Komplekse tallNaturlige tall

10

,...4,3,2,1,0

,...4,3,2,1

0

N

N

2 3 4 5 6 7

De første typer tall vi lærer om er de såkalte naturlige tall: 1, 2, 3, 4, ….

Av og til regner også tallet 0 med blant de såkalte naturlige tall: 0, 1, 2, 3, 4, …

Mengden av alle naturlige tall betegner vi med N (eller N0 hvis 0 er med)

Vi visualiserer ofte disse tallene ved å plassere dem på en såkalt tall-linje:

La oss tenke oss at vi har et vilkårlig naturlig tall n.Adderer vi tallet 1 til n, får vi tallet n + 1 som er større enn n.Det finnes altså ikke noe største naturlige tall.

…

Komplekse tallHele tall

-3…

,...3,2,1,0,1,2,3..., Z

-2 -1 0 1 2 3

Vi utvider våre naturlige tall ved å ta med tilhørende negative heltall.Vi får da en tallmengde som vi kaller for hele tall: …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …

Mengden av alle hele tall betegner vi med Z.

Vi visualiserer ofte disse tallene ved å plassere dem på en såkalt tall-linje:

Eksempler på bruk av negative tall:- Representasjon av kuldegrader på et termometer- Underskudd på konto- …

…

Komplekse tallRasjonale tall (brøker)

p (p + q) / 2 q

Vi utvider våre hele tall ved å ta med alle brøker.Merk at alle heltall kan skrives som en brøk (eks: 2 = 2/1).Mengden av alle brøker kaller vi for rasjonale tall og benytter betegnelsen Q.

Hvis vi har to gitte brøker p og q, så kan vi alltid finne en brøk som ligger mellom disse to, nemlig (p + q) / 2.Dermed så ville brøkene bli liggende svært tett på tall-linjen.

Eksempler på bruk av brøk:I et selskap har vi 8 personer og 1 bløtkake.Hvis kaken deles likt, får hver person 1 / 8 kake

0 11/8

8

1

Komplekse tallIrrasjonale tall

Det finnes tall på den reelle tall-linje som ikke kan skrives som en brøk, dvs tall som ikke er rasjonale tall. Disse tallene kalles for irrasjonale tall.

Eksempler på irrasjonale tall:

Eksempler på bruk av irrasjonale tall:Areal av en sirkel

e , ,2

10 2 3 4 5 6 7 …

2 e

2r r

Bevis for at kvadratroten av 2er et irrasjonalt tall:

Komplekse tallIrrasjonale tall

Anta at kan skrives som et rasjonalt tall.Vi skal vise at dette fører til en selvmotsigelse.

2Bevis for at er et irrasjonalt tall: 2

2

bb

aa

b

a

b

a

2

2

2

221 Dette følger av figuren. Altså er ikke et helt tall.2

1

1

Vi har et kvadrat med side 1.I følge Pythagoras vil da diagonalen ha lengde 211 22

Vi antar at kan skrives som en brøk.Vi forkorter brøken slik at vi ikke kan forkorte mer mellom a og b.a / b kan ikke være et heltall i følge linjen ovenfor.

2

Vi kvadrerer ligningen ovenfor.Høyresiden kan ikke forkortes og er ikke et heltall.Da har vi at tallet 2 ikke er et heltall, hvilket er en selvmotsigelse.

2

Komplekse tallReelle tall

tallReelle

tallRasjonale

tallHele

tallNaturlige

R

Q

Z

N

Rasjonale og irrasjonale tall utgjør til sammen det vi kaller reelle tall.Vi betegner mengden av alle reelle tall med R.

1 2 3 4 5 6 7 …

2 e

-1… 0

2

1

Reelle tall

(Irrasjonale tall)

Rasjonale tallHele tall

Naturlige tall

Komplekse tallReelle tallTellbare mengder

Vi sier at en mengde A er tellbar hvis mengden står i en en-til-en-korrespondansemed mengden av de naturlige tall N,dvs det finnes en bijektiv avbildning mellom A og N.

f

1f

A N

Mengden N av alle naturlige tall er tellbar: nnfNNf )( :

Det kan vises at mengden Q av alle rasjonale tall er tellbar.Det kan vises at mengden R av alle reelle tall er ikke-tellbar.

ANf

NAf

:

: 1

tallReelle

tallRasjonale

tallHele

tallNaturlige

R

Q

Z

N

Komplekse tallReelle tallIntervall

Der er like mange reelle tall i intervallet L1 = [0,1] som det er i intervallet L2 = [0,2].

Dette er litt overraskende siden alle elementene i L1 er inneholdt i L2 ,og det finnes elementer i L2 som ikke er inneholdt i L1.Rent intuitivt skulle vi kanske forvente dobbelt så mange elementer i L2 som i L1.

Det som skaper disse overraskelsene er at disse to mengdeneinneholder uendelig mange elementer.Vi må derfor først definere presist hva vi mener med ‘like mange’.

