Upload
radmilo-josipovic
View
196
Download
11
Embed Size (px)
Citation preview
1
Kompleksni brojevi (C)
Kompleksni brojevi su izrazi oblika: biaz += gde su a i b realni brojevi a i simbol koji ima vrednost 1=i . Za kompleksan broj biaz += , a je njegov realni deo i obeleava se az =)Re( , b je njegov imaginarni deo i obeleava se bz =)Im( , a 1=i je imaginarna jedinica. Primeri:
0)Im(,2)Re(28)Im(,0)Re(8
7)Im(,43)Re(7
43
2)Im(,5)Re(254)Im(,5)Re(45
555
444
333
222
111
======
======
==+=
zzzzziz
zziz
zzizzziz
Dva kompleksna broja bia + i dic + su jednaka ako i samo ako je ca = i db = ,tj imaju iste realne i imaginarne delove.
Poto smo rekli da je 1=i ,zanimljivo je videti kako se ponaaju stepeni broja i .
11
11
1)1)(1(1
11
448
3347
2246
45
_________________________________
224
23
2
=====
======
======
==
iiiiiiii
iiiiiiiii
iiiiiiii
ii
itd.
www.matematiranje.com
2
ta zakljuujemo? i stepenovano bilo kojim brojem moe imati samo jednu od ove 4 vrednosti: ii ,1, ili 1. Uopteno, tu injenicu bi mogli zapisati:
iii
iii
k
k
k
k
==
==
+
+
+
34
24
14
4
1
1
za .Nk
Kako ovo primeniti u zadacima?
Primeri:
Izraunati:
23
102
25
2006
100
)))))
idigivibia
100)ia
Ovde postoje 2 ideje : Ili da koristimo da je 14 =i i naravno pravila za stepen : nmnm aa =)( i nmnm aaa =+
Dakle: 1)1()( 50502100 === ii ili druga ideja da je 4 1ki = 11)( 50504100 === ii Odluite sami ta vam je lake!
?) 2006 =ib 1)1()( 1003100322006 === ii
www.matematiranje.com
3
iiiiiiiiv ===== 1)1()() 1212212425 Kad je stepen neparan, napiemo ga kao za 1 manji paran broj pa plus 1, to jest
12425 += .
1)1()() 51512102 === iig iiiiiiiid ===== 1)1()() 1111212223
Pazi: )1( paran broj 1= )1( neparan broj 1=
Kako se sabiraju, oduzimaju I mnoe kompleksni brojevi?
1) Zbir dva kompleksna broja bia + i dic + je kompleksan broj )()( dbica +++ , a njihova razlika je )()( dbica + . To znai da se sabiraju I oduzimaju normalno, kao u R.
Primer: iz
iz10435
2
1
=+=
iiiiizz 79103451043521 =++=++=+
iiiiizz 13110435)104(3521 +=++=+= 2) Proizvod dva kompleksna broja bia + i dic + je kompleksan broj
++ )()( bcadibdac mnoi se svaki sa svakim I vodimo rauna da je 2 1i = 2)()(
+++=++ ibdbciadiacdicbia
)( bcadibdac
bdbciadiac++=++=
www.matematiranje.com
4
Primer: iziz
2453
2
1
=+=
=++=+= 221 1020612)24()53( iiiiizz [sad zameni da je 12 =i , pa
10)1(1010 2 == i ] iii 2621020612 +=+++=
Deljenje kompleksnih brojeva Recimo najpre da svaki kompleksan broj ima svoj konjugovan broj.
Za z a bi z a bi= + = je konjugovan broj.
Primeri: za iz 1210+= je iz 1210= za iz 34= je iz 34+=
za iz 54+= je iz 54= Dva kompleksna broja se dele tako to izvrimo racionalisanje sa konjugovanim brojem delioca.
=+
+=++
dicdic
dicbia
dicbia
gore mnoimo svaki sa svakim a dole je razlika kvadrata.
