Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr. 7 Üben X ... · Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr. 7 Üben X Wiederholung Klasse 6 101 Berechne jeweils den Termwert: a) 0,7 ⋅2,56

Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr.

7 Üben X Wiederholung Klasse 6 101

Berechne jeweils den Termwert:

a) 0,7⋅2,56 b) 4 : 41

c) (- 6) : (- 0,25) d) ( )6:149 −

e) 0,75 : 0,3 f) 24⋅0,0025


7 Lösung X Wiederholung Klasse 6 101 a) 1,792 b) 16

c) 24 d) 283−

e) 2,5 f) 0,06


7 Üben XXX Wiederholung Klasse 6 102

Zeichne eine Zahlengerade mit Längeneinheit 2 cm und trage darauf die

Markierungen für die Zahlen 532− ,

411− ,

32 , 2,5 und 0,6 ein. Wähle dann darunter

jeweils zwei Zahlen so aus, dass der Wert

a) ihrer Summe möglichst klein b) ihrer Summe möglichst groß

b) ihrer Differenz möglichst klein d) ihrer Differenz möglichst groß

e) ihres Produkts möglichst klein f) ihres Produkts möglichst groß

g) ihres Quotienten möglichst klein h) ihres Quotienten möglichst groß

wird.


7 Lösung XXX Wiederholung Klasse 6 102

a) ( ) ( )2017

41

53 312 −=−+− b)

61

32 35,2 =+

c) 1,55,2253 −=−− d) ( ) 1,525,2

53 =−−

e) ( )21

53 65,22 −=⋅− f) ( ) ( )

41

41

53 312 =−⋅−

g) ( )31

53 46,0:2 −=− h) 2,5 : 0,6 =

614

-3 -2 -1 1 2 3


7 Üben XX Wiederholung Klasse 6 103

Übertrage die Angaben in dein Heft und ergänze dort die fehlenden Zahlen für die

Leerstellen �

a) 10

7

1012

37

179516

57 56=�

�=

⋅�⋅

⋅�⋅=

⋅⋅

⋅�⋅

b) �

�=

⋅�⋅

⋅�⋅=

⋅⋅

⋅⋅=

⋅�⋅

⋅��⋅

371

11

3785

1251

11185

65


7 Lösung XX Wiederholung Klasse 6 103

a) 10

714

10

147

152

377

179516

57 191 56==

⋅⋅

⋅⋅=

⋅⋅

⋅⋅

b) 74

3

3721

311

3785

1251

11110485

366517=

⋅⋅

⋅⋅=

⋅⋅

⋅⋅=

⋅⋅

⋅⋅



Wie viele Prozent der folgenden Figuren sind jeweils in einer Farbe bzw. weiß

dargestellt? (Schätze gegebenenfalls)


7 Lösung X Wiederholung Klasse 6 104 a) rot: 25 %, weiß: 10 % blau: 65 %

b) orange und violett: je 50 %

c) grün: 37,5 % weiß: 12,5 % blau: 50 %

d) violett: 25 % grün: 12,5 % gelb: 62,5 %

e) blau: 75 % weiß: 25 %



Bei der Bürgermeisterwahl in Harberg wurden insgesamt 2150 gültige Stimmen

abgegeben. Das Diagramm zeigt, wie viele Stimmen auf die vier Kandidaten

Schrötter (S), Elfontaine (E), Murksel (M) und Frischer (F) entfielen.

a) Wie viele Stimmen erhielt jeder der Kandidaten?

b) Wie viele Prozent erhielten die beiden Kandidaten, die die meisten Stimmen

vereinigen konnten, zusammen?


7 Lösung X Wiederholung Klasse 6 105

a)

� Elfontaine. 10 % , 215 Stimmen

� Schrötter: 30 % , 645 Stimmen

� Murksel: 40 % , 860 Stimmen

� Frischer: 20 %, 430 Stimmen

b) Schrötter und Murksel erhielten zusammen 70 % der Stimmen.

S ME F


7 Üben EXP Wiederholung Klasse 6 106

In der Klasse 7 a war in der letzten Lateinschulaufgabe der Notendurchschnitt 3,3.

Dabei erhielten von 30 Schülern jeweils 10 % die Note 1 bzw. die Note 5. Ein Drittel

aller Schüler schaffte mindestens eine 2, während die Hälfte aller Schüler schlechter

als 3 war.

a) Finde durch Überlegen und Probieren heraus, wie die Notenverteilung war und

lege eine entsprechende Tabelle an.

b) Stelle die Notenverteilung in einem Säulen- und in einem Kreisdiagramm dar und

gib die Winkel im Kreisdiagramm an.


7 Lösung EXP Wiederholung Klasse 6 106 a)

Note 1 2 3 4 5 6 Anzahl 3 7 5 10 3 2 Winkel 36° 84° 60° 48° 36° 24°

b)

0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6



Bestimme jeweils den Grundwert, den Prozentwert und den Prozentsatz des farbig

markierten Anteils:



a) 76 % ∧

= 95 € b) 1 ∧

= 2 dm3 c) 63 ° ∧

= 140 cm

1 % ∧

= 1,25 € 81

∧

= 250 cm3 1° ∧

= 920 cm

100 % ∧

= 125 € 83

∧

= 750 cm3 360° ∧

=8 m

a) Grundwert: 125 € Prozentwert: 30 € Prozentsatz: 24 %

b) Grundwert: 2 dm3 Prozentwert: 750 cm3 Prozentsatz: 37,5 %

c) Grundwert: 8 m Prozentwert: 1,4 m Prozentsatz: 17,5 %

24 %

95 €

1,4 m 2 l



In Mittelstadt beträgt der Preis für einen 5,55 a großen Bauplatz 149850 €.

a) Wie viel kostet ein 465 m2 großer Bauplatz bei gleichem Quadratmeterpreis?

b) In Vorstadt beträgt der Quadratmeterpreis nur 3266 % des Preises von

Mittelstadt. Welche Fläche erhält man für 120960 €?


7 Lösung X Wiederholung Klasse 6 110 a) Quadratmeterpreis: 149850 € : 555 = 270 €

Preis für 465 m2: 125550 €

b) Preis pro m2 in Vorstadt: 32 von 270 € = 180 €

Für 120960 € erhält man 120960 : 180 = 672 m2



a) Gib die Abmessungen zweier verschiedener Parallelogramme an, die einen

Flächeninhalt von 80 a besitzen!

b) Beschreibe auch zwei verschiedene Trapeze, deren Flächeninhalt 42 cm2

beträgt.



a) Die Parallelogramme könnten die Grundlinie 160 m und die Höhe 50 m

besitzen oder die Grundlinie 80 m und die Höhe 100 m.

(Beachte: 80 a = 8000 m2)

b) Die Trapeze könnten die Parallelseiten a = 8 m und c = 6 m sowie die Höhe

h = 6 m besitzen oder auch a = 12 m, b = 9 m und h = 4 m.


7 Üben XX Achsensymmetrie 202

Hans sieht im Spiegel eine Uhr, die nur Markierungen, aber keine Ziffern auf ihrem

Zifferblatt hat . Wie spät ist es in Wirklichkeit, wenn die Uhr im Spiegel

a) 7:00 Uhr b) 13:45 Uhr c) 15:30 Uhr

anzeigt?

Berechne in den drei Fällen auch den kleineren der beiden Winkel, den großer und

kleiner Zeiger miteinander einschließen


7 Lösung XX Achsensymmetrie 202

a) Es ist 5:00 Uhr oder 17:00 Uhr; der Winkel ist (360° : 12) ⋅ 5 = 150°

b) Es ist 10:15 Uhr oder 22:15 Uhr; der Winkel ist

30°⋅434 = 142,5°

c) Es ist 8:30 Uhr oder 20:30 Uhr; der Winkel ist 30°⋅2,5 = 75°



Fragen zur Achsenspiegelung:

1) Die Achse einer Achsenspiegelung heißt Fixpunktgerade, Lote zur Achse heißen dagegen Fixgeraden. Erkläre den Unterschied.

2) Die folgenden Aussagen sind falsch. Zeichne zu jeder Aussage ein Gegenbeispiel.

a) Wenn sich zwei Geraden auf der Symmetrieachse schneiden, sind sie symmetrisch.

b) Zwei Geraden, die zur Symmetrieachse parallel sind, sind symmetrisch.

c) Zwei Kreise mit gleichem Radius, deren Mittelpunkte von der Symmetrieachse gleichen Abstand haben, sind symmetrisch.

3) Zwei Kreise k1(P;r1) und k2(Q/r2) sind zueinander symmetrisch bezüglich einer Symmetrieachse a. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

a) P = Q b) Q ist symmetrisch zu P.

c) Die Kreise schneiden sich auf der Achse.


7 Lösung XX Achsensymmetrie 204 1) Jeder Punkt der Achse wird auf sich selbst abgebildet und ist daher Fixpunkt. Bei den

Lotgeraden wird nicht jeder Punkt auf sich selbst abgebildet, aber die Geraden

insgesamt auf sich selbst.

2) a) Zwei Geraden, bei denen die Achse nicht Winkelhalbierende ist, sind nicht

symmetrisch, auch wenn sie sich auf der Achse schneiden.

b) Parallelen zur Achse, die unterschiedlichen Abstand zu ihr haben, sind nicht

symmetrisch.

c) Die Mittelpunkte können so liegen, dass sie nicht zueinander symmetrisch sind.

3) a) und c) sind falsch, b) ist richtig.



Gegeben sind die Punkte A(5/3), B(- 1/2) und C(3/- 2) sowie K(2/1).

a) Zeichne das Dreieck ABC und spiegle es an der Parallelen a zur y-Achse

durch den Punkt K. Gib die Koordinaten der Spiegelpunkte A’, B’ und C’ an

und ermittle die Koordinaten der Fixpunkte der Strecken [AB] und [BC].

b) Die Punkte O(0/0), P(5/-1), Q(- 6/2), R(2/5) und S(- 1/- 4) sollen nun an der

Achse aus a) gespiegelt werden. Gib die Koordinaten der Spiegelpunkte O’,

P’, Q’, R’ und S’ an ohne die Zeichnung durchzuführen.

c) Nun soll das Dreieck ABC an der Parallelen b zur x-Achse durch den Punkt K

gespiegelt werden. Gib die Koordinaten der Spiegelpunkte A“, B“ und C“ an

und ermittle die Koordinaten der Fixpunkte der Strecken [AC] und [BC].

d) Gib wieder ohne Zeichnung die Koordinaten der Spiegelpunkte O“, P“, Q“, R“

und S“ zu den Punkten aus b) an.


7 Lösung XX Achsensymmetrie 205

a) A’(- 1/3), B’(5/2), C’(1/- 2) c) A“(5/- 1), B“(- 1/0), C“

Fixpunkte (2/2,5) bzw. (2/1) Fixpunkte: (4,2/1) bzw. (0/1)

b) O’(4/0), P’(- 1/- 1), Q’(10/2), d) O“(0/2), P“(5/3), Q”(- 6/0) R’(2/5), S’(5/- 4) R”(2/- 3), S“(- 1/6)

-1 1 2 3 4 5 6

-3

-2

-1

1

2

3

4

A

B

C

K

a

A'

B'

C'

-1 1 2 3 4 5 6

-3

-2

-1

1

2

3

4

A

B

C

Kb

C"

A"

B"


7 Üben EXP Achsensymmetrie 207

Nach dem Reflexionsgesetz für Lichtstrahlen scheint ein Lichtstrahl, der von einer Lichtquelle L kommt und an einem Spiegel reflektiert wird, geradlinig vom Spiegelpunkt L’ der Lichtquelle zu verlaufen. Du befindest dich in einem Spiegelkabinett am Punkt A, dein Freund am Punkt B. Über den Spiegel [PQ] könnt ihr euch direkt in die Augen sehen; d.h. dass ein Lichtstrahl von A über [PQ] nach B verläuft und umgekehrt. a) Ermittle mit Hilfe einer Zeichnung,

auf welchen Punkt des Spiegels [PQ] du schauen musst, damit du deinen Freund siehst. Auf welchen Punkt muss er schauen, damit er dich sieht.

b) Auf welchen Punkt des Spiegels [PQ] musst du schauen, damit du das Spiegelbild B’ deines Freundes im Spiegel [SQ] sehen kannst?

Übertrage dazu die Zeichnung in dein Heft und konstruiere den Verlauf der Lichtstrahlen!


7 Lösung EXP Achsensymmetrie 207

P

Q

S

Wand

A

B

A'

a

b

P

Q

S

Wand

A

B


7 Üben XX Konstrukt. zur Symmetrie 301

Gegeben sind die Punkte A(2/4), B(5/4), C(5/9), D(2/6) und D’(10/2).

a) Zeichne diese Punkte in ein Koordinatensystem ein.

b) Welche Art von Viereck bilden die Punkte ABCD?

c) Konstruiere das Bildviereck A’B’C’D’ zum Viereck ABCD, so dass D auf D’

abgebildet wird.

d) Berechne den Flächeninhalt des Vierecks ABCD und gib den Flächeninhalt

des Vierecks A’B’C’D’ an.


7 Lösung XX Konstrukt. zur Symmetrie 301 b) Das Viereck ist ein Trapez.

c) In der Zeichnung wurden die

Konstruktionslinien der

Punkte nicht mit eingezeich-

net.

d) A = 21 ⋅(2+5)⋅3 = 10,5 (FE)

Das Viereck A’B’C’D’ hat

den gleichen Flächeninhalt,

da es deckungsgleich ist.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

C

BA

D

D'

C'

A'

B'


7 Üben X Konstrukt. zur Symmetrie 302

Gegeben sind die Punkte P(2/3) , Q(9/6) und P’(8/2) .

Konstruiere (mit Zirkel und Lineal) die Strecke, die zur Strecke [PQ] achsensymmet-

risch ist, wenn P und P’ zueinander symmetrisch sind.


7 Lösung X Konstrukt. zur Symmetrie 302

Zur Lösung musst Du mit der 1. Grundkonstruktion die Symmetrieachse zu P und P’

konstruieren und dann mit der 2. Grundkonstruktion den Bildpunkt von Q.



Die Punkte P(1/8) und Q(9/3) bestimmen die Symmetrieachse a.

Konstruiere das Spiegelbild des Kreises k um M(5/3) mit Radius 3 cm und markiere

in Deiner Zeichnung das Spiegelbild des Kreissegmentes, das von der Achse a vom

Kreis abgeschnitten wird.



PPPP

QQQQaaaaMMMM

M'M'M'M'



Gegeben sind die Punkte P(2/1) , Q(8/8) , R(3/7) , S(7/6) , T(5/1) und U(1/6).

Es gelte: a = PQ , h = RS .

a) Konstruiere die zu h symmetrische Gerade h’ , wobei a die Symmetrieachse ist.

b) Konstruiere den zu T symmetrischen Punkt T’ bezüglich der Achse a.

c) Konstruiere den zum Winkel ∠URS symmetrischen Winkel bezüglich der

Achse a.

d) Konstruiere den zum Winkel ∠URS symmetrischen Winkel bezüglich der

Achse h.

e) Konstruiere die zur Geraden a symmetrische Gerade a’ bezüglich der Achse h.

f) Konstruiere den zum Kreis k(T/r = 2,5 cm) symmetrischen Kreis k’.


7 Lösung XX Konstrukt. zur Symmetrie 304

PPPP

QQQQ

RRRR

UUUU

SSSS

aaaa

hhhh

S'S'S'S'

R'R'R'R'

a'a'a'a'

TTTT

T'T'T'T'

h'h'h'h'


7 Üben XXX Konstrukt. zur Symmetrie 305

Zeichne die Punkte P(4/0) , Q(6/4) und S(1/4).

a) Konstruiere den zu P symmetrischen Punkt R bezüglich der Achse a = QS und gib

seine Koordinaten an.

b) Zeichne das Viereck PQRS. Es enthält die beiden Dreiecke PQR und PRS. Wel-

che Eigenschaft haben diese beiden Dreiecke? Berechne den Flächeninhalt des

Vierecks PQRS.

c) Die Strecken [PS] und [QS] sind gleich lang. Begründe mit einer Eigenschaft der

Achsenspiegelung, dass die Symmetrieachse zu P und Q durch S gehen muss

und bestätige dies durch eine Konstruktion.

d) Warum muss die Symmetrieachse zu R und Q ebenfalls durch S gehen?

e) Welche besondere Eigenschaft hat der Punkt S folglich?

f) Zeichne einen Kreis k, auf dem die Punkte P , Q und R liegen.


7 Lösung XXX Konstrukt. zur Symmetrie 305

a) R(4/8)

b) PQ QR= und PS RS= . Man nennt diese Dreiecke daher gleich-schenklig. Außerdem ist Dreieck PQS symmetrisch zum Dreieck PRS. Der Flächeninhalt der Dreiecke ist 10 FE, der des Vierecks ist 20 FE.

c) Achsenpunkte sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. Daher muss S auf der Achse liegen.

d) SR SP SQ= = , daher gleiche Begründung wie bei c).

e) S ist von P, Q und R gleich weit entfernt und daher

f) Mittelpunkt des Kreises ist S.

SSSS

PPPP

QQQQ

RRRR

aaaa



Das Apachenmädchen „Schöne Augen“ wohnt im Dorf A(4/- 3), der Apachenjunge

Winnetou im Dorf B(1/3). Sie haben sich am Fluss (y-Achse) zum Angeln verabredet.

Wo müssen sie sich treffen, damit für beide der Weg gleich lang ist?



Der Treffpunkt ist der

Schnittpunkt der Sym-metrieachse zu A und B mit der y-Achse.

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

A

B

Treffpunkt



Zeichne eine Gerade g und einen Punkt P außerhalb von g. Konstruiere nur mit Zir-

kel und Lineal eine Parallele zu g durch P. Beschreibe deine Konstruktion.


7 Lösung XX Konstrukt. zur Symmetrie 307 Zuerst konstruiert

man das Lot von P auf g.

Danach wird auf dem Lot in P ein Lot er-richtet. Dieses ist dann die gesuchte Parallele zu g.

P

P'

g

3

p

12

4

5

6



Gegeben sind die Punkte A(11/0) und B(0/8).

a) Spiegle den Punkt P(6/7) an der Achse a = AB.

b) Konstruiere das Lot l von Q(8/1) auf die Gerade PP’ .

c) Begründe, dass die Achse a und das Lot l parallel sind.

d) Konstruiere einen Kreis, der durch die Punkte P, P’ und Q verläuft.



Die Zeichnung zeigt

zur Kontrolle die

Lage der Punkte.

Du musst die ent-

sprechenden

Grundkonstruktio-

nen verwenden. l ist

parallel zu a, da

beide auf der Gera-

den PP’ senkrecht

stehen.

AAAA

BBBB

PPPP

QQQQ

P'P'P'P'aaaa

llll

MMMM



Die Punkte A(5/1) , B(8/5) und C(2/7) bestimmen das Dreieck ABC.

a) Konstruiere die Parallele p zu AB durch C und die Parallele q zu CB durch A und

lies zur Kontrolle die Koordinaten des Schnittpunkts von p und q ab.

b) Konstruiere die Mittelparallele zu CB und q. Ermittle die Schnittpunkte dieser Mit-

telparallelen mit den Seiten des Dreiecks. Welche Bedeutung haben diese Punkte

für das Dreieck?


7 Lösung XX Konstrukt. zur Symmetrie 309 Die Konstruktion der Parallelen erfolgt wie in 307. Zur Konstruktion der Mittelparalle-len wird in P1 das Lot von A auf CB gefällt und die Symmetrieachse zu P1 und dem Schnittpunkt P2 des Lotes mit CB konstruiert. Die Mittelparallele schneidet die Dreiecksseiten in ihren Mittelpunk-ten

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

p

q

S

P1

P2

m



Zeichne einen Winkel ε = 103° und konstruiere dann nur mit Zirkel und Lineal fol-

gende Winkel:

a) ε=α43 b) ε=

23ß c) ε=γ

85


7 Lösung X Konstrukt. zur Symmetrie 310 Da die Durchführung mit

Dynageo sehr kom-pliziert aussieht, wird hier nur die Zeich-nung für ß = 1,5ε ge-zeigt. Kontrolliere deine Er-gebnisse durch Be-rechnen und Nach-messen der konstru-ierten Winkel.



Konstruiere folgende Winkel:

a) 157,50

b) 67,50

Kontrolliere Deine Ergebnisse durch Nachmessen.


7 Lösung X Konstrukt. zur Symmetrie 311 Lösungsmöglichkeiten:

a) 157,50 = 1800 - 22,50

Den Winkel von 22,50 erhält man, indem man einen rechten Winkel zweimal hal-

biert.

b) 67,50 = 450 + 22,50 oder 67,50 = 900 - 22,50



Konstruiere ein Quadrat, bei dem bekannt ist, dass die Diagonale [BD] eine Länge

von 7 cm hat. Beschreibe deine Konstruktion.


7 Lösung XX Konstrukt. zur Symmetrie 312 Da die Diagonalen im

Quadrat auch Symmet-rieachsen sind, konstru-ieren wir zuerst die Symmetrieachse zu B und D. Auf dieser liegen die Ecken A und C.

Die Diagonalen eines Quadrats sind gleich lang und halbieren sich, daher liegen die Ecken A und C auch auf einem Kreis um den Mittelpunkt von [BD] durch B und D.

B

D

C

A



Zeichne mit dem Geodreieck einen Winkel von 30°.

Von einem Rechteck ABCD sind die Ecken B(10/3) und D(1/9) bekannt sowie der

Winkel ∠DBA = 30°.

Konstruiere das Rechteck nur mit Zirkel und Lineal. Der 30° - Winkel soll mit Zirkel

und Lineal übertragen werden.

Beschreibe deine Konstruktionsschritte.


7 Lösung XX Konstrukt. zur Symmetrie 313 Der Punkt A liegt auf dem

freien Schenkel von ∠DBA = 30° und dem Lot von D auf diesen freien Schenkel. Zur Konstruktion von C muss man z.B. das Lot auf DA in D und das Lot auf AB in B errichten. (Die Kon-struktionslinien dazu wur-den in der Zeichnung nicht eingetragen.)

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

B

D

A

C



Gegeben sind die Punkte M(3/2) , A(8/1) , B(5/7) und C(3/5) und der Kreis

k(M;r = 3 cm).

a) Konstruiere eine Gerade a derart, dass der Kreis und die Gerade AB bezüglich

der Achse a zu sich selbst symmetrisch sind.

b) Die Gerade h = BC schneidet den Kreis in einem weiteren Punkt D. Konstruiere

zunächst möglichst einfach die zur Geraden h bezüglich der Achse a symmetri-

sche Gerade h’ und markiere dann die zu C und D symmetrischen Punkte

C’ und D’.



a) Die Achse a ist die Lotgerade von M auf h (rot; die Konstruktionslinien fehlen in der Zeich-nung). b) Die Gerade h’ verläuft durch den Spiegelpunkt B’ von B und den Schnitt-punkt von h mit a. Die Punkte C’ und D’ sind die Schnitt-punkte von h’ mit dem Kreis.

MMMMAAAA

BBBB

CCCC

DDDD

C'C'C'C'D'D'D'D'

B'B'B'B'


7 Üben XXX Konstrukt. zur Symmetrie 315

Gegeben sind die Punkte P(1/1) , Q(3/5) , sowie die Gerade h = AB mit A(0/0) und

B(8/3). Die Strecke PQ soll mit einer Achsenspiegelung so abgebildet werden, dass

die Bildstrecke auf der Geraden h liegt. Hierfür gibt es zwei Möglichkeiten.

a) Konstruiere die beiden möglichen Symmetrieachsen und die Bildstrecken.

b) An der Zeichnung erkennst Du eine Möglichkeit, die Bildstrecken auch ohne

Konstruktion der Achsen zu finden. Beschreibe diese Möglichkeit.


7 Lösung XXX Konstrukt. zur Symmetrie 315

Die Endpunkte

der Bildstre-cken liegen auf Kreisen um den Schnittpunkt der Geraden h und der Geraden PQ durch P bzw. Q.

PPPP

QQQQ

BBBB

AAAA

P'P'P'P'

Q'Q'Q'Q'

P"P"P"P"

Q"Q"Q"Q"

w1w1w1w1

w2w2w2w2

hhhh



a) Zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt O(0/0) durch P(4/3).

b) Konstruiere die Tangente durch p an die Kreislinie.

c) Spiegle die Tangente an der y-Achse und begründe, dass auch die Bildgera-

de Tangente an die Kreislinie ist.


7 Lösung XX Konstrukt. zur Symmetrie 316 Da der Kreis auch sym-

metrisch zur y-Achse ist, sind alle Schnitt-punkte des Kreises mit der Tangente t sym-metrisch zu den Schnittpunkten des Kreises mit der ge-spiegelten Tangente t’. Daher hat t’ nur einen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis und ist folglich ebenfalls eine Kreistangente im Spiegelpunkt P’ von P.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

PP'


7 Üben EXP Konstrukt. zur Symmetrie 317

Gegeben sind drei Geraden r, s und t, von denen keine zwei parallel sind.

Konstruiere ein Dreieck ABC, das drei Symmetrieachsen besitzt, von denen eine die

Gerade t ist, so dass die Punkte A auf r, B auf s und C auf t liegen.


7 Lösung EXP Konstrukt. zur Symmetrie 317 A und B liegen

symmetrisch be-züglich der Achse t. Daher liegt B auch auf der Bild-geraden r’ zu r und A liegt auch auf der Bildgera-den s’ zu s. Da die Seiten des Dreiecks gleich lang sind, ist C der Schnittpunkt des Kreises um B durch A mit t.

t

s

r

s'

r'A

B

C


7 Üben EXP Konstrukt. zur Symmetrie 318

Zeichne die Punkt P(6/2), Q(1/7) und M(5/- 2,5) in ein Koordinatensystem ein.

Konstruiere ein Quadrat ABCD so, dass A und C auf OP, D auf OQ und B auf dem

Kreis um M mit Radius 2,5 cm liegen.


7 Lösung EXP Konstrukt. zur Symmetrie 318 Wegen der Symmetrie

des Quadrats zur Dia-gonalen AC = OP liegt D auf dem zum Kreis um M symmetrischen Kreis. Daher ist D der Schnittpunkt von OQ mit dem Bildkreis.

A und C findet man dann, indem man einen Kreis um den Schnitt-punkt der Diagonalen BD mit der Geraden OP durch B und D zeichnet.

Es gibt zwei Lösungen.

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

P

Q

M

A

C

B

D

D1

A1

B1

C1


7 Üben X Punktspiegelung 401

Gegeben sind die Punkte P(2/3) , Q(6/4) und R(4/7) . Bilde das Dreieck durch eine

Punktspiegelung ab, wenn

a) das Zentrum Z = A ist;

b) das Zentrum Z der Mittelpunkt von [BC] ist.


7 Lösung X Punktspiegelung 401

A=ZA=ZA=ZA=Z

BBBB

CCCC

M=ZM=ZM=ZM=Z

B'B'B'B'

C'C'C'C'



Gegeben ist das Dreieck A(1/1) , B(6/0) und C(3,5/4) . Konstruiere das Bilddreieck

bei einer Punktspiegelung am Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten.



AAAA

BBBB

CCCC

ZZZZ

B'B'B'B'

C'C'C'C'

A'A'A'A'


7 Üben XX Punktspiegelung 403

Fragen zur Punktspiegelung:

a) Hat eine Punktspiegelung Fixpunkte, Fixgeraden bzw. Fixpunktgeraden. Falls ja,

welche sind das?

b) Entscheide, ob folgende Aussagen über die Punktspiegelung wahr oder falsch

sind:

1) Gerade und Bildgerade sind bei einer Punktspiegelung parallel.

2) Zu je zwei parallelen Geraden gibt es eine Punktspiegelung, die sie aufeinan-

der abbildet.

3) Bei einer Punktspiegelung an einem festen Zentrum Z gilt für je zwei parallele

Geraden, dass sie aufeinander abgebildet werden.


7 Lösung XX Punktspiegelung 403 a) Einziger Fixpunkt ist das Zentrum, es gibt keine Fixpunktgerade, aber alle Gera-

den durch Z sind Fixgeraden.

b) 1) wahr;

2) wahr; das Zentrum liegt auf der Mittelparallelen;

3) falsch.


7 Üben XX Punktspiegelung 404

Entscheide bei folgenden Aussagen jeweils, ob sie wahr oder falsch sind:

a) Zwei parallele Geraden sind immer punktsymmetrisch.

b) Zwei parallele Geraden besitzen immer genau eine Symmetrieachse.

c) Zwei sich schneidende Geraden sind immer achsensymmetrisch.

d) Zwei sich schneidende Geraden sind immer punktsymmetrisch.

e) Zwei Kreise mit gleichem Radius bilden immer eine achsensymmetrische Fi-

gur.

f) Zwei Kreise mit gleichem Radius bilden immer eine punktsymmetrische Figur.

Überlege dir bei den richtigen Aussagen auch, wie die Achse verläuft bzw. wo das

Symmetriezentrum liegt.


7 Lösung XX Punktspiegelung 404 Alle Aussagen mit Ausnahme von b sind richtig.

a) Jeder beliebige Punkt auf der Mittelparallelen ist Zentrum.

c) Die Winkelhalbierenden sind die Symmetrieachsen.

d) Der Schnittpunkt der Geraden ist Symmetriezentrum.

e) Die Mittelsenkrechte der Verbindungsstrecke der Mittelpunkte ist Achse.

f) Der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke der Kreismittelpunkte ist Zentrum.



