UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE CONSTRUCŢII BUCUREŞTI FACULTATEA DE CONSTRUCŢII CIVILE, INDUSTRIALE ŞI AGRICOLE

ING. DIETLINDE KÖBER

ASPECTE SPECIFICE ALE RĂSPUNSULUI SEISMIC DE TORSIUNE

ÎN DOMENIUL NELINIAR

REZUMAT TEZĂ DE DOCTORAT

CONDUCĂTOR ŞTIINŢIFIC: PROF. DR. ING. TUDOR POSTELNICU

Bucureşti 2010

Rezumat

2

CUPRINS

1. Introducere ___________________________________________________________ 4 2. Stadiul cunoştinţelor în domeniul torsiunii generale a structurilor _____________ 6

2.1 Parametri care influenţează comportarea structurilor nesimetrice aflate sub influenţa fenomenului de torsiune de ansamblu _________________ 6

2.2 Prevederile codurilor de proiectare cu privire la torsiunea de ansamblu a structurilor ____________________________________________________ 7

2.2.1 Norma europeană EN 1998-1:2004 [1] şi codul de proiectare seismică P100-1/2006 [2] ____________________________________ 7 2.2.2 Norma neozeelandeză NZS 1170_5 [3] _________________________ 8 2.2.3 Norme din SUA: Uniform Building Code 1997 [4], 2001 California Building Code [5], FEMA 368 [6], FEMA 273 [7], FEMA 440 [8] _________________________________ 9 2.2.4 DIN 4149 [9], [10] __________________________________________ 9 2.2.5 Exemple de aplicare a prevederilor din norme privind torsiunea de ansamblu a structurilor ____________________________________ 10

2.3 Metode simplificate de determinare a amplificării deplasărilor structurale datorate torsiunii generale ________________________________ 13

2.3.1 Metoda MPA (Modal Pushover Analysis Procedure) ________________ 14 2.3.2 Metoda N2 ________________________________________________ 14

3. Evaluarea răspunsului structurilor nesimetrice în plan prin metode simplificate şi exacte ___________________________________________________ 14

3.1 Calcul static elastic cu forţe echivalente _______________________________ 15

3.2 Program de calcul dinamic neliniar al sistemelor cu 3 GLD – Torsdin ________ 15

3.3 Metodă simplificată de determinare a amplificării deplasărilor

structurale datorate torsiunii generale (SESA) __________________________ 16

3.3.1 Descrierea metodei ________________________________________ 16 3.3.2 Verificarea compatibilităţii rezultatelor metodei SESA şi ale calculului dinamic, în domeniul elastic de comportare _________ 20 3.3.3 Definirea structurii înlocuitoare _______________________________ 20 3.3.4 Metodologia de aplicare a calculului modal cu spectre de răspuns supraamortizate (SESA) _____________________ 21 3.3.5 Studiu comparativ privind aplicarea diferitelor metode pentru evaluarea răspunsului seismic de torsiune al structurilor din beton armat _________________________________ 22

3.4 Concluzii asupra rezultatelor studiului comparativ _______________________ 27

4. Studiu parametric privind răspunsul seismic de torsiune obţinut comparativ prin metode de calcul elastic simplificat şi prin calcul dinamic neliniar ________________________________________________ 28

4.1 Introducere ___________________________________________________ 28

4.2 Descrierea structurilor analizate ___________________________________ 29

Rezumat

3

4.3 Descrierea acţiunii seismice ______________________________________ 30

4.4 Parametri analizaţi _____________________________________________ 32

4.5 Metoda excentricităţii echivalente __________________________________ 33 4.6 Rezultatele studiului parametric ____________________________________ 35

4.7 Concluzii _____________________________________________________ 36 4.7.1 Influenţa parametrilor analizaţi _____________________________ 37

4.7.1.1 Influenţa factorului de curgere, c _____________________ 37 4.7.1.2 Influenţa factorilor xγ şi yωωθ ______________________ 37

4.7.1.3 Influenţa factorilor re şi pe ________________________ 38 4.7.1.4 Influenţa factorului yω _____________________________ 38 4.7.1.5 Influenţa fracţiunii din amortizarea critică, ξ ___________ 38 4.7.1.6 Observaţii generale ______________________________ 39

4.7.2 Rezultatele metodelor simplificate _________________________ 39

4.7.2.1 Rezultate grupate pe stări limită ____________________ 40 4.7.2.2 Rezultate grupate în funcţie de caracteristicile acţiunii seismice _______________________________________ 46 4.7.2.3 Rezultate grupate în funcţie de forma structurii în plan ___ 48 4.7.2.4 Rezultate pentru structurile TI analizate la SLU _________ 50 4.7.2.5 Observaţii generale _______________________________ 51

5. Comportarea stâlpilor de beton armat solicitaţi la compresiune excentrică oblică ______________________________________________________ 52

5.1 Introducere _________________________________________________ 52 5.2 Compresiune excentrică oblică. Parametri analizaţi __________________ 53 5.3 Definirea secţiunilor de calcul ___________________________________ 55 5.4 Rezultate obţinute ___________________________________________ 57

5.4.1 Observaţii generale _____________________________________ 57 5.4.6 Comparaţie înre comportarea secţiunilor pătrate şi

comportarea secţiunilor dreptunghiulare _____________________ 58 5.4.7 Influenţa considerării legii constitutive cu degradare pentru beton __________________________________________ 59

5.5 Observaţii privind rezultatele obţinute numeric, faţă de cele experimentale, pentru secţiuni pătrate solicitate la compresiune excentrică oblică ___________________________________ 59

5.5.3 Studiu experimental privind efectele nesimetriei structurale, [24] pătrate solicitate la compresiune excentrică oblică ____________ 59

5.6 Concluzii ___________________________________________________ 61

Direcţii viitoare de cercetare ____________________________________________ 62 Contribuţii personale __________________________________________________ 62 Bibliografie __________________________________________________________ 62

Rezumat

4

1 Introducere Cuplarea existentă între mişcarea de translaţie şi cea de torsiune în cazul unei structuri asimetrice în plan, duce inevitabil la cerinţe neuniforme de deplasare în elementele structurale.

În vederea înţelegerii influenţei asimetriei structurale asupra deplasărilor unei structuri, cercetările efectuate până nu demult au fost limitate la răspunsul structural elastic şi au determinat formularea majorităţii prevederilor referitoare la torsiune, din codurile de proiectare.

La ora actuală metodele de proiectare au în vedere un răspuns inelastic. Metoda obişnuită de calcul presupune reducerea forţelor de răspuns elastic cu un factor de comportare q şi acceptarea incursiunilor în domeniul postelastic de comportare.

Răspunsul inelastic al structurilor depinde de mult mai mulţi factori, comparativ cu răspunsul structural elastic. Contrar răspunsului elastic, care poate fi definit prin forţe globale de revenire, răspunsul inelastic este caracterizat prin deplasări şi cerinţe de ductilitate la nivel local.

În plus, combinarea răspunsului global de translaţie şi a celui de torsiune în cazul structurilor neregulate în plan, face mai greu de justificat proporţionalitatea propusă de codurile de proiectare ( reprezentată de factorul q ) între răspunsul structural elastic şi cel inelastic.

Calculul dinamic neliniar tridimensional reprezintă la ora actuală cel mai performant instrument pentru evaluarea comportării reale a structurilor din beton armat. Calculul dinamic neliniar însă, poate fi aplicat doar unor structuri deja dimensionate, iar complexitatea rezultatelor obţinute duce la un volum de lucru considerabil (uneori excesiv) pentru interpretarea lor.

Proiectarea curentă trebuie să se bazeze pe instrumente de calcul uşor de aplicat, care, chiar dacă pierd din exactitate, oferă rezultate suficient de riguroase cu un consum de timp mult mai mic.

Din această cauză, una din direcţiile de cercetare din domeniu se referă la elaborarea unor metode mai simple, cu aplicabilitate practică, care să înlocuiască calculul dinamic neliniar.

Studiul de faţă îşi propune să analizeze efectele torsiunii de ansamblu asupra structurilor supuse acţiunii seismice, aplicând şi comparând rezultatele obţinute prin patru metode de calcul:

Calculul static elastic cu forţe echivalente, prevăzut în codurile de proiectare în vigoare pentru evaluarea răspunsului structurilor nesimetrice în plan.

O metodă simplificată de determinare a amplificării deplasărilor structurale datorate torsiunii generale, SESA, care se bazează pe metoda spectrului capacităţii şi este în măsură să estimeze amplificarea răspunsului seismic structural datorită torsiunii de ansamblu, menţinând totodată simplitatea calculului spectral (în domeniul elastic).

O metodă de calcul cu excentricităţi echivalente, ce identifică valoarea excentricităţii necesare pentru a aplica cu acurateţe sporită calculul static elastic cu forţe echivalente la determinarea răspunsului structurilor nesimetrice în plan.

O metodă de calcul dinamic neliniar [18].

Toate metodele analizează răspunsul de torsiune al structurilor cu un singur nivel şi neregulate în plan, ce surprind suficient de exact comportarea structurilor cu mai multe niveluri care îndeplinesc următoarele condiţii:

la toate nivelurile, centrul maselor (CM) şi centrul de rigiditate (CR) se situează aproximativ pe aceeaşi verticală (structuri “monotone” pe verticală),

rigiditatea plăcilor în planul lor este mare comparativ cu rigiditatea laterală a elementelor structurale verticale. Datorită fenomenului de torsiune de ansamblu, elementele verticale ale unei structuri nesimetrice în plan ajung să fie solicitate la compresiune excentrică oblică chiar dacă acţiunea orizontală este

Rezumat

5

unidirecţională. Ultimul capitol al acestei lucrări îşi propune să evidenţieze influenţa solicitării oblice asupra deformabilităţii stâlpilor de beton armat (deplasare ultimă şi rigiditate). Mai exact, studiul efectuat încearcă să răspundă la întrebarea dacă deplasarea unui element solicitat la compresiune excentrică oblică se produce pe direcţia forţei, sau nu.

2 Stadiul cunoştinţelor în domeniul torsiunii generale a structurilor Capitolul al doilea al tezei prezintă parametrii implicaţi în comportarea structurilor nesimetrice în plan şi prevederile câtorva normative de calcul seismic aflate în vigoare, cu privire la solicitarea de torsiune de ansamblu. Aspectele teoretice sunt completate cu exemple de aplicare a regulilor de proiectare şi cu comparaţii între prevederile normativelor analizate.

2.1 Parametrii care influenţează comportarea structurilor nesimetrice aflate sub influenţa fenomenului de torsiune de ansamblu Trecerea de la analiza comportării în domeniul elastic la cea din domeniul inelastic, duce la amplificarea semnificativă a numărului parametrilor ce influenţează răspunsul structural. În plus, răspunsul seismic al structurilor neregulate în plan devine şi mai dificil de cuantificat din cauza efectelor combinării răspunsului global de translaţie şi a celui de torsiune.

Una dintre cele mai clare sinteze privind parametrii ce influenţează răspunsul neliniar al structurilor nesimetrice în plan a fost realizată încă din 1990 de către Rakesh. K. Goel şi Anil. K. Chopra [10].

Astfel, răspunsul elastic al structurilor nesimetrice depinde prioritar de următorii parametri:

yω , frecvenţa (perioada) proprie laterală (de translaţie) a sistemului simetric corespondent. Sistemul simetric (necuplat) corespondent este un sistem la care centrul maselor şi centrul de rigiditate coincid, în rest toate celelalte caracteristici sunt identice cu cele ale sistemului real;

yωωθ / , raportul între pulsaţia proprie laterală şi cea torsională a sistemului simetric corespondent;

re / , raportul între excentricitatea de rigiditate şi raza de giraţie a planşeului. Excentricitatea de rigiditate reprezintă distanţa între centrul maselor şi centrul de rigiditate. Raza de giraţie r depinde de forma planşeului şi de distribuţia masei şi se determină astfel, pentru o structură cu formă dreptunghiulară în plan:

321 22 ba

AI

r p +== (2.1)

unde: - a şi b reprezintă laturile structurii în plan

- A = a*b reprezintă aria structurii în plan

- pI reprezintă momentul de inerţie polar ( )22

12baabI p += (2.2)

ξ , fracţiunea din amortizarea critică care caracterizează sistemul structural.

Răspunsul inelastic al structurilor nesimetrice se consideră a fi influenţat suplimentar de următorii parametri [12]:

a) Parametri referitori la rigiditatea şi poziţia elementelor structurale situate perpendicular pe direcţia de acţiune a seismului:

Rezumat

6

yx ωω / , raportul pulsaţiilor proprii laterale pentru sistemul simetric corespondent.

xγ - rigiditate torsională relativă, egală cu raportul între rigiditatea torsională a elementelor structurale perpendiculare pe direcţia de acţiune a seismului şi rigiditatea torsională totală a structurii considerate.

b) Parametri referitori la rezistenţa la curgere şi la deformaţia de curgere a elementelor paralele cu direcţia acţiunii seismice:

pe - excentricitatea de rezistenţă. Excentricitatea de rezistenţă reprezintă distanţa între centrul maselor şi centrul de rezistenţă.

sO - factorul de suprarezistenţă, egal cu raportul între rezistenţa sistemului nesimetric în plan şi rezistenţa sistemului simetric corespondent.

yu - deformaţia la curgere a sistemului simetric corespondent:

0cuu y = (2.3)

unde: c – factor de curgere

0u - deformaţia maximă a structurii simetrice corespondente, în domeniul elastic de comportare sub acţiunea accelerogramei selectate.

2.2 Prevederile codurilor de proiectare cu privire la torsiunea de ansamblu a structurilor

2.2.1 Norma europeană EN 1998-1:2004 [1] şi codul de proiectare seismică P100-1/2006 [2] Având în vedere că fenomenul de torsiune de ansamblu este considerat defavorabil, se impun reguli generale de alcătuire a construcţiilor. Astfel, orice structură trebuie înzestrată cu suficientă rigiditate şi rezistenţă la torsiune pentru a limita manifestarea unor mişcări de răsucire în ansamblu a construcţiei, care ar putea spori periculos eforturile şi deplasările orizontale ale clădirilor. Soluţia cea mai eficientă pentru aceasta este dispunerea adecvată a unor elemente suficient de rigide şi rezistente pe perimetrul construcţiei (cel puţin două în fiecare direcţie, pe perimetrul construcţiei).

Se consideră că o structură este regulată în plan dacă respectă anumite reguli de alcătuire, printre care:

La fiecare nivel, în fiecare din direcţiile principale ale clădirii, excentricitatea structurală va satisface condiţiile:

xx re 30,00 ≤ (2.4)

yy re 30,00 ≤ (2.5)

unde:

xe0 , ye0 - distanţa între centrul de rigiditate şi centrul maselor, măsurată în direcţie normală pe direcţia de calcul

Rezumat

7

xr , yr - rădăcina pătrată a raportului între rigiditatea structurii la torsiune şi

rigiditatea laterală în direcţia de calcul. [1] prevede ca mărimile xr respectiv yr să fie cel puţin egale cu raza de giraţie a planşeului. Structurile ce nu deţin rigiditatea minimă la torsiune definită astfel, se înscriu în categoria structurilor-nucleu.

Alternativ condiţiilor expuse anterior, conform P100-1/2006 structura se consideră regulată, cu sensibilitate relativ mică la răsucirea de ansamblu, dacă deplasarea maximă înregistrată la o extremitate a clădirii, este de cel mult 1,35 ori mai mare decât media deplasărilor celor două extremităţi.

În vederea proiectării seismice a unei structuri neregulate, se impun următoarele condiţii:

Model structural spaţial. Nu se acceptă utilizarea modelelor de calcul plane.

Procedeu de calcul modal. Nu se acceptă aplicarea procedeului simplificat al forţei laterale echivalente (evaluate direct pe baza spectrului de răspuns)

De asemenea, [1] oferă o definiţie a sistemelor sensibile la torsiune (sisteme nucleu). Astfel, un sistem sensibil la torsiune este un sistem în cadre, dual sau cu pereţi, ce nu dispune de rigiditatea minimă la torsiune, definită astfel pentru direcţia y:

sx lr ≥ (2.9)

unde: y

x KK

r θ= - rază de torsiune; θK - rigiditatea structurii la torsiune; yK -rigiditatea structurii la

tranlaţie pe direcţia y; m

Il pm

s = - raza de giraţie; pmI - moment de inerţie polar al masei nivelului

considerat; m – masa nivelului considerat

Verificarea relaţiei (2.9) trebuie făcută pentru fiecare nivel şi pentru fiecare direcţie de calcul.

2.2.2 Norma neozeelandeză NZS 1170_5 [3] Fenomenul de torsiune de ansamblu se datorează în cea mai mare măsură neregularităţii structurale în plan.

Sensibilitatea torsională intervine atunci când coeficientul γ (calculat după cum urmează) depăşeşte valoarea 1.4. Coeficientul γ se determină pentru fiecare nivel i şi pentru fiecare direcţie principală, astfel:

av

i ddmax=γ (2.14)

unde:

−avd media deplasărilor punctelor extreme ale structurii de la nivelul i, generate de acţiunile asupra nivelului considerat

−maxd deplasarea maximă a structurii, înregistrată în punctele extreme ale structurii la nivelul i, pe direcţia acţiunii seismice reprezentate de forţe static echivalente ce acţionează la o distanţă de 1.0± din latura structurii

Rezumat

8

perpendiculară pe direcţia acţiunii seismice, faţă de centrul maselor de la fiecare nivel.

−γ valoarea maximă dintre toate valorile iγ de pe ambele direcţii principale

În cazul structurilor sensibile la torsiune se impune cel puţin un calcul modal, realizat pe un model structural spaţial. De asemenea, acţiunea seismică şi deplasările rezultate din calculul structural trebuie multiplicate cu factorul k. Forţa tăietoare de bază rezultată din calculul modal se notează V, iar cea din calculul cu forţe static echivalente, eV . Factorul k are următoarele valori: k

= 1 atunci când eVV ≥ şi VV

k e= atunci când V< eV .

2.2.3 Norme din SUA: Uniform Building Code 1997 [4], 2001 California Building Code [5], FEMA 368 [6], FEMA 273 [7], FEMA 440 [8] Metoda de calcul simplificat, bazată pe forţe static echivalente, poate fi utilizată numai în cazul structurilor neregulate care au mai puţin de 5 niveluri şi care nu depăşesc înălţimea de 20m.

Pentru structurile neregulate care sunt amplasate în zone cu seismicitate moderată sau puternică, se impune considerarea efectelor acţiunii seismice, după ambele direcţii principale (seism 100% pe o direcţie şi 30% pe cealaltă direcţie principală, sau combinarea eforturilor obţinute pentru cele două direcţii principale, prin regula SRSS).

[8] impune utilizarea unui model structural spaţial atunci când deplasarea maximă orizontală înregistrată în dreptul unui planşeu (ce joacă rol de diafragmă rigidă) depăşeşte 110% din valoarea deplasării orizontale medii a aceluiaşi planşeu.

Neregularitatea torsională intervine atunci când driftul maxim de etaj înregistrat la un capăt al structurii, ţinând seama de excentricitatea accidentală, este de cel puţin 1,2 ori mai mare decât driftul mediu calculat considerând valorile de drift de la ambele extremităţi ale structurii.

Atunci când o structură se caracterizează prin neregularitate torsională, excentricitatea accidentală trebuie amplificată cu factorul xA determinat astfel:

0.32,1

2

max ≤⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

avgxA

δδ (2.15)

unde: avgδ - media deplasărilor extremităţilor structurii la nivelul x

maxδ - deplasarea maximă la nivelul x

Suplimentar faţă de [4] şi [5], [6] defineşte şi o neregularitate torsională extremă (de luat în considerare atunci când planşeele nu sunt flexibile). Neregularitatea torsională extremă intervine atunci când driftul maxim de etaj înregistrat la un capăt al structurii, ţinând seama de excentricitatea accidentală, este de cel puţin 1,4 ori mai mare decât driftul mediu calculat considerând valorile de drift de la ambele extremităţi ale structurii. [6] recomandă evitarea structurilor caracterizate prin neregularitate torsională extremă.

2.2.4 DIN 4149 [9], [10] Norma germană de calcul seismic, DIN 4149 prezintă un procedeu simplificat de luare în considerare a efectelor torsiunii produse de acţiunea seismică. Procedeul simplificat poate fi

Rezumat

9

aplicat structurilor la care centrele maselor şi centrele de rigiditate, la fiecare nivel, sunt situate, fiecare, aproximativ pe aceeaşi verticală.

Notând Q şi tM forţa tăietoare şi momentul de torsiune produse de acţiunea seismică, se defineşte excentricitatea de calcul astfel:

QMe t= (2.16)

Excentricitatea “e” provine din suprapunerea excentricităţilor 10 ,ee şi 2e ,unde:

0e - distanţa dintre centrul de rigiditate (CR) şi centrul maselor (CM)

1e - excentricitate adiţională, ce ţine cont de cuplarea existentă între mişcarea de torsiune şi cea de translaţie

2e - excentricitate accidentală

Pentru dimensionarea elementelor structurale se ia în calcul cea mai defavorabilă dintre valorile:

⎩⎨⎧

−=++=

20

210

minmax

eeeeeee

(2.18)

Cuplarea existentă între mişcarea de translaţie şi cea de torsiune depinde de tipul structural, adică de distribuţia maselor şi a rigidităţilor în planul structurii. Cuplarea creşte cu cât raportul frecvenţelor decuplate de torsiune şi translaţie se apropie de 1. Este interesant faptul că pentru structuri simetrice (la care masa şi rigiditatea sunt uniform distribuite în plan) raportul este 1.