2 2 2 2( )( ) ( )( )
( )a bi c di a bi c dic di c d+ + = = +
Primer 1)
=++=+
++=
+= 22 )3(4)34)(25(
3434
3425
3425
iii
ii
ii
ii
www.matematiranje.com
5
2
22 2
20 15 8 6 ( 1)16 3
20 15 8 6 14 23 14 2316 9 25 25 25
i i i ii
i i i i
+ + += = = + + += = = ++
Savet: Uvek na kraju rastavi icb
ca
cbia +=+ da bi mogao da proita )Re(z i
)Im(z Primer 2)
ii
ii
ii
3535
3573
3573
+
+=++
2 2
2
2 2
(3 7 )( 5 3 )( 5) (3 )15 9 35 21
25 315 9 35 21
25 96 44 6 44 3 22
34 34 34 17 17
i ii
i i ii
i i
i i i
+ = = += += = =
Modul kompleksnog broja biaz += je nenegativan broj 22 baz +=
Primeri: Za iz 43+= je 516943 22 =+=+=z Za iz 129= je 1514481)12()9( 22 =+=+=z Naveemo neke od osobina vezanih za kompleksne brojeve koje e nam dosta pomoi u reavanju zadataka:
1) 1221 zzzz +=+ ( komutativnost) 2) 1 2 3 1 2 3( ) ( )z z z z z z+ + = + + ( asocijativnost) 3) zzz =+=+ 00 (0 je netral za +) 4) 0'' =+=+ zzzz ( 'z je suprotni broj) www.matematiranje.com
6
5) 1221 zzzz = 6) )()( 321321 zzzzzz = 7) zzz == 11 (1 je neutral za ) 8) 1'' == zzzz ( 'z je inverzni za ) 9) 1 2 3 1 3 2 3( )z z z z z z z+ = + ( distributivnost) 10) 2121 zzzz = 11) 22 zz =
12) 2
1
2
1
zz
zz =
Primer : Nadji realni I imaginarni deo kompleksnog broja: 512
)1()1(iiz +
= Odredimo najpre ?)1( 12 = i Podjimo od 2 2(1 ) 1 2 1 2 1 2i i i i i = + = = Kako je 642)1(22)2())1(()1( 666666212 ====== iiii Nadjimo dalje ?)1( 5 =+ i
iiiii 212121)1( 22 =+=++=+
)1(4)1(4)1()2()1())1(()1()1()1(
2
22245
iiiiiiiiii
+=+=+=++=++=+
i
iiiii
ii
iiiiiz
88
)1(82
)1(1611
)1(161
)1(1611
116
116
)1(464
)1()1(
22
5
12
====+
==
=+=+=+
=+=
Dakle : Re 8)( =z 8)Im( =z
www.matematiranje.com
7
Primer : Nadji x i y iz
{ { {
2
ReRe ImIm
1 ( 3) (1 )(5 3 )1 ( 3) 5 3 5 31 ( 3) 5 8 31 ( 3) 2 8
x y i i ix y i i i ix y i ix y i i
+ + = + + + + = + + + + + = + + + = +123
Dakle : 53883
31221===+=+==yyyxxx
Primer: Ako je 2
31 iw += dokazati da je 012 =++ ww Reenje:
2
2
2
1 3 1 3 12 2
1 2 3 ( 3) 1 3 14 2
1 2 3 3 1 3 14 2
1 2 3 3 2( 1 3) 44
1 2 3
i i
i i i
i i i
i i
i
+ ++ + = + ++ + = + ++ + = + + + = 3 2 2 3i + 4 0 0
4 4+ = =
Primer: Odredi sve kompleksne brojeve z koji zadovoljavaju sistem jednaina:
1
2
==ziz
ziz
www.matematiranje.com
8
Reenje: Neka je biaz +=
22
22
22
)1(1111
)1()1(
)2(2)2(22
bazbiabiaz
baizbiaibiaiz
baizbiaibiaiz
+=+=+=+=+=+=
+=+=+=
Dakle:
2222
2222
)1()1(
)2(
baba
baba
+=++=+
Kvadrirajmo obe jednaine!