Gegeben ist das Dreieck ABC mit A(4/- 3), B(2/2) und C(-3/0). Konstruiere das dazu

punktsymmetrische Dreieck A’B’C’, wenn der Punkt A’ die Koordinaten (-2/2) hat.

Gib die Koordinaten der zu konstruierenden Punkte an.



-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-4

-3

-2

-1

1

2

3

A

B

C

A'

Z

B'

C'


7 Üben XXX Punktspiegelung 406

Zeichne die Punkte R(3/1), A(5/2), P(3/3), I(2/5), D(1/3) und P’(1/1) in ein Koordi-

natensystem ein. Dabei ist P’ der Spiegelpunkt von P bei einer Punktspiegelung am

Zentrum Z.

a) Konstruiere Z und die Spiegelpunkte R’, A’, I’ und D’.

b) Zeichne das Achteck RAPIDA’P’I’ und markiere darin mit Farbe zwei zuei-

nander punktsymmetrische Strecken und zwei zueinander punktsymmetri-

sche überstumpfe Winkel.

c) Ermittle den Flächeninhalt des Achtecks RAPIDA’P’I’ .


7 Lösung XXX Punktspiegelung 406

b) Die Winkel ARI’ und A’R’I sind z.B. punktsymmetrisch und überstumpf.

c) Das Viereck lässt sich aus dem Quadrat

P’RPR’ und vier Dreiecken, die so groß sind wie das Dreieck PRA zusammen-setzen. Also hat es den Flächeninhalt

1222422A21 =⋅⋅⋅+⋅= FE

-1 1 2 3 4 5

-1

1

2

3

4

5

6

R

A

P

I

D

P'

ZA'

I'

R'


7 Üben XXX Punktspiegelung 407

1) Wo liegen die Zentren einer Punktspiegelung, die einen Kreis so abbildet, dass

der Bildkreis den ursprünglichen Kreis berührt?

2) Gegeben ist nun der Kreis k um M(4/3) mit Radius r = 2 cm. Konstruiere die bei-

den Zentren Z1 und Z2 so, dass der Bildkreis bei einer Punktspiegelung an Z1

bzw. Z2 sowohl den Kreis k wie auch die RW-Achse berührt. Zeichne auch die

Bildkreise ein.


7 Lösung XXX Punktspiegelung 407 1) Mögliche Zentren sind alle Punkte der Kreislinie. 2) Zuerst sind die Mittelpunkte der beiden Kreise zu konstruieren. Sie liegen auf einem Kreis um M mit Ra-dius 4 cm und auf einer Parallelen zur RW-Achse im Ab-stand 2 cm. Die Zentren sind die Schnittpunkte der Verbindungen der Mittelpunkte mit der Kreislinie k.

MMMMZ1Z1Z1Z1Z2Z2Z2Z2

M1M1M1M1M2M2M2M2


7 Üben EXP Punktspiegelung 408

Zeichne die Strecken [AB] und [A’B’] mit A(-4/3), B(- 4/- 1), A’(4/- 3) und B’(4/1) in ein

Koordinatensystem ein. Sie sind punktsymmetrisch bezüglich des Zentrums Z(0/0).

a) Wie ändert sich die Lage der Strecke [A’B’], wenn man die Strecke [AB] fest

lässt und das Zentrum Z um 1 LE, 2 LE, … in x-Richtung verschiebt?

b) Wie ändert sich die Lage der Strecke [A’B’], wenn man die Strecke [AB] fest

lässt und das Zentrum Z um 1 LE, 2 LE, … in y-Richtung verschiebt?

Begründe deine Überlegungen!


7 Lösung EXP Punktspiegelung 408

a) Mit jeder Längeneinheit, um die das Zentrum nach rechts verschoben wird,

verschiebt sich die Strecke [A’B’] um 2 LE nach rechts, denn das Zentrum

liegt immer in der Mitte der Strecke [AA’], und wenn sich die Mitte um eine LE

verschiebt, muss sich das Ende der Strecke um 2 LE verschieben.

b) Dabei verschiebt sich die Strecke [A’B’] um doppelt so viele Längeneinheiten

nach oben wie das Zentrum nach oben verschoben wird.


7 Üben WH (Punktspiegelung) 409

1. Teilbarkeit:

Welche der Zahlen 325, 954, 1005, 452, 546762 bzw. 10100019 sind durch 3

bzw. durch 6 bzw. durch 9 teilbar?

2. Primzahlen und Quadratzahlen:

Welche der Zahlen 1, 53, 169, 101, 64, 27, 289 bzw. 79 sind Quadratzahlen,

welche sind Primzahlen?


7 Lösung WH (Punktspiegelung) 409

1. Regeln für die Teilbarkeit: Eine Zahl ist durch 3 bzw. 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 bzw. 9 teilbar ist. Sie ist durch 6 teilbar, wenn sie gerade ist und durch 3 teilbar ist. Durch 3 teilbar sind: 954, 1005, 546762, 10100019; durch 9 teilbar ist: 954 durch 6 teilbar sind 954 und 546762

2. Primzahlen sind: 53, 101, 79 Quadratzahlen sind: 1, 169, 64 und 289


7 Üben WH (Punktspiegelung) 410

1. Wie viele verschiedene sechsstellige ungerade natürliche Zahlen besitzen

den Quersummenwert 3?

2. Wie viele verschiedene sechsstellige natürliche Zahlen besitzen den Quer-

summenwert 53? Gib alle an!

3. Wie viele verschiedene vierstellige ganze Zahlen kannst du aus den Ziffern 0,

1, 2 und 3 bilden, wobei die Ziffern beliebig oft vorkommen dürfen?


7 Lösung WH (Punktspiegelung) 410

1. In der Zahl dürfen entweder 3 Ziffern 1 oder eine Ziffer 1 und eine Ziffer 2 vor-kommen. Alle anderen Ziffern müssen 0 sein, die weder vorne noch hinten stehen dürfen. Die Zahlen haben entweder das Aussehen 1XXXX1 oder 200001, wobei eines der X durch 1 zu ersetzen ist. Es gibt also 5 Zahlen, die die Bedingung erfüllen.

2. Um bei 6 Ziffern auf eine Quersumme von 53 zu kommen, müssen 5 Ziffern 9 sein und eine 8 vorkommen. Daher gibt es 6 verschiedene Zahlen, die die Bedingung erfüllen.

3. Es gibt für die Tausenderstelle 3 Möglichkeiten (1 oder 2 oder 3), für jede an-dere Stelle 4 Möglichkeiten, also gibt es 3⋅4⋅4⋅4 = 192 verschiedene Zahlen. (Zählprinzip)


7 Üben X Symmetrische Vierecke 501

Gib zu jeder Teilaufgabe alle Vierecke an, die die genannten Eigenschaften besit-

zen:

a) Alle Seiten sind gleich lang.

b) Je zwei Gegenseiten sind gleich lang.

c) Zwei Gegenseiten sind gleich lang.

d) Je zwei aneinander stoßende Seiten sind gleich lang.

e) Alle Winkel sind gleich groß.

f) Je zwei Gegenwinkel sind gleich groß.

g) Zwei Gegenwinkel sind gleich groß.

h) Je zwei benachbarte Winkel sind gleich groß.


7 Lösung X Symmetrische Vierecke 501

a) Raute, Quadrat b) Parallelogramm, Raute, Quadrat, Rechteck c) Gleichschenkliges Trapez, Parallelogramm, Raute, Quadrat, Rechteck d) Drachenviereck, Quadrat e) Quadrat, Rechteck f) Parallelogramm, Raute, Quadrat, Rechteck g) Drachenviereck, Parallelogramm, Raute h) Gleichschenkliges Trapez, Quadrat, Rechteck



Gib zu jeder Teilaufgabe alle Vierecke an, die die genannten Eigenschaften besit-

zen:

a) Das Viereck ist achsensymmetrisch.

b) Das Viereck ist punktsymmetrisch.

c) Das Viereck besitzt genau eine Symmetrieachse.

d) Das Viereck besitzt genau zwei Symmetrieachsen.

e) Genau eine Diagonale des Vierecks ist Symmetrieachse.

f) Die Diagonalen halbieren sich.

g) Die Diagonalen stehen aufeinander senkrecht.



a) Quadrat, Rechteck, Raute, Drachenviereck, gleichschenkliges Trapez

b) Parallelogramm, Quadrat, Raute, Rechteck

c) Drachenviereck, gleichschenkliges Trapez

d) Rechteck, Raute

e) Drachenviereck

f) Parallelogramm, Quadrat, Rechteck, Raute

g) Quadrat, Raute, Drachenviereck


7 Üben XX Symmetrische Vierecke 503

Steckbrief: Welches Viereck wird jeweils gesucht?

a) Ein Viereck, bei dem nur zwei Gegenseiten parallel und die beiden anderen

Seiten gleich lang sind.

b) Ein Viereck, das zugleich Rechteck und Raute ist.

c) Ein Viereck, das punktsymmetrisch bezüglich seines Diagonalenschnittpunkts

ist.

d) Ein Viereck, dessen Diagonalen sich gegenseitig halbieren und gleich lang

sind.

e) Ein Viereck, dessen Diagonalen sich gegenseitig halbieren und aufeinander

senkrecht stehen.


7 Lösung XX Symmetrische Vierecke 503

a) gleichschenkliges Trapez

b) Quadrat

c) Parallelogramm, Quadrat, Rechteck

d) Quadrat, Rechteck

e) Quadrat, Raute



Gib zu jeder der Aussagen an, ob sie wahr oder falsch ist. Zeichne zu jeder falschen

Aussage ein Gegenbeispiel:

a) Ein Trapez, in dem sich die Diagonalen gegenseitig halbieren, ist ein Recht-

eck.

b) Ein Trapez, bei dem alle Seiten gleich lang sind, ist eine Raute.

c) Jedes Parallelogramm ist punktsymmetrisch.

d) Jedes punktsymmetrische Viereck ist ein Parallelogramm.

e) Jedes Rechteck besitzt zwei gleich lange Diagonalen.

f) Jedes Viereck, das zwei gleich lange Diagonalen besitzt, ist ein Rechteck.

g) Bei einem Drachenviereck halbieren die Diagonalen die Winkel.


7 Lösung XX Symmetrische Vierecke 504

a) Richtig b) Richtig c) Richtig d) Richtig e) Richtig f) Falsch; Gegenbeispiel: gleichschenkliges Trapez g) Falsch; Gegenbeispiel: ein Drachenviereck, bei dem die Diagonalen nicht

gleich lang sind.



Die Punkte A(1/- 1), B(4/0) und D(0/2) sind Eckpunkte einer Raute ABCD. Konstruie-

re die Ecke C und gib ihre Koordinaten sowie die Koordinaten des Diagonalen-

schnittpunkts M an.



C(3/3), M(2/1)

-1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

A

B

D

C


7 Üben XXX Symmetrische Vierecke 506

Die Punkte P(1/1) und Q(3/- 1) sind die Mittelpunkte der Seiten [AB] und [BC] des

Quadrates ABCD. Konstruiere die vier Eckpunkte und gib an, wie viel Prozent der

Fläche des Quadrats im IV. Quadranten liegen.

Fertige eine Planfigur und beschreibe deine Konstruktion!


7 Lösung XXX Symmetrische Vierecke 506 Man erhält B, indem man z.B. an

die Strecke [MN] in M und N jeweils einen 45°-Winkel an-trägt. Die freien Schenkel schneiden sich im Punkt B. A liegt auf der Halbgeraden [BM und Kreis um M durch B; C erhält man entsprechend. D ist z.B. der Schnittpunkt der Lote auf AB in A und BC in C.

25 % der Fläche des Quadrats liegen im IV. Quadranten. 1 2 3 4 5 6

-2

-1

1

2

3

4

M

NB

A

C

D



Konstruiere das Drachenviereck ABCD mit A(2/5), C(- 1,5/1,5) und D(?/- 1), wenn

gilt: 8BD = cm. Die Symmetrieachse des Drachenvierecks ist BD.

Beschreibe deine Konstruktion.


7 Lösung XX Symmetrische Vierecke 507 D liegt auf der Symmetrie-

achse zu [AC] und auf der Parallelen zur x-Achse durch den Punkt (0/-1).

B liegt auf der Symmetrie-achse zu [AC] und dem Kreis um D mit Radius 8.

-2 -1 1 2 3 4 5 6

-2

-1

1

2

3

4

5

6

A

C

D

B


7 Üben EXP Symmetrische Vierecke 508

Zeichne das Schrägbild eines Würfels ABCDEFGH der Kantenlänge a = 4 cm. Dabei

sollen die nach hinten verlaufenden Würfelkanten in halber Länge schräg unter ei-

nem Winkel von 45° angetragen werden.

Um welche Art von Viereck handelt es sich beim Viereck ABGH? Zeichne das Vier-

eck in wahrer Größe.

Um wie viel Prozent ist der Flächeninhalt des Vierecks ABGH ungefähr größer als

der des Quadrates ABCD?


7 Lösung EXP Symmetrische Vierecke 508

Das Viereck ABGH erscheint in der Zeichnung verzerrt. In Wirklichkeit ist es ein Recheck, wobei [BG] bzw. [AH] ebenso lang sind wie die Strecke [AF] in der Zeichnung, al-so ungefähr 5,6 cm. (Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras kann man diese Streckenlänge auch berech-nen.)

Die Flächeninhalte betragen: AABCD = 16 cm2, AABGH ≈ 22,4 cm2

Das Viereck ABGH ist damit um ungefähr 40 % größer als das Viereck ABCD.

A B

CD

E F

GH


7 Üben WH (Symmetrische Vierecke) 509

Bruchrechnen:

Berechne:

a) 1825

53 ⋅ b)

43:25,1 c) 3,0:1

52

d) 2,0421 ⋅ e) 16:

74 f)

412:18


7 Lösung WH (Symmetrische Vierecke) 509

a) 6

5 b)

3

21

3

5= c)

3

24

3

14=

d) 9,010

9= e)

28

1 f) 8



Bruchrechnen:

Berechne:

a) 43

52 71,64 −+−

b) 65

54 13,31 +−

c) 252:643

32 ⋅−

d) ( ) ( ) ( )32

41 5,45,1:5 −⋅−+−



a) … = - 4,4 + 6,1 – 7,75 = 6,1 – 12,15 = - 6,05 = 2016

b) … = 103

309

3010

3019

3010

3025

3024 33311 ==−=−+

c) … = 61

63

62

23

31 8113103 −=−=−

d) … = ( ) ( ) ( )21

27

32

29

32

421 3 −=+−=−⋅−+−⋅



Bruchrechnen:

1. Welche Zahl muss für das Kästchen � eingesetzt werden, damit die Glei-

chung richtig ist?

( )61

51

31 −−�=−

2. Wähle aus der Menge der Zahlen { }18;;;5,1;631

103−−− zwei Zahlen so aus,

dass ihr Quotient

a) den kleinstmöglichen Wert

b) den größtmöglichen Wert annimmt!



1. Der Hauptnenner aller Brüche ist 30: ( )

103

309

305

304

305

306

3010

=�=

−−�=

−−�=−

2. a) Der kleinstmögliche Wert ist negativ. Dafür müssen Divisor und Dividend verschiedene Vorzeichen haben, und der Betrag des Dividenden möglichst groß und der des Divisors möglichst klein sein:

( ) 60:18103 −=−

b) Der größtmögliche Wert ist positiv. Dafür müssen beide Zahlen gleiches Vorzeichen besitzen, und der Betrag des Dividenden muss möglichst groß und der des Divisors möglichst klein sein.

54:1831 =


7 Üben X Wiederholung: Winkel 601

Ein Gemeindegebiet hat eine Fläche von 480 ha. In der Zeichnung ist dabei der Anteil des Waldes dunkelgrün, der der Wiesen hellgrün, der der Häuser rot, der des Ackerlandes blau und sonstige Flächen gelb dargestellt. Miss die Winkel und gib die Größe der jeweiligen Fläche an.


7 Lösung X Wiederholung: Winkel 601

1. Wald: 1350 entspricht 135

360

3

8= der Gesamtfläche = 180 ha

Wiese: 600 entspricht 1

6 der Gesamtfläche = 80 ha

Ackerland: 900 entspricht 1


Häuser: 450 entspricht 1


Sonstiges: 300 entspricht 1




Zeichne die Winkel α = 480 und ß = 350 mit dem Winkelmesser. Konstruiere durch

Winkelübertragung mit Zirkel und Lineal folgende Winkel:

a) 2α b) 3ß c) 3ß - α d) 3ß + 2α

Miss zur Kontrolle die von Dir konstruierten Winkel nach!



rechnerische Lösungen:

a) 960 b) 1050 c) 570 d) 2010

(Abweichungen um bis zu 30 in Deiner Zeichnung sind vertretbar.)



Die Winkel α = 1370 17“ und ß = 810 20’ 55“ sind gegeben. Berechne

a) α + ß b) α - ß c) 1800 - α d) 900 - ß



a) α + ß = 2180 21’ 12“ b) α - ß = 550 39’ 22“

c) 180 - α = 420 59’ 43“ d) 90 - ß = 80 39’ 5“


7 Üben XXX Wiederholung: Winkel 604

1. Rechne folgende Winkel um in eine Angabe aus Grad, Minuten und Sekunden:

a) 53,430 b) 78,780

2. Ermittle die dezimale Schreibweise folgender Winkel:

a) 720 51’ b) 240 16’ 12“


7 Lösung XXX Wiederholung: Winkel 604

1. 0,10 = 1

1060 6⋅ =' ' 0,010 =

1

1003600 36⋅ =" "

a) 53,430 = 53 4 6 3 36 53 24 108 53 25 480 0 0+ ⋅ + ⋅ = + + =' " ' " ' "

b) 78,780 = 78 7 6 8 36 78 42 288 78 46 480 0 0+ ⋅ + ⋅ = + + =' " ' " ' "

2. a) 720 51’ = 7251

6072

17

2072 850

00

00+ = + = ,

b) 240 16’ 12“ = 2416

60

12

360024

4

15

1

30024

81

3000

0 00

0 00

0

+ + = + + = + =

= 2427

10024 270

00+ = ,



1. Gib in Grad, Winkelminuten und Winkelsekunden an (Beispiel: 75´ = 1°15´): a) 90´ b) 120´ c) 400´´ d) 5° 140´ e) 3600“

2. Schreibe in der kleineren Einheit (Beispiel: 1° 12´ = 72´ ): a) 3° 30´ b) 11°40´ c) 6´ 7´´ d) 2° 8´ 50´´ e) 15° 10´ 20´´ f) 90° 30“



1. a) 1° 30´ b) 2° c) 6´ 40´´ d) 5° + 2° 20´ = 7° 20´ e) 60´ = 1°

2. a) 210´ b) 660´ + 40´ = 700´ c) 367´´ d) 120´ + 8´ 50´´ = 128´ 50´´ = 7730´´ oder 120´ + 530´´ = 7200´ + 530´´ = 7730´´ e) 900´ + 10´ 20´´ = 910´ 20´´ = 54600´´ + 20´´ = 54620´´ f) 5400´ + 30´´ = 324 000´´ + 30´´ = 324 030´´



1. Gib in Grad, Winkelminuten und Winkelsekunden an (Beispiel: 75´ = 1°15´):

a) 10 000´

b) 1 234´´

c) 58´ 243´´

d) 23° 57´ 180´´

e) 99° 111´ 22 222´´

2. Schreibe in der kleineren Einheit (Beispiel: 1° 12´ = 72´ ):

a) 3° 30´´

b) 110°40´

c) 60´ 7´´

d) 12° 98´ 50´´



1. a) 166° 40´

b) 20´ 34´´

c) 1° 2´ 3´´

d) 24°

e) 107° 1´ 22´´

2. a) 180´ 30´´ = 10 830´´

b) 6 640´

c) 3607´´

d) 49 130´´



Berechne die Winkel, den der Stunden- und der Minutenzeiger einer Uhr

einschließen, wenn es

a) 13.00 Uhr b) 19.00 Uhr

c) 9.30 Uhr d) 8.45 Uhr

e) 16.10 Uhr f) 11.11 Uhr ist



Hinweis: Wenn der Stundenzeiger um 1 Stunde weiterwandert, entspricht das 30°. Der Minutenzeiger wandert in

1 Minute um 6°.

a) Der Minutenzeiger zeigt auf 12, der Stundenzeiger steht auf 1. Der Winkel ist also 30°. b) Der Minutenzeiger zeigt auf 12, der Stundenzeiger zeigt auf 7. Der Winkel ist also

5•30° = 150°. c) Der Minutenzeiger zeigt auf 6, der Stundenzeiger steht in der Mitte zwischen 9 und 10.

Der Winkel ist also 3•30° + 15° = 105°.

d) Der Minutenzeiger steht 9, der Stundenzeiger ist um 4

1

60

15= von 30° von der 9 entfernt.

Der Winkel ist also 4

1 von 30° = 7,5°.

e) Der Minutenzeiger steht auf der 2. Der Stundenzeiger steht zwischen 4 und 5 und ist um

6

1

60

10= von 30 ° von der 4 weitergerückt. Der Winkel ist also 2•30° + 5° = 65°.

f) Der Minutenzeiger steht 1•6° nach der 2, der Stundenzeiger ist von der 11 um 11•0,5° weitergerückt. Der Winkel ist also 3•30° + 6° - 11•0,5° = 90,5°.



Berechne die Winkel, den der Stunden- und der Minutenzeiger einer Uhr

einschließen, wenn es

a) 14.30 Uhr b) 23.15 Uhr

c) 16.40 Uhr d) 7.23 Uhr ist.



a) Der Minutenzeiger zeigt auf 6, der Stundenzeiger steht in der Mitte zwischen 2 und 3. Der Winkel ist also 3 30 150 0⋅ + = 1050 .

b) Der Minutenzeiger zeigt auf 3, der Stundenzeiger ist um 15

60

1

4= von 300 von 11

weitergerückt. Der Winkel ist also 3 30 22 50 0⋅ + , = 112,50 . c) Der Minutenzeiger zeigt auf 8, der Stundenzeiger steht zwischen 4 und 5 und ist

um 40

60

2

3= von 300 von 4 weitergerückt. Der Winkel ist also 4 30 200 0⋅ − = 1000 .

d) Der Minutenzeiger steht 7 60⋅ vor der 6, der Stundenzeiger ist von 7 um 23 0 50⋅ ,

weitergerückt. Der Winkel ist also 420 + 300 + 11,50 = 83,50



1. Übertrage die Figur in dein Heft und trage mit farbigen Kreisbögen folgende Winkel ein: < (g,h), < (h,k), < (k,l), < (l,h), < (h,g), < (k,h).

2. Übertrage die Figur in dein Heft und trage mit farbigen Kreisbögen folgende Winkel ein: < ABC, < BCD, < CDE,

< EDF, <EDC, <ABD



h

k g

l

B

C D

A

E

F

< (h,g)< (h,g)< (h,g)< (h,g)

kkkk

hhhh

llll

< (g,h)< (g,h)< (g,h)< (g,h)

< (l,h)< (l,h)< (l,h)< (l,h)

< (h,k)< (h,k)< (h,k)< (h,k)

< (k,l)< (k,l)< (k,l)< (k,l)

< (k,h)< (k,h)< (k,h)< (k,h)

gggg

AAAA BBBB

CCCCDDDD

EEEE

FFFF

< CDE< CDE< CDE< CDE

< EDF< EDF< EDF< EDF

< EDC< EDC< EDC< EDC

< BCD< BCD< BCD< BCD

< ABC< ABC< ABC< ABC

< ABD< ABD< ABD< ABD



1. Notiere die in der Abbildung eingezeichneten Winkel mit Hilfe der angegebenen Punkte oder Schenkel:

2. Notiere die in der Abbildung eingezeichneten Winkel mit Hilfe der angegebenen

Punkte oder Schenkel:



1. rot: < BEC

blau: < ECB

grün: < BAD

violett: < CBE

2. rot: < (m,k)

blau: < (l,k)

gelb: < (g,l)

grün: < (k,g)

violett: < (h,m)

kkkk

mmmm

llllAAAA

gggg hhhh

AAAA BBBB

CCCC

DDDD

EEEE


7 Üben XX Wiederholung: Winkel 611

1. Gegeben ist der Winkel a = 70° und eine Halbgerade [SX. Übertrage a so, dass S der Scheitel und [SX

a) der erste Schenkel b) der zweite Schenkel

ist. 2. Zeichne mit dem Geodreieck einen Winkel von a) 135° b) 220°.

Übertrage die Winkel in ein Koordinatensystem so, dass der erste Schenkel mit [ST zusammenfällt, wenn S (1|1) und T(5|2) ist.


7 Lösung XX Wiederholung: Winkel 611

aaaa

AAAA

SSSS

XXXX

aaaa

AAAA

SSSS

XXXXPPPP

a1a1a1a1

a2a2a2a2

SSSS

TTTT

135.0 ° 135.0 ° 135.0 ° 135.0 °

220.0 ° 220.0 ° 220.0 ° 220.0 °


7 Üben XX Wiederholung: Winkel 612

1. Zeichne ein beliebiges Dreieck mit 3 spitzen Winkeln („spitzwinkliges Dreieck“).

Addiere zeichnerisch die 3 Innenwinkel dieses Dreiecks und notiere die Größe

die entstandenen Winkels.

2. Zeichne ein beliebiges Dreieck mit 1 stumpfen Winkel („stumpfwinkliges

Dreieck“). Addiere zeichnerisch die 3 Innenwinkel dieses Dreiecks und notiere

die Größe die entstandenen Winkels. Was fällt auf, wenn du die Ergebnisse aus

1. und 2. vergleichst?


7 Lösung XX Wiederholung: Winkel 612

1. und 2.: Größe des neuen Winkels jeweils 180°. (Ungenauigkeiten bis 3° erlaubt!) Hinweis: Die Winkelsumme im Dreieck beträgt stets 180°!


7 Üben X Winkel an Geradenkreuzungen 701

In nebenstehender Skizze ist α = 380 27’

a) Gib α in dezimaler Schreibweise an.

b) Berechne die Winkel ß , γ und δ .


7 Lösung X Winkel an Geradenkreuzungen 701

a) α = + = =3827

6038

9

2038 45

0 0

0o,

b) ß = 1800 - 900 - 38,450 = 51,550

γ = α (Scheitelwinkel) δ = 1800 - γ = 141,550

α

ß γ

δ


7 Üben XXX Winkel an Geradenkreuzungen 702

In der Skizze (nicht maßstabsgetreu) sind die Winkel α1 + ß1 = 88° und

α2 + γ2 = 134°. Berechne alle Winkel!


7 Lösung XXX Winkel an Geradenkreuzungen 702

Es ist: α1 + ß1 + γ1 = 180°.

Außerdem ist α1 + ß1 + α2 + γ2 = 88° + 134° = 222° und γ2 = γ1 .(Scheitelwinkel)

Daher muss α2 = 42° sein.

α1 = 42°, da Scheitelwinkel zu α2.

ß1 = 46° = ß2 und

γ1 = γ2 = 92°

α1

ß1

γ1

α2

γ2

ß2


7 Üben XX Winkel an Geradenkreuzungen 703

Gegeben ist die skizzierte Geradenkreuzung der vier Geraden g, h, s und t. Dabei sind die Geraden g und h parallel.

a) Gib alle Winkel an, die so groß sind wie α1 . (Gib als Begründung das verwendete Winkelgesetz in einem Stichwort an.)

b) Nun ist weiter bekannt, dass α2 dreimal so groß ist wie α1 . Außerdem ist γ3 = 720 . Berechne die Winkel α1 , α2 , α6 und β3 .


7 Lösung XX Winkel an Geradenkreuzungen 703

a) α4 (Scheitelwinkel), ß2 (Wechselwinkel) und ß4 (Stufenwinkel)

b) α1 + α2 = 1800 − 720 = 1080 (Nachbarwinkel zu γ3 )

α2 = 3α1 ⇒ α1 = 1080 : 4 = 270 ⇒ α2 = 810

α6 = γ3 = 720 (Stufenwinkel)

ß3 = 1800 - α1 = 1530 (Nachbarwinkel)

gggg

hhhh

sssstttt

α1 α2 α3

α4 α5

α6

γ3

γ4 γ1

γ2

ß1

ß2 ß3

ß4



In der Figur gilt: g // h , α = 53,50 ,

δ = 112,10 . Berechne ß .



ß = δ − α = 112,10 - 53,50 = 58,60

(ß ist Scheitelwinkel zu δ - α1 , α1 ist Stufenwinkel zu α)

53.5 ° 53.5 ° 53.5 ° 53.5 °

112.1 ° 112.1 ° 112.1 ° 112.1 °

gggg

hhhh

δ

α

ß



In der Zeichnung sind die Halbgeraden g und h parallel. Berechne die Winkel α und

ß!



Man zeichnet als Hilfslinie in der „Mitte“ noch eine Parallele zu g und h.

α1 ist Z-Winkel zu 52°, α2 ist

Z-Winkel zu 69°. Daher ist

α = 52° + 69° = 121° und

ß = 360° - 121° = 239°

52 °

g h

69 °

ß

α

52 °

g h

69 °

α1 α2


7 Üben X Winkel an Geradenkreuzungen 706

Zeichne ein Trapez ABCD mit [AB] || [CD] und α = 50° und ß = 80°.

Berechne die anderen Innenwinkel γ und δ.

