Kompleksni brojevi

1

Kompleksni brojevi (C)

Kompleksni brojevi su izrazi oblika: biaz += gde su a i b realni brojevi a i simbol koji ima vrednost 1=i . Za kompleksan broj biaz += , a je njegov realni deo i obeleava se az =)Re( , b je njegov imaginarni deo i obeleava se bz =)Im( , a 1=i je imaginarna jedinica. Primeri:

0)Im(,2)Re(28)Im(,0)Re(8

7)Im(,43)Re(7

43

2)Im(,5)Re(254)Im(,5)Re(45

555

444

333

222

111

======

======

==+=

zzzzziz

zziz

zzizzziz

Dva kompleksna broja bia + i dic + su jednaka ako i samo ako je ca = i db = ,tj imaju iste realne i imaginarne delove.

Poto smo rekli da je 1=i ,zanimljivo je videti kako se ponaaju stepeni broja i .

11

11

1)1)(1(1

11

448

3347

2246

45

_________________________________

224

23

2

=====

======

======

==

iiiiiiii

iiiiiiiii

iiiiiiii

ii

itd.

www.matematiranje.com

2

ta zakljuujemo? i stepenovano bilo kojim brojem moe imati samo jednu od ove 4 vrednosti: ii ,1, ili 1. Uopteno, tu injenicu bi mogli zapisati:

iii

iii

k

k

k

k

==

==

+

+

+

34

24

14

4

1

1

za .Nk

Kako ovo primeniti u zadacima?

Primeri:

Izraunati:

23

102

25

2006

100

)))))

idigivibia

100)ia

Ovde postoje 2 ideje : Ili da koristimo da je 14 =i i naravno pravila za stepen : nmnm aa =)( i nmnm aaa =+

Dakle: 1)1()( 50502100 === ii ili druga ideja da je 4 1ki = 11)( 50504100 === ii Odluite sami ta vam je lake!

?) 2006 =ib 1)1()( 1003100322006 === ii


3

iiiiiiiiv ===== 1)1()() 1212212425 Kad je stepen neparan, napiemo ga kao za 1 manji paran broj pa plus 1, to jest

12425 += .

1)1()() 51512102 === iig iiiiiiiid ===== 1)1()() 1111212223

Pazi: )1( paran broj 1= )1( neparan broj 1=

Kako se sabiraju, oduzimaju I mnoe kompleksni brojevi?

1) Zbir dva kompleksna broja bia + i dic + je kompleksan broj )()( dbica +++ , a njihova razlika je )()( dbica + . To znai da se sabiraju I oduzimaju normalno, kao u R.

Primer: iz

iz10435

2

1

=+=

iiiiizz 79103451043521 =++=++=+

iiiiizz 13110435)104(3521 +=++=+= 2) Proizvod dva kompleksna broja bia + i dic + je kompleksan broj

++ )()( bcadibdac mnoi se svaki sa svakim I vodimo rauna da je 2 1i = 2)()(

+++=++ ibdbciadiacdicbia

)( bcadibdac

bdbciadiac++=++=


4

Primer: iziz

2453

2

1

=+=

=++=+= 221 1020612)24()53( iiiiizz [sad zameni da je 12 =i , pa

10)1(1010 2 == i ] iii 2621020612 +=+++=

Deljenje kompleksnih brojeva Recimo najpre da svaki kompleksan broj ima svoj konjugovan broj.

Za z a bi z a bi= + = je konjugovan broj.

Primeri: za iz 1210+= je iz 1210= za iz 34= je iz 34+=

za iz 54+= je iz 54= Dva kompleksna broja se dele tako to izvrimo racionalisanje sa konjugovanim brojem delioca.

=+

+=++

dicdic

dicbia

dicbia

gore mnoimo svaki sa svakim a dole je razlika kvadrata.