___________________________________________
2 2 2 2
2 2 2 2
( 2)( 1) ( 1)
a b a ba b a b
+ = ++ = +
___________________________________________
1
4444 22
==
=+
bb
bbbzamenimo u drugu jednainu
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
( 1) ( 1)(1 1) ( 1) 10 2 1 1
2 21
a b a ba aa a aa
a
+ = ++ = ++ = + +=
=
Traeni kompleksni broj je iz +=1 Primer: Nadji sve kompleksne brojeve z koji zadovoljavaju:
02 =+ zz www.matematiranje.com
9
Reenje: Neka je biaz += traeni kompleksni broj. Onda je 2 2, z a bi z a b = = +
{
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
ImRe
( ) 0
2 0
2 0
a bi a b
a abi b i a b
a b a b abi
+ + + =+ + + + = + + + =144424443
Kako je = 12i Ovde oigledno I Re I Im moraju biti nula.
2 2 2 2 0
2 0a b a bab + + ==
______________________
Iz 002 == aab v 0=b 1) Ako je 0=a , zamenimo u prvu jednainu:
22
2222 000
bb
bb
==++
( 2b 0)
Ovde je oigledno 0=b ili 1=b 2) Ako je 0=b , zamenimo u prvu jednainu:
22
22
2222
0
000
aa
aa
aa
==+
=++nema reenja sem 0=a
Dakle: 0=z ; iz = I iz = su traeni brojevi. Primer: Za koje vrednosti prirodnog broja n vai jednakost: nn ii )1()1( =+ ? Reenje:
1
111
)1()1(
)1()1(
=
+=
+=+
n
n
n
nn
ii
ii
ii
www.matematiranje.com
10
Transformiemo izraz:
iiiii
iiii
ii
ii
ii
212121)1(2
)1(11)1(
1)1(
11
11
11
22
22
22
2
=+=++=+
+=++=+
+=++
+=+
Dakle:
iiiii ==+=
+22
2)1(
11 2
Vratimo se u 111 =
+ nii
, dobijemo 1=ni A ovo je ( vec smo videli ) mogue za n k4= , Nk .
www.matematiranje.com
1
Trigonometrijski oblik kompleksnog broja
Da se podsetimo:
Kompleksni broj je oblika yixz += x je realni deo, y je imaginarni deo kompleksnog broja, i- je imaginarna jedinica
1=i , )1( 2 =i Dva kompleksna broja iyxz 111 += i iyxz 222 += su jednaka ako je 21 xx = i 21 yy =
Za yixz += broj yixz =_ je konjugovano kompleksan broj.
Modul kompleksnog broja yixz += je : 22 yxz += Kompleksni brojevi se predstavljaju u kompleksnoj ravni, gde je x-osa realna osa, a y-osa imaginarna osa.
Primer:
Taki A odgovara kompleksni broj 3+2i.
Taka B odgovara kompleksnom broju -3+i.
Ako je dat kompleksan broj yixz += onda se njegov realni deo moe zapisati kao: cosrx = a imaginarni sinry = . To moemo videti I sa slike:
x
y
r
x
y
z=x+yi
xyarctg
xytg
rxrx
ryry
==
==
==
coscos
sinsin
www.matematiranje.com
2
Dakle, kompleksni broj je:
cos sin , .(cos sin )
z r r i tjz r i
= += +
Ovaj oblik se zove trigonometrijski. Ovde je r- modul, odnosno: 2 2r x y= + , ugao se zove argument kompleksnog broja. Kako su sinx i cosx periodine funkcije kompleksni broj se moe zapisati I kao :
Zkkikrz
+++= ))2sin()2(cos(
Primer: Pretvoriti sledee kompleksne brojeve u trigonometrijski oblik:
a) iz +=1 b) 31 iz += v) 1=z g) iz = Reenje: a) iz +=1 ta radimo?
Najpre odredimo x i y, nadjemo 22 yxr += zatim xytg = i to zamenimo u
trigonometriski oblik: )sin(cos irz += Dakle: 1,1 == yx 211 22 =+=r
4451
11
===
=
=
otg
tg
xytg
)sin(cos irz +=
)4
sin4
(cos2 iz += www.matematiranje.com
3
b) 31 iz +=
3
1
==
y
x 22 yxr += 2431 ==+=
360
313
===
==
o
tgxytg
)sin(cos irz +=
)3
sin3
(cos2 iz +=
v) 1=z Pazi: Ovo moemo zapisati i kao iz 01+= Dakle:
==
=====
oxytg
yx
180
01
00,1
2 2( 1) 0 1
(cos sin )1 (cos sin )cos sin
r
z r iz iz i
= + =
= += += +
g) iz = ili 1,010 ==+= yxiz
2
01
110 22
=
===+=
tg
r
2
sin2
cos
)sin(cos
iz
irz
+=+=
www.matematiranje.com
4
esto se u zadacima radi lakeg reavanja koristi Ojlerova formula:
cos sinxie x i x= + Primer: Napisati brojeve:
a) 1
b) i
v) -2
preko Ojlerove formule.