Formuliere einen Satz für die Innenwinkel eines Trapezes.


7 Lösung X Winkel an Geradenkreuzungen 706

γ = 180° - ß = 100° (Nachbarwinkel zu ß)

δ = 180° - α = 130° (Nachbarwinkel zu α)

Aussage: Je zwei Winkel, die an einem Schenkel des Trapezes anliegen ergänzen

sich zu 180°.

Es gilt aber auch folgende Aussage:

Die Summe der Innenwinkel eines Trapezes ist 360°.



Berechne alle im Inneren des Buchstaben liegende Winkel und gib sie mit Hilfe der

gegebenen Punkte an!

(Vgl. Cornelsen: Fokus Mathematik 7 / S. 40/ Nr. 27)



∠CBA = 120° (Nachbarwinkel zu ∠BAH)

∠DCB = 360° - 120° = 240° (∠BCD = ∠CBA, da Wechselwinkel)

∠MKI = 360° - ∠IKM = 360° - 60° = 300° (∠IKM = ∠DCK = 180° - ∠BCD = 60°)

∠AHG = 180° - 60° = 120° (Nachbarwinkel zu ∠BAH)

∠LMK = 360° - ∠KML = 360° - (180° - ∠IKM) = 240°

Die Winkel der rechten Hälfte der Figur entsprechen den berechneten Winkeln, da

sie symmetrisch sind.


7 Üben XXX Winkel an Geradenkreuzungen 708

Begründe zunächst, dass die beiden

Geraden g und h nicht parallel sind. Ändere

nun die Größe des Winkels

a) α b) ß

c) γ

so ab, dass g und h zueinander parallel sind.

Bei jeder Teilaufgabe sollen die beiden

anderen Winkel unverändert bleiben.


7 Lösung XXX Winkel an Geradenkreuzungen 708

Der Stufenwinkel zu α ist 180° - (ß’ + γ) = 180° - (36° + 81°) = 63° ≠ α

Daher sind g und h nicht parallel. (ß’ ist der Scheitelwinkel von ß.)

a) α = 63° (durch Drehung von g)

b) ß = 38° ( durch Drehung der aller Geraden außer g))

c) γ = 83° (durch Drehung von h)

81 °

36 °

61 ° α

γ

ß

g

h


7 Üben WH (Winkel an 709

1. Gib in der in Klammern angegebenen Einheit an:

a) 0,65 m3 ( dm3 ) b) 0,05 ha ( m2)

c) l83 (mm3 ) d)

504 km2 ( a )

e) 65 cm ( km ) f) 702519 m ( km)

2. Sortiere folgende Längenangaben nach ihrer Größe. Beginne mit der kleinsten!

69 cm; 0,7 dm; 688 mm; 0,067 m; 6,85 dm; 32 m


7 Lösung WH (Winkel an 709

1.a) 650 dm3 b) 50000 m2

c) 375 mm3 d) 800 a

e) 0,00065 km f) 0,07076 km

2. 0,7 dm < 32 m < 6,85 dm < 688 mm < 69 cm


7 Üben WH (Winkel an 710

Die Spielerinnen einer Handballmannschaft haben folgende Körpergrößen:

1,62 m; 1,75 m; 1,78 m; 1,63 m; 1,88 m;1,69 m.

Berechne den arithmetischen Mittelwert ihrer Körpergrößen!


7 Lösung WH (Winkel an 710

Der Durchschnitt ihrer Körpergrößen ist:

m725,1m6

35,10m

6

69,188,163,178,175,162,1==

+++++


7 Üben XX Winkelsumme im Dreieck 801

1) In einem rechtwinkligen Dreieck ist α = 900 und γ = 270 . Wie groß ist ß ?

2) Wie groß sind die Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn γ = 900 ist und

a) α dreimal so groß ist wie ß. b) α um 240 größer als ß ist ?

3) In einem Dreieck ist α = ß. Der Winkel γ ist

a) um 330 kleiner als ß b) viermal so groß wie ß.

Berechne die Winkel.


7 Lösung XX Winkelsumme im Dreieck 801

1) ß = 630

2) a) β = 22,50 , α = 67,50 b) α = 570 , β = 330

3) a) β + β + (β − 330) = 1800 ⇒ β = 710 = α , γ = 380

b) β + β + 4β = 1800 ⇒ β = 300 = α , γ = 1200



1) In einem Dreieck ist γ halb so groß wie ß und α ist ein Drittel von γ . Berechne alle

drei Winkelgrößen.

2) In der Skizze gilt: AC ⊥ AB , AD ⊥ BC,

w ist Winkelhalbierende von γ .

Berechne σ .



1) α + β + γ = 1800

γ α γ= ⇒ = ⇒ = ⇒ =1

2

1

6180 1800 0ß ß ß =

1

3ß

1

6ß +ß +

1

2

5

3

⇒ β = 1080 , γ = 540 , α = 180

2) γ = 1800 − 900 − 320 = 580 (Winkelsumme im ∆ABC) ⇒ ∠ACE = 290

∠DAC = 1800 - 580 - 900 = 320 (Winkelsumme im ∆ADC)

α = 1800 − ∠DAC - ∠ACE = 1800 - 320 - 290 = 1190

(Winkelsumme im Dreieck ASC und Scheitelwinkel)

320

σ

A B

C

D

w

γ

E

S



In der Skizze gilt: g // h .

Berechne aus den angegebenen

Winkelgrößen die Winkel α γ δ, , ,ß

und ε mit Hilfe der Winkelgesetze.

Gib zu jedem Winkel den

verwendeten Sachverhalt in

Stichworten an.



α = 1800 − 1100 = 700 (Nachbarwinkel zu 1100 bzw. Scheitelwinkel)

ε = 1100 (Scheitelwinkel zu 1100)

ß = 1800 - 700 - 420 = 680 (Winkelsumme)

γ = 1800 − 420 = 1380 (Nebenwinkel zu 420)

δ = 1800 − γ = 1800 − 1380 = 420 (Nachbarwinkel zu γ und Scheitelwinkel)

42.0 ° 42.0 ° 42.0 ° 42.0 °

110.0 ° 110.0 ° 110.0 ° 110.0 °

gggg

hhhh

α

ß

γ

δ

ε



In der Skizze gilt: g // h.

Berechne aus den

angegebenen

Winkelgrößen die Winkel

α γ δ, , ,ß und ε mit Hilfe

der Winkelgesetze.

Gib zu jeder Berechnung

eine kurze Begründung an.



β = 1800 − 1400 = 400 (Nebenwinkel)

δ = β = 400 (Stufenwinkel zu ß)

γ‘ = 1800 - 900 - 400 = 500 (Winkelsumme im Dreieck)

γ = 1800 - 500 = 1300 (Nebenwinkel zu γ‘)

α = 1800 − γ = 500 (Nachbarwinkel zu γ)

ε = 1800 − 900 − α = 400

140.0 ° 140.0 ° 140.0 ° 140.0 ° 90.0 ° 90.0 ° 90.0 ° 90.0 °

90.0 ° 90.0 ° 90.0 ° 90.0 °

gggg

hhhh

ß α

γ

ε

δ



a) Welche Voraussetzung muss erfüllt

sein, dass man zur Berechnung von

Winkeln in der Figur die Gleichheit

von Stufenwinkeln verwenden kann?

b) Ermittle die Größe des Winkels α.

Begründe Deine Rechenschritte.



a) g muss parallel zu h sein.

b) ß = 1800 - 126,20 = 53,80 (Nebenwinkel zu 126,20)

α = 53,80 + 93,50 = 147,30 (der Außenwinkel ist so groß wie die Summe der nicht

anliegenden Innenwinkel im Dreieck)

gggghhhh

126,20

93,50

α



In der Skizze gilt:

CF // AB , AD // BF

a) Bestimme die Winkel α und φ.

b) Welche Bedeutung hat der Winkel ß

für das Dreieck EFB?

c) Berechne ß und gib an, wo er

nochmals in der Skizze auftritt.



a) φ = 74,90 (Stufenwinkel)

α = 1800 - 46,10 - 74,90 = 590 (Winkelsumme im ∆AED)

b) ß ist ein Außenwinkel des Dreiecks BEF

c) ß = 74,90 + 46,10 = 1210

Er tritt nochmals als Stufenwinkel bei A bzw. bei C auf.

46.1 ° 46.1 ° 46.1 ° 46.1 °

74.9 ° 74.9 ° 74.9 ° 74.9 °

A

B C

D

E

F

α

ß

φ


7 Üben XXX Winkelsumme im Dreieck 807

In der Zeichnung gilt: g // h und

p // q . Außerdem sind die

markierten Winkel gegeben.

Berechne die Größe von ∠DAE

und ∠CBD .


7 Lösung XXX Winkelsumme im Dreieck 807

∠CBA = 1800 - 119,90 = 60,10 (Nebenwinkel)

∠DAE = 86,30 - 60,10 = 26,20 (Hinweis: Stufenwinkel zu ∠CBA)

∠BAD = 1800 - 86,30 = 93,70 (Nebenwinkel)

∠DBA = 1800 - 43,10 - 93,70 = 43,20 (Winkelsumme im ∆ABD)

∠CBD = 1800 - 119,90 - 43,20 = 16,90

43.1 ° 43.1 ° 43.1 ° 43.1 °

119.9 ° 119.9 ° 119.9 ° 119.9 ° 86.3 ° 86.3 ° 86.3 ° 86.3 °

gggg

hhhh

pppp qqqq

AAAA BBBB

CCCCDDDDEEEE



Berechne α , γ und δ in der Zeichnung. Die beiden mit α bzw. mit γ bezeichneten

Winkel sind gleich groß.



γ = (1800 − 460) : 2 = 670

α = (1800 − 670) : 2 = 56,50

δ = 1800 − (1800 − α) − 460 = 10,50

46.0 ° 46.0 ° 46.0 ° 46.0 °

γ

γ

α α

δ



In einem Dreieck ist der Winkel ß = 72°. Berechne die anderen Winkel, wenn

bekannt ist, dass:

a) α 60 % von ß ist;

b) α 60 % von γ ist.



a) °=°+°−°=γ⇒=⋅=⋅=α 8,64)2,4372(1802,4372ß 00106

106

b) γ⋅=α

°=°−°=γ+α

106

10872180 ⇒ °=γ⇒°=γ⋅ 5,67108

1016

°=α 5,40



Zeichne die Drachenfliegerfigur mit den gegebenen Abmessungen in dein Heft.

Berechne zuerst die Winkel, die du

für eine Konstruktion brauchst.

(Vgl. Cornelsen Fokus Mathematik 7 S. 45/ Nr. 23)



Du musst die Winkel der beiden Dreiecke jeder Seite berechnen. Das Dreieck, das

direkt an der Achse anliegt, besitzt die Winkel 110°, 45° und 25°, das außen

gelegene Dreieck besitzt die Winkel 135°, 15° und 30°. Nun kannst du zuerst das

außen liegende Dreieck, dann das an die Achse grenzende Dreieck und dann durch

Achsenspiegelung den gesamten Drachen konstruieren.


7 Üben WH Winkelsumme im Dreieck 813

Der rechteckige Grundriss eines

Raumes hat die angegebenen Maße. In

der Ecke E steht ein Scheinwerfer, der

den gelb markierten Teil des Raumes

mit seinem Lichtkegel beleuchtet.

Ermittle den Flächeninhalt der

beleuchteten Bodenfläche. Wie viel

Prozent der gesamten Bodenfläche sind

beleuchtet?


7 Lösung WH Winkelsumme im Dreieck 813

ARechteck = 80 m2

Agelbes Dreiieck = m 8m 721 ⋅⋅ = 28 m2.

Anteil der beleuchteten Fläche = 10035

207

8028 == = 35 %

E

A B

C

D

3m

8m

10m


7 Üben WH Winkelsumme im Dreieck 814

Ein Walmdach fällt nach allen Seiten

schräg ab. Das abgebildete Walmdach

soll neu eingedeckt werden.

Gegenüberliegende Dachflächen haben

die gleichen Abmessungen. Berechne

die einzudeckende Dachfläche.

(Vgl. Cornelsen Fokus Mathematik 7 S. 38/ Nr. 3)


7 Lösung WH Winkelsumme im Dreieck 814

Vorne: ( ) 2,674,6912A21

Trapez =⋅+⋅= (in m2)

Seitlich: 8,202,58A21 =⋅⋅=∆

Insgesamt: 67,2 m2⋅2 + 20,8 m2

⋅2 = 134,4 m2 + 41,6 m2 = 176 m2


7 Üben EXP Winkelsumme im Dreieck 815

DAGOBERT besteht aus zwei gleichseitigen Dreiecken DRT und GOB und zwei

Quadraten DAER und AGBE.

Berechne die Winkel ∠TEO und ∠ATE.


7 Lösung EXP Winkelsumme im Dreieck 815

∠TRE = 60° + 90° = 150°

Das Dreieck TER ist gleichschenklig mit Basis [TE]. ∠ETR = (180° - 150°):2 = 15°

Genauso findet man den Winkel ∠DTA = 15°.

Daher ist ∠ATE = 60° - 2⋅15° = 30°.

∠RET = ∠ETR = 15° ⇒ ∠TEO = 180° - 2⋅15° = 150°.


7 Üben EXP Winkelsumme im Dreieck 816

Drei Strecken schneiden sich in einem Punkt und

sind paarweise miteinander verbunden wie es in

der Zeichnung dargestellt ist. Wie groß ist die

Summe der markierten Winkel?


7 Lösung EXP Winkelsumme im Dreieck 816

Die Summe der Innenwinkel in den drei Dreiecken beträgt 3⋅180° = 540°. Von den

sechs Winkeln, die im Schnittpunkt der Geraden in der Mitte der Figur entstehen,

sind jeweils zwei gleich groß, da es Scheitelwinkel sind. Daher ist die Summe der

drei in den Dreiecken gelegenen Winkel 360° : 2 = 180°. Somit ergibt sich als

Summe der markierten Winkel 540° - 180° = 360°


7 Üben XX Winkelsumme im Viereck 901

1) Berechne die Größe des vierten Innenwinkels eines Vierecks, wenn die drei

anderen gegeben sind:

a) α = 770 , ß = 580 , γ = 800 b) α = γ = 250 , δ = 1000

2) Ein Viereck, in dem zwei gegenüberliegende Seiten parallel sind, heißt Trapez.

a) Berechne im Trapez ABCD, in dem AB // CD ist und α = 430 , γ = 780 sind, die

Winkel ß und δ . (Fertige eine Skizze!)

b) In einem weiteren Trapez ABCD ist AB // CD , AD ⊥ BC und α = 330 . Berechne ß,

γ und δ . (Fertige eine Skizze!)


7 Lösung XX Winkelsumme im Viereck 901

1) a) δ = 1450 b) ß = 2100

2) a) δ = 1800 - α = 1370 (Nachbarwinkel zu α)

ß = 1800 - γ = 1020 (Nachbarwinkel zu γ)

b) β = 1800 − α − 900 = 570 (Winkelsumme im ∆ABE)

δ = 1800 − α = 1470

γ = 1800 − β = 1230

A B

C D

E

900

330



In der gezeichneten Figur ist δ = 79,60 , ε = 54,70 , σ = 110,20.

Berechne α , ß , γ und τ .



β = 1800 − δ = 100,40 (Nebenwinkel)

γ = ε = 54,70 (Scheitelwinkel)

α = 1800 − β − γ = 24,90 (Winkelsumme im Dreieck)

τ = 3600 − 900 − σ − ε = 105,10 (Winkelsumme im Viereck)

90.0 ° 90.0 ° 90.0 ° 90.0 °

54.7 ° 54.7 ° 54.7 ° 54.7 °

110.2 ° 110.2 ° 110.2 ° 110.2 °

79.6 ° 79.6 ° 79.6 ° 79.6 °

δ

ε

σ

α

ß γ

τ


7 Üben XXX Winkelsumme im Viereck 903 Berechne σ , τ und γ , wenn gegeben ist:

α = 45,60 , β = 25,60 , ε = 36,60 , δ = 124,60 .


7 Lösung XXX Winkelsumme im Viereck 903

β1 = 1800 − δ − ε = 18,80 (Winkelsumme im Dreieck) ⇒ σ = β + β1 = 44,4

0

γ = 1800 − α − σ = 900 (Winkelsumme im Dreieck)

τ = 3600 − σ − δ − γ = 360° - 259° = 101° (Winkelsumme im Viereck)

124.6 ° 124.6 ° 124.6 ° 124.6 °

25.6 ° 25.6 ° 25.6 ° 25.6 °

45.6 ° 45.6 ° 45.6 ° 45.6 °

36.6 ° 36.6 ° 36.6 ° 36.6 °

σ

τ γ α

ß

ε

δ



In Vierecken sind die Winkel entsprechend der zugehörigen Ecken benannt; d.h. zu

A gehört α, zu B ß usw.

Berechne alle anderen Winkel des jeweiligen Vierecks ABCD, wenn folgendes

bekannt ist:

a) Das Viereck ist ein Parallelogramm und α = 65°.

b) Das Viereck ist ein Drachenviereck mit α = 70 ° und ß = 80° und

Symmetrieachse BC.

c) Das Viereck ist ein Trapez mit BC || AD und ß = 72° und γ = 67°.

d) Das Viereck ist eine Raute mit δ = 73°



a) γ = α = 65°, ß = δ = (360° - 130°) : 2 = 115°

b) γ = α = 40°; δ = 360° - (70° + 70° + 80°) = 140°

c) α = 180° - ß = 108°; δ = 180° - γ = 113°

d) ß = δ = 73°; α = γ = (360° - 2⋅73°) : 2 = 214° : 2 = 107°


7 Üben WH (Winkelsumme im Viereck) 905

Berechne:

a) 0,91 m – 38 cm – 2,5 dm b) 5,9 a – 53 m2 + 0,16 ha

c) 323 t – 750 kg d) 4,2 h – 1 h 45 min

e) 17 min 25 s + 3,8 min f) 4,5 m ⋅ 80 cm

g) 3,2 km2 : 800 m h) 15 ha : 75 a

i) 45 l : 50 cm2 j) 1,5 m ⋅ 8 dm2


7 Lösung WH (Winkelsumme im Viereck) 905

a) … = 91 cm – (38 cm + 25 cm) = 28 cm

b) … = 590 m2 + 1600 m2 – 53 m2 = 2137 m2 0 21,37 a

c) … = t2tt3tt31211

129

128

43

32 =−=−

d) … = 4 h 12 min – 1 h 45 min = 2 h 27 min

e) … = 17 min 25 s + 3 min 48 s = 21 min 13 s

f) … = 45 dm ⋅ 8 dm = 360 dm2 = 3,6 m2

g) … = 3,2 km2 : 0,8 km = 4 km

h) … = 1500 a : 75 a = 20

i) … = 45000 cm3 : 50 cm2 = 900 cm = 9 m

j) … = 15 dm ⋅ 8 dm2 = 120 dm3 = 120 l = 0,12 m3



Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne die fehlenden Größen der

Rechtecke:

Länge Breite Flächeninhalt Umfang

5,2 cm 2,7 cm

3,9 m 19,1 m

0,75 km 17,1 ha

36 a 300 m



Länge Breite Flächeninhalt Umfang

5,2 cm 2,7 cm 14,04 cm2 15,8 cm

5,65 m 3,9 m 22,035 m2 19,1 m

0,75 km 228 m 17,1 ha 1956 m

120 m 30 m 36 a 300 m

(letzte Zeile durch Probieren!)



a) Der Oberflächeninhalt eines Würfels beträgt 13,5 m2. Wie lang sind seine

Kanten und wie groß ist sein Volumen?

b) Ein Würfel hat einen Rauminhalt von 729 l. Wie groß ist sein

Oberflächeninhalt?



a) Der Oberflächeninhalt eines Würfels der Kantenlänge a ist 6⋅a2.

a2 = 1350 dm2 : 6 = 225 dm2 . Also ist a = 15 dm.

Das Volumen des Würfels ist a3. Also ist es 3375 l.

b) V = 729 dm3. Durch Probieren findet man a = 9 dm.

Der Oberflächeninhalt ist dann 6⋅ 9 dm2 = 486 dm2


7 Üben EXP Winkelsumme im Vieleck 908

Die Zeichnung zeigt ein

gleichseitiges Dreieck und ein

regelmäßiges Fünfeck. Wie groß ist

der Winkel x?


7 Lösung EXP Winkelsumme im Vieleck 908

Die Innenwinkel des Dreiecks betragen 60°, die des Fünfecks 540° : 5 = 108°.

Dann sind die Innenwinkel des unten links gelegenen Dreiecks 60°, 72° und 48°.

Der Winkel x ist Nebenwinkel zum 48°-Winkel, also x = 180° - 48° = 132°.


7 Üben X Berechnen von Termen 1001

Lasse bei folgenden Termen zur Vereinfachung der Schreibweise überflüssige

Klammern und Malpunkte weg:

a) ( )yx25 ⋅⋅+ b) ( )nk:6 ⋅ c) ( )yx510 +⋅⋅

d) ( )1xx10 +⋅⋅ e) ( ) ( )3x3x +⋅− f) ( )[ ]yx:2x3 ⋅+⋅

g) ( )213:

2

x510⋅

⋅− h) ( )[ ] xz:y:x ⋅ i) ( )x73x:x ⋅⋅+


7 Lösung X Berechnen von Termen 1001

a) 5 + 2xy b) kn:6 c) ( )yx510 +⋅

d) 10x(x + 1) e) (x – 3)(x + 1) f) [ ]xy:2x3 +

g) ( )213:

2

x510⋅

− h) ( )[ ]xz:y:x i) ( )x73x:x ⋅+


7 Üben XX Berechnen von Termen 1002

Schreibe zu folgenden Beschreibungen die jeweiligen Terme auf:

a) Bilde die Summe aus dem Doppelten einer Zahl und 17.

b) Addiere 17 zu einer Zahl und multipliziere das Ergebnis mit 2.

c) Dividiere eine Zahl durch die um 2 verkleinerte Zahl.

d) Multipliziere eine Zahl mit ihrem Vorgänger.

e) Addiere die Hälfte einer Zahl zum Dreifachen der um 5 vergrößerten Zahl.

f) Addiere zum Quadrat einer Zahl die 3. Potenz dieser Zahl und dividiere das

Ergebnis durch 10.

g) Der Term ist das Produkt aus der Summe zweier Zahlen und der Differenz

dieser Zahlen.


7 Lösung XX Berechnen von Termen 1002

a) 2x + 17

b) 2(x + 17)

c) x : ( x - 2)

d) x(x – 1)

e) ( ) x5x321++

f) (x2 + x3) : 10

g) (x + y)(x – y)



Gib zu jedem der Terme eine Rechenanweisung an:

a) ( )x1xxT += b) ( )

3a

3aaT

−

+=

c) ( ) 22 ba4b;aT −= d) ( )yx

xyy;xT

+=

e) ( ) ( )cbaabcc;b;aT ++= f) ( )2k

1

k

1kT −=

g) ( ) ( )( )6

2n1nnnT

−−= , wobei n eine natürliche Zahl größer 2 ist.



a) Addiere zu einer Zahl ihren Kehrwert.

b) Dividiere die Summe von a und 3 durch die Differenz von a und 3.

c) Subtrahiere vom vierfachen Quadrat der ersten Zahl das Quadrat der zweiten

Zahl.

d) Dividiere das Produkt zweier Zahlen durch die Summe der beiden Zahlen.

e) Multipliziere das Produkt dreier Zahlen mit der Summe der drei Zahlen.

f) Subtrahiere vom Kehrwert der Zahl den Kehrwert des Quadrats der Zahl.

g) Bilde das Produkt dreier aufeinander folgender Zahlen und dividiere es durch

die Zahl 6.



Ermittle die Definitionsmenge der folgenden Terme in der Grundmenge G = Q:

a) ( )x1xT = b) ( )

aa23aT +−=

c) ( )4v

vvT

2 −= d) ( )

s2

3

s3

2sT

+−

−=

e) ( ) ( )2

1nnnT

−= f) ( )

( )1zz

3zT

−=



a) D = Q \ {0} b) D = Q \ {0}

c) D = Q \ {- 2; 2} d) D = Q \ {- 2; 3}

e) D = Q f) D = Q \ {0 ; 1}



Schreibe die Tabelle ab und ergänze sie für die jeweiligen Terme:

x - 3,5 - 2 - 0,4 0 1 3 5

T(x)

a) T(x) = 2x2 – 4x + 5

b) T(x) = (x + 1)3 + 1

c) ( ) x1x

2xT −

+=



a) x - 3,5 - 2 - 0,4 0 1 3 5

T(x) 43,5 21 6,92 5 3 11 35

b) x - 3,5 - 2 - 0,4 0 1 3 5

T(x) 1685 0 1,216 2 9 65 217

c) x - 3,5 - 2 - 0,4 0 1 3 5

T(x) 2,7 0 31511 2 1 -2,5 -4

32



Übertrage die Tabelle in dein Heft und ergänze sie:

x -3 1 1 0,5 - 0,9

y 2 -2 0 0,5 0,9

T(x;y)

a) T(x;y) = 2x2 – 3xy + y2

b) ( )yx

yxy;xT

−

+=



a) x -3 1 1 0,5 - 0,9

y 2 -2 0 0,5 0,9

T(x;y) 40 12 2 0 4,86

b) x -3 1 1 0,5 - 0,9

y 2 -2 0 0,5 0,9

T(x;y) 0,2 31− 1 Geht

nicht

0



Übertrage die Tabelle in dein Heft und ergänze sie. Was fällt dir dabei auf?

z T1(z) = (z+1)(z-3) T2(z) = z2 – 2z - 1 T3(z) = (z + 1)2

- 1,5

0,4

2,5

4



z T1(z) = (z+1)(z-3) T2(z) = z2 – 2z - 1 T3(z) = (z - 1)2

- 1,5 2,25 4,25 6,25

0,4 - 3,64 - 1,64 0,36

2,5 - 1,75 0,25 2,25

4 5 7 9

Die Werte der Terme sind jeweils um 2 größer als die der vorherigen Terme.



Finde die Zahl(en), für die der jeweilige Term den Wert 0 annimmt:

a) T(x) = 4x – 8 b) T(x) = 3x – 1

b) T(x) = x(2x + 3) c) T(x) = x2 – 9

d) T(x) = (5x + 2)(4x – 3) e) T(x) = 6x3

4x2

−

+



a) x = 2 b) x = 31

c) x = 0 bzw. x = - 1,5 d) x = 3 bzw. x = - 3

e) x = - 0,4 bzw. x = 0,75 f) x = - 0,5



Finde heraus, für welche Werte der Variablen y der Term T(y) = y2 + 4 den jeweils

angegebenen Termwert annimmt:

a) T(y) = 13 b) T(y) = 4

c) T(y) = 125 d) T(y) = 365

e) T(y) = 914 f) T(y) = 0



a) y = 3 bzw. Y = - 3 b) y = 0

c) y = 11 bzw. y = - 11 d) y = 19 bzw. y = - 19

e) y = 31 bzw. y =

31− f) geht nicht


7 Üben X Berechnen von Termen 1010

Gib zu jedem der folgenden Terme die Art des Terms an:

a) T(a) = 3(a – 1)2 + 2 : a b) T(b) = (b + 3)(2b – 3)

c) T(c) = 2c – c:2 d) T(d) = 2(d –d : 2)

e) T(e) = (e + 3) : e – 5 f) T(f) = f + 3 . (f – 5)

g) T(g) = (g + 3) : (g – 5) h) T(h) = 2,5h +h(h + 1)



a) Summe b) Produkt

c) Differenz d) Produkt

e) Differenz f) Summe

g) Quotient h) Summe



Mit folgenden Termen sollen Flächen berechnet werden. Die Variable x ist dabei die

Länge einer Strecke. Gib die Intervalle für x an, für die eine Einsetzung sinnvoll sein

kann.

a) A(x) = (x + 4)(15 – x) b) A(x) = x(7 + x)

c) A(x) = (x – 3)(11 – x) d) A(x) = (4 – x)2

e) Gib selbst einen Term A(x) an, bei dem nur Einsetzungen zwischen 5 und 9 für

x sinnvoll sind.



a) D = ]0;15[ b) D = Q0+

c) D = ]3;11[ d) D = ]0;4[

e) A(x) = (x – 5)(9 – x)


7 Üben XXX Aufstellen von Termen 1012

Ein Rechteck ABCD besitzt die Länge 15 cm und die Breite 10 cm.

a) Bestimme die Fläche und den Umfang des Rechtecks.

b) Nun wird die Breite um x cm verkleinert und dafür die Länge auf beiden Seiten um x cm vergrößert (siehe Skizze). Bestimme zunächst Fläche und Umfang des neuen Rechtecks für x = 2 bzw. x = 3.Gib nun Terme A(x) und u(x) für die Berechnung des Umfangs des neuen Rechtecks A’B’C’D’ an.

c) Welche Einsetzungen für x sind sinnvoll?

d) Was passiert, wenn x immer näher an die obere Grenze des in c) angegebenen Intervalls wächst?