2.2.5 Exemple de aplicare a prevederilor din norme privind torsiunea de ansamblu a structurilor În acest subcapitol se analizează modul în care prevederile normativelor selecţionate pentru această lucrare se reflectă în răspunsul structural şi să determine diferenţele între răspunsul structural obţinut prin metoda de calcul liniar elastic propusă de norme şi cel determinat prin calcul dinamic neliniar.

În acest scop prevederile diferitelor norme au fost aplicate în cazul mai multor structuri, deosebite fundamental din punct de vedere al comportării la torsiune, şi anume:

Structuri cu răsucire liberă (TL, vezi fig. 2.1a). Structuri cu răsucire împiedicată (TI, vezi fig. 2.1b).

Ambele structuri analizate sunt structuri idealizate, cu un singur nivel, alcătuite dintr-o diafragmă de planşeu rigidă şi din pereţi structurali ca elemente rezistente la forţe laterale. Axa y este o axă de simetrie pentru structurile analizate. Masa structurii este concentrată în centrul de masă (CM).

Structurile din figura 2.1 sunt denumite structuri de bază. În această situaţie, centrul de rigiditate (CR), centrul de rezistenţă (CF) şi centrul maselor (CM) coincid. Structurile nesimetrice corespunzătoare se obţin prin translaţia progresivă a CM pe direcţia axei y, cu până la ± 20% din latura clădirii perpendiculară pe direcţia acţiunii seismice, faţă de poziţia sa din structura de bază.

Planşeele structurilor sunt considerate diafragme orizontale având greutatea totală de 2000kN (corespunzătoare p = 10kN/m2) cu momentul masic J = 84947 kNm2, iar capacitatea de rezistenţă la translaţie este de 0.15G, adică Fy = 300 KN pe fiecare direcţie. Pereţii structurali sunt modelaţi ca resorturi biliniare (elastic-perfect plastice) acţionând pe direcţia x şi pe direcţia y. Rigiditatea

Rezumat

10

elementelor a fost stabilită astfel încât perioada de translaţie a structurii să fie egală cu 1s. Rezistenţa elementului P1 este Fy1, de două ori mai mare decât a elementului P2, Fy2.

Fig. 2.1 Structură de bază: a.) cu răsucire liberă (TL); b.) cu răsucire împiedicată (TI)

În studiu s-au considerat două accelerograme: Bucureşti΄77 NS şi Focşani ΄86 N0,7W. Accelerogramele au fost scalate pentru două niveluri de intensitate: 0,2g (nivelul L1) şi 0,4g (nivelul L2). Se poate considera că nivelul de intensitate L1 corespunde stării limită ultime (SLU), iar nivelul de intensitate L2, stării limită de supravieţuire (SLSV).

Pentru structura cu torsiune liberă considerată, în fig. 2.3a sunt reprezentate domeniile de excentricitate pentru care structura se consideră a fi sensibilă la torsiune, conform prevederilor alternative indicate în codurile P100-1/2006 şi EN 1998 -1:2004. Varianta 1 de condiţii limitează excentricitatea ( xe0 , ye0 ) rădăcina pătrată a raportului între rigiditatea structurii la torsiune şi

rigiditatea laterală în direcţia de calcul ( xr , yr ), iar varianta 2 compară deplasarea maximă cu cea medie. Condiţiile asociate variantei 1 se dovedesc mai restrictive. Fig. 2.3b prezintă domeniile de excentricitate pentru care structura se consideră a fi sensibilă la torsiune conform prevederilor celorlalte documente normative analizate în lucrare, reprezentate împreună cu varianta 1.

sensibilitate la torsiuneP100, EC8

0

1

-20

-18

-16

-14

-12

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

e [%]

var 1var 2

sensibiltate la torsiune

0

1

-20

-18

-16

-14

-12

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

e [%]

UBCNZSP100,EC8

a) b)

Fig. 2.3 Structură cu torsiune liberă – sensibilitate la torsiune

Excentricitate negativă înseamnă translatarea centrelor de rigiditate şi rezistenţă către partea „tare” a structurii (peretele 1). Excentricitate pozitivă înseamnă translatarea centrelor de rigiditate şi rezistenţă către partea „slabă” a structurii (peretele 2).

Ordonata zero indică insensibilitate torsională iar ordonata unu sensibilitate torsională.

Pentru structura cu torsiune împiedicată analizată, fig. 2.4 prezintă domeniile de excentricitate pentru care structura se consideră a fi sensibilă la torsiune.

Rezumat

11

sensibilitate la torsiuneP100, EC8

0

1

-20

-18

-16

-14

-12

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

e [%]

var 1var 2

sensibilitate la torsiune

0

1

-20

-18

-16

-14

-12

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

e [%]

UBCNZSP100, EC8

a) b)

Fig. 2.4 Structură cu torsiune împiedicată – sensibilitate la torsiune

Analiza fig. 2.3 şi fig. 2.4 permite formularea următoarelor concluzii:

Pentru structurile investigate se înregistrează diferenţe de până la 85% între domeniile de sensibilitate la torsiune definite în normele analizate.

Diferenţele între cele două variante propuse de [1] şi [2] sunt semnificative mai ales pentru structura cu torsiune împiedicată. Pentru aceasta, varianta 1 indică sensibilitate torsională începând cu o excentricitate de 13%, limită ce se extinde la 19% în cazul variantei 2.

Dintre normele considerate, codurile P100-1/2006 şi EN 1998 -1:2004 indică cel mai restrâns domeniu de sensibilitate torsională (între -9% şi +11% pentru structura TL şi între -11% şi +13% în cazul structurii TI). La polul opus se situează normativele din SUA care clasifică structurile ca fiind sensibile la torsiune începând cu o excentricitate de

%1± în cazul structurii TL, respectiv %2± în cazul structurii TI considerate.

Metoda de calcul curentă promovată de majoritatea codurilor de proiectare actuale este cea a calculului static elastic cu forţe echivalente. Pentru a estima măsura în care acest calcul poate fi aplicat în cazul structurilor neregulate în plan atât la starea limită ultimă cât şi la starea limită de serviciu, respectiv la starea limită de supravieţuire (importantă mai ales pentru estimarea capacităţii clădirilor existente), s-au determinat prin calcul dinamic neliniar [18] valorile deplasărilor centrului maselor şi a celor doi pereţi situaţi pe direcţia acţiunii seismice, respectiv valorile rotirii structurale.

Inputul a fost reprezentat de trei accelerograme: Bucureşti΄77 NS (compatibilă cu spectrul de proiectare din normativul P100-1/2006 pentru perioada de colţ Tc = 1,6s), Focşani ΄86 N0,7W (compatibilă cu spectrul de proiectare din normativul P100-1/2006 pentru perioada de colţ Tc = 1,0s) şi El Centro EW (scalată pentru Tc = 0,7s). Accelerogramele au fost scalate pentru două niveluri de intensitate: 0,2g (nivelul L1, corespunzător SLU) şi 0,4g (nivelul L2, corespunzător SLSV). Stările limită sunt considerate diferit în diferite norme. Suplimentar, în vederea evidenţierii răspunsului structural la starea limită de serviciu (SLS) valorile deplasării şi forţei corespunzătoare intrării în curgere s-au mărit pentru a obţine o comportare elastică pe toată durata mişcării induse de accelerograma considerată.

S-a utilizat programul de calcul dinamic neliniar TORSDIN [18], descris în capitolul 4.5.

Rezultatele obţinute pentru SLS denotă o subevaluare a deplasărilor centrului maselor şi o supraevaluare a rotirilor în calculul static elastic. Aceste efecte nu se anulează reciproc şi duc la o subevaluare a deplasărilor pereţilor structurali situaţi pe direcţia acţiunii seismice. Spre deosebire de calculul static elastic, calculul dinamic neliniar indică rotiri reduse, ce conduc la variaţii mici ale deplasărilor pereţilor pentru înreg domeniul de excentricităţi considerat.

Rezumat

12

Se poate spune că pentru SLU rezultatele calculului static elastic se apropie mai mult (atât ca alură a diagramei, cât şi ca valori) de cele ale calculului dinamic neliniar (considerat riguros) decât pentru SLS şi că pentru SLSV calculul static elastic nu poate fi aplicat (vezi fig. 2.10).

Datorită faptului că în stadiul elastic de comportare prezenţa pereţilor situaţi pe direcţie perpendiculară faţă de direcţia de acţiune a seismului afectează minor comportarea structurală, rezultatele obţinute pentru structura cu torsiune liberă pot fi extinse şi la structura cu torsiune împiedicată.

uxCM - L1, L2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

-30 -20 -10 0 10 20 30

e [%]

uxC

M [m

] Torsdin L1calcul static elasticTorsdin L2

θ - L1, L2

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

-30 -20 -10 0 10 20 30

e [%]θ

[rad]

Torsdin_L1calcul static elasticTorsdin L2

a.) b)

ux1 - L1, L2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

-30 -20 -10 0 10 20 30

e [%]

ux1 [m

] Torsdin L1calcul static elasticTorsdin L2

ux2 - L1, L2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

-30 -20 -10 0 10 20 30

e [%]

ux2 [m

] Torsdin L1calcul static elasticTorsdin L2

c.) d)

Fig. 2.10 Structură cu torsiune împiedicată la SLU şi SLSV: a) deplasarea centrului maselor; b) rotirea; c) deplasarea peretelui P1; d) deplasarea peretelui P2

Suplimentar se observă că în cazul structurii cu torsiune împiedicată rotirile determinate prin calcul dinamic neliniar la SLU se modifică minor pentru SLSV. Această observaţie duce la concluzia că pentru incursiuni ample în domeniul inelastic de comportare rotirile se plafonează.

Exemplul prezentat în capitolul 2.2.5 evidenţiază diferenţele mari existente la ora actuală între prevederile incluse în normativele selecţionate pentru această lucrare, referitoare la considerarea efectelor torsiunii de ansamblu a structurilor. Suplimentar această situaţie atrage necesitatea elaborării unor metode de calcul care să surprindă comportarea reală a structurilor (evaluată cel mai fidel de calculul dinamic neliniar) şi să păstreze totuşi simplitatea necesară pentru a putea fi utilizate în proiectarea curentă.

2.3 Metode simplificate de determinare a amplificărilor structurale datorate torsiunii de ansamblu Cercetarea în domeniu s-a concentrat în ultimii ani asupra elaborării de metode simplificate de calcul, care să înlocuiască calculului dinamic neliniar şi care să ofere totuşi rezultate de acurateţe acceptabilă.

Rezumat

13

Dintre cele mai cunoscute metode simplificate de determinare a amplificărilor structurale datorate torsiunii de ansamblu, s-au reţinut următoarele:

Metoda MPA (Modal Pushover Analysis Procedure) Metoda N2

2.3.1 Metoda MPA (Modal Pushover Analysis Procedure) Metoda MPA se bazează pe calculul structural dinamic, însă menţine simplitatea conceptuală a distribuţiei constante a forţelor. Deşi analiza modală nu poate fi aplicată în cazul structurilor cu comportare neliniară, răspunsul acestora poate fi descris cu ajutorul coordonatelor modale ale sistemului elastic corespondent. Metoda MPA utilizează calculul push-over.

MPA neglijează “cuplarea modală”, iar erorile provenite din această aproximaţie cresc o dată cu incursiunile în domeniul postelastic. Pentru că rotirile în articulaţiile plastice ale grinzilor sunt direct legate de drifturi, procedura MPA este la fel de exactă în determinarea ambelor mărimi. Procedura MPA estimează forţele în elemente cu o acurateţe similară sau mai bună decât cea pentru drifturi.

Pentru rezultate adecvate, procedura MPA trebuie aplicată pentru mai multe mişcări seismice, deoarece regulile de combinare modală SRSS şi CQC se bazează pe „random vibration theory” şi sunt aplicabile atunci când excitaţia se caracterizează printr-un spectru lin de răspuns. De asemenea, orice procedeu push-over depinde de estimarea bună a deplasărilor la vârf, iar această acurateţe nu poate fi obţinută din analiza unei singure mişcări a terenului.

Procedura MPA oferă rezultate caracterizate prin erori inacceptabile pentru clădiri deformate mult în domeniul rigidităţii negative post – curgere, cu deteriorarea avansată a capacităţii laterale (ca majoritatea procedeelor push-over de altfel).

2.3.2 Metoda N2 Metoda N2 este utilizată în analiza seismică şi se bazează pe calcul push-over şi pe spectre de răspuns inelastice.

Metoda N2 se aplică sistemelor cu un grad de libertate dinamică şi sistemelor cu mai multe grade de libertate dinamică ce pot fi modelate adecvat ca sisteme cu un singur grad de libertate dinamică.

Metoda N2 extinsă la structuri nesimetrice în plan reprezintă o combinaţie între analiza static neliniară şi dinamic liniară. Spre deosebire de varianta de bază, metoda N2 extinsă se aplică modelelor structurale tridimensionale.

3. Evaluarea răspunsului structurilor nesimetrice în plan prin metode simplificate şi exacte Procedeele de calcul curent prescrise de coduri pentru evaluarea răspunsului seismic al structurilor nesimetrice în plan sunt insuficient de precise. Metoda de calcul dinamic neliniar este extrem de laborioasă şi neaplicabilă în proiectarea curentă. Astfel a apărut necesitatea formulării unor metode de calcul mai simple şi mai fidele faţă de comportarea seismică reală a structurilor nesimetrice în plan.

Teza de doctorat investighează oportunitatea utilizării metodei SESA (1). Aceasta este o metodă simplificată de determinare a amplificării deplasărilor structurale datorate torsiunii generale, se bazează pe metoda spectrului capacităţii şi este în măsură să estimeze amplificarea răspunsului seismic structural datorită torsiunii de ansamblu, menţinând totodată simplitatea calculului spectral (în domeniul elastic). SESA se compară din punct de vedere teoretic şi practic cu:

Rezumat

14

Calculul static elastic cu forţe echivalente (2), promovat de codurile de proiectare în vigoare pentru evaluarea răspunsului structurilor nesimetrice în plan (alături de calculul modal).

Metoda de calcul dinamic neliniar (3), cea mai fidelă faţă de comportarea seismică reală a structurilor nesimetrice în plan, [18].

Suplimentar teza urmăreşte calibrarea unor valori ale excentricităţii de calcul (numită excentricitate echivalentă) pentru a îmbunătăţi calculul structural de tip curent. Acest procedeu este descris în capitolul 4.5.

3.1 Calcul static elastic cu forţe echivalente Calculul static elastic cu forţe echivalente reprezintă alături de calculul modal o metodă de proiectare recomandată în anumite condiţii de normele seismice în vigoare pentru evaluarea răspunsului structurilor nesimetrice în plan.

Calculul static elastic cu forţe echivalente promovat de codurile de proiectare actuale numai pentru SLS şi SLU, a fost aplicat şi la SLSV pentru a-i identifica limitele. S-a utilizat calculul static elastic la SLSV considerând ag=0,4g şi valori exagerat de mari pentru factorul de comportare q. Astfel valoarea forţei seismice rămâne cea corespunzătoare calculului la SLU, iar deplasările sunt amplificate cu factorul de comportare corespunzător SLSV. În vederea determinării deplasărilor reale pentru SLSV, s-au amplificat deplasările obţinute în domeniul elastic de comportare cu coeficientul c (calibrat pentru SLU).

Forţa seismică de calcul s-a considerat Fb=Fy/1.5, unde Fy reprezintă forţa de intrare în curgere a structurii. Factorul 1.5 ia în considerare suprarezistenţa structurii datorată diferenţei între valorile medii şi cele de calcul ale rezistenţelor.

Pentru seism pe direcţia x deplasarea de translaţie ( CMxu ) şi rotirea structurală (θ) se determină cu

relaţiile (3.1) respectiv (3.2).

eKFcqu

t

bCMx θ+= (3.1)

θ

θK

eFcq b= (3.2)

unde: c - coeficient de amplificare a deplasărilor în domeniul T<Tc, cf. [2]; q - factorul de comportare;

tK - rigiditatea la translaţie; θK - rigiditatea la rotire; e – excentricitatea statică.

Deplasările în pereţii P1 ( 1Pxu ) şi P2 ( 2P

xu ) se determină cu relaţiile:

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅±=

⋅±=

22

11

yuu

yuuCMx

Px

CMx

Px

θ

θ (3.3)

în care 1y şi 2y reprezintă distanţele între CM şi centrul de greutate al pereţilor P1 respectiv P2.

3.2 Calcul dinamic neliniar al sistemelor cu 3 GLD, cu programul Torsdin [16] Programul de calcul se aplică structurilor ce pot fi aproximate cu un pendul cu trei grade de libertate. Aceasta înseamnă că se echivalează structura reală cu o structură având un singur nivel, pe planşeul căreia (infinit rigid) se condensează toată masa clădirii. Acest tip de model introduce erori acceptabile în cazul construcţiilor regulate pe verticală, având planşee infinit rigide, la care toate elementele rezistente la forţe laterale sunt continue pe înălţimea clădirii, între etaje neexistând

Rezumat

15

excentricităţi foarte diferite ale masei. Regularitatea structurii este impusă numai pe verticală, în plan putând exista orice fel de neregularitate de rigiditate sau de rezistenţă, pe oricare dintre cele două direcţii de calcul. Elementele verticale sunt schematizate prin resorturi neliniare, având o lege histeretică biliniară cu consolidare.

3.3 Metodă simplificată de determinare a amplificării deplasărilor structurale datorate torsiunii generale (SESA)

3.3.1 Descrierea metodei Această metodă se aplică la determinarea răspunsului seismic în domeniul elastic şi utilizează calculul modal cu spectre de răspuns al unui sistem nesimetric cu un singur nivel. Ea se bazează pe metoda spectrului capacităţii şi echivalează (din punctul de vedere al mişcării de translaţie) sistemul structural cu comportare neliniară cu un sistem structural elastic, echivalent la translaţie. Altfel spus, se echivalează amortizarea histeretică caracteristică sistemelor cu comportare neliniară, cu o amortizare vâscoasă. Astfel, metoda este în măsură să evidenţieze amplificarea răspunsului seismic structural datorită torsiunii de ansamblu, menţinând totodată simplitatea calculului spectral (în domeniul elastic).

Sistemul considerat este o structură idealizată, cu un singur nivel, alcătuită dintr-o diafragmă de planşeu rigidă, din stâlpi şi pereţi structurali ca elemente rezistente la forţe laterale. Masa structurii este concentrată în centrul de masă (CM). Elementele structurale sunt dispuse simetric faţă de axa principală x, care este o axă de simetrie pentru clădire. Un astfel de sistem excentric numai în raport cu direcţia y este arătat în fig.3.1.

Deoarece translaţia pe direcţia x nu este cuplată cu celelalte două grade de libertate dinamică, răspunsul elastic al sistemului la mişcarea seismică de translaţie pe direcţia x poate fi tratat separat.

Se consideră sistemul supus mişcării seismice de translaţie pe direcţia y. În raport cu axa y, sistemul este excentric şi cele două grade de libertate dinamică - translaţie pe direcţia y şi torsiune - sunt cuplate. Ecuaţiile de mişcare ale sistemului sunt dezvoltate în funcţie de uy (deplasarea de translaţie a centrului de masă CM pe direcţia y) şi r uθ (r – raza de giraţie a planşeului (vezi relaţia 3.13), uθ - rotirea de torsiune a planşeului, ambele în jurul unei axe verticale care trece prin CM).

Conform [17], ecuaţiile de mişcare pentru structura din fig. 3.1 sunt următoarele:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

−=++

∑ ∑ ∑

∑ ∑

= = =

=

N

i

N

i

N

jjxjiyiyiyi

gy

N

iiyiyyiy

tuyKxKtuxKturm

tumtuxKtuKtum

1 1 1

222

1

0θθ

θ

&&

&&&&

(3.4)

Unde: m - masa totală de translaţie a sistemului; yiK - rigiditatea la translaţie pe direcţia y, a

peretelui i; gyu&& - acceleraţia seismică a terenului pe direcţia y; ii yx , - distanţe între centrele de greutate ale pereţilor şi CM, pe direcţie x şi y.

Ecuaţiile (3.4) sunt scrise pentru sisteme fără amortizare, sau cu amortizare clasică (a căror matrice de amortizare este diagonală), cele două sisteme având aceleaşi moduri proprii de vibraţie.

Rezumat

16

Fig.3.1 Vedere în plan a unui sistem tipic cu un singur nivel

Utilizând notaţiile

∑=

=N

iyit KK

1 - rigiditatea totală a sistemului pe direcţia y;

2

1

2

1j

M

jxji

N

iyi xKxKK ∑∑

==

+=θ - rigiditatea totală rotaţională a sistemului;

e - excentricitatea statică (distanţa dintre CM şi CR), se obţine:

( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

=++

−=++

02θθθθ

θθ

uKuKurm

umuKuKtum

yt

gytyty

&&

&&&& (3.5)

dar tt KeK =θ , astfel încât relaţiile (3.5) se pot scrie:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=++

−=++

01θθθ

θ

uKr

uKreurm

umuKeuKum

yt

gytyty

&&

&&&&

(3.7)

În formă matriceală sistemul devine:

[ ] { } [ ] { } [ ] { }M u R u M ug&& &&+ = − (3.9)

Frecvenţele vibraţiilor proprii de translaţie şi de torsiune pentru sistemul necuplat corespondent (la care CM şi CR coincid) sunt:

mKty /=ω (3.10)

pmR IK /θθω = (3.11)

unde: RKθ = rigiditatea rotaţională în raport cu centrul de rigiditate (CR)

tR KeKK 2−= θθ (3.12)

pmI = momentul de inertie polar al masei

mrI pm2= (3.13)

Sistemul nesimetric poate fi analizat folosind metoda superpoziţiei modale.