Reenje:
Savet: Ovde uvek dodajte periodinost!
a) 1=z tj, 0,1 == yx
))20sin()20(cos(1))2sin()2(cos(
00
101 22
kikzkikrz
xytg
r
o
+++=+++=
====+=
Dakle: kik 2sin2cos1 += , pa je zamenom u cos sinxie x i x= + gde je 2x k=
21 k ie
k Z
=
b) iz = iz 10+= 1,0 == yx
)22
sin()22
cos(
))2sin()2(cos(20
11110 2222
kikz
kikrzxytg
yxr
+++=+++=
======+=+=
Dakle )22
sin()22
cos( kiki +++=
Pa je Zkei
ik
= + )22(
5
v) === )1(22z -1 smo nali u prolom primeru:
[ ])2sin()2cos(22)2sin()2cos(1
kik
kik+++=
+++=
Znai
( 2 )
(2 1)
2 2
2 2
k i
k i
e
ek Z
+
+ = =
Profesori esto vole da pitaju decu da nadju vrednosti ii .
Kada znamo Ojlerov zapis, to nije teko.
U jednom prethodnom primeru smo nali:
Zkei
ik
= + )22(
Onda je:
iiki ei )(
)22
( += Znamo pravilo za stepenovanje mnnm aa =)(
Zkei
eiki
iki
==
+
+
)22
(
)22
( 2
Znamo da je 2 1i =
Ako uzmemo k=0, bie:
2ii e=
www.matematiranje.com
6
Mnoenje I deljenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku
Neka su data dva kompleksna broja u trigonometrijskom obliku:
1 1 1 1
2 2 2 2
(cos sin )(cos sin )
z r iz r i
= += +
Onda je :
[ ][ ])sin()cos(
)sin()cos(
21212
1
2
1
21212121
+=+++=
irr
zz
irrzz
Primer: Dati su kompleksni brojevi:
)4
3sin4
3(cos22
)4
sin4
(cos24
2
1
iz
iz
+=
+=
Nadji:
a) 21 zz
b) 2
1
zz
Reenje:
a)
[ ][ ]4
014sincos4
)4
34
sin()4
34
cos(222421
=+=
+=
+++=
i
izz
www.matematiranje.com
7
b)
[ ]
1
2
4 2 3 3cos( ) sin( )4 4 4 42
2
8 cos( ) sin( ) 8 cos( ) sin( )2 2 2 2
8 0 18
z iz
i i
ii
= +
= + = = =
Stepenovanje kompleksnog broja
Neka je dat kompleksni broj )sin(cos irz += . Onda je (cos sin )n nz r n i n = + Ako kompleksni broj ima modul 1, tj. ako je r=1 onda je:
sincos iz += += ninzn sincos Moavrov obrazac
Primer:
a) Nadji 6z ako je )18
sin18
(cos2 iz +=
b) Nadji 20z ako je iz23
21 =
Reenja:
a)
)31(32)23
21(64
)3
sin3
(cos2
)18
6sin18
6(cos2
)18
sin18
(cos2
6
66
66
iiz
iz
iz
iz
+=+=
+=
+=
+=
8
b) iz23
21 =
Ovde moramo najpre prebaciti kompleksni broj u trigonometrijski oblik.
2 2
20
20
11 3 1 32 ( ) ( ) 12 2 4 43
2
32 3 601 3
2(cos sin )
1(cos( ) sin( ))3 3
cos sin3 3
20 20 20 18 2 2 2cos sin 63 3 3 3 3 3 3
2 2cos sin3
o
xr
y
ytgx
tg tg
z r i
z i
z i
z i pazi
z i
= = + = + == =
= = = =
= += +
=
= = + = + =
= 20
20
31 32 21 (1 3)2
z i
z i
=
= +
www.matematiranje.com
9
Korenovanje kompleksnih brojeva:
Neka je dat:
(cos sin )
2 2(cos sin )n n
z r i
k kz w r in n
= ++ += = +
k- uzima vrednosti od 0 do n-1.