7 Lösung XXX Aufstellen von Termen 1012

a) A = 15 ⋅10 = 150 u = 2⋅(10 + 15) = 50

b) x = 2: A = (15 + 2⋅2)⋅(10 – 2) = 152 u = 2⋅[(15 + 2⋅2) + (10 – 2)] = 54

x = 3: A = (15 + 2⋅3)⋅(10 – 3) =147 u = 2⋅[(15 + 2⋅3) + (10 – 3)] = 56

allgemein: A(x) = (15 + 2⋅x)⋅(10 – x) u(x) = 2⋅[(15 + 2⋅x) + (10 – x)]

c) D = ]0;10[

d) Der Flächeninhalt wird immer kleiner (wandert gegen 0) und der Umfang nähert

sich immer mehr 70 an.

A B

CD

A' B'

C'D'

15cm

10cm

x


7 Üben XXX Aufstellen von Termen 1013

a) Der Winkel γ ist viermal so

groß wie ß. Berechne die

Winkel α, ß und γ.

b) Gib einen Term an, der die

Größe der drei Winkel

beschreibt, wenn γ n-mal so

groß wie ß ist. Dabei soll

n ∈ N \ {1} sein.

c) Für welche Werte von

n ∈ {2,3,…9} nehmen die

Winkel ß und γ ganzzahlige

Werte an?


7 Lösung XXX Aufstellen von Termen 1013

a) γ und ß ergänzen sich zu 180°, da der Nebenwinkel von γ Stufenwinkel zu ß ist.

Daher ist ß = 180° : 5 = 36° und γ = 144°; α = 180° - (90° + ß) = 54°

b) ß = 180° : ( n + 1) =1n

1800

+ γ = n⋅ß =

1n

180n 0

+

⋅

1n

18090ß90

+

°−°=−°=α

c) ß und γ sind ganzzahlig, wenn n + 1 ein Teiler von 180° ist; d.h. wenn

n+1 ∈ {3,4,5,6,9,10} ist, also, wenn n ∈ {2,3,4,5,8,9} ist.

g

h90 °

90 °

A

α

ß

B

C

γ


7 Üben XX Aufstellen von Termen 1014

Gib einen Term für den

Flächeninhalt des rot gefärbten

Fünfecks an. Bestimme seinen Wert

für g = 6 cm, a = 4 cm und x = 2a

und y = 1,5a.


7 Lösung XX Aufstellen von Termen 1014

A(a,g,x,y) = ( ) ( ) gaaygaxg21

21

21 −+++

A(4;6;8;6) = 541230364610612621

21

21 =−+=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅

g

a

x

y


7 Üben XX Aufstellen von Termen 1015

Die Internetprovider Surfnet und Websurfer bieten ihren Kunden folgende Tarife an:

Surfnet: monatliche Grundgebühr: 6,50 €; Preis pro Stunde: 0,80 €

Websurfer: keine Grundgebühr; Preis pro Stunde 1,20 €.

a) Lege für beide Tarife eine Wertetabelle an.

b) Gib zwei Terme an, mit denen sich die Kosten für das Surfen im Internet in

Abhängigkeit von der Stundenzahl berechnen lässt.

c) Zeichne die zu den Zuordnungen Stundenzahl → Kosten gehörenden

Graphen und entscheide, welcher Tarif für welche Stundenzahl günstiger ist.


7 Lösung XX Aufstellen von Termen 1015

Zahl der T1(x) T2(x)

Stunden

0 6,5 0 1 7,3 1,2 2 8,1 2,4 3 8,9 3,6 4 9,7 4,8 5 10,5 6 6 11,3 7,2 7 12,1 8,4 8 12,9 9,6 9 13,7 10,8 10 14,5 12 11 15,3 13,2 12 16,1 14,4 13 16,9 15,6 14 17,7 16,8 15 18,5 18 16 19,3 19,2


7 Üben XXX Berechnen von Termen 1016

Lege für den Term T(x) = x3 – x2 eine Wertetabelle an für x ∈ {-1,5, -1, 0, 0,5, 1, 2} und fertige eine Skizze des zugehörigen Graphen.


7 Lösung XXX Berechnen von Termen 1016

x f(x) -1,5 -5,625 -1 -2 0 0

0,5 -0,125 1 0 2 4



Zu jedem der folgenden Graphen sind drei Terme zur Auswahl angeboten. Stelle fest, welcher Term tatsächlich passt! (a)

1. T1(x) = x + 2 2. T2(x) = 2x + 1 3. T3(x) = 2x −1

(b)

1. T1(x) = 1 − 2

x

2. T2(x) = 1 − x 3. T3(x) = 1 −2x



(a) T2(x) ist richtig (b) T1(x) ist richtig


7 Üben WH Häufigkeiten und Prozente 1018

In der Klasse 7 b gab es in der ersten Mathematik-Extemporale 2 Einser, 4 Zweier, 7

Dreier, 6 Vierer, 3 Fünfer und 2 Sechser.

a) Berechne die relative Häufigkeit für die Noten und gib sie als Bruch, als auf

3 Dezimalen gerundeten Dezimalbruch und in Prozentschreibweise an.

b) Stelle die Notenverteilung in einem Kreisdiagramm dar.


7 Lösung WH Häufigkeiten und Prozente 1018

Note Anzahl Bruch Dezimalb. Prozent Winkel

1 2 121 0,083 8,3% 30°

2 4 61 0,167 16,7% 60°

3 7 247 0,292 29,2% 105°

4 6 41 0,250 25,0% 90°

5 3 81 0,125 12,5% 45°

6 2 121 0,083 8,3% 30°


7 Üben WH Vierfeldertafel 1019

Eine Schule bietet ab der 8. Klasse die Wahl zwischen dem naturwissenschaftlich-

technologischen Zweig und dem neusprachlichen Zweig an. Die 150 Schüler der 7.

Klassen zeigen folgendes Wahlverhalten:

technologisch neusprachlich

Mädchen 80

Jungen 30

70

a) Ergänze die Vierfeldertafel.

b) Wie groß ist die relative Häufigkeit der Mädchen im neusprachlichen Zweig?

c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler den neusprachlichen

Zweig gewählt hat?


7 Lösung WH Vierfeldertafel 1019

technologisch neusprachlich

Mädchen 30 50 80

Jungen 40 30 70

70 80 150

b) 85 = 67,5 %

c) 158 = 53,3 %


7 Üben WH Prozentrechnen 1020

1. Ein Handwerker verlangt 180 € für eine Reparatur. Hinzu kommen noch 16 %

Mehrwertsteuer. Wie lautet der Rechnungsbetrag? Wie nennt man bei dieser

Rechnung die 180 €, die 16 % und das Ergebnis, das man für den Betrag der

Mehrwertsteuer erhält?

2. Nach einem Preisnachlass von 35 % auf ein auslaufendes Skimodell zahlt ein

Kunde nur noch 253,50 €. Wie viel kostete das Skimodell vor dem

Preisnachlass?


7 Lösung WH Prozentrechnen 1020

1. 16 % von 180 € = 0,16⋅180 € = 28,8 € Der Rechnungsbetrag lautet auf 208,80 €. 180 € sind dabei der Grundwert, 16 % der Prozentsatz und 28,8 € der Prozentwert.

2. 65 % entsprechen 253,50 €

100 % entsprechen =⋅

65

1005,253 390

Das Skimodell kostete vor dem Nachlass 390 €.


7 Üben EXP Aufstellen von Termen 1021

Hans hat 17 Kugeln, 6 Würfel und eine Pyramide. Mit einer Balkenwaage stellt er fest, dass

� jede der 17 Kugeln die gleiche Masse hat, � jeder der sechs Würfel die gleiche Masse besitzt, � die Pyramide und fünf Würfel zusammen die gleiche Masse wie

14 Kugeln besitzen, � ein Würfel und acht Kugeln zusammen die gleiche Masse wie die

Pyramide besitzen. Finde heraus, wie viele Kugeln zusammen die gleiche Masse wie die Pyramide besitzen.


7 Lösung EXP Aufstellen von Termen 1021

Masse einer Kugeln: x Masse eines Würfels: y Masse der Pyramide: z

Dann gilt: z + 5y = 14x

und x + 8y = z

⇒ x + 8y + 5y = 14x ⇒ 13x = 13y x = y

Also ist z = x + 8x = 9x

Neun Kugeln haben die gleiche Masse wie die Pyramide.



Lina bastelt auf einem Holzbrett ein Spiel aus quadratischen Spielfeldern. Diese werden durch gleich lange Holzstäbchen abgegrenzt. Sie beginnt in einer Ecke, klebt die Stäbchen für das erste Feld auf und erweitert es dann wie in der Zeichnung.

a) Wie viele Holzstäbchen braucht sie für die 7. Erweiterung, nachdem sie die 6. Erweiterung abgeschlossen hat?

b) Gib einen Term an, der beschreibt, wie viele Stäbchen man für die n-te Erweiterung braucht.

(aus Känguru-Wettbewerb 2006/Klassenstufe 7 und 8)



a)

Erweiterung 1 2 3 4 5 6 7

Stäbchenzahl 8 12 16 20 24 28 32

b) Für die n-te Erweiterung braucht man T(n) = 4(n + 1) Stäbchen



Bei wie vielen zweistelligen Zahlen ist die durch das Vertauschen der

beiden Ziffern entstehende Zahl größer als das Dreifache der

ursprünglichen Zahl?

(aus Känguru-Wettbewerb 2005/Klassenstufe 7 und 8)



Ist die Einerziffer der Zahl x und die Zehnerziffer y, so ist der Wert der Zahl x + 10y;

vertauscht man die beiden Ziffern, so ist der Wert der Zahl y + 10x. Es muss gelten:

y + 10x > 3⋅(x + 10y) ⇒ y + 10x > 3x + 30y ⇒ 7x > 29y

⇒ yx729>

Daher kann y nur 1 oder 2 sein.

Für y = 1 ist x > 714 , also ist x = 5, 6, 7, 8 oder 9 möglich;

Für y = 2 ist x > 728 , also kommt nur 9 in Frage.

Daher gibt es insgesamt 6 der gesuchten Zahlen.



Ein Käfer bewegt sich im 1. Quadranten des Koordinatensystems (siehe Zeichnung) wie folgt: Er startet im Punkt (0/0) und bewegt sich in Pfeilrichtung vorwärts. Um dabei von einem Gitterpunkt zum nächstfolgenden zu gelangen, braucht er genau 1 Sekunde. Beispielsweise erreicht er so den Punkt (0/2) nach 4 Sekunden. Welche Koordinaten hat der Punkt, den er nach genau 2 Minuten erreicht? (aus Känguru-Wettbewerb 2005/Klassenstufe 7 und 8)



Der Käfer erreicht die Punkte mit geradzahligen Koordinaten, die auf der x-Achse

liegen, also P(2k/0) in einer Schrittzahl nach folgender Tabelle:

Punkt (2/0) (4/0) (6/0) (8/0)

Schritte 8 24 48 80

Also kommt er zum Punkt P(2k/0) nach T(k) = (2k+1)2 – 1 Schritten.

Da 2 Minuten 120 Sekunden sind, muss (2k + 1)2 = 121 sein. Daher ist 2k + 1 = 11

und daher 2k = 10. Der erreichte Punkt ist also P(10/0)


7 Üben EXP Berechnen von Termen 1025

Sei a ≠ 0 eine fest vorgegebene Zahl. Welche der folgenden Aussagen

ist für T(k) = (a – k)(a + k) richtig, wobei k eine beliebige Zahl sein kann:

a) T(k) kann beliebig groß, aber nicht beliebig klein sein.

b) T(k) kann beliebig klein, aber nicht beliebig groß sein.

c) T(k) ist immer negativ.

d) T(k) kann jeden Wert annehmen.

e) T(k) kann weder beliebig groß noch beliebig klein werden.


7 Lösung EXP Berechnen von Termen 1025

T(k) = a2 – k2

Da k2 > 0 ist, ist T(k) ≤ a2 , also kann T(k) nicht beliebig groß werden, aber beliebig

klein. Für k = 0 ist T(k) = a2 > 0.

Daher trifft nur die Aussage b) zu.


7 Üben X Umformen von Termen 1 1101

In jeder Teilaufgabe sind zwei Terme angegeben, von denen nur einer zum

ursprünglichen Term äquivalent ist. Finde diesen heraus und begründe, dass der

andere nicht äquivalent ist:

a) T(a) = a + a2 + 2a T1(a) = 3a + a2 T2(a) = 3a4

b) T(b) = 3b + b T1(b) = 3b2 T2(b) = 4b

c) T(x) = x3 + x – 2x3 T1(x) = x4 – 2x3 T2(x) = x – x3

d) T(d) = d2 – 2d⋅d T1(d) = - 1 T2(d) = - d2

e) T(y) = (y + y)⋅(y + y) T1(y) = 4y2 T2(y) = 4y


7 Lösung X Umformen von Termen 1 1101

a) T2(a) ist nicht äquivalent, da z.B. T(1) = 4 und T2(1) = 3 ist, also ist T1(a) der zu T(a) äquivalente Term.

b) T1(b) ist nicht äquivalent, da z.B. T(1) = 4 und T1(1) = 3 ist, also ist T2(b) der zu T(b) äquivalente Term.

c) T1(x) ist nicht äquivalent, da z.B. T(1) = 0 und T1(1) = - 1 ist, also ist T2(x) der zu T(x) äquivalente Term.

d) T1(d) ist nicht äquivalent, da z.B. T(0) = 0 und T1(0) = - 1 ist, also ist T2(d) der zu T(d) äquivalente Term.

e) T2(y) ist nicht äquivalent, da z.B. T(2) = 16 und T2(2) = 8 ist, also ist T1(y) der zu T(y) äquivalente Term.


7 Üben XX Umformen von Termen 1 1102

Von den angegebenen vier Termen sind genau zwei äquivalent. Entscheide, welche

dies sind, indem du die anderen ausschließt. Begründe außerdem, nach welchem

Rechengesetz die beiden verbleibenden Terme äquivalent sind.

a) T1(a) = 4a2 + 4a T2(a) = 8a2 T3(a) = 4a(a + 1) T4(a) = 4(a2+1)

b) T1(x) = (4x2 + 6) :2 T2(x) = 2x + 3 T3(x) = x2

x6x4 2 + T4(x) = 2(x + 3)


7 Lösung XX Umformen von Termen 1 1102

a) Es gilt T1(2) = 24, T2(2) = 32, T3(2) = 24 und T4(2) = 20, daher scheiden die

Terme T2(a) und T4(a) aus. Durch Anwendung des Distributivgesetzes auf

T3(a) erhält man T1(a).

b) Es gilt T1(1) = 10, T2(1) = 5, T3(1) = 5 und T4(1) = 8, daher scheiden hier die

Terme T1(x) und T4(x) aus. Durch Anwendung des Distributivgesetzes auf

T3(x) erhält man T2(x).



Vereinfache folgende Terme:

a) 4x + 8y + 2y + 3x b) 4x - 8y + 2y + 3x c) -4x + 8y - 2y + 3x

d) 4x - 8y - 2y - 3x e) -4x - 8y - 2y - 3x f) -4x + 8y + 2y - 3x

g) 2

3

1

63

1

3

5

6c e c e+ + + h)

2

3

1

63

1

3

5

6x y x y− + +

i) − + − +2

3

1

63

1

3

5

6m n m n j)

2

3

1

63

1

3

5

6k m k m− − −



a) 7x + 10y b) 7x - 6y c) -x + 6y

d) x - 10y e) - 7x - 10y f) - 7x + 10y

g) 4c + e h) 4x + 2

3y

i) - 4m + n j) − −22

3k m




a) − + + −2

3

1

63

1

3

5

6u v u v b) − − − −

2

3

1

63

1

3

5

6p q p q

c) 8,5x2 - 8,3x - 8,6 + 2,7x + 0,6x2 - 7,4 d) 3uv - 0,3u -0,3uv + 3,7u + 2,3uv

e) 4x - (+ 7x) + (- 11x) - 3x f) 8 - 9a + (- 13) - (- 7a)

g) − + − −

−

2

31

2

3

1

51z z



a) 22

3

2

3u v− b) - 4p - q

c) 9,1x2 - 5,6x - 16 d) 5uv + 3,4u

e) - 17x f) - 5 - 2a

g) z −4

5



Berechne:

1) − + − − + +31

418 2

1

33 5 4 2 7, , ,

2) 1

2

2

3

3

4

7

8

1

62

1

2− − + + −

3) 86,6 - 50,3 - 108,4 + 52,3 - 71,8 + 46,45

4) -0,6x - 2,7y - 1,9z + 2,3x + 3y + 2,9z

5) -2,1a + 3,2b + 4,3c + 5,4a - 2,8b - 3,9c

6) 4,625m - 2,12n - 3,75m + 2,25n



1) − + − − + +31

418 2

1

33 5 4 2 7, , , = 13 - 3

3

122

4

123

6

1213 9

1

123

11

12+ +

= − =

2) 1

2

2

3

3

4

7

8

1

62

1

2− − + + − =

12

24

21

24

4

24

8

12

9

122

6

12113

243

11

122

3

8+ +

− + +

= − = −

3) 86,6 - 50,3 - 108,4 + 52,3 - 71,8 + 46,45 = 185,35 - 230,5 = - 45,15

4) -0,6x - 2,7y - 1,9z + 2,3x + 3y + 2,9z = 1,7x + 0,3y + z

5) -2,1a + 3,2b + 4,3c + 5,4a - 2,8b - 3,9c = 3,3a + 0,4b + 0,4c

6) 4,625m - 2,12n - 3,75m + 2,25n = 0,875m + 0,13n



Berechne:

a) − − −

⋅ + −

⋅4

4

5

3

2

9

103 b) ( )− ⋅ −

⋅ −

− −

⋅

4

1

4

4

3

4

5

5

9

c) 51

4

3

8

1

21

1

4− ⋅ −

− ⋅ −

d) ( ) ( )[ ] ( )[ ]8 3 5 2 4 4 2 6 5− − ⋅ − ⋅ − ⋅ −, , ,

e) ( ) ( )3 7 2 5 2⋅ − ⋅ −x x, f) ( ) ( )− ⋅ − ⋅6 4 5 8ab a b,



a) −51

2 b) −3

1

9

c) 415

16 d) [ ] [ ]... , , ,= − ⋅ − − =8 8 4 25 2 5 12 08

e) 52,5x3 f) 216a

2b

2



Berechne:

1) ( ) ( ) ( ) ( )− ⋅ − ⋅ − ⋅ −4 3 9x y

2) ( ) ( ) ( )6 4 3 8 15x y x y x y xy⋅ − − ⋅ − + − ⋅ −

3) ( )6 4 3 8 15x y x y x y x y⋅ − + − ⋅ + − ⋅ − − −( ) ( ) ( ) ( )

4) ( ) ( ) ( ) ( )3 7 5 6 5 18 25a b b a b b⋅ − ⋅ − ⋅ − + − ⋅ − ⋅ − ⋅ −( )

5) ( ) ( ) ( )6 8 2 5 9 6 12 432 2a b b a b b b a a b⋅ − ⋅ − + ⋅ − − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅( ) ( )



1) 108xy

2) ... = 24xy - 3xy - 8xy - 15xy = - 2xy

3) ... = - 24xy - 3xy + 8xy + 15xy = - 4xy

4) ... = - 105ab + 30b + 18ab + 25b = - 87ab + 55b

5) ... = 96ab2 - 45ab2 + 72ab2 + 43ab2 = 166ab2



Berechne:

1) (-2)4 2) -24 3) (-3)5 4) -35

5) −

1

3

5

6) −3

4

4

7) −

5

8

2

8) −5

8

2

9) 0,23 10) 0,35 11) -182 12) (-5)3



1) 16 2) - 16 3) -243 4) -243

5) −1

243 6) −

81

4 7)

25

64 8) −

25

8

9) 0,008 10) 0,00243 11) - 324 12) - 125



Berechne:

(Beachte dabei, dass Potenzieren noch vor der Punktrechnung kommt!)

1) −

2

3

7

2

2) 17

9

2

3) −

2

1

3

3

4) −

1

1

3

4

5) ( )− ⋅3 42 6) ( ) ( )− ⋅ −5 2

3 7) 15 11

3

2

⋅ −

8) ( ) ( )− ⋅ −19 10

2 3,

9) ( )[ ]− ⋅6 22 10) ( )− ⋅6 2

2 11) − ⋅6 22 12) −

⋅ −

5

8

2

5

2 3



1) 289

495

44

49= 2)

256

813

13

81= 3) − = −

343

2712

19

27 4)

256

81

5) 36 6) 40 7) 80

326

2

3= 8) -3610

9) 144 10) 72 11) -24 12) - 1

40



Berechne:

(Beachte die Regel: Potenzrechnen vor Punktrechnen vor Strichrechnen!)

1) ( )− − ⋅ −

9 2

1

32 2) −

⋅ −

2

5

5

4

2 3

3) − ⋅ −

2

5

5

4

2 3

4) 52 - 25 5) 33 - 24 6) 28 - 82

7) 132 - 52 - 122 8) 6 8 4 92 2⋅ − ⋅ 9) 3 2 4 33 4⋅ − ⋅



1) 189 2) 5 3) 25

16

4) - 7 5) 11 6) 256 - 64 = 192

7) 0 8) 60 9) - 300



Schreibe die folgenden Produkte so kurz wie möglich:

1) ab2a2ab2a3 2) xy2z(-x)z 3) a3b4(-a)4b3

4) ( )25 172 3 3− ⋅ ⋅d e d e 5) ( , ) ,− ⋅ ⋅18 122 4x y xy 6) ( )16 3 52 2 2 3 2, ,ab c a b c⋅ − ⋅

7) (- 0,03x)3 8) (-4uv)3 9) ( ) ( )[ ]− ⋅ − ⋅2 43 2

2

c c



1) a7b4 2) - x2y2z2 3) a7b7

4) 425d5e4 5) - 2,16x3y5 6) - 5,6a3b5c4

7) - 0,000027x3 8) - 64u3v3 9) 16384c8


7 Üben XXX Umformen von Termen 1 1112

Schreibe die folgenden Produkte so kurz wie möglich:

1) ( ) ( )15 4 52 2 3, x x x⋅ − ⋅ − 2) ( )− ⋅ − ⋅125 314 163 3, ,a b b

3) ( ) ( )2

5

3

4

5

7⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅uv uw v u 4) ( ) ( ) ( ) ( )− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ −1

9 4 5 6m n m n

5) 5

73

5

2

vw

x⋅

6) ( ) ( ) ( ) ( )5

1

2

9

11

5

62 2b a b c a c⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ −

⋅


7 Lösung XXX Umformen von Termen 1 1112

1) - 120x7 2) 62,8a

3b

4

3) 3

143 2u v w 4) m

9n

7

5) 25

496

2

10v

w

x⋅ 6) −

15

42 2 4a b c



Berechne und schreibe so kurz wie möglich:

1) 1

515 6 8 5 3

1

392 2 3 2 2 2 2a a b a b a ab a b ab⋅ − + ⋅ − ⋅

2) 4 6 11

28

1

714 92 2 2 2x xy xy xy x xy x y⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅

3) ( ) ( ) ( )9 4 541

92 32 3 2 3 2 3 2 2m n m n m n m n n⋅ − − − ⋅ + ⋅ − − ⋅ ⋅



1) 7a3b2

2) ... = 24x2y2 - 12x2y2 + 2x2y2 - 9x2y2 = 5x2y2

3) ... = - 9m2n3 - 16m2n3 + 6m2n3 - 12m2n3 = - 13m2n3



Berechne und schreibe so kurz wie möglich:

1) ( ) ( ) ( ) ( )8 5 4 151

848 52 4 5, ,⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + −

⋅ − ⋅ − ⋅a a a a

2) ( ) ( ) ( ) ( )3

424 7 2 2 4 5 32 4 2 2 2 4 2 2 2 2

x y x y y y x x y y⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ + − ⋅ − − ⋅ ⋅ −

3) ( ) ( ) ( )− ⋅ + − ⋅ − − ⋅ + ⋅3 4 22 2 5 6 63 2 3 2 2 3 3 2c d c d d c c d

4) 2 5 16 3 5 14 9 8 173 2 3 2 3 4 3 2 3, , , ,v u v v u v u v u v⋅ − ⋅ + ⋅ −



1) ... = 51a6 - 30a6 = 21a6

2) ... = 18x2y4 -14x2y4 +64x2y4 + 45x2y4 = 113x2y4

3) ... = - 108c3d2 - 22c3d2 - 20c3d2 + 36c3d2 = - 114c3d2

4) ... = 4u2v3 - 4,9u3v5 +72u3v5 - 17u2v3 = - 13u2v3 + 67,1u3v5



Berechne folgende Terme:

1) 8a : (- 4) 2) (- 10,8y) : 0,9 3) (- 15xy) : (- 2) 4) 102a : 12

5) − ⋅

6

1

42

1

23x : 6) 15t : (- 3) 7) (cd) : d 8) (- cd) : c

9) (-29ac) : (- a) 10) (- 8xy2) : y 11) (- 42w) : (- 8w) 12) z4 : z2



1) - 2a 2) - 12y 3) 7,5xy 4) 8,5a

5) - 2,5x3 6) - 5t 7) c 8) - d

9) 29c 10) - 8xy 11) 5,25 12) z2



Berechne folgende Termwerte:

1) 16y : (- 2y) 2) (- abc) : (ac) 3) (-xy2) : (- y)2

4) (-a)3 : (-a2) 5) ( )− ⋅32 8 5v v: 6) (- s)7 : (- s)2

7) x9 : (- x)3 8) r11 : (-r4) 9) {96 : [(- 72):12]} : [(- 36) : 9]



1) - 8 2) - b 3) - x

4) a 5) - 32v3 6) (- s)5 = - s5

7) - x6 8) - r7 9) {96:[-6]}:[-4] = {-16}:[-4] = 4



Berechne folgende Quotienten:

1) (- 102x) : 17 2) 138x2 : (- 23x) 3) (-78c2) : (-13c2)

4) (- 216x2) : 36x 5) (- 32c2d) : (- 2) 6) 29ab2 : (- ab2)

7) (- 54xyz) : (- 9y) 8) (- 156mn2p) : (-12mn) 9) (- 117v2w) : (-9vw)

10) ( )19 80 95a b b⋅ −: 11) ( ) ( ) ( )− ⋅ −9 150 135x y xy: 12) ( ) ( )56 82ab c ab: − ⋅



1) - 6x 2) - 6x 3) 6

4) - 6x 5) 16c2d 6) - 29

7) 6xz 8) 13np 9) 13v

10) - 16a 11) 10 12) - 7a2b3c



Vereinfache folgende Terme so weit wie möglich:

1) ( )36 1 3 8 194 2 2, , ,x y z : x y z ⋅

2) ( ) ( )4 4 0 8 171 0 95 6 0 8 0 5 36 12 0 22 3 2 2 3 3 2 2, : , , :( , ) , , : , : ,m n n m n mn n m n m n mn n− − ⋅ ⋅ +

3) ( ) ( )3 5 0 14 7 8 12 21 12

32 0 253 5 3 3 2 4

, : , , : : ,a a a a a a a a− − −

+ − ⋅ −



1) 36 1

7 225

4 2

22,

,

x y z

x yzx y=

2) 5,5m2n - 1,8mn2 - 2,4mn2 + 6m2n = 11,5m2n - 4,2mn2

3) 25a2 - 0,65a2 + 12,6a - 4a2 = 20,35a2 + 12,6a



Vereinfache folgende Terme so weit wie möglich:

1) ( ) ( )27 38

225 5 6 15 73

5 2

2 22 2 2 3

5

3k s ksx y z

x y zk y ky k x

k

k: :− − ⋅

+ − ⋅

2) (- 45a2b5) : (- 9b2) - (63a4b4) : (- 7a2b) + (99a3b3) : (- 11b) - (13a2b) ⋅ (-4ab)

3) (- 84x2y5) : (- 7y2) + (- 108x4y4) : (- 12x2y) - (96x3y2) : 16 - (7x2y) ⋅ (- 4xy)



1) 9k2 - [4x3 - 30k2] +15x3 - 7k2 = 32k2 + 11x3

2) 5a2b3 + 9a2b3 - 9a3b2 + 52a3b2 = 14a2b3 + 43a3b2

3) 12x2y3 + 9x2y3 - 6x3y2 + 28x3y2 = 21x2y3 + 22x3y2


7 Üben WH Rationale Zahlen 1120

Berechne:

a) (-9,46) + (-59,2) b) (-17,5) - (-9,3) c) (-14,7) - (-28,9)

d) 57,4 - (-11,6) e) 82,9 - (+161,7) f) 73,41 - (+76,11)

g) (-18,7)+23,4 h) 105,7 - (-99,9) i) (- 77,6) - (-88,3)


7 Lösung WH Rationale Zahlen 1120

a) - 68,66 b) - 8,2 c) + 14,2

d) + 69 e) -78,8 f) - 2,7

g) + 4,7 h) + 205,6 i) + 10,7



Berechne:

a) (-27,8) + 25,4 b) -147,5 + 174,2 c) -386,3 + (-181,4)

d) −

+ −

1

6

2

3 e) −

+ −

1

3

42

4

5 f) −

+ +

5

2

3

1

2

g) +

+ +

6

3

54

2

3 h) −

+ +

4

3

53

2

5 i) +

+ −

6

5

76

3

14



a) - 2,4 b) + 26,7 c) - 567,7

d) −5

6 e) −4

11

20 f) −5

1

6

g) 114

15 h) −1

1

5 i)