Ecuaţia vectorilor proprii este:

Rezumat

17

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛00

00

/1// 2

2i

yii

t

tt

mm

KrKreKreK

θθ φφ

ω (3.19)

Dacă notăm yω

ωθ=Ω raportul dintre frecvenţele sistemului necuplat corespondent, se poate scrie:

t

R

t

R

y KK

rKm

mrK θθθ

ωω

⋅=⋅==Ω 222

22 1 (3.20)

Din relaţiile 3.12 şi 3.20 rezultă:

22222

ereKK

KKeK

KK

t

R

t

tR

t

+Ω=+=+

= θθθ (3.21)

Considerând şi 2/ yt mK ω= , ecuaţia (3.19) poate fi pusă sub forma:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+Ω 0

01001

///1

2

22i

yi

y

i

rerere

θφφ

ωω (3.23)

sau ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+Ω−

00

ˆˆˆ1

222

2

i

yi

i

i

eee

θφφ

ωω

, (3.24)

unde:

$ /e e r= - excentricitatea statică normalizată;

ω ω ωi i y= / - frecvenţa proprie normalizată.

Frecvenţele şi forma modurilor de vibraţie pentru sistemul cuplat pot fi calculate prin rezolvarea problemei de valori proprii a ecuaţiei (3.24).

Ecuaţia frecvenţelor proprii este:

0ˆˆ

ˆ1222

2

=−Ω+

−

i

i

eee

ωω

(3.25)

( ) 0ˆ1 22224 =Ω+Ω++−⇒ eii ωω (3.26)

2/1

222222

2ˆ1

2ˆ1

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛Ω−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Ω++±

Ω++=

eey

i

ωω i = 1, 2 (3.27)

Din ecuaţia (3.24) se obţine:

ii

yie

θφωφ 21

ˆ−

−= (3.29)

Forma modurilor proprii de vibraţie se normalizează astfel încât masa modală Mi* să fie egală

cu:

Rezumat

18

{ } [ ]{ } mMM iTii == φφ* (3.30)

Rezultă:

122 =+ iyi θφφ (3.32)

Din relaţiile (3.29) şi (3.32) rezultă:

( )222

2

1ˆ

1

i

ii

e ω

ωφθ−+

−= (3.34)

( )222 1ˆ

ˆ

i

yie

e

ωφ

−+

−= (3.35)

Forma modurilor proprii de vibraţie este:

( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2222 1

ˆ

1ˆ

1i

ii

yi e

e ωωφφ

θ

(3.36)

Răspunsul modal maxim folosind metoda spectrului de răspuns, este:

iii

i

i

yii

i

yi

i

yi ASM

Pturu

2*

*

max)(

ωφφ

ηφφ

θθθ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (3.37)

unde:

SAi - pseudo - acceleraţia corespunzătoare perioadei Ti şi fracţiunii din amortizarea critică (ξ ); *iM - masa modală. S-a pus condiţia Mi m* = ;

*iP - factorul de participare modal.

{ } [ ]{ } ( ) yiiyiTii m

mm

MP φφφφ θ =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

01

00

1* (3.38)

Cu aceste valori, ecuaţia (3.37) devine:

ii

yi

i

yi

i

yi SAuru

2ωφ

φφ

θθ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (3.39)

Deplasarea modală maximă la distanţa x = r faţă de CM se determină astfel:

( ) ii

yiiyiiyiri SAuruu 2ωφ

φφ θθ +=+= (3.40)

( )[ ]( ) 2222

22

1ˆ1ˆˆ

i

i

i

iri

SAeeeu

ωωω

⋅−+

−−= (3.41)

După determinarea răspunsului maxim modal în CM respectiv la distanţa x=r faţă de CM, se calculează răspunsul maxim total, pe baza regulilor de combinaţie modale. Determinarea răspunsului maxim total este explicitată în capitolul 3.3.4.

Rezumat

19

3.3.2 Verificarea compatibilităţii rezultatelor metodei simplificate SESA şi ale calculului dinamic neliniar, în domeniul elastic de comportare În vederea validării metodei simplificate s-a efectuat în primă fază o comparaţie între rezultatele obţinute prin calcul spectral şi cele determinate prin calcul dinamic liniar (descris în capitolul 3.2), în domeniul elastic de comportare.

Comparaţia a fost făcută pentru structura din figura 2.1, la care valorile deplasării şi forţei corespunzătoare intrării în curgere s-au mărit pentru a obţine o comportare elastică pe toată durata mişcării induse de accelerograma Bucureşti’77 NS, compatibilă cu spectrul de proiectare din normativul P100-1/2006.

Urmărind deplasarea în CM şi rotirea, respectiv deplasările în pereţii P1 şi P2, metoda simplificată SESA şi calculul dinamic elastic duc la rezultate apropiate pentru starea limită de serviciu.

3.3.3 Definirea structurii înlocuitoare Pentru a putea utiliza calculul spectral descris în capitolul 3.3.1 în cazul unui sistem cu comportare neliniară, este necesară echivalarea pentru deplasarea de translaţie a structurii reale cu o structură supraamortizată înlocuitoare, având comportare elastică.

Metoda structurii înlocuitoare (propusă iniţial de Sozen şi Shibata 1976) constă în aproximarea deplasării inelastice a structurii prin deplasarea elastică a unei structuri definite prin rigiditatea secantă (fig 3.4) la punctul de deplasare maximă. Perioada efectivă a structurii înlocuitoare se determină cu relaţia:

ieq TT μ= (3.42)

în care: Ti = perioada iniţială; μ = ductilitatea asociată deplasării maxime înregistrate în timpul mişcării seismice.

Relaţia (3.42) este riguroasă numai pentru o diagramă Δ−F biliniară, fără consolidare.

Pentru definirea sistemului liniar echivalent la translaţie cu sistemul inelastic iniţial, se găsesc în literatura de specialitate diferite relaţii pentru amortizarea echivalentă, care depind în principal de perioada sistemului iniţial şi de ductilitatea sa. Aplicarea lor presupune determinarea cerinţei de deplasare du şi implică erori semnificative în cazul structurilor cu ci TT ≤ (Tc reprezintă perioada de colţ).

Fig. 3.4 Rigiditate secantă

În vederea optimizării procedurii de echivalare, aceasta trebuie aplicată iterativ. Dacă nu se face acest lucru, valoarea erorii (a diferenţei între deplasarea ultimă a sistemelor echivalent şi iniţial) datorate procedurii de echivalare se propagă în calculul spectral şi poate fi corectată grafic prin translatarea curbelor de deformaţii astfel încât valorile obţinute pentru structura simetrică (excentricitate nulă), să fie egale.

Fu

F

Fn

Δy Δδ

K 1 K e

RKi

Rezumat

20

Din acest motiv, şi deoarece în acest studiu s-a urmărit minimizarea erorii provenite din procedura de echivalare, nu s-au utilizat relaţiile existente în literatura de specialitate pentru determinarea caracteristicilor sistemului echivalent (perioadă echivalentă Teq, amortizare echivalentă ξ ), ci s-a aplicat iterativ următoarea procedură:

Se determină deplasarea ultimă a sistemului cu comportare neliniară sub încărcarea seismică, du, prin calcul dinamic neliniar

Se calculează ductilitatea yu dd /=μ , unde dy reprezintă deplasarea corespunzătoare

intrării în curgere a structurii cu comportare neliniară ( tyy KFd /= , valoare cunoscută)

Se determină perioada sistemului echivalent, Teq, cu relaţia 3.42

Se determină iterativ spectrul elastic de deplasare supraamortizat (caracterizat prin amortizarea ξ ) pentru care perioadei Teq îi corespunde o valoare a deplasării sistemului elastic echivalent ( eq

ud ), cât mai apropiată de du.

3.3.4 Metodologia de aplicare a calculului modal cu spectre de răspuns supraamortizate (SESA) Aplicarea metodei SESA, la structurile selectate pentru a fi analizate, implică următoarele etape:

a) Se determină masa M, momentul masic J şi raza de giraţie a planşeului, r. b) Se calculează rigiditatea iniţială la translaţie, Kt, considerând o valoare dată pentru perioada proprie fundamentală a structurii, iT .

c) Se determină perioada proprie a sistemului echivalent, ieq TT μ= . d) Se calculează rigiditatea echivalentă la translaţie, Kteq:

22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

eqteq T

MK π (3.46)

şi se distribuie la pereţi pe fiecare din cele două direcţii principale ale structurii, obţinându-se echivxiK şi echiv

yiK .

e) Se determină rigiditatea iniţială la rotire, initialKθ (vezi fig. 2.1 şi fig.2.2) :

2

1

2

1i

N

ixii

N

iyi

initial yKxKK ∑∑==

+=θ (3.47)

unde: yixi KK , = rigidităţi iniţiale ale pereţilor pe direcţia x respectiv pe direcţia y;

ii yx , = distanţele între centrele de greutate ale pereţilor şi CM.

f) Se determină rigiditatea echivalentă la rotire θK , pe baza relaţiei (3.47) în care se introduc

valorile rigidităţilor echivalente ale pereţilor pe direcţia x ( echivxiK ) respectiv pe direcţia y ( echiv

yiK ). Se consideră că rigiditatea la rotire a tuturor pereţilor structurali se modifică în aceeaşi proporţie ca şi rigiditatea lor la translaţie.

g) Se determină frecvenţele proprii xω şi θω ale sistemului simetric, aplicând relaţiile (3.10)÷(3.13).

Rezumat

21

h) Se consideră poziţii succesive ale CM prin deplasarea incrementală pe direcţia y, cu până la ±25% din latura perpendiculară pe direcţia acţiunii seismice, faţă de poziţia CM din sistemul simetric.

i) Se determină ree /ˆ = şi xω

ωθ=Ω .

j) Se determină frecvenţele proprii ale sistemului cuplat 1ω şi 2ω , aplicând relaţia (3.27). T1 şi T2 se calculează astfel:

2,12,1

2ωΠ

=T (3.48)

k) Se determină formele celor două moduri de vibraţie, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1

1

θφφx şi ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2

2

θφφx , aplicând relaţia (3.36).

l) Se determină coordonatele spectrale SD( 1T ) şi SD( 2T ) utilizând spectre elastice supraamortizate (generate sau definite în EN 1998-1:2004). m) Se determină deplasările modale de translaţie şi rotire ale CM, CM

xu 2,1 şi CMru 2,1θ pe baza relaţiei

(3.39) în care )(/ 2,122,12,1 TSDSA =ω .

n) Se determină rruCM /2,12,1 θθ = . o) Se calculează deplasările totale de translaţie şi rotire ale CM. Aplicând regula CQC, se obţine:

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅⋅++=

⋅⋅++=CMCMCMCMCM

CMx

CMx

CMx

CMx

CMx

uuuuuuuuuu

212

22

1

212

22

1

2)()(2)()(

θθθθθ ρρ (3.51)

Unde ρ reprezintă coeficientul de corelare modală [17].

p) Se determină deplasările totale ale pereţilor P1 şi P2 ( 1Pxu şi 2P

xu ) aflaţi pe direcţia acţiunii seismice considerate, prin cumularea componentelor de translaţie şi rotire pentru fiecare mod în parte:

⎩⎨⎧

−=+=

2112

1

1111

1

yuuyuu

CMx

Px

CMx

Px

θθ

; ⎩⎨⎧

−=+=

22222

12212

yuuyuu

CMx

Px

CMx

Px

θθ

(3.53)

unde y1,2 = distanţe din centrul de greutate al pereţilor P1 respectiv P2 până în CM. În relaţia (3.53) mărimile CM

xCMx uu 21 , , 1θ şi 2θ se introduc cu semnul algebric.

Deplasarea totală 1Pxu ( 2P

xu ) a peretelui P1 (P2) se determină aplicând relaţiile (3.39) – (3.51) pentru mărimile 1

1Pxu şi 1

2Pxu ( 2

1Pxu şi 2

2Pxu ).

3.3.5 Studiu comparativ privind aplicarea diferitelor metode pentru evaluarea răspunsului seismic de torsiune al structurilor din beton armat Studiul comparativ efectuat analizează răspunsul seismic a două structuri cu un singur nivel (vezi fig.2.1 şi fig.2.2), supuse acţiunii accelerogramelor modificate Bucureşti΄77 NS şi Focşani΄86N0,7W scalate pentru cele două niveluri de intensitate considerate (L1=0.2g şi L2=0.4g). Accelerogramele modificate sunt compatibile cu spectrul de proiectare din normativul P100-1/2006, pentru Tc=1,6s respectiv pentru Tc=1,0s. Nivelul de intensitate L1 corespunde stării limită ultime (SLU – P100 – 1/2006) iar nivelul de intensitate L2 corespunde stării limită de

Rezumat

22

supravieţuire (SLSV – P100 – 3/2006). Clasificarea acţiunii seismice pe niveluri de intensitate este convenţională, urmărind să evidenţieze efectele mărimii incursiunii în domeniul postelastic de comportare.

Scopul studiului comparativ efectuat a fost de a identifica gradul de aproximare a răspunsului seismic determinat prin calcul modal cu spectre de răspuns, utilizând metoda SESA, faţă de răspunsul seismic obţinut prin calcul dinamic neliniar.

Alături de mărimile de răspuns obţinute prin cele două metode, s-au reprezentat şi valorile de răspuns determinate prin calcul static elastic cu forţe echivalente conform normativului P100 –1/ 2006 (vezi capitolul 3.1).

La prezentarea rezultatelor se utilizează următoarele notaţii:

TL – structură cu torsiune liberă TI – structură cu torsiune împiedicată ey – excentricitate a centrului de rigiditate faţă de centrul maselor

Mărimile de răspuns comparate sunt următoarele:

Translaţia totală a centrului maselor, CMxu (vezi fig.3.8 şi fig.3.9)

Rotirea totală a centrului maselor, CMuθ (vezi fig.3.10 şi fig.3.11)

Deplasarea totală înregistrată în dreptul peretelui P1, 1Pxu (vezi fig.3.12 şi fig.3.13)

Deplasarea totală înregistrată în dreptul peretelui P2, 2Pxu (vezi fig.3.14 şi fig.3.15)

Legenda reprezentărilor grafice este următoarea: AS – mărimi obţinute prin adunarea valorilor absolute ale rezultatelor modale (SESA); SRSS – rezultate obţinute prin regula de compunere modală Square Root of Sum of Squares (SESA); CQC – rezultate obţinute prin regula de compunere modală Complete Quadratic Combination (SESA); TORSDIN – rezultatele calculului dinamic neliniar; P100 – rezultate obţinute prin aplicarea calculului convenţional elastic cu forţe laterale conform P100 –1/ 2006.

uxCM-TL

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

-6 -4 -2 0 2 4 6

ey[m]

u xC

M[m

]

AS

SRSSCQC

TORSDINP100

uxCM-TI

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

-6 -4 -2 0 2 4 6

ey[m]

uxC

M[m

]

ASSRSSCQCTORSDINP100

a.) b)

Fig. 3.8 Deplasarea CM, CMxu pentru nivelul L1: a) TL Bucureşti’77 NS ; b) TI Bucureşti’77NS

Examinând rezultatele calculului comparativ reprezentate în fig.3.8 şi fig.3.9 (referitoare la deplasarea CM) , se constată următoarele:

Pentru valori mici ale excentricităţii CM faţă de CR (<5%) rezultatele obţinute în cazul utilizării SESA pentru translaţia totală a CM sunt identice, indiferent de regula de compunere modală aplicată (AS, SRSS, CQC).

Rezumat

23

Atunci când excentricitatea CM faţă de CR este mai mare, rezultatele obţinute prin aplicarea diferitelor reguli de compunere modală diferă. După cum era de aşteptat, valorile cele mai mari pentru translaţia totală a CM se obţin aplicând regula AS. Regulile SRSS şi CQC oferă rezultate apropiate, ceea ce denotă cuplarea slabă a modurilor proprii de vibraţie.

uxCM-TL

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

-6 -4 -2 0 2 4 6

ey[m]

u xC

M[m

]

ASSRSS

CQCTORSDIN

uxCM-TI

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

-6 -4 -2 0 2 4 6

ey[m]

uxC

M[m

] ASSRSSCQCTORSDIN

a.) b)

Fig. 3.9 Deplasarea CM, CMxu pentru nivelul L2: a) TL Bucureşti’77 NS ; b) TI Bucureşti’77NS

După cum era de aşteptat, mărimea răspunsului de translaţie înregistrat în CM nu diferă semnificativ în funcţie de tipul structural.

SESA estimează mai bine răspunsul structural de translaţie în CM, faţă de calculul convenţional elastic cu forţe laterale confom P100-1/2006, care este uneori excesiv de acoperitor.

Conform calculului static este de aşteptat ca deplasarea centrului maselor să crească o data cu creşterea excentricităţii şi cu creşterea intensităţii cutremurului. Rezultatele calculului dinamic şi cele obţinute prin aplicarea metodei SESA contrazic această presupunere. Se observă o creştere moderată a deplasării centrului maselor o dată cu excentricitatea la nivelul de intensitate L1, iar contrar aşteptărilor, deplasările centrului maselor sunt aproape constante indiferent de excentricitate, pentru nivelul de intensitate L2. Fenomenul se explică prin faptul că mişcarea de rotire este puternic amortizată în domeniul comportării neliniare şi prin faptul că în calculul static nu se ţine seama de inerţia la rotirea masei, ce se opune tendinţei de rotire a structurii.

Examinând rezultatele calculului comparativ reprezentate în fig.3.10 şi fig.3.11 (referitoare la rotirea CM) , se constată următoarele:

După cum era de aşteptat, CM nu se roteşte atunci când excentricitatea CM faţă de CR este nulă. Observaţia este valabilă atât pentru domeniul elastic, cât şi pentru domeniul plastic de comportare.

θCM-TL

-0.005

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

-6 -4 -2 0 2 4 6

ey[m]

θCM

[rad

]

AS

SRSSCQC

TORSDINP100

θCM-TI

-0.005

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

-6 -4 -2 0 2 4 6

ey[m]

θCM

[rad]

ASSRSSCQCTORSDINP100

a.) b.)

Fig. 3.10 Rotirea CMuθ pentru nivelul L1: a) TL Bucureşti’77 NS ; b) TI Bucureşti’77 NS

Rezumat

24

θCM-TL

-0.010

0.000

0.010

0.020

0.030

0.040

0.050

0.060

0.070

-6 -4 -2 0 2 4 6

ey[m]

θCM

[rad

] AS

SRSSCQC

TORSDIN

θCM-TI

-0.010

0.000

0.010

0.020

0.030

0.040

0.050

0.060

0.070

-6 -4 -2 0 2 4 6

ey[m]

θCM

[rad]

ASSRSSCQCTORSDIN

a.) b.)

Fig. 3.11 Rotirea CM, CMuθ pentru nivelul L2: a) TL Bucureşti’77 NS ; b) TI Bucureşti’77 NS Regulile de combinare modală aplicate în calculul cu metoda SESA oferă rezultate diferite în ceea ce priveşte rotirea totală a CM. Valorile obţinute prin regula AS sunt cele mai mari, detaşându-se faţă de cele calculate cu regulile SRSS şi CQC. Diferenţele cresc odată cu valoarea excentricităţii CM faţă de CR. Pentru nivelul de intensitate L1 regula de combinare AS se dovedeşte a fi cea mai realistă, iar pentru nivelul de intensitate L2, regula de combinare CQC.

În cazul structurii cu torsiune liberă, majoritatea valorilor rotirii totale a CM determinate prin metoda SESA sunt apropiate de cele obţinute prin calcul dinamic neliniar.

În cazul structurii cu torsiune împiedicată, majoritatea valorilor rotirii totale a CM determinate prin metoda SESA, sunt acoperitoare mai ales pentru nivelul de intensitate L2.

Datorită surplusului de rigiditate dat de pereţii P3 şi P4 atunci când pereţii P1 şi P2 au depăşit pragul elastic, mărimea rotirii totale a CM este mai mică (cu până la 50%) în cazul structurii cu răsucire împiedicată faţă de cazul structurii cu răsucire liberă.

Este de remarcat faptul că valorile rotirii totale a CM, estimate prin calcul convenţional elastic cu forţe laterale conform P100-1/2006 sunt descoperitoare pentru ambele tipuri structurale şi ambele accelerograme utilizate. Totuşi, având în vedere faptul că răspunsul de translaţie în CM este supraevaluat de cod, se poate spune că, într-o apreciere globală, aplicarea prevederilor normativului P100-1/2006 duce la o estimare descoperitoare a răspunsului structurilor nesimetrice analizate în cazul accelerogramei Bucureşti’77NS şi acoperitoare pentru accelerograma Focşani’86N0,7W.

ux1-TL

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

-6 -4 -2 0 2 4 6

ey[m]

u x1 [

m]

CQC

TORSDIN

P100

ABSSUM

ux1-TI

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

-6 -4 -2 0 2 4 6

ey[m]

ux1 [m

]

CQCTORSDINP100ABSSUM

a) b)

Fig. 3.12 Deplasarea peretelui P1, 1Pxu pentru nivelul L1: a) TL Bucureşti’77 NS; b) TI Bucureşti’77 NS

Rezumat

25

Rezultatele obţinute prin metoda SESA nu depind de semnul excentricităţii (sunt simetrice în raport cu originea). Rezultatele determinate prin calcul dinamic neliniar nu respectă această regulă iar principala explicaţie este influenţa modificării poziţiei centrului de rezistenţă.

ux1-TL

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

-6 -4 -2 0 2 4 6

ey[m]

u x1 [

m] CQC

TORSDIN

ABSSUM

ux1-TI

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

-6 -4 -2 0 2 4 6

ey[m]

ux1 [m

] CQCTORSDINABSSUM

a) b)

Fig. 3.13 Deplasarea peretelui P1, 1Pxu pentru nivelul L2: a) TL Bucureşti’77 NS; b) TI Bucureşti’77 NS

Examinând rezultatele calculului comparativ reprezentate în fig.3.12, fig.3.13, fig. 3.14 şi fig. 3.15 (referitoare la deplasarea pereţilor P1 şi P2) , se constată următoarele:

În cazul structurii cu torsiune liberă se observă variaţii mari ale deplasărilor totale ale pereţilor P1 şi P2, în funcţie de excentricitate, atât pentru rezultatele calculului prin metoda SESA, cât şi pentru rezultatele calculului dinamic neliniar. Pentru structura cu torsiune impiedicata aceste variaţii sunt mult atenuate. Totuşi, rezultatele celor două metode de calcul au aceeaşi tendinţă.

