivnim smjerovima koordinatni osa .Kosinusi ovi uglova dati su

    izrazima cos ( ) > * cos ( ) > *cos ( ) > .

    /0 ! ,dredjivanje ubrzanja tacke u datom trenutku vremena udekartovim pravouglim kordinatama'ektor u%rzanja u datom trenutku jednak je izvodu vektora %rzine povremenu tj. * kako je radijus vektor dat izrazom to je

    gdje su i* j* k @const.

    Projekcije vektora u%rzanja na ose nepomi$nog 6ekartovog pravouglogsistema jednake su prvim izvodima po vremenu odgovoraju"i projekcijavektora %rzina na te iste ose ili drugim izvodima odgovaraju"i kordinatapokretne ta$ke po vremenu.

    cos ( ) >cos ( ) >cos ( ) >

    /+ ! %ednacina kretanja tacke u polarnim koordinatama . Kada tacka za cijelo vrijeme kretanja ostaje u jednoj ravni vrlo cesto se zaodredjivanje polozaja tacke koriste polarne koordinate r i *gdje je r rastojanjepokretne tacke od pola O a je ugao sto ga o%razuje radiusBvektor pokretnetacke OA sa polarnom osom (p) .Pri kretanju tacke A njene polarne koordinate r i se mjenjaju sa vremenom pace jednacine kretanja u ovim sistemima %iti date izrazima

    Lunkcije moraju %iti jednoznacne*neprekidne i dvaput di&erencija%ilne. ednacinu trajektorije tacke u polarnim koordinatama do%ijamo eliminacijomparametra t iz gornji jednacina u o%liku/4 !;rzina tacke u datom trenutku u polarnim koordinatama

  • 8/18/2019 Kinematika M.M..docx

    10/17

    2 radijalna komponenta vektora %rzine koja je usmjerena u pravcu povecanjaradius vektora pokretne tacke i karakterise promjenu tog vektora samo pointenzitetu a B transverzalna (cirkularna) komponenta vektora %rzineusmjerena uvijek upravno na radiusBvektor pokretne tacke i ima smjerpovecanja ugla.

    Ova komponenta karakterise promjenu radius vektora po pravcu. 4ntenzitetvektora %rzine dat je sljedecim izrazom .; specijalnom slucaju kada se radius vektor mijenja samo po intenzitetu upitanju je pravolinijsko kretanje i tada postoji samo radijalna komponenta tjcirkularna je jednaka nuli pa je vektor %rzine odredjen izrazom .6rugi specijalni slucaj je kada radius vektor zadrzava konstantan intenzitetr>const tada je kretanje po kruznici i naziva se kruzno kretanje .u ovomslucaju radijalna komponenta je jednaka nuli *pa je vektor %rzine odredjenizrazom .

    /$ !

  • 8/18/2019 Kinematika M.M..docx

    11/17

  • 8/18/2019 Kinematika M.M..docx

    12/17

    nepomi$na*onda takvo kretanje nazivamo s&ernim kretanjem tijela okonepomi$ne površine.

    Bugao precesije Bugao sopstvene rotacije

    @ugao nutacije (1)Lunkcije moraju %iti jednozna$ne*neprekidne i di&erenecija%ilne do zaklju$nodrugog reda.

    %ednačinama =/! potpuno je de'nisano sferno kretanje tijela pa te jednačine nazivamo jednačinama sfernog kretanja tijela

    00 ,jler29alamberova teorema „Svako premještanje tijela,koje ima jednu nepomičnu tačku O,iz jednog

    položaja u neki drugi,možemo dobiti jednom rotacijom tijela oko ose koja prolazi kroz tačku O.

    0+ Teorema o slaganju brzina :N2psolutna %rzina ta$ke A*koja vrši slo#eno kretanje*jednako je vektorskomz%iru njene relativne i prenosne %rzine

    04 Teorema o slaganju ubrzanja2Koriolisova teoremaN ; op"em slu$aju prenosnog kretanja apsolutno u%rzanje ta$ke jednako jez%iru prenosno*relativnog i Koriolisovog u%rzanja

    Krivaja O2 klipnog me anizma o%r"e se konstantnom ugaonom %rzinom

    štapa 28 dovodi u kretanja kliza$ 8.6ato je

    .; momentu kada je ugaoa krivaja O2 i stap 28 grade sa orizontalom ugao od rad

    Pogrešno pretpostavljen smjer

  • 8/18/2019 Kinematika M.M..docx

    13/17

    Poluga datog me anizma o%rce sekonstantnom ugaonom %rzinom i dovodi u kretanje polugu zglo%no

    vezanu u tacki 8 sredista tocka.3ocak se kotrlja*%ez klizanja*po nepokretnojorizontalnoj ravni. Poluprecnik tocka je 40 cm. Odrediti

    a)%rzinu tacke 9 tocka %) ugaono u%rzanje tocka c)ugaono u%rzanjepoluge 28

    !40 cma"b"c"

    #$%$

  • 8/18/2019 Kinematika M.M..docx

    14/17

    !

    :a klipni me anizam prikazan na slici odrediti rastojanje izmedju trenutnog pola %rzina i trenutnog pola u%rzanja poluge 28 ako se krivaja O2 o%rce konstantnom ugaonom %rzinom *a klizac 8 u polozaju me anizma ima u%rzanje sa naznacenim smjerom.6ato je

    !

    Q>arctg0Q>0

  • 8/18/2019 Kinematika M.M..docx

    15/17

    3a$ka A*koja se u po$etnom trenutku nalazilana vr u O pravog kruznog konusa*krece se ravnomjerno po izvodnici konusa*od vr a ka %azi relativnom %rzinom

  • 8/18/2019 Kinematika M.M..docx

    16/17

    uodnosu na konus .4stovremeno se konus o%r"e oko svoje ose u datomsmjeru*po zakonu .;gao .; trenutku *odreditia)apsolutnu %rzinu ta$ke A%) apsolutno u%rzanje ta$ke A

    >

    .

    za t>0 s>0za c>0

  • 8/18/2019 Kinematika M.M..docx

    17/17