0 2

10

L1 = [0,1]

L2 = [0,2]

tallReelle

tallRasjonale

tallHele

tallNaturlige

R

Q

Z

N

Komplekse tallReelle tallLike mange

Vi befinner oss i et lokale med mange personer og mange stoler.

Vi ønsker å finne ut om det er like mange personer som stoler i lokalet.Dette kan vi gjøre på to måter:

1. Vi kan telle antall personer og antall stoler og se om vi får samme tall.

2. Vi kan be alle personene sette seg på hver sin stol.Deretter kan vi undersøke om alle personene har fått satt segom om hver stol er opptatt.

Hvis vi har svært mange personer og stoler, er metode nr 2 kanskje den mest hensiktsmessige.I matematikken er det denne metoder vi benytter til definisjon av ‘like mange’.Vi undersøker om det finnes en en-entydig sammenheng mellom de to mengdene.

tallReelle

tallRasjonale

tallHele

tallNaturlige

R

Q

Z

N

Komplekse tallReelle tallLike mange - Likemektige mengder

Mengdene A og B sies å inneholde like mange elementerhvis det finnes en en-entydig (bijekt = injektiv + surjektiv) avbildning mellom A og B.Hvis en slik avbildning finnes, sies A og B å være likemektige.

A B

ABf

BAf

:

: 1

f

1f

tallReelle

tallRasjonale

tallHele

tallNaturlige

R

Q

Z

N

Komplekse tallReelle tallHele tall / Partall

Det finnes like mange hele tall som det finnes partall.

Bevis: Følgende funksjon f er en bijektiv avbildning mellom disse to mengdene:

2 )( :

2 )( :

11 nnfABf

nnfBAf

-3… -2 -1 0 1 2 3 …4-4

… -2 0 2 …4-4

tallReelle

tallRasjonale

tallHele

tallNaturlige

R

Q

Z

N

Komplekse tallReelle tallNaturlige tall / Kvadrattall

Det finnes like mange naturlige tall som det finnes kvadrattall.

Bevis: Følgende funksjon f er en bijektiv avbildning mellom disse to mengdene:

nnfABf

nnfBAf

)( :

)( : 11

2

10 2 3 4 5 6 7 …

10 4

…

9

tallReelle

tallRasjonale

tallHele

tallNaturlige

R

Q

Z

N

Komplekse tallReelle tallIntervall [a,b] / Intervall [0,1]

Det finnes like mange reelle tall i intervallet Iab = [a,b] som reelle tall i intervallet I01 = [0,1].Bevis: Følgende funksjon f er en bijektiv avbildning mellom disse to mengdene:

)( )( x:

)(y :

110

1

10

abyayfIIf

ab

axxfIIf

ba

ba

a b

10

I01 = [0,1]

Iab = [a,b] Det finnes like mange reelle talli intervallet I02 = [0,2] somi intervallet I01 = [ 0,1].

bijektiv surjektiv )(

)(

injektiv )()(10

2121

fftxf

abtaxIx

It

fxfxfxx

ba

tallReelle

tallRasjonale

tallHele

tallNaturlige

R

Q

Z

N

Komplekse tallKomplekse tall

Det finnes oppgaver hvor vi trenger tall som ikke er reelle.Eks: Kloss + Elastisk fjær

ttallavnegativ kvadratrotlik ighet Vinkelhast

ligningtisk Karakteris 0

ngBasisløsni

gforflytnin av ivertedobbeltderden lik er on Akselerasj 0

0

fjærkraft Elastisk

kloss på 2.lov Newtons

2

m

k

km

Cex

kxxm

kxma

kxFmakx

maF

t

Siden kvadratrotav negative tall ikke finnes blant de reelle tall, må vi utvide de reelle tallene til såkalte komplekse tall.

tallKomplekse

tallReelle

tallRasjonale

tallHele

tallNaturlige

C

R

Q

Z

N

Komplekse tallKomplekse tall

Reelle tall

Imaginære tall

1i

1x

y iyxz

Det kan vises at de reelle tallene fyller ut hele den reelle tallinjen.Ved en videre utvidelse må vi derfor benytte en ny dimensjon.for å utvide til såkalte komplekse tall.Mengden av komplekse tall betegnes med C.

Komplekst tall

tallKomplekse

tallReelle

tallRasjonale

tallHele

tallNaturlige

C

R

Q

Z

N

Komplekse tallKomplekse tall - Ulike notasjoner

Reelle tall

Imaginære tall

1i

1x

y iyxz

Komplekst tall

irez

irz

iyxz

)sin(cos

tallKomplekse

tallReelle

tallRasjonale

tallHele

tallNaturlige

C

R

Q

Z

N

Komplekse tallReelle tall

Reelle tall

(Irrasjonale tall)

Rasjonale tall

Hele tall

Naturlige tall

Komplekse tall

1 2 3 4 5 6 7 …

2 e

-1… 0

2

1

i

iz 21

CRQZN CRQZN

tallKomplekse

tallReelle

tallRasjonale

tallHele

tallNaturlige

C

R

Q

Z

N

ENDEND