Peretele P2 are o rigiditate inferioară peretelui P1 şi este de aşteptat să înregistreze deplasări mai mari. Această presupunere este confirmată de rezultatele metodei SESA.

Pentru nivelul de intensitate L1 metoda SESA subevaluează deplasarea pereţilor P1 şi P2. Pentru domeniul de excentricitate negativă, adică atunci când CM se apropie de peretele P1 (şi se obţin deplasările totale maxime în peretele P1), rezultatele metodei SESA pentru nivelul de intensitate L2 sunt apropiate de cele ale calculului dinamic neliniar (mai ales pentru accelerograma Focşani’86N0,7W). Pentru zona de excentricitate pozitivă, adică atunci când CM se apropie de peretele P2 (şi se obţin deplasările totale maxime în peretele P2), rezultatele metodei SESA pentru nivelul de intensitate L2 sunt apropiate de cele ale calculului dinamic neliniar (mai ales pentru structura cu torsiune împiedicată).

Conform calculului static era de aşteptat ca peretele P1 (care este mai puternic), să nu înregistreze iar peretele P2 (care este mai slab) să înregistreze deplasări mult diferite faţă de situaţia structurii simetrice. Totuşi se înregistrează variaţii de moderate de deplasare ale pereţilor P1 şi P2 faţă de situaţia structurii simetrice, ceea ce denotă faptul că abordarea statică nu surprinde suficient de bine comportarea unei structuri nesimetrice la acţiuni seismice.

Rezultatele calculului conform P100-1/2006 sunt descoperitoare pentru accelerograma Bucureşti’77 NS şi acoperitoare pentru accelerograma Focşani’86N0,7W. Spre deosebire de calculul convenţional elastic cu forţe laterale conform P100-1/2006, metoda SESA este de cele mai multe ori în acord cu tendinţa rezultatelor obţinute prin calcul dinamic neliniar.

Rezumat

26

ux2-TL

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

-6 -4 -2 0 2 4 6

ey[m]

u x2 [

m]

CQC

TORSDIN

P100

ABSSUM

ux2-TI

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

-6 -4 -2 0 2 4 6

ey[m]

ux2 [m

]

CQCTORSDINP100ABSSUM

a) b)

Fig. 3.14 Deplasarea peretelui P2, 2Pxu pentru nivelul L1: a) TL Bucureşti’77NS; b) TI Bucureşti’77NS

ux2-TL

0.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90

-6 -4 -2 0 2 4 6

ey[m]

u x2 [

m] CQC

TORSDIN

ABSSUM

ux2-TI

0.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90

-6 -4 -2 0 2 4 6

ey[m]

ux2 [m

] CQCTORSDINABSSUM

a) b)

Fig. 3.15 Deplasarea peretelui P2, 2Pxu pentru nivelul L2: a) TL Bucureşti’77NS; b) TI Bucureşti’77NS

3.4 Concluzii asupra rezultatelor studiului comparativ Pentru situaţiile analizate în acest studiu comparativ, metoda SESA de determinare a amplificării deplasărilor structurale datorate torsiunii generale, bazată pe calculul spectral utilizând spectre supraamortizate, oferă de multe ori rezultate apropiate de cele ale calculului dinamic neliniar.

Cu toate că eroarea provenită din înlocuirea structurii reale cu o structură echivalentă la translaţie a putut fi eliminată complet prin calibrare iterativă, echivalarea sistemului neliniar cu un sistem liniar are deficienţe pentru perioade de colţ mari. Această observaţie este susţinută de estimarea mai bună a rezultatelor calculului dinamic neliniar prin metoda SESA propusă, în cazul accelerogramei Focşani’86N0,7W (Tc=1s) faţă de accelerograma Bucureşti’77 NS (Tc=1,6s).

Pornind de la această constatare, se poate aprecia că metoda SESA reuşeşte să evidenţieze într-o manieră suficient de exactă amplificarea deplasărilor structurale datorită torsiunii. De asemenea, calculul cu metoda SESA reflectă mai bine răspunsul structural (de translaţie şi torsiune) decât calculul convenţional elastic cu forţe laterale conform P100-1/2006. Pe de altă parte, calculul simplificat conform codului nu se poate aplica în forma actuală deoarece tratează o singură stare limită, iar comportarea structurilor nesimetrice la acţiuni seismice depinde esenţial de intensitatea accelerogramei considerate.

Amplificările torsionale sunt mai mari în domeniul elastic decât în domeniul plastic ( SLUSLS ↔ ).

Rezultatele obţinute sunt încurajatoare pentru demararea unui studiu parametric mai larg prin care să se valideze metoda propusă pentru o plajă mai largă a perioadelor, configuraţiilor structurale şi a accelerogramelor utilizate. De asemenea, se urmăreşte concretizarea în relaţii

Rezumat

27

simple a influenţei torsiunii asupra răspunsului structural şi astfel îmbunătăţirea prevederilor incluse la ora actuală în normele de proiectare, referitoare la torsiunea de ansamblu.

4. Studiu parametric privind răspunsul seismic de torsiune obţinut comparativ prin metode de calcul elastic simplificat şi prin calcul dinamic neliniar 4.1 Introducere În urma validării metodei simplificate SESA prin studiul comparativ descris în capitolul 3.3.5, s-a efectuat un studiu parametric larg, ce urmăreşte să evidenţieze modificarea răspunsului structurilor nesimetrice cu variaţia unor caracteristici de bază ale structurii şi acţiunii. Se are în vedere şi valorificarea rezultatelor studiului prin corectarea unor valori de calcul utilizate în metodele de calcul de tip curent, care să permită o evaluare mai realistă decât în prezent a răspunsului seismic de torsiune. Metodele simplificate analizate sunt:

a) metoda de calcul static elastic cu forţe echivalente, dată în codurile de proiectare b) metoda SESA descrisă în capitolui 3.3.1 c) metoda de calcul cu excentricităţi echivalente, similară metodei a), dar care foloseşte excentricităţi îmbunătăţite (echivalente). Metoda este descrisă în capitolul 4.4.

Relevanţa rezultatelor oferite de metodele simplificate utilizate, este verificată prin comparaţie cu rezultatele calculului dinamic neliniar efectuat cu programul Torsdin [18].

Tabel 4.1 Generarea cazurilor analizate în cadrul studiului parametric structură dimensiuni în plan

[m] perioadă de translaţie [s]

stare limită accelero-grame

TL 11x44 0.3 SLS, SLU, SLSV 1+5* 0.7 SLS, SLU, SLSV 1+5* 1.6 SLS, SLU, SLSV 1+5* 22x22 0.3 SLS, SLU, SLSV 1+5* 0.7 SLS, SLU, SLSV 1+5* 1.6 SLS, SLU, SLSV 1+5*

TI 11x44 0.3 SLS, SLU, SLSV 1+5* 0.7 SLS, SLU, SLSV 1+5* 1.6 SLS, SLU, SLSV 1+5* 22x22 0.3 SLS, SLU, SLSV 1+5* 0.7 SLS, SLU, SLSV 1+5* 1.6 SLS, SLU, SLSV 1+5*

* S-au utilizat în fiecare caz o accelerogramă înregistrată şi cinci accelerograme compatibile cu spectrele de proiectare (pentru perioade de colţ de 1,6s; 1,0s; 0,7s şi 0,5s).

Studiul parametric consideră patru alcătuiri structurale de bază (două având răsucire liberă (TL), iar două răsucire împiedicată (TI)) din care derivă 12 structuri, analizate pentru 24 de accelerograme (înregistrări originale şi accelerograme compatibile cu spectrele de proiectare din P100–1/2006 şi EN 1998-1:2004) scalate pentru trei stări limită (starea limită de serviciu, starea limită ultimă şi starea limită de supravieţuire). Pentru fiecare caz analizat (vezi tabel 4.1) s-a considerat variaţia excentricităţii statice cu până la ± 20% din latura structurii perpendiculară pe direcţia acţiunii seismice (în paşi de 1%). Astfel se ajunge la un număr de 14596 situaţii analizate (vezi tabelul 4.1).

Mărimile comparate în cadrul studiului parametric sunt deplasarea în centrul maselor ( CMxu ),

rotirea structurală (θ) şi deplasările pereţilor structurali situaţi pe conturul clădirii ( 31 , Px

Px uu ), paralel

cu direcţia acţiunii seismice (vezi fig. 4.1).

Rezumat

28

Fig. 4.1 Deplasare structură neregulată în plan la acţiune unidirecţională

4.2 Descrierea structurilor analizate Studiul parametric analizează răspunsul de torsiune al structurilor cu un singur nivel şi neregulate în plan, care evidenţiază suficient de fidel comportarea structurilor cu mai multe niveluri care îndeplinesc următoarele condiţii:

la toate nivelurile, centrul maselor (CM) şi centrul de rigiditate (CR) se situează aproximativ pe aceeaşi verticală

rigiditatea plăcilor în planul lor este foarte mare comparativ cu rigiditatea laterală a elementelor structurale verticale.

În studiu s-au considerat două structuri de bază, caracterizate prin arii egale ale planşeului şi prin raporturi diferite ale laturilor structurii în plan (vezi tabel 4.2). Ambele structuri sunt structuri idealizate, cu un singur nivel, alcătuite din pereţi structurali încastraţi la bază şi conectaţi printr-un planşeu infinit rigid. Structurile dublu simetrice, cu câte trei pereţi structurali pe fiecare direcţie principală, au fost analizate în varianta structurală cu răsucire liberă, respectiv împiedicată (vezi fig.4.2 şi fig.4.3). Masa structurii este concentrată în centrul de masă (CM).

Structura cu torsiune împiedicată din fig. 4.2 b a fost obţinută prin modificarea structurii cu torsiune liberă din fig. 4.2 a, dispunând două elemente marginale perpendicular pe direcţia de atac a seismului.

a.) b.) Fig. 4.2 Structură de bază: a.) cu răsucire liberă (TL); b.) cu răsucire împiedicată (TI)

Structurile din figurile 4.2 a şi b sunt denumite structuri de bază. În această situaţie, centrul de rigiditate (CR), centrul de rezistenţă (CF) şi centrul maselor (CM), coincid. Structurile nesimetrice

1

X

YF y

C R = C M = C F

3

2

4

B

AA /2A /2

B/2

B/2

1

X

YF y

C R = C M = C F

3

24

5

6

B

AA /2A /2

B/2

B/2

Rezumat

29

derivate se obţin prin mutarea CR şi CF pe direcţia axei y cu până la ± 20% din latura clădirii perpendiculară pe direcţia acţiunii seismice, faţă de poziţia lor din structura de bază.

Spre deosebire de studiul comparativ din capitolul 3.3.5, în studiul parametric s-a optat pentru mutarea CR şi CF şi menţinerea poziţiei CM constantă, modificând în consecinţă programul de calcul dinamic neliniar Torsdin [18]. Astfel structurile derivate nu mai au pereţi identici.

Dintre cele două variante, mutarea CR şi CF modelează mai fidel realitatea, în care nesimetria structurală provine mai rar din variaţia distribuţiei maselor.

În schimb, varianta mutării CM oferă avantajul unei programări facile.

Diferenţele între rezultatele obţinute prin cele două abordări cresc o dată cu excentricitatea statică şi se datorează distanţelor inegale cu care rigidităţile la translaţie ale elementelor structurale intră în componenţa rigidităţii rotaţionale a structurii.

Structurile analizate în studiul parametric au pereţii structurali dispuşi simetric faţă de centrul geometric al planşeului. S-a optat pentru această alcătuire structurală, în detrimentul celei considerate în studiul comparativ din capitolul 3.3.5. În cazul acesteia, aportul peretelui mai apropiat de CM în rigiditatea structurală rotaţională, este nul (pentru excentricitate de -25% din latura structurii perpendiculară pe direcţia acţiunii seismice), ceea ce duce la sporirea rotirii planşeului, amplificând excesiv deplasarea peretelui mai îndepărtat de centrul planşeului.

Planşeele structurilor au greutatea totală de 4840kN (corespunzătoare p = 10kN/m2) cu momentul masic Ipm conform tabelului 4.2, iar capacitatea de rezistenţă la translaţie este de 0.15G, adică Fy = 726 KN în fiecare direcţie. Peretele amplasat în centrul de simetrie al structurii pe direcţia acţiunii seismice are o capacitate de rezistenţă constantă egală cu 1/3Fy. Excentricitatea statică şi cea de rezistenţă se obţin prin modificarea raportului rgidităţilor de translaţie respectiv al forţelor de curgere din pereţii amplasaţi pe conturul clădirii, paralel cu direcţia acţiunii seismice. Rigidităţile la translaţie şi forţele de curgere în pereţii situaţi perpendicular pe direcţia acţiunii seismice (la TI) sunt egale cu 1/3Fy, neexistând excentricitate pe direcţia x.

Pereţii structurali sunt modelaţi ca resorturi biliniare (elastic-perfect plastice) acţionând pe direcţia x şi pe direcţia y.

Rigiditatea totală de translaţie pe fiecare direcţie este dictată de alegerea perioadei proprii fundamentale a structurii analizate (1.6s, 0.7s sau 0.3s) şi nu se modifică o dată cu excentricitatea.

Tabel 4.2 Tip structural A[m] B[m] Ipm [tm2]

11x44 44 11 84573 22x22 22 22 39799

4.3 Descrierea acţiunii seismice considerate În studiu s-a considerat pentru fiecare din perioadele de colţ alese, câte o accelerogramă înregistrată şi câte cinci accelerograme artificiale, compatibile cu spectrele de proiectare din P100–/2006 (pentru Tc=1.6s, Tc=1.0s şi Tc=0.7s). În cazul Tc=0.5s s-au considerat trei accelerograme artificiale, compatibile cu spectrul de proiectare din EN 1998-1:2004 pentru categoria B de teren. În tabelul 4.3 sunt centralizate accelerogramele utilizate, împreună cu reprezentarea spectrelor de răspuns.

Accelerogramele înregistrate au fost alese astfel încât perioada lor de colţ să fie apropiată de cea aleasă pentru studiu. Prin considerarea unei game variate de valori pentru perioada de colţ a acţiunii seismice şi pentru perioada proprie fundamentală a structurilor analizate, s-a urmărit

Rezumat

30

acoperirea unei varietăţi mari de situaţii (atât din punct de vedere al amplasamentului, cât şi din punctul de vedere al alcătuirii structurale).

Accelerogramele artificiale produc spectre de deplasare mai line decât accelerogramele naturale şi facilitează identificarea caracteristicilor sistemului echivalent din metoda SESA.

Tabel 4.3 Accelerograme utilizate

Accelerogramele au fost scalate pentru două niveluri de intensitate: 0,2g (nivelul L1) şi 0,4g (nivelul L2). Se poate considera că nivelul de intensitate L1 corespunde

stării limită ultime (SLU), iar nivelul de intensitate L2, stării limită de supravieţuire (SLSV). Intensitatea acţiunii seismice pentru SLSV a fost aleasă dublă faţă de cea pentru SLU din dorinţa de a evalua comportarea structurală la o intensitate seismică mult mai mare decât cea prevăzută pentru calcul în codurile de proiectare (corespunzătoare SLU). Pentru a determina comportarea structurilor analizate la starea limită de serviciu (SLS), s-au efectuat şi calcule în domeniul elastic de comportare.

Tc [s] Accelerograme înregistrate

Accelerograme compatibile cu spectre de proiectare

1.6 Incerc ‘77 NS comp 1,6-1 comp 1,6-2 comp 1,6-3 comp 1,6-4 comp 1,6-5

1.0 Focsani ’86 13 comp1-1 comp 1-2 comp1-3 comp 1-4 comp 1-5

0.7 Focsani86 11 comp 0,7-1 comp 0,7-2 comp 0,7-3 comp 0,7-4 comp 0,7-5

0.5 ElCentro ’40 EW comp 0,5 -1 comp 0,5 -2 comp 0,5-3

ξ = 0,05

Rezumat

31

4.4 Parametri analizaţi Răspunsul unei structuri nesimetrice în plan este afectat de numeroşi parametri, unii specifici domeniului elastic, alţii specifici domeniul inelastic de comportare (a se vedea capitolul 2.1). În studiul parametric efectuat în cadrul lucrării de doctorat s-au selectat următorii parametri:

yω (frecvenţa proprie de translaţie), yωωθ / (raportul între frecvenţa proprie torsională şi cea de translaţie a sistemului simetric corespondent), re / ( raportul între excentricitatea de rigiditate şi raza de giraţie a planşeului), ξ (fracţiunea din amortizarea critică), xγ (rigiditate torsională relativă), pe ( excentricitatea de rezistenţă), yu (deformaţia la curgere a sistemului simetric corespunzător).

Factorul de suprarezistenţă sO s-a considerat egal cu unu, pentru a nu afecta gradul de generalitate al rezultatelor obţinute, suprarezistenţa fiind influenţată de prevederile normelor de proiectare utilizate. Forţele echivalente din metoda de calcul elastic s-au determinat împărţind forţele de intrare în curgere la factorul 1,5, luând astfel în considerare diferenţa între rezistenţele medii şi a cele de calcul.

Structurile analizate sunt caracterizate prin rigidităţi de translaţie egale pe cele două direcţii pricipale ale structurii.

S-au considerat trei valori yω , indicate în tabelul 4.4, împreună cu valorile perioadelor proprii de

translaţie, yT , corespunzătoare.

Tabel 4.4

yω [rad/s] 20.933 8.971 3.925

yT [s] 0.3 0.7 1.6

Raportul yωωθ / se modifică doar prin modificarea termenului θω deoarece s-a urmărit separarea influenţei rigidităţii rotaţionale. Acest lucru s-a obţinut prin alegerea a două structuri de bază, caracterizate prin aceeaşi arie a planşeului, însă prin dimensiuni diferite ale laturilor. Astfel se modifică momentul de inerţie masic însă nu şi masa planşeului. Valorile considerate pentru raportul yωωθ / sunt date în tabelul 4.5.

Dimensiunile laturilor structurilor analizate sunt 11x44 şi 22x22. TL şi TI sunt prescurtările pentru structura cu torsiune (răsucire) liberă, respectiv pentru structura cu torsiune (răsucire) împiedicată.

Tabel 4.5

Tip structură yωωθ / [-] pee = [m] re / [-]

xγ [-]

11x44 TL 1.372 0

TI 1.3933* -8.8....8.8 -0.672…0.672

0.0303

22x22 TL 1 0

TI 1.225* -4.4...4.4 -0.49…0.49

0.333

* În rigiditatea torsională s-a considerat rigiditatea la translaţie a pereţilor amplasaţi perpendicular pe direcţia de acţiune a seismului redusă la jumătate (deoarece aceşti pereţi nu sunt solicitaţi din transaţie, ci doar din rotire).

Rezumat

32

Situaţiile analizate se caracterizează prin excentricităţi de rigiditate şi de rezistenţă egale, pee = , obţinute prin mutarea centrelor de rigiditate şi de rezistenţă cu până la ± 20%, cu paşi de 1% din latura structurii perpendiculară pe direcţia acţiunii seismice. Valorile considerate pentru excentricităţile de rigiditate şi rezistenţă, cât şi pentru raportul re / sunt date în tabelul 4.5.

Metoda de calcul simplificat SESA se bazează pe metoda spectrului capacităţii şi presupune identificarea unui sistem elastic (caracterizat prin perioadă şi amortizare echivalente) a cărui deplasare ultimă să fie egală cu deplasarea sistemului neliniar iniţial. Din procesul de echivalare rezultă valori ale amortizării critice diferite pentru fiecare structură analizată şi pentru fiecare accelerogramă considerată. În studiul parametric efectuat s-au obţinut valori ale amortizării critice între 2.24% şi 133% (valoare aflată în afara domeniului real, însă care defineşte o structură elastică fictivă, echivalentă la translaţie cu structura reală cu comportare neliniară).

Parametrul xγ variază împreună cu tipul structural. Valorile sale se găsesc în tabelul 4.5.

Valorile deformaţiei la curgere a sistemului simetric corespunzător, yu , variază cu perioada proprie de translaţie a structurii considerate.

4.5 Metoda excentricităţii echivalente Prin îmbunătăţirea metodei de calcul static elastic cu forţe echivalente s-a încercat în acest studiu, stabilirea unei proceduri de calcul care să reflecte suficient de exact comportarea structurilor nesimetrice la solicitarea de torsiune de ansamblu şi să fie suficient de simplă pentru a putea fi aplicată în proiectarea curentă.

Metoda excentricităţii echivalente utilizează calculul static elastic cu forţe echivalente promovat de codurile de proiectare actuale şi determină excentricitatea statică echivalentă pentru care se obţin deplasările pereţilor structurali determinate prin calcul dinamic neliniar.