Sve vrednosti n-tog korena broja z, nalaze se na krunici poluprenika n r . Argumenti tih
brojeva (vrednosti korena) ine aritmetiki niz sa razlikom n
d 2= .
Primer: Izraunati:
a) 3 i
b) 6 1
Reenja:
a) Kao to smo ve videli :
2
sin2
cos ii +=
Pa je: 3
22sin
3
22cos3
ki
ki
++
+= gde k uzima vrednosti: 2,1,0=k
Za k=0
21
23
6sin
6cos
3
02sin
3
02cos
iw
iw
iw
o
o
o
+=
+=
++
+=
10
Za k=1
21
23
65sin
65cos
3
22sin
3
22cos
1
1
1
iw
iw
iw
+=
+=
++
+=
Za k=2
iw
iw
iw
=+=
++
+=
2
2
2
69sin
69cos
3
42sin
3
42cos
Geometrijski gledano , 21,, wwwo su temena jednakostraninog trougla na krunici
poluprenika 113 ==r sa centrom u 0 kompleksne ravni!
x
y
WW
W-i
i
1-1
01
2
www.matematiranje.com
11
b) sincos1 i+= == ,1r
5,4,3,2,1,0
62sin
62cos16
=
+++=k
kik
Za k=0
21
23
6sin
6cos iiwo +=+=
Za k=1
iiw
iw
=+=
+++=
2sin
2cos
62sin
62cos
1
1
Za k=2
21
23
65sin
65cos
64sin
64cos
2
2
+=+=
+++=
iiw
iw
Za k=3
21
23
67sin
67cos
66sin
66cos
3
3
iiw
iw
=+=
+++=
Za k=4
iiw
iw
=+=
+++=
69sin
69cos
68sin
68cos
4
4
www.matematiranje.com
12
Za k=5
21
23
611sin
611cos
610sin
610cos
5
5
iiw
iw
=+=
+++=
Geometrijski gledano, 5,...,wwo su temena pravilnog estougla!
x
y
W
W
W
-i
i
1-1
0
1
2
W
W
W3
4
5
www.matematiranje.com
TRIGONOMETRIJSKI KRUG Uglovi mogu da se mere u stepenima i radijanima. Sa pojmom stepena smo se upoznali jo u osnovnoj koli i ako se seate , njega smo podelili na minute i sekunde.( 10=60` , 1`=60`` ). Da bi objasnili ta je to radijan, posmatraemo krunicu poluprenika R .Obim krunice se rauna po formuli O= 2R , a znamo da je
14,3 .Ako uzmemo deo te krunice (kruni luk) koji je duine ba R , njemu odgovara neki centralni ugao . Mera centralnog ugla koji odgovara luku duine R je jedan radijan. Jasno je da onda pun ugao ima 2 radijana. Odnosno: 3600=2 radijana 1800= ZAPAMTI
Vai dakle:
radijana
radijana
radijana
6060180``1
601801`
18010
==
=
I obrnuto: ``45`17571801 00
= rad Primer 1: Nai radijansku meru ugla od:
`3082)245)75)
0
0
0
vba
Reenje: a) Kako je radijana180
10 = to je 125
18075750 ==
b) 36
49180
2452450 == v)
2411
6018030
18082`30820 =+=
www.matematiranje.com
Primer 2. Nai meru u stepenima ugla ija je radijanska mera:
radijanav
b
a
5)6
11)
43)
Reenje:
``45`28286``45`88285``225`85285
``)45`1757(55)
330618011
611)
13541803
43)
0
0
0
0
0
0
===
===
==
radijanav
b
a
Dalje smo ugao definisali kao dve poluprave sa zajednikim poetkom.A moemo razmiljati i ovako:Uoimo jednu polupravu koja moe da se obre oko svoje poetne take O.Pri obrtanju emo razlikovati dva smera: POZITIVAN smer suprotan od smera kretanja kazaljke na asovniku i NEGATIVAN- smer kretanja kazaljke asovnika. Ako obeleimo sa a poetni a sa b zavrni poloaj poluprave nakon obrtanja oo take O u jednom ili drugom smeru, ugao ab zovemo ORIJENTISAN UGAO.