2 2 2 2( )( ) ( )( )

( )a bi c di a bi c dic di c d+ + = = +

Primer 1)

=++=+

++=

+= 22 )3(4)34)(25(

3434

3425

3425

iii

ii

ii

ii


5

2

22 2

20 15 8 6 ( 1)16 3

20 15 8 6 14 23 14 2316 9 25 25 25

i i i ii

i i i i

+ + += = = + + += = = ++

Savet: Uvek na kraju rastavi icb

ca

cbia +=+ da bi mogao da proita )Re(z i

)Im(z Primer 2)

ii

ii

ii

3535

3573

3573

+

+=++

2 2

2

2 2

(3 7 )( 5 3 )( 5) (3 )15 9 35 21

25 315 9 35 21

25 96 44 6 44 3 22

34 34 34 17 17

i ii

i i ii

i i

i i i

+ = = += += = =

Modul kompleksnog broja biaz += je nenegativan broj 22 baz +=

Primeri: Za iz 43+= je 516943 22 =+=+=z Za iz 129= je 1514481)12()9( 22 =+=+=z Naveemo neke od osobina vezanih za kompleksne brojeve koje e nam dosta pomoi u reavanju zadataka:

1) 1221 zzzz +=+ ( komutativnost) 2) 1 2 3 1 2 3( ) ( )z z z z z z+ + = + + ( asocijativnost) 3) zzz =+=+ 00 (0 je netral za +) 4) 0'' =+=+ zzzz ( 'z je suprotni broj) www.matematiranje.com

6

5) 1221 zzzz = 6) )()( 321321 zzzzzz = 7) zzz == 11 (1 je neutral za ) 8) 1'' == zzzz ( 'z je inverzni za ) 9) 1 2 3 1 3 2 3( )z z z z z z z+ = + ( distributivnost) 10) 2121 zzzz = 11) 22 zz =

12) 2

1

2

1

zz

zz =

Primer : Nadji realni I imaginarni deo kompleksnog broja: 512

)1()1(iiz +

= Odredimo najpre ?)1( 12 = i Podjimo od 2 2(1 ) 1 2 1 2 1 2i i i i i = + = = Kako je 642)1(22)2())1(()1( 666666212 ====== iiii Nadjimo dalje ?)1( 5 =+ i

iiiii 212121)1( 22 =+=++=+

)1(4)1(4)1()2()1())1(()1()1()1(

2

22245

iiiiiiiiii

+=+=+=++=++=+

i

iiiii

ii

iiiiiz

88

)1(82

)1(1611

)1(161

)1(1611

116

116

)1(464

)1()1(

22

5

12

====+

==

=+=+=+

=+=

Dakle : Re 8)( =z 8)Im( =z


7

Primer : Nadji x i y iz

{ { {

2

ReRe ImIm

1 ( 3) (1 )(5 3 )1 ( 3) 5 3 5 31 ( 3) 5 8 31 ( 3) 2 8

x y i i ix y i i i ix y i ix y i i

+ + = + + + + = + + + + + = + + + = +123

Dakle : 53883

31221===+=+==yyyxxx

Primer: Ako je 2

31 iw += dokazati da je 012 =++ ww Reenje:

2

2

2

1 3 1 3 12 2

1 2 3 ( 3) 1 3 14 2

1 2 3 3 1 3 14 2

1 2 3 3 2( 1 3) 44

1 2 3

i i

i i i

i i i

i i

i

+ ++ + = + ++ + = + ++ + = + + + = 3 2 2 3i + 4 0 0

4 4+ = =

Primer: Odredi sve kompleksne brojeve z koji zadovoljavaju sistem jednaina:

1

2

==ziz

ziz


8

Reenje: Neka je biaz +=

22

22

22

)1(1111

)1()1(

)2(2)2(22

bazbiabiaz

baizbiaibiaiz

baizbiaibiaiz

+=+=+=+=+=+=

+=+=+=

Dakle:

2222

2222

)1()1(

)2(

baba

baba

+=++=+

Kvadrirajmo obe jednaine!