Excentricitatea echivalentă eechiv se pune sub forma relaţiei (4.1). Determinarea ei implică evaluarea coeficienţilor α şi β care multiplică excentricitatea statică iniţială, e, respectiv dimensiunea structurii în plan pe direcţie perpendiculară pe direcţia acţiunii seismice, A (de care depinde excentricitatea accidentală).

eechiv= αe+ βA (4.1)

În relaţia (4.1) α, β şi e pot avea atât valori pozitive, cât şi valori negative.

Studiul a urmărit:

stabilirea valorilor α şi β care să ducă la rezultate suficient de exacte pentru întreg domeniul de excentricităţi statice considerate pentru un caz analizat. Determinarea excentricităţii echivalente se face pe baza deplasărilor pereţilor structurali obţinute din calculul dinamic neliniar;

determinarea pe grupe de structuri şi stări limită a unor valori fixe (mediate) ale coeficienţilor α şi β care să poată fi utilizaţi pentru stabilirea excentricităţii de calcul din metoda a).

În continuare este prezentată procedura de calcul pentru evaluarea excentricităţii echivalente:

(i) se exprimă toţi termenii ce apar în calculul static elastic cu forţe echivalente în funcţie de excentricitate, iniţial necunoscută (vezi relaţiile (4.2) până la (4.6) şi fig. 4.2 a şi b).

eAd +=21 ; eAd −=

23 (4.2)

Rezumat

33

AdK

K tt 3

2 31 = ;

32t

tK

K = ;AdK

K tt 3

2 13 = (4.3)

36

22233

22

211

KeKAdKeKdKK ttt −=++=θ pentru TL (4.4)

=++++= 264

233

22

211 )2/)((5,0 BKKdKeKdKK tttttθ

1236

222 BKeKAK ttt +−= pentru TI (4.5)

θ

θK

ecqFb )(−= (4.6)

unde: 31 ,dd - distanţele între centrele de greutate ale pereţilor P1 şi P3 şi CR=CF

∑=

=3,2,1i

tit KK - rigiditatea totală de translaţie

61... tt KK - rigidităţi individuale de translaţie ale pereţilor structurali P1...P6 θK - rigiditatea structurală rotaţională

θ - rotirea structurii A, B – dimensiunile structurii în plan c - coeficient de amplificare a deplasărilor în domeniul T<Tc q – factor de comportare

bF - forţa seismică de calcul egală cu Fy/1.5, unde Fy reprezintă forţa de intrare în curgere a structurii. Factorul de suprarezistenţă egal cu 1.5 ţine seama de diferenţa între rezistenţele de calcul şi cele medii respectiv de redundanţa structurală.

În studiul parametric 6542 tttt KKKK === 6542 tttt KKKK === (la TL pereţii P4, P5 şi P6 au aceeaşi poziţie în plan) deoarece s-a considerat numai excentricitate pe axa y, obţinută din modificarea rigidităţii respectiv a forţei de curgere, în pereţii situaţi pe conturul clădirii, paralel cu direcţia acţiunii seismice.

În relaţia (4.6) excentricitatea statică are semn negativ deoarece rotirea antiorară este considerată pozitivă.

Pentru majoritatea structurilor TI analizate, SESA subevaluează rotirile structurale date de CDN. Pentru a corecta acest neajuns, s-a afectat rigiditatea la translaţie a pereţilor amplasaţi perpendicular pe direcţia acţiunii seismice cu 0,5, în calculul rigidităţii rotaţionale. Nu s-a afectat (suplimentar faţă de echivalare) rigiditatea pereţilor amplasaţi paralel cu direcţia acţiunii seismice deoarece acest lucru ar influenţa şi răspunsul structural de translaţie (dictat de structura înlocuitoare).

(ii) se determină deplasarea centrului de rigiditate, CRxu :

t

bCRx K

Fcqu = (4.7)

(iii) se scriu relaţiile deplasărilor în pereţii P1 şi P3, 1Pxu şi 3P

xu , faţă de centrul de rigiditate

deoarece CRxu nu depinde de excentricitate.

Rezumat

34

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=+=

23

11

duuduu

CRx

Px

CRx

Px

θθ

(4.8)

Fiecare relaţie din (4.8) reprezintă o ecuaţie de gradul 2 în e.

(iv) se determină câte o soluţie pentru fiecare din cele două ecuaţii:

]

3)[(2

)(6

]3

)[(4)2

(2

1

12

12

1

btP

xCRx

CRx

Px

tb

tPx

CRx

bb

cqFK

uu

uuAK

cqFK

uucqAFcqAF

e−−

−−−−−= (4.10)

]

3)[(2

)(6

]3

)[(4)2

(2

3

32

32

2

btCR

xPx

CRx

Px

tb

tCRx

Px

bb

cqFK

uu

uuAK

cqFK

uucqAFcqAF

e+−

−+−+−= (4.10)

(v) se scriu relaţii de forma ecuaţiei (4.1) pentru excentricităţile echivalente e1 şi e2 determinate anterior.

(vi) se rezolvă sistemul de ecuaţii obţinut şi se determină valorile coeficienţilor α şi β.

Relaţiile (4.8), (4.9) şi (4.10) sunt valabile pentru structurile cu torsiune liberă. În cazul structurilor cu torsiune împiedicată ele se modifică datorită relaţiei diferite pentru θK (vezi (4.5)), care influenţează relaţia pentru θ .

Parcurgând etapele de calcul invocate, se obţine o pereche de valori ale coeficienţilor α şi β pentru fiecare valoare a excentricităţii statice (ce variază cu paşi de 1% între -20% şi 20% din latura structurii perpendiculară pe direcţia de acţiune a seismului).

Rezultatele obţinute indică valori ale excentricităţilor echivalente ce depăşesc de multe ori conturul structurii în plan, arătând că punctul faţă de care se rotesc structurile analizate nu este centrul de rigiditate, nici cel de rezistenţă, ci de multe ori un punct oarecare situat în afara perimetrului structurii. Altfel spus, excentricităţile echivalente reprezintă mărimi abstracte, necorelate cu geometria structurii analizate.

4.6 Rezultatele studiului parametric Studiul parametric efectuat analizează două structuri de bază cu arie de planşeu egală şi raport diferit al laturilor, în varianta cu răsucire liberă respectiv împiedicată (vezi fig.4.2 şi fig.4.3). Din fiecare structură de bază derivă câte trei structuri ce se diferenţiază prin perioada proprie de translaţie (care poate fi egală cu 1.6s, 0.7s sau 0.3s). O dată cu modificarea perioadei proprii de translaţie se schimbă şi rigiditatea la translaţie a structurii. Forţa de intrare în curgere ( yF ) nu se modifică la schimbarea perioadei proprii de translaţie.

Diferenţele între cazurile studiului parametric derivă din variaţia unuia sau a mai multor parametri luaţi în considerare, descrişi în capitolul al doilea al acestei lucrări.

În cazul accelerogramelor artificiale, s-au mediat rezultatele obţinute.

Mărimile de răspuns comparate sunt următoarele:

Translaţia centrului maselor, CMxu

Rezumat

35

Rotirea structurii, θ Deplasarea înregistrată în dreptul peretelui P1, 1P

xu Deplasarea înregistrată în dreptul peretelui P3, 3P

xu

Reprezentările grafice ale mărimilor de răspuns comparate sunt similare celor prezentate în capitolul 3.3.5, numărul mare al acestora nepermiţând expunerea lor detaliată în acest rezumat.

4.7 Concluzii Răspunsul seismic de torsiune este descris cel mai bine cu ajutorul calculului dinamic neliniar, un instrument de calcul extrem de complex.

Studiile efectuate nu pot evidenţia legităţi cantitative clare pentru caracterizarea comportării structurilor la solicitarea de torsiune de ansamblu. Astfel, variaţia parametrilor de bază ai răspunsului seismic nu atrage întotdeauna acelaşi tip de variaţie a caracteristicilor răspunsului (deplasări şi rotiri structurale), fie ca mărime a efectelor, fie chiar ca sens al influenţelor.

Cu alte cuvinte, răspunsul seismic de torsiune păstrează un caracter aproape aleator, iar controlul parametrilor nu asigură şi un control corespunzător al răspunsului.

Pe de altă parte metodele de calcul (şi implicit programele de calcul) aplicabile solicitării de torsiune de ansamblu sunt foarte complexe, iar interpretarea rezultatelor reclamă un volum foarte mare de muncă şi timp de lucru.

Preocuparea, în aceste condiţii de a dezvolta metode mai simple, dar care să se apropie din punctul de vedere al rezultatelor de calculul dinamic neliniar, este foarte firească.

În teză s-au încercat două abordări ale problemei:

a) dezvoltarea unei metode de calcul simplificat în domeniul elastic (SESA), care să aproximeze rezonabil rezultatele calculului dinamic neliniar.

Metoda SESA presupune echivalarea structurii reale, având comportare neliniară, cu un sistem elastic supraamortizat. Calculul structural urmează să fie efectuat cu metoda de calcul modal cu spectre de răspuns.

Identificarea caracteristicilor sistemului echivalent s-a făcut în două variante:

o variantă iterativă mai riguroasă, bazată pe valorile deplasărilor furnizate de calculul dinamic neliniar

una aproximativă, bazată e relaţii larg acceptate în literatura de specialitate (vezi capitol 3.3.3)

Faptul că în teză validarea metodei simplificate SESA s-a făcut în raport cu rezultatele CDN, a permis utilizarea primei proceduri. În realitate, la proiectare, tocmai pentru a evita CDN se apelează la metoda aproximativă de identificare a caracteristicilor sistemului echivalent. În mod firesc, rezultatele în al doilea caz sunt mai puţin precise.

b) adaptarea metodei de calcul elastic cu forţe laterale prevăzută în codurile de proiectare, prin modificarea excentricităţii de calcul pentru a putea reflecta răspunsul în domeniul neliniar.

Calibrarea factorilor α şi β se face pe baza confruntării cu rezultatele calculului neliniar.

În urma studiului efectuat nu s-a putut stabili o legitate pentru determinarea unor valori ale coeficienţilor α şi β , care să aibă un grad mai mare de generalitate.

Rezumat

36

Studiul a avut în vedere compararea rezultatelor metodei de calcul elastic cu forţe laterale promovată de codurile de proiectare actuale, cu rezultatele celor două metode simplificate propuse. S-a observat că metoda de cod este inferioară celorlalte două metode simplificate propuse şi ori de câte ori este posibil, ea trebuie înlocuită cu una dintre ele.

4.7.1 Influenţa parametrilor analizaţi Unul din scopurile studiului parametric efectuat constă în identificarea influenţei parametrilor descrişi în capitolul al doilea asupra comportării la torsiune a structurilor nesimetrice analizate.

Influenţa parametrilor consideraţi este determinată în corelaţie cu rezultatele calculului dinamic neliniar, deoarece acesta descrie cel mai fidel comportarea reală a structurilor analizate (răspuns seismic cu Torsdin).

4.7.1.1 Influenţa factorului de curgere, c Factorul de curgere c reprezintă raportul între deformaţia la curgere a sistemului simetric corespunzător şi deformaţia maximă a acestuia, în domeniul elastic de comportare sub acţiunea accelerogramei selectate. Deformaţia la curgere a sistemului simetric corespunzător este constantă pentru o structură dată şi depinde de rigiditatea la translaţie a structurii analizate şi de rezistenţa acesteia. Deformaţia maximă a structurii simetrice corespunzătoare se modifică pentru o structură dată în funcţie de accelerograma considerată.

Pentru cazurile analizate creşterea factorului de curgere c produce o creştere a rotirii structurale.

Pentru structurile TL analizate şi pentru starea limită ultimă se înregistrează o creştere semnificativă a rotirii structurale cu creşterea factorului de curgere. Pentru starea limită de supravieţuire şi pentru structura TI nu se poate trage o concluzie în acest sens.

4.7.1.2 Influenţa factorilor xγ şi yωωθ /

xγ este rigiditate torsională relativă, egală cu raportul între rigiditatea torsională a elementelor structurale perpendiculare pe direcţia de acţiune a seismului şi rigiditatea torsională totală a structurii considerate. yωωθ / reprezintă raportul între pulsaţia proprie torsională şi cea laterală a sistemului simetric corespunzător.

xγ şi yωωθ / se modifică de la structura cu torsiune liberă la cea cu torsiune împiedicată şi de la structura 11x44 la structura 22x22. Creşterea celor doi factori se traduce prin mărirea ponderii pereţilor amplasaţi perpendicular pe direcţia de acţiune a seismului, în rigiditatea torsională a structurilor analizate şi produce scăderea amplitudinii răspunsului structural de torsiune (altfel spus scăderea rotirii structurale).

Diferenţele între răspunsul structurii TL şi cel al structurii TI sunt nesemnificative pentru structura 11x44, datorită braţului redus cu care pereţii amplasaţi perpendicular pe direcţia de acţiune a seismului participă la răspunsul structural. Suplimentar, rigiditatea la translaţie a pereţilor amplasaţi perpendicular pe direcţia acţiunii seismice este afectată cu factorul 0,5 pentru calculul rigidităţii structurale rotaţionale (vezi relaţia (4.5)).

Raportul yωωθ / este unitar în cazul structurii 22x22 având răsucire liberă, situaţie în care se produce o cuplare puternică a mişcărilor de translaţie şi rotire pentru valori mici ale excentricităţii. Cuplarea provoacă rotiri importante relevate de calculul dinamic neliniar şi rezultate supra- sau subevaluate (în funcţie de semnul excentricităţii) produse de metoda simplificată SESA (vezi de exemplu fig. 4.81, 4.89 şi 4.97), chiar dacă conform normelor P100–1/2006 şi EN 1998-1:2004 structura analizată este sensibilă la torsiune abia pentru excentricităţi mai mari de ±13%. Altfel

Rezumat

37

spus sistemul supraamortizat echivalent nu poate evidenţia răspunsul structurilor TL cu formă pătrată în plan pentru excentricităţi de până la ± 3% din latura perpendiculară pe direcţia acţiunii seismice.

4.7.1.3 Influenţa factorilor re / şi pe

re / este raportul între excentricitatea de rigiditate şi raza de giraţie a planşeului. Excentricitatea de rigiditate reprezintă distanţa între centrul maselor şi centrul de rigiditate. Raza de giraţie r depinde de forma planşeului şi de distribuţia masei. pe este excentricitatea de rezistenţă, adică distanţa între centrul maselor şi centrul de rezistenţă. În studiu, excentricitatea statică şi excentricitatea de rezistenţă au fost considerate egale, situaţie ce corespunde majorităţii cazurilor întâlnite în practică.

Raportul re / variază în intervalul [-0.672, 0.672] pentru structura 11x44, respectiv în intervalul [-0.49, 0.49] pentru structura 22x22. Excentricitatea statică şi cea de rezistenţă variază între -8,8m şi 8,8m pentru structura 11x44, respectiv între -4,4m şi 4,4m pentru structura 22x22.

re / şi pe variază în cadrul aceluiaşi tip structural (structură 11x44 sau 22x22 caracterizată printr-o anumită perioadă proprie de translaţie şi supusă unei anumite accelerograme), deoarece excentricitatea statică variază cu până la ±20% din latura clădirii perpendiculară pe direcţia de acţiune a seismului. Pentru situaţiile analizate, amplitudinea deformaţiilor creşte o dată cu excentricitatea statică pentru starea limită de serviciu şi starea limită ultimă, datorită amplificării mişcării de rotaţie. La starea limită de supravieţuire apar uneori plafonări ale rezultatelor sau chiar descreşteri, explicabile prin ameliorarea mişcării de rotaţie pentru incursiuni ample în domeniul neliniar de comportare. Se poate spune că sistemul cu comportare neliniară deţine o capacitate de adaptare la solicitare.

Pentru o excentricitate dată, cu cât raza de giraţie a planşeului unei structuri este mai mare, cu atât amplitudinea rotirii structurale scade. Dintre structurile analizate, structura 11x44 are planşeu cu rază de giraţie mai mare. Rezultatele prezentate indică rotiri mai mici pentru structura 11x44 faţă de structura 22x22, la SLS şi SLU. Pentru structurile analizate la SLSV de multe ori amplitudinile rotirilor structurale sunt comparabile. Pentru cazurile analizate nu se poate identifica o creştere semnificativă a rotirii structurale atunci când excentricitatea statică depăşeşte limitele impuse de [1] şi [2] (vezi relaţiile 2.4 şi 2.5).

4.7.1.4 Influenţa factorului yω

yω reprezintă pulsaţia proprie de translaţie a structurii analizate. Cu cât creşte yω , cu atât structura considerată este mai rigidă. Pentru aceeaşi structură de bază (11x44 sau 22x22 caracterizată printr-o anumită perioadă proprie de vibraţie şi supusă unei anumite accelerograme) amplitudinea deformaţiilor (atât de translaţie, cât şi de torsiune) scade o dată cu perioda proprie de translaţie datorită creşterii rigidităţii la translaţie (care produce creşterea rigidităţii torsionale). Diferenţele sunt mai mari în deplasări şi mai mici în rotiri deoarece raportul θω / yω rămâne constant.

4.7.1.5 Influenţa fracţiunii din amortizarea critică, ξ

Fracţiunea din amortizarea critică, ξ , apare ca parametru numai în cazul metodei SESA. Pentru calculul dinamic neliniar s-a luat în considerare ξ =5%. Valorile obţinute pentru ξ în procesul de echivalare a structurii cu comportare neliniară cu o structură având comportare elastică, se înscriu

Rezumat

38

într-un domeniu larg şi depind esenţial de accelerograma utilizată, chiar şi în cazul accelerogramelor compatibile cu un spectru de proiectare.

Având în vedere că amortizarea echivalentă obţinută în procesul de determinare a sistemului supraamortizat reprezintă doar o valoare teoretică convenţională, variabilitatea mare a valorilor amortizării nu influenţează aplicabilitatea metodei SESA.

4.7.1.6 Observaţii generale Diferenţele între comportarea structurii 11x44 (TL sau TI) şi a structurii 22x22 (TL sau TI) depind de starea limită la care se face calculul şi de perioada proprie de translaţie.

În general răspunsul de torsiune la SLS şi SLU, al structurilor TI 11x44 şi 22x22, este asemănător pentru o perioadă proprie de translaţie dată, indiferent de accelerograma utilizată. Acelaşi răspuns analizat la SLSV indică rotiri mai mari la structura 11x44 faţă de structura 22x22, rezultat explicabil prin braţul de pârghie mai mare al pereţilor amplasaţi perpendicular pe direcţia de acţiune a seismului la structura 22x22.

Răspunsul de torsiune la SLU, al structurilor TL 11x44 şi 22x22, indică rotiri mai mici la structura 11x44 faţă de structura 22x22, pentru o perioadă proprie de translaţie dată, indiferent de accelerograma utilizată. Acelaşi răspuns analizat la SLSV indică rotiri mai mari la structura 11x44 faţă de structura 22x22. Rezultatul se explică prin ponderea mai mare a pereţilor amplasaţi paralel cu direcţia de acţiune a seismului în răspunsul structural de torsiune la SLU, rol cedat pereţilor amplasaţi perpendicular pe direcţia de acţiune a seismului la SLSV.

Nu se poate identifica o creştere semnificativă a mărimilor de răspuns analizate pentru excentricităţi mai mari de ±13% din latura A (pentru structura 11x44) respectiv pentru excentricităţi mai mari de ±13% din latura A pentru TL, respectiv ±15% din latura A pentru TI (în cazul structurii 22x22). În unele cazuri deformaţiile scad sau rămân constante pentru e≥ ±13% (15%) din latura A, fapt ce contrazice criteriul de sensibilitate torsională dat de [1] şi [2]. Studiul efectuat arată că definirea sensibilităţii torsionale a unei structuri este dificilă, datorită dependenţei răspunsului de torsiune de acţiunea seismică şi de starea limită la care se face calculul.

Este de preferat conformarea structurală cu torsiune împiedicată, celei cu torsiune liberă, datorită faptului că are o comportare favorabilă la solicitarea de torsiune de ansamblu, indiferent de starea limită la care se face calculul. Structuri neregulate în plan, cu torsiune neîmpiedicată pot fi acceptate numai pentru comportarea elastică, respectiv pentru incursiuni reduse în domeniul neliniar de comportare.

Pentru majoritatea situaţiilor analizate în studiul parametric se observă o descreştere a deformaţiilor structurale o dată cu descreşterea perioadei de colţ a accelerogramelor utilizate. Excepţii de la această regulă apar în cazul accelerogramelor naturale.

4.7.2 Rezultatele metodelor simplificate În vederea stabilirii unor concluzii cu privire la aplicabilitatea metodelor simplificate analizate şi la gradul de aproximare al rezultatelor, s-au centralizat valorile obţinute pentru deplasarea CM, rotirea structurală şi deplasările pereţilor amplasaţi paralel cu direcţia acţiunii seismice.

S-au evaluat rezultatele metodelor simplificate în funcţie de caracterul lor acoperitor sau descoperitor, prin raportare la valorile indicate de calculul dinamic neliniar. Valorile negative ale acestor rapoarte corespund rezultatelor descoperitoare, iar cele pozitive, rezultatelor acoperitoare. În analiza statistică au fost incluse numai rezultatele obţinute pentru excentricităţi mai mici de ±10% din latura structurii perpendiculară pe direcţia acţiunii seismice. În ceea ce priveşte deplasările pereţilor, s-a considerat numai domeniul de excentricităţi pentru care prezenţa mişcării de rotire amplifică rezultatele.