O a
b
TRIGONOMETRIJSKI KRUG je krug poluprenika 1 iji je centar u koordinatnom poetku.
www.matematiranje.com
0x
y
A(1,0).
Taka A(1,0) koja pripada trigonometrijskom krugu zove se POETNA taka. Na trigonometrijskom krugu emo posmatrati razliite lukove koji svi poinju u taki A. Luk koji obilazimo u smeru suprotnom od kazaljke na asovniku je POZITIVAN luk, a u smeru kazaljke je NEGATIVAN luk. Uglovi po kvadrantima idu ovako:
x
y
. 2
23
2
0
III
III IV
iz I kvadranta: 2
0
Uglovi 0, 2 , ,
23 , su granini i uzima se da nisu ni u jednom kvadrantu.
Uglove ije emo vrednosti oitavati sa trigonometrijskog kruga su sledei:
0 360 2o o = =
306
o =
603
o =45
4o =
902
o =21203
o =31354
o =51506
o =
180o =
72106
o =
52254
o =42403
o =32702
o =
53003
o =
113306
o =73154
o =1
1
11
Sinus i kosinus proizvoljnog ugla Za bilo koji proizvoljan ugao uvek jedan krak poklopimo sa x osom, tj, sa poetnom takom A(1,0), drugi krak see trigonometrijski u nekoj taki M(x0,y0). Iz te take spustimo normale na x i y osu. Te duine su: - Na x-osi cos ( cos =x0) - Na y-osi sin (sin =y0)
www.matematiranje.com
xy
.
sin
cos
M(x ,y )00
Evo naeg predloga kako da zapamtite vrednosti i da ih proitate sa kruga. Zapamtimo tri broja:
21 ,
22 ,
23
koji su poreani od najmanjeg do najveeg.
Broj u sredini 22 odgovara uglovima koji su sredine kvadranata!
Znai sinusi i kosinusi uglova od 45 , 135 , 225 i 315 stepeni imaju vrednost 22 , samo vodimo rauna da li
je ta vrednost +22 ili -
22 .
Evo to na slikama , pa e biti jasnije:
0
x
y
.1
145 0
sin 450=cos450=22
www.matematiranje.com
0x.
y
1
-1
1350
sin 1350=22 a cos 1350= -
22
x
y
.
2250
-1
-1
sin 2250= - 22 cos 2250= -
22
x
y
.
3150
1
-1
sin 3150= - 22 a cos 3150=
22
www.matematiranje.com
Ta ostale uglove vrednosti e biti 22 ili
23 , naravno opet gledamo da li je + ili - .
Evo par primera: Primer1. Nai sin 600 i cos 600
x
y
.
sin 60
cos 600
0
600
Kako ugao od 600 nije sredina kvadranta, to e vrednosti za sin 600 i cos 600 biti 21 i
23 i to obe
pozitivne.Poto je crta za sin 600 dua, ona mora biti 23 (jer je vei broj) a cos 600 je
21 jer je crta tu kraa.
Dakle: sin 600=23 i cos 600 =
21
Primer 2. Nai sin1500 i cos 1500
x
y
.sin 150
cos 150
1500
0
0
Crta za sin1500 je kraa i pozitivna a crta za cos 1500 je dua i negativna, pa je : sin1500=21 a cos 1500=-
23
Primer 3.
Nai sin3
4 i cos3
4 . Ako date uglove u radijanima prebacimo u stepene, dobijamo da je to
34 = 2400
x
y
.
sin240
cos240
240
0
0
0
Znai, radi se o uglu u treem kvadrantu i nije sredina kvadranta. Primetiemo da su obe vrednosti negativne,
sinus je dui a kosinus krai. Zakljuujemo: sin3
4 = -23 i cos
34 = -
21
Primer 4. Nai sin(- 300) i cos(- 300) Ovaj ugao, poto je negativan ide u smeru kazaljke na satu. U pozitivnom smeru to bi bio ugao od 3300.
x
y
.
sin(-30 )
cos(-30 )
-30
0
0
0
sin(- 300) = sin 3300=-21 i cos(- 300)=cos3300=
23
Da pogledamo ta je sa uglovima od 0, 2 , ,
23
www.matematiranje.com
xy
.10
0
Kraci ovog ugla se poklapaju , x osu seku do jedinice, a y osu nigde, zato je cos00=1 (cela crta) a sin00=0 (nema crte)
x
y
.