___________________________________________

2 2 2 2

2 2 2 2

( 2)( 1) ( 1)

a b a ba b a b

+ = ++ = +

___________________________________________

1

4444 22

==

=+

bb

bbbzamenimo u drugu jednainu

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

( 1) ( 1)(1 1) ( 1) 10 2 1 1

2 21

a b a ba aa a aa

a

+ = ++ = ++ = + +=

=

Traeni kompleksni broj je iz +=1 Primer: Nadji sve kompleksne brojeve z koji zadovoljavaju:

02 =+ zz www.matematiranje.com

9

Reenje: Neka je biaz += traeni kompleksni broj. Onda je 2 2, z a bi z a b = = +

{

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

ImRe

( ) 0

2 0

2 0

a bi a b

a abi b i a b

a b a b abi

+ + + =+ + + + = + + + =144424443

Kako je = 12i Ovde oigledno I Re I Im moraju biti nula.

2 2 2 2 0

2 0a b a bab + + ==

______________________

Iz 002 == aab v 0=b 1) Ako je 0=a , zamenimo u prvu jednainu:

22

2222 000

bb

bb

==++

( 2b 0)

Ovde je oigledno 0=b ili 1=b 2) Ako je 0=b , zamenimo u prvu jednainu:

22

22

2222

0

000

aa

aa

aa

==+

=++nema reenja sem 0=a

Dakle: 0=z ; iz = I iz = su traeni brojevi. Primer: Za koje vrednosti prirodnog broja n vai jednakost: nn ii )1()1( =+ ? Reenje:

1

111

)1()1(

)1()1(

=

+=

+=+

n

n

n

nn

ii

ii

ii


10

Transformiemo izraz:

iiiii

iiii

ii

ii

ii

212121)1(2

)1(11)1(

1)1(

11

11

11

22

22

22

2

=+=++=+

+=++=+

+=++

+=+

Dakle:

iiiii ==+=

+22

2)1(

11 2

Vratimo se u 111 =

+ nii

, dobijemo 1=ni A ovo je ( vec smo videli ) mogue za n k4= , Nk .


1

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

Da se podsetimo:

Kompleksni broj je oblika yixz += x je realni deo, y je imaginarni deo kompleksnog broja, i- je imaginarna jedinica

1=i , )1( 2 =i Dva kompleksna broja iyxz 111 += i iyxz 222 += su jednaka ako je 21 xx = i 21 yy =

Za yixz += broj yixz =_ je konjugovano kompleksan broj.

Modul kompleksnog broja yixz += je : 22 yxz += Kompleksni brojevi se predstavljaju u kompleksnoj ravni, gde je x-osa realna osa, a y-osa imaginarna osa.

Primer:

Taki A odgovara kompleksni broj 3+2i.

Taka B odgovara kompleksnom broju -3+i.

Ako je dat kompleksan broj yixz += onda se njegov realni deo moe zapisati kao: cosrx = a imaginarni sinry = . To moemo videti I sa slike:

x

y

r

x

y

z=x+yi

xyarctg

xytg

rxrx

ryry

==

==

==

coscos

sinsin


2

Dakle, kompleksni broj je:

cos sin , .(cos sin )

z r r i tjz r i

= += +

Ovaj oblik se zove trigonometrijski. Ovde je r- modul, odnosno: 2 2r x y= + , ugao se zove argument kompleksnog broja. Kako su sinx i cosx periodine funkcije kompleksni broj se moe zapisati I kao :

Zkkikrz

+++= ))2sin()2(cos(

Primer: Pretvoriti sledee kompleksne brojeve u trigonometrijski oblik:

a) iz +=1 b) 31 iz += v) 1=z g) iz = Reenje: a) iz +=1 ta radimo?

Najpre odredimo x i y, nadjemo 22 yxr += zatim xytg = i to zamenimo u

trigonometriski oblik: )sin(cos irz += Dakle: 1,1 == yx 211 22 =+=r

4451

11

===

=

=

otg

tg

xytg

)sin(cos irz +=

)4

sin4

(cos2 iz += www.matematiranje.com

3

b) 31 iz +=

3

1

==

y

x 22 yxr += 2431 ==+=

360

313

===

==

o

tgxytg

)sin(cos irz +=

)3

sin3

(cos2 iz +=

v) 1=z Pazi: Ovo moemo zapisati i kao iz 01+= Dakle:

==

=====

oxytg

yx

180

01

00,1

2 2( 1) 0 1

(cos sin )1 (cos sin )cos sin

r

z r iz iz i

= + =

= += += +

g) iz = ili 1,010 ==+= yxiz

2

01

110 22

=

===+=

tg

r

2

sin2

cos

)sin(cos

iz

irz

+=+=


4

esto se u zadacima radi lakeg reavanja koristi Ojlerova formula:

cos sinxie x i x= + Primer: Napisati brojeve:

a) 1

b) i

v) -2

preko Ojlerove formule.