Rezumat

39

În estimarea statistică au fost excluse rezultatele obţinute cu metoda SESA pentru accelerogramele artificiale caracterizate prin Tc=0,5s, deoarece conţin erori importante datorate procesului de echivalare a sistemului real cu comportare neliniară, cu un sistem liniar, echivalent la translaţie. Rezultatele SESA pentru Tc=0,5s sunt influenţate de utilizarea spectrului elastic de deplasare din normativul EN 1998-1:2004 (pentru tipul B de teren şi factorul de amortizare η ). Erorile provin din diferenţa între spectrul de deplasare supraamortizat, determinat iterativ pentru identificarea amortizării echivalente şi spectrul de proiectare afectat cu factorul η , care indică ordonatele spectrale necesare în calculul cu metoda SESA. Pentru celelalte cazuri analizate, s-au creat spectre elastice supraamortizate pentru fiecare accelerogramă, cu programul Sinel [19].

Toate reprezentările grafice următoare conţin în ordonată procentul cazurilor în care se înregistrează un anumit rezultat. Diferenţa procentuală între rezulatele metodelor simplificate şi cele date de CDN este indicată în abscisă. Se consideră ca referinţă rezultatul oferit de CDN.

4.7.2.1 Rezultate grupate pe stări limită

Starea limită de serviciu (SLS) Figura 4.156 prezintă procentul rezultatelor acoperitoare respectiv descoperitoare pentru structura cu torsiune liberă şi pentru cea cu torsiune împiedicată, obţinute din calculul la SLS.

SLS uxCM

0102030405060708090

-5 -10 -20 -30 -40 -50 <-50

>50 50 40 30 20 10 5

[%]

proc

ent

rezu

ltate

SESAcalcul static elastic

SLS θ

0

10

20

30

40

50

60

-5 -10 -20 -30 -40 -50 <-50

>50 50 40 30 20 10 5

[%]

proc

ent

rezu

ltate

SESAcalcul static elastic

a.) b.)

SLS ux1, ux3

0102030405060708090

-5 -10 -20 -30 -40 -50 <-50

>50 50 40 30 20 10 5

[%]

proc

ent

rezu

ltate

SESAcalcul static elasticcalcul echivalent

c.)

Fig. 4.156 Calculul la SLS: a.) deplasarea CM; b.) rotirea structurală; c.) deplasările pereţilor

Pentru SLS rezulatele sunt prezentate în comun pentru structurile TL şi TI, deoarece ponderea pereţilor amplasaţi perpendicular pe direcţia de acţiune a seismului în răspunsul structural de torsiune este minoră, datorită nedepăşirii pragului elastic în pereţii situaţi pe direcţia acţiunii seismice.

Rezumat

40

La starea limită de serviciu, majoritatea rezultatelor obţinute prin calcul static elastic cu forţe echivalente (promovat de codurile de proiectare actuale) sunt descoperitoare atât în termeni de deplasări, cât şi în termeni de rotiri. Majoritatea rezultatelor obţinute prin metoda simplificată SESA sunt acoperitoare cu până la 5% comparativ cu rezultatele calculului dinamic neliniar.

Calculul cu excentricităţi echivalente (considerând o singură valoare a excentricităţii echivalente pentru întreg domeniul de variaţie a excentricităţii statice, într-un caz dat) estimează cel mai bine deplasările pereţilor amplasaţi paralel cu direcţia acţiunii seismice, întrunind un procent de peste 80% din rezultatele obţinute, care supraevaluează cu mai puţin de 5% rezultatele calculului dinamic liniar efectuat cu Torsdin.

Starea limită ultimă (SLU) La SLU rezultatele sunt prezentate separat pentru TL şi TI deoarece aportul în răspunsul structural de torsiune, al pereţilor situaţi perpendicular pe direcţia de acţiune a seismului, este important.

SESA SLU uxCM

0

10

20

30

40

50

60

70

-5 -10 -20 -30 -40 -50 <-50 >50 50 40 30 20 10 5

[%]

proc

ent r

ezul

tate

TLTI

SESA SLU θ

0

10

20

30

40

50

60

70

-5 -10 -20 -30 -40 -50 <-50 >50 50 40 30 20 10 5

[%]

proc

ent

rezu

ltate

TLTI

a.) b.)

SESA SLU ux1, ux3

05

10152025303540

-5 -10 -20 -30 -40 -50 <-50 >50 50 40 30 20 10 5

[%]

proc

ent

rezu

ltate

TLTI

c.)

Fig. 4.157 Calculul la SLU prin metoda SESA: a.) deplasarea CM; b.) rotirea structurală; c.) deplasările pereţilor

Figura 4.157 prezintă procentul cazurilor în care se înregistrează rezultate acoperitoare respectiv descoperitoare pentru structura cu torsiune liberă şi pentru cea cu torsiune împiedicată, obţinute din calculul la starea limită ultimă prin metoda SESA.

La starea limită ultimă majoritatea deplasărilor CM sunt estimate acoperitor de către SESA, un procent de 65% din rezultate fiind acoperitoare cu mai puţin de 5%. Rotirea structurală este estimată mult mai bine de SESA în cazul structurii TI, faţă de cazul structurii TL. Pentru TI, 65% dintre rotiri sunt estimate de SESA acoperitor cu mai puţin de 5%. Procentul se reduce la 18%

Rezumat

41

pentru structura TL. În ceea ce priveşte deplasările pereţilor, majoritatea rezultatelor sunt acoperitoare, însă creşte substanţial numărul rezultatelor subevaluate.

În ceea ce priveşte deplasările pereţilor, procentul de rezultate descoperitoare este mai mare decât în cazul deplasării CM şi al rotirii, deoarece la deplasările pereţilor se cumulează diferenţele obţinute pentru celelalte două mărimi.

Rezultatele obţinute pentru structura cu răsucire liberă au o răspândire mare, 45% din valorile deplasărilor pereţilor fiind subevaluate, faţă de 25% pentru structura TI. După cum era de aşteptat, structurile TI au o comportare favorabilă la solicitarea de torsiune de ansamblu.

Figura 4.158 prezintă procentul cazurilor în care se înregistrează rezultate acoperitoare respectiv descoperitoare pentru structura cu torsiune liberă şi pentru cea cu torsiune împiedicată, obţinute din calculul la starea limită ultimă prin calcul static elastic cu forţe echivalente.

calcul static elastic SLU uxCM

0

5

10

15

20

-5 -10 -20 -30 -40 -50 <-50 >50 50 40 30 20 10 5

[%]

proc

ent

rezu

ltate

TLTI

calcul static elastic SLU θ

0

5

10

15

20

25

30

-5 -10 -20 -30 -40 -50 <-50 >50 50 40 30 20 10 5

[%]

proc

ent

rezu

ltate

TLTI

a.) b.)

calcul static elastic SLU ux1, ux3

0

5

10

15

20

25

30

-5 -10 -20 -30 -40 -50 <-50 >50 50 40 30 20 10 5

[%]

proc

ent r

ezul

tate

TLTI

c.)

Fig. 4.158 Calculul la SLU prin calcul static elastic: a.) deplasarea CM; b.) rotirea structurală; c.) deplasările pereţilor

La starea limită ultimă, rezultatele obţinute prin calcul static elastic cu forţe echivalente au o răspândire mare. Majoritatea deplasărilor CM sunt subevaluate, aproape 20% din ele cu peste 50%. Majoritatea rotirilor sunt subevaluate pentru structura cu răsucire liberă. Pentru structura TI 35% din rezultate sunt supraevaluate cu mai mult de 50%.

Studiul parametric efectuat arată că metoda calculului static elastic cu forţe echivalente nu este adecvată pentru determinarea răspunsului structurilor nesimetrice în plan, la SLU.

Figura 4.159 prezintă procentul cazurilor în care se înregistrează rezultate acoperitoare respectiv descoperitoare pentru structura cu torsiune liberă şi pentru cea cu torsiune împiedicată, obţinute din calculul la starea limită ultimă prin calcul cu excentricităţi echivalente.

Rezumat

42

calcul cu excentricitati echivalente SLU ux1, ux3

01020304050607080

-5 -10 -20 -30 -40 -50 <-50 >50 50 40 30 20 10 5

[%]

proc

ent r

ezul

tate

TLTI

Fig. 4.159 Calculul la SLU prin calcul cu excentricităţi echivalente. Deplasările pereţilor

La starea limită ultimă, majoritatea rezultatelor indicate de calculul cu excentricităţi echivalente sunt acoperitoare. Peste 70% dintre ele sunt acoperitoare cu mai puţin de 5% în cazul structurii cu răsucire liberă. Procentul se reduce la 60% pentru structura cu răsucire împiedicată.

Estimarea cea mai bună a rezultatelor la starea limită ultimă o oferă calculul cu excentricităţi echivalente, deşi s-a utilizat o singură valoare a excentricităţii echivalente pentru întregul domeniu de excentricităţi statice considerat în fiecare caz (caracterizat printr-o structură de bază având o anumită perioadă proprie de vibraţie şi fiind supusă unei anumite accelerograme). Inconvenientul metodei constă în faptul că acurateţea rezultatelor depinde de determinarea deplasărilor pereţilor prin calcul dinamic neliniar. Valorile coeficienţilor α şi β obţinute astfel, se înscriu într-un domeniu larg de variaţie şi nu permit identificarea unei relaţii analitice pentru determinarea lor.

Calculul static elastic cu forţe echivalente nu este adecvat pentru determinarea răspunsului structurilor nesimetrice la starea limită ultimă. Metoda SESA estimează satisfăcător deplasarea CM şi rotirea structurală la starea limită ultimă şi mai puţin satisfăcător deplasările pereţilor.

Dintre metodele simplificate analizate în acest studiu parametric, SESA îndeplineşte cel mai bine criteriile de aplicabilitate şi de acurateţe.

Starea limită de supravieţuire (SLSV) La SLSV rezultatele sunt prezentate separat pentru TL şi TI deoarece aportul în răspunsul structural de torsiune, al pereţilor situaţi perpendicular pe direcţia de acţiune a seismului, este important.

Figura 4.160 prezintă numărul de rezultate acoperitoare respectiv descoperitoare pentru structura cu torsiune liberă şi pentru cea cu torsiune împiedicată, obţinute din calculul la starea limită de supravieţuire prin metoda SESA.

La starea limită de supravieţuire majoritatea deplasărilor CM şi a rotirilor structurale indicate de metoda SESA sunt estimate acoperitor, însă şi procentul rezultatelor descoperitoare este important. Valorile obţinute sunt mai apropiate de rezultatele calculului dinamic neliniar pentru structura TI. În cazul structurii TL majoritatea rotirilor sunt subevaluate de SESA, iar 25% dintre ele sunt supra- sau subevaluate cu mai mult de 50%. Majoritatea deplasărilor pereţilor sunt estimate acoperitor de metoda SESA, cu o pondere a valorilor supraestimate cu mai puţin de 5%, de 55% pentru structura TL şi 40% pentru structura TI.

Cu toate că deplasarea CM şi rotirea structurală determinate prin metoda SESA sunt descoperitoare, deplasările pereţilor sunt estimate cu mici excepţii acoperitor. Creşterea acurateţii estimării deplasărilor pereţilor în metoda SESA poate fi explicată prin cumularea favorabilă a diferenţelor înregistrate pentru deplasarea CM şi pentru rotirea structurală.

Rezumat

43

SESA SLSV uxCM

05

10152025303540

-5 -10 -20 -30 -40 -50 <-50 >50 50 40 30 20 10 5

[%]

proc

ent

rezu

ltate

TLTI

SESA SLSV θ

05

10152025303540

-5 -10 -20 -30 -40 -50 <-50 >50 50 40 30 20 10 5

[%]

proc

ent

rezu

ltate

TLTI

a.) b.)

SESA SLSV ux1, ux

3

0

10

20

30

40

50

60

-5 -10 -20 -30 -40 -50 <-50 >50 50 40 30 20 10 5

[%]

proc

ent

rezu

ltate

TLTI

c.)

Fig. 4.160 Calculul la SLSV prin metoda SESA: a.) deplasarea CM; b.) rotirea structurală; c.) deplasările pereţilor

Figura 4.161 prezintă procentul cazurilor în care se înregistrează rezultate acoperitoare respectiv descoperitoare pentru structura cu torsiune liberă şi pentru cea cu torsiune împiedicată, obţinute din calculul la starea limită de supravieţuire prin calcul static elastic cu forţe echivalente.

calcul static elastic SLSV uxCM

0

5

10

15

20

-5 -10 -20 -30 -40 -50 <-50 >50 50 40 30 20 10 5

[%]

proc

ent

rezu

ltate

TLTI

calcul static elastic SLSV θ

0

5

10

15

20

25

30

35

-5 -10 -20 -30 -40 -50 <-50 >50 50 40 30 20 10 5

[%]

proc

ent r

ezul

tate

TLTI

a.) b.)

Rezumat

44

calcul static elastic SLSV ux1, ux3

0

5

10

15

20

25

-5 -10 -20 -30 -40 -50 <-50 >50 50 40 30 20 10 5

[%]

proc

ent

rezu

ltate

TLTI

c.)

Fig. 4.161 Calculul la SLSV prin calcul static elastic: a.) deplasarea CM; b.) rotirea structurală; c.) deplasările pereţilor

Răspândirea rezultatelor obţinute prin calcul static elastic la starea limită de supravieţuire este mare. În termeni de deplasări rezultatele nu diferă substanţial între structura cu răsucire liberă şi cea cu răsucire împiedicată. Majoritatea rotirilor sunt subevaluate de calculul static elastic pentru structura cu răsucire liberă şi sunt supraevaluate pentru structura cu răsucire împiedicată.

Figura 4.162 prezintă procentul cazurilor în care se înregistrează rezultate acoperitoare respectiv descoperitoare pentru structura cu torsiune liberă şi pentru cea cu torsiune împiedicată, obţinute din calculul la starea limită de supravieţuire prin calcul cu excentricităţi echivalente.

Calculul cu excentricităţi echivalente estimează acoperitor majoritatea deplasărilor pereţilor la starea limită de supravieţuire. Rezultatele acoperitoare cu mai puţin de 5% sunt în proporţie de 83% pentru structura cu răsucire liberă şi 78% pentru structura cu răsucire împiedicată.

calcul cu excentricitati echivalente SLSV ux1, ux3

0102030405060708090

-5 -10 -20 -30 -40 -50 <-50 >50 50 40 30 20 10 5

[%]

proc

ent r

ezul

tate

TLTI

Fig. 64.162 Calculul la SLSV prin calcul cu excentricităţi echivalente. Deplasările pereţilor

La starea limită de supravieţuire calculul cu excentricităţi echivalente estimează cel mai bine rezultatele calculului dinamic neliniar, deşi s-a utilizat o singură valoare a excentricităţii echivalente pentru întregul domeniu de excentricităţi statice considerat în fiecare caz (caracterizat printr-o structură de bază având o anumită perioadă proprie de vibraţie şi fiind supusă unei anumite accelerograme). Inconvenientul metodei constă în faptul că acurateţea rezultatelor depinde de determinarea deplasărilor pereţilor prin calcul dinamic neliniar. Valorile coeficienţilor α şi β obţinute astfel, se înscriu într-un domeniu larg de variaţie şi nu permit identificarea unei relaţii analitice de determinare a lor.

Calculul static elastic cu forţe echivalente nu este adecvat pentru estimarea răspunsului structurilor nesimetrice la starea limită de supravieţuire. Metoda SESA estimează acoperitor

Rezumat

45

majoritatea deplasărilor CM, rotirilor structurale şi deplasărilor pereţilor. Totuşi, ponderea rezultatelor subevaluate de metoda SESA este importantă.

Dintre metodele simplificate analizate în acest studiu parametric, SESA îndeplineşte cel mai bine criteriile de aplicabilitate şi de acurateţe.

4.7.2.2 Rezultate grupate în funcţie de caracteristicile acţiunii seismice Figurile 4.163, 4.164, 4.165 şi 4.166 prezintă procentul cazurilor în care se înregistrează rezultate acoperitoare respectiv descoperitoare pentru structura cu torsiune liberă şi pentru cea cu torsiune împiedicată, supuse accelerogramelor caracterizate prin cT = 0,5s, cT = 0,7s, cT = 1,0s respectiv

cT = 1,6s. Rezultatele sunt grupate pe stări limită.

Rezultatele SESA pentru Tc=0,5s au fost determinate utilizând spectrul elastic de proiectare din EN 1998-1:2004 şi factorul de amortozare η , provocând erori mai mari în procesul de echivalare. Pentru Tc=0,7s; Tc=1,0s; Tc=1,6s s-au utilizat spectre supraamortizate generate pentru fiecare accelerogramă în parte, rezultatele metodei SESA fiind mult mai bune.

Tc=0.5s SLS

0

20

40

60

80

100

-5 -10 -20 -30 -40 -50 <-50

>50 50 40 30 20 10 5

[%]

proc

ent r

ezul

tate

SESAcalcul static elasticcalcul echivalent

Tc=0.5s SLU

0

20

40

60

80

100

-5 -10 -20 -30 -40 -50 <-50 >50 50 40 30 20 10 5

[%]

proc

ent r

ezul

tate

SESA TLSESA TIcalcul st.el.TLcalcul st. el.TIcalcul echiv.TLcalcul echiv.TI

a.) b.)

Tc=0.5s SLSV

0

20

40

60

80

100

-5 -10 -20 -30 -40 -50 <-50 >50 50 40 30 20 10 5

[%]

proc

ent r

ezul

tate

SESA TLSESA TIcalcul st.el.TLcalcul st.el.TIcalcul echiv.TLcalcul echiv.TI

c.)

Fig. 4.163 Calculul cu accelerograme având Tc=0,5s: a.) SLS; b.) SLU; c.) SLSV

Cu cât creşte perioada de colţ a accelerogramei aplicate, cu atât variază într-un domeniu mai larg rezultatele metodei SESA, demonstrând dependenţa metodei de caracteristicile sistemului echivalent, obţinut prin metoda spectrului capacităţii (care implică erori mai mari pentru structuri având perioade fundamentale inferioare perioadei de colţ a mişcării terenului).

Cel puţin 50% din rezultatele metodei SESA se apropie în limita a 5% de rezultatele CDN. Procentul creşte cu scăderea perioadei de colţ, ajungând până la 70%.

Rezumat

46

Tc=0.7s SLS

0

20

40

60

80

100

-5 -10 -20 -30 -40 -50 <-50

>50 50 40 30 20 10 5

[%]

proc

ent r

ezul

tate

SESAcalcul static elasticcalcul echivalent

Tc=0.7s SLU

0102030405060708090

100

-5 -10 -20 -30 -40 -50 <-50 >50 50 40 30 20 10 5

[%]

proc

ent r

ezul

tate

SESA TLSESA TIcalcul st.el.TLcalcul st.el.TIcalcul echiv.TLcalcul echiv.TI

a.) b.)

Tc=0.7s SLSV

0

20

40

60

80

100

-5 -10 -20 -30 -40 -50 <-50 >50 50 40 30 20 10 5

[%]

proc

ent r

ezul

tate

SESA TLSESA TIcalcul st.el.TLcalcul st.el.TIcalcul echiv.TLcalcul echiv.TI

c.)

Fig. 4.164 Calculul cu accelerograme având Tc=0,7s: a.) SLS; b.) SLU; c.) SLSV

Tc=1.0s SLS

0102030405060708090

100

-5 -10 -20 -30 -40 -50 <-50

>50 50 40 30 20 10 5

[%]

proc

ent r

ezul

tate

SESAcalcul static elasticcalcul echivalent

Tc=1.0s SLU

0102030405060708090

100

-5 -10 -20 -30 -40 -50 <-50 >50 50 40 30 20 10 5

[%]

proc

ent r

ezul

tate

SESA TLSESA TIcalcul st.el.TLcalcul st.el.TIcalcul echiv.TLcalcul echiv.TI

a.) b.)

Tc=1.0s SLSV

0

20

40

60

80

100

-5 -10 -20 -30 -40 -50 <-50 >50 50 40 30 20 10 5

[%]

proc

ent r

ezul

tate

SESA TLSESA TIcalcul st.el.TLcalcul st.el.TIcalcul echiv.TLcalcul echiv.TI

c.)

Fig. 6.165 Calculul cu accelerograme având Tc=1,0s: a.) SLS; b.) SLU; c.) SLSV

Rezumat

47

Calculul static elastic cu forţe echivalente aplicat structurilor neregulate în plan duce la rezultate subestimate cu peste 50%, indiferent de starea limită la care se face calculul.

Calculul cu excentricităţi echivalente estimează cel mai bine rezultatele CDN. Indiferent de perioada de colţ a acţiunii seismice, pentru structura TL peste 70% din rezultate sunt supraevaluate cu mai puţin de 5%. Pentru TI majoritatea rezultatelor CDN sunt estimate acoperitor de calculului cu excentricităţi echivalente, cu până la 20%.

Tc=1.6s SLS

0102030405060708090

100

-5 -10 -20 -30 -40 -50 <-50

>50 50 40 30 20 10 5

[%]

resu

lts n

umbe

r [%

]

SESAcalcul static elasticcalcul echivalent

Tc=1.6s SLU

0102030405060708090

100

-5 -10 -20 -30 -40 -50 <-50 >50 50 40 30 20 10 5

[%]re

sults

num

ber [

%] SESA TL

SESA TIcalcul st.el.TLcalcul st.el.TIcalcul echiv.TLcalcul echiv.TI

a.) b.)

