Kompleksni brojevi

  • View
    156

  • Download
    6

Embed Size (px)

Text of Kompleksni brojevi

  • 1

    Kompleksni brojevi (C)

    Kompleksni brojevi su izrazi oblika: biaz += gde su a i b realni brojevi a i simbol koji ima vrednost 1=i . Za kompleksan broj biaz += , a je njegov realni deo i obeleava se az =)Re( , b je njegov imaginarni deo i obeleava se bz =)Im( , a 1=i je imaginarna jedinica. Primeri:

    0)Im(,2)Re(28)Im(,0)Re(8

    7)Im(,43)Re(7

    43

    2)Im(,5)Re(254)Im(,5)Re(45

    555

    444

    333

    222

    111

    ======

    ======

    ==+=

    zzzzziz

    zziz

    zzizzziz

    Dva kompleksna broja bia + i dic + su jednaka ako i samo ako je ca = i db = ,tj imaju iste realne i imaginarne delove.

    Poto smo rekli da je 1=i ,zanimljivo je videti kako se ponaaju stepeni broja i .

    11

    11

    1)1)(1(1

    11

    448

    3347

    2246

    45

    _________________________________

    224

    23

    2

    =====

    ======

    ======

    ==

    iiiiiiii

    iiiiiiiii

    iiiiiiii

    ii

    itd.

    www.matematiranje.com

  • 2

    ta zakljuujemo? i stepenovano bilo kojim brojem moe imati samo jednu od ove 4 vrednosti: ii ,1, ili 1. Uopteno, tu injenicu bi mogli zapisati:

    iii

    iii

    k

    k

    k

    k

    ==

    ==

    +

    +

    +

    34

    24

    14

    4

    1

    1

    za .Nk

    Kako ovo primeniti u zadacima?

    Primeri:

    Izraunati:

    23

    102

    25

    2006

    100

    )))))

    idigivibia

    100)ia

    Ovde postoje 2 ideje : Ili da koristimo da je 14 =i i naravno pravila za stepen : nmnm aa =)( i nmnm aaa =+

    Dakle: 1)1()( 50502100 === ii ili druga ideja da je 4 1ki = 11)( 50504100 === ii Odluite sami ta vam je lake!

    ?) 2006 =ib 1)1()( 1003100322006 === ii

    www.matematiranje.com

  • 3

    iiiiiiiiv ===== 1)1()() 1212212425 Kad je stepen neparan, napiemo ga kao za 1 manji paran broj pa plus 1, to jest

    12425 += .

    1)1()() 51512102 === iig iiiiiiiid ===== 1)1()() 1111212223

    Pazi: )1( paran broj 1= )1( neparan broj 1=

    Kako se sabiraju, oduzimaju I mnoe kompleksni brojevi?

    1) Zbir dva kompleksna broja bia + i dic + je kompleksan broj )()( dbica +++ , a njihova razlika je )()( dbica + . To znai da se sabiraju I oduzimaju normalno, kao u R.

    Primer: iz

    iz10435

    2

    1

    =+=

    iiiiizz 79103451043521 =++=++=+

    iiiiizz 13110435)104(3521 +=++=+= 2) Proizvod dva kompleksna broja bia + i dic + je kompleksan broj

    ++ )()( bcadibdac mnoi se svaki sa svakim I vodimo rauna da je 2 1i = 2)()(

    +++=++ ibdbciadiacdicbia

    )( bcadibdac

    bdbciadiac++=++=

    www.matematiranje.com

  • 4

    Primer: iziz

    2453

    2

    1

    =+=

    =++=+= 221 1020612)24()53( iiiiizz [sad zameni da je 12 =i , pa

    10)1(1010 2 == i ] iii 2621020612 +=+++=

    Deljenje kompleksnih brojeva Recimo najpre da svaki kompleksan broj ima svoj konjugovan broj.

    Za z a bi z a bi= + = je konjugovan broj.