Reenje:

Savet: Ovde uvek dodajte periodinost!

a) 1=z tj, 0,1 == yx

))20sin()20(cos(1))2sin()2(cos(

00

101 22

kikzkikrz

xytg

r

o

+++=+++=

====+=

Dakle: kik 2sin2cos1 += , pa je zamenom u cos sinxie x i x= + gde je 2x k=

21 k ie

k Z

=

b) iz = iz 10+= 1,0 == yx

)22

sin()22

cos(

))2sin()2(cos(20

11110 2222

kikz

kikrzxytg

yxr

+++=+++=

======+=+=

Dakle )22

sin()22

cos( kiki +++=

Pa je Zkei

ik

= + )22(

5

v) === )1(22z -1 smo nali u prolom primeru:

[ ])2sin()2cos(22)2sin()2cos(1

kik

kik+++=

+++=

Znai

( 2 )

(2 1)

2 2

2 2

k i

k i

e

ek Z

+

+ = =

Profesori esto vole da pitaju decu da nadju vrednosti ii .

Kada znamo Ojlerov zapis, to nije teko.

U jednom prethodnom primeru smo nali:

Zkei

ik

= + )22(

Onda je:

iiki ei )(

)22

( += Znamo pravilo za stepenovanje mnnm aa =)(

Zkei

eiki

iki

==

+

+

)22

(

)22

( 2

Znamo da je 2 1i =

Ako uzmemo k=0, bie:

2ii e=


6

Mnoenje I deljenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku

Neka su data dva kompleksna broja u trigonometrijskom obliku:

1 1 1 1

2 2 2 2

(cos sin )(cos sin )

z r iz r i

= += +

Onda je :

[ ][ ])sin()cos(

)sin()cos(

21212

1

2

1

21212121

+=+++=

irr

zz

irrzz

Primer: Dati su kompleksni brojevi:

)4

3sin4

3(cos22

)4

sin4

(cos24

2

1

iz

iz

+=

+=

Nadji:

a) 21 zz

b) 2

1

zz

Reenje:

a)

[ ][ ]4

014sincos4

)4

34

sin()4

34

cos(222421

=+=

+=

+++=

i

izz


7

b)

[ ]

1

2

4 2 3 3cos( ) sin( )4 4 4 42

2

8 cos( ) sin( ) 8 cos( ) sin( )2 2 2 2

8 0 18

z iz

i i

ii

= +

= + = = =

Stepenovanje kompleksnog broja

Neka je dat kompleksni broj )sin(cos irz += . Onda je (cos sin )n nz r n i n = + Ako kompleksni broj ima modul 1, tj. ako je r=1 onda je:

sincos iz += += ninzn sincos Moavrov obrazac

Primer:

a) Nadji 6z ako je )18

sin18

(cos2 iz +=

b) Nadji 20z ako je iz23

21 =

Reenja:

a)

)31(32)23

21(64

)3

sin3

(cos2

)18

6sin18

6(cos2

)18

sin18

(cos2

6

66

66

iiz

iz

iz

iz

+=+=

+=

+=

+=

8

b) iz23

21 =

Ovde moramo najpre prebaciti kompleksni broj u trigonometrijski oblik.

2 2

20

20

11 3 1 32 ( ) ( ) 12 2 4 43

2

32 3 601 3

2(cos sin )

1(cos( ) sin( ))3 3

cos sin3 3

20 20 20 18 2 2 2cos sin 63 3 3 3 3 3 3

2 2cos sin3

o

xr

y

ytgx

tg tg

z r i

z i

z i

z i pazi

z i

= = + = + == =

= = = =

= += +

=

= = + = + =

= 20

20

31 32 21 (1 3)2

z i

z i

=

= +


9

Korenovanje kompleksnih brojeva:

Neka je dat:

(cos sin )

2 2(cos sin )n n

z r i

k kz w r in n

= ++ += = +

k- uzima vrednosti od 0 do n-1.