1

2



Berechne:

a) −

+ −

6

4

75

5

6 b) −

+ +

6

5

137

10

26 c) −

+ −

13

1

212

2

3

d) 63

89

3

4+ −

e) −

+2

1

77

6

7 f) −

+ −

3

4

58

6

7



a) −1217

42 b) + 1 c) −26

1

6

d) −33

8 e) +5

5

7 f) −12

23

35



Berechne:

a) ( , )+ + −

27 2 31

4

5 b) ( , )− + −

49 3 17

3

5

c) −

+38

3

824 625, d) −

+19

17

2024 74,

e) 172

329 4+ −( , ) f) ( )−

+ −16

1

417 6,



a) - 4,6 b) - 66,9

c) −133

4 d) + 4,89

e) ( )172

329 4 17

2

329

2

517

10

1529

6

1511

11

15+ − = + −

= + −

= −,

f) ( ) ( )−

+ − = − + = −16

1

417 6 16 25 17 6 33 85, , , ,



Berechne:

a) −

⋅ +

1

3

1

7 b) +

⋅ −

2

3

6

7 c) −

⋅ −

5

12

3

20

d) −

⋅ −

7

8

7

12 e) +

⋅ −

2

5

81

5

7 f) −

⋅ −

4

2

34

1

2

g) ( )− ⋅ +

2 4 1

1

4, h) −

⋅3

1

42 5, i) −

⋅ −1

5

115 5( , )



a) −1

21 b) −

4

7 c)

1

16

d) 49

96 e) +

⋅ −

= −

21

8

12

74

1

2 f) 21

g) - 3 h) −81

8 i) 8



Berechne:

a) 8 4 41

6, ⋅ −

b) −

⋅3

1

848 c) ( )− ⋅ −

4 9

18

35,

d) ( )− ⋅38 57

11, e)

25

626

1

5⋅ −

f) ( )−

⋅ −

23

7537 5,

g) ( ) ( )− ⋅ +2 8 4 4, , h) ( ) ( )− ⋅ +0 28 0 44, , i) ( ) ( )− ⋅ +28 0 0044,



a) - 35 b) - 150 c) 213

25 = 2,52

d) −241

2 e) −2

1

2 f) 11

1

2

g) - 12,32 h) - 0,1232 i) - 0,1232



Berechne:

a) ( ) ( ) ( )− ⋅ + ⋅ −7 3 8 b) ( )( ) ( )+ − ⋅ −6 9 11 c) ( ) ( ) ( )− ⋅ − ⋅ −4 5 12

d) −

⋅ +

⋅ −

3

4

2

3

4

3 e) −

⋅ −

⋅ −

1

3

52

1

43

1

3 f) 2

1

21

2

36

1

4⋅ −

⋅ −

g) −

⋅ +

1

1

42

4

5

2

h) −

1

2

3

3

i) −

⋅ −

1

1

8

4

9

2 2



a) 168 b) 594 c) - 240

d) 2

3 e) 12 f)

24

126

24

625=

g) 35

84

3

8= h) − = −

125

274

17

27 i)

1

4



Berechne:

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− ⋅ + ⋅ − − + ⋅ − ⋅ +2 6 5 3 8 4 b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− ⋅ − ⋅ − + − ⋅ + ⋅ +8 7 3 9 7 2

c) ( ) ( )− ⋅ −

− +

⋅ −15 2

1

51

7

126 d) ( )− ⋅ +

− −

⋅15 2

2

32

1

412,

e) ( )−

⋅ −

+ −

⋅ +

8

9

3

201

2

53 f) ( )+

⋅ −

+ −

⋅ −

3

79

1

32

3

44



a) 60 - (- 96) = 156 b) - 168 - 126 = - 294

c) 33 + 9,5 = 42,5 d) -4 + 27 = 23

e) 2

15

21

5

61

154

1

15− = − = − f) - 4 + 11 = 7


7 Üben XX Auflösen von Klammern 1201

Löse die Klammern auf und fasse zusammen:

1) − + −

− − + −

−1

1

22

2

32 1

3

102

4

52

1

23

5

6a b a b a

2) 1

33

5

11

1

3

3

114

10

11x y x y y− −

− − −

− −

3) 4

52

1

23

7

10

4

55

1

2v u v u− −

− − + −


7 Lösung XX Auflösen von Klammern 1201

1) − + −

− − + −

−1

1

22

2

32 1

3

102

4

52

1

23

5

6a b a b a =

= − + − + − + − = − − +115

302

10

152 1

9

302

12

152

1

23

25

304

1

30

2

15

1

2a b a b a a b

2) 1

33

5

11

1

3

3

114

10

11x y x y y− −

− − −

− −

=

2

37 1

1

11x y− +

3) . . .= − − + − + = − +4

52

1

23

7

10

4

55

1

21

1

23

3

102

1

2v u v u v u


7 Üben XX Auflösen von Klammern 1202


1) ( )[ ] ( )− − − + − − − −4 6 8 5 9 2 4 6 8 5 6 2, , , , , ,u v w u v w

2) − − + − +

+ −

5 2

1

335 9 55 2

1

39 05x y z y, ,

3) -4,8a - [-6,5y - (8,2z - 3,5a)+(6,3z - 7,6a) - 8,1y]


7 Lösung XX Auflösen von Klammern 1202

1) [ ]. . . , , , , , ,= − − + − + + =4 6 8 5 9 2 4 6 8 5 6 2u v w u v w

= − + − − + + = − + −4 6 8 5 9 2 4 6 8 5 6 2 9 2 17 3, , , , , , ,u v w u v w u v w

2) . . . , , ,= − + − + − = + −5 21

335 9 55 2

1

39 05 5 35 18 6x y z y x z

3) ... = -4,8a - [-6,5y - 8,2z + 3,5a + 6,3z - 7,6a - 8,1y] =

= - 4,8a - [- 14,6y - 1,9z - 4,1a] = - 4,8a + 14,6y + 1,9z + 4,1a =

= - 0,7a + 14,6y + 1,9z


7 Üben XXX Auflösen von Klammern 1203


1) 3

4

5

3

1

4

2

3

7

32 2 2xy x y z xy x y z x y− +

− − +

+ − +

2) 21

21

3

48

1

49 1

1

22 62 2 2u u u u u u+ −

− + −

− + −

3) ( ) ( ) ( )[ ]{ }− − − − − + + − + + +20 25 26 35 57 24 74 42 17a b c a c b a b a


7 Lösung XXX Auflösen von Klammern 1203

1) . . .= − + + − − + =3

4

5

3

1

4

2

3

7

32 2 2xy x y z xy x y z x y xy

2) . . .= + − − − + − − + = − +21

21

3

48

1

49 1

1

22 6

1

272 2 2u u u u u u u

3) [ ]{ }. . .= − − − − − − − + + + =20 25 26 35 57 24 74 42 17a b c a c b a b a

{ }= − − − + + + − + + =20 25 26 35 57 24 74 42 17a b c a c b a b a

{ }= − − + − + =20 91 31 39 17a b c a a

= − − − + + = − −20 91 31 39 17 36 91 31a b c a a a b c




1) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]{ }5 3 5 7 3 8 8 62 2 2 2 3a a a a a a a− + − − − + − − − +

2) 8 5 32

3

5

9

7

121

2

3

3

4

1

61

8

9, x y z y x z x y+ − + − −

− +



1) [ ] [ ]{ }. . .= − + − − − + − − + − =5 3 5 7 3 8 8 62 2 2 2 3a a a a a a a

{ }= + − − − + − − =5 2 7 3 14 92 2 2 3a a a a a

= + + + − + + = + − +5 2 7 3 14 9 17 2 72 2 2 3 2 3a a a a a a a a

2) . . . ,= + − + − +

− −

=8 5 32

3

5

9

7

121

2

3

3

4

1

61

8

9x y z y x z x y

= + − − −

=8 5 32

31

11

361

11

361

5

6, x y z y x

= + − + + == + −8 5 32

31

11

361

11

361

5

610

1

34

35

361

11

36, x y z y x x y z




1) ( )10 5 61

25 4 5 7

1

20 8 7 4

1

54 62 2 2, , ,+ − + +

− − + + +

−u u u u u v u v

2) − − +

− − −

+ − + −

+4 1

2

5

3

10

3

100 7 2

1

22

2

58

1

1032 2 2 2 2 2 2 2, ,a b c b c a a a b a

3) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ }2 2 3 4 6 6 2a b b a c b b c− − + − − − +



1) . . . , , ,= + − − − − + + + + − =10 5 61

25 4 5 7

1

20 8 7 4

1

54 62 2 2u u u u u v u v

= +7 u+v

2) . . . , ,= − + − − − + + − + − + =4 12

5

3

10

3

100 7 2

1

22

2

58

1

1032 2 2 2 2 2 2 2a b c b c a a a b a

= − − + +2 5 82 2a c a

3) ( ) [ ]{ } ( ) [ ]{ }2 2 3 4 6 6 2 2 2 3 2 12a b b a c b b c a b b a c b− − + − − − − = − − + − − =

{ }= − − + − + = − − − + = − − +2 2 3 2 12 2 14 3 2 15 2a b b a c b a b b a c a b c



Stelle folgende Terme auf und fasse zusammen:

1) Von der Differenz von 23x und 14y ist die Summe der Terme 16x - 15y und

11y - 54x zu subtrahieren

2) Von der Differenz der Terme 71c - 35d und 18d - 14c ist der Term 89d - 31c zu

subtrahieren.

3) Subtrahiere von 135x die Summe von 56y + 81z und 45x - 69y und vermindere

das Ergebnis um die Differenz aus 63z + 47y und 58z - 95x.



1) ( ) ( ) ( )[ ] [ ]23 14 16 15 11 54 23 14 16 15 11 54x y x y y x x y x y y x− − − + − = − − − + − =

= − + + = −23 14 38 4 61 10x y x y x y

2) ( ) ( )[ ] ( ) [ ]71 35 18 14 89 31 71 35 18 14 89 31c d d c d c c d d c d c− − − − − = − − + − + =

= − − + = −85 53 89 31 116 142c d d c c d

3) ( ) ( )[ ]{ } ( ) ( )[ ]135 56 81 45 69 63 47 58 95x y z x y z y z x− + + − − + − − =

[ ]{ } [ ]= − − + + − + − + =135 13 81 45 63 47 58 95x y z x z y z x

= + − − − − − = − − −135 13 81 45 5 47 95 5 34 86x y z x z y x x y z



Stelle folgende Terme auf und fasse zusammen:

1) Von 19,6x - 47,6y ist die um 413

5x vergrößerte Differenz der Terme

69,8y - 46,7x und 14x + 89y zu subtrahieren.

2) Subtrahiere die Differenz der Terme 385a und 254b von der Differenz der

Terme 658b - 846a und 759a + 904b .



1) (19,6x - 47,6y) -{[(69,8y - 46,7x) - (14x + 89y)] +41,6x} =

= 19,6x - 47,6y - {69,8y - 46,7x -14x - 89y +41,6x} =

= 19,6x - 47,6y - 69,8y + 46,7x + 14x + 89y -41,6x = 38,7x - 28,4y

2) [(658b - 846a) - (759a + 904b)] - (385a - 254b) =

= 658b - 846a - 759a - 904b - 385a +254b = 8b - 1990a


7 Üben X Distributivgesetz 1301

Berechne:

1) 8(5a + 7b - 6c) + 11(5a - 4b + 9c) - 12(3a - 6b + 7c)

2) 25(2a + 3b - 5) - 16(4a - 6b) + 12(9 - 7b) - 14(5 - 3a)

3) x(x - 3y) - y(3x - y)

4) u(3u + 4w) - 2w(4u + 6w)


7 Lösung X Distributivgesetz 1301

1) 40a + 56b - 48c + 55a - 44b + 99c - 36a + 72b - 84c = 59a + 84b - 33c

2) 50a + 75b - 125 - 64a + 96b + 108 - 84b - 70 + 42a = 28a + 87b - 87

3) x2 - 3xy - 3xy + y2 = x2 - 6xy + y2

4) 3u2 + 4uw - 8uw - 12w2 = 3u2 - 4uw - 12w2



Vereinfache:

1) a(a - 5) - 6a2 + 9a(8a + 7) - 4a(3 + 5a)

2) 14c(8x - 3y + 7c) + 13x(9c - 8y + 2x) - 11y(7x - 6c + 11y)

3) (4m2 - 5nm)2n - 4n(3mn + 7m2) - 8mn(4n - 3m)



1) a2 - 5a - 6a2 + 72a2 + 63a - 12a - 20a2 = 47a2 + 46a

2) 112cx - 42cy + 98c2 + 117cx - 104xy + 26x2 - 77xy + 66cy - 121y2 =

= 229cx + 24cy +98c2 - 181xy + 26x2 - 121y2

3) 8m2n - 10mn2 - 12mn2 - 28m2n - 32mn2 + 24m2n = 4m2n - 54mn2



Berechne:

1) 8b - 11(2a - 3b) + 15(3a + 4b)

2) - v(6 - 7w) + 6v(8 - 5w)

3) 6(16 + 4,8y) - 15(2y + 6)

4) 8(3c + 12d) + 6c(11 + 13d) + 2c(-6 + 5d)



1) 8b - 22a + 33b + 45a + 60b = 23a + 101b

2) - 6v + 7vw + 48v - 30vw = 42v - 23vw

3) 96 + 28,8y - 30y - 90 = 6 - 1,2y

4) 24c + 96d + 66c + 78cd - 12c + 10cd = 78c + 96d + 88cd


7 Üben XX Distributivgesetz 1304

„Distributivgesetz rückwärts“

Forme die Terme so um, dass Produkte entstehen:

1) 17x + 17y 2) 14a - 14b 3) 20x - 25y

4) - 77a + 56b 5) 144x - 108y 6) - 289p - 187q

7) 5ax + 5ay 8) 2x2y - zx2 9) - m2qt + m2


7 Lösung XX Distributivgesetz 1304

1) 17(x + y) 2) 14(a - b) 3) 5(4x - 5y)

4) 7(- 11a + 8b) 5) 36(4x - 3y) 6) - 17(17p + 11q)

7) 5a(x + y) 8) x2(2y - z) 9) m2(- qt + 1)



Multipliziere die Klammern aus und vereinfache:

1) x(x + 2y - 4) - y(2x + 2y - 5) - 6(x - 3y) - 9(x - 5

9y )

2) 8(a - 2b + 15) - 14(a + 3b) + 19(2b - 4a - 7)

3) 187p - 17(p + 3q - 2r) - 16(5p - 6q + 8r) + 18(3q + 4r - 5p)



1) x2 + 2xy - 4x - 2xy - 2y2 + 5y - 6x + 18y - 9x + 5y = x2 - 2y2 - 19x + 28y

2) 8a - 16b + 120 - 14a - 42b + 38b - 76a - 133 = - 82a - 20b - 13

3) 187p - 17p - 51q + 34r - 80p + 96q - 128r + 54q + 72r - 90p = 99q - 22r




1) 54(x + y + z) - 33(x - y + z) + 42(x + y - z) - 53(y - z - x)

2) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 4 13 3 5 6 16 5 12 2 14 8 7 21a b c a c b a a+ + ⋅ − − − ⋅ − − − ⋅ − +

3) ( ) ( ) ( )4 2 3 6 3 5 7 7 9 14 2 3u v u u v v u v+ − + − − − ⋅ − − −



1) 54x + 54y + 54z - 33x + 33y - 33z + 42x + 42y - 42z - 53y + 53z + 53x =

= 116x + 76y + 32z

2) 26a + 39b + 52c - 48a + 80 + 96c - 70b + 168 + 28a - 56a - 168 =

- 50a - 31b + 148c + 80

3) 4u + 8v - 12 + 6u - 21u + 35v + 49 - 9v - 28u + 42v = - 39u + 76v + 37


7 Üben XXX Distributivgesetz 1307


1) 0,4x(0,6x - 0,9y) - 0,7y(1,3y - 2,2x)

2) 31

23

2

75

1

31

3

42

5

76

1

3a a b b a b−

− +

3) 26

72

4

516

1

34

4

93

3

55

5

8x x y y x y−

− −


7 Lösung XXX Distributivgesetz 1307

1) 0,24x2 - 0,36xy -0,91y2 +1,54xy = 0,24x2 + 1,18xy - 0,91y2

2) 7

2

23

7

16

3

7

4

19

7

19

3a a b b a b−

− +

=

= − − − = − −23

2

56

3

19

4

133

1211

1

223

5

1211

1

122 2 2 2a ab ab b a ab b

3) 20

7

14

5

49

3

40

9

18

5

45

8x x y y x y−

− −

=

= − − + = − +8140

316 25 8 62

2

3252 2 2 2x xy xy y x xy y



Wende das Distributivgesetz an:

1) (68x - 85) : 17 2) (144a + 72b) : 12 3) (3x - 9y) : 4

4) (39x2 - 117x3) : 13 5) (65x2 - 104x3) : 13x 6) (26x2 - 91x3) : 13x2

7) ( )5 71

32y z+ : 8) ( )− +a b6

1

4: 9) ( )− −8 7 0 1u v : ,



1) 4x - 5 2) 12a + 6b 3) 3

4

9

4x y−

4) 3x2 - 9x3 5) 5x - 8x2 6) 2 - 7x

7) 15y2 + 21z 8) - 4a + 24b 9) - 80u - 70v



Wende das Distributivgesetz an:

1) ( )6 12 48 64 2 3 5 3 3a b a b a b a b− + :

2) ( )25 40 85 52 4 3 3 5 3x y xy x y xy− + :

3) ( )35 21 77 74 5 3 2 4 3 3 2k m k m k m k m− − :

4) ( )16 72 28 85 4 2 3 3 4 2 3u v u v u v u v− − :



1) ab - 2 + 8a2b2

2) 5xy - 8 + 17x2y2

3) 5km3 - 3 - 11km

4) 2u3v - 9 - 3,5uv



Divisionen lassen sich auch mit Bruchstrichen schreiben. Bearbeite die Aufgaben

nach folgendem Muster: ( )4 12

44 12 4 3

22a ab

aa ab a a b

−= − = −:

1) 12 28

4

x + 2)

− −12 28

4

x 3)

12 27

3

x −

−

4) − −

−

12 27

3

x 5)

4 82a a

a

+ 6)

4 93 2a a

a

−

−

7) 15 25

5

a ⋅ 8)

15 25a

a

⋅ 9)

8 3 2

2

x x

x

−



1) 3x + 7 2) - 3x - 7 3) - 4x + 9

4) 4x + 9 5) 4a + 8 6) - 4a2 + 9a

7) 75a 8) 375 9) 8x - 1




1) ( ) ( ) ( )−−

+ + − − − ⋅ −65 39

136 9 8 6 4

xx x

2) ( )64 96

84 12 9 18

aa a

−

−− + + −

3) −−

+ −−

−−

78 48

615

143 78

1319

a ba

b ab

4) ( ) ( ) ( ) ( )176 66 11 14 117 72 9 11u v u v u v− − + + − − +: :

Hinweis: ( )6 2

26 2 2 3

a ba b a b

+= + = +:



1) ... = - 5 + 3x + 6x + 72 - 9x - 24 = 43

2) ... = - 8a + 12 - 4a + 12a + 108 - 18 = 102

3) ... = - 13a + 8b + 15a + 11b - 6a - 19b = - 4a

4) ... = - 16u + 6v + 14u - 13v + 8u + 11v = 6u + 4v




Achte besonders auf die Reihenfolge der Berechnung!

1) ( )50 5 34 3 2 2 2a a a b b a: :+

2) ( ) ( )[ ]5 6 7 2 3 32v u v v uv v v− − ⋅ − − ⋅ :

3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]− ⋅ − − + − − − + +4 8 6 4 51 69 3 4 2 9 1402 2 2x y x x yx x y x x y:



1) ( ). . . : : ,= + = =50 5 3 50 8 6 254 4 3a a a a a a

2) [ ] [ ]. . . : := − − − + = − = − =5 6 7 6 9 5 2 5 2 32 2 2v uv v uv v v v v v v v v

3) ( ) ( )[ ]. . .= − ⋅ − − − − + − + =4 32 24 17 23 36 18 140 2x x xy x xy xy x x y

( ) [ ]= − ⋅ − + + + − + =4 32 24 17 23 36 18 140 2x x xy x xy xy x x y

( ) [ ]− ⋅ + + = − − + = −4 31 35 140 124 140 140 1242 2 2 2 2x x xy x y x x y x y x




1) 4(6x - 5y) - 8(3x + 2y)

2) ( ) ( )u v u u uv− ⋅ − −6 6 2

3) ( ) ( ) ( ) ( )4 2 3 3 5 5a b ab a b− + ⋅ − − + ⋅ −

4) ( ) ( ) ( )2 1 2 3 5 1 302 2y y y y y+ − ⋅ + − ⋅ −

5) ( ) ( )m m m m m m2 3 7 64 3− ⋅ − − :

6) ( ) ( ) ( ) ( )18 27 9 18 27 9 18 27 92 2 2u u u⋅ − − + − −: : :



1) ... = 24x - 20y - 24x - 16y = - 36y

2) ... = u2 - 6vu - 6u2 + 6uv = - 5u2

3) ... = - 12a + 6b - 9ab + 5ab + 25b = - 12a + 31b - 4ab

4) ... = 10y + 20y2 -30y3 - 30y + 30y3 = - 20y + 20y2

5) ... = 4m5 - m6 - m6 + 3m5 = 7m5 - 2m6

6) ... = 54u2 - 2u2 + 3 - 2u2 + 3 = 50u2 + 6




1) ( ) ( ) ( )11 4 3 12 9 6 18 2 32 2x xy y y xy x xy x y+ − − + −

2) ( ) ( )3

714 35

3

816 88 212 2 2 3 2 2p q p pq pq qp p q− + − −

3) 37

91

10

176 45 3

3

5

35

12

55

5430 15

8

9

13

210

5

61

5

132 2a a b b b a b ab a− +

− − −

− − +

⋅



1) ... = 44x2y + 33xy2 -108xy2 + 72x2y + 36x2y - 54xy2 = 152x2y - 129xy2

2) ... = 6p4q2 - 15p2q2 + 6p2q2 - 33p4q2 - 21p2q2 = - 27p4q2 - 30p2q2

3) ... = 34

9

27

176b 45

18

5

35

12

55

5430

143

9

13

2

65

6

18

132 2a a b b a b ab a− +

− − −

− − +

⋅ =

= − + − + + − + − =668

3170

21

2

11

3108 22 9 152 2 2 2a ab b ab b ab a

= − − + −9 10 278 321

22 2a ab b




1) 19a(2a + 3b + 4c) - 11b(5a - 6b + 7c) - 15c(8a + 9b -c)

2) 16(13p + 14q) - 18(15p - 12q) + 17(8p + 9q)

3) 6(29x - 27y + 33z) - 7(23z - 24y + 43x) + 26(6y - 9z - 8x)

4) 7(12a - 18b + 89c) - 9(37c - 99a - 35b) - 25(22b + 44c - 32a)



1) ... = 38a2 + 57ab +76ac - 55ab + 66b2 - 77bc - 120ac - 135bc + 15c2 =

= 38a2 + 66b2 + 15c2 + 2ab - 44ac - 212bc

2) ... = 208p + 224q - 270p + 216q + 136p + 153q = 74p + 593q

3) ... = 174x - 162y + 198z - 161z + 168y - 301x + 156y - 234z - 208x =

= - 335x + 162y - 197z

4) ... = 84a - 126b + 623c - 333c + 891a + 315b - 550b - 1100c + 800a =

= 1775a - 361b - 810c



Vereinfache folgende Terme: 1) 5xy(x - z) - 2yz(3y - 4x) - y2(5x - 6z) + 5xy2

2) ( ) ( ) ( )4 3 6 2 7 2 4 3 3 2 7a b c a a b c b c a b+ − ⋅ − − − ⋅ − +

3) (195p + 90q - 225r) : 15 - 7(2p - 3q + 5r) + (324p + 126q + 270r) : 18

4) ( ) ( ) ( ) ( )1

840 56

1

642 54

1

945 108

1

798 56x y y x y x y x− − − − + − − −



1) ... = 5x2y - 5xyz - 6y2z + 8xyz - 5xy2 + 6y2z + 5xy2 = 5x2y + 3xyz

2) ... = 12a2 + 24ab - 8ac - 14ab + 28b2 + 21bc - 6ac - 21bc =

= 12a2 + 10ab - 14ac + 28b2

3) ... = 13p + 6q - 15r - 14p + 21q - 35r + 18p + 7q + 15r = 17p + 34q - 35r

4) ... = 5x - 7y + 7y + 9x + 5y - 12x - 14y + 8x = 10x - 9y




1) ( ) ( )[ ] ( )[ ]6 4 7 3 2 5 8 9 5 8 3 2 5⋅ − + ⋅ − + − − − − + −x y x y y x x

2) ( )[ ] ( ) ( )[ ]3 4 9 2 8 5 17 4 3 2 8 7 3 4y a a b b y a b a b− ⋅ − + − − + ⋅ − − +

3) ( ) ( )8 6 154 196 14 171 2281

19u v v u u v− − + − − ⋅:

4) ( )19

3

11

27 5 2 5

7

36

1

18

2

3y z y z y z y− − −

− + −

, ,



1) ... = [ ] [ ]6 7 28 6 15 8 9 40 15 10 5⋅ − + − − − ⋅ + + − − =x y x y y x x

[ ] [ ]= ⋅ − + − ⋅ + − = − + − − + =6 13 13 8 40 10 1 78 78 320 80 8x y y x x y y x = − − +158 242 8x y 2) [ ] [ ]3 4 18 72 45 17 4 24 16 21 28y a a b b y a b a b− + − − − + + − =

[ ] [ ]= − + − − − = − + − − + =3 14 55 45 4 45 12 42 165 135 180 48y a b y a b ay by y ay by

= -222ay + 213by - 135y 3) ... = 8u - 6v - 11v - 14u - 9u + 12v = - 15u - 5v

4) . . . , ,= − − +

− + −

=

19

3

11

27 5 2 5

7

3

1

34y z y z y z y

= − + + − = −19

38 7 5

5

3

1

315 5 8

1

3y z y y z y z, ,




1) ( )8 115 3 4 2 2

3 2 32x y x y

xyx xy x

−− −, ,

2) ( ) ( ) ( )[ ]11 4 6 9 42 98 14 7 4 2x y x y x y− − − + − ⋅:

3) ( ) ( )221 28 9 18 7 20 4 0 176 4 5 3 3 2 3 4 3 2, , , , : ,c d c d c d c d c d− + − −

Hinweis: ( )6 2

26 2 2 3

a ba b a b

+= + = +:



1) ... = 8x2y - 11x2 - 17x2y2 + 11x2 = 8x2y - 17x2y2

2) ... = 44x - 66y - 9[3x - 7y + 14x - 8y] = 44x - 66y -153x + 135y = - 109x + 69y

3) ... = - 130 c3d2 + 170c2d - 110 + 120d2




1) ( ) ( )[ ] ( )[ ]15 2 4 6 2 6 3 13 16 69 36 3 142x y x y x x xy x y− ⋅ − − + − − − −:

2) ( ) ( )( ) ( )[ ]13 4 6 55 2 11 8 5 7 5 92 2a a b a b a a ab a− − − + − − − +

3) ( ) ( ) ( )72

128 12 2 2 3 4

8

22

3

2

c

cc d c d

d

d−− − − − − + −

−

−

: :



1) ...= 15[12x - 24y + 12x - 6y] - 13[16x - 23x + 12y - 14y] =

= 15[24x - 30y] - 13[- 7x - 2y] = 360x - 450y + 91x + 26y = 451x - 424y

2) ... = 52a2 - 78ab - 55a2 - 2[- 55ab - 40a2 + 35ab - 63a2 ] =

= 52a2 - 78ab - 55a2 - 2[- 20ab - 103a2] =

= 52a2 - 78ab - 55a2 + 40ab + 206a2 = 203a2 - 38ab

3) ... = - 6c + 4c - 6d - [- 6c + 8d - 4] : 2 = - 2c - 6d + 3c - 4d + 2 = c - 10d + 2



Verwandle folgende Summen in Produkte:

1) 2a2 - 16a 2) cy + c 3) ab - b2

4) 3x3 + 6x 5) 36abc2 - 8ac 6) 14x2y + 7xy2

7) 3xy - 21x2y2 8) 5z2 + 5z 9) 40p3q2 - 32p2q3



1) 2a(a - 8) 2) c(y + 1) 3) b(a - b)

4) 3x(x2 + 2) 5) 4ac(9bc - 2) 6) 7xy(2x + y)

7) 3xy(1 - 7xy) 8) 5z(z + 1) 9) 8p2q2(5p - 4q)



Klammere soviel wie möglich aus:

1) 6ax3 - 9ax2 + 12ax 2) 75a3 - 25a + 65a2

3) 9,1y3 + 5,2y2 + 7,8y4 4) 12a2b3 - 18a3b - 36a2b2

5) 9

8

3

20

15

42 3v v v+ + 6)

5

2

25

6

15

42 2 3st s t s t− +

7) 4ab + 8ac + 12 ad 8) 196a2b2 - 112a3b2 + 42a2b3



1) 3ax(2x2 - 3x + 4) 2) 5a(15a2 - 5 + 13a)

3) 1,3y2(7y + 4 + 6y2) 4) 6a2b(2b2 - 3a - 6b)

5) 3

4

3

2

1

55 2v v v+ +

6)

5

21

5

3

3

22st st s− +

7) 4a(b + 2c + 3d) 8) 14a2b2(14 - 8a + 3b)



Schreibe folgende Terme als Produkte:

1) ( ) ( )a b x a b y+ ⋅ + + ⋅ 2) ( ) ( )m n a m n c− ⋅ − − ⋅

3) 3k(c - d) + c - d 4) m(2x + y) - 2x - y

5) 4ax + 6ay + 6bx + 9by 6) 12mu - 8mv - 30nu + 20nv

7) 2ns - nt - 2ps + pt 8) 4c2x - 12c2y - 3d2x + 9d2y



1) (a + b)(x + y) 2) (m - n)(a - c)

3) (c - d)(3k + 1) 4) (2x + y)(m - 1)

5) 2a(2x + 3y) + 3b(2x + 3y) = (2x + 3y)(2a + 3b)

6) 4m(3u - 2v) - 10n(3u - 2v) = (3u - 2v)(4m - 10n)

7) n(2s - t) - p(2s - t) = (2s - t)(n - p)

8) 4c2(x - 3y) - 3d2(x - 3y) = (x - 3y)(4c2 - 3d2)



Verwandle folgende Terme in Produkte:

1) a2x + b2x - a2y - b2y 2) a2c2 - a2d2 + bd2 - bc2

3) xy + z - yz - x 4) 3x - 4 - 20y + 15xy

5) 4m + 2n + 5pn + 10pm 6) 3a2 - 2ab + 8b2 - 12ba

7) y4 + y3 - 3y - 3 8) 3,3cd + 8,8ce - 3,6bd - 9,6be



1) x(a2 + b2) - y(a2 + b2) = (x - y)(a2 + b2)

2) a2(c2 - d2) - b(c2 - d2) = (a2 - b)(c2 - d2)

3) y(x - z) -(x - z) = (x - z)(y - 1) (Umsortieren!)