1
900
Ugao od 900 see y osu po celoj crti a x osu nigde. Pa je sin 900=1 a cos 900=0
x
y
.0
180-1
sin 1800=0 cos 1800= - 1
www.matematiranje.com
0x
y
.
-1270
sin2700=-1 cos 2700=0 Tangens i kontangens proizvoljnog ugla
Ve smo se ranije upoznali sa formulama
cossin=tg i
sincos=ctg , naravno pod uslovima da
su imenioci razliiti od nule.
Moemo zakljuiti da je tg definisan za cos 0 ,odnosno za 2 +k , kZ
A ctg za sin 0, odnosno za k , kZ To znai da ako znamo da naemo sin i cos , znamo i tg i ctg Primer 1. Nai:
a) tg4
b) ctg 3000
a) tg4 = tg 450=
22
22
45cos45sin
0
0
= =1
b) ctg 3000=33
23
21
300sin300cos
0
0
=
=
www.matematiranje.com
Nauimo sada gde se itaju tangensi i kotangensi na trigonometrijskom krugu. Uoimo pravu x=1. Ona oigledno prolazi kroz taku A(1,0) i paralelna je sa y osom.Jedan krak datog ugla opet poklopimo sa x osom a drugi krak e sei ovu pravu x=1 koju emo zvati TANGENSNA osa . Odseak na tangensnoj osi je ustvari vrednost za tg . Evo to na slici:
y
.A(1,0)
tg
tangensna osa
x
y
.A(1,0)
tg
tangensna osa
Uoimo sada pravu y=1 koja prolazi kroz taku B(0,1) i paralelna je x osi. Tu pravu emo zvati KOTANGENSNA osa i na njoj emo oitavati vrednost za kotangense uglova. Evo slike:
x
y
.
tg
x
y
.
tg tangensna osac koB(0,1)
www.matematiranje.com
Ovde razmiljamo slino kao za sinuse i cosinuse, samo moramo da zapamtimo nova tri broja :
33 , 1, 3
Broj 1, pozitivan ili negativan je vrednost za tangense i kotangense uglova koji su sredine kvadranata, tj. za 45,135,225 i 315 stepeni a za ostale uglove gledamo duinu CRTA koje odsecaju na tangensnoj i kotangesnoj osi i da li je pozitivna ili negativna.
Vea crta je 3 , a manja je 33
Evo nekoliko primera:
x
y
.
tg45
ctg45
45
0
0
0
tg450=1 i ctg450=1 Sredina kvadranta je u pitanju, pa su vrednosti 1.
x
y
.120
tg120
ctg1200
0
0
PAZI: Poto krak ugla ne see tangensnu osu ,moramo ga produiti do preseka sa osom. Uoimo da su obe vrednosti negativne i da je tangens dui a kotangens krai!
Dakle : tg 1200= - 3 i ctg 1200= - 33
www.matematiranje.com
x
y
.
tg240
ctg240
240
0
0
0
tg2400= 3 i ctg 2400=33 (uoi duine ovih podebljanih crta)
ta je sa graninim uglovima?
x
y
. 2
23
2
0
Za 0 stepeni vidimo da ugao ne see nigde tangensnu osu , pa je tg00=0, za ctg00 krak i kotangensna osa idu paralelno, pa kaemo da ctgx tei beskonanosti kad x tei nuli u pozitivnom smeru. Slino je za ugao od 1800. Opet je tangens nula a kotangens tei - . Za ugao od 900 je obrnuta situacija: ctg900=0 a tg900 tei + . Za ugao od 2700 je ctg2700=0 a tg2700 tei - .
www.matematiranje.com
0 360 2o o = =
306
o =
603
o =45
4o =
902
o =21203
o =31354
o =51506
o =
180o =
72106
o =
52254
o =42403
o =32702
o =
53003
o =
113306
o =73154
o =
12
12
22
22
32
32
1
1
12
12
32
32
22
22
11
Evo male pomoi za one koji su nauili da se snalaze na krugu!
www.matematiranje.com