Sve vrednosti n-tog korena broja z, nalaze se na krunici poluprenika n r . Argumenti tih

brojeva (vrednosti korena) ine aritmetiki niz sa razlikom n

d 2= .

Primer: Izraunati:

a) 3 i

b) 6 1

Reenja:

a) Kao to smo ve videli :

2

sin2

cos ii +=

Pa je: 3

22sin

3

22cos3

ki

ki

++

+= gde k uzima vrednosti: 2,1,0=k

Za k=0

21

23

6sin

6cos

3

02sin

3

02cos

iw

iw

iw

o

o

o

+=

+=

++

+=

10

Za k=1

21

23

65sin

65cos

3

22sin

3

22cos

1

1

1

iw

iw

iw

+=

+=

++

+=

Za k=2

iw

iw

iw

=+=

++

+=

2

2

2

69sin

69cos

3

42sin

3

42cos

Geometrijski gledano , 21,, wwwo su temena jednakostraninog trougla na krunici

poluprenika 113 ==r sa centrom u 0 kompleksne ravni!

x

y

WW

W-i

i

1-1

01

2


11

b) sincos1 i+= == ,1r

5,4,3,2,1,0

62sin

62cos16

=

+++=k

kik

Za k=0

21

23

6sin

6cos iiwo +=+=

Za k=1

iiw

iw

=+=

+++=

2sin

2cos

62sin

62cos

1

1

Za k=2

21

23

65sin

65cos

64sin

64cos

2

2

+=+=

+++=

iiw

iw

Za k=3

21

23

67sin

67cos

66sin

66cos

3

3

iiw

iw

=+=

+++=

Za k=4

iiw

iw

=+=

+++=

69sin

69cos

68sin

68cos

4

4


12

Za k=5

21

23

611sin

611cos

610sin

610cos

5

5

iiw

iw

=+=

+++=

Geometrijski gledano, 5,...,wwo su temena pravilnog estougla!

x

y

W

W

W

-i

i

1-1

0

1

2

W

W

W3

4

5


TRIGONOMETRIJSKI KRUG Uglovi mogu da se mere u stepenima i radijanima. Sa pojmom stepena smo se upoznali jo u osnovnoj koli i ako se seate , njega smo podelili na minute i sekunde.( 10=60` , 1`=60`` ). Da bi objasnili ta je to radijan, posmatraemo krunicu poluprenika R .Obim krunice se rauna po formuli O= 2R , a znamo da je

14,3 .Ako uzmemo deo te krunice (kruni luk) koji je duine ba R , njemu odgovara neki centralni ugao . Mera centralnog ugla koji odgovara luku duine R je jedan radijan. Jasno je da onda pun ugao ima 2 radijana. Odnosno: 3600=2 radijana 1800= ZAPAMTI

Vai dakle:

radijana

radijana

radijana

6060180``1

601801`

18010

==

=

I obrnuto: ``45`17571801 00

= rad Primer 1: Nai radijansku meru ugla od:

`3082)245)75)

0

0

0

vba

Reenje: a) Kako je radijana180

10 = to je 125

18075750 ==

b) 36

49180

2452450 == v)

2411

6018030

18082`30820 =+=


Primer 2. Nai meru u stepenima ugla ija je radijanska mera:

radijanav

b

a

5)6

11)

43)

Reenje:

``45`28286``45`88285``225`85285

``)45`1757(55)

330618011

611)

13541803

43)

0

0

0

0

0

0

===

===

==

radijanav

b

a

Dalje smo ugao definisali kao dve poluprave sa zajednikim poetkom.A moemo razmiljati i ovako:Uoimo jednu polupravu koja moe da se obre oko svoje poetne take O.Pri obrtanju emo razlikovati dva smera: POZITIVAN smer suprotan od smera kretanja kazaljke na asovniku i NEGATIVAN- smer kretanja kazaljke asovnika. Ako obeleimo sa a poetni a sa b zavrni poloaj poluprave nakon obrtanja oo take O u jednom ili drugom smeru, ugao ab zovemo ORIJENTISAN UGAO.

