Knoten- und Maschenregel

Analyse von Schaltungen mit vernetzen Bauteilen

Inhalt

• Die Maschenregel• Anwendung auf die Brückenschaltung im EKG

Versuch – Messung eines unbekannten Widerstands– Messung einer Spannung ohne

Stromentnahme aus dieser Quelle *

* Klingt wie ein Widerspruch: Spannungsmessung ist eine Transportmessung und erfordert daher Stromfluss

Kirchhoffsche „Maschenregel“

In statischen Feldern sind die Potentiale vom Weg unabhängig

• Deshalb ist die Summe über alle Spannungen auf einem beliebigen geschlossenen Weg innerhalb einer Schaltung Null

N

iiU

1

0

N Anzahl der Spannungsquellen in der „Masche“, der Bezeichnung für einen „geschlossenen Weg“

Anleitung zur Kirchhoffschen „Maschenregel“

• Von einem beliebigen Punkt ausgehend bewegt man sich auf einem geschlossenen Weg in gleich bleibendem Umlaufsinn, und summiert die Spannungen über allen Bauteilen auf diesem Weg (Spulen, Kondensatoren, ohmschen Widerständen)– Induzierte Spannungen werden als Spannungsquellen -

wie Batterien- behandelt• Den Weg wählt man z.B. in Richtung des technischen

Stromflusses von Plus nach Minus zwischen zwei Bauteilen, – Spannungen aus Spannungsquellen, die von Minus

nach Plus durchlaufen werden, erhalten ein negatives Vorzeichen

Maschenregel zur Messung eines unbekannten Widerstands (1)

Spannungen in den Maschen der abgeglichenen Brücke

R1 R2

Rx R4

Strom I2

Strom I1

0

1 I2· Rx + I2· R4 = U0 1 V Masche R3, R4, U0

2 I1· R1 + I1· R2 = U0 1 V Masche R1, R2, U0

3 I2· Rx = I1· R1 1 V Masche R1, R3

Spannung U0

Messung eines unbekannten Widerstands (2)

R1 R2

Rx R4

Strom I2

Strom I1

0

1 I2· Rx + I2· R4 = U0 1 V Masche R3, R4, U0

2 I1· R1 + I1· R2 = U0 1 V Masche R1, R2, U0

3 I2 = I1· R1 / Rx 1 A Masche R1, R3

1 I1· R1 + I1· R1 · R4 / Rx = U0 1 V

2 I1· R1 + I1· R2 = U0 1 V

I1· R1 + I1· R1 · R4 / Rx = I1· R1 + I1· R2 1 V I2 eliminiert

Die Analyse liefert drei Gleichungen: Sie erlauben die Bestimmung von drei Unbekannten, z. B. der beiden Ströme und eines unbekannten Widerstands Rx

Messung eines unbekannten Widerstands (3)

R1 R2

Rx R4

Strom I2

Strom I1

0

1 R1 + R1 · R4 / Rx = R1 + R2 1 Ω

R1 · R4 / Rx = R2 1 Ω

R1 · R4 / R2 = Rx 1 ΩUnbekannter Widerstand

Rx

Elimination von I1, , Auflösung nach Rx

Messung einer unbekannten Spannung ohne Strom-Entnahme (1)

Das Instrument zeigt den Potentialunterschied zwischen den Punkten A und B. Stromfluss durch R1, R2, baut über R1 eine Spannung auf. Wird das Instrument stromlos, dann ist die Spannung über R1 gleich Ux : Das Ziel der Messung ist erreicht!

R1 R2

Ux

1 I1· R1 = Ux 1 V Masche Ux, R1

2 I1· R1 + I1· R2 = U0 1 V Masche R1, R2, U0

U0

0

Lx

Fließt kein Strom über das Instrument,

dann wird das Potential Ux ohne Strom-Entnahme aus dieser Quelle

gemessen

„Brücken-“oder

Kompen-sations-

Schaltung

A

B

Messung einer unbekannten Spannung ohne Strom-Entnahme (2)

R1 R2

Ux

Ux + Ux · R2 / R1 = U0 1 V I1 aus (1) in (2) eingesetzt

Ux = U0 · R1 / (R1+ R2) 1 VUnbekannte Spannung bei

abgeglichener Brücke

Ux = U0 · Lx / L 1 VDie Länge der Brücke sei L,

R~L

U0

0

Lx

Fließt kein Strom über das Instrument,

dann wird das Potential Ux ohne Strom-Entnahme aus dieser Quelle

gemessen

„Brücken-“oder

Kompen-sations-

Schaltung

Knotenregel

Die Knotenregel besagt, dass bei Verzweigungen kein Strom verloren geht

R1 R2

Rx R4

Strom I2 Strom I1

0

1 I1+ I2 = I0 1 A Die Summe der Ströme bleibt konstant

Strom I0

Zusammenfassung

• Anwendung von Knoten- und Maschenregel auf die „Wheatsonesche Brückenschaltung“

• Besonders hervorzuheben: Messung einer unbekannten Spannung durch Kompensation, d. h. ohne Strom-Entnahme aus der Spannungsquelle

finis

Potential-Messung (=Messung der Überführungsarbeit) erfordert Ladungstransport, das ist Stromfluss: Deshalb ist eine leitende Umgebung erforderlich

R1 R2

R3 R4

Strom I1

0

Der „elektrolytische Trog“