    Primeri: za iz 1210+= je iz 1210= za iz 34= je iz 34+=

    za iz 54+= je iz 54= Dva kompleksna broja se dele tako to izvrimo racionalisanje sa konjugovanim brojem delioca.

    =+

    +=++

    dicdic

    dicbia

    dicbia

    gore mnoimo svaki sa svakim a dole je razlika kvadrata.

    2 2 2 2( )( ) ( )( )

    ( )a bi c di a bi c dic di c d+ + = = +

    Primer 1)

    =++=+

    ++=

    += 22 )3(4)34)(25(

    3434

    3425

    3425

    iii

    ii

    ii

    ii

    www.matematiranje.com

  • 5

    2

    22 2

    20 15 8 6 ( 1)16 3

    20 15 8 6 14 23 14 2316 9 25 25 25

    i i i ii

    i i i i

    + + += = = + + += = = ++

    Savet: Uvek na kraju rastavi icb

    ca

    cbia +=+ da bi mogao da proita )Re(z i

    )Im(z Primer 2)

    ii

    ii

    ii

    3535

    3573

    3573

    +

    +=++

    2 2

    2

    2 2

    (3 7 )( 5 3 )( 5) (3 )15 9 35 21

    25 315 9 35 21

    25 96 44 6 44 3 22

    34 34 34 17 17

    i ii

    i i ii

    i i

    i i i

    + = = += += = =

    Modul kompleksnog broja biaz += je nenegativan broj 22 baz +=

    Primeri: Za iz 43+= je 516943 22 =+=+=z Za iz 129= je 1514481)12()9( 22 =+=+=z Naveemo neke od osobina vezanih za kompleksne brojeve koje e nam dosta pomoi u reavanju zadataka:

    1) 1221 zzzz +=+ ( komutativnost) 2) 1 2 3 1 2 3( ) ( )z z z z z z+ + = + + ( asocijativnost) 3) zzz =+=+ 00 (0 je netral za +) 4) 0'' =+=+ zzzz ( 'z je suprotni broj) www.matematiranje.com

  • 6

    5) 1221 zzzz = 6) )()( 321321 zzzzzz = 7) zzz == 11 (1 je neutral za ) 8) 1'' == zzzz ( 'z je inverzni za ) 9) 1 2 3 1 3 2 3( )z z z z z z z+ = + ( distributivnost) 10) 2121 zzzz = 11) 22 zz =

    12) 2

    1

    2

    1

    zz

    zz =

    Primer : Nadji realni I imaginarni deo kompleksnog broja: 512

    )1()1(iiz +

    = Odredimo najpre ?)1( 12 = i Podjimo od 2 2(1 ) 1 2 1 2 1 2i i i i i = + = = Kako je 642)1(22)2())1(()1( 666666212 ====== iiii Nadjimo dalje ?)1( 5 =+ i

    iiiii 212121)1( 22 =+=++=+

    )1(4)1(4)1()2()1())1(()1()1()1(

    2

    22245

    iiiiiiiiii

    +=+=+=++=++=+

    i

    iiiii

    ii

    iiiiiz

    88

    )1(82

    )1(1611

    )1(161

    )1(1611

    116

    116

    )1(464

    )1()1(

    22

    5

    12

    ====+

    ==

    =+=+=+

    =+=

    Dakle : Re 8)( =z 8)Im( =z

    www.matematiranje.com

  • 7

    Primer : Nadji x i y iz

    { { {

    2

    ReRe ImIm

    1 ( 3) (1 )(5 3 )1 ( 3) 5 3 5 31 ( 3) 5 8 31 ( 3) 2 8

    x y i i ix y i i i ix y i ix y i i

    + + = + + + + = + + + + + = + + + = +123

    Dakle : 53883

    31221===+=+==yyyxxx

    Primer: Ako je 2

    31 iw += dokazati da je 012 =++ ww Reenje:

    2

    2

    2

    1 3 1 3 12 2

    1 2 3 ( 3) 1 3 14 2

    1 2 3 3 1 3 14 2

    1 2 3 3 2( 1 3) 44

    1 2 3

    i i

    i i i

    i i i

    i i

    i

    + ++ + = + ++ + = + ++ + = + + + = 3 2 2 3i + 4 0 0

    4 4+ = =

    Primer: Odredi sve kompleksne brojeve z koji zadovoljavaju sistem jednaina:

    1

    2

    ==ziz

    ziz

    www.matematiranje.com

  • 8

    Reenje: Neka je biaz +=

    22

    22

    22

    )1(1111

    )1()1(

    )2(2)2(22

    bazbiabiaz

    baizbiaibiaiz

    baizbiaibiaiz

    +=+=+=+=+=+=

    +=+=+=

    Dakle:

    2222

    2222

    )1()1(

    )2(

    baba

    baba

    +=++=+

    Kvadrirajmo obe jednaine!

    ___________________________________________

    2 2 2 2

    2 2 2 2

    ( 2)( 1) ( 1)

    a b a ba b a b

    + = ++ = +

    ___________________________________________

    1

    4444 22

    ==

    =+

    bb

    bbbzamenimo u drugu jednainu

    2 2 2 2

    2 2 2 2

    2 2

    ( 1) ( 1)(1 1) ( 1) 10 2 1 1

    2 21

    a b a ba aa a aa

    a

    + = ++ = ++ = + +=

    =

    Traeni kompleksni broj je iz +=1 Primer: Nadji sve kompleksne brojeve z koji zadovoljavaju:

    02 =+ zz www.matematiranje.com

  • 9

    Reenje: Neka je biaz += traeni kompleksni broj. Onda je 2 2, z a bi z a b = = +

    {

    2 2 2

    2 2 2 2 2

    2 2 2 2

    ImRe

    ( ) 0

    2 0

    2 0

    a bi a b

    a abi b i a b

    a b a b abi

    + + + =+ + + + = + + + =144424443

    Kako je = 12i Ovde oigledno I Re I Im moraju biti nula.

    2 2 2 2 0

    2 0a b a bab + + ==

    ______________________

    Iz 002 == aab v 0=b 1) Ako je 0=a , zamenimo u prvu jednainu:

    22

    2222 000

    bb

    bb

    ==++

    ( 2b 0)

    Ovde je oigledno 0=b ili 1=b 2) Ako je 0=b , zamenimo u prvu jednainu:

    22

    22

    2222

    0

    000

    aa

    aa

    aa

    ==+

    =++nema reenja sem 0=a

    Dakle: 0=z ; iz = I iz = su traeni brojevi. Primer: Za koje vrednosti prirodnog broja n vai jednakost: nn ii )1()1( =+ ? Reenje:

    1

    111

    )1()1(

    )1()1(

    =

    +=

    +=+

    n

    n

    n

    nn

    ii

    ii

    ii

    www.matematiranje.com

  • 10

    Transformiemo izraz:

    iiiii

    iiii

    ii

    ii

    ii

    212121)1(2

    )1(11)1(

    1)1(

    11

    11

    11

    22

    22

    22

    2

    =+=++=+

    +=++=+

    +=++

    +=+

    Dakle:

    iiiii ==+=

    +22

    2)1(

    11 2

    Vratimo se u 111 =

    + nii

    , dobijemo 1=ni A ovo je ( vec smo videli ) mogue za n k4= , Nk .

    www.matematiranje.com

  • 1

    Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

    Da se podsetimo:

    Kompleksni broj je oblika yixz += x je realni deo, y je imaginarni deo kompleksnog broja, i- je imaginarna jedinica

    1=i , )1( 2 =i Dva kompleksna broja iyxz 111 += i iyxz 222 += su jednaka ako je 21 xx = i 21 yy =

    Za yixz += broj yixz =_ je konjugovano kompleksan broj.

    Modul kompleksnog broja yixz += je : 22 yxz += Kompleksni brojevi se predstavljaju u kompleksnoj ravni, gde je x-os