O a

b

TRIGONOMETRIJSKI KRUG je krug poluprenika 1 iji je centar u koordinatnom poetku.


0x

y

A(1,0).

Taka A(1,0) koja pripada trigonometrijskom krugu zove se POETNA taka. Na trigonometrijskom krugu emo posmatrati razliite lukove koji svi poinju u taki A. Luk koji obilazimo u smeru suprotnom od kazaljke na asovniku je POZITIVAN luk, a u smeru kazaljke je NEGATIVAN luk. Uglovi po kvadrantima idu ovako:

x

y

. 2

23

2

0

III

III IV

iz I kvadranta: 2

0

Uglovi 0, 2 , ,

23 , su granini i uzima se da nisu ni u jednom kvadrantu.

Uglove ije emo vrednosti oitavati sa trigonometrijskog kruga su sledei:

0 360 2o o = =

306

o =

603

o =45

4o =

902

o =21203

o =31354

o =51506

o =

180o =

72106

o =

52254

o =42403

o =32702

o =

53003

o =

113306

o =73154

o =1

1

11

Sinus i kosinus proizvoljnog ugla Za bilo koji proizvoljan ugao uvek jedan krak poklopimo sa x osom, tj, sa poetnom takom A(1,0), drugi krak see trigonometrijski u nekoj taki M(x0,y0). Iz te take spustimo normale na x i y osu. Te duine su: - Na x-osi cos ( cos =x0) - Na y-osi sin (sin =y0)


xy

.

sin

cos

M(x ,y )00

Evo naeg predloga kako da zapamtite vrednosti i da ih proitate sa kruga. Zapamtimo tri broja:

21 ,

22 ,

23

koji su poreani od najmanjeg do najveeg.

Broj u sredini 22 odgovara uglovima koji su sredine kvadranata!

Znai sinusi i kosinusi uglova od 45 , 135 , 225 i 315 stepeni imaju vrednost 22 , samo vodimo rauna da li

je ta vrednost +22 ili -

22 .

Evo to na slikama , pa e biti jasnije:

0

x

y

.1

145 0

sin 450=cos450=22


0x.

y

1

-1

1350

sin 1350=22 a cos 1350= -

22

x

y

.

2250

-1

-1

sin 2250= - 22 cos 2250= -

22

x

y

.

3150

1

-1

sin 3150= - 22 a cos 3150=

22


Ta ostale uglove vrednosti e biti 22 ili

23 , naravno opet gledamo da li je + ili - .

Evo par primera: Primer1. Nai sin 600 i cos 600

x

y

.

sin 60

cos 600

0

600

Kako ugao od 600 nije sredina kvadranta, to e vrednosti za sin 600 i cos 600 biti 21 i

23 i to obe

pozitivne.Poto je crta za sin 600 dua, ona mora biti 23 (jer je vei broj) a cos 600 je

21 jer je crta tu kraa.

Dakle: sin 600=23 i cos 600 =

21

Primer 2. Nai sin1500 i cos 1500

x

y

.sin 150

cos 150

1500

0

0

Crta za sin1500 je kraa i pozitivna a crta za cos 1500 je dua i negativna, pa je : sin1500=21 a cos 1500=-

23

Primer 3.

Nai sin3

4 i cos3

4 . Ako date uglove u radijanima prebacimo u stepene, dobijamo da je to

34 = 2400

x

y

.

sin240

cos240

240

0

0

0

Znai, radi se o uglu u treem kvadrantu i nije sredina kvadranta. Primetiemo da su obe vrednosti negativne,

sinus je dui a kosinus krai. Zakljuujemo: sin3

4 = -23 i cos

34 = -

21

Primer 4. Nai sin(- 300) i cos(- 300) Ovaj ugao, poto je negativan ide u smeru kazaljke na satu. U pozitivnom smeru to bi bio ugao od 3300.

x

y

.

sin(-30 )

cos(-30 )

-30

0

0

0

sin(- 300) = sin 3300=-21 i cos(- 300)=cos3300=

23

Da pogledamo ta je sa uglovima od 0, 2 , ,

23


xy

.10

0

Kraci ovog ugla se poklapaju , x osu seku do jedinice, a y osu nigde, zato je cos00=1 (cela crta) a sin00=0 (nema crte)

x

y

.