4) (3x - 4) + 5y(3x - 4) = (3x - 4)(1 + 5y)

5) 2(2m + n) + 5p(2m + n) = (2m + n)(2 + 5p)

6) a(3a - 2b) - 4b(3a- 2b) =(3a - 2b)(a - 4b)

7) y3(y + 1) - 3(y + 1) = (y + 1)(y3 - 3)

8) 1,1c(3d + 8e) - 1,2b(3d + 8e) = (3d + 8e)(1,1c - 1,2b)


7 Üben X Multiplikation von Summen 1401

Multipliziere folgende Klammern aus:

1) (x + 3)(x + 2) 2) (k - 5)(k + 2) 3) (y - 6)(y - 7)

4) (- z + 2)(z + 3) 5) (- 2x + 3)(5- 4x) 6) (-2k - 3)(- 3k - 2)

7) (0,4a - 0,5b)(0,5a + 0,4b) 8) (0,7x + 1,3y)(0,7x - 1,3y)


7 Lösung X Multiplikation von Summen 1401

1) x2 + 5x + 6 2) k2 - 3k - 10 3) y2 - 13y + 42

4) - z2 - z + 6 5) 8x2 - 22x + 15 6) 6k2 + 13k + 6

7) 0,2a2 - 0,09ab - 0,2b2 8) 0,49x2 - 1,69y2


7 Üben XX Multiplikation von Summen 1402

Multipliziere folgende Klammern aus:

1) - (4x + 3y)(2x - 5y) 2) - (- 6a + 4b)(- 2a + 5b)

3) - (3p - 8q)(- 2p - 7q) 4) - (15r - 12s)(- 8s - 11r)

5) (2a2 - 4c2)(9c2 - 8a2) 6) 3

5

2

3

1

4

5

6u v v u+

−

7) 11

32

1

22

1

41

1

5a b a b−

− +

8) ( )( )18 16 18 162 3 3 2, , , ,x y y x− +


7 Lösung XX Multiplikation von Summen 1402

1) - 8x2 + 14xy + 15y2 2) - 12a2 + 38ab - 20b2

3) 6p2 + 5pq- 56q2 4) 165r2 - 12rs - 96s2

5) - 16a4 + 50a2c2 - 36c4 6) − − +1

2

73

180

1

62 2u uv v

7) − + −3 79

4032 2a ab b 8) 2,88x4 +0,68x2y3 - 2,88y6


7 Üben XX Multiplikation von Summen 1403

Vereinfache folgende Terme.

1) ( ) ( ) ( ) ( )2 5 3 6 2 4 4 1x x x x− ⋅ + + + ⋅ −

2) ( ) ( ) ( ) ( )8 7 9 5 11 13 12 14a b a b a b b a− ⋅ + − − ⋅ −

3) ( ) ( ) ( ) ( )50 5 2 9 8 15 4 4 3cd c d c d c d d c− + ⋅ − − − ⋅ −


7 Lösung XX Multiplikation von Summen 1403

1) ... = 6x2 + 12x - 15x - 30 + 8x2 - 2x + 16x - 4 =

= 14x2 + 11x - 34

2) ... = 72a2 + 40ab - 63ab - 35b2 - 132ab + 154a2 + 156b2 - 182ab =

= 226a2 - 337ab + 121b2

3) ... = 50cd - 45c2 + 40cd - 18cd + 16d2 - 60cd + 45c2 + 16d2 - 12cd =

= 32 d2


7 Üben XXX Multiplikation von Summen 1404


1) ( ) ( ) ( ) ( )4 6 2 2 5 3 7 3 8 5⋅ + ⋅ + − ⋅ − ⋅ +k k k k

2) ( ) ( ) ( ) ( )3 15 0 8 0 4 2 5 6 12 2 4 2 5 15⋅ − ⋅ + − ⋅ + ⋅ −, , , , , , , ,a a a a

3) - v(v - 1) - [(v - 2)(v + 3) - 6(v + 5)(v - 3)]


7 Lösung XXX Multiplikation von Summen 1404

1) ... = 4(12k + 30k2 + 4 + 10k) - 3(56k2 + 35k - 24k - 15) =

= 4(30k2 + 22k + 4) - 3(56k2 + 11k - 15) =

= 120k2 + 88k + 16 - 168k2 - 33k + 45 = - 48k2 + 55k + 61

2) ... = ( ) ( )3 0 6 3 75 0 32 2 6 3 18 6 3 62 2⋅ + − − − ⋅ − + − =, , , , ,a a a a a a

( ) ( )= ⋅ + − − ⋅ + − =3 0 6 3 43 2 6 3 4 2 3 62 2, , , ,a a a a

= 1,8a2 + 10,29a - 6 - 18a2 - 25,2a + 21,6 = - 16,2a2 - 14,91a + 15,6

3) ... = - v2 + v - [v2 + 3v - 2v - 6 - 6(v2 - 3v + 5v - 15)] =

= - v2 + v - [v2 + v - 6 - 6v2 - 12v + 90] =

= - v2 + v - v2 - v + 6 + 6v2 + 12v - 90 = 4v2 + 12v - 84



Multipliziere die Klammern aus und fasse zusammen:

1) ( ) ( ) ( )4 5 3 2x y x y x y− ⋅ − ⋅ + 2) ( ) ( ) ( )2 1 4 3 3 2e e e+ ⋅ + ⋅ −

3) ( ) ( ) ( )9 4 3 2 3 22 2a b a b a b+ ⋅ − ⋅ + 4) ( ) ( ) ( )2 5 3 2 15 4 8, , , ,p q q p p q− ⋅ + ⋅ +



1) ( ) ( ). . .= − + ⋅ + = + − − + + =4 9 5 3 2 12 8 27 18 15 102 2 3 2 2 2 2 3x xy y x y x x y x y xy xy y

= − − +12 19 3 103 2 2 3x x y xy y

2) ( ) ( ). . .= + + ⋅ − = − + − + − =8 10 3 3 2 24 16 30 20 9 62 3 2 2e e e e e e e e

= + − −24 14 11 63 2e e e

3) ( ) ( ). . .= + ⋅ − = −9 4 9 4 81 162 2 2 2 4 4a b a b a b

4) ( ) ( ). . . , , ,= + − − ⋅ + =3 75 12 4 8 15 362 2pq p q pq p q

( ) ( )= − − ⋅ + =12 4 8 11612 2p q pq p q, ,

= − − + − − =12 4 8 1161 12 4 8 11613 2 2 2 3 2p pq p q p q q pq, , , ,

= − + −12 16 41 0 39 4 83 2 2 3p pq p q q, , ,



Multipliziere die Klammern aus und vereinfache:

1) ( ) ( )x y z x y z+ + ⋅ − − 2) ( ) ( )a a a a2 22 3 2 3− + ⋅ + +

3) ( ) ( )2 3 4 5 6 7c d e e d c+ − ⋅ − + 4) ( ) ( )2 5 4 3 12 0 8 14, , , ,k m n k m n+ + ⋅ − +



1) ... = x2 - xy - xz +xy - y2 - yz + xz - yz - z2 = x2 - y2 - 2yz - z2

2) . . .= + + − − − + + + = + +a a a a a a a a a a4 3 2 3 2 2 4 22 3 2 4 6 3 6 9 2 9

3) ... = 10ce - 12cd + 14c2 + 15de - 18d2 + 21cd - 20e2 + 24de - 28ce =

= 14c2 - 18d2 - 20e2 + 39de - 18ce + 9cd

4) ... = 3k2 - 2km + 3,5kn + 4,8km - 3,2m2 + 5,6mn + 3,6kn - 2,4mn + 4,2n2 =

= 3k2 - 3,2m2 + 4,2n2 + 2,8km + 3,2mn + 7,1kn




1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 3 2 5 7 2 5 1 2 33 2⋅ − + − − ⋅ + + + ⋅ + ⋅ +a a a a a a a a

2) ( ) ( ) ( ) ( )( )x y x y y x y x y x y+ ⋅ − − ⋅ + − + + − − +5 4 7 10 3 2 5 1 3 5



1) ( ) ( ). . .= − + − − + + + + + ⋅ + =12 8 4 10 25 14 35 3 2 33 2 2 2a a a a a a a a a

= − − + + + + + + + =12 18 7 35 3 2 3 9 63 2 3 2 2a a a a a a a a

= − + +13 12 4 413 2a a a

2) . . .= + − − − + + − + + − + −x xy y xy y y x xy x xy y y2 2 2 2 220 7 10 3 2 6 10 5 15 25

− + − = − − + + −x y x xy y y x3 5 3 7 45 31 9 52 2


7 Üben X Gleichungen bei Textaufgaben 1527

Die vier auf der linken Seite der Tafelwaage stehenden Dosen haben gleiche Masse.

Berechne diese.

(siehe auch Focus7; S.116 / 17)


7 Lösungen

X Gleichungen bei Textaufgaben 1527

x sei das Gewicht einer Dose.

kggxgx 25001003 =+++

gggx 600|20006004 −=+

4|:14004 gx =

gx 350= Antwort: Jede Dose wiegt 350g.

100g

500g

2 kg


7 Üben XX Gleichungen und Textaufgaben 1528

Ein einem Dreieck ist α dreimal so groß wie β . Außerdem ergeben β und γ

zusammen 60°. Wie groß sind die Winkel α , β und γ ?


7 Lösungen

XX Gleichungen und Textaufgaben 1528 α+ β + γ = 180°

α = 3 β und β + γ =60° einsetzen in die Gleichung zur Winkelsumme:

{0

603

180=++

°

321γβα

β

3 β +60°=180° |-60° 3 β =120° |:3 β =40° Und damit folgt: α = 120° und γ =20°


7 Üben X Gleichungen und Textaufgaben 1529

Anton ist dreimal so alt wie Bastian und 5 Jahre älter als Christian. Alle zusammen

sind 30 Jahre alt. Bestimme das Alter von Anton, Bastian und Christian!


7 Lösungen

X Gleichungen und Textaufgaben 1529

Alter von Bastian: x

Alter von Anton: 3x

Alter von Christian: 3x – 5

Gleichung: Gesamtalter

5

7:|357

5|3057

30)53(3

=

=

+=−

=−++

x

x

x

xxx

Bastian ist 5, Anton 15 und Christian 10 Jahre alt.



Peter hatte im Dezember 2006 auf seinem Sparkonto 58€. Petra hat so viele SMS

geschrieben, dass sie ihr Konto um 40€ überziehen musste. Ab Januar zahlen beide

monatlich einen festen Betrag auf ihr Konto ein. Und zwar Peter jeweils 25€ und

Petra 39€. Finde heraus, wann Peter und Petra gleich viel Geld auf ihrem Konto

haben. (Zinsen sollen nicht berücksichtigt werden.)


7 Lösungen

XX Gleichungen und Textaufgaben 1530

Geg: Peter: 58€ und monatlich 25€ Petra: -40 € und monatlich 39€ Ges: Anzahl der Monate: x Lsg: Angaben in €:

.7

14:;1498

2540;39402558

x

x

xxx

=

⋅=

⋅−+⋅+−=⋅+

Ant: Im Juli haben beide gleich viel Geld auf dem Konto, wenn Zinsen unberücksichtigt werden.

Monate

€


7 Üben XXX Gleichungen und Textaufgaben 1531

Tom hatte im Dezember 2006 auf seinem Sparkonto 56 €. Tina hatte ihr Konto um 28€ überzogen. Ab Januar 2007 zahlen Tom und Tina monatlich jeweils den gleichen Betrag auf ihr Konto ein, und zwar Tom 25 € und Tina 39 €.

Finde heraus, wann Tom und Tina gleich viel Geld auf ihren Konten haben.

a) Löse die Aufgabe mit Hilfe einer Tabelle der monatlichen Kontostände und veranschauliche deine Ergebnisse in einem Diagramm.

b) Löse die Aufgabe mit Hilfe einer Gleichung.

(siehe auch delta7; S. 119 / IX)


7 Lösungen

XXX Gleichungen und Textaufgaben 1531 a)

Dez Jan Feb März April Mai Juni Juli

Tom 56€ 81€ 106€ 131€ 156€ 181€ 206€ 231€

Tina -28€ 11€ 50€ 89€ 128€ 167€ 206€ 245€

b) x sei die Anzahl der Monate

xx 39282556 +−=+ x1484 = 6=x

Antwort: Im Juni 2007 haben Tina und Tom den gleichen Kontostand.



Der Oberflächeninhalt eines Würfels mit der Kantenlänge 2 dm ist um 84 cm² größer

als der eines Quaders der Länge 50 cm und der Breite 12 cm. Wie hoch ist der

Quader?


7 Lösungen

XX Gleichungen und Textaufgaben 1532

Oberflächeninhalt des Würfels: ( ) ²2400²2462 cmdmdm ==⋅= Oberflächeninhalt des Quaders: hcmhcmcmcm ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ 12250212502

cmh

cmhcmcm

cmhcmcmcm

cmcmhcmhcmcmcmcm

9

124:|124²1116

²1200|124²1200²2316

²84|²8412250212502²2400

=

⋅=

−⋅+=

−+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=


7 Üben XXX Gleichungen und Textaufgaben 1533

Herr Blume besitzt einen rechteckförmigen Garten. Das Rechteck ist 2,5 mal so lang

wie breit. Die Fläche ist zehnmal so groß wie die eines Quadrats mit Seitenlänge 13.

a) Wie lang ist der Garten? Löse mit einer Gleichung!

b) Der Garten soll mit einem Zaun eingefasst werden. Wie viele Meter Zaun

braucht man dazu?


7 Lösungen

XXX Gleichungen und Textaufgaben 1533

a) 22 13105,2 ⋅=x

26

6762

=

=

x

x

Der Garten ist also 26 m lang.

b) Der Garten ist 26 m lang und 5,2:26 , also 10,4 m breit.

Damit besitzt das Rechteck einen Umfang von 8,724,102262 =⋅+⋅ m.


7 Üben EXP Gleichungen und Textaufgaben 1534

Der Strompreis beim Anbieter Kurzschluss setzt sich zusammen aus einer

Grundgebühr und dem Preis für die bezogenen Kilowattstunden (kurz kWh). Familie

Meier bezahlt für ihren Jahresbedarf von 1500 kWh an elektrischer Energie 372 €.

Familie Huber bezahlt für ihren Jahresbedarf von 2200 kWh an elektrischer Energie

512€. Was kostet 1 kWh Strom? Wie hoch ist die monatliche Grundgebühr beim

Anbieter Kurzschluss? (Hinweis: Es sind zwei Größen gesucht! Wie viele

Unbekannte brauchst du?)


7 Lösungen

EXP Gleichungen und Textaufgaben 1534

Du brauchst für diese Aufgabe zwei Variablen.

x : Grundgebühr in € y : Kosten für 1 kWh Strom in € Du erhältst zwei Gleichungen: 372 = 12 x + 1500 y 512 = 12 x + 2200 y Löse beide Gleichungen nach 12 x auf: 12 x = 372 – 1500 y 12 x = 512 – 2200 y Dann kannst du gleichsetzen: 372 – 1500 y = 512 – 2200 y | +2200 y – 372 700 y = 140 | : 700

y = 0,20 [€] Eine kWh kostet also 20 Cent. 612:7212:)15002,0372( ==⋅−=x [€]

Die monatliche Grundgebühr beträgt also 6 €.


7 Üben EXP Gleichungen und Textaufgaben 1535

Finde heraus, wie viele verschiedene Lösungen die Gleichung 59732 =−⋅ yx hat,

wenn x und y natürliche Zahlen sind.


7 Lösungen

EXP Gleichungen und Textaufgaben 1535

Geg: ℵ∈=−⋅ yxyx ,;59732 Ges: x,y Lsg:

;600

3;59732

2

=⋅

+=−⋅

yx

yx

Zerlege 600 in Primfaktoren: 23 532600 ⋅⋅= Also sind 4 und 25 die einzigen vorkommenden Quadratzahlen. Außerdem kann noch die Zahl 1 als x verwendet werden.

( ) ( ) ( ){ }24/5;150/2;600/1=L Ant: Es gibt drei Lösungen, wenn x und y natürliche Zahlen sind.


7 Üben X Gleichungen 1501

Löse folgende Gleichungen:

1) 16 + 12x = 40 2) - 26 + 15x = 34

3) 3 = 39 - 18x 4) 20 = 48 - 14x

5) 16x - 48 = 176 6) - 18x - 288 = - 72

7) 38 - 2x = 200 - 20x 8) 9x + 3 = 15x - 9

9) 57 - 6x = 24x - 48


7 Lösung X Gleichungen 1501

1) x = 2 2) x = 4

3) x =2 4) x = 2

5) x = 14 6) x = - 12

7) x = 9 8) x = 2

9) x = 3,5




1) 75 + 3x = 126 2) 1

2x + 28 = 19

3) 3 85 317

20, + =x 4) 2

1

73 2

1

4+ =x

5) - 38,2 = 6,4 + x 6) 145

16

43

3= + x

7) 13

41

2

31

1

32 75x x− = + , 8)

7

18

9

16x x= −



1) x = 17 2) x = - 18

3) x = 0 4) x =1

28

5) x = - 44,6 6) x = −1

48

7) x = - 3 8) x = 0




1) 6x + 25 - 3x = 64 2) 4x + 20 + 2x = 44

3) - 3x + 24 - 9x = 0 4) 73 = 73 - 16x + 3x

5) 82 + 3x = 162 - 5x 6) 42 + 16x = 51 + 13x

7) 17x - 65 = 16x - 55 8) 25x - 25 = 75 + 15x

9) 8x - 32 = 38 - 6x



1) x = 13 2) x = 4

3) x = 2 4) x = 0

5) x = 10 6) x = 3

7) x = 10 8) x = 10

9) x = 5




1) 12x + 33 - 5x = 117 - 11x - 48

2) 9x = 17x + 6 + 15x + 17 - 30x

3) 49 + 13x - 53 = 14 + 12x - 38

4) 58x + 55 - 63x = 77 - 20x - 22

5) 12x + 8 - 15x = - 17x + 6 + 14x - 4



1) x = 2

2) x = 32

7

3) x = - 20

4) x = 0

5) L = { }




1) 4x - 27 + 7x = 11x - 22 - 5

2) 13x - 26 = 14x - 19 - 4x + 5

3) 0 = 42 - 24x + 5x - 9x + x + 12

4) 17x + 76 - 8x - 73 + 6x = 23

5) 23x = 17x + 5 + 12x + 16 - 13x



1) L = Q

2) x = 4

3) x = 2

4) x = 11

3

5) x = 3




1) 39x - 19 - 27x + 20 = 55 + 7x - 14

2) 9x - 8 + 6x - 5 + 4x - 3 + 2x - 1 = 4

3) 28 - 6x = 98 - 8x - 16 - 6x - 5 - 4x + 11

4) 22x - 25 + 14x - 14 + 12x - 9 = 0

5) 16x - 23 + 7x - 11 + 11x - 15 - 25x + 22 = 0



1) x = 8

2) x = 1

3) x = 5

4) x = 1

5) x = 3


7 Üben XX Gleichungen 1507


1) − + = −1223

366

3

42

5

27x

2) 28 4 11

829 4 1

1

4, ,x x− = +

3) 17

87 3 2125x x+ = + ,

4) - 4,6x - 1,376 = - 2,907 - 5,6x

5) 6

112

2

315 2

1

3

1

22x x x x− − = − +


7 Lösung XX Gleichungen 1507

1) x = −223

27

2) x = −23

8

3) L = { }

4) x = - 1,531

5) x = 90



Bestimme die Lösungsmengen folgender Gleichungen, die Formvariable enthalten:

1) 3c + x = 5c 2) 6x - 8k = 10k 3) 4x - 12 = 8a

4) x - 3m = n - 3m 5) y + 6d = 6d 6) 3x - 6a2 = 12a

7) 3

4

2

3k x p− = 8) x + c2 = c3 9) 0 = x - 6u + 5v

10) m2 - 6n = m2 + 5x - 11n



1) x = 2c 2) x = 3k 3) x = 2a + 3

4) x = n 5) y = 0 6) x = 2a2 + 4a

7) x k p= −3

4

2

3 8) x = c3 - c2 9) x = 6u - 5v

10) x = n



Löse folgende Gleichungen, die Formvariable enthalten:

1) 12ax - 9a = 27a 2) k - 4x = 2m 3) - 15d = 10x

4) 3ax = a2 5) 5k2x = 10k3 6) 14x + 16a = 6x - 24b

7) 1

37x k= 8)

1

32 5s x s+ = 9)

x

aa= +5

10) - 7x - 4a - b = 3b + 2a - 9x 11) 5x - (7c - 2d) = 5d - 4x



1) x = 3 2) x k m= −1

4

1

2 3) x = - 1,5d

4) x a=1

3 5) x = 2k 6) x = - 2a - 3b

7) x = 21k 8) x s= 21

3 9) x = 5a + a2

10) x = 3a + 2b 11) x c d= +7

9

1

3




1) 4x - (8 + 6x) = 18 - 28x

2) 14x - 12(2,5 - x) = 2(2x + 2) + 10

3) (12x + 8) - (10 + 7x) = 5x + 8

4) 3(5x + 7x) + 64 : 8 = 17 - (9 - 9x)



1) x = 1

2) x = 2

3) L = { }

4) x = 0




1) 7 - 6x = 15 + [11 + 4x - (12x + 9)]

2) - 17 + [9x - 12 - (7 - 11x)] = 24 - [- 3x - (16 + 7x)]

3) 26 + 8x - [(x - 4) - (2x - 17)] = 5x - (- 3x + 5)

4) 7x - 11 - {7 - 6x - [12 - 4x - (2x + 5)]} = 4x - 8



1) x = 5

2) x = 7,6

3) x = - 18

4) x = 1




1) ( ) ( )12 2 3 2 9 12x x− = −

2) ( ) ( )18 2 8 8 18 4+ ⋅ = + ⋅x x

3) ( ) ( )24 6 4 2 9 4 24− − = + −x x

4) ( ) ( )4 3 400 350 2 3 3 350x x x− − − ⋅ = +



1) x = 2

2) x = 2

3) x = 4

4) x = 200




1) ( )[ ] ( )6 6 6 15 29 3− − − = − −x x

2) 33 97

11 56+ = −

⋅x

x

3) ( )114 3 6 5 9 8 2 3 12 3, , , , ,− = − ⋅ −x x x

4) x x x

x3 12

92

5

8− = + −

5) 17

2027

80 15 2 5

16x

xx

x+ = − + −

,



1) x = 2

2) x = - 649

3) x = 4

4) x = 24

5) x = - 17




1) 17x - 4(x - 3) = 8(3x - 6) - 3(2 + 4x)

2) 15x + 3[2x + 3(8 - x)] = 29 + 11x

3) 5 - 8(2,5x + 11) = 5[13x - 8(3x - 6)] + 9(4x - 14)

4) 3,5(2 - 3x) - [6(1,9 + 0,7x) - 12] + 16x = 1,3x + 2

5) xx

x⋅ +

⋅ +

⋅ + = −

1

3

1

6

3

4

3

8

4

5

7

10

3

5

3

10



1) x = - 66

2) x = - 43

3) x = - 197

4) L = { }

5) x = 11


7 Üben XXX Gleichungen 1515


1) 6(5,4 - 9x) - 30 = 9 - 15(3x - 4)

2) 0,75(11x - 24) - 0,25(13x - 120) + 13 = 0

3) 74

17 53

66

104x x x

−

− +

= −

4) ( )3

52

1

6

5

8

4

72

1

77 2−

− +

= −x x x


7 Lösung XXX Gleichungen 1515

1) 32,4 - 54x - 30 = 9 - 45x +60 2) 8,25x - 18 - 3,25x + 30 + 13 = 0 2,4 - 54x = 69 - 45 x 5x + 25 = 0 - 66,6 = 9x 5x = - 25 x = -7,4 x = - 5

3) 7

4119

5

330

1

6104x x x− − − = − 4)

6

5

1

10

5

14

5

41

2

7− − − = −x x x

21

12

20

12149

2

12104x x x− − = −

24

20

7

70

25

70

25

201

20

70− − − = −x x x

1

12149

2

12104x x− = − − − = −

32

70

1

201

20

70x x

− =451

12x − =

21

20

6

35x

x = - 540 x = −61

8




1) 4 10

32 8

xx

+= +

2) 22 8

18

10 11

6

+=

−x x

3) 7 9

4

2 14

37

x x−−

−=

4) 11 9

4

1

8

2

3

7 13

12

x x+− = −

−

Anleitung:

Beispiel: ( )2 5

32 5 3

2

3

5

3

xx x

+= + = +:



1) 4

3

10

32 8x x+ = + 2)

11

9

4

9

5

3

11

6+ = −x x

− =14

3

2

3x

55

18

11

9= x

x = -7 x = 5

2

3) 7

4

9

4

2

3

14

37x x− − + = 4)

11

4

9

4

1

8

2

3

7

12

13

12x x+ − = − +

21

12

27

12

8

12

56

127x x− − + =

33

12

17

8

1

12

13

12x x+ = +

77

12

35

127x − =

5

3

49

24x = −

77

12

119

12x = x = −

49

40

x =17

11




1) 1 ( ) ( ) ( )9 11 7 12 13 5 17 2 10− + + + − − = − +x x x x( )

2) ( ) ( )[ ]57 7 2 9 13 111 7 17 4 5 2+ − − = − − − +x x x x x

3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]49 15 3 6 11 5 9 2 12 23 10 17+ − − = + − + − −x x x x x



1) 19 - 11x - 7 + 12 + 13x - 5x + 17 = - 2x - 20 41 - 3x = - 2x - 20 x = 61 2) 57 + 7x - 18x + 26 = 111- 7x - [17x - 20 - 8x] 83 - 11x = 111 - 7x - 9x + 20 5x = 48

x = 93

5

3) 49 + 15x - 18x + 33 = 45 + 10x - [12x + 23 - 10x + 17] 82 - 3x = 45 + 10x - 2x - 40 82 - 3x = 5 + 8x 11x = 77 x = 7




1) ( )[ ] ( ) ( )[ ]− − + − = − − − −7 8 3 4 9 50 18 6 3 5 3x x x x x

2) ( ) ( ) ( )4 3 3 9 18 10 1 3x x x− + − = −

3) ( ) ( ) ( )7 3 7 5 3 4 17 103 11x x x x− + − + − = −



1) - 7x - [8 + 12x - 27] = 50 - 18x - 6[- 2x + 3] - 7x + 19 - 12x = 50 - 18x + 12x - 18 - 19x + 19 = 32 - 6x 13x = - 13 x = - 1 2) 4x - 3 + 27 - 54x = 10 - 30x - 50x + 24 = 10 - 30x 14 = 20x x = 0,7 3) 21x - 49 + 5x - 15 + 68 - 4x = 103 - 11x 22x + 4 = 103 - 11x 33 x = 99 x = 3




1) ( ) ( )4

35 4 6

2

311 2x x x x x− − = − −

2) ( ) ( )1

49 12 2 3 1

3

4

1

37 8x x x x x x− = − −

+ −

3) 5x(6x + 7) - 3x(10x + 8) + 99 = 0

4) 8x(6 - 5x) + 20x(2x - 3) = 45



1) 4

3

20

34 6

22

3

4

32 2x x x x x− − = − + 2)

9

43 2 3

9

4

7

3

8

32 2x x x x x x− = − + + −

− = −32

36

22

3x x − = − +3

11

3

7

3x x

− =10

3

18

3x

2

3

7

3x =

x = −9

5 x =

7

2

3) 30x2 + 35x - 30x2 - 24x + 99 = 0 4) 48x - 40x2 + 40x2 - 60x = 45 11x = - 99 - 12x = 45

x = - 9 x = −15

4



Bestimme die Lösungsmenge folgender Gleichungen:

1) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x− ⋅ + = + ⋅ −4 8 6 2 2) ( )( ) ( )( )7 5 2 3− + = − −x x x x

3) ( )( ) ( )( )2 4 6 1 4 2 3 1x x x x− + = − − 4) ( ) ( )1

21 4 6 3

1

39 6x x x x−

+ = −

−



1) x2 + 4x - 32 = x2 + 4x - 12 / - x2 - 4x - 32 = - 12 ⇒ L = { } 2) 7x + 35 - x2 - 5x = 3x - x2 - 6 + 2x / + x2 2x + 35 = 5x - 6 / + 6 - 2x 41 = 3x / : 3

x = 132

3

3) 12x2 + 2x - 24x - 4 = 12x2 - 4x - 6x + 2 / - 12x2 - 22x - 4 = - 10x + 2 / + 22x - 2 - 6 = 12x / : 12 x = - 0,5 4) 2x2 + 3x - 4x - 6 = 27 - 18x - 3x + 2x2 / - 2x2 - x - 6 = 27 - 21x / + 21x + 6 20x = 33 / : 20 x = 1,65




1) ( ) ( )( ) ( )( )11 3 4 3 2 10 7 7 6 4 52x x x x x x x− − − − = + − − −

2) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 3 2 3 1 4 6 5 2 5 8 36− − − + + = − + +x x x x x x



1) 33x2 - 44x - 3x + 6 + x2 - 2x = 10x2 + 7 - 28x + 35 + 24x2 - 30x

34x2 - 49x + 6 = 34x2 - 58x + 42 / - 34x2 + 58x - 6

9x = 36 / : 9

x = 4

2) 6 - 4x - 3x + 2x2 - 12x2 - 18x - 4x - 6 = 25x + 40 - 10x2 - 16x + 36

- 10x2 - 29x = - 10x2 + 9x + 76 / + 10x2 - 9x

- 38x = 76 / : (- 38)

x = - 2




1. 3 14 2

4,5x 3 (28x 6) 13 x+ = − +

2. 22

3(12x 6)(x 6) (2x) 2− + = ⋅

3. 2 31 1

2 4 2( x 2) (2 x) ( x)− = − ⋅ −



1. 3 14 2

4,5x 3 (28x 6) 13 x+ = − +

92

4,5x 3 21x 13,5x+ = − +

152

30x =

41x =

2. 223

(12x 6)(x 6) (2x) 2− + = ⋅

8x2 + 44x – 24 = 8x2

x = 116

3. 2 231 14 8 4

x 2x 4 3 2x x x− + = − − +

38

x 1= −

38

x = −



Löse folgende Gleichungen: 1. (3x – 2)(5x + 3) = - x² + (4x)² 2. (x – 3)(x² - 5x – 2) = -x(8x – x²) - 20 3. - (2x + 2)² = (x – 4)(x + 2)(- 4)



1. 15x² + 9x – 10x – 6 = - x² + 16x²

15x² - x – 6 = 15x²

- x – 6 = 0 ⇒ x = - 6

2. x³ - 5x² - 2x – 3x² + 15x + 6 = -8x² + x³ - 20

x³ - 8x² + 13x + 6 = x³ - 8x² - 20

13x + 6 = - 20

13x = - 26 ⇒ x = - 2

3. - (4x² + 8x + 4) = (x² - 4x + 2x – 8)(- 4)

-4x² - 8x – 4 = -4x² + 8x + 32

-8x – 4 = 8x + 32

- 36 = 16x ⇒ x = - 2¼


7 Üben EXP Gleichungen bei Textaufgaben 1524

Finde fünf aufeinander folgende ganze Zahlen so, dass die Summe der Quadrate

der kleineren drei Zahlen gleich der Summe der Quadrate der beiden größeren

Zahlen ist.