Tc=1.6s SLSV

0

20

40

60

80

100

-5 -10 -20 -30 -40 -50 <-50 >50 50 40 30 20 10 5

[%]

resu

lts n

umbe

r [%

] SESA TLSESA TIcalcul st.el.TLcalcul st.el.TIcalcul echiv.TLcalcul echiv.TI

c.)

Fig. 4.166 Calculul cu accelerograme având Tc=1,6s: a.) SLS; b.) SLU; c.) SLSV

Calculul cu excentricităţi echivalente efectuat presupune valori ale coeficienţilor α şi β mediate pentru domeniul de excentricităţi considerat în fiecare caz (caracterizat printr-o structură de bază având o anumită perioadă proprie de vibraţie şi fiind supusă unei anumite accelerograme). Inconvenientul metodei constă în faptul că acurateţea rezultatelor depinde de determinarea deplasărilor pereţilor prin calcul dinamic neliniar.

4.7.2.3 Rezultate grupate în funcţie de forma structurii în plan Figura 4.167 prezintă procentul cazurilor în care se înregistrează rezultate acoperitoare respectiv descoperitoare în termeni de deplasări ale CM, pentru structura cu dimensiuni în plan 11x44 respectiv 22x22, obţinute cu metodele simplificate analizate. Rezultatele sunt grupate pentru structura TL şi pentru cea TI.

SESA estimează deplasările CM mai bine pentru structura 11x44 decât pentru cea 22x22. Pentru structurile 11x44 şi 22x22 TI SESA indică rezultate acoperitoare cu mai puţin de 5% în proporţie de 60% şi rezultate acoperitoare cu mai puţin de 20% în proporţie de 85%. Pentru structura 22x22 TL, 40% dintre rezultate sunt supraestimate de SESA cu până la 30%.

Majoritatea rezultatelor determinate prin calcul static elastic sunt subevaluate, indiferent de dimensiunile în plan ale structurii analizate.

Rezumat

48

11x44 uxCM

0102030405060708090

100

-5 -10 -20 -30 -40 -50 <-50 >50 50 40 30 20 10 5

[%]

proc

ent r

ezul

tate

SESA TLSESA TIcalc.st.el. TLcalc.st.el.TI

22x22 uxCM

0102030405060708090

100

-5 -10 -20 -30 -40 -50 <-50 >50 50 40 30 20 10 5

[%]

proc

ent r

ezul

tate

SESA TLSESA TIcalc.st.el. TLcalc.st.el.TI

a.) b.)

Fig. 4.167 Deplasarea CM, uxCM: a.) structură 11x44; b.) structură 22x22

Figura 4.168 prezintă procentul cazurilor în care se înregistrează rezultate acoperitoare respectiv descoperitoare în termeni de rotiri structurale, pentru structura cu dimensiuni în plan 11x44 respectiv 22x22, obţinute cu metodele simplificate analizate. Rezultatele sunt grupate pentru structura TL şi pentru cea TI.

11x44 θ

0102030405060708090

100

-5 -10 -20 -30 -40 -50 <-50 >50 50 40 30 20 10 5

[%]

proc

ent r

ezul

tate

SESA TLSESA TIcalc.st.el. TLcalc.st.el.TI

22x22 θ

0102030405060708090

100

-5 -10 -20 -30 -40 -50 <-50 >50 50 40 30 20 10 5

[%]

proc

ent r

ezul

tate

SESA TLSESA TIcalc.st.el. TLcalc.st.el.TI

a.) b.)

Fig. 4.168 Rotirea structurală, θ : a.) structură 11x44; b.) structură 22x22

Calculul static elastic subevaluează 50% dintre rotiri în cazul structurii 11x44 cu mai mult de 50%. Pentru structura 22x22 TL, calculul static elastic subevaluează 40% dintre rotiri cu mai mult de 50%, iar pentru strucrura 22x22 TI supraevaluează 45% dintre rotiri cu mai mult de 50%.

Rotirea structurală este estimată de SESA mai bine pentru structura 11x44, însă acurateţea rezultatelor este inferoară celei pentru deplasarea CM. Rotirile supraevaluate cu mai puţin de 5% sunt în proporţie de 30% pentru structura 11x44 TL şi 5% în cazul structurii 11x44 TI. Proporţia este de 15% în cazul structurii 22x22.

11x44 ux1, ux3

0102030405060708090

100

-5 -10 -20 -30 -40 -50 <-50 >50 50 40 30 20 10 5

[%]

proc

ent r

ezul

tate

SESA TLSESA TIcalc.st.el. TLcalc.st.el.TIcalc.echiv.TLcalc.echiv.TI

22x22 ux1, ux3

0102030405060708090

100

-5 -10 -20 -30 -40 -50 <-50 >50 50 40 30 20 10 5

[%]

proc

ent r

ezul

tate

SESA TLSESA TIcalc.st.el. TLcalc.st.el.TIcalc.echiv.TLcalc.echiv.TI

a.) b.)

Fig. 4.169 Deplasările pereţilor P1 şi P3, ux1 şi ux3 : a.) structură 11x44; b.) structură 22x22

Rezumat

49

Figura 4.169 prezintă procentul cazurilor în care se înregistrează rezultate acoperitoare respectiv descoperitoare în termeni de deplasări ale pereţilor P1 şi P3 (amplasaţi paralel cu direcţia de acţiune a seismului) pentru structura cu dimensiuni în plan 11x44 respectiv 22x22, obţinute cu metodele simplificate analizate. Rezultatele sunt grupate pentru structura TL şi pentru cea TI.

Majoritatea deplasărilor pereţilor determinate prin calcul static elastic sunt subevaluate, în proporţie de 75% pentru structura 11x44, respectiv 55% în cazul structurii 22x22.

SESA oferă deplasări ale pereţilor supraevaluate cu mai puţin de 5% în proporţie de 60% pentru structura 11x44, respectiv 25% pentru structura 22x22. Ponderea rezultatelor supraevaluate cu mai puţin de 30% în cazul structurii 22x22 este de 70%.

Calculul cu excentricităţi echivalente estimează cel mai bine deplasările pereţilor, 80% (100%) dintre rezultate fiind supraevaluate cu mai puţin de 5% în cazul structurii 11x44 (22x22). Calculul cu excentricităţi echivalente utilizează o singură valoare a excentricităţii echivalente pentru întregul domeniu de excentricităţi statice considerat în fiecare caz (caracterizat printr-o structură de bază având o anumită perioadă proprie de vibraţie şi fiind supusă unei anumite accelerograme).Acurateţea mărimilor de răspuns obţinute în studiul parametric efectuat prin metode simplificate nu variază semnificativ pentru structurile TL respectiv TI.

Estimarea rezultatelor CDN prin metodele simplificate de calcul analizate este bună pentru calculul cu excentricităţi echivalente şi pentru metoda SESA şi este inadecvată pentru calculul static elastic promovat de normele în vigoare la ora actuală.

Dintre metodele simplificate analizate în acest studiu parametric, SESA îndeplineşte cel mai bine criteriile de aplicabilitate şi de acurateţe.

4.7.2.4 Rezultate pentru structurile TI analizate la SLU Datorită faptului că structurile cu torsiune împiedicată sunt cele mai des întâlnite în practică, iar în mod curent calculul structural se face la starea limită ultimă, am analizat separat rezultatele ce privesc această categorie.

Deplasările în CM şi rotirile structurale scad o dată cu scăderea perioadei de colţ a accelerogramei aplicate şi cu creşterea factorului de curgere c.

Pentru accelerogramele artificiale, fracţiunea din amortizarea critică determinată în procesul de echivalare a structurii reale (având comportare neliniară) cu o structură liniară, echivalentă la translaţie scade o dată cu scăderea perioadei de colţ a accelerogramei aplicate. Pentru accelerogramele naturale sunt excepţii de la această regulă.

În calculul cu excentricităţi echivalente, coeficientul α atinge valoarea maximă pentru Tc=1,0s la structură 11x44, indiferent de perioada proprie de vibraţie a structurii analizate. Pentru structura 22x22 coeficientul α atinge valoarea minimă pentru Tc=1,0s, indiferent de perioada proprie de vibraţie a structurii analizate. β are întotdeauna valori inferioare cu cel puţin un ordin de mărime faţă de α, însă ambii coeficienţi variază în limite largi pentru structurile analizate.

Figura 4.170 prezintă procentul cazurilor în care se înregistrează rezultate acoperitoare respectiv descoperitoare în termeni de deplasări ale CM, rotiri structurale şi deplasări ale pereţilor P1 şi P3 (amplasaţi paralel cu direcţia de acţiune a seismului) pentru structura cu dimensiuni în plan 11x44 respectiv 22x22, obţinute cu metodele simplificate analizate. Rezultatele prezentate corespund structurilor TI analizate la SLU.

Majoritatea deplasărilor CM sunt estimate acoperitor de SESA. Pentru structura 11x44 75% din rezultate sunt supraevaluate cu mai puţin de 5%, în timp ce pentru structura 22x22 procentul scade la 50%.

Rezumat

50

Majoritatea rotirilor structurale sunt supraevaluate de SESA pentru structura 22x22 şi sunt subestimate pentru structura 11x44.

TI SLU uxCM

0

20

40

60

80

100

-5 -10 -20 -30 -40 -50 <-50 >50 50 40 30 20 10 5

[%]

proc

ent r

ezul

tate

SESA 11x44SESA 22x22calc.st.el.11x44calc.st.el.22x22

TI SLU θ

0

20

40

60

80

100

-5 -10 -20 -30 -40 -50 <-50 >50 50 40 30 20 10 5

[%]

proc

ent r

ezul

tate

SESA 11x44SESA 22x22calc.st.el.11x44calc.st.el.22x22

a.) b.)

TI SLU ux1,ux3

0

20

40

60

80

100

-5 -10 -20 -30 -40 -50 <-50 >50 50 40 30 20 10 5

[%]

proc

ent r

ezul

tate

SESA 11x44SESA 22x22calc.st.el.11x44calc.st.el.22x22calc.echiv.11x44calc.echiv.22x22

c.)

Fig. 4.170 Rezultate structură TI la SLU: a.) deplasarea CM, uxCM ; b.) rotirea structurală, θ;

c.) deplasările pereţilor ux1 şi ux3

Majoritatea deplasărilor pereţilor sunt estimate acoperitor de către SESA. 45% dintre rezultate sunt supraevaluate cu mai puţin de 5% pentru structura 11x44, respectiv 30% dintre rezultate pentru structura 22x22.

Calculul static elastic supra- sau subevaluează majoritatea deplasărilor CM cu mai mult de 30%, supraestimează rotirile pentru structura 22x22 şi le subestimează pentru structura 11x44. Deplasările pereţilor sunt în egală măsură supra- şi subevaluate de calculul static elastic, 15% dintre ele cu mai mult de 50%.

Calculul cu excentricităţi echivalente estimează cel mai bine deplasările pereţilor, bazându-se însă pe valorile acestor mărimi, determinate prin CDN. 4.7.2.5 Observaţii generale Metoda simplificată SESA oferă rezultate nerealiste pentru structuri simetrice cu formă pătrată în plan (vezi rezultate prezentate în capitolul 4.6 pentru structura 22x22).

SESA poate fi aplicată şi fără cunoaşterea deplasării ultime (determinate în studiul parametric efectuat prin calcul dinamic neliniar), utilizând relaţiile existente în literatura de specialitate pentru determinarea sistemului echivalent (vezi capitolul 3.3.3). În acest caz, procedura de determinare a sistemului echivalent implică erori suplimentare ale rezultatelor, ce trebuie eliminate (de exemplu prin egalarea deplasărilor CM obţinute prin metoda SESA cu cele determinate prin calcul dinamic neliniar, pentru excentricitate nulă).

Rezumat

51

Spre deosebire de calculul static elastic cu forţe echivalente, calculul cu excentricităţi echivalente şi metoda SESA urmăresc tendinţa rezultatelor obţinute prin calcul dinamic neliniar.

Calculul cu excentricităţi echivalente nu oferă întotdeauna soluţii reale. Acest lucru se întâmplă de regulă pentru valori ale excentricităţilor mai mari de ±10% din latura structurii perpendiculară pe direcţia acţiunii seismice.

Rezultatele obţinute în calculul cu excentricităţi echivalente indică valori ale excentricităţilor echivalente ce depăşesc de multe ori conturul structurii în plan, arătând că punctul faţă de care se rotesc structurile analizate nu este centrul de rigiditate, nici cel de rezistenţă, ci de multe ori un punct oarecare situat în afara perimetrului structurii (vezi capitolul 4.5).

Calculul cu excentricităţi echivalente depinde de valorile ultime ale deplasărilor pereţilor determinate în cadrul studiului parametric prin calcul dinamic neliniar. În vederea eliminării acestui neajuns, s-a încercat identificarea unor factori α şi β cu ajutorul cărora să se poată evalua deplasările pereţilor aplicând relaţia (4.1) pentru determinarea excentricităţi echivalente. În cadrul studiului parametric efectuat, coeficienţii α şi β utilizaţi la determinarea deplasărilor pereţilor, au aceleaşi valori pentru întreg domeniul de excentricităţi analizat într-un anumit caz (caracterizat printr-o structură de bază având o anumită perioadă proprie de vibraţie şi fiind supusă unei anumite accelerograme). Valorile coeficienţilor α şi β obţinute astfel, se înscriu într-un domeniu larg de variaţie şi nu permit identificarea unei relaţii analitice pentru determinarea lor. Deducerea unei astfel de relaţii este necesară în vederea sporirii aplicabilităţii practice a calculului cu excentricităţi echivalente.

Valorile coeficientului α, care introduce influenţa excentricităţii statice, cresc o dată cu rigiditatea structurii. Altfel spus, mişcarea de rotire este mai intensă la structurile rigide, faţă de cele flexibile.

Pentru o structură dată, coeficientul α variază cu schimbarea accelerogramei aplicate cu până la 50% în cazul structurii 11x44 şi cu până la 80% pentru structura 22x22. Coeficientul β se înscrie într-un domeniu mai larg de valori, trecând pentru aceeaşi structură analizată de la valori pozitive la valori negative.

Pe baza acestor rezultate nu se pot identifica valori ale coeficienţilor α şi β cu un grad sporit de generalitate. Având în vedere acest neajuns al calculului cu excentricităţi echivalente, metoda simplificată SESA reprezintă o alternativă mai bună a calculului dinamic neliniar pentru estimarea comportării structurilor nesimetrice.

Dintre metodele simplificate analizate în acest studiu parametric, SESA îndeplineşte cel mai bine criteriile de aplicabilitate şi de acurateţe.

5. Comportarea stâlpilor de beton armat solicitaţi la compresiune excentrică oblică 5.1 Introducere Datorită fenomenului de torsiune de ansamblu, elementele verticale ale unei structuri nesimetrice în plan ajung să fie solicitate la compresiune excentrică oblică chiar dacă acţiunea orizontală este unidirecţională.

Calculul elementelor de beton armat solicitate la compresiune excentrică oblică este redus de multe ori in practica de proiectare la un calcul pe direcţiile principale ale secţiunii elementelor.

Influenţa acestei simplificări asupra rezultatelor obţinute este neglijabilă doar atunci când răspunsul elementului urmăreşte direcţia acţiunii, sau atunci când elementul considerat este dezvoltat predominant pe o anumită direcţie (pereţi).

Rezumat

52

Reprezentări grafice ale relaţiei moment capabil pe două direcţii principale - forţă axială pentru elemente de beton armat solicitate la compresiune excentrică oblică, sunt astăzi furnizate de programele de calcul curente.

Studiul parametric ce stă la baza acestei lucrări, îşi propune să evidenţieze influenţa solicitării oblice asupra deformabilităţii stâlpilor de beton armat (deplasare ultimă şi rigiditate). Studiul urmăreşte să răspundă mai ales la întrebarea dacă deplasarea unui element solicitat la compresiune excentrică oblică se produce pe direcţia forţei, sau nu.

5.2 Compresiune excentrică oblică. Parametri analizaţi Acest studiu parametric a fost realizat cu ajutorul programului de calcul pentru secţiuni de beton armat numit COBRA [23].

Mărimile şi convenţiile de semne considerate în programul de calcul, sunt evidenţiate în figurile 5.1 şi 5.2, în care:

y, z – axele principale ale secţiunii stâlpului

M – vector moment încovoietor cu înclinare ß faţă de axa z

My, Mz – componentele vectorului M după cele două direcţii principale ale secţiunii stâlpului

k – vectorul curbura cu înclinare θ0 = 90° - IθI faţă de axa z

ky, kz – componentele vectorului curbură după cele două direcţii principale ale secţiunii stâlpului

h – distanţa între fibra extremă comprimată şi axa neutră

ε – deformaţie specifică

θ – unghiul măsurat între axa z şi perpendiculara la axa neutră, dusă din centrul de greutate al secţiunii ( este negativ, aşa cum apare în fig. 5.2 )

Unghiurile se consideră pozitive în sens antiorar.

Atunci când axa neutră este paralelă cu vectorul moment încovoietor, β = θ0 (altfel spus, β + θ = 90° ).

Înclinarea vectorului moment încovoietor se caracterizează prin relaţia:

z

y

MM

tg =β (5.1)

Fig. 5.1 Direcţia vectorului moment încovoietor într-o secţiune oarecare

Rezumat

53

Fig. 5.2 Direcţia vectorului curbură într-o secţiune oarecare

Curburile din fig. 5.2 se definesc cu ajutorul valorilor k şi θ furnizate de programul COBRA şi se calculează astfel:

θθε sin*sin* kh

k y == (5.2)

θθε cos*cos* kh

kz == (5.3)

ε se măsoară la fibra extremă comprimată (vezi fig.5.2). Pentru a trece de la relaţii kM − pe secţiune la relaţii Δ−P pe element, în figura 5.3 sunt definite forţele şi deplasările pe capul stâlpului.

Fig. 5.3 Direcţia vectorului forţă şi a vectorului deplasare pe capul stâlpului

Forţele pe capul stâlpului se definesc astfel:

ββ cos*)90sin(* PPPy =−= o (5.4)

ββ sin*)90cos(* PPPz =−= o (5.5)

Deplasările pe capul stâlpului se obţin cu relaţiile:

∫=ΔH

yy xdxk0

* (5.6)

Rezumat

54

∫=ΔH

zz xdxk0

* (5.7)

Δθ reprezintă unghiul de înclinare al vectorului deplasare, măsurat de la axa z (este negativ, aşa cum apare în fig. 5.3). Δθ se determină cu relaţia:

z

yarctgΔ

Δ=Δθ (5.8)

Scopul final al acestui studiu parametric este să cerceteze forma relaţiei Δ−P şi abaterea unghiului Δθ faţă de unghiul β−o90 , adică abaterea direcţiei deplasării Δ faţă de direcţia forţei P.

5.3 Definirea secţiunilor de calcul În cadrul acestui studiu parametric s-au considerat patru tipuri reale de secţiuni şi două tipuri de secţiuni reduse la scară (vezi fig. 5.4). Materialele utilizate sunt beton C25/30 şi armatură din oţel BSt 500.

Fig. 5.4 Tipuri de secţiuni analizate

Legea de comportare pentru oţel este de tip biliniar (vezi fig. 5.5).

Pentru beton s-a considerat atât o lege constitutivă de tip parabolă-dreptunghi (vezi fig. 5.6a), cât şi o lege constitutivă cu pantă descendentă (vezi fig. 5.6b), pentru a evidenţia influenţa degradării betonului asupra rezultatelor obţinute ([5], pg.71).

Ecuaţia parabolei ce defineşte legea constitutivă a betonului în intervalul 0‰≥ 2≤ε ‰, este:

)]‰()2

)‰(([ 2 εεσ +−= cdf (5.9)

Rezumat

55

(σ-ε)armatura

050

100150200250300350400450500

0 1 2 3

ε[‰]

σ[N

/mm̂

2]σ-ε

Fig. 5.5 Lege constitutivă pentru oţel BSt 500 conform [4]

Porţiunea descendentă a legii constitutive din fig. 5.6b uneşte printr-o dreaptă punctul corespunzător valorii ‰2=ε ( 2/2,14 mmNfcd = ) cu punctul corespunzător valorii ‰5,3=ε

( 2/05,1285,0 mmNfcd = ).

(σ-ε)beton

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 1 2 3 4

ε[‰]

σ[N

/mm̂

2]

σ-ε

(σ-ε)beton

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 1 2 3 4

ε[‰]

σ[N

/mm̂

2]

σ-ε

a.) b.)

Fig. 5.6 Legi constitutive pentru beton: a.) fără degradare; b.) cu degradare

S-a utilizat pentru secţiunile analizate oţelul BSt 500 pentru a putea compara rezultatele numerice cu rezultate experimentale obţinute pe stâlpi dimensionaţi conform normei de proiectare a elementelor din beton armat DIN 1045-1.

Pentru secţiunile prezentate în fig. 5.4 s-a investigat comportarea la solicitarea de compresiune excentrică oblică pentru 7 unghiuri β (0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90°) şi pentru trei valori ale forţei axiale.

Tabelul 5.1 descrie parametrii secţiunilor analizate.

cdbhfNn = reprezintă forţa axială normalizată, unde b şi h reprezintă dimensiunile secţiunii de

beton considerate şi cdf reprezintă rezistenţa de calcul a betonului.

Au fost analizate secţiunile 1PM, 2PM, 3PM şi 4PM în vederea comparării rezultatelor numerice cu rezultate obţinute experimental pe modele de stâlpi reduse la scară.