1

900

Ugao od 900 see y osu po celoj crti a x osu nigde. Pa je sin 900=1 a cos 900=0

x

y

.0

180-1

sin 1800=0 cos 1800= - 1


0x

y

.

-1270

sin2700=-1 cos 2700=0 Tangens i kontangens proizvoljnog ugla

Ve smo se ranije upoznali sa formulama

cossin=tg i

sincos=ctg , naravno pod uslovima da

su imenioci razliiti od nule.

Moemo zakljuiti da je tg definisan za cos 0 ,odnosno za 2 +k , kZ

A ctg za sin 0, odnosno za k , kZ To znai da ako znamo da naemo sin i cos , znamo i tg i ctg Primer 1. Nai:

a) tg4

b) ctg 3000

a) tg4 = tg 450=

22

22

45cos45sin

0

0

= =1

b) ctg 3000=33

23

21

300sin300cos

0

0

=

=


Nauimo sada gde se itaju tangensi i kotangensi na trigonometrijskom krugu. Uoimo pravu x=1. Ona oigledno prolazi kroz taku A(1,0) i paralelna je sa y osom.Jedan krak datog ugla opet poklopimo sa x osom a drugi krak e sei ovu pravu x=1 koju emo zvati TANGENSNA osa . Odseak na tangensnoj osi je ustvari vrednost za tg . Evo to na slici:

y

.A(1,0)

tg

tangensna osa

x

y

.A(1,0)

tg

tangensna osa

Uoimo sada pravu y=1 koja prolazi kroz taku B(0,1) i paralelna je x osi. Tu pravu emo zvati KOTANGENSNA osa i na njoj emo oitavati vrednost za kotangense uglova. Evo slike:

x

y

.

tg

x

y

.

tg tangensna osac koB(0,1)


Ovde razmiljamo slino kao za sinuse i cosinuse, samo moramo da zapamtimo nova tri broja :

33 , 1, 3

Broj 1, pozitivan ili negativan je vrednost za tangense i kotangense uglova koji su sredine kvadranata, tj. za 45,135,225 i 315 stepeni a za ostale uglove gledamo duinu CRTA koje odsecaju na tangensnoj i kotangesnoj osi i da li je pozitivna ili negativna.

Vea crta je 3 , a manja je 33

Evo nekoliko primera:

x

y

.

tg45

ctg45

45

0

0

0

tg450=1 i ctg450=1 Sredina kvadranta je u pitanju, pa su vrednosti 1.

x

y

.120

tg120

ctg1200

0

0

PAZI: Poto krak ugla ne see tangensnu osu ,moramo ga produiti do preseka sa osom. Uoimo da su obe vrednosti negativne i da je tangens dui a kotangens krai!

Dakle : tg 1200= - 3 i ctg 1200= - 33


x

y

.

tg240

ctg240

240

0

0

0

tg2400= 3 i ctg 2400=33 (uoi duine ovih podebljanih crta)

ta je sa graninim uglovima?

x

y

. 2

23

2

0

Za 0 stepeni vidimo da ugao ne see nigde tangensnu osu , pa je tg00=0, za ctg00 krak i kotangensna osa idu paralelno, pa kaemo da ctgx tei beskonanosti kad x tei nuli u pozitivnom smeru. Slino je za ugao od 1800. Opet je tangens nula a kotangens tei - . Za ugao od 900 je obrnuta situacija: ctg900=0 a tg900 tei + . Za ugao od 2700 je ctg2700=0 a tg2700 tei - .


0 360 2o o = =

306

o =

603

o =45

4o =

902

o =21203

o =31354

o =51506

o =

180o =

72106

o =

52254

o =42403

o =32702

o =

53003

o =

113306

o =73154

o =

12

12

22

22

32

32

1

1

12

12

32

32

22

22

11

Evo male pomoi za one koji su nauili da se snalaze na krugu!


Documents

Kompleksni brojevi