Zeige, dass der Summenwert aller fünf Zahlen entweder 0 oder 60 ist.


7 Lösung EXP Gleichungen bei Textaufgaben 1524

1. Zahl: x 2. Zahl: x+ 1 usw. 5. Zahl: x + 4 x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2 x2 + x2 + 2x + 1 + x2 + 4x + 4 = x2 + 6x + 9 + x2 + 8x + 16 x2 – 8x – 20 = 0 Durch Raten findet man die Lösungen x = - 2 bzw. x = 10. Die gesuchten Zahlen sind dann entweder – 2, - 1, 0, 1 und 2 (mit Summenwert 0) oder 10, 11, 12, 13, 14 mit Summenwert 60.



Die letzte Ziffer einer dreistelligen Zahl ist 2. Setzen wir die 2 von der letzten an die

erste Stelle und verschieben die anderen Ziffern nach hinten, so wird die Zahl dabei

um 36 kleiner. Wie groß ist die Summe der Ziffern der ursprünglichen Zahl?

(Vgl. Känguru-Wettbewerb 2006/Klassenstufe 7 und 8)



Ursprüngliche Zahl: Hunderterziffer: x Zehnerziffer: y Einerziffer: 2

Wert der Zahl: 100x + 10y + 2

Neue Zahl: Hunderterziffer: 2 Zehnerziffer: x Einerziffer: y

Wert der Zahl: 200 + 10x + y

Gleichung: 100x + 10y + 2 – 36 = 200 + 10x + y

90x + 9y = 234 | : 9

10x + y = 26 ⇒

Die neue Zahl ist dann also 226, die Summe der Ziffern 10.



Der Osterhase hat viele hübsche Ostereier verteilt. Die Hälfte hat er in der linken

Gartenecke versteckt, die Hälfte des Restes und noch ein Ei auf der Wiese, die

Hälfte des nun verbliebenen Restes und noch 3 Eier im Beerenstrauch und das

letzte Ei kam unter den Kaffeewärmer. Wie viele Ostereier hat er insgesamt

versteckt?




Anzahl der Eier: x

( ) ( )[ ] 131x1xxx21

21

21

21

21

21 ++−⋅⋅++⋅+=

13x1xxx21

81

41

21 ++−+++=

21

87 4xx +=

x = 36

Der Osterhase hat also 36 Eier verteilt.


7 Üben EXP Mittelwert 1610

Lukas erzählt von der Geburtstagsfeier seiner Großmutter: „Meine Oma

hat alle ihre vierzehn Enkelkinder zu ihrem Geburtstag eingeladen. Von

den jüngsten, den vierjährigen Zwillingen Lea und Ben, abgesehen,

waren wir alle verschieden alt und, wenn wir das Alter unserer Oma

mitrechnen, im Durchschnitt 14 Jahre alt.“ Wie alt kann die Oma von

Lukas höchstens sein?


7 Lösung EXP Mittelwert 1610

Bei einem Durchschnittsalter von 14 für 15 Personen ist die Summe der Alter aller

Personen 210. Zieht man die beiden Zwillinge ab, so ergibt sich für die anderen 13

Personen noch 202. Da die anderen 12 Enkel alle verschieden alt sind und älter als

4 Jahre sein müssen, sind sie mindestens 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 und 16.

Die Summe ist also 126. Dann verbleibt für die Großmutter ein Alter von höchstens

76.


7 Üben EXP Mittelwert 1611

Das Durchschnittsalter von Großmutter, Großvater und ihren 7

Enkelkindern ist 28 Jahre. Das Durchschnittsalter der Enkel ist 15. Die

Großmutter ist 3 Jahre älter als der Großvater. Wie alt ist sie?



7 Lösung EXP Mittelwert 1611

Alter des Großvaters: x Alter der Großmutter: x + 3

Es gilt: 289

7153xx=

⋅+++

⇒ 2x + 108 = 252

⇒ x = 72

Der Großvater ist 72 Jahre alt, die Großmutter 75.


7 Üben XXX Mittelwert 1609

In einer Klasse mit 25 Schülern und Schülerinnen betrug der

Durchschnitt einer Schulaufgabe 2,92. Hätte jeder der Schüler bzw. jede

der Schülerinnen, die keine 1 hatten, um eine Notenstufe besser

abgeschnitten, so wäre der Notendurchschnitt 2,08 gewesen. Wie viele

Schüler und Schülerinnen hatten tatsächlich eine 1 erreicht?


7 Lösung XXX Mittelwert 1609

Die Summe aller Noten der Schulaufgabe ist 2,92⋅25 = 73.

Wenn alle Schüler um eine Note besser gewesen wären, so wäre die Summe aller

Noten 2,08⋅25 = 52. Die Differenz ist 21; somit hätten sich 21 Schüler um eine Note

verbessern können. Also hatten vier Schüler bereits Note 1.


7 Üben XXX Mittelwert 1608

Der Mittelwert von 10 voneinander verschiedenen positiven ganzen

Zahlen ist 10. Wie groß ist die größte dieser Zahlen höchstens?



7 Lösung XXX Mittelwert 1608

Die ersten 9 Zahlen sind kleinstenfalls 1, 2, 3, … 9. Damit ergibt sich für die größte

Zahl x:

1010

x921=

++++ ...

1 + 2 + … + 9 + x = 100

45 + x = 100

x = 55

Die größte Zahl ist höchstens 55


7 Üben EXP Prozentrechnen 1710

Fanny, Vicky und Christina sparen für ein Zelt. Fanny hat schon 40 %

zusammen, Vicky immerhin 40 % dessen, was noch hinzukommen

muss. Christina hat die restlichen 45 € gespart. Wie viel kostet das Zelt?


7 Lösung EXP Prozentrechnen 1710

Ist der Zeltpreis x, so hat Fanny 0,4x gespart, Vicky 0,4⋅0,6x = 0,24x und Christina

hat 45 €. Also gilt:

0,4x + 0,24x + 45 = x

0,36x = 45

x = 125

Das Zelt kostet 125 €.


7 Üben EXP Prozentrechnen 1711

Zwei Liter Kiwi-Erdbeer-Saft haben einen Zuckergehalt von 10,0 %; drei

Liter Ananas-Mango-Saft haben einen Zuckergehalt von 12,0 %. Die

beiden Säfte werden gemischt. Welchen Zuckergehalt hat das

Mischgetränk?


7 Lösung EXP Prozentrechnen 1711

10 % von 2 Litern sind 0,2 l, 12 % von 3 Litern sind 0,36 l. Der Zuckeranteil des

Mischgetränks entspricht also 0,56 l. Die Gesamtmenge ist 5 l.

1000

112

500

56

5

560==

, ⇒ Der Zuckergehalt des Mischgetränks ist 11,2 %


6 Üben X Zinsrechnung 1801

Berechne im Kopf:

Eine Bank zahlt 3 % Jahreszinsen. Wie hoch sind sie bei einem Kapital von

1) 200 € 2) 350 € 3) 2500 € 4) 8000 € 5) 15000 €


6 Lösung X Zinsrechnung 1801

Lösungsweg: 3) 3 % von 2500 € = 3

100⋅2500 € = 75 €

1) 6 € 2) 10,50 € 3) 75 € 4) 240 € 5) 450 €


6 Üben X Zinsrechnung 1802

Verschiedene Banken zahlen für unterschiedliche Anlageformen des Geldes

verschieden hohe Zinssätze.

Beispielsweise beträgt bei einer Bank der Zinssatz fürs Girokonto 0,5 % , für ein

Sparbuch mit gesetzlicher Kündigung von drei Monaten 2 % , für ein Sparkonto mit

einjähriger Kündigung 3,25 % und für einen Sparbrief mit einer Laufzeit von 4 Jahren

4,5 %.

Berechne für einen Geldbetrag von 4000 € die jährlich ausbezahlten Zinsen für die

verschiedenen Anlageformen und überlege Dir, warum die Bank so unterschiedliche

Zinssätze bezahlt.


6 Lösung X Zinsrechnung 1802

Girokonto: 0,5 % von 4000 € = 0 5

100

,⋅4000 € = 20 €

Sparbuch mit ges. Kündigung: 2 % von 4000 € = 2

100⋅4000 € = 80 €

Sparbuch mit 1jähriger Kündigung: 3,25 % von 4000 € = 3 25

100

,⋅ 4000 € = 130 €

Sparbrief: 4,5 % von 4000 € = 4 5

100

,⋅4000 € = 180 €

Je länger das Geld angelegt wird, umso besser kann die Bank damit arbeiten und

selbst damit Geld verdienen.


6 Üben XX Zinsrechnung 1803

Berechne die in der Tabelle fehlenden Größen:

Kapital 850 € 7000 € 3600 € 6600 €

Zinssatz 3,5 % 6,25 % 5,5 % 4,75 %

Jahreszinsen 2453 € 226,8 € 399 € 181,50


6 Lösung XX Zinsrechnung 1803

Kapital 850 € 7000 € 44600€ 3600 € 8400 € 6600 €

Zinssatz 3,5 % 6,25 % 5,5 % 6,3 % 4,75 % 2,75 %

Jahreszinsen 29,75 € 437,5 € 2453 € 226,8 € 399 € 181,50

Beispiele: a) 3,5 % von 850 € = 3 5

100

,⋅850 € = 29,75 €

c) Kapital =

100

5,5€ 2453

= 44600 €

d) Zinssatz = € 3600

€ 80,226 = 0,063 = 6,3 %



Herr Großfuß will zur Anschaffung eines neuen Autos einen Kredit von 15000 €

aufnehmen. Diesen möchte er nach einem Jahr zurückzahlen. Er kann dabei

zwischen zwei Angeboten wählen:

a) Zinssatz 8,75 % ohne Bearbeitungsgebühr

b) Zinssatz 8,25 % plus eine Bearbeitungsgebühr von 100 €

Welches Angebot ist für ihn günstiger?



a) 8,75 % von 15000 € = 8 75

100

,⋅15000 € = 1312,5 €

b) 8,25 % von 15000 € = 8 25

100

,⋅ 15000 € = 1237,5 €

Hinzu kommt die Bearbeitungsgebühr: Gesamtbetrag: 1337,50 €

Das Angebot a) ist für ihn günstiger.



Berechne die Zinsen für:

1) 500 € bei 3 % für 1

2 Jahr

2) 800 € bei 3,5 % für 9 Monate

3) 600 € bei 2,5 % für 5 Monate

4) 1500 € bei 4 % für 11 Monate

5) 2500 € bei 5,5 % für 21

2 Jahre

6) 8000 € bei 6 % für 80 Tage

7) 1400 € bei 4 % für 150 Tage

8) 900 € bei 5 % für 140 Tage

(Beachte: Ein Bankjahr hat 360 Tage)



1) 3

100

1

2⋅ ⋅ 500 € = 7,50 € 2)

3 5

100

9

12

,⋅ ⋅ 800 € = 21 €

3) 2 5

100

5

12

,⋅ ⋅ 600 € = 6,25 € 4)

4

100

11

12⋅ ⋅ 1500 € = 55 €

5) 5 5

1002

1

2

,⋅ ⋅ 2500 € = 343,75 € 6)

6

100

80

360⋅ ⋅ 8000 € = 106,67 €

7) 4

100

150

360⋅ ⋅ 1400 € = 23,33 € 8)

5

100

140

360⋅ ⋅ 900 € = 17,5 €



Wie viel Zinsen erhält man für 6150,40 € vom 31. Mai bis 12.Oktober bei einem

Zinssatz von 4,5 %



Zinszeit: 4 Monate 12 Tage = 132 Tage

360

Zinszeit

100

ZinssatzKapitalZins ⋅⋅=

48,101360

132

100

5,44,6150Zins =⋅⋅= €


6 Üben XXX Zinsrechnung 1807

Bei welchem Kapital erhält man einen Zins von

a) 96 € bei 3,75 % in 8 Monaten

b) 1530 € bei 4,25 % in 81 Tagen

c) 1001 € bei 6,5 % vom 20.6. bis 14.9. ?


6 Lösung XXX Zinsrechnung 1807

360

Zinszeit

100

ZinssatzKapitalZins ⋅⋅=

Kapital = x €

a) 12

8

100

75,3x96 ⋅⋅=

40

1x96 ⋅=

x = 3840

b) 360

81

100

25,4x1530 ⋅⋅=

16000

153x1530 ⋅=

x=160000

c) 360

84

100

5,6x1001 ⋅⋅=

6000

91x1001 ⋅=

x = 66000



a) Berechne den Rückzahlungstag:

1350 € wurden am 31.5. zu 3,75 % ausgeliehen und mit Zinsen zu insgesamt

1377 € zurückgezahlt.

b) Bei welchem Zinssatz werden 12700 €, die vom 11.3. bis 23.8. ausgeliehen

waren, mit 13004,80 € zurückgezahlt?



a) Zinszeit: x

360

x

100

75,3135027 ⋅⋅=

x400

75,31527 ⋅

⋅=

x1600

22527 ⋅=

x64

927 ⋅=

x = 192

Rückzahltag: 12.12.

b) Zinssatz = x

360

162

100

x127008,304 ⋅⋅=

x20

11438,304 ⋅=

x = 3

15

Der Zinssatz war 315 % .



Herr Häuslebauer will sich für 225500 € ein Haus kaufen. Wie viel Eigenkapital muss

er mindestens haben, wenn er für ein Darlehen zu 5,4 % eine monatliche

Zinsbelastung von 640 € nicht überschreiten will?



Jahreszinsen: 640 € • 12 = 7680 €.

5,4 % ∧

= 7680 €

100 % ∧

= 142222 €

Er muss also 83278 € Eigenkapital besitzen.



Frau Bleifuß kauft sich ein Auto zum Preis von 14950 €. 5000 € zahlt sie sofort, der

Rest wäre in 20 Tagen fällig. Sie kommt jedoch in Zahlungsverzug und kann erst

nach 56 Tagen zahlen. Wie viel muss sie jetzt inklusive Zinsen überweisen, wenn die

Verzugszinsen 10,2 % betragen?



49,101360

36

100

2,109950Zins =⋅⋅=

Sie muss also 10051,49 € bezahlen.



Frau Meier steht vor einer schwierigen Entscheidung: Soll sie sich eine

Eigentumswohnung für 160000 € kaufen oder soll sie ihre Ersparnisse auf der Bank

lassen und weiterhin zur Miete wohnen? Kauft sie die Eigentumswohnung, wo muss

sie einen Kredit über 100000 € bei der Bank aufnehmen und 5,6 % Zinsen zahlen.

Wohnt sie zur Miete, so muss sie monatlich 450 € Miete bezahlen, bekommt aber für

ihre Ersparnisse auf der Bank 4 % Zinsen. Was ist für Frau Meier günstiger?



Kauf der Eigentumswohnung: Jahreszinsen 5600 €

Wohnung zur Miete: Ausgaben: 5400 € Miete

Zinseinnahmen 4 % von 60000 € = 2400 €

Es bleiben also 3000 € Ausgaben.

Nach dieser Rechnung wäre also die Mietwohnung die günstigere Alternative. Es ist

jedoch auch zu bedenken, dass das Darlehen auch getilgt wird (abbezahlt), so dass

mit der Zeit die Zinsen immer weniger werden und die Wohnung irgendwann Frau

Meier selbst gehört, so dass sie keine Miete mehr zahlen muss.



Auf einem Sparkonto werden alle drei Monate 250 € einbezahlt und mit 4,5 %

verzinst. Nach 2,5 Jahren ab der ersten Einzahlung wird das Konto wieder aufgelöst.

Wie hoch ist der Kontostand, wenn auch die Zinsen jährlich bzw. am Ende der

Laufzeit auf dem Konto gutgeschrieben werden?

(Hinweis: Berechne die Zinsen für 250 € für ein Vierteljahr und addiere sie passend.)



Datum 1.1.01 1.4.01 1.7.01 1.10.01 1.1.02 1.4.02 Einzahlung 250 250 250 250 250 250 Zinsen 0 0 0 0 28,13 0 Kontostand 250 500 750 1000 1278,13 1528,13 Datum 1.7.02 1.10.02 1.1.03 1.4.03 1.7.03 Einzahlung 250 250 250 250 0 Zinsen 0 0 74,39 0 55,74 Kontostand 1778,13 2028,13 2352,52 2602,52 2658,26 (Anmerkung: Die vierteljährlichen Zinsen für 250 € sind 2,8125 €.)



Welchen Betrag muss man einzahlen, damit er bei einem Zinssatz von 6 % nach

3 Jahren mit Zinseszins auf 3000 € anwächst? (Runde Zwischenergebnisse auf €!)



Rechnung fürs 3. Jahr:

106 % ∧

= 3000 €

100 % ∧

= 2830 €

Kontostand nach 2 Jahren


106 % ∧

= 2830 €

100 % ∧

= 2670 €

Kontostand nach 1 Jahr


106 % ∧

= 2670 €

100 % ∧

= 2519 €

Anfangskontostand

Man muss also 2519 € anlegen.


7 Üben X Kongruenz von Dreiecken 1901

Entscheide, ob zwei Dreiecke ABC und A’B’C’ kongruent sind, wenn sie folgende

Bedingungen erfüllen:

1) c = a’ , α = α’ , β = γ’

2) b = b’ , a = a’ , ß = ß’

3) a = b’ , b = c’ , γ = α’

4) c = a’ , α = β’ , ß = γ’

(Hinweis: Markiere in einer Skizze die übereinstimmenden Teile jeweils farbig.)


7 Lösung X Kongruenz von Dreiecken 1901

1) nicht kongruent, da nicht Winkel in

gleicher Lage zur Seite übereinstim-

men.

2) nur dann kongruent, wenn b die län-

gere Seite ist (SsW-Satz);

3) kongruent nach dem SWS-Satz;

4) kongrunet nach dem WSW-Satz.

c'c'c'c'

a'a'a'a'b'b'b'b'

A'A'A'A' B'B'B'B'

C'C'C'C'

cccc

aaaabbbb

AAAA BBBB

CCCC

α ß

γ


7 Üben XX Kongruenz von Dreiecken 1902

Zeichne ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit a = b und die Höhen ha und hb und

begründe, dass die beiden unteren Teildreiecke, die durch diese Höhen vom Dreieck

ABC abgeschnitten werden, kongruent sind. Was folgt daraus für die Höhen?


7 Lösung XX Kongruenz von Dreiecken 1902

Behauptung: ∆ABD ≅ ∆ ABE

Begründung:

∠BAE = ∠DBA (Basiswinkel von Dreieck ABC)

∠AEB = ∠ADB = 900 (Höhen von Dreieck ABC)

[AB] kommt in beiden Dreiecken vor

⇒ Die Dreiecke sind kongruent nach dem

SWW-Satz

Da die Höhen entsprechende Seiten in kongru-

enten Dreiecken sind, sind sie gleich lang.

AAAA BBBB

CCCC

DDDDEEEE


7 Üben XXX Kongruenz von Dreiecken 1903

Zeichne ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit Basis [AB]. Von A und B aus werden

auf der Basis gleich lange Strecken x mit x AB<1

2 angetragen. So entstehen die

Punkte D und E (D näher bei A). Beweise, dass die Dreiecke ADC und EBC kongru-

ent sind. Was folgt daraus für das entstehende Dreieck DEC?


7 Lösung XXX Kongruenz von Dreiecken 1903

Behauptung: ∆ADC ≅ ∆ EBC

Begründung:

∠DAC = ∠CBE (Basiswinkel von Dreieck ABC)

AD EB= ( = x)

AC CB= (gleiche Schenkel des Dreiecks ABC)


SWS-Satz

⇒ DC EC= (entsprechende Seiten in kongruenten

Dreiecken) ⇒ Das Dreieck DEC ist ebenfalls gleichschenklig.

AAAA BBBB

CCCC

DDDD EEEExxxx xxxx



Zeichne von der Mitte M der Basis [AB] eines gleichschenkligen Dreiecks die Lote

auf die Schenkel. Sie schneiden die Schenkel in den Punkten D auf [BC] und E auf

[AC]. Beweise, dass die Dreiecke AME und MBD kongruent sind. Was folgt daraus

für die gezeichneten Lotstrecken?


7 Lösung XXX Kongruenz von Dreiecken 1904 Behauptung: ∆AME ≅ ∆ MBD

Begründung:

∠MAE = ∠DBM (Basiswinkel von Dreieck ABC)

AM MB= (Hälfte der Basis [AB] )

∠AEM = ∠MDB ( = 900)


SWW-Satz

⇒ MDEM = (entsprechende Seiten in kongruen-ten Dreiecken)

AAAA BBBB

CCCC

MMMM

DDDDEEEE



Zeichne ein beliebiges Dreieck ABC und die Seitenhalbierende einer der Seiten. Fäl-

le von den Endpunkten dieser Seite die Lote auf die Seitenhalbierende und beweise

durch Betrachtung zweier kongruenter Dreiecke, dass diese Lote gleich lang sind.


7 Lösung XXX Kongruenz von Dreiecken 1905

Behauptung: ∆AME ≅ ∆ MBD

Begründung:

∠AME = ∠BMD (Scheitelwinkel)

AM MB= (Hälfte der Seite [AB])

∠MEA = ∠MDB ( = 900)


SWW-Satz

⇒ DBEA = (entsprechende Seiten in kon-

gruenten Dreiecken) ⇒ Die Lotstrecken sind gleich lang.

AAAA BBBB

CCCC

MMMM

DDDD

EEEE


7 Üben XX Kongruenz von Dreiecken 1906

Zeichne in ein Parallelogramm eine Diagonale ein und begründe, dass dadurch das

Parallelogramm in zwei kongruente Teildreiecke zerlegt wird.


7 Lösung XX Kongruenz von Dreiecken 1906

Behauptung: ∆ABD ≅ ∆BCD

Begründung:

∠DBA = ∠BDC (Wechselwinkel)

BD BD= (gleiche Strecke in beiden

Dreiecken)

∠ADB = ∠CBD (Z-Winkel)

⇒ Die Dreiecke sind kongruent nach

dem WSW-Satz

AAAA BBBB

CCCCDDDD



Zeichne in einem Dreieck ABC die Seitenhalbierende sc . Sie schneidet die Seite

[AB] im Punkt M. Zeichne durch M die Parallele zu BC. Sie schneidet [AC] in P.

Zeichne außerdem die Parallele zu AC durch M. Sie schneidet [BC] in Q.

a) Begründe, dass die Dreiecke MQC und PMC kongruent sind.

b) Begründe, dass auch die Dreiecke AMP und MBQ kongruent sind.

c) Warum folgt daraus, dass P und Q die Seitenmittelpunkte sind?


7 Lösung XXX Kongruenz von Dreiecken 1907 a) Behauptung: ∆MQC ≅ ∆PMC Begründung: ∠QMC = ∠PCM (Wechselwinkel) CM CM= (gleiche Strecke) ∠MCQ = ∠CMP (Z-Winkel) ⇒ Kongruent nach dem WSW-Satz

b) Behauptung: ∆AMP ≅ ∆MQB Begründung: ∠MAP = ∠BMQ (Stufenwinkel) AM MB= (Hälfte der Strecke [AB] ) ∠PMA = ∠QBM (Stufenwinkel)

⇒ Die Dreiecke sind kongruent nach dem WSW-Satz

c) ∆AMP ≅ ∆MQB ⇒ AP MQ= (entsprechende Strecken in kongruenten Dreiecken) ∆PMC ≅ ∆CQM ⇒ PC MQ= (entsprechende Strecken in kongruenten Dreiecken) ⇒PC MQ AP= = ⇒ P ist Mittelpunkt von [AC] (ebenso mit Q und [BC] )

AAAA BBBB

CCCC

MMMM

PPPP QQQQ


7 Üben X Dreieckskonstruktionen 1908

Konstruktion aus 3 Seiten:

1. Konstruiere ein Dreieck ABC nach folgenden Angaben:

a = 3,5 cm , b = 4,5 cm, c = 5,5 cm

Schreibe auch einen kurzen Konstruktionsplan.

2. Was kannst Du über die Zahl der Lösungen für folgende Konstruktion sagen?

a = 9 cm , b = 4 cm, c = 3,5 cm

(kurze Begründung!)


7 Lösung X Dreieckskonstruktionen 1908

Konstruktionsplan:

1) c = 5,5 cm legt A und B fest.

2) C liegt auf

a) k(A; r = 4,5 cm) und

b) k(B ; r = 3,5 cm) .

2. Das Dreieck ABC existiert nicht, da b + c < a ist.

AAAA BBBB

CCCC

1.



Konstruktion aus 2 Seiten und dem Zwischenwinkel:


a = 4,5 cm , c = 3 cm, ß = 700


2. Ist die Konstruktion aus zwei Seiten und dem Zwischenwinkel immer eindeutig

lösbar?



1.

Konstruktionsplan:

1) c = 3 cm legt A und B fest.

2) C liegt auf

a) dem freien Schenkel von ß = 700 und

b) k(B ; r = 4,5 cm)

2. Konstruktionen dieser Art sind immer eindeutig

lösbar.

AAAA BBBB

CCCC



Konstruktion aus zwei Winkeln und einer Seite:


a = 5 cm , ß = 600 , γ = 450

(Konstruiere auch die Winkel!)




Konstruktionsplan:

1) a = 5 cm legt die Punkte B und C fest.

2) A liegt auf

a) dem freien Schenkel von ß = 600

b) dem freien Schenkel von γ = 450

(Auf die Konstruktion des 450-Winkels wurde in der

Zeichnung verzichtet.)

AAAA

BBBB

CCCC


7 Üben XX Dreieckskonstruktionen 1911

Konstruktion aus zwei Winkeln und einer Seite:

Konstruiere ohne Abmessen der Winkel und der

Strecke in nebenstehender Skizze nur mit Zirkel und

Lineal das Dreieck ABC aus den Angaben

α , γ und c .