Rezumat

56

Tabel 5.1

SEC-ŢIUNE

dimen-siuni [mm]

acoperire

cu beton

[mm]

armare p

[%] )( εσ −

beton n

[-] N

[kN] β [°]

S01 500x500 40 258Φ 1.57 Fig. 3.3a 0.00.20.4

0 765 1530

0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90°

S02 600x800 40 2514Φ 1.43 Fig. 3.3a 0.00.20.4

0 1470 2940

0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90°

S03 500x500 40 258Φ 1.57 Fig. 3.3b 0.00.20.4

0 765 1530

0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90°

S04 600x800 40 2514Φ 1.43 Fig. 3.3b 0.00.20.4

0 1470 2940

0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90°

S05 500x600 40 2510Φ 1.63 Fig. 3.3a 0.00.20.4

0 920 1840

0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90°

S06 600x800 40 2020Φ 1.31 Fig. 3.3a 0.00.20.4

0 1470 2940

0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90°

1PM 100x100 10 64Φ 1.13 Fig. 3.3a 0.00.20.4

0 30 60

0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90°

2PM 100x100 10 84Φ 2.0 Fig. 3.3a 0.00.20.4

0 30 60

0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90°

3PM 100x100 10 64Φ 1.13 Fig. 3.3b 0.00.20.4

0 30 60

0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90°

4PM 100x100 10 84Φ 2.0 Fig. 3.3b 0.00.20.4

0 30 60

0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90°

5.4 Rezultate obţinute 5.4.1 Observaţii generale În vederea atingerii scopului propus, pentru fiecare secţiune analizată s-a reprezentat grafic următoarele relaţii:

• relaţii ky-kz între curburile pe cele două direcţii principale ale secţiunii stâlpilor analizaţi, pentru a evidenţia abaterea între direcţia curburii rezultante şi direcţia vectorului moment încovoietor.

• relaţii zy Δ−Δ între deplasările pe capul stâlpului, pentru a evidenţia abaterea între direcţia deplasării rezultante şi direcţia forţei rezultante.

• relaţii Δ−P (forţă - deplasare) pe capul stâlpului, pentru a evidenţia influenţa direcţiei solicitării asupra rigidităţii şi asupra deplasării ultime a stâlpului. Valorile obţinute în acest studiu pentru deplasările ultime sunt aproximative, deoarece programul de calcul utilizat

Rezumat

57

consideră o deformaţie specifică ultimă în beton de 3,5 ‰, indiferent de forma zonei de beton comprimat.

• relaţii ββ Δ− ( în care βΔ reprezintă abaterea direcţiei curburii rezultante faţă de direcţia vectorului moment încovoietor sau abaterea direcţiei deplasării rezultante faţă de direcţia forţei rezultante ) pentru a evidenţia mărimea abaterii pentru diferite valori β .

• relaţii zy mm − între momentele normalizate pe cele două direcţii principale ale secţiunii stâlpilor analizaţi.

5.4.6 Comparaţie între comportarea secţiunilor pătrate şi comportarea secţiunilor

dreptunghiulare Se observă că, indiferent de valoarea forţei axiale şi de forma secţiunii, deviaţiile înregistrate pentru direcţia curburii faţă de direcţia momentului încovoietor sunt aproape egale cu deviaţiile înregistrate pentru direcţia deplasărilor faţă de direcţia forţei rezultante.

Atât în cazul secţiunilor pătrate, cât şi în cazul secţiunilor dreptunghiulare, diagramele zy Δ−Δ

urmăresc tendinţele observate la diagramele zy kk − .

Abaterile înregistrate între direcţia momentului încovoietor şi direcţia curburii rezultante sunt mai mari la secţiunile dreptunghiulare faţă de secţiunile pătrate.

La secţiunile dreptunghiulare spre deosebire de cele pătrate, nu există o variaţie monotonă a abaterilor înregistrate pentru curburi, în funcţie de valoarea forţei axiale pe secţiune.

La secţiunile pătrate se observă că abaterile între direcţia solicitării aplicate şi direcţia deplasării corespunzătoare, cresc odată cu creşterea forţei axiale pe secţiune, însă nu au valori semnificative. De asemenea, pentru o valoare constantă a forţei axiale , forţa ultimă maximă şi deplasarea ultimă maximă se înregistrează pentru solicitarea de compresiune excentrică dreaptă.

La secţiunile dreptunghiulare rigiditatea elementului variază în funcţie de înclinarea forţei orizontale aplicate pe capul stâlpului, spre deosebire de secţiunile pătrate. Indiferent de direcţia de acţiune a forţei orizontale aplicate pe capul stâlpului, atât pentru secţiunea pătrată cât şi pentru secţiunea dreptunghiulară, forţa capabilă ultimă creşte o dată cu creşterea forţei axiale aplicate, iar deplasarea ultimă la vârful stâlpului scade o dată cu creşterea forţei axiale aplicate.

Pentru secţiunile pătrate, o dată cu creşterea forţei axiale pe secţiune, creşte şi diferenţa între deviaţia înregistrată pentru direcţia curburii faţă de direcţia momentului încovoietor şi deviaţia înregistrată pentru direcţia deplasărilor faţă de direcţia forţei rezultante. De asemenea, o dată cu creşterea forţei axiale pe secţiune, cresc şi valorile deviaţiilor, atât pentru curburi, cât şi pentru deplasări.

În ceea ce priveşte deviaţia βΔ pentru curburi şi deplasări, s-au observat următoarele: - la secţiunea pătrată, pentru unghiul β de o45 , deviaţia βΔ este nulă. La secţiunea dreptunghiulară, pentru unghiuri β de aproximativ o45 , deviaţia βΔ este maximă. - la secţiunea dreptunghiulară valoarea deviaţiei maxime nu depinde de valoarea forţei axiale aplicate, aşa cum se întâmplă la secţiunea pătrată.

La secţiunile dreptunghiulare, abaterile înregistrate între direcţia solicitării aplicate şi direcţia deplasării corespunzătoare, cresc o dată cu apropierea de stadiul ultim de solicitare. Se observă că abaterile între direcţia solicitării aplicate şi direcţia deplasării corespunzătoare, variază o dată

Rezumat

58

cu creşterea forţei axiale pe secţiune, şi tind să apropie comportarea secţiunii de comportarea la solicitarea de compresiune excentrică dreaptă după direcţia tare a secţiunii.

De asemenea, pentru o valoare constantă a forţei axiale , forţa ultimă maximă se înregistrează pentru solicitarea de compresiune excentrică dreaptă după axa tare a secţiunii , iar deplasarea ultimă maximă se înregistrează pentru solicitarea de compresiune excentrică dreaptă după axa slabă a secţiunii.

Este remarcabil faptul că, indiferent de valoarea forţei axiale pe secţiune, pentru secţiunea dreptunghiulară deviaţiile maxime înregistrate au valoarea constantă. Variază puţin doar valoarea unghiului β pentru care se înregistrează deviaţia maximă. Observaţia este valabilă atât pentru curburi, cât şi pentru deplasări. Se poate considera că abaterea maximă între direcţia solicitării (moment încovoietor sau forţă) şi direcţia răspunsului stâlpului (curbură sau deplasare) se înregistrează atunci când deplasarea stâlpului se produce pe direcţia diagonalei secţiunii considerate. Valoarea maximă a abaterii între direcţia solicitării şi direcţia răspunsului stâlpului nu depinde de procentul de armare sau de distribuţia armăturii pe secţiune. La secţiunile dreptunghiulare, nici valoarea forţei axiale nu influenţează valoarea abaterii maxime înregistrate.

5.4.7 Influenţa considerării legii constitutive pentru beton cu degradare În încercarea de a vedea ce influenţă are utilizarea legii constitutive parabolă-dreptunghi (vezi fig. 3.3 a.)) asupra rezultatelor obţinute, s-a refăcut calculul secţiunilor S01 şi S02 considerând pentru beton o lege constitutivă cu pantă descendentă (vezi fig. 3.3 b.)). Au rezultat secţiunile S03 şi S04.

Atât pentru secţiunile pătrate cât şi pentru secţiunile dreptunghiulare, considerarea legii constitutive cu pantă descendentă pentru beton (vezi fig. 5.6 b.)) nu produce modificări notabile în diagramele zy kk − şi zy Δ−Δ .

După cum era de aşteptat, valorile ultime ale curburilor şi ale deplasărilor scad atunci când se consideră o lege constitutivă cu pantă descendentă pentru beton. De asemenea, valorile forţelor capabile P şi rigiditatea elementelor (dată de panta curbei Δ−P ) scad atunci când se consideră o lege constitutivă cu pantă descendentă pentru beton. Diferenţele nu sunt însă semnificative (7% pentru curburi, 5% pentru deplasări şi între 5% şi 7% pentru forţe).

5.5 Observaţii privind rezultatele obţinute numeric, faţă de cele experimentale, pentru secţiuni pătrate solicitate la compresiune excentrică oblică Dispunând de rezultate experimentale şi de rezultate numerice pentru stâlpi cu secţiune pătrată solicitaţi la compresiune excentrică oblică [24], s-au inclus în acest studiu parametric secţiunile 1PM şi 2PM, cu scopul de a verifica valabilitatea rezultatelor obţinute.

Rezultatele experimentale utilizate pentru comparaţie au fost determinate prin încercări dinamice pe masă vibrantă (vezi capitolul 5.5.1), iar cele numerice prin modelări cu ajutorul programului de calcul DRAIN 3DX (vezi capitolul 5.5.2).

5.5.3 Comparaţie privind rezultatele obţinute numeric, faţă de cele experimentale, pentru secţiuni pătrate solicitate la compresiune excentrică oblică În fig. 5.40 este reprezentată diagrama Δ−P (între forţa aplicată pe capul stâlpului şi deplasarea stâlpului la vârf) şi diagrame zy Δ−Δ (între deplasările stâlpului la vârf pe cele două direcţii principale ale secţiunii), pentru secţiunea 1PM.

După cum se poate observa din fig. 5.40, deplasarea ultimă determinată prin calcul static cu ajutorul programului de calcul Cobra [23] este mult inferioară deplasării ultime determinate

Rezumat

59

experimental sau cu programul de calcul DRAIN 3DX. Totuşi forma diagramei ( zy Δ−Δ )ultim determinată cu programul Cobra coincide cu cea determinată cu programul DRAIN 3DX. Diferenţele mari ce apar între valorile deplasărilor ultime determinate cu programul Cobra, respectiv cu programul DRAIN 3DX se pot explica astfel:

- În regim dinamic, datorită solicitării alternante, valorile ultime ale deplasărilor stâlpilor analizaţi sunt mai mari decât cele determinate în regim static.

- Calculul efectuat cu programul DRAIN 3DX utilizează un model cu fibre pentru zona cu comportare inelastică, ce modelează degradarea betonului din interiorul articulaţiei plastice. Rezultatele obţinute cu ajutorul programului de calcul Cobra consideră aceleaşi proprietăţi ale betonului pe întreaga lungime a stâlpului considerat.

- Calculul efectuat cu ajutorul programului Cobra nu ţine cont de confinarea betonului prin prezenţa armăturii transversale.

a.) b.)

Fig. 5.40 Secţiunea 1PM: a.) Diagrama P-Δ ; b.) Diagrama ( zy Δ−Δ )ultim Diferenţele ce apar între valorile deplasărilor ultime determinate cu programul Cobra şi valorile determinate experimental se datorează (pe lângă diferenţei de regim de solicitare static-dinamic şi diferenţei ce provine din ignorarea confinării betonului) şi faptului că studiul experimental [24] este realizat pe modele tridimensionale simple, formate din trei stâlpi de beton armat dispuşi astfel încât să formeze un triunghi în plan, în timp ce prin programul Cobra s-au analizat stâlpi singulari.

De asemenea, diagrama Δ−P din fig. 5.40 denotă faptul că rigiditatea stâlpilor analizaţi determinată cu ajutorul programului Cobra este superioară celei determinate experimental. Explicaţia poate consta în faptul că la o solicitare dinamică, betonul suferă degradări mult mai mari decât în cazul solicitării statice.

În încercarea de a apropia valorile deplasărilor obţinute cu programul COBRA de rezultatele determinate experimental, s-au reanalizat secţiunile 1PM şi 2PM luând în considerare efectul confinării betonului. În acest scop s-a utilizat curba εσ − a betonului confinat, determinată conform procedurii prezentate în EC8 – Part III.

În figura 5.42 este redată diagrama Δ−P (între forţa aplicată pe capul stâlpului şi deplasarea stâlpului la vârf) şi diagrama zy Δ−Δ (între deplasările stâlpului la vârf pe cele două direcţii principale ale secţiunii), pentru secţiunea 1PM, obţinută în ipoteza considerării efectului confinării betonului.

După cum se poate observa din fig. 5.42, noile deplasări calculate cu programul COBRA se situează între rezultatele experimentale şi cele teoretice determinate cu programul DRAIN 3DX.

Rezumat

60

Aşa cum era de aşteptat, luarea în considerare a efectului confinării nu influenţează rigiditatea stâlpilor analizaţi. Totodată pare surprinzătoare diferenţa calitativă a rezultatelor obţinute prin considerarea efectului confinării (vezi fig. 5.42) faţă de situaţia iniţială în care confinarea betonului nu a fost luată în calcul (vezi fig. 5.40).

Variabilitatea mare a rezultatelor obţinute experimental şi prin cele două tipuri de modelare numerică (cu programul Cobra şi cu programul DRAIN 3DX) derivă din imposibilitatea surprinderii în modelele numerice sau experimentale a multitudinii factorilor de care depinde răspunsul inelastic al elementelor şi structurilor.

a.) b.)

Fig. 5.42 Secţiunea 1PM cu considerarea efectului confinării: a.) Diagrama P-Δ ; b.) Diagrama ( zy Δ−Δ )ultim

5.6 Concluzii Studiul parametric efectuat analizează comportarea stâlpilor de beton armat cu secţiune pătrată şi dreptunghiulară şi conduce la următoarele concluzii:

• La stâlpi supuşi solicitării de compresiune excentrică oblică, direcţia solicitării şi direcţia răspunsului nu coincid.

• O dată cu apariţia nesimetriei secţionale cresc abaterile înregistrate între direcţia solicitării şi direcţia răspunsului. De aceea se înregistrează abateri mai mari la elementele având secţiune dreptunghiulară faţă de cele cu secţiune pătrată, la care abaterile apărute pot fi neglijate.

• La secţiunile dreptunghiulare, abaterile înregistrate între direcţia solicitării şi direcţia răspunsului, tind să apropie comportarea elementului supus la compresiune excentrică oblică de comportarea la compresiune excentrică dreaptă după axa tare a secţiunii.

• Forţa axială aplicată pe secţiune influenţează valoarea abaterilor între direcţia solicitării şi direcţia răspunsului, însă variaţia nu este monotonă.

• Pentru secţiunile dreptunghiulare, abaterea maximă între direcţia solicitării şi direcţia răspunsului se înregistrează atunci când deplasarea rezultantă are direcţia diagonalei secţiunii considerate.

• O reprezentare riguroasă a comportării unui stâlp de beton armat solicitat la compresiune excentrică oblică presupune reprezentări grafice în trei ( zyP ΔΔ ,, ) sau patru dimensiuni

( zyzy PP ΔΔ ,,, - imposibil de realizat). Deoarece relaţiile zy Δ−Δ sunt aproape liniare, reprezentarea grafică a răspunsului unui stâlp de beton armat solicitat la compresiune excentrică poate fi redusă la o reprezentare în două ( Δ,P ) sau trei dimensiuni ( Δ,, zy PP ).

Rezumat

61

Concluzia generală a acestui studiu parametric este că deplasarea unui element solicitat la compresiune excentrică oblică nu se produce pe direcţia forţei. Abaterile înregistrate între direcţia solicitării şi direcţia răspunsului pot fi importante, astfel încât rezultatele obţinute în practica curentă, bazate pe descompunerea solicitării de compresiune excentrică oblică în două solicitări de compresiune excentrică dreaptă după direcţiile principale ale secţiunii considerate, sunt eronate. Influenţa acestei aproximări asupra acurateţii calculului structural constituie o preocupare de viitor.

DIRECŢII VIITOARE DE CERCETARE În urma studiului efectuat se conturează diverse subiecte de cercetare, dintre care cele mai interesante se consideră a fi următoarele:

analizarea prin metode simplificate a comportării structurilor la solicitarea de torsiune de ansamblu, în situaţia acţiunii bidirecţionale

analizarea prin metode simplificate a comportării structurilor la solicitarea de torsiune de ansamblu, pentru situaţia în care excentricităţile de rigiditate şi de rezistenţă nu coincid.

identificarea unei modalităţi de determinare a coeficienţilor α şi β pentru un domeniu mai larg de situaţii

CONTRIBUŢII PERSONALE Principalele contribuţii personale ale studiului sunt:

formularea metodei simplificate SESA de determinare a răspunsului structural de torsiune în domeniul neliniar

analizarea influenţei principalilor parametri asupra comportării la torsiune, pe baza unui studiu parametric larg

adaptarea metodei de calcul static elastic cu forţe laterale pentru a lua în considerare efectele solicitării de torsiune de ansamblu

identificarea analitică a deviaţiei existente între direcţia forţei rezultante şi direcţia deplasării rezultante, pentru stâlpi supuşi solicitării de compresiune excentrică oblică

Bibliografie [1] EN 1998-1: 2004. Design of structures for earthquake resistance. General rules, seismic actions and rules for buildings.

[2] P100 -1/ 2006. Cod de proiectare seismică. Prevederi de proiectare pentru clădiri. ISSN 1453 – 4495

[3] NZS 1170_5, 2004. Structural Design Actions. Earthquake actions – New Zealand. Technical Committee BD-006-04-11

[4] UBC, 1997. Uniform Building Code.Volume 2. Structural Engineering Design Provisions. International Conference of Building Officials. ISSN 0896 – 9655.

[5] California Building Code, 2001. California Code of Regulations, Title 24, Part 2, Volume 2. International Conference of Building Officials şi California Building Standards Commission.

[6] FEMA 368, 2000. NEHRP Recommended Provisions for Seimic Regulations for New Buildings and other Structures. Federal Emergency Management Agency, Washington DC.

[7] FEMA 356, 2000. Prestandard and Commentary for the Seismic Rahabilitation of Buildings.. Federal Emergency Management Agency, Washington DC.

Rezumat

62

[8] FEMA 440, 2005. Improvement of Nonlinear Static Seismic Analysis Procedures. Federal Emergency Management Agency, Washington DC.

[9] DIN 4149, Teil1. 2005. Bauten in deutschen Erdbebengebieten. Lastannahmen, Bemessung und Ausführung üblicher Hochbauten.

[10] MÜLLER F.P., KEINTZEL E., 1984. Erdbebensicherung von Hochbauten. Ernst, Verlag für Architektur und technische Wissenschaften Berlin. ISBN 3 – 433 – 00986 – 4.

[11] RUTENBERG A., TSO W. K., 2004. Horizontally irregular structures: some recent developpments. Performance – Based Seismic Design Concepts and Implementation. PEER Report 2004/05, 369-383.

[12] GOEL R.K., CHOPRA A.K., 1990. Inelastic seismic response of one – story, asymmetric – plan systems. College of Engineering, University of California at Berkeley, Report No. UBC/EERC – 90/14.

[13] CHOPRA A.K., GOEL R.K., 2003. A modal pushover analysis procedure to estimate seismic demands for unsymmetric – plan buildings: Theory and Preliminary Evaluation. College of Engineering, University of California at Berkeley, Report No. EERC 2003-08.

[14] CHOPRA A.K., GOEL R.K., 2004.Modal Pushover Analysis: symmetric and unsymmetric – plan buildings. Performance – Based Seismic Design Concepts and Implementation. PEER Report 2004/05, 333-344.

[15] FAJFAR P., DOLŚEK M., MARUŠIĆ D., PERUŚ I., 2004. Extensions of the N2 method – asymmetric buildings, infilled frames and incremental N2. Performance – Based Seismic Design Concepts and Implementation. PEER Report 2004/05, 357-368.

[16] ZAMFIRESCU, D., 2001. Contribuţii la proiectarea antiseismică a structurilor de beton armat prin metode avansate

[17] CHOPRA, ANIL K., 2007. Dynamics of Structures. Pearson Education, Inc. ISBN 0-13-156174-X

[18] ZAMFIRESCU, D., 2000. TORSDIN – program de calcul dinamic neliniar al structurilor cu 3 GLD

[19] ZAMFIRESCU, D., 2000. SINEL – program de calcul al spectrelor neliniare de răspuns

[20] JANGRID R.S., EERI M., KELLY J.M., 2000. Torsional Displacements in Base-Isolated Buildings, Earthquake Spectra, Volume 16, No.2, 443-454

[21] ZAMFIRESCU, D., 2001. Comparison of the Procedures for Nonlinear Seismic Analysis of Structures

from Romanian Design code -P100/2004 (Eurocode 8) and BSL 2000

[22] RUTENBERG A., DE STEFANO M., 1997. On the seismic performance of yielding asymmetric multistorey buildings: A review and a case study. Seismic design methodologies for the next generation of codes, Fajfar & Krawinkler, Rotterdam, ISBN 9054109289.

[23] DUŢULESCU, E., 2007. COBRA – program pentru calculul secţiunilor de beton armat solicitate la încovoiere cu forţă axială

[24] MOERLAND, P., 1998. 3-D R/C Structures under seismic action. Bericht Nr. 17 – Technische Universität Darmstadt, Institut für Statik. ISSN 1433 – 7789

[25] CONSTANTINESCU, Dan R., Starea limită de rezistenţă la secţiuni de beton armat încovoiate cu / fără forţă axială

[26] DIN 1045 – 1, 2005. ISBN 3-410-16000-0, Beuth Verlag GmbH

[27] Betonkalender 2002. Franz Spiegel Buch GmbH, Ulm. ISBN 3-433-02538