7 Lösung XX Dreieckskonstruktionen 1911

Konstruktionsplan: 1) c legt A und B fest. 2) C liegt auf dem freien Schenkel von α

und von ß. (Die Winkel sind mit dem Zirkel zu übertragen!)

AAAA BBBB

CCCC

α

γ

c

γ

α ß

Hilfskonstruktion für ß



Konstruktion aus zwei Seiten und einem Gegenwinkel:

Konstruiere Dreiecke aus folgenden Angaben und entscheide vor der Durchführung

der Konstruktion, wie viele Lösungen es gibt:

1. a = 4 cm, b = 3 cm, α = 500

2. a = 4 cm, b = 3,5 cm, ß = 500

3. a = 3 cm, b = 4 cm, α = 1000


7 Lösung XX Dreieckskonstruktionen 1912 Die Konstruktion 1) ist eindeutig lösbar (da der gegebene Winkel der größeren Seite gegenüberliegt), bei 2. gibt es aus zwei Lösungen, da der gegebene Winkel der klei-neren Seite gegenüberliegt, und bei 3. gibt es keine Lösung, da der 1000-Winkel der größte Winkel im Dreieck ist und daher auch der größten Seite gegenüberliegen muss.

AAAA

BBBB

CCCC

A1A1A1A1 BBBB

CCCC

A2A2A2A2


7 Üben X Gleichschenklige Dreiecke 2001

Berechne die Innenwinkel eines gleichschenkligen Dreiecks, wenn

a) ein Basiswinkel 460 51’ beträgt;

b) der Winkel an der Spitze 780 19’ ist

c) der Winkel an der Spitze doppelt so groß wie ein Basiswinkel ist.


7 Lösung X Gleichschenklige Dreiecke 2001

α und ß sind Basiswinkel, γ ist der Winkel an der Spitze.

a) ß = α = 460 51’ , γ = 1800 - 2 ⋅ 460 51’ = 1800 - 930 42’ = 860 18’

b) α = ß = (1800 - 780 19’) : 2 = 1010 41’ : 2 = 500 50’ 30“

c) α = ß = 450 , γ = 900



Berechne den Winkel α.



α‘ = 1800 - 900 - 470 = 430

α + α‘ = δ = (1800 - 470) : 2 = 66,50

α = 23,50

(Das Dreieck ABD ist gleichschenklig mit Basis [AD].)

90.0 ° 90.0 ° 90.0 ° 90.0 °

47.0 ° 47.0 ° 47.0 ° 47.0 °

α

A

B

C

D


7 Üben XX Gleichschenklige Dreiecke 2003

Berechne die Winkel α, ß1 , ß2 und δ.


7 Lösung XX Gleichschenklige Dreiecke 2003

Das Dreieck ABC ist gleichschenklig mit Basis [AC], das Dreieck BCD ist ebenfalls

gleichschenklig mit Basis [BD].

α = γ = 350 , β = 1800 − α − γ = 1100

β2 = δ = (1800 − 350) : 2 = 1450 : 2 = 72,50

β1 = β − β2 = 37,50

AAAA

BBBB

DDDD

CCCC

35.0 ° 35.0 ° 35.0 ° 35.0 °

αααα

ß1

δδδδ

ß2



Im gezeichneten Viereck ABCD sind die Strecken [AD] , [DC] und [BC] gleich lang.

Berechne den Winkel γ



Die Dreiecke ACD und BCD sind gleichschenklig. Die Diagonalen des Vierecks sind

die Basen dieser Dreiecke.

∠CAD = α1 = ∠DCA = γ1 = (1800 − (860 +38,50)) : 2 = 27,750

∠CBD = β1 = 38,50

γ + γ1 = 1800 − 2 ⋅ 38,50 = 1030 ⇒ γ = 75,250

cccc

cccc

cccc

86.0 ° 86.0 ° 86.0 ° 86.0 °

38.5 ° 38.5 ° 38.5 ° 38.5 °

AAAA BBBB

CCCCDDDD

γγγγ



Konstruiere ein gleichschenkliges Dreieck ABC, bei dem die Schenkel a und b je

5 cm lang und der Winkel γ = 450 ist.

(Anmerkung: Auch der Winkel ist zu konstruieren!)



Zuerst [AC] = 5 cm antragen, dann

γ = 450 mit 1. Schenkel [CA antragen.

B ist der Schnittpunkt von k(C;r=5 cm)

mit dem freien Schenkel von γ.

AAAABBBB

CCCC



Konstruiere in einem beliebigen

gleichschenkligen Dreieck ABC die

Halbierenden der Innenwinkel.

Sie schneiden sich in einem Punkt. Wie

groß sind die Innenwinkel des Dreiecks,

wenn die Winkelhalbierende von ß und die

Winkelhalbierende von γ einen Winkel von

1240 miteinander einschließen (siehe

Skizze)



Ist W der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden und M der Mittelpunkt von [AB] , so

gilt im rechtwinkligen Dreieck MBW: 1

2180 90 180 124 340 0 0 0 0ß = − − − =( )

⇒ ß = 680

⇒ γ = 1800 - 2ß = 440

124.0 ° 124.0 ° 124.0 ° 124.0 °

AAAA BBBB

CCCC


7 Üben XXX Gleichschenklige Dreiecke 2007

Zeichne einen beliebigen Winkel α und seine Winkelhalbierende w. Wähle einen

beliebigen Punkt A auf dem 1. Schenkel des Winkels α und konstruiere das Lot zu

diesem 1. Schenkel durch A. Dieses Lot schneidet den 2. Schenkel in B und die

Winkelhalbierende in P. Konstruiere nun das Lot zum 2. Schenkel durch B. Dieses

Lot schneidet die Winkelhalbierende in Q. Untersuche rechnerisch, ob das Dreieck

PQB gleichschenklig ist.


7 Lösung XXX Gleichschenklige Dreiecke 2007

∠SPA = 180 901

20 0− − α =

= −901

20 α = ∠QPB

∠SBA = 900 - α

∠PBQ = 900 - (900 - α) = α

∠BQP = 180 901

20 0− − −

α α

= 901

20 − α = ∠QPB

⇒ Das Dreieck PQB ist gleichschenklig, da es gleich große Basiswinkel hat.

SSSS AAAA

PPPP

BBBB

QQQQwwww

90.0 ° 90.0 ° 90.0 ° 90.0 °

90.0 ° 90.0 ° 90.0 ° 90.0 °

αααα



In der Zeichnung sind die mit gleicher

Farbe und gleichem Buchstaben

bezeichneten Winkel gleich groß.

a) Welche Strecken sind gleich lang?

b) Zeige durch Rechnung, dass der Winkel

δ ebenso groß wie α ist.



a) AD AC= (gleiche Basiswinkel im ∆ADC) , AB BC= (gleiche Basiswinkel im

∆ABC) , BE ED= (gleiche Basiswinkel im ∆EBD)

b) δ = 1800 − α − β (gestreckter Winkel bei D) , und da im Dreieck ABC die

Winkelsumme α + α + β = 1800 ist, folgt: 1800 − α − β = α .

AAAA BBBB

CCCC

DDDD

EEEE

α

α

α

δ β

β



Gegeben sind die Punkte P(1/1) , R(9/6) und C(6/1) und die Gerade g = PR.

a) Konstruiere ein gleichseitiges Dreieck ABC, das die Gerade g als Symmetrieachse

besitzt, so dass B auf g liegt.

b) Konstruiere die zweite Symmetrieachse h durch C. Sie schneidet g in S.

Begründe, dass das Dreieck ASC gleichschenklig ist.



A ist der Spiegelpunkt von C

an der Achse g. B liegt auf

dem Kreis um C durch A und

der Symmetrieachse g.

Das Dreieck ASC hat zwei

gleich große Basiswinkel bei

A und C (300) PPPP

RRRR

CCCC

AAAA

BBBB

SSSS

g

h



In einem gleichschenkligen Dreieck ABC mit Spitze C ist γ = 760.

Unter welchem Winkel schneiden sich.

a) wα und hc

b) wα und wß

c) ma und mc ?



a) α = β = 520

δ = 1800 − 900 − 260 = 640

b) ε = 1800 − 260 − 260 = 1280

c) φ = 1800 − 380 − 900 = 520

mc=hc

ma

C

A B


7 Üben X Rechtwinklige Dreiecke 2101

1. In einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit ß = 900 gilt: γ α=2

3

Wie groß sind die Winkel α und γ ?

2. In einem bei A rechtwinkligen Dreieck ABC unterscheiden sich die beiden spitzen

Winkel um 380 . Wie groß sind sie?


7 Lösung X Rechtwinklige Dreiecke 2101

1. α γ α α α γ+ = ⇒ = ⇒ ⇒90 900 0 +2

3 = 54 = 360 0

2. ß + = ⇒ = ⇒ ⇒γ β γ γ γ γ γ90 900 0 und = + 36 + + 36 2 = 54 = 270 0 0 0

ß = 630


7 Üben XX Rechtwinklige Dreiecke 2102

Begründe folgende Aussage:

In einem rechtwinkligen Dreieck mit einem 300-Winkel ist die kürzere Kathete halb so

lang wie die Hypotenuse.

Konstruiere dazu zunächst ein Dreieck ABC mit α = 300 und γ = 900

(Hinweis: Für die Begründung benötigst Du eine Hilfslinie!)


7 Lösung XX Rechtwinklige Dreiecke 2102

Die benötigte Hilfslinie ist [MC].

ß = 900 - α = 600

Das Dreieck MBC ist daher gleich-

schenklig ( )MB MC= mit gleich gro-

ßen Basiswinkeln bei M und C und

ß = 600. ⇒ Das Dreieck MBC ist

sogar gleichseitig. ⇒ BC MB=

AAAA BBBB

CCCC

MMMM


7 Üben X Rechtwinklige Dreiecke 2103

Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit Hypotenuse [BC] und BC = 5 cm

und AC = 3 5, cm.


7 Lösung X Rechtwinklige Dreiecke 2103

BC = 5 cm legt die Punkte B und

C fest.

A liegt auf dem Thaleskreis über

[BC] und dem Kreis um C mit Ra-

dius 3,5 cm.

BBBB CCCC

AAAA

MMMM



Begründe folgende Aussage:

In einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck zerlegt die Höhe auf die Hypotenuse

das Dreieck in zwei gleich große, ebenfalls gleichschenklig-rechtwinklige Teildrei-

ecke.

Zeichne dazu ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck und die Höhe auf die Hypo-

tenuse.



Das gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck ist

achsensymmetrisch. Daher ist die Höhe

hc zugleich Winkelhalbierende von γ. Die

Basiswinkel α und ß des Dreiecks ABC

sind gleich groß und daher 450 . Außer-

dem ist γ γ γ1 2

1

2= = = 450 . Somit besit-

zen die beiden Teildreiecke AHC und HBC bei H einen rechten Winkel und gleich

große Basiswinkel. Sie sind also gleichschenklig-rechtwinklig. Gleich groß sind sie

auf Grund der Symmetrie der Figur zur Achse HC.

AAAA BBBBHHHH

CCCC



Das Dreieck ABC ist gleich-

schenklig mit Basis [AB] . Ein

Kreis um B mit Radius BC

schneidet die Gerade AB in D.

a) Drücke den Winkel δ durch

den Winkel γ aus.

b) Für welchen Wert von γ ist

das Dreieck ADC bei C

rechtwinklig?



a) α = β = (1800 − γ) : 2 = 900 − 1

2γ (gleichschenkliges Dreieck ABC)

β∗ = 1800 − β = 900 + 1

2γ (Nebenwinkel)

δ = (1800 − β∗) : 2 = (900 − 1

2γ) : 2 = 450 −

1

4γ (gleichsch. Dreieck BDC)

b) ∠ACD = γ + δ = γ + 450 − 1

4γ =

3

4γ + 450 = 900 wenn γ = 600 ist.

AAAA BBBB

CCCC

DDDD

γ

δ


7 Üben XXX Rechtwinklige Dreiecke 2106

In einem Dreieck ABC ist M

die Mitte von [AB], D und E

sind die Fußpunkte der Hö-

hen ha und hb .

a) Begründe, dass das Dreieck

MDE gleichschenklig ist.

b) Berechne die Winkel ∠CDE

und ∠DEC, wenn α = 640

und ß = 380 sind.


7 Lösung XXX Rechtwinklige Dreiecke 2106

a) Die Punkte D und E liegen auf dem Thaleskreis über [AB], da die Dreiecke ABD

und ABE rechtwinklig sind. M ist der Mittelpunkt des Thaleskreises, also ist

MD ME= und das Dreieck MDE ist gleichschenklig.

b) ∠EMA = 1800 - 2α = 520 (gleichschenkliges Dreieck AME)

∠BMD = 1800 - 2ß = 1040 (gleichschenkliges Dreieck BMD)

∠DME = 1800 - 1040 - 520 = 240

∠MED = ∠EDM = (1800 -240):2 = 780 (gleichschenkliges Dreieck MDE)

∠DEC = 1800 - ∠AEM - ∠MED = 1800 - 640 - 780 = 380

∠CDE = 1800 - ∠EDM - ∠MDB = 1800 - 780 - 380 = 640

AAAA BBBB

CCCC

MMMM

DDDD

EEEE

hahahaha

hbhbhbhb


7 Üben XXX Rechtwinklige Dreiecke 2107

Zeichne zwei Punkte A und B mit der Entfernung 5 cm.

Konstruiere zwei parallele Geraden a durch A und b durch B, die einen Abstand von

3 cm haben.

(Hinweis: Fertige zunächst eine Planfigur.)


7 Lösung XXX Rechtwinklige Dreiecke 2107

Man erhält einen zweiten

Punkt der Geraden a,

wenn man den Thales-

kreis über [AB] mit einem

Kreis um B mit Radius

3 cm schneidet. Daher

gibt es auch zwei Gera-

den a1 und a2 und die

jeweiligen Parallelen b1

und b2 durch B.

AAAA BBBB

3 cm3 cm3 cm3 cm

3 cm3 cm3 cm3 cm

a1a1a1a1

b1b1b1b1

b2b2b2b2

a2a2a2a2


7 Üben EXP Rechtwinklige Dreiecke 2108

Zeichne zwei Punkte A und B mit der Entfernung 4 cm.

Konstruiere alle Geraden, von denen diese Punkte die Entfernung 1,5 cm haben, so

dass die Punkte auf verschiedenen Seiten der Geraden liegen.

(Hinweis: Fertige zunächst eine Planfigur.)


7 Lösung EXP Rechtwinklige Dreiecke 2108

Aus Symmetriegründen müssen

die gesuchten Geraden durch den

Mittelpunkt der Strecke [AB] ge-

hen. Zeichnet man die Abstände

ein, so entstehen rechtwinklige

Dreiecke über den Hypotenusen

[AM] und [MB] . Man erhält also

einen weiteren Punkt der gesuch-

ten Geraden, indem man die Tha-

leskreise über [AM] und [BM] mit

den Kreisen um A und B mit Radius 1,5 cm schneidet.

AAAA BBBB1,5cm1,5cm1,5cm1,5cm

1,5cm1,5cm1,5cm1,5cm


7 Üben EXP Rechtwinklige Dreiecke 2109

In einem gleichschenkligen Dreieck ABC wird

die Winkelhalbierende w des Winkels α ge-

zeichnet. Sie schneidet die Strecke [BC] in W.

Das Lot zu w im Punkt W schneidet die Gerade

AB im Punkt P.

Begründe, dass die Strecke [AP] doppelt so

lang ist wie die Strecke [BW].

(Hinweis: Zeichne die Figur zunächst selbst,

damit Du Hilfslinien einzeichnen kannst.)


7 Lösung EXP Rechtwinklige Dreiecke 2109

Das Dreieck APW ist rechtwinklig. Daher

liegt W auf dem Thaleskreis über [AP] . M ist

der Mittelpunkt von [AP] . Das Dreieck AMW

ist gleichschenklig mit Basiswinkeln 1

2α . Der

Außenwinkel ∠BMW = α = ß (da das Drei-

eck ABC gleiche Basiswinkel α und ß be-

sitzt.) Somit ist auch das Dreieck MBW

gleichschenklig und es folgt:

BW MW AM AP= = =1

2

90.0 ° 90.0 ° 90.0 ° 90.0 °

AAAA BBBB

CCCC

wwww

WWWW

PPPP

90.0 ° 90.0 ° 90.0 ° 90.0 °

AAAA BBBB

CCCC

wwww

WWWW

PPPPMMMM


7 Üben EXP Transversalen 2210

Im Rechteck ABCD sind die Punkte P, Q, R und S Seitenmittelpunkte. T

wiederum ist Mittelpunkt der Strecke [SR].

Finde heraus, welchen Bruchteil des Flächeninhalts des Rechtecks

ABCD das Dreieck PQT einnimmt.


7 Lösung EXP Transversalen 2210

Die Geraden SR und PQ sind parallel, denn die Dreiecke SDR, RQC, PBQ und APS

sind kongruent (nach dem SWS-Satz); die Winkel ∠SRQ und ∠RQP sind

Nachbarwinkel und mit α = ∠DRS gilt ß = ∠RSD = 90° - α. Also ist

∠SRQ + ∠RQP = 180° - 2α + 180° - 2ß = 180° - 2α + 180° - 2(90° - α) = 180°. Da

sich Nachbarwinkel zu 180° ergänzen, sind die Geraden parallel.

Daher kann T auf der Geraden SR nach S verschoben werden, ohne dass sich die

Höhe des Dreiecks PQT verändert. Dabei bleibt dann auch der Flächeninhalt

erhalten. Das Dreieck SPQ nimmt 41 des Rechtecks ein, also auch das Dreieck PQT.


7 Üben X Binomische Formeln 3001

Verwandle folgende Terme in Summen:

1) (8 + 2a)2 2) (5x - 4y)2 3) (7 - 3u)2

4) (9a - 4b)(9a + 4b) 5) (0,5u + 0,8v)2 6) 3

4

2

3

2

z a−

7) 21

43

1

3

2

+

x 8)

3

40 8

2

p q−

, 9) (4,5c - 5,3d)(4,5c + 5,3d)


7 Lösung X Binomische Formeln 3001

1) 64 + 32a + 4a2 2) 25x2 - 40xy + 16y2 3) 49 - 42u + 9u2

4) 81a2 - 16b2 5) 0,25u2 + 0,8uv + 0,64v2

6) 9

16

4

92 2z az a− + 7)

81

1615

100

95

1

1615 11

1

92 2+ + = + +x x x x

8) 9

16

6

5

16

252 2p pq q− + 9) 20,25c2 - 28,09d2


7 Üben XX Binomische Formeln 3002

Verwandle folgende Terme in Summen und vereinfache:

1) (a2 + 4)2 2) (5x - 2y2)2 3) (9c2 - 3d2) (9c2 + 3d2)

4) (2ab + 3bc)2 5) (2a3 - 3a2)2 6) (x4 - x3)(x4 + x3)

7) (2p + q)2 - (2p - q)2 8) (3a + 4b)(3a - 4b) - (3a + 4b)2


7 Lösung XX Binomische Formeln 3002

1) a4 + 8a2 + 16 2) 25x2 - 20xy2 + 4y4 3) 81c4 - 9d4

4) 4a2b2 + 12ab2c + 9b2c2 5) 4a6 - 12a5 + 9a4

6) x8 - x6 7) 4p2 + 4pq + q2 - 4p2 + 4pq - q2 = 8pq

8) 9a2 - 16b2 - 9a2 - 24ab - 16b2 = - 32b2 - 24ab


7 Üben XXX Binomische Formeln 3003

Multipliziere folgende Terme möglichst geschickt:

1) (x - y)(x + y)(x - y) 2) (x2 - y2)3

3) (2a + 3b)(2a - 3b)2 4) (4x + 1)2(4x - 1)2

5) (1 - 5y)4


7 Lösung XXX Binomische Formeln 3003

1) ... = [(x - y)(x + y)](x - y) = [x2 - y2](x - y) = x3 - x2y - xy2 + y3

2) ... = (x4 - 2x2y2 + y4)(x2 - y2) = x6 - x4y2 - 2x4y2 + 2x2y4 + x2y4 - y6 =

= x6 - 3x4y2 + 3x2y4 - y6

3) ... = [(2a + 3b)(2a - 3b)](2a - 3b) =

= [4a2 - 9b2](2a - 3b) = 8a3 - 12a2b - 18ab2 + 27b3

4) ... = [(4x + 1)(4x - 1)][(4x + 1)(4x - 1)] = [16x2 - 1]2 = 256x4 - 32x2 + 1

5) ...= (1 - 5y)2(1 - 5y)2 = (1 - 10y + 25y2)(1 - 10y + 25y2) =

= 1 - 10y + 25y2 - 10y + 100y2 - 250y3 + 25y2 - 250y3 + 625y4 =

= 1 - 20y + 150y2 - 500y3 + 625y4



Verwandle folgende Terme in Summen:

1) 96

5

2

x y−

2)

2

318

2

p q+

, 3)

4

7

7

8

2

a b−

4) 31

31

1

5

2

u v+

5) ( )− −0 5 0 8

2, ,k m 6) ( )3 5 3 2

yz z−

7) ( )( )− − −0 16 0 18 0 16 0 18, , , ,m n m n 8) − +

+

6

1

33

2

56

1

33

2

5p p



1) 81108

5

36

252 2x xy y− + 2)

4

9

12

5

81

252 2p pq q+ +

3) 16

49

49

642 2a ab b− + 4)

100

98

36

252 2u uv v+ +

5) 0,25k2 + 0,8km + 0,64m2 6) 9y2z2 - 30yz4 + 25z6

7) - 0,0256m2 + 0,0324n2 8) 289

25

361

911

14

2540

1

92 2p p− = −




1) 3(5y - 3x)2 + 4(3x - 4y)(2x + 7y) - 6(8x - 6y)2

2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b b a b a b a a b a b ab a b a b2 2 2 2 25 3 5 3− − − + − + − + − +( )( )

Hinweis: Multipliziere Produkte mit 4 Faktoren möglichst geschickt!

z.B. ( ) ( ) ( )[ ] ( )( )[ ] ( )( )x x y x y x x y x y x y x xy x y+ − = + + − = + − =2 2 2 2 . . .



1) ... = 3(25y2 - 30xy + 9x2) + 4(6x2 +21xy - 8xy - 28y2) - 6(64x2 - 96xy + 36y2) =

= 75y2 - 90xy + 27x2 + 24x2 + 84xy - 32xy - 112y2 -384x2 + 576xy - 216y2 =

= - 333x2 + 538xy - 253y2

2) ... = a4 - 2a2b2 + b4 - (ab - b2)(a2 - b2) - (a2 + ab)(a2 - b2) + ab(25a2 - 9b2) =

= a4 - 2a2b2 + b4 - a3b + ab3 + a2b2 - b4 - a4 + a2b2 - a3b + ab3 + 25a3b - 9ab3 =

23a3b - 7ab3




1) ( ) ( ) ( )( )4 5 6 7 5 2 4 2 42 2

x x x x− − + + + −

2) ( ) ( )( ) ( )11 15 17 19 17 19 5 14 132 2

, , , , , , , ,a b a b a b a b− − − + + +

3) ( ) ( )1

24 15 0 75

1

22 2

1

215 3

2 2x y x y y x x y− − −

−

− −, , ,



1) ... = 16x2 - 40x + 25 - 36x2 - 84x - 49 +20x2 - 80 = - 124x - 104

2) ... = 1,21a2 - 3,3ab + 2,25b2 - 2,89a2 + 3,61b2 + 5(1,96a + 3,64ab + 1,69b2 =

= - 1,68a2 - 3,3ab + 5,86b2 + 9,8a2 + 18,2ab + 8,45b2 =

= 8,12a2 +14,9ab + 14,31b2

3) ( ) ( ). . . ,= − + − − − +

− + − =

1

216 12 2 25

3

41 4 2

1

4

9

49 92 2 2 2 2 2x xy y y xy x x xy y

= − + + − + − + − =8 69

83

3

2

3

16

9

49 92 2 2 2 2 2x xy y y xy x x xy y

= + −515

16

3

24

7

82 2x xy y




1) 14

52

1

21

4

52

1

23 1

1

2

4

52 1

1

2

4

5

2 2

x y x y y x y x−

+

− +

− −

2) ( ) ( ) ( )4 0 2 0 3 0 8 4 5 0 6 122 2 2

, , , , ,a b a b a b− − + − −



1) . . .= −

+

− +

− −

=

9

5

5

2

9

5

5

23

3

2

4

52

3

2

4

5

2 2

x y x y y x y x

= − − + +

− − +

=

81

25

25

43

9

4

12

5

16

252

9

4

12

5

16

252 2 2 2 2 2x y y xy x y xy x

= − − − − − + − =81

25

25

4

27

4

36

5

48

25

18

4

24

5

32

252 2 2 2 2 2x y y xy x y xy x

= − −1

25

12

5

35

22 2x xy y

2) ... = 4(0,04a2-0,12ab+0,09b2) - 0,8(a2+8ab+16b2) - 5(0,36a2-1,44ab+1,44b2)=

= 0,16a2 - 0,48ab + 0,36b2 - 0,8a2 - 6,4ab - 12,8b2 - 1,8a2 + 7,2ab - 7,2b2=

= - 2,44a2 + 0,32ab - 19,64b2


7 Üben X Binomische Formeln 3008

Bestimme die Lösung folgender Gleichungen:

1) ( ) ( ) ( )x x x x+ + − = +5 3 2 42 2

2) ( )( ) ( ) ( )x x x x x− + + = + − +8 8 1 2 3 3 22

3) ( ) ( )( )x x x− = − +18 12 122


7 Lösung X Binomische Formeln 3008

1) x2 + 10x + 25 + x2 - 6x + 9 = 2x2 + 8x 2x2 + 4x + 34 = 2x2 + 8x / - 2x2 - 4x 34 = 4x / : 4 x = 8,5

2) x2 - 64 +1 = 4x2 + 12x + 9 - 3x2 - 6x x2 - 63 = x2 + 6x + 9 / - x2 - 9 - 72 = 6x / : 6 x = - 12

3) x2 - 36x + 324 = x2 - 144 / - x2 - 324 - 36x = - 468 / : (- 36) x = - 13




1) ( ) ( ) ( )1 3 5 6 3 22 2

− − + = +x x x x

2) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )6 3 3 5 3 5 5 2 5 2 2 92 2

x x x x x x− − − + = + − + −

3) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 3 4 11 1 4 32 2 2 2

x x x x+ − − = + − −



1) 1 - 6x + 9x2 - 30x - 5x2 = 9 + 12x + 4x2 4x2 - 36x + 1 = 4x2 + 12x + 9 / - 4x2 - 12x -1 - 48x = 8 / : (- 48)

x = −1

6

2) 36x2 - 36x + 9 - 9x2 + 25 = 25x2 - 4 + 2x2 - 36x + 162 27x2 - 36x + 34 = 27x2 - 36x + 158 / - 27x2 + 36x 34 = 158 L = { }

3) 4x2 + 4x + 1 - 9x2 + 24x - 16 = 11x2 + 22x + 11- 16x2 + 24x - 9 - 5x2 + 28x - 15 = - 5x2 + 46x + 2 / + 5x2 - 46x + 15 - 18x = 17 / : (- 18)

x = −17

18




1) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 11 7 9 14 3 14 3 6 162 2 2

x x x x x+ − − = − + − −

2) ( ) ( ) ( )( ) ( )3 8 6 7 4 5 3 1 7 2 5 12 2 2

− − − = − + − +x x x x x



1) 4x2 + 44x + 121 - 49x2 + 126x - 81 = 196 - 9x2 - 36x2 + 192x - 256 - 45x2 + 170x + 40 = - 45x2 + 192x - 60 / + 45x2 - 170x + 60 100 = 22x / : 22

x = 46

11

2) 3(64 - 96x + 36x2) - 7(16x2 - 40x + 25) = 21x2 + 6x - 7x - 2 - 25x2 - 10x - 1 192 - 288x + 108x2 - 112x2 + 280x - 175 = - 4x2 - 11x - 3 - 4x2 - 8x + 17 = - 4x2 - 11x - 3 / + 4x2 + 11x - 17 3x = - 20 / : 3

3

26x −=




1) ( ) ( ) ( )3 2 1 2 4 2 5 2 32 2 2

x x x− = − − −

2) ( ) ( )( ) ( ) ( )7 2 9 3 4 5 5 4 31 4 2 6 2 4 72 2 2 2

x x x x x x+ − + − − = − + − −



1) ( ) ( ) ( )3 4 4 1 2 16 16 4 5 4 12 92 2 2x x x x x x− + = − + − − +

12 12 3 32 32 8 20 60 452 2 2x x x x x x− + = − + − + − 12 12 3 12 28 372 2x x x x− + = + − / - 12x2 - 28x - 3 - 40x = - 40 / : (- 40) x = 1 2) ( ) ( ) ( ) ( )7 4 36 81 3 25 16 31 4 4 24 36 2 16 56 492 2 2 2 2x x x x x x x x+ + − − − = − + + − − +

28 252 567 75 48 31 16 96 144 32 112 982 2 2 2 2x x x x x x x x+ + − + − = − − − − + − − + + = − + −48 252 615 48 16 2112 2x x x x / + 48x2 - 16x - 615 236x = - 826 / : 236 x = 3,5

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Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr. 7 Üben X ... · Klasse Art Schwierigkeit math. Thema Nr. 7 Üben X Wiederholung Klasse 6 101 Berechne jeweils den Termwert: a) 0,7 